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Professora Marcela [email protected]
Tópicos
•Portas lógicas e álgebra de boole•Álgebra de boole – regras e propriedades•Provas de algumas regras•Teoremas de De Morgan•Universalidade das portasa Nand e Nor
Portas lógicas e Álgebra de Boole
BAS ⋅=
111
001
010000
SBA
FUNÇÃO AND (E)FUNÇÃO AND (E)
BAS +=
111
101
110000
SBA
FUNÇÃO OR (OU)FUNÇÃO OR (OU)
Portas lógicas e Álgebra de Boole
FUNÇÃO NOT FUNÇÃO NOT (INVERTER OU NÃO)(INVERTER OU NÃO)
0110
SA
AS =
Portas lógicas e Álgebra de Boole
FUNÇÃO NOR (NÃO OU)FUNÇÃO NOR (NÃO OU)
BAS +=A B S0 0 10 1 0
1 0 0
1 1 0
BAS ⋅=
011
101
110100
SBA
FUNÇÃO NAND (NÃO E)FUNÇÃO NAND (NÃO E)
Portas lógicas e Álgebra de Boole
FUNÇÃO XOR FUNÇÃO XOR (OU EXCLUSIVO)(OU EXCLUSIVO)
BAS ⊕=A B S
0 0 00 1 1
1 0 1
1 1 0
BAS ⊗=
111
001
010100
SBA
FUNÇÃO XNOR FUNÇÃO XNOR (OU COINCIDÊNCIA)(OU COINCIDÊNCIA)
XOR - a saída será verdade se exclusivamente uma ou outra entradaexclusivamente uma ou outra entrada for verdade. (XNOR - inverso da XOR). Isto só se aplica se houver apenas 2 entradas.
Álgebra de BooleRegras e propriedades
Teoremas BooleanosTeoremas com 1 variável lógicaTeoremas com 1 variável lógica
Teoremas BooleanosTeoremas com 1 variável lógicaTeoremas com 1 variável lógica
Ressalta-se que a variável x em que se aplica os teoremas de (1) a (8) pode ser uma expressão que contenha mais de uma variável.
Por exemplo, se tivéssemos a expressão , poderíamos considerar e aplicar o teorema (4):
BABABAx =
Teorema (4): 0=⋅ xx
Assim: 0=
BABA
A mesma idéia pode ser aplicada no uso de qualquer um A mesma idéia pode ser aplicada no uso de qualquer um desses teoremas !desses teoremas !
Portas lógicas e Álgebra de Boole
As portas universaisAs portas universais
PORTA NAND PORTA NAND
PORTA NOR PORTA NOR
BA ⋅
BA +
Portas NOR e Portas NAND
Na realidade elas combinam as operações básicas AND, OR e NOT, de modo que é relativamente simples escrever suas expressões Booleanas.
FIGURA 3-19 (a) Símbolo de porta NOR; (b) Circuito equivalente; (c) Tabela-verdade.
PORTA NOR (“NÃO-OU”)PORTA NOR (“NÃO-OU”)
Portas NOR e Portas NAND
PORTA NAND (“NÃO-E”)PORTA NAND (“NÃO-E”)
Portas NOR e Portas NAND
Determine a expressão Booleana para uma porta NOR de três entradas seguidas de um inversor.
Sempre que duas barras estiverem sobre a mesma variável ou expressão, uma cancela a outra, como mostrado acima. Entretanto, em casos como:
BA +as barras de inversão não se cancelam. Assim:
BABA +≠+ BABA ⋅≠⋅
Teoremas de DeMorgan
Embora os teoremas tenham sido apresentados em termos das variáveis x e y, eles são igualmente válidos para situações em que x e/ou y são expressões com mais variáveis.
( ) ( ) CBACBA ⋅=+
Exemplo:Exemplo:
EXEMPLO:EXEMPLO: Simplifique a expressão para que ela tenha apenas variáveis simples invertidas.
( ) ( )DBCAz +⋅+=
SoluçãoSolução
( ) ( ) ( ) ( )DBCADBCAz +++=+⋅+=
Usando o teorema (17), temos:
DBCA ⋅+⋅=
DBCA ⋅+⋅=
Os teoremas de DeMorgan podem ser estendidos
para mais de duas variáveis ?
Teoremas de DeMorgan
Teoremas de DeMorganConsidere o complemento da soma lógica para três variáveis lógicas:
zyx ++ ( ) zyx ⋅+=
zyx ⋅⋅= Expressão semelhante ao teorema para 2 variáveis !!
Raciocínio semelhante pode ser aplicado para o complemento da soma lógica de N variáveis.
De forma semelhante, temos que:
zyxzyx ++=⋅⋅
O teorema de DeMorgan para o complemento do produto lógico também pode ser estendido para N variáveis.
Teoremas de DeMorganAnalisando os teoremas de DeMorgan do ponto de vista das portas lógicas
FIGURA 3-26 (a) Circuitos equivalentes relativos ao teorema (16); (b) símbol alternativo para a função NOR.
FIGURA 3-27 (a) Circuitos equivalentes relativos ao teorema (17); (b) símbolo alternativo para a função NAND.
Universalidade das Portas NAND e NORTodas as expressões Booleanas consistem em combinações das operações básicas OR, AND e INVERSOR. Entretanto, é possível implementar qualquer expressão usando apenas portas NAND, e nenhum outro tipo de porta lógica.
FIGURA 3-29 As portas NAND podem ser usadas para implementar qualquer função booleana.
INVERSOR
Universalidade das Portas NAND e NORDe modo similar, notamos que as portas NOR podem ser associadas para implementar qualquer operação Booleana, tornando possível a implementação de qualquer expressão usando apenas portas NOR, e nenhum outro tipo de porta lógica.
FIGURA 3-30 As portas NOR podem ser usadas para implementar qualquer operação booleana.
INVERSOR
Como essas equivalências podem ser utilizadas na prática ?
Universalidade das Portas NAND e NOREXEMPLO:EXEMPLO: Em um determinado processo de fabricação, uma esteira de transporte deve ser desligada sempre que determinadas condições ocorrem. Essas condições são monitoradas e têm seus estados sinalizados por quatro sinais lógicos, que são:
• A será ALTO sempre que a velocidade da esteira for muito alta.
• B será ALTO sempre que o recipiente no final da esteira estiver cheio.
• C será ALTO quando a tensão da esteira for muito alta.
• D será ALTO quando o comando manual estiver desabilitado.
Um circuito lógico é necessário para gerar um sinal x que será ALTO sempre que as condições A e B existirem simultaneamente, ou sempre que as condições C e D existirem simultaneamente.
SoluçãoSolução
CDABx +=
Como implementar o circuito com o mínimo de CIs ?
Universalidade das Portas NAND e NOR
Considere que os CIs TTL abaixo estão disponíveis para a implementação:
Solução (continuação)Solução (continuação)Uma forma simples de implementar o circuito lógico usando os CIs dados é:
Porém, uma alternativa é:
