Obtenção e Obtenção e Tratamento de Tratamento de

DadosDados 

Laboratório de Engenharia

Engenheiro determina e utiliza constantemente dados

experimentais para:

•Testar predições teóricas

•Analisar performances de processos

•Determinar modelos matemáticos (equações empíricas)

para projeto de equipamentos

•Etc.

O significado das conclusões obtidas a partir de nossos

dados dependerá

•Qualidade dos dados

•Metodologia de cálculo: modelos e métodos

Qualidade dos resultados :

Grau de exatidão requerida é estabelecido pelo uso que será

dado a esses dados

Pesquisa completas : no tempo e custo disponível

Medidas: como processar resultados?

Número de medidas: replicatas

• MedidaMedida : resultado de uma medição, acompanhado da unidade conveniente.

• Usualmente: 3

• Porém isto depende da incerteza da medição e da dificuldade de obtenção do dado (custo e tempo)

Exemplo de resultados em triplicata

0

20000

40000

60000

80000

100000

120000

140000

160000

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Deformação

Ten

são

(Pa)

0

500

1000

1500

2000

2500

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1Deformação

Te

ns

ão

(P

a)

Textura de géis lácteos e de goiaba

Tipos de erros

SISTEMÁTICOSSISTEMÁTICOS ACIDENTAIS ou ALEATÓRIOSACIDENTAIS ou ALEATÓRIOS

• Instrumentais: calibração

• Método usado

• Pessoais

• Ambientais

Podem ser corrigidos ou Podem ser corrigidos ou parcialmente compensadosparcialmente compensados

•Pessoais: imperícia, cansaço ou distração.• Enganos (fortuitos) na leitura das escalas.•Diferenças grandes entre as amostras (produtos naturais)

Conduzem a resultados díspares dos Conduzem a resultados díspares dos restantesrestantes

(necessidade de realizar várias medidas (necessidade de realizar várias medidas experimentais)experimentais)

GROSSEIROSGROSSEIROS

• Falhas do operador: engano na leitura da medida ou troca de unidades

Mais cuidado na realização das medidasMais cuidado na realização das medidas

Avaliação da dispersão dos dados

EXATIDÃOEXATIDÃO PRECISÃOPRECISÃO

(medida (medida exataexata mas mas não precisanão precisa)) (medida (medida precisaprecisa mas mas não exata, não exata, ou sejaou seja,,a medida pode não estar próxima a medida pode não estar próxima ao valor real, mas o desvio entre ao valor real, mas o desvio entre as medidas é baixoas medidas é baixo ))

Erros SistemáticosErros Sistemáticos Erros Acidentais ou AleatóriosErros Acidentais ou Aleatórios

………………..afetada………....afetada………..

Exemplos

Incerteza nas medidas

Erro: diferença entre valor medido e o real

Desvio: diferença entre o valor medido

e o que mais se aproxima do real -

dispersão dos valores

Erros e desvios: diferença

Valor médio ou média aritmética:Valor médio ou média aritmética:

xx x x

1 2... n

n

x1, x2, …, xn – medidas experimentais

n – número de medidas

Desvio de cada medida:Desvio de cada medida:

xxii

Interpretação das medidas: valor médio e desvio

Dispersão

Desvio médio (Desvio médio (mm)) Desvio absoluto (Desvio absoluto (aa))

Desvio padrão (Desvio padrão ())n

n

1ii

m)(máxia

)1n(

)2i

x(x

n pequeno (menor que 10)n pequeno (menor que 10)

n elevado n elevado (distribuição normal)(distribuição normal)

Interpretação das medidas: desvio padrão, médio e absoluto

iânciavar2

34%34%

2 DP

Média

1 DP 1 DP

68,3%

2 DP

95,5%

3 DP 3 DP

99,7%

Interpretação das medidas: distribuição normal

Método Student

Quando o número de pontos experimentais que se conta

para calcular a media é baixo, a estimativa do descio padrão

por não da uma boa estimativa do 1

)( 2

n

xxs i

x

Pode demostrar-se que o intervalo de confiança

para uma dada probabilidade P:

tabeladofatortn

stx pn

xpn ,1,1 ;

Distribuição do t de student

grau de liberdade/ P

0,5 0,7 0,9 0,95

1 1 1,963 6,3 12,7

2 0,816 1,386 2,92 4,303

3 0,765 1,250 2,353 3,182

4 0,741 1,190 2,132 2,776

5 0,727 1,156 2,015 2,571

Grau de liberdade= n-1

P= probalidade de achar a media

num intervalo de confiança eo

6,02,8

63,04,0.59,14/4,0.182,3

int%95;4;4,0;2,8

0

e

econfiânçadeervalopnsx ox

Incerteza Incerteza absoluta (mesma amostra)absoluta (mesma amostra)::

