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1. FICHA DE IDENTIFICAÇÃO – TURMA – PDE/2012
TÍTULO: O ensino de Geometria Fractal por meio da utilização do software geogebra:
Descobertas e construções.
AUTOR Adriana Fernandes de Matto
DISCIPLINA/ÁREA (ingresso no PDE) Matemática
ESCOLA DE IMPLEMENTAÇÃO DO
PROJETO E SUA LOCALIZAÇÃO
Colégio Estadual José de Anchieta-Ensino
Fundamental e Médio.
MUNICÍPIO DA ESCOLA Quedas do Iguaçu
NÚCLEO REGIONAL DE EDUCAÇÃO Laranjeiras do Sul
PROFESSOR ORIENTADOR Maria Regina C. M. Lopes
INSTITUIÇÃO DE ENSINO SUPERIOR UNICENTRO-GUARAPUAVA
RESUMO A Unidade Didática proposta visa verificar a
viabilidade do estudo da Geometria Fractal
na educação básica, utilizando o software
geogebra. Este conteúdo recente faz parte
das geometrias não-euclidianas e está
previsto nas Diretrizes Curriculares da
Educação Básica, para ser trabalhado nas
salas de aula, nos ensinos Fundamental e
Médio. Nesse sentido, será proposta uma
oficina pedagógica no laboratório de
informática do Colégio Estadual José de
Anchieta-EFM, localizado em Quedas do
Iguaçu, para um público alvo de
aproximadamente 20 professores da área
de Matemática, totalizando 32h/a, onde
serão abordados os fundamentos da
Geometria Fractal; a construção de fractais
famosos utilizando a malha quadrangular e
as primeiras iterações de alguns fractais
famosos no software geogebra, bem como a
exploração dos cálculos da dimensão,
perímetro e área de cada figura.
PALAVRAS-CHAVE Geometria Fractal; Conteúdos Matemáticos;
Geogebra.
FORMATO DO MATERIAL DIDÁTICO Unidade Didática
PÚBLICO ALVO DO MATERIAL DIDÁTICO Professores de Matemática da rede pública
de Quedas do Iguaçu
UNIDADE DIDÁTICA
O ENSINO DE GEOMETRIA FRACTAL POR MEIO DA UTILIZAÇÃO DO
SOFTWARE GEOGEBRA: DESCOBERTAS E CONSTRUÇÕES.
2. APRESENTAÇÃO
O presente trabalho tem a finalidade de verificar junto aos professores de
matemática da educação básica de Quedas do Iguaçu se consideram possível
inserir na sua prática pedagógica o estudo da Geometria Fractal, utilizando o
software geogebra. Para essa pesquisa o formato do material didático escolhido é a
unidade didática, que tem como característica desenvolver o tema, e aprofundá-lo
de forma teórica e metodológica.
A Geometria Fractal da qual se refere à pesquisa surgiu para representar
formas da natureza que não se enquadram nos padrões da geometria clássica,
possibilitando a compreensão dessas formas em termos de dimensão e
complexidade. As figuras fractais são objetos geométricos que podem ser divididos
em partes, cada uma das quais semelhantes ao objeto original.
Esse conteúdo novo da área das Geometrias surgiu nas escolas porque as
Diretrizes Curriculares (2008, p. 56-57) preveem que o aluno deva compreender a
noção de Geometria Fractal desde o Ensino Fundamental, e no Ensino Médio deve-
se aprofundar os estudos das noções de geometrias não-euclidianas, sendo que na
parte específica da geometria dos fractais pode-se explorar: “ o floco de neve e a
curva de Koch; triângulo e tapete de Sierpinski, conduzindo o aluno a refletir e
observar o senso estético presente nessas entidades geométricas, estendendo para
as suas propriedades,... ”
Para Salvador, (2009, p. 3)
“Além das conexões e possibilidades de estudos de modelos mais realistas dos elementos da natureza do que a Geometria Euclidiana e as Geometrias não-Euclidianas, a Geometria Fractal não dispensa os conhecimentos delas, mas pode complementá-las tornando-as mais ricas e interessantes. Com a beleza gerada pelos fractais, nasce o despertar para a surpresa, para o desenvolvimento da criatividade e para o envolvimento da arte possibilitando investigações de conjecturas e uma aprendizagem significativa de muitos conceitos matemáticos.”
Para tanto, a geometria dinâmica representada pelos softwares na área é um
recurso interessante para o aprendizado da geometria dedutiva. Nas construções
pode-se, portanto, levantar conjecturas, verificar propriedades, demonstrar
teoremas, tudo pela experimentação e criação de objetos geométricos.
Sobre o programa geogebra, Geraldes (2006) citado por Macedo reforça que
...é um software de geometria dinâmica, criado por Markus Hohenwarter, com o objetivo educacional e que possibilita o trabalho com a geometria, álgebra e cálculo. Este programa registra os procedimentos realizados durante a construção, mostra representações que seriam impossíveis pelo método tradicional utilizando o quadro e o giz. É um instrumento muito rico e deve ser explorado pelos professores de Matemática uma vez que já o temos implantado nos computadores das Escolas Públicas do Paraná. (MACEDO, 2008, p.3).
A Geometria Fractal, portanto, será abordada, utilizando o software geogebra
em uma oficina pedagógica a ser realizada com professores do Colégio Estadual
José de Anchieta e demais professores de Matemática do município de Quedas do
Iguaçu que estejam interessados no assunto, perfazendo um total de 32 h/a. Esta
oficina terá como objetivos: embasar os fundamentos sobre Geometria Fractal;
inserir nas práticas pedagógicas alternativas simples para construção de fractais,
como uso da malha quadrangular; construir as primeiras iterações dos fractais
famosos no software educacional geogebra: Conjunto de Cantor, Curva de Peano,
Curva de Koch, Floco de Neve de Koch, Quadrado de Koch, Triângulo de Sierpinski
e Tapete de Sierpinski; e motivar os professores com estratégias de ensino para
desvendarem os conhecimentos matemáticos que as estruturas fractais possibilitam,
tais como, cálculo da dimensão, perímetro e área.
Outras observações podem ser evidenciadas e aprofundadas com os fractais
como, a propriedade de auto-similaridade e o grau de complexidade gerado pelas
sucessivas iterações, características que fazem dos fractais objetos que denotam
curiosidade e encantamento. No caso da Geometria Fractal “O despertar e
desenvolver do senso estético pode muito bem ser cuidado e aproveitado com o
tema Fractais, quer apreciando o belo irradiante, quer observando a regularidade
harmoniosa nas suas próprias irregularidades”. (BARBOSA, 2005, p.14). E claro,
além da estética, os fractais têm uma grande aplicabilidade na área Matemática e
em outras áreas do conhecimento.
Como visto a unidade didática a seguir usará metodologias diferenciadas
como o software geogebra, vídeos, aplicativos da internet e material manipulável, o
que permitirá aos professores e alunos à comprovação prática, uma efetiva
participação, e o despertar do campo das emoções através da criatividade, do
espírito inventivo e do desenvolvimento do senso estético. Espera-se que estas
estratégias metodológicas viabilizem transformações positivas nas aulas de
Matemática e contribuam de forma prática e inovadora para a efetiva aquisição do
conhecimento.
3. MATERIAL DIDÁTICO
A) ATIVIDADE 1
Inicialmente será sugerido um questionário investigativo, com 5 questões para
coleta de dados referente à: metodologia utilizada nas aulas de geometria;
conhecimento e utilização do software geogebra; conhecimento sobre as geometrias
não-euclidianas, em especial a Geometria Fractal; e verificação junto aos
professores se estes conteúdos são trabalhados durante o ano letivo; e em caso
afirmativo, que metodologias são utilizadas para explorar a geometria fractal.
1) Algumas áreas da Matemática são mais apaixonantes e ricas, como é o caso da
geometria que por meio de suas representações, comprovações, teoremas, postulados e
axiomas exploram a visualização e à constatação através da prática, todos subsídios
condicionantes para facilitar o processo de aprendizagem.
Nesse sentido, que metodologia(s) você utiliza nas suas aulas para ensinar
geometria euclidiana de forma dinâmica?
( ) Desenhos utilizando régua e compasso
( ) Construção das figuras com material manipulável
( ) Vídeos do portal Dia a Dia
( ) Tecnologias e multimeios
( ) Software. Qual?___________________________
( ) Outra. Qual?______________________________
2) A geometria dinâmica representada pelos softwares na área é um recurso interessante
para o aprendizado da geometria dedutiva. Nas construções podem-se levantar conjecturas,
verificar propriedades, demonstrar teoremas, tudo pela experimentação e criação de objetos
geométricos.
Você professor conhece e utiliza nas suas aulas de geometria o software livre
geogebra?
( ) Conheço e utilizo
( ) Conheço, mas não utilizo
( ) Desconheço
3) No final do século XVIII e início do século XIX o conhecimento geométrico foi expandido
pelos estudos de Bolyai, Lobachevsky, Riemann e Gauss, surgiram então, as geometrias
não-euclidianas que compreendem a “ geometria projetiva (pontos de fuga e linhas do
horizonte); a geometria topológica (conceitos de interior, exterior, fronteira, vizinhança,
conexidade, curvas e conjuntos abertos e fechados) e a geometria dos fractais”. (PARANÁ,
2008, p.56).
Dentre os conteúdos das geometrias não-euclidianas, assinale os que são
trabalhados durante o ano letivo:
( ) geometria projetiva
( ) geometria topológica
( ) geometria dos fractais
( ) nenhuma das geometrias não-euclidianas
4) Inserida no conteúdo estruturante Geometrias, as Diretrizes Curriculares (2008, p. 56-57)
preveem que o aluno deva compreender a noção de Geometria Fractal desde o Ensino
Fundamental, aprofundando-a no Ensino Médio em nível de abstração mais complexo.
Você professor conhece e trabalha o conteúdo Geometria Fractal em suas aulas?
( ) Desconheço o assunto e não trabalho em sala
( ) Conheço o assunto, mas não trabalho em sala
( ) Conheço o assunto e trabalho em sala
5) Caso trabalhe durante o ano letivo o conteúdo Geometria Fractal, que
metodologia(s) você utiliza em suas aulas?
