제 9 장 전 자 기 파

9.1 일차원 파동 9.1.1 파동 방정식

9.1.2 사인파

9.1.3 경계조건: 반사와 투과

9.1.4 편 광

9.2 진공에서의 전자기파 9.2.1 E와 B에 대한 파동 방정식

9.2.2 단색 평면파

9.2.3 전자기파의 에너지와 운동량

9.3 물질 속에서의 전자기파 9.3.1 선형매질 속에서의 전파

9.3.2 수직 입사파의 반사와 투과

9.3.3 비스듬히 입사한 파의 반사와 투과

9.4 흡수와 분산 9.4.1 도체 속에서의 전자기파

9.4.2 도체 표면에서의 반사

9.4.3 유전율의 진동수에 대한 변화

9.5 도파 9.5.1 도파관

9.5.2 네모꼴 도파관에서의 TE파

9.5.3 동축 전송선

9.1 일차원 파동

9.1.1 파동 방정식

파동 = (?의) 흔들림이 1)일정한 꼴을 유지하면서, 2)일정 속도로, 3)퍼져가는 것

1) 흡수; 분산; 2,3차원에서 퍼져가는 것 무시

2) 분산 무시

3) 정상파 제외

* 두 함수 와

* 세 함수 , ,

* 보기 1.

* 보기 2. sin

파동방정식 1. 유도과정

팽팽한 줄 토막의 운동방정식

줄의 장력 , 선밀도 , 수직변위

수직방향의 운동에 대한 뉴턴 운동방정식

수직 방향의 알짜 힘

≅ tan′ tan

≅

따라서

,

선형(1차), 2계 편미분 방정식

파동방정식 2. 일반해의 특성

⇒ ±

∓

⇒ ∓

⇒ ± 일반해

9.1.2 사인파

(i) 용어 조화파동: cos : 진폭 (amplitude)

: 위상 (phase)

: 위상상수 (phase constant)

≡

: [각]파수 ([angular] wave number)

(ii) 복소수 표기법: Re , cos sin (오일러 공식)

≡ 복소 파동함수

≡ 복소 진폭: (실수) 진폭 , 위상

(iii) 선형중첩: ∞

∞

⇒

예제 9.1

진동수와 진행방향이 같은 두 싸인 파동이 겹쳐 만드는 새로운 싸인 파동:

진동수, 진행방향, 진폭, 위상?

풀이

1. 파동의 복소수 표현식:

;

2. 진동수와 진행방향이 같은 두 싸인 파동의 중첩

: 진동수와 진행방향은 같다.

진폭, 위상?

또는

cos cos cos sin sin sin

cos

arctan cos cos sin sin

⇒

⇒

9.1.3 경계조건: 반사와 투과

파동함수

투과 반사

경계조건: 에서

1) 가 연속:

2) 의 공간도함수도 연속:

반사 및 투과 파의 진폭

1) 반사파의 진폭 반사 입사

입사

(※ 이면 반사파는 뒤집어짐[위상이 반전됨])

2) 투과파의 진폭 투과 입사

입사

9.1.4 편 광

파동의 분류 * 종파: (물리량의) 진동방향 (파동의) 진행방향 [보기: 음파]

* 횡파: (물리량의) 진동방향 ⊥(파동의) 진행방향 [보기: 전자기파]

횡파의 일반꼴 (쪽으로 가는 평면파) f x y

1) 선편광 (진동면이 축에 대해 기울어짐) f선편광 cos x sin y

2) 원편광 f원편광± e± ; e± ≡

x ± y

9.2.1 E와 B에 대한 파동 방정식

맥스웰 방정식 J

파동방정식 끌어내기

∇×(패러데이 법칙): 왼쪽 ∇× ∇× E ∇∇⋅E ∇E ∇E ⇐ (i)

오른쪽 ∇×B

∇×B

E

E

⇐ (ii)

그러므로

※ B에 대한 식은 스스로 해 보시오 (앙페르-맥스웰 법칙에서 시작)

전자기파의 속도? 파동방정식과 비교

⇒

≃ × ms

9.2.2 단색 평면파

l 전자기파 전체

l 가시광 영역의 색깔

방향 k ⊥ E ⊥ B크기

평면파 해: +z쪽으로 가고, x나 y에 대한 변화가 없는 전자기파의 파동함수

복소진폭 E B에 대한 제한: 전자기장에 대한 가우스 법칙

1. 가우스 법칙 ⇒

2. 패러데이 법칙 ⇒

일반적인 평면 전자기파의 식

예제 9.2

+쪽으로 가는 편광의 전기장과 자기장?

