Operações Lógicas sobre proposições

• Proposição:É uma sentença (declarada por meio de palavras ou símbolos) que será considerada, por seu conteúdo, verdadeira ou falsa.

Operações Lógicas sobre proposições

• Operações Lógicas– Negação ( ` ou ~) – Conjunção ( . )– Disjunção inclusiva ou soma lógica ( + ) – Disjunção exclusiva ( )⊕– Condicional (→)– Bicondicional (↔)

Negação ( ` ou ~)

• Seja p uma proposição. Denotaremos a proposição composta pelo modificador NÃO por p'.

• Lê-se “não p”. • ex: Então V(p') = 0 quando V(p) = 1• O valor lógico da negação de uma proposição p é

apresentado na tabela-verdade:

• Que nos dá: 1’ = 0 , 0’ = 1

p p´0 11 0

Negação ( `)

p: 1 + 1 = 2 (1)p´: 1 + 1 = 3 (0)V(p´) = 0

p: João é estudante (0)p´: João não é estudante (1)V(p´) = 1

Conjunção ( . )

• A conjunção de duas preposições p e q é verdadeira quando V(p) = 1 e V(q) = 1

• Lê-se “p e q”.• Tabela–verdade: p q p.q

0 0 00 1 01 0 01 1 1

Conjunção ( . )

p:5=5 (1)q:5≠4 (1)V(p.q)=1

p:5=5 (1)q:5<4 (0)V(p.q)=0

Disjunção inclusiva ou soma lógica ( + )

• A Disjunção de duas proposições p e q é uma proposição falsa quando V(q) = 0 e V(p) = 0 também por outro lado, é verdadeira quando V(p) = 1 ou V(q) = 1

• Representação: p+q• Lê-se “p ou q”• Tabela-verdade:

.

p q p+q0 0 00 1 11 0 11 1 1

Disjunção inclusiva ou soma lógica ( + )

p: 1-19 = 20 (0)q: 1+19 = 20 (1)V(p+q) = 1

p: 1>5 (0)q: 1<0 (0)V(p+q) = 0

Disjunção exclusiva ( )⊕• A Disjunção exclusiva de duas proposições p e q é uma

proposição verdadeira• somente quando V(p) ≠ V(q) e falsa quando V(p) = V(q) • Representação : p q⊕• Lê-se p ou q mas não ambas• Tabela-verdade:

.

p q p q⊕0 0 00 1 11 0 11 1 0

Disjunção exclusiva ( )⊕p: 1 = 1 (1)q: 10 >100 (0)V(p q) = 1⊕

p: 1 ≠ 2 (1)q: 10 <100 (1)V(p q) = 0⊕

Condicional (→)

• A condicional de duas proposições p e q uma proposição falsa quando V(p) = 1 e V(q) = 0 (nessa ordem) e verdadeira nos demais casos Representação : p→q .

• Lê-se “se p então q”• onde a proposição p é antecedente e a proposição q é a

conseqüente do condicional

.

p q p→q0 0 10 1 11 0 01 1 1

Condicional (→)

p:a = a (1)q:a ≠ b (1)V(p→q) = 1

p:a = a (1)q:a = b (0)V(p→q) = 0

Bicondicional (↔)

• O bi-condicional de duas proposições é verdadeira quando V(p) = V(q) e falsa quando V(p) ≠ V(q).

• Representação: p↔q. • Lê-se “p se e somente se q”

p q p↔q0 0 10 1 01 0 01 1 1

Bicondicional (↔)

p: A=A (1)q: A=B (0)V(p ↔ q) = 0

p: Grêmio é o 1º do ranking (1)q: Inter é o 8º da ranking (1)V(p ↔ q) = 1

Exercícios

• Classifique as proposições:p+qp q⊕p→qq’p↔qp.q

Exercícios

Sejam as proposições: P – João joga futebol Q – João joga tênis Escrever na linguagem usual as seguintes proposições: a) P + Q b) P . Q c) P . Q' d) P' . Q' e) (P')' f) (P‘.Q')'

Resolução

• a) João joga futebol ou tênis.• b) João joga futebol e tênis.• c) João joga futebol e não joga tênis• d) João não joga futebol nem tênis.• e) João joga futebol.• f) João joga futebol e tênis.

Exercícios

Dadas as proposições: P – Adriana é bonita Q – Adriana é inteligente Escrever na linguagem simbólica as seguintes proposições:a) Adriana é bonita e inteligente.b) Adriana é bonita, mas não inteligente.c) Não é verdade que Adriana não é bonita ou inteligente.d) Adriana não é bonita nem inteligente.e) Adriana é bonita ou não é bonita e inteligente.f) É falso que Adriana não é bonita ou que não é inteligente.

Resolução

• a) P .Q• b) P . Q’• c) (P’ + Q’)’• d) P’ . Q’• e) P + (P . Q)’• f) (P’ + Q’)’

Exercícios

Determine o valor lógico da proposição: 3 + 2 = 7 e 5 + 5 = 10