( ) Desenhos utilizando régua e compasso
( ) Construção das figuras com material manipulável
( ) Vídeos do portal Dia a Dia
( ) Tecnologias e multimeios
( ) Software. Qual?___________________________
B) ATIVIDADE 2
Para iniciar a oficina pedagógica será proposto aos professores a introdução
do tema Geometria Fractal, através do vídeo selecionado no Portal Dia a Dia
Educação “Fractales y Caos” 1 (Adicionado em 28/04/2009), com duração de
11min46seg, o vídeo original é em espanhol, porém em 2008 foi feita a narração em
língua portuguesa pelo acadêmico do curso de Licenciatura em Matemática
Alexandre Pereira Salgueirinho. Esse vídeo faz uma análise das irregularidades de
alguns elementos da natureza, que não se enquadram nas formas da geometria
clássica; apresenta a introdução da Geometria Fractal, e a define como uma nova
ferramenta para interpretar e explorar a natureza; demonstra a propriedade da auto-
similaridade, e as diferenças entre as dimensões da geometria euclidiana e as
obtidas na geometria fractal; explica os cálculos para se obter a dimensão fractal;
demonstra o processo de iteração através da construção do Floco de Neve de Koch
e do Triângulo de Sierpinski; destaca a função complexa que gera o Conjunto de
Julia, e fundamenta a construção do Conjunto de Mandelbrot.
Na sequência, abordar sobre a Geometria Fractal, seu processo histórico,
definições, características, exemplos de fractais primitivos e aplicação dos fractais
no campo científico. Será usada como metodologia a apresentação em slides.
Abaixo seguem os conteúdos que serão abordados:
1 O link para acesso do vídeo é http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/modules/debaser/singlefile.
php?id=13047
GEOMETRIA FRACTAL
Segundo as Diretrizes Curriculares da Educação Básica (2008, p.55) por volta
de 300 a.C., Euclides (325-265 a.C.) sistematizou o conhecimento geométrico
produzido até então na sua obra Elementos, dando cientificidade à Matemática,
constitui-se então, a chamada Geometria Euclidiana que engloba as geometrias
plana e espacial, bases fundamentais para estudo até os dias atuais.
Ao longo do tempo surgiram dúvidas sobre sua consistência, relacionadas em
grande parte ao quinto postulado de Euclides, de acordo com os estudos de Valim
(2008, p.1). Os matemáticos que buscaram demonstrar este postulado verificaram
através de seus estudos que o quinto postulado poderia ser rejeitado e substituído,
definindo as bases fundamentais para o surgimento de novas geometrias. Sendo
assim, as Diretrizes Curriculares (2008, p. 55-56) apontam que no final do século
XVIII e início do século XIX o conhecimento geométrico foi expandido pelos estudos
de Bolyai, Lobachevsky, Riemann e Gauss, surgiram então, as geometrias não-
euclidianas que compreendem a geometria projetiva (pontos de fuga e linhas do
horizonte); a geometria topológica (conceitos de interior, exterior, fronteira,
vizinhança, conexidade, curvas e conjuntos abertos e fechados) e a geometria dos
fractais.
A Geometria Fractal surgiu da necessidade de se representar os fenômenos
que envolvem a natureza, bem como suas formas que não se enquadram nos
padrões da Geometria Euclidiana. Essa Geometria busca definir padrões em meio a
irregularidades fragmentadas, para calcular as medidas dessas figuras que diferem
da dimensão topológica tradicional. Nesse sentido, os estudos de Barbosa (2005,
p.9) reafirmam que a Geometria Fractal está intimamente ligada a uma nova ciência
conhecida como CAOS, que busca padrões definidos e regulares em sistemas a
princípio aleatórios e caóticos, como é o caso das estruturas fractais.
O rápido aprimoramento das técnicas computacionais impulsionaram os
estudos de Benoit Mandelbrot e o levaram em 1975 a publicar seu livro intitulado
“Les objects fractals, forme, hassard et dimension” considerado o marco inicial para
essa teoria. As figuras complexas de suas pesquisas, conhecidas até então por
“monstros matemáticos” passaram a se chamar fractais, “... baseando-se no latim,
do adjetivo fractus, cujo verbo frangere correspondente significa quebrar, criar
fragmentos irregulares, fragmentar”. (BARBOSA, 2005, p.9).
Como afirma BARBOSA (2005, p.45-46), Pierre Fatou (1878-1929) e Gaston
Julia (1893-1978) foram dois franceses que separadamente realizaram trabalhos em
sistemas dinâmicos complexos, com o estudo de iterações de funções. Focaram
seus estudos na função f(z) = z2 + c (z complexo inicial e c complexo constante),
realizaram um trabalho fabuloso, numa época em que não existia tecnologia
desenvolvida, contribuindo dessa forma com as bases matemáticas para que
Mandelbrot construísse em 1980 com o auxílio da computação gráfica seu famoso
Conjunto de Mandelbrot (figura 1) e os famosos Conjuntos de Julia (figura 2).
As figuras fractais são tão complexas e abrangentes que as definições que
existem até agora sobre fractais ainda são consideradas pelos próprios matemáticos
como incompletas, Barbosa (2005, p.18-19) compila as principais em:
Barbosa (2005, p.18-19) compila as principais definições para fractais, mesmo
que ainda não se tenha uma definição considerada completa pelos estudiosos:
Para Mandelbrot “um fractal é, por definição, um conjunto para o qual a
dimensão Hausdorff - Besicovitch excede estritamente a dimensão topológica”.
J. Feder (1988) em sua obra complementa que “um fractal é uma forma cujas
partes se assemelham ao seu todo sob alguns aspectos”.
K.J. Falconer sugere em suas obras (1985 e 1990) que um conjunto F é fractal
se, por exemplo:
- “F possui alguma forma de “auto-similaridade” ainda que aproximada ou
estatística”;
- “A dimensão fractal, definida de alguma forma, é maior que a sua dimensão
topológica”;
Figura11: Imagem do Conjunto de Julia
Figura 1: Imagem do Conjunto de Mandelbrot Figura 2: Imagem do Conjunto de Julia
Fonte: http:/matimage.blogspot.com Fonte:http://commons.wikimedia.org/
Figura11: Imagem do Conjunto de Julia
- “O conjunto F pode ser expresso através de um procedimento recursivo ou
iterativo”.
De acordo com as definições apresentadas, os fractais possuem três
particularidades próprias, a primeira e mais importante é a da auto-similaridade, ou
seja, cada ínfima parte que forma o fractal é semelhante ao todo, são repetições de
si próprio. De modo análogo Carvalho; Silva; Boccia; Ribeiro; Boggio (1986, p.10)
denotam que “Uma forma que se repete dentro de si mesma de maneira semelhante
e independente de proporção ou escala é denominada auto-similar”.
Para Almeida; Martinelli; Rodrigues; Silva (p.3) “A auto-similaridade
aproximada ou estatística refere-se principalmente a objetos da natureza que não
são fractais exatos, mas podem ser muito bem descrito por eles, como por exemplo,
a estrutura da couve-flor”. Na figura 3 está ilustrada uma folha de samambaia, outro
exemplo de auto-similaridade encontrada na natureza, retirada do trabalho de
Salvador (2009, p. 4).
Figura 3: Os níveis fractais em cada ramo de uma Pteridófita.
Fonte: Salvador, 2009.
A segunda peculiaridade de acordo com o Guia do Professor – Fractais
(2010) é que
A dimensão dos fractais, ao contrário do que sucede na geometria euclidiana, não é necessariamente uma quantidade inteira. Com efeito, ela pode ser uma quantidade fracionária. A dimensão de um fractal representa o grau de ocupação deste no espaço, que tem a ver com o seu grau de irregularidade. (PARANÁ, 2010, p.4).
Observa-se na dimensão fractal que o número encontrado é usualmente
fracionário e está relacionado a questões como “... aspereza, espessura, densidade,
textura etc.” (BARBOSA, 2005, p.66), diferenciando-se da classificação euclidiana
onde a dimensão espacial é sempre igual à topológica, e sendo definido de forma
padronizada: 0 para ponto, 1 para reta, 2 para superfícies planas e 3 para figuras
espaciais.
Quanto à terceira propriedade, a da complexidade dos fractais, Serra e Karas
(1997, p.19-20) apontam que esta se acha intrincada com a ideia de caos. Quando
um objeto denota a princípio um padrão de desordem e irregularidade, dizemos que
é caótico, parecendo que não há lógica na formação da estrutura observada, como
ocorre com os fractais gerados por sistemas dinâmicos complexos. Na verdade,
estes são totalmente determinísticos, pois suas órbitas provêm primeiro, de uma
função que governa o sistema e segundo, do valor inicial que a variável assume.
As estruturas fractais devido às propriedades estudadas, importância e
aplicabilidade em diversas ciências se tornaram amplamente difundidas. Por
exemplo, as aplicações dos fractais na área da Educação Matemática vão desde a
simples apreciação das magníficas estruturas, motivando assim a busca pelo
conhecimento inerente a elas, até o desenvolvimento do raciocínio lógico, através da
exploração dos conceitos básicos da Geometria Euclidiana, do cálculo de dimensão,
perímetro e área, logaritmos, números complexos, sequências, porcentagem,
utilização de fórmulas e funções, noção de intervalos e conjuntos entre outros.
Os autores, Carvalho; Silva; Boccia; Ribeiro; Boggio (1986, p.7) referenciam
as aplicações dos fractais em outras ciências, como por exemplo, na meteorologia
para previsão de tempo; em mineralogia – prospecção de petróleo; na cristalografia;
na metalurgia para melhoramento das ligas; na fisiologia para detecção de
problemas cardíacos, intestinais, pulmonares; na geografia para estudo dos litorais,
correção de fronteiras entre países; na hidrologia – bifurcação de rios; nas artes,
podendo ser no cinema, através de efeitos especiais ou, na música como recurso
para composição e análise de peças eruditas.
Os autores afirmam ainda que os sistemas dinâmicos complexos, que geram
fractais por meio de processos iterativos na computação gráfica, são modelos
matemáticos que podem descrever vários fenômenos como: o movimento dos
planetas em torno do sol; as variações de temperatura, direção e velocidade do
vento; a pressão barométrica; quantidade de precipitação; reações químicas;
turbulência de fluídos; fenômenos ópticos; flutuações da bolsa de valores; preveem
o comportamento de conexões interindustriais; as vibrações de um avião em pleno
ar; a propagação de epidemias; além da compressão de arquivos de imagens.
C) ATIVIDADE 3:
CÁLCULO DA DIMENSÃO FRACTAL
Para entendermos a dimensão fractal, precisamos relembrar que na
geometria euclidiana, a dimensão espacial é sempre igual à topológica. Enquanto
que, na estrutura fractal, a dimensão espacial excede a topológica e o número
encontrado é usualmente fracionário.
Souza (2010, p.61) citado por SILVA (2011, p.87), salienta que a dimensão
fractal pode ser obtida através de diferentes métodos como: Dimensão de homotetia
ou de auto-similaridade; Dimensão de contagem de caixas ou de cobertura e
Dimensão de Hausdorff-Besicovitch. Souza e Barbosa (2005, p.66) optaram em
detalhar apenas o primeiro método.