풀이

전파벡터(+쪽) k z , k z전기장(편광) Er cosk⋅r x cos x

복소 전기장 Er x ,

복소 자기장 Br k×E

z× x

y

S = uc인 까닭

9.2.3 전자기파의 에너지와 운동량

에너지 밀도: 단위부피의 공간에 전기장과 자기장에 저장된 에너지

⋅

cos

에너지 흐름 밀도 = 포인팅 벡터 (단위 시간에 단위 면적을 지나가는 전자기파에 실린 에너지)

= cos z = ⋅ z

운동량 밀도

=

cos z =

z ※

시간평균값

- 빛은 주기가 아주 짧아서(∼

초), 검지기의 반응속도는 그 것을 따라가지 못하여 평균값을 잼

- 코사인 제곱의 한 주기 평균값은 1/2

세기(intensity): 전자기파가 단위 면적에 실어오는 평균 일률

방사압력(radiation pressure): 단위면적이 평균적으로 받는 힘

9.3 물질 속에서의 전자기파

9.3.1 선형매질 속에서의 전파

자유전하와 자유전류가 없는, 선형 물질 속에서의 맥스웰 방정식

1) 선형 물질

2) 자유전하와 자유전류가 없음: J

1)+2) 전하와 전류가 없는 선형 물질 속에서의 맥스웰 방정식 (진공과 비교하면 ⇒ ⇒ )

※ (9.40)

물질 속에서의 변화: 진공에서의 공식에서 ⇒ ⇒ 로 바꾸면 됨

1. 전자기파의 속력: 굴절률(index of refraction):

2. 에너지 밀도

3. 포인팅 벡터

4. 세기

⋅

5. 경계조건

9.3.2 수직하게 들어온 빛의 반사와 투과

파동함수

경계조건: E와 H의 접선성분이 연속

1. E:

2. H: ⇒ ,

반사파 및 투과파

1. 반사파 실수진폭:

2. 투과파 실수진폭:

반사도(reflectance) R 및 투과도(transmittance) T

1. 반사도

2. 투과도

※ 에너지 보존:

9.3.3 비스듬히 들어온 빛의 반사와 투과

기본적인 물음: k E ?

경계면에서의 연속조건: k입사⋅r 입사

k반사⋅r 반사∝ k투과⋅r 투과

1. 지수함수 비교: exp k입사⋅r 입사 exp k반사⋅r 반사 ∝ exp k투과⋅r 투과

1) 시간 인자 exp 입사 exp 반사 ∝ exp 투과

⇒ 입사 반사 투과 (각진동수)

*) 따름: 에서 입사입사

반사반사

투과투과

⇒ 매질 매질 (전파상수)

2) 공간 인자 expk입사⋅r expk반사⋅r ∝ expk투과⋅r ( 인 평면에서)

⇒ 입사sin 입사 반사sin 반사 투과sin 투과

⇒

입사 반사 반사법칙입사 sin입사 투과 sin투과 굴절법칙

2. 진폭벡터 비교: 전기장 벡터가 입사면과 나란할 때 (TM 편광)

1) D , B의 수직 성분이 연속:

E입사 E반사 E투과 ⇒

입사sin입사 반사sin반사 투과sin투과

⇒ 입사 반사

⋅

투과 ①

B입사 B반사 B투과 ⇒ 0 = 0 (왜?: TM편광이므로) ②

2) E, H의 나란한 성분이 연속:

E입사 E반사 E투과 ⇒ 입사cos입사 반사cos반사 투과cos투과

⇒ 입사 반사

투과⋅cos입사cos투과

③

B입사

B반사

B투과 ⇒

입사

반사

투과 B k×E

⇒ 입사 반사

⋅투과 ④

① = ④

⋅

⋅

⋅

① & ③: TM편광에 대한 Fresnel 방정식

≡입사

반사

≡입사

투과

; ≡cos입사

cos투과, ≡

※ Brewster 각: ⇒ ⇒ cos입사cos투과

반사 및 투과된 빛의 밝기의 비

1. 전자기파의 세기 ≡ 단위면적에 들어오는 전자기파의 일률

≡ S⋅z

2. 입사, 반사, 투과파의 세기

입사

입사 ⋅cos입사

반사

반사 ⋅cos반사

투과

투과 ⋅cos투과

3. TM 편광의 반사도 및 투과도

≡ 입사반사

≡ 입사투과

⋅

9.4 흡수와 분산

9.4.1 도체 속에서의 전자기파

도체의 전기적 특성: 자유 ≠ , J자유 E (옴 법칙)

도체 속에서의 맥스웰 방정식

자유전하가 흩어지는 특성: 전하보존법칙 + 옴 법칙 + 전기장에 관한 가우스 법칙

자유 ∇⋅J자유 ∇⋅E

자유

⇒ 자유 자유 도체

≡

: 도체의 자유전하가 흩어지는 시간

도체 속에서의 맥스웰 방정식(충분한 시간이 지나 자유전하가 모두 흩어진 뒤): 자유

(i) ∇⋅E , (iii) ∇×E

B,

(ii) ∇⋅B , (iv) ∇×B

E (※ 유전체와 비교하면 끝항이 더 있음)

파동 방정식: ∇×(패러데이: iii) ← [(전기장에 관한 가우스: I) & (앙페르-맥스웰: iv)]

∇ E E

평면파 해

E E , ,

;

≡

, ≡

≡

≃

, ≡ arctan

≃

보기: E E x

* 침투깊이(skin depth): 진폭이 1/e로 줄어드는 깊이 ≡

* 자기장: B B ← (iii) & E B

y ⇒

⋅

9.4.2 도체 표면에서의 반사

경계조건:

※ 옴 법칙을 따르는 도체: 자유

K자유

선형유전체/도체 경계면에서의 반사와 투과: 경계면(xy-평면)에 평면파가 +z쪽으로 갈 때

1. 입사, 반사, 투과 파동

입사파: E입 입 x, B입 입

y

반사파: E반 반 x, B반

반 y

입사파: E투 투 x, B투 투

y

2. 경계조건: 경계면에 나란한 E H 성분은 연속

전기장: 입 반 투

자기장:

입 반

투

3. 반사 및 투과 계수

≡ 입

반

, ≡ 입

투

, ≡

, ≡

※ 완전도체 ( ∞): →∞ ⇒ ,

9.4.3 유전율의 진동수에 대한 변화

분산: 전자기파의 진행속도가 진동수에 따라 다름

⇒

⇒ 전기 전기

≡

≃

전기 (cf. 4.33)

P 전기E (cf. 4.30)

물음: 굴절률(유전율, 전기편극율)은 진동수에 따라 왜 그리고 어떻게 달라지는가?

분산에 관한 이론: 편극밀도에 대한 전자 진동자 모형

1. 편극밀도는 전자의 운동으로 생겨난다.

2. 전자는 모두 원자핵과 결합해 있고 번째 전자의 고유진동수와 감쇠상수는 각각 와 이다.

3. 전자기파가 들어오면 전자는 전자기파의 진동수로 진동한다.

전자의 운동방정식:

cos 전체

(복소방정식)

정상상태의 해:

⋅

전기쌍극자:

⋅

편극밀도와 전기편극율: P ⋅⋅

E 전기E

전기

⋅

복소굴절률: 전기 ≃

≃

≠

≃

흡수계수 ≡

≃

투명한 대역에서의 굴절률

투명한 대역 = 진동수가 공명 진동수에서 멀 때

전기 ≃

≠

≃

≅

≃

⋯ 코시 공식

9.5 도파

9.5.1 도파관

완벽한 도체로 된 도파관 속의 전자기파

1. 방정식 ∇⋅E ∇×E

B

∇⋅B ∇×B

E

2. 경계조건: E B (도체 속, 왜?)

