OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE … · Aprendendo Geometria Plana com o Uso do GeoGebra PDE – Programa de Desenvolvimento Educacional – SEED/PR ... segmentos, polígonos,

Versão On-line ISBN 978-85-8015-075-9Cadernos PDE

OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE

Produções Didático-Pedagógicas

Aprendendo Geometria Plana com o Uso do GeoGebra

PDE – Programa de Desenvolvimento Educacional – SEED/PR

FICHA PARA IDENTIFICAÇÃO PRODUÇÃO DIDÁTICA – PEDAGÓGICA

TURMA - PDE/2013

Título: APRENDENDO GEOMETRIA PLANA COM O USO DO GEOGEBRA

Autor ANA APARECIDA VIEIRA PALHANO

Disciplina/Área MATEMÁTICA

Escola de Implementação do

Projeto e sua localização

ESCOLA ESTADUAL DOM ORIONE

Município da escola CURITBA

Núcleo Regional de Educação CURITIBA

Professor Orientador MARGIO CEZAR LOSS KLOCK

Instituição de Ensino Superior UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ

Resumo

Diante das dificuldades apresentadas pelos alunos, essa

unidade didática foi pensada como material auxiliar no

processo ensino-aprendizagem da Matemática, mais

especificamente da geometria plana, aprofundando os

conceitos de área e perímetro através do Software de

Geometria Dinâmica, o GeoGebra. Além disso, espera-se

despertar o interesse e o prazer pelo estudo da Matemática

como um todo, aplicando a tecnologia informática de forma

lúdica, dinâmica e contextualizada com atividades variadas,

entre elas a composição e decomposição de figuras

geométricas planas utilizando o Tangram.

Palavras - chave GEOMETRIA PLANA, GEOGEBRA E TICs.

Formato do Material Didático UNIDADE DIDÁTICA

Público Alvo

ALUNOS DO 9º ANO (SALA DE APOIO)



APRESENTAÇÃO

O programa de Desenvolvimento Educacional do Estado Paraná – PDE/PR é

uma iniciativa do governo estadual que disponibiliza aos professores, em parceria

com Instituições de Ensino Superior, uma formação continuada diferenciada onde

desenvolverá produções didáticas visando à melhoria da qualidade do processo

ensino-aprendizagem da Escola de Educação Básica da Rede Pública Estadual do

Paraná. Nesta perspectiva, essas escolas dispõem hoje de laboratórios de

informática, possibilita a inclusão digital na prática pedagógica, contribuindo assim

para que o processo educativo torne-se mais atraente e dinâmico.

A dificuldade e a falta de motivação pelo aprendizado de Matemática nos

educandos levam a uma reflexão pessoal e profissional. É preciso compreender

como propiciar aos alunos condições para uma aprendizagem qualitativa e dar

significado à Matemática. Diante dessa realidade emerge a pergunta: Como

despertar o interesse pelo processo ensino-aprendizagem, e ao mesmo tempo

proporcionar oportunidades para a compreensão de conteúdos de geometria plana?

Esta unidade didática, direcionada ao ensino de Geometria Plana do 9º Ano

do Ensino Fundamental – Sala de Apoio,foi elaborada no intuito de auxiliar o

docente a criar meios para motivar o educando a refletir e perceber o que de fato

está por trás das construções geométricas e auxiliá-los nas justificativas. Para isso,

foram propostas atividades com a utilização de novas tecnologias, o Software de

Geometria Dinâmica, o GeoGebra (www.geogebra.org, 2013), versão 4.2, no qual

deve-se explorar cinco atividades:

Atividade 1 – Conhecendo o Software GeoGebra.

Atividade 2 – Explorando algumas ferramentas do GeoGeobra.

Atividade 3 – Revisando figuras geométricas planas com o Tangram.

Atividade 4– Construindo e explorando conceitos de área e perímetro na

malha quadriculada e no plano cartesiano.

Atividade 5 – Áreas de figuras compostas.

Esta unidade didática foi pensada e construída para ser utilizada por um

professor interessado em incrementar sua prática pedagógica, incluindo a tecnologia

informática nas aulas de Matemática com conteúdos de Geometria plana.

http://www.geogebra.org/



ATIVIDADE 1 – CONHECENDO O SOFTWARE GEOGEBRA

Qual a importância do software GeoGebra?

Serve para construir pontos, segmentos, polígonos, circunferências, nomear

objetos e perceber que pode interagir com o que está construindo, movimentando

objetos livres.

Ao abrir o software, visualiza-se a sua interface (figura 1) composta por:

1. Barra do menu: composta pelos comandos arquivo, editar, exibir, opções,

ferramentas, janela e ajuda.

2. Barra de ferramentas: formada por 12 ícones ou ferramentas.

3. Janela de álgebra: localizada no lado esquerdo da interface.

4. Janela de visualização ou geométrica: localizada no lado direito da interface.

5. Campo de entrada.

Figura 1 – Interface do geogebra.

Caso seja necessário reativar a “janela de álgebra” ou “janela de

visualização”, basta ir ao item “Exibir” do menu e clicar com o botão esquerdo do

mouse sobre a opção desejada. Da mesma forma para ativar/desativar os eixos e a

malha clique com o botão esquerdo sobre a seta da “janela de visualização”.



BARRA DE FERRAMENTAS

A barra de ferramentas está divida em 12 ícones, os quais quando

selecionados ficarão com uma moldura azul. Ao clicar com o botão esquerdo no

triângulo situado no canto inferior direito , abre-se uma janela com as demais

funções relacionadas a esse ícone. Caso você queira utilizar uma dessas funções,

que estão nesses menus implícitos, basta selecionar e clicar com o botão esquerdo

sobre a opção desejada. A função selecionada fica explicitada na barra de

ferramentas. Para realizar as construções geométricas na janela de visualização,

primeiro clica-se com o botão esquerdo no ícone desejado e depois na janela

geométrica.

1º ícone: MOVER

Figura 2 – Ícone mover objeto

2º Ícone: NOVO PONTO

Figura 3 – Ícone novo ponto



3º Ícone: RETA DEFINIDA POR DOIS PONTOS

Figura 4 – Ícone reta definida por dois pontos

4º Ícone: RETA PERPENDICULAR

Figura 5 – Ícone reta perpendicular

Passe o mouse pelos demais ícones desvendando a barra de ferramentas e

conhecendo as funções de cada um deles. Observe que ao clicar com o botão

direito do mouse sobre a janela de visualização, abre-se uma janela onde aparecem

diversas funções, sendo que algumas delas também são realizadas pelos ícones da

barra de ferramentas.



ATIVIDADE 2 - EXPLORANDO ALGUMAS FERRAMENTAS DO GEOGEBRA.

Orientações: lembre-se de responder as questões ao lado das figuras geométricas

ativando o ícone ”Inserir texto” . Após salve na sua pasta selecionando no

Menu Principal, a opção ARQUIVO, clicando com o botão esquerdo em GRAVAR

COMO, e nomeando-o conforme o exemplo: Beatriz_atividade2_exercício1.

1) Abra um arquivo novo exibindo os eixos cartesianos (eixo X e eixo Y), e também,

a malha quadriculada (clique na janela de visualização). Marque um ponto

qualquer no plano cartesiano, selecionando o ícone “Novo Ponto” ,e

responda:

a) O que aparece na janela de álgebra? O que significa cada elemento

(algarismos e letras)?

b) Marque 10 pontos alinhados horizontalmente e bem próximos um do outro.

Depois os aproxime até uni-los. Qual figura geométrica formou? Como essa

figura pode ser definida?

c) É possível estender essa figura, infinitamente, tanto para a direita quanto

para a esquerda?

d) É possível determinar a sua medida?

e) Para concluir a atividade elabore um texto definindo a figura formada pelos 10

pontos, citando suas características.

2) Utilize o ícone “Reta definida por dois pontos” , e construa uma reta.

a) Como se chama o espaço compreendido entre os pontos A e B?

b) É possível construir essa figura utilizando outra ferramenta do software

GeoGebra? Se for possível construa e diga o que aparece na janela de

álgebra?

c) Mude a cor e a espessura da figura clicando sobre ela com o botão direito do

mouse e selecionando o item propriedades.

3) Selecione a ferramenta “semirreta definida por dois pontos” , e construa

uma semirreta. Observando a figura formada, complete:

Semirreta é uma parte da linha _____________ que tem início, mas não tem

_____________.



4) Comparando as figuras construídas, assinale a resposta na característica

correta. A tabela está disponível para download e preenchimento no link:

https://sites.google.com/site/annapalhano/sala-apoio---9o-ano

Característica Figura

Infinita

Infinita num sentido

Infinita nos dois sentidos

Finita nos dois sentidos

Não tem começo

Não tem fim

Reta

Semirreta

Segmento

5) Para fazer uma nova atividade, clique em “Arquivo” e depois em “Novo”.

a) Selecione a ferramenta “Segmento definido por dois pontos” e construa

um triângulo qualquer.

b) O que aparece na janela de álgebra à medida que você vai construindo o

triângulo?

c) Selecione a ferramenta “Mover” e clique com o botão esquerdo sobre

um dos vértices do triângulo, segure e arraste. O que acontece na janela de

visualização e de álgebra?

6) Abra um arquivo novo:

a) Construa um triângulo com a ferramenta “Polígono regular” , localizada

no 5º ícone da barra de ferramentas, marcando dois pontos na janela de

visualização. Abrirá uma janela “Polígono regular” onde se deve digitar o

número de vértices. O que você observa na “janela de álgebra” com relação a

medida dos lados do polígono? Como se chama esse triângulo com relação

as medidas dos seus lados?




b) Selecione a ferramenta “Mover” , clique sobre o polígono com o botão

esquerdo do mouse, segure e arraste. O que acontece?

Obs.: Para não deformar a figura evite clicar sobre os lados e sobre os vértices.

c) Selecione o ícone “Mover janela de visualização” , clique com o botão

esquerdo do mouse em um lugar qualquer da “janela de visualização”, segure

e arraste. O que você observa?

d) Selecione o ícone “Mover” , clique com o botão esquerdo do mouse sobre

o vértice A, segure e arraste. O que acontece?

e) Clique com o botão direito do mouse sobre o polígono, selecione propriedades,

mude para a cor vermelho, e altere o preenchimento utilizando a régua

transparência.

f) Agora, construa novos polígonos regulares: quadrado, pentágono, hexágono e

heptágono. O que você observou quanto a medida dos lados?