Será apresentado a seguir os cálculos da dimensão de fractais geométricos2,
2 O processo de desenvolvimento e os cálculos foram adaptados do livro “Noções de Geometrias não
Euclidianas: hiperbólica, da superfície esférica e dos fractais”, de Karolina Barone Ribeiro da Silva (p.86-89).
possíveis pelo método de homotetia ou de auto-similaridade, como sugere SILVA
(2011, p.87), que embasa os desenvolvimentos a seguir.
Considere um segmento de reta de comprimento x e divida-o em p partes
iguais (congruentes). Usaremos como exemplo p = 3:
a) O segmento é dividido em 3 partes iguais, n = 3 e a razão de semelhança é r = ⅓
.
Qual a relação entre o número de partes obtidas e a razão de semelhança?
b) Para que o aluno entenda o que é dimensão e seu processo de cálculo, sugere-se
que a sequência seja demonstrada na reta, na figura plana e na figura espacial.
Considere um quadrado de lado l e divida cada lado em p partes iguais.
Qual a relação entre o número de quadrados e a razão de semelhança?
16 = 1 , ou seja, n = 1
¼ r2
x/3 x/3 x/3
x
x
Cada parte tem razão de
semelhança r = ⅓.
.
3 = 1 , ou seja , n = 1
⅓ r
Nesse caso usar p = 4.
Observe que são obtidos n = 16 quadrados,
tendo como razão de semelhança r = ¼ .
2
c) Considere um cubo de aresta A e divida cada aresta em p partes iguais.
Nesse caso usar p = 2.
São obtidos 8 cubos iguais com razão de semelhança
r = ½ .
Qual a relação entre o número de cubos obtidos e a razão de semelhança?
8 = 1 , ou seja, n = 1
½ r3
O expoente das razões de semelhança representa a dimensão de cada figura.
n = 1
rD
Aplicando logaritmo nos dois membros temos,
log n = log 1
rD
log n = log 1 – log rD
log n = 0 – D. log r
Lembrando-se que n (nº de partes que foi dividida a figura ) com nível ≠ 0 e r
(razão de semelhança de cada parte ).
Esta fórmula será usada para calcular a dimensão fractal das figuras
propostas nesta unidade didática.
3
log n = - D
log r
D = - log n
log r
D) ATIVIDADE 4: CONSTRUÇÃO DO CONJUNTO DE CANTOR E DA CURVA
DE PEANO NA MALHA QUADRANGULAR
Serão construídos na malha quadrangular do geogebra dois fractais que
surgiram antes da computação gráfica, o Conjunto de Cantor e a Curva de Peano, e
explorados os conteúdos matemáticos referentes a eles. Como sugestão de
atividade extraclasse será sugerida a construção da Curva de Hilbert.
Fazendo um resgate histórico dos fractais primitivos, temos segundo Silva
(2011, p.76), que o conjunto chamado “Conjunto de Cantor” ou “Poeira de Cantor”,
considerado um “monstro matemático”, foi construído em 1883, por Georg Cantor
(1845-1918), matemático russo que se naturalizou alemão.
Outro matemático o italiano Giuseppe Peano (1858-1932) publica em 1890 a
sua curva, com dimensão fractal igual a dois, o que nos leva a duas afirmações
segundo Carvalho; Silva; Boccia; Ribeiro; Boggio (1986, p.28), “A primeira é que a
curva cobre completamente o plano e a segunda diz que precisa haver uma
infinidade de pontos nos quais ela se intercepta.” Essa auto interceptação torna
impossível a determinação do caminho que a Curva de Peano percorre.
A construção do Conjunto de Cantor, e os cálculos referentes a ele, bem
como a construção da Curva de Peano serão embasadas no vídeo do Portal Dia a
Dia Educação “Fractais” 3 (Adicionado em 28/11/2011) referente ao Projeto
Prodocência 2006 - MEC/UFPR e CEMAFOP. As construções no vídeo são feitas
em papel quadriculado, uma sugestão é utilizar a malha quadrangular do geogebra
para que os alunos se familiarizem com as ferramentas que serão usadas nas
próximas construções. Sendo assim, segue abaixo na figura 4 a tela inicial do
geogebra - versão 4.2, com os ícones necessários e sua nomenclatura de acordo
com a opção do menu Ferramentas.
3 O endereço online para acesso ao vídeo é: http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/modules/
debaser/genre.php?genreid=45&letter=F&start=10 .
Figura 4: Ferramentas do geogebra
CONSTRUÇÃO DO CONJUNTO DE CANTOR NO GEOGEBRA
1. Vamos construir o Conjunto de Cantor seguindo os passos abaixo relacionados:
a) Abrir o geogebra e caso apareça o plano cartesiano é preciso removê-lo, para
isso clicar com o botão direito do mouse sobre ele e na janela que se abre clicar em
Movimento – Mover
Pontos – Novo ponto
Retas, segmentos, semirretas e vetores – Reta definida por Dois Pontos
Retas Especiais e Lugar Geométrico – Reta Perpendicular
Polígonos – Polígono
Círculos e Arcos – Círculo dados Centro e Um de seus Pontos
Cônicas – Elipse
Medidas – Ângulo
Transformações – Reflexão em Relação a uma Reta
Objetos Especiais – Inserir Texto
Interface Gráfica – Controle Deslizante
Gerais – Mover Janela de Visualização
eixos. Para exibir a malha no geogebra ir à Ferramenta – Exibir - na parte superior
da tela e clicar em malha;
b) Escolher no ícone referente a retas, segmentos, semirretas e vetores - segmento
com Comprimento Fixo4 - clicar na área de visualização marcando o ponto A e na
janela que se abre digitar 27 que será a medida usada para o segmento, sugestão
do vídeo para facilitar a construção;
c) Para fazer o nível 1, dividir o segmento inicial de 27cm em três partes iguais, de
9cm cada e retirar a parte central. E assim, sucessivamente para cada novo
segmento (figura 5);
Figura 5: 3 primeiros níveis do Conjunto de Cantor
4 “Se considerarmos uma reta r e sobre ela marcarmos dois pontos, A e B, distintos, o conjunto de
pontos formado pelo ponto A, pelo ponto B e por todos os pontos da reta que estão entre A e B é chamado segmento de reta”. (GIOVANNI; CASTRUCCI; GIOVANNI Jr., 2002, p.125).
CÁLCULOS RELACIONADOS AO CONJUNTO DE CANTOR
Na tabela 1 estão relacionados os cálculos referentes ao Conjunto de Cantor:
Iteração Comprimento de cada segmento para l = 1m
Número de segmentos
Comprimento total
0 1 ou ⅓ 0 1 ou 20
1
1 1/3 ou ⅓ 1 2 ou 21
2.1/3 ou 0,67cm
2 1/9 ou ⅓ 2 4 ou 22
4.1/9 ou 0,44cm
3 1/27 ou ⅓ 3 8 ou 23
8.1/27 ou 0,30cm
4 1/81 ou ⅓ 4 16 ou 24
16.1/81 ou 0,20cm
n ⅓ n 2n
2n. (1/3)n
Tabela 1: Cálculos referentes ao Conjunto de Cantor
Observações:
Se continuássemos indefinidamente as iterações, teríamos no último nível
uma poeira, por isso o nome do fractal “Poeira de Cantor”;
O número de segmentos aumenta após cada iteração tendendo ao infinito,
enquanto a soma tende a zero.
CONSTRUÇÃO DA CURVA DE PEANO NO GEOGEBRA
1. Vamos construir a Curva de Peano seguindo os passos abaixo relacionados:
a) Retirar os eixos, caso apareçam e exibir a malha quadriculada;
b) Escolher no ícone referente a retas, segmentos, semirretas e vetores - segmento
com Comprimento Fixo - clicar na área de visualização marcando o ponto A e na
janela que se abre digitar 27 que será a medida usada para o segmento, sugestão
do vídeo para facilitar a construção;
d) O nível 1 consiste em tomarmos a terça parte média do segmento e construir
sobre ele 2 quadrados. Como o segmento mede 27cm, os quadrados terão lados
iguais a 9cm. Para isso selecionar no ícone polígonos – polígono regular – clicar na
área de visualização demarcando os pontos C e D e na janela que se abre digitar 4
para indicar um quadrado5. Repetir o processo e clicar sobre os pontos na ordem
inversa, ou seja, D e C, e na janela que se abre digitar 4 ( figura 6);
Figura 6: Nível 1 da Curva de Peano
e) O nível 2 consiste em dividir cada um dos 9 segmentos novamente determinando
sua terça parte média, e construir novos quadrados sobre elas, e assim,
sucessivamente para os demais níveis ( figura 7);
5 “Quadrado é um quadrilátero que possui os quatro ângulos e os quatro lados de mesma medida”.
(GIOVANNI; CASTRUCCI; GIOVANNI Jr., 2002, p.137).
Figura 7: Nível 2 da Curva de Peano
CÁLCULOS RELACIONADOS À CURVA DE PEANO
Na tabela 2 estão os cálculos referentes à Curva de Peano:
Iteração Comprimento de cada segmento para l = 1m
Número de segmentos
Comprimento total
0 1 ou ⅓ 0 1 ou 90 1
1 1/3 ou ⅓ 1 9 ou 91 9.1/3 ou 3 cm
2 1/9 ou ⅓ 2 81 ou 92 81.1/9 ou 9 cm
3 1/27 ou ⅓ 3 729 ou 93 729.1/27 ou 27 cm
4 1/81 ou ⅓ 4 6561 ou 94 6561.1/81 ou 81 cm
n ⅓ n 9n 3n
Tabela 2: Cálculos referentes à Curva de Peano
E) ATIVIDADE 5: CONSTRUÇÃO DA CURVA DE KOCH NO GEOGEBRA6
Helge Von Koch foi um matemático polonês que apresentou em seus
trabalhos de 1904 e 1906 a Curva de Koch, sem tangente e passível de
modificações. Esta curva deve ter influenciado o trabalho de Mandelbrot, pois se
assemelha a uma linha costeira, como sugere BARBOSA (2005, p. 38).
1. Vamos construir a Curva de Koch seguindo os passos abaixo relacionados:
a) Remover o plano cartesiano;
b) Escolher no ícone referente a retas, segmentos, semirretas e vetores - segmento
definido por dois pontos - criar na área de visualização um segmento de reta ,
como mostra a figura 8;
c) Será necessário dividir o segmento de reta em três partes iguais, para isso
usaremos a divisão pelo processo da circunferência7. Na construção do Floco de
Neve de Koch, na sequência, usaremos uma metodologia diferente, a divisão pelo
Teorema de Tales, dando oportunidade para o professor explorar diferentes
conteúdos da geometria euclidiana.