⇒ 안쪽 벽에서의 전자기장: E

B⊥

3. Trial solution: 도파관을 따라가는 전자기파의 전자기장

E E

B B ??: E B

※ 좁은 곳에 갇힌 전자기파는 횡파가 아님 (무한공간의 평면전자기파는 횡파임)

E x y z , B x y z

※ ∇⋅E ⇒ ∇⋅x y z

⇒ ∇⋅x y z x y z⋅∇

∇⋅x y z

,

∇ z

⇒

※ ∇×E

B⇒ ∇× x y z

x y z

왼쪽 = ∇×x y z x y z×∇

=

x

y

z

오른쪽 = x y z

⇒

= +

-

= -

-

=

4. Trial solution에 대한 연립미분방정식:

→

→

∇⋅E = 0 ⇒ + = - ①

∇⋅B = 0 ⇒ + = - ②

∇×E = -B ⇒ = + ③

= - + ④

- = ⑤

∇×B = E ⇒ = -

+ ⑥

= + ⑦

- = - ⑧

5. 가로방향 성분에 관한 식: ④+⑥, ③+⑦

= -

(+)

= -

(-)

= -

(-+)

= -

( +)

6. 축방향 성분에 대한 파동방정식: {④ +③} & {①,⑧}, {⑦ +⑥} & {②,⑤}

= 0

※ =0 이면 TE (Transverse Electric), =0 이면 TM (Transverse Magnetic),

==0 이면 TEM (Transverse Electric and Magnetic)이라고 함

9.5.2 네모꼴 도파관에서의 TE파: ≧

1. TE 파동의 조건: =0, ≠0

2. 파동방정식: = 0

3. 경계조건: 도파관 표면에서 E=0, B⊥=0

=0, 에서 =0, =0

=0, 에서 =0, =0

4. 풀이: 변수분리법 =

파동방정식:

+

+ = 0

⇒

= -

,

= -

;

+

+ =

일반해 = cos () + sin(), = cos () + sin()

5. 경계조건 적용

1) =0, 에서 =0, =0

= +

, = -

이므로

⇒

⇒ -sin(0) +cos (0) = 0 ⇒ = 0

⇒

⇒ -sin() = 0 ⇒

(=0,1,2,...)

2) =0, 에서 =0, =0

= -

, = -

이므로

⇒

⇒ -sin(0) + cos (0) = 0 ⇒ = 0

⇒

⇒ -sin() = 0 ⇒

(=0,1,2,...)

6. 해

TEmn 모우드: = cos cos

전파상수 =

=

※ 차단진동수 ≡

전파속도: 1) 위상속도 =

=

2) 군속도 =

=

7. 네모꼴 관에서의 전자기파의 진행 - 그림 설명

k′=

x +

y +z

정상파 파장: 1) 축: = ⇒ =

=

2) 축: = ⇒ =

=

cos = k′

=

, = cos : 도파관을 따라 가는 알짜 진행속도

9.5.3 동축 전송선

TEM 모우드를 보낼 수 있음: = = 0

∇⋅E = 0 ⇒ + = 0 ①

∇⋅B = 0 ⇒ + = 0 ②

∇×E = -B ⇒ 0 = + ③

0 = - + ④

- = 0 ⑤

∇×B = E ⇒ 0 = -

+ ⑥

0 = + ⑦

- = 0 ⑧

{③⑦}{④⑥}⇒ = ⇒ = , = - ⇒ ⑧ = ①, ② = ⑤

①⑤ ⇒ +

= 0 (2차원 라플라스) ⇒ E s, B

전자기장

E

cos sB

cos

9.5.3 동축 전송선 (보충)

TEM 모우드를 보낼 수 있음: = = 0

경계조건: 도파관 표면에서 E=0, B⊥=0

E = E = s E = (, 0, 0)

B = B = B = (0, , 0)

※ 1. ∇⋅V =

() +

+

※ 2. ∇×V = [

-]s + [ -] +

[() -]z

맥스웰 방정식

∇⋅E = 0 () = 0 ① ∇⋅B = 0 = 0 ②

∇×E = -B 0 = 0 ③(s) ∇×B = E =

⑥(s)

= ④() 0 = 0 ⑦()

= 0 ⑤(z ) ()= 0 ⑧(z )

④,⑥ ⇒ = ⑨

⑨,④ ⇒ = ④'

⑤ ⇒ = ⑤'

①,⑤' ⇒ = 상수 ⇒ =

①'

①',④' ⇒ =

④''

①',④'' ⇒ E s, B

전자기장

E

cos sB

cos