,

m

a

máxx

Incerteza Incerteza relativa (diferentes amostras)relativa (diferentes amostras)::

xx

xr

Apresentação do resultado Apresentação do resultado de uma medida:de uma medida:

xxx

Interpretação das medidas: Incerteza

xxxxx

x

- x + x

Resultado Resultado aceitávelaceitável

XXvv

Resultado Resultado não aceitávelnão aceitável

XXvv

Interpretação das medidas: avaliação dos resultados

Grandeza G é função das variáveis gGrandeza G é função das variáveis gi i (ex: propriedades físicas):(ex: propriedades físicas):

G = f ( g1, g2, ..., gn )

g1, g2, ..., gn – grandezas obtidas por medição direta

Valor médio da grandeza G:Valor médio da grandeza G:

G = f ( 1, 2, ..., n ) g g g

gi - incerteza absoluta da grandeza gi

iii ggg

Medidas indiretas: propagação de erros

Equação de Propagação de ErrosEquação de Propagação de Erros

i

n

i i

n gg

gggfG

1

21),...,(

Medidas indiretas: propagação de erros

Seja a função uma somatória:

iáveswzy

tesconsCBACwBzAyG

var,,

tan,,;

i

n

i i

n gg

gggfG

1

21),...,(

wCzByAG

Supor os erros sempre com o mesmo sinal:

estimativa conservadora

Função:iáveiswzyCteAwzAyG var,,;;/.

i

n

i i

n gg

gggfG

1

21),...,(

wwAyzzwAyywAzG )/()/()/( 2

Dividindo por G

ww

Ayzz

wAyz

wAyy

wAyz

wAzGG

2/

/

/

//

wwzzyyGG ////

Para esta função ( G=A.y.z/w): o erro de

relativo de G : somatória do erros relativos das

variáveis

Quando na função aparecem potencias :

32zAyG

32wAyG

i

n

i i

n gg

gggfG

1

21),...,(

zwyAyywAG ).3..().2.( 223

Dividindo por G

wwyyGG

zwAy

wyAy

wAy

ywAGG

/3/2/

.3...2./

32

22

32

3

Logo em geral:

edcba yyyyyAG 54321 ./...

5544332211 ////// yyeyydyycyybyyaGG

•As variáveis com maiores erros relativos terão maior

influencia na função G determinada

•Maior é a potencia a qual a variável está afetada maior

será a influencia do erro da medida desta variável

O Cálculo da Incerteza Incerteza

AbsolutaAbsoluta permite

determinar o número de

Algarismos SignificativosAlgarismos Significativos

da grandeza medida

Medidas indiretas: algarismos significativos

Natureza do instrumento(sensibilidade ou precisão do instrumento)

(valor da menor divisão da escala do

instrumento)

algarismos exatos+

1º algarismo duvidoso (metade da menor divisão)

Algarismos significativos

Algarismos significativos: definição

Exemplo…

l = 29,4 mm

algarismo avaliado (duvidoso)lido por estimativa

Algarismos significativos: exemplo

Medidas em equipamentos mais complexos: podem resultar

que a precisão da medida seja inferior a escala do elemento

de medida:

Exemplos :

• flutuação num manômetro instalado numa

tubulação causada pela variação da vazão de

fluido que escoa na mesma

•Mudanças rápidas nas características de

uma amostra( evaporação)

I - O algarismo zero só é significativo se situado à direita de um outro algarismo significativo (diferente de zero)

Exemplos…Exemplos…

0,00015 2 algarismos significativos

3600 4 algarismos significativos

Algarismos significativos: regras

Com quantas cifras significativas posso dar meu resultado????

Media da medida 15,04467????