Para tanto, selecionar no ícone círculos e arcos – círculo dados centro e raio – clicar
no ponto A e quando abrir a janela pedindo o raio, digitar a/3, o que significa que o
raio será à ⅓ parte do segmento AB (figura 9);
6 O processo de construção da Curva de Koch foi embasado no vídeo http://www.youtube.com/
watch?v=Zd EhqhSpTG4. Acesso em 15/11/12.
7 “... uma circunferência é uma linha fechada em um plano, em que todos os seus pontos estão a uma
mesma distância de um ponto fixo, chamado centro. Já um círculo é formado pela circunferência e por todos os pontos de seu interior”. (RIBEIRO, 2010, p.129).
AB
Figura 8: Nível 0 da Curva de Koch
d) Clicar no ponto B e quando abrir a janela pedindo o raio, digitar a/3 novamente;
e) Escolher no ícone pontos – intersecção de dois objetos – e nos pontos de
encontro do círculo com o segmento AB marcar os pontos C e D, clicando sobre
eles;
f) Escolher no ícone círculos e arcos – círculo dados centro e um de seus pontos -
criar um círculo clicando no ponto C e raio até o ponto A. Criar outro círculo clicando
no ponto D e raio até o ponto B;
g) Escolher no ícone pontos – intersecção de dois objetos – marcar o ponto E que é
o ponto de encontro dos dois círculos do item anterior, sobre o segmento este
ponto será o vértice do triângulo equilátero8 CED (figura 10);
8 “Triângulo equilátero: quando possui os três lados com a mesma medida”. (GIOVANNI;
CASTRUCCI; GIOVANNI Jr., 2002, p.136).
AB,
es,,
Figura 9: Círculo com raio ⅓
Figura 10: Divisão do segmento
h) Escolher no ícone referente a gerais – exibir/esconder objeto – clicar sobre os
quatro círculos e o segmento (que ficarão em negrito), ir ao primeiro ícone e
clicar sobre a flecha (mover), deixando na área de visualização apenas os pontos A,
B, C, D e E (figura 11);
i) Escolher no ícone retas, segmentos, semirretas e vetores – segmento definido por
dois pontos – criar os segmentos ;
j) Clicar sobre o segmento com o botão direito do mouse, e na janela que se
abre clicar em propriedades cor branco fechar. Esse processo fará com
que a base do triângulo fique oculta (figura 12);
O geogebra possibilita a criação de uma nova ferramenta que repete todo o
processo de construção, o que chamamos de iteração (repetição), ou seja, uma
macro construção.
AB
AC,
es,,
CE,
es,,
ED,
es,,
CD
;,
DB,
es,,
CD
;;,
CD
;;,
Figura 11: Pontos Curva de Koch
Figura 12: Nível 1 da Curva de Koch
k) Para realizar esse processo selecionar na parte superior da tela, no ícone
ferramentas – criar uma nova ferramenta – no quadro que se abre aparecerá –
Objetos Finais – será preciso inserir todos os objetos da construção. Para isso, clicar
sobre cada objeto na área de visualização, ou selecioná-los na lista de objetos, são
eles os pontos C, D, E e os segmentos b, g, h, i, j .
l) Clicar em próximo e aparecerão automaticamente nos Objetos Iniciais, os pontos A
e B;
m) Clicar em próximo e aparecerá um quadro para nominar a ferramenta, como
sugestão pode ser Curva de Koch. Depois clicar em concluído. A nova ferramenta
aparecerá como sendo o décimo terceiro ícone da parte superior;
n) Para repetir a iteração clicar sobre a nova ferramenta Curva de Koch e em
seguida sobre os pontos A e C, aparecerá a curva novamente. É preciso esconder o
segmento p, para isso repetir o processo do passo j, já mencionado;
o) Repetir o processo do passo n para os segmentos (figura 13);
Para se obter o fractal, as iterações seguem infinitamente, mas no geogebra elas
são limitadas. O fractal Curva de Koch será representado até a terceira iteração.
ED, CE, DB
Figura 13: Nível 2 da Curva de Koch
p) Seguindo o passo n, aplicar a ferramenta Curva de Koch nos segmentos
assim a terceira iteração como mostra a figura 14.
CÁLCULO DA DIMENSÃO FRACTAL DA CURVA DE KOCH9
Nível 0 Nível 1
No nível 1 o segmento é dividido em 4 partes, n = 4 e a razão de
semelhança é r = ⅓. Usando a fórmula da dimensão, temos,
9 Os cálculos sobre dimensão fractal das figuras abordadas neste material foram embasados no livro
Noções de Geometrias não Euclidianas: hiperbólica, da superfície esférica e dos fractais, de Karolina Barone Ribeiro da Silva, p.86-89.
AF,
es,,
FH,
es,,
HG,
es,,,
GC , CI,
es,,,
IK,
es,,
KJ,
es,,
JE,
es,,
EL,
es,,
LN,
es,,
NM,
es,,,
MD,
es,,,
DO,
es,,,
OQ,
es,,,
QP,
,
PB,
es,,
obtendo - se
Figura 14: Nível 3 da Curva de Koch
D = - log n D = - 2. log 2
log r - 0,4771
D = - log 4 D = - 0,602
log ⅓ - 0,4771
D = - log 22 D = 1,262
log 1 – log 3
OUTROS CÁLCULOS MATEMÁTICOS RELACIONADOS À CURVA DE KOCH10
A tabela 3 refere-se aos cálculos da Curva de Koch:
Nível da Curva Quantidade de
segmentos
Comprimento da
Curva para c =1m
Comprimento
total para c =1m
0 1 ou 40 ⅓ 0 = 1 1. ⅓ 0 = 1
1 4 ou 41 ⅓ 1 = 0,33 4. ⅓ 1 = 1,333
2 16 ou 42 ⅓ 2 = 0,111 16. ⅓ 2 = 1,777
3 64 ou 43 ⅓ 3 = 0,0041 64. ⅓ 3 =2,37
n 4n ⅓ n 4n. ⅓ n= ⅓ n
Quando n tende ao infinito o número de segmentos também tende ao infinito.
O comprimento total da figura no nível n será o número de segmentos neste nível,
ou seja, 4n , sendo que cada um mede ⁄ n, portanto, CT = ⁄ n .
10 Os cálculos referentes a Curva de Koch foram embasados no trabalho de Julia Satiko Kawamoto
Macedo, intitulado Fractais – uma abordagem em sala de aula com o auxílio de softwares geométricos.
4
Tabela 3: Cálculos da Curva de Koch
F) ATIVIDADE 6: CONSTRUÇÃO DO FLOCO DE NEVE DE KOCH NO
GEOGEBRA11
Se iniciarmos o fractal a partir de um triângulo equilátero, obteremos o
famoso “Floco de Neve”, recebendo esta denominação por se assemelhar segundo
Carvalho; Silva; Boccia; Ribeiro; Boggio (1986) a flocos de gelo, sendo que estes
graciosos cristais mostram um contorno irregular e serrilhado, análogo ao da curva
criada por Koch.
1) Vamos construir o Floco de Neve de Koch seguindo os passos abaixo
relacionados:
a) Abrir o geogebra e caso apareça o plano cartesiano é preciso removê-lo, para
isso clicar com o botão direito do mouse sobre ele e na janela que se abre clicar em
eixos;
b) Selecionar no ícone polígonos – polígono regular12 – clicar na área de
visualização demarcando os pontos A e B e na janela que se abre digitar 3 para
indicar um triângulo ( figura 15);
11 O processo de construção do Floco de Neve de Koch foi embasado no trabalho de Julia Satiko
Kawamoto Macedo, intitulado Fractais – uma abordagem em sala de aula com o auxílio de softwares geométricos.
12 “Um polígono é regular quando todos os seus lados são congruentes entre si e todos os seus
ângulos são congruentes entre si”. (BIANCHINI, 2006, p. 212).
Figura 15: Nível 0 do Floco de Neve de Koch
c) Será preciso refazer o processo de construção da Curva de Koch, nesse
momento será usada outra metodologia, a divisão pelo Teorema de Tales13. No
ícone retas, segmentos, semirretas e vetores selecionar – segmento definido por
dois pontos – criar o segmento , fora do triângulo e um outro segmento em
tamanho menor, que será a nossa unidade posterior para o raio ( figura 16);
d) Na opção retas, segmentos, semirretas e vetores selecionar – semirreta definida
por dois pontos – criar uma semirreta14 que parta de D e forme um ângulo agudo15
com o segmento (figura 17);
13 “Se duas retas são transversais a um feixe de retas paralelas, então a razão entre dois segmentos
quaisquer de uma delas é igual à razão entre os segmentos correspondentes da outra”. (IEZZI, 2010, p. 246).
14 “A semi-reta é uma parte da reta, tem origem e é infinita num só sentido”. (GIOVANNI;
CASTRUCCI; GIOVANNI Jr., 2002, p.125).
15 “Denominamos ângulo agudo todo ângulo cuja medida é menor que a medida de um ângulo reto”.
(GIOVANNI; CASTRUCCI; GIOVANNI Jr., 2002, p.189).
FG DE
s,,,
DE
Figura 16: Passo I de construção da Curva de Koch
e) Agora dividiremos o segmento em três partes iguais, para isso selecionar no
ícone círculos e arcos – círculo dados centro e raio – clicar no ponto D e quando
abrir a janela pedindo o raio, digitar 1,54 cm, valor do segmento que representa
o valor do raio a ser utilizado;
f) Escolher no ícone pontos – intersecção de dois objetos – marcar o ponto I que é o
ponto de encontro do círculo com o segmento . Refazer o processo do passo
anterior para encontrar o círculo com centro em I e com centro em J, demarcando
pela intersecção o ponto K (figura 18);
DE
s,,,
FG,
DH
.
Figura 17: Passo II de construção da Curva de Koch
Figura 18: Passo III de construção da Curva de Koch
g) Na opção retas, segmentos, semirretas e vetores selecionar – semirreta definida
por dois pontos – criar uma semirreta que ligue os pontos E e K. Na opção retas
especiais e lugar geométrico selecionar – reta paralela16 – clicar sobre o segmento
Arrastar o mouse e clicar no ponto J, e depois no ponto I, definindo as paralelas que
cortam o segmento
No ícone pontos – intersecção de dois objetos – marcar os pontos L e M que é o
ponto de encontro das paralelas com o segmento . (figura 19);
h) Escolher no ícone referente a gerais – exibir/esconder objeto – clicar sobre os três
círculos, as duas paralelas, o segmento o segmento , o segmento e os
pontos I, J, K, ir ao primeiro ícone e clicar sobre a flecha (mover), deixando na área
de visualização apenas o triângulo ABC, o segmento e os pontos D, E, H, L e M
(figura 20);
16 “Duas retas, r e s, são paralelas se, e somente se, são coplanares e não têm ponto comum”.
(RIBEIRO, 2010, p. 44).