Então, polígonos regulares apresentam todos os lados ______________.

7) Vamos aprender como girar uma figura geométrica:

a) Abra um arquivo novo onde estejam ativados os eixos e a malha

quadriculada.

b) Selecione a ferramenta “Polígono rígido” , e marque os pontos: A (2,5);

B (2,2); C (6,2). Ligue o último ponto ao primeiro, fechando o polígono. Qual a

classificação da figura formada de acordo com as medidas de seus lados?

c) Ative o ícone “Rotação em torno de um ponto” . Após, com o botão

esquerdo, clique sobre o ponto que representa o centro de rotação do

triângulo.

OBS.;O que é centro de rotação? É o primeiro ponto na ordem alfabética, por

exemplo, entre os pontos A e B, o ponto A é o centro de rotação.



d) Depois clique com o botão esquerdo sobre o ponto seguinte (B), segure e

arraste. Repare que ao clicar no ponto B aparece a expressão: Ponto B:

ponto sobre Círculo [A, (...)].

e) Com o ícone “Polígono” , construa uma figura com as seguintes

coordenadas: A (2,5); B (4,7); C (6,5); D (6,2); E (2,2). Que figura formou?

f) Comparando as duas figuras construídas o que você observa quanto as

medidas dos seus lados?

Podemos concluir que Polígonos Irregulares apresentam lados com medidas

___________.

8) Ative a ferramenta “Semirreta Definida por Dois pontos” e crie duas

semirretas de origem A (semirreta AB e semirreta AC), conforme a figura abaixo.

Figura 6 – Modificado/Extraído de Araújo, 2010.

Ative o ícone “Ângulo” , clique com o botão esquerdo sobre a semirreta

AB e depois sobre a semirreta AC. Note que aparece a medida do ângulo. Selecione

o ícone “Mover” e clique com o botão esquerdo sobre o ponto C, segure e

arraste, alterando de forma a obter os ângulos abaixo:

- Ângulo nulo: medida zero.

- Ângulo agudo: medida entre o° e 90°.

- Ângulo reto: medida igual a 90°.

- Ângulo obtuso: medida entre 90° e 180°.

- Ângulo raso: medida igual a 180°.



ATIVIDADE 3 - REVISANDO FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS COM O

TANGRAM

Tangram é um quebra cabeça formado por sete peças que têm formas

geométricas conhecidas. Os chineses o conhecem por “Tch’i Tch’iao pan”, que

significa “As sete tábuas da argúcia (habilidade, destreza)”.

Figura 7 – Modificado/Extraído de Giovanni, 2009.

ATIVIDADES

1) Construa na interface do GeoGebra as figuras que compõem o Tangram,

utilizando o ícone “Polígono rígido” , com as seguintes coordenadas:

TG1 (vermelho): A (1,1); B (1,5); C (3,3.)

TG2 ( verde-claro): D (2,6); E (6,6); E (4,4).

TP3 ( Amarelo): K (4,3); L(5,4); M (3,4).

TP4 (Preto): Q (8,6); R (8,4); S (7,5).

P (Rosa): G (2,1); H (3,2); I (5,2); J (4,1).

Q (Azul): T (8,3); U (9,4); V (10,3); D (9,2).

TM5 (Cinza): N (7, 3); (7,1); P (5,1).



Agora, nomeie os polígonos construídos e responda as questões ao lado das

figuras geométricas ativando o ícone “Inserir Texto” :

Vermelho (TG1):_________________

Verde claro (TG2):________________

Amarelo (TP3): __________________

Azul (Q):________________________

Preto (TP4):_____________________

Cinza (TM5):_____________________

Rosa (P):________________________

Salve esta atividade na sua pasta selecionando no Menu Principal, a opção

ARQUIVO, clicando com o botão esquerdo em GRAVAR COMO, e nomeando-o

conforme o exemplo: Beatriz_atividade2_exercício1.

2) Com base na tabela abaixo construa no GeoGebra triângulos e quadriláteros

possíveis de serem compostos com apenas quatro peças, cinco peças, seis

peças e sete peças do Tangram.

QUADRILÁTEROS

Nº de peças

do Tangram

Triângulos Quadrados Retângulos Paralelogramos Trapézios

2

o quadrado ao lado

3

Tabela 1 – Modificado/Extraído de Giovanni, 2009

A cada figura construída, apague as peças não utilizadas, salve a atividade

com o nome do polígono e o número de peças (ex.: Nome do aluno_atividade3_

exercício2_ triângulo4). Após use a ferramenta “desfazer” até retornar as sete

peças e recomece a construir as outras figuras.



ATIVIDADE 4 - CONSTRUINDO E EXPLORANDO CONCEITOS DE ÁREA E

PERÍMETRO NA MALHA QUADRICULADA E NO PLANO CARTESIANO