A estimativa do erro me da quais são as cifras significativas

15,04 0,15

Estimativa do erro

(geralmente com dois cifras significativas0,15

Regras de arredondamento

Como descartar as cifras não significativas

•Quando a cifra significativa ( posição n) é maior que 5 se

acrescenta 1 na cifra n-1

•Quando é menor que 5 ( posição n) , a cifra em n-1 não é

alterada

•Quando é igual a cinco se arredonda para dar um número

impar Exemplo:

15,04444±0,15 15,04

15,0583±0,15 15,06

15,0453±0,15 15,05

15,0753±0,15 15,07

II- Operações:

1) Adição e subtraçãoAdição e subtração - número de casas decimais igual ao da parcela com menor número de casas decimais

ExemploExemplo 116,4 + 3,21 + 22,15 = 31,7 ≈ 31,8

ExemploExemplo 227,931 - 1,3 = 6,6 ≈ 6,6

6

31

Algarismos significativos: regras simplificadas

2) Multiplicação e divisãoMultiplicação e divisão - mesmo número de algarismos significativos do fator com menor número de algarismos significativos

ExemploExemplo 113,6 x 0,03 = 0, 108 ≈ 0, 1

ExemploExemplo 22700 : 15 = 46,6(6) ≈ 47

Algarismos significativos: regras simplificadas

i

n

i i

n gg

gggfG

1

21),...,(

Equação também é valida para erros padrão e

variância

Para calcular em forma mais exata o número de

cifras significativas de G: deveria utilizar a

anterior equação

Diferenças significativas entre resultados

• Uso do teste-F para avaliar diferenças significativas. Havendo diferenças significativas realizam-se testes de comparação múltipla: – Newman-Keuls (Newman, 1939, Keuls, 1952)– Tukey (Tukey, 1953) – Scheffé (Scheffé, 1953; 1959) – Dunnett (Dunnett, 1955)

• O teste de Tukey é o mais usado.

Tratamento de dados: análise gráfica

Representações gráficas são empregadas para:

•Ajudar a visualizar o processo

•Representação dos dados quantitativos , equação

teórica ou empírica

•Comparar os dados experimentais com modelos

teóricos ou empíricos

A forma do gráfico traduz o tipo de relação A forma do gráfico traduz o tipo de relação

matemática entre as variáveismatemática entre as variáveis

Um gráfico com a forma de uma retareta

fornece-nos a constante de linearidadeconstante de linearidade

entre duas variáveis em análise

Tratamento de dados: análise gráfica

Análise da dispersão das leituras

Pouco disperso Muito disperso

Análise de erros no método gráfico: mínimos quadrados e coeficiente de correlação (R2)

n

ii

n

ii

n

iii

yyxx

yyxxR

1

2

1

2

1

Análise gráfica: vantagens

Análise gráfica: regressão linear

Yi

i

X

Y

0

1 Coeficienteangular

Inclinaçãoda retaIntercepto Variável

Independente

Variável Dependente Yi=0+1Xi

Ŷi=b0+b1Xi

i =Yi-Ŷi

Modelo estimado

Resíduo

Análise gráfica: regressão linear( quadrados

mínimos)

2

1

2

1

)()( n

ii

n

ii ybxayY

ibxaY

•Foram realizadas medidas de y (variável dependente) vs. x( variável

independente )

•Propõe -se uma equação linear

•Y= variável estimada ; y=variável medida

O método minimiza a somatória dos quadrados

em função de a e b

0)(

0)(

2

2

b

yY

a

yY

ii

ii

n

i

n

ii

n

i

xx

yyxb

n

ya

1

2

1

1

)(

)(

;Resultam os valores de a e b

Encontrando os mínimos em

relação as constantes

Análise gráfica: regressão não-linear

Modelos não-lineares:

• Linearizável– Equação pode ser convertida em modelo

linear.

• Não linearizável– A transformada em modelo linear não é

possível.

Modelos não lineares “linearizáveis”

• Diversos modelos:

– Polinomial– Lei da potência– Exponencial– Logaritímico

Modelos não lineares: polinomial

• Linear:

• Parabólico:

• Cúbico e de ordens mais elevadas:

• Regressão linear múltipla.

ii bXaY

kikiiii XbbXbXbXbaY ...3

33

221

221 iii XbXbaY

Modelos não lineares: Lei da Potência

• Equação do tipo lei da Potência:

• Aplicando logaritmos:

Xii abY

ii XbaY log)log()log(

Modelos não lineares: Exponencial

• Modelo de crescimento exponencial:

• Linearizado:

Xbi aeY

ii bXaY )ln()ln(

Modelos não linearizáveis

• Alguns modelos não podem ser linearizados.

- Curva de inativação microbiana:

- Ou modelos de difícil linearização como resolução de equações diferenciais

XBeyP

1

1)(

Modelos não linearizáveis• Parâmetros do modelo (não linear) são

estimados por otimização usando critério dos mínimos quadrados

• Programas de quadrados mínimos não lineares: Statistica, Origin, etc.

2

1)( i

n

i i yYS

Modelos não linearizáveis: resolvendo o problema

• Usando o Excel...