EK.
DE.
DE
DE, DH
,
EK,
FG,
Figura 19: Passo IV de construção da Curva de Koch
i) Selecionar no ícone retas, segmentos, semirretas e vetores – segmento definido
por dois pontos - ligar os pontos e .
Agora será necessário construir um triângulo equilátero nos pontos M e L, para isso,
selecionar no ícone círculos e arcos – círculo dados centro e um de seus pontos –
clicar no ponto M, arrastar o mouse até o ponto D e clicar sobre ele. Da mesma
forma, clicar no ponto L, arrastar o mouse até o ponto E e clicar sobre ele. Escolher
no ícone pontos – intersecção de dois objetos – marcar o ponto N que é o ponto de
encontro do círculo p com o círculo q e será o vértice do triângulo (figura 21);
DM LE
Figura 20: Passo V de construção da Curva de Koch
Figura 21: Passo VI de construção da Curva de Koch
j) Selecionar no ícone retas, segmentos, semirretas e vetores – segmento definido
por dois pontos - ligar os pontos e . Escolher no ícone referente a gerais –
exibir/esconder objeto – clicar sobre os círculos p e q, e clicar sobre o ícone
movimento, selecionando – mover (figura 22).
k) O geogebra possibilita o processo de macro construção para repetir todas as
etapas anteriores para cada segmento do triângulo. Para realizar esse processo
selecionar na parte superior da tela, no ícone ferramentas – criar uma nova
ferramenta – no quadro que se abre aparecerá – Objetos Finais – será preciso
inserir alguns objetos da construção. Para isso, clicar sobre cada objeto na área de
visualização, ou selecioná-los na lista de objetos, são eles os pontos L, M, N e os
segmentos r e s .
l) Clicar em próximo e aparecerão automaticamente nos Objetos Iniciais, os pontos
D, E e H;
m) Clicar em próximo e aparecerá um quadro para nominar a ferramenta, como
sugestão pode ser Floco de Neve de Koch. Depois clicar em concluído. A nova
ferramenta aparecerá como sendo o décimo terceiro ícone da parte superior;
n) Para repetir a iteração clicar sobre a nova ferramenta Floco de Neve de Koch e
em seguida sobre os pontos ACB, aparecerá à curva sobre o segmento AC.
MN LN
Figura 22: Passo VII de construção da Curva de Koch
Clicar sobre os pontos CBA e aparecerá à curva aplicada sobre o segmento BC.
Clicar sobre os pontos BAC e aparecerá à curva sobre o segmento AB (figura 23).
o) Repetir o processo para cada novo segmento. Lembrando que para se obter o
fractal Floco de Neve de Koch as iterações seguem infinitamente, porém, no
geogebra elas serão limitadas até a terceira iteração. Abaixo estão a segunda e
terceira iterações (figura 24 e 25).
Figura 23: Nível 1 da Curva de Koch
Figura 24: Nível 2 da Curva de Koch
CÁLCULO DA DIMENSÃO FRACTAL DO FLOCO DE NEVE DE KOCH
Nível 0 Nível 1
No nível 1 cada segmento foi substituído por quatro novos segmentos, nesse
caso n= 4 e cada segmento tem razão de semelhança igual a
, portanto, r = ⅓ .
D = - log n D = - 2 log 2
log r 0 – 0,4771
Figura 25: Nível 3 da Curva de Koch
D = - log 4 D = - 2. 0,3010
log ⅓ - 0,4771
D = - log 22 D = 1,262
log 1 – log 3
OUTROS CÁLCULOS MATEMÁTICOS RELACIONADOS AO FLOCO DE NEVE
DE KOCH17
Na tabela 4 e 5 estão os cálculos referentes ao Floco de Neve de Koch:
Nível do Fractal
Números de segmentos
Comprimento do lado
Perímetro do fractal Perímetro para c= 1
0 3 C P= 3.c P = 3
1
3.4 = 12
c. ⅓ 1
P= 3. ⁄ 1 . c
P= 3. ⁄ . c
P = 4
2
3.42 = 48
c. ⅓ 2
P= 3. ⁄2 . c
P= 3. ⁄2 . c
P= ⁄ = 5,33
3
3.43 = 192
c. ⅓ 3
P= 3. ⁄3 . c
P= 3. ⁄3 . c
P= ⁄ = 7,11
4
3.44 = 768
c. ⅓ 4
P= 3. ⁄4 . c
P= 3. ⁄4 . c
P= ⁄ = 9,48
n
3.4n
c. ⅓ n
P= 3. ⁄n . c
P=
17 Os cálculos referentes ao perímetro e área ao Floco de Neve de Koch foram adaptados do livro
“Descobrindo a Geometria Fractal para a sala de aula” de BARBOSA e do livro “Fractais - Uma breve introdução” de CARVALHO; SILVA; BOCCIA; RIBEIRO; BOGGIO.
Tabela 4: Cálculos referentes ao Floco de Neve de Koch
Nível do Fractal
Nº de triângulos
Área de cada triângulo
Área total do fractal
Área do fractal para l =1
0 1 A =
√
A =
√
A =
√
A= 0,433
1
3
A= . √
A=3. . √
A= . √
A = √
+ .
A= 0,5773
2
12
A= . √
A= 12 . . √
A= . √
A = √
+ .
+ .
3
48
A= . √
A= 48. . √
A= . √
A = √
+ .
+ .
+ .
N
3.4 n-1
A= . √
A= . √
A = √
+ . + ...
.
√
√
√
√
√
√
√
√
Tabela 5: Cálculos referentes ao Floco de Neve de Koch
Observação:
O perímetro e a área do Floco de Neve de Koch aumentam infinitamente.
G) ATIVIDADE 7: CONSTRUÇÃO DO QUADRADO DE KOCH NO GEOGEBRA
Se iniciarmos a figura fractal com um quadrado, obteremos o Quadrado de
Koch.
1. Vamos construir o Quadrado de Koch seguindo os passos abaixo relacionados:
a) Abrir o geogebra e caso apareça o plano cartesiano é preciso removê-lo, para
isso clicar com o botão direito do mouse sobre ele e na janela que se abre clicar em
eixos;
b) Selecionar no ícone polígonos – polígono regular – clicar na área de visualização
demarcando os pontos A e B e na janela que se abre digitar 4 para indicar um
quadrado (figura 26);
c) Será necessário dividir cada segmento de reta que forma o quadrado em cinco
partes iguais, para isso usaremos a divisão pelo processo da circunferência.
Selecionar no ícone círculos e arcos – círculo dados centro e raio – clicar no ponto A
e quando abrir a janela pedindo o raio, digitar a/5, o que significa que o raio será à
⁄ parte do segmento AB. Da mesma forma clicar no ponto B e quando abrir a janela
pedindo o raio, digitar a/5 novamente (figura 27);
Figura 26: Nível 0 do Quadrado de Koch
d) Escolher no ícone pontos – intersecção de dois objetos – e nos pontos de
encontro dos círculos com o segmento AB marcar os pontos E e F, clicando sobre
eles;
f) Escolher no ícone círculos e arcos – círculo dados centro e raio - criar um círculo
clicando no ponto E e raio a/5. Criar outro círculo clicando no ponto F e raio a/5;
g) Escolher no ícone pontos – intersecção de dois objetos – marcar o ponto G,
encontro do círculo com o segmento da mesma forma marcar o ponto H, ponto
de encontro do círculo com o segmento (figura 28);
AB
es,,
AB,
es,,
Figura 27: Passo I para divisão do segmento
Figura 28: Passo II para divisão do segmento
h) Proceder da mesma forma com os outros três lados do quadrado, demarcando
após as intersecções dos círculos com os segmentos, os pontos I, J, K, L, M, N, O,
P, Q, R, S e T. Para ocultar os círculos, selecionar no ícone referente a gerais –
exibir/esconder objeto – clicar sobre todos os círculos e no primeiro ícone clicar
sobre a flecha (mover) como mostra a figura 29;
i) Selecionar no ícone retas, segmentos, semirretas e vetores – segmento definido
por dois pontos - ligar os pontos que dividem cada lado do quadrado inicial, obtendo
assim 25 quadrados menores (figura 30);
Figura 29: Passo III para divisão do segmento
Figura 30: Passo IV para divisão do segmento
j) Agora será preciso delimitar os 25 quadrados como figuras individuais.
Para o desenho não ficar “sobrecarregado” pelos vértices novos selecionar no
menu superior da tela o ícone opções - rotular - menos para os objetos novos, isso
fará com que nos quadrados novos não apareçam as letras correspondentes aos
novos vértices.
Em seguida selecionar no ícone polígonos – polígono regular – clicar nos
pontos A e E e na janela que se abre digitar 4 para formar o quadrado que será a
figura 2. Clicar sobre os pontos E e G e na janela que se abre digitar 4 para formar o
quadrado que será a figura 3. Clicar sobre os pontos G e H e na janela que se abre
digitar 4 para formar o quadrado que será a figura 4 e proceder assim para os
demais quadrados (figura 31).
k) Será preciso ocultar alguns quadrados anteriores, para criarmos a figura geradora
do fractal Quadrado de Koch. São eles os polígonos 2, 3, 5, 6, 7, 11, 17, 21, 22, 23,
25, 26. Para isso, clicar duplamente sobre cada um dos polígonos citados acima (na
janela de álgebra), e no quadro que se abre clicar em propriedades - definir a cor
branca e na opção estilo padronizar a transparência para 100%.
Para ocultar as letras dos vértices, clicar com o botão direito do mouse
sobre o ponto e no quadro que se abre clicar em exibir rótulo. Da mesma forma
podem ser ocultados todos os pontos fora da figura (figura 32);
Figura 31: Passo V para divisão do segmento
l) Agora para criar a ferramenta que fará as próximas iterações, selecionar na opção
do menu (parte superior da tela) – criar uma nova ferramenta - no quadro que se
abre aparecerá – Objetos Finais – será preciso inserir todos os polígonos da figura
geradora, para isso, clicar sobre cada um deles na área de visualização, ou
selecioná-las na lista de objetos, são eles os polígonos 3, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15,
17, 18, 19, 23;
m) Clicar em próximo e aparecerão automaticamente nos Objetos Iniciais, os pontos
A e B;
n) Clicar em próximo e aparecerá um quadro para nominar a ferramenta, como
sugestão pode ser Quadrado de Koch. Depois clicar em concluído. A nova
ferramenta aparecerá como sendo o décimo terceiro ícone da parte superior;
o) Para repetir a iteração clicar sobre a nova ferramenta Quadrado de Koch e em
seguida sobre os vértices que formam cada polígono (figura 33);
Figura 32: Nível I do Quadrado de Koch
p) Repetir o processo para cada novo quadrado. Lembrando que para se obter o
fractal Quadrado de Koch as iterações seguem infinitamente, no geogebra, porém,
elas serão limitadas até a terceira iteração (figura 34).
Figura 33: Nível 2 do Quadrado de Koch
Figura 34: Nível 3 do Quadrado de Koch
CÁLCULO DA DIMENSÃO FRACTAL DO QUADRADO DE KOCH
Nível 0 Nível 1
No nível 1 temos 13 quadrados válidos, nesse caso n= 13 e a base foi dividida
em 5, tendo razão de semelhança igual a
, portanto, r = ⁄ .
D = - log n D = - 1,1139
log r 0 – log 5
D = - log 13 D = - 1,1139
log ⁄ - 0,6989
D = - 1,1139 D = 1,5937
log 1 – log 5
OUTROS CÁLCULOS MATEMÁTICOS RELACIONADOS AO QUADRADO DE
KOCH
Na tabela 6 e 7 estão os cálculos referentes ao Quadrado de Koch:
Nível do Fractal
Nº de quadrados válidos
Comprimento de cada lado
Perímetro de cada figura
Perímetro do fractal para c=1
0 1 ou 130 c P= 4.c
P = 4
1
13 ou 131
P= 13. 4.
P =
P =
P = 10,4
2
169 ou 132
P= 169. 4.
P =
P=
P= 27,04
3
2197 ou 133
P= 2197. 4 .
P =
P=
P = 70,304
n
13n
P= 13n . 4 .
P = 4 .
. c
P= 4 .
n
Tabela 6: Cálculos referentes ao Quadrado de Koch
n
Nível do Fractal
Nº de quadrados
válidos
Área de cada quadrado
Área do fractal Área do fractal para l =1
0 1 ou 130
A = A = A = 1
1
13 ou 131
A=
.
A= 13 . .
A= .
A =
A = 0,52
2
169 ou 132
A= .
A= 169 . .
A= .
A =
A = 0,2704
3
2197 ou 133
A= .
A= 2197 . .
A= .
A =
A = 0,1406
n
3n
A= .
A= .
A=
n
Tabela 7: Cálculos referentes ao Quadrado de Koch
n
Observações:
O perímetro do Quadrado de Koch é aproximadamente (160%) maior que
o perímetro do fractal do nível anterior.
A área do Quadrado de Koch é aproximadamente (52%) menor que a
área do fractal do nível anterior. Portanto, a área tende a zero.
O perímetro aumenta e a área diminui.
H) ATIVIDADE 8: CONSTRUÇÃO DO TRIÂNGULO DE SIERPINSKI NO
GEOGEBRA18
De acordo com SILVA (2011, p.81) o matemático polonês Waclaw Sierpinski
(1882-1969), apresentou em 1916, seu famoso “monstro matemático”, a Curva de
Sierpinski. Se continuarmos a construção da Curva, com novas iterações “...
verificar-se-á que vão sendo cobertos sucessivamente triângulos equiláteros dos
sucessivos 3 cantos, excetuando-se os triângulos equiláteros centrais; segue,
então, o que é denominado Triângulo de Sierpinski”. (BARBOSA, 2005, p. 42).
1. Vamos construir o Triângulo de Sierpinski seguindo os passos abaixo
relacionados:
a) Abrir o geogebra e caso apareça o plano cartesiano é preciso removê-lo, para
isso clicar com o botão direito do mouse sobre ele e na janela que se abre clicar em
eixos;
b) Selecionar no ícone polígonos – polígono regular – clicar na área de visualização
demarcando os pontos A e B e na janela que se abre digitar 3 para indicar um
triângulo equilátero (figura 35);
18 A construção do Triângulo de Sierpinski no geogebra e o seu desenvolvimento foram adaptados do
site www.youtube.com/v/jk5_zhNHre8&fs=1&source=uds&autoplay=1.
c) Agora será criada a ferramenta que fará as iterações para a construção do
Triângulo de Sierpinski. Na opção do menu (parte superior da tela) selecionar no
ícone ferramentas – criar uma nova ferramenta – irá abrir uma janela para digitar os
objetos finais, que deverão ser selecionados na lista ou apenas clicando sobre eles:
* segmentos a, b, c; pontos A, B e C e triângulo polígono 1, depois clicar em
concluído.
Na opção objetos iniciais aparecerá automaticamente os pontos A e B, clicar em
concluído. Na opção nomear a ferramenta, como sugestão pode ser Triângulo de
Sierpinski e novamente clicar em concluído. Após criar a ferramenta esta aparecerá
no menu superior como décimo terceiro ícone;
d) Antes de aplicar a nova ferramenta, é preciso definir os pontos médios de cada
lado do triângulo, para isso selecionar no ícone pontos – ponto médio19 ou centro - e
clicar sobre os vértices A e C, B e C e A e B ou sobre os segmentos de cada lado
(figura 36);
19 “Um ponto M, interno a um segmento AB é denominado ponto médio do segmento AB se M divide
AB em dois segmentos congruentes”. (GIOVANNI; CASTRUCCI; GIOVANNI Jr., 2002, p.185).
Figura 35: Nível 0 do Triângulo de Sierpinski
Figura 36: Pontos médios dos lados do triângulo
e) Para repetir a iteração clicar sobre a nova ferramenta criada Triângulo de
Sierpinski e em seguida sobre os pontos D e F (sentido anti-horário);
f) Para mudar a cor de ambos os triângulos, clicar sobre cada um deles com o botão
direito do mouse, na janela de visualização ou na janela de álgebra, no quadro que
se abre clicar em propriedades, escolher a cor e no estilo o tom da cor
(transparência) como mostra a figura 37;
g) O próximo passo é definir os novos pontos médios entre cada novo segmento,
são eles: (figura 38);
h) Usar a ferramenta Triângulo de Sierpinski e fazer a segunda iteração, clicando
nos pontos M e H, I e J, K e L. Para mudar a cor dos novos triângulos seguir o passo
f anterior (figura 39);
AF, FB, BE, EC, CD e DA
Figura 37: Nível 1 do Triângulo de Sierpinski
Figura 38: Pontos médios dos segmentos
i) Determinar os pontos médios de cada novo segmento e usar a ferramenta
Triângulo de Sierpinski para fazer a terceira, quarta e quinta iterações (figuras 40,
41, 42);
Figura 39: Nível 2 do Triângulo de Sierpinski
Figura 40: Nível 3 do Triângulo de Sierpinski
Figura 42: Nível 5 do Triângulo de Sierpinski
Figura 41: Nível 4 do Triângulo de Sierpinski
CÁLCULO DA DIMENSÃO FRACTAL DO TRIÂNGULO DE SIERPINSKI
Nível 0 Nível 1
Nível 0 Nível 1
No nível 1 temos 3 triângulos válidos e a base foi dividida em 2 partes,
portanto, r = ½
D = - log n D = - 0,4771
log r 0 – 0,3010
D = - log 3 D = - 0,4771
log ½ - 0,3010
D = - log 3 D = 1,585
log 1 – log 2
OUTROS CÁLCULOS MATEMÁTICOS RELACIONADOS AO TRIÂNGULO DE
SIERPINSKI 20
Na tabela 8 e 9 estão os cálculos referentes ao Triângulo de Sierpinski:
20
Os cálculos referentes ao perímetro e área do Triângulo de Sierpinski foram adaptados do livro
“Descobrindo a Geometria Fractal para a sala de aula” de BARBOSA.
Nível do Fractal
Nº de triângulos válidos
Comprimento de cada lado
Perímetro de cada figura
Perímetro do fractal para c=1
0 1 ou 30 c P= 3.c P = 3
1
3 ou 31
P= 3. 3.
P =
P =
P = 4,5
2
9 ou 32
P= 9. 3.
P =
P=
P= 6,75
3
27 ou 33
P= 27. 3.
P =
P=
P = 10,12
4
81 ou 34
P= 81. 3.
P =
P=
P = 15,18
N
3n
P= 3n . 3 .
P = 3 .
. c
P= 3 .
n
n
Tabela 8: Cálculos referentes ao Triângulo de Sierpinski
Nível do Fractal
Nº de triângulos válidos
Área de cada triângulo
Área do fractal Área do fractal para l =1
0 1 ou 30
A = √
A =
√
A =
√
1
3 ou 31
A= . √
A=3. . √
A= . √
A = .
A =
2
9 ou 32
A= . √
A= 9 . . √
A= . √
A = .
A =
3
27 ou 33
A= . √
A= 27 . . √
A= . √
A = .
A =
4
81 ou 34
A= . √
A= 81. . √
A= . √
A = .
A =
N
3n
A= . √
A= .
√
A=
√
√
2
√
√
3
√
√
4
√
√
n
√
n
Tabela 9: Cálculos referentes ao Triângulo de Sierpinski
Observações:
O perímetro do Triângulo de Sierpinski é aproximadamente (50%) maior
que o perímetro do fractal do nível anterior.
A área do Triângulo de Sierpinski é aproximadamente (75%) menor que a
área do fractal do nível anterior. Portanto, a área tende a zero.
O perímetro aumenta e a área diminui.
I) ATIVIDADE 9: CONSTRUÇÃO DO TAPETE DE SIERPINSKI NO GEOGEBRA
O Tapete ou Carpete de Sierpinski é obtido pela remoção do quadrado
central.
1. Vamos construir o Tapete de Sierpinski seguindo os passos abaixo relacionados:
a) Abrir o geogebra e caso apareça o plano cartesiano é preciso removê-lo, para
isso clicar com o botão direito do mouse sobre ele e na janela que se abre clicar em
eixos;
b) Selecionar no ícone polígonos – polígono regular – clicar na área de visualização
demarcando os pontos A e B e na janela que se abre digitar 4 para indicar um
quadrado (figura 43);
c) Selecionar no ícone círculos e arcos – círculo dados centro e raio – clicar no ponto
A e quando pedir o valor do raio digitar a/3, o que significa que o raio será a ⅓ parte
do segmento AB;
es,,
Figura 43: Nível 0 do Tapete de Sierpinski
d) Clicar no ponto B e digitar a/3 no valor do raio novamente. Seguindo o processo,
clicar no ponto D e digitar no valor do raio d/3. Clicar no ponto C e digitar no valor do
raio b/3 (figura 44);
e) Selecionar no ícone pontos – intersecção de dois objetos – clicar sobre os pontos
de encontro dos círculos com os segmentos que formam o quadrado, sendo
definidos os pontos E, F, G, H, I, J, K, L;
f) Selecionar no ícone referente a gerais – exibir/esconder objeto – clicar sobre os
quatro círculos e no primeiro ícone clicar sobre a flecha para mover (figura 45);
Figura 44: Passo I para construção do Tapete de Sierpinski
Figura 45: Passo II para construção do Tapete de Sierpinski
g) Selecionar no ícone retas, segmentos, semirretas e vetores – segmento definido
por dois pontos - ligar os pontos (figura 46);
h) Selecionar no ícone polígonos – polígono regular – clicar no quadrado central
demarcando os pontos M e N e na janela que se abre digitar 4, definindo o quadrado
que será o polígono 2;
i) Clicar duplamente sobre o polígono 2 (na janela de álgebra), no quadro que se
abre clicar em propriedades - definir a cor e na opção estilo padronizar a
transparência para 100%, se quiser a cor na íntegra;
j) Para mudar a cor do polígono 1, seguir o passo i como mostra a figura 47;
LG;
es,,
KH;
es,,
EJ e
es,,,
FI
es,,
Figura 46: Passo III para construção do Tapete de Sierpinski
Figura 47: Nível 1 do Tapete de Sierpinski
k) Agora para criar a ferramenta que fará as próximas iterações, selecionar na opção
do menu (parte superior da tela) – criar uma nova ferramenta - no quadro que se
abre aparecerá – Objetos Finais – será preciso inserir todos os objetos da
construção, para isso, clicar sobre cada objeto na área de visualização, ou
selecioná-los na lista de objetos, são eles os pontos C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N,
O, P, os segmentos a, b, c, d, i, j, k, l, m, n, p, q e os polígonos 1 e 2;
l) Clicar em próximo e aparecerão automaticamente nos Objetos Iniciais, os pontos A
e B;
m) Clicar em próximo e aparecerá um quadro para nominar a ferramenta. Como
sugestão usar Tapete de Sierpinski e depois clicar em concluído. A nova ferramenta
aparecerá como sendo o décimo terceiro ícone da parte superior;
n) Para repetir a iteração clicar sobre a nova ferramenta Tapete de Sierpinski e em
seguida sobre os pontos A e E, E e F, F e B, e assim sucessivamente. Para mudar
a cor do polígono 1, seguir o passo i. No ícone gerais, pode-se clicar em –
exibir/esconder rótulo – e apagar todos os pontos que aparecem para melhorar a
visualização. Para mudar a cor do quadrado central de cada um, refazer o passo i
já citado (figuras 48 e 49).
Figura 48: Nível 2 do Tapete de Sierpinski
CÁLCULO DA DIMENSÃO FRACTAL DO TAPETE DE SIERPINSKI
Nível 0 Nível 1
No nível 1 temos 8 quadrados válidos e a base foi dividida em 3, portanto, r = ⅓.
D = - log n D = - 3. log 2
log r - 0,4771
D = - log 8 D = - 0,903
log ⅓ - 0,4771
D = - log 23 D = 1,893
log 1 – log 3
Figura 49: Nível 3 do Tapete de Sierpinski
OUTROS CÁLCULOS MATEMÁTICOS RELACIONADOS AO TAPETE DE
SIERPINSKI
Nas tabelas 10 e 11 estão os cálculos referentes ao Tapete de Sierpinski:
Nível do
Fractal
Número de
quadrados
válidos
Comprimento
de cada lado
Perímetro de cada
figura
Perímetro do fractal
para c=1
0 1 ou 80 C P= 4.c P = 4
1
8 ou 81
P= 8. 4.
P =
P =
P = 10,67
2
64 ou 82
P= 64. 4.
P =
P=
P= 28,44
3
512 ou 83
P= 512. 4.
P =
P=
P = 75,85
N
8n
P= 8n. 4.
P = 4. n. c
P= 4. n
Tabela 10: Cálculos referentes ao Tapete de Sierpinski
Nível do
Fractal
Nº de quadrados
válidos
Área de cada
quadrado
Área do fractal Área do fractal
para l =1
0 1 ou 80 1 A = l2 A = 1
1
8 ou 81
A= 8. . l2
A= . l2
A =
A = 0,89
2
64 ou 82
A= 64 . . l2
A= . l2
A =
A = 0,79
3
512 ou 83
A= 512. . l2
A= . l2
A =
A = 0,70
N
8n
A= 8n. . l2
A= . l2
A= n
Observações:
O perímetro do Tapete de Sierpinski é aproximadamente (166%) maior
que o perímetro do fractal do nível anterior.
A área do Tapete de Sierpinski é aproximadamente (88%) menor que a
área do fractal do nível anterior.
O perímetro aumenta e a área diminui.
n
n
1
2
3
Tabela 11: Cálculos referentes ao Tapete de Sierpinski
J) ATIVIDADE 10: APLICAÇÃO CIENTÍFICA DOS FRACTAIS
Os fractais representam uma grande descoberta para a Matemática e
nessas poucas décadas de existência se propagaram rapidamente não só pelo
visual excêntrico das suas formas, mas também pela diversidade de aplicações em
inúmeras outras ciências.
Nessa ênfase, serão apresentadas aos professores na sequência das
atividades da oficina pedagógica algumas aplicações dos fractais através da
apresentação em slides.
Por exemplo, na área da Medicina, a dimensão fractal é muito importante para
o estudo dos órgãos, tecidos e sistemas do corpo humano, além do diagnóstico de
algumas doenças. Como se refere Diniz (2006), citado por Fernandes (2007), a
dimensão fractal pode ajudar na
“...identificação de alguns tipos de câncer de boca, a geometria fractal ajuda a medir a tortuosidade da borda que o tumor se encontra. Utilizando o método de contagem de caixas, é possível descobrir o grau de infiltração da doença, quanto mais agressivo, mais infiltrativo será seu crescimento. Logo a linha de fronteira entre os tecidos ocupa um espaço mais denso, pois quanto mais rugoso maior a dimensão, essa avaliação indica as chances de a doença evoluir para um estágio mais grave. Este estudo é muito importante, já que um prognóstico, ou seja, antecipação desenvolvimento da doença, aumentaria consideravelmente as chances de recuperação do paciente, lembrando que o câncer bucal é um dos que apresenta maior dificuldade de diagnóstico”. (FERNANDES, 2007, p.31)
Na amostra de tecido bucal da figura 50, de acordo com Fernandes (2007),
“sua dimensão fractal será maior que 1 o que pode ser considerado um tumor
malígno, pois a fronteira é mais tortuosa e ocupa um número grande de caixas”.
Fonte: Monografia “Fractais: Uma nova visão da Matemática”, de Jaqueline Aparecida Fernandes.
Conforme Barreto (2001), citado por Fernandes (2007) outra aplicação dos
fractais, é referente a um estudo feito pela Universidade Federal do Rio de Janeiro,
que associa Biologia e geometria na tentativa de “medir o contorno de habitats, para
a partir disto, saber como a irregularidade influencia determinadas espécies na
escolha do local para viver, oferecendo abrigo e proteção contra predadores e
variações climáticas”.
Como visto a aplicação dos fractais tanto na medicina quanto na Biologia
busca contribuir para a melhoria da qualidade de vida das diferentes espécies
animais.
Em relação à área da Física no site “Prisma - À luz da Física”, criado pelo
CFTC - Centro de Física Teórica e Computacional, pode-se observar várias
aplicações dos fractais, como é o caso das antenas para aparelhos celulares
móveis, segundo eles, as antenas fractais, diferem dos modelos tradicionais, pois,
funcionam muito bem em várias frequências simultaneamente. “Esta
característica faz das antenas fractais uma excelente alternativa para aplicações
de banda larga”. De acordo com isso, o site enfatiza que a Motorola anunciou que
as antenas fractais são 25% mais eficientes do que o tradicional pedaço de fio
condutor.
Figura 50: Contagem de caixas utilizado no prognóstico do câncer de boca
Figura 51: Antena fractal
Fonte: cap.ufrgs.br
Outra aplicação dos fractais, segundo o site “Prisma - À luz da Física”,
criado pelo CFTC - Centro de Física Teórica e Computacional, diz respeito ao
empacotamento apropriado de fibras ópticas, o que produz guias de ondas com
muito baixa distorção e um melhor contraste de imagem. “Lee Cook da Galileo
Electro-Optics Corp. mostrou, através do uso de pavimentações recursivas, que os
melhores empacotamentos de fibras ópticas são aqueles que têm bordas fractais”.
Abaixo está representado um empacotamento, pelo processo recursivo,
segundo o site, esta tecnologia foi adquirida pela Incom em 1994.
Figura 52: Feixe de fibras ópticas fractais
Fonte: http://cftc.cii.fc.ul.pt/PRISMA/capitulos/capitulo2/modulo4/topico6.php
Segundo o site “Prisma - À luz da Física”, criado pelo CFTC - Centro de
Física Teórica e Computacional, Marc-Olivier Coppens da Universidade Técnica de
Delft, realizou estudos com misturadores inspirados na forma fractal dos pulmões,
desenvolvendo “um sistema para a mistura de dois fluidos que diminui a
turbulência indesejada e normalmente associada ao transporte, mistura e
distribuição”, um exemplo está representado na figura 55.
Figura 55: Misturador fractal tridimensional
Fonte: http://cftc.cii.fc.ul.pt/PRISMA/capitulos/capitulo2/modulo4/topico6.php
As propriedades fractais podem ser observadas e contribuem para várias
áreas da geologia, astrofísica e cosmologia, a seguir são citados exemplos que
foram retirados do texto digitalizado por H. Moysés Nussenzveig, tendo como
referência o livro "Complexidade e Caos" (p. 51-82): No crescimento de estruturas,
sejam elas cristais, ou a penetração de um fluido em outro material apresentam
propriedade de auto-similaridade; a rocha na qual o petróleo reside é um meio
poroso com propriedades fractais; a dimensão fractal auxilia no estudo dos
fenômenos de corrosão e no processo de erosão; os fractais contribuem para o
estudo dos meandros dos rios e contornos das formações geológicas; existe simetria
de escala nos “tamanhos de fragmentos de rochas, falhas geológicas, terremotos,
erupções vulcânicas e depósitos minerais e de petróleo”; na distribuição das
galáxias no Universo, por exemplo, “que é mais ou menos isotrópica, atribuem um
valor aproximado de 1,2 para sua dimensão fractal, pelo menos dentro de domínios
menores que 100 milhões de anos-luz”.
O trabalho do Prof. Ilydio Pereira de Sá (USS / UERJ), Matemática, beleza e
aplicações: “A ordem na desordem”, trás contribuições para a importância dos
fractais: na computação gráfica para representar elementos da natureza e criar
efeitos especiais para filmes; na biologia para o estudo da influência da superfície
irregular das proteínas nas iterações moleculares; na geografia é usado para
descrição e caracterização de falhas sísmicas, estudo sobre terremotos e vulcões e
usados para criação de modelos de crescimento demográficos; na computação são
usados para geração de terrenos e atmosfera com modeladores gráficos e criação
de softwares de compactação de imagens (zipadores), criptografia, codificação e
decodificação de áudio e vídeo; na área da medicina várias patologias cardíacas são
diagnosticadas pela falta de regularidade nas batidas do coração, como é o caso da
taquicardia e fibrilação, esses estudos contribuem para a criação de equipamentos
desfibriladores mais eficientes.
De acordo com Wangenheim, em seu trabalho “Técnicas de Análise de
Imagens utilizando Fractais”, a dimensão fractal pode ser aplicada com o objetivo de
analisar o crescimento de tumores cerebrais in vitro; na detecção de patologias na
textura da pele; pode-se realizar a análise fractal do contorno ósseo e contorno
dental através de imagens radiográficas; além de outras investigações fractais
através de imagens de ressonância magnética, ultrassom, doppler e tomografia
computadorizada.
K) ATIVIDADE 11: CONSTRUÇÃO DE FRACTAIS COM MATERIAL
MANIPULÁVEL
Como sugestão para o professor trabalhar com as séries finais do Ensino
Fundamental, propiciando aos alunos a noção de Geometria Fractal através de uma
atividade prática, será proposta a construção de alguns fractais famosos com
material manipulável, papel, latas de alumínio, bolas de isopor, entre outros.
Figura 56: Árvore Fractal Figura 57: Triângulo de Sierpinski
Fonte: acontecendonasescolas.blogspot.com Fonte: alornacre.blogspot.com
Figura 58: Triângulo de Sierpinski Figura 59: Esponja de Menger
Fonte Figura 58: http://dc184.4shared.com/doc/S3F5ElPX/preview.html. Fonte Figura 59: http://pt.wikipedia.org/wiki/Esponja_de_Menger
Figura 60: Fractal Triminó Figura 61: Fractal Heptaminó
Fonte: Trabalho de Margareth Pangoni Vejan
L) ATIVIDADE 12: QUESTIONÁRIO DE AVALIAÇÃO DA OFICINA PEDAGÓGICA
Para encerrar a oficina pedagógica será proposto um questionário com 3
questões abertas para avaliação do trabalho e considerações importantes que os
professores participantes queiram pontuar.
1) A proposta da Unidade Didática foi realizar uma oficina pedagógica no laboratório de
informática do Colégio Estadual José de Anchieta com o tema “O ensino de Geometria
Fractal por meio da utilização do software geogebra: Descobertas e construções”, para os
professores de matemática da educação básica de Quedas do Iguaçu.
Dê a sua opinião sobre a oficina pedagógica realizada (contribuições,
apontamentos, metodologias, aplicabilidade, relevância, entre outros).
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2) Uma forma de promover a investigação geométrica pela experimentação é mediante o
uso das mídias tecnológicas. De acordo com as Diretrizes Curriculares da Educação Básica
“Os recursos tecnológicos, como o software, a televisão, as calculadoras, os aplicativos da
Internet, entre outros, têm favorecido as experimentações matemáticas e potencializado
formas de resolução de problemas.” (PARANÁ, 2008, p.65).
Nesse enfoque, e após participar da oficina pedagógica você considera
possível inserir na sua prática pedagógica o estudo da Geometria Fractal, utilizando
o software geogebra? Justifique sua resposta.
( ) Sim, considero possível ( ) Não, considero impossível
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3) Inserida no conteúdo estruturante Geometrias, as Diretrizes Curriculares (2008, p. 56-57)
preveem que o aluno deva compreender a noção de Geometria Fractal desde o Ensino
Fundamental, aprofundando-a no Ensino Médio em nível de abstração mais complexo.
Em sua opinião, justifica-se o estudo da Geometria Fractal em sala de aula?
E de que forma esse conteúdo proposto nas Diretrizes e abordado nesta oficina
pedagógica, pode contribuir para o enriquecimento da aprendizagem do aluno?
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5. ORIENTAÇÕES METODOLÓGICAS
Em relação à aprendizagem dos alunos Gravina e Santarosa (1998), citados
por Fuzzo; Santos; Ferreira (2011)
“...nos dizem que o conhecimento matemático possui caráter estático e com isso dificulta a abstração de um determinado conceito a uma situação que não é semelhante ao apresentado no livro didático ou pelo professor. Desse modo, com a utilização das Tecnologias da Informação e Comunicação (TIC), as mesmas autoras afirmam que as TIC apresentam evidencias físicas em que a representação passa a ter caráter dinâmico, refletindo no processo de aprendizagem, particularmente, no que diz respeito às concretizações mentais. (FUZZO; SANTOS; FERREIRA; 2011, p.3)
Com o intuito de dinamizar as aulas de matemática, em especial no que se
refere às geometrias não-euclidianas e melhorar a qualidade de ensino e
aprendizagem, esta unidade didática, como visto, utilizará o programa geogebra
para construção de figuras fractais. Pois, conforme Zullato (2002) e Constantino
(2006) citados por Fuzzo; Santos; Ferreira (2011, p.6) “...ao se desenvolver
atividades em ambientes de geometria dinâmica, elas possibilitam ao aluno fazer
descobertas, conjecturas, explorações, investigações, contribuindo para um ensino
significativo,...”.
Dessa forma as atividades buscam estratégias metodológicas diferenciadas
para o estudo da geometria fractal, em sala de aula, o que possibilita ao professor a
exploração de conhecimentos novos, como é o caso do cálculo da dimensão fractal,
fazer uma revisão dos conceitos básicos da geometria euclidiana, além de cálculos
que envolvem perímetro, área, logaritmos, sequências, progressões, porcentagem,
utilização de tabelas, fórmulas e funções, noção de intervalos e conjuntos entre
outros.
A unidade didática foi estruturada de forma a apresentar a sequência das
atividades a serem realizadas na oficina pedagógica, com os professores de
Matemática da educação básica de Quedas do Iguaçu, perfazendo um total de 32
horas/aula. Inicialmente será sugerido um questionário investigativo, para um
levantamento sobre o conhecimento dos professores no tocante as geometrias não-
euclidianas, em especial a Geometria Fractal, e se estes conteúdos são trabalhados
durante o ano letivo. Em seguida, será apresentado um embasamento teórico sobre
a Geometria Fractal através de vídeos e slides. No Laboratório de Informática
Paraná Digital do Colégio Estadual José de Anchieta serão construídos no software
livre geogebra, os fractais: Conjunto de Cantor, Curva de Peano, Curva de Koch,
Floco de Neve de Koch, Quadrado de Koch, Triângulo de Sierpinski e Tapete de
Sierpinski. Para auxiliar nas construções serão feitas apostilas com os passos
referentes a cada figura e posteriormente demonstrados os cálculos da dimensão
fractal, perímetro e área.
Como sugestão para o professor trabalhar com as séries finais do Ensino
Fundamental, propiciando a eles a noção de Geometria Fractal, de forma prática e
atrativa, construir alguns fractais famosos com material manipulável: papel, latas de
alumínio, bolas de isopor, entre outros.
Para finalizar a oficina, será proposto um novo questionário para verificar
junto aos professores participantes se consideram possível inserir na sua prática
pedagógica o estudo da Geometria Fractal, utilizando o software geogebra.
Os dados obtidos nos questionários, o desenvolvimento da oficina e a
participação dos professores contribuirão para a elaboração do artigo final, que
fundamentará essa pesquisa.
5. REFERÊNCIAS
ACONTECENDO NAS ESCOLAS DO GUARÁ. Árvore Fractal. Disponível em: acontecendonasescolas.blogspot.com. Acesso em: 28 nov. de 2012.
ALMEIDA, Theodoro Becker de; MARTINELLI, Rodiane Ouriques; RODRIGUES, Virgínia Maria; SILVA, Ana Maria Marques da. Fractais no Ensino Fundamental: explorando essa nova geometria. PUCRS. 18p.
BARBOSA, Ruy Madsen. Descobrindo a geometria fractal – para a sala de aula. 2 ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2005.
BIANCHINI, Edwaldo. Matemática - 9º ano - 6 ed. São Paulo: Moderna, 2006.
CARVALHO, M.C.C.S.; SILVA, A.A.; BOCCIA, D.C.M.S.; RIBEIRO, J.F.P.; BOGGIO, S.A. Fractais: uma breve introdução. 1 ed. São Paulo: Ed. da Faculdade São Judas, 1986.
CENTRO DE FÍSICA TEÓRICA E COMPUTACIONAL - CFTC - “Prisma - À luz da Física”. Disponível em: http://cftc.cii.fc.ul.pt/PRISMA/capitulos/capitulo2/modulo4 /topico6.
php .Acesso em: 08 nov. de 2012.
CENTRO DE RECURSOS EDUCATIVOS. Triângulo de Sierpinski. Escola EB 2,3 Marquesa de Alorna. Disponível em: http://alornacre.blogspot.com.br/2011/06/ triangulo-de-sierpinski.html Acesso em: 13 nov. de 2012.
CURVA DE KOCH-FRACTAIS. Disponível em: http://www.youtube.com/watch?v=Zd EhqhSpTG4 . Acesso em: 15 nov. de 2012.
ESPAÇO VIRTUAL DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA. Fractais - uma abordagem do ensino médio. Disponível em: http://www.cap.ufrgs.br/matweb
/abordagem%20fractais.html. Acesso em: 13 nov. de 2012.
FERNANDES, Jaqueline Aparecida. Fractais: Uma nova visão da Matemática. Trabalho de Conclusão de Curso (Matemática). Universidade de Lavras - UNILAVRAS, Minas Gerais, 2007, 46p.
FUZZO, Regis Alessandro; SANTOS, Talita Secorun dos; FERREIRA, Luciano. Fractais e o Geogebra: Construindo a curva de Koch. Universidade Estadual do Paraná–Campo Mourão. XIII CIAEM-IACME, Recife, Brasil, 2011.
GIOVANNI, J.R.; CASTRUCCI, B.; GIOVANNI JÚNIOR, J.R. A conquista da matemática: a + nova. 5ª série. São Paulo: FTD, 2002.
____________. A conquista da matemática: a + nova. 7ª série. São Paulo: FTD, 2002.
IEZZI, G.; DOLCE, O.; DEGENSZAJN, D.; PÉRIGO, R.; ALMEIDA, N. de. Matemática - Ciência e Aplicações. Volume 1 - Ensino Médio. 6 ed. São Paulo: Saraiva, 2010.
LUIZ, Celço. Triângulo de Sierpinski. Disponível em: www.youtube.com/v/jk5 _zhNHre8&fs=1&source=uds&autoplay=1. Acesso em: 28 nov. de 2012.
MACEDO, Julia Satiko Kawamoto. Fractais – Uma abordagem em sala de aula com o auxílio de softwares geométricos. Universidade Estadual de Maringá. Projeto de Intervenção Pedagógica – PDE, 2008, 27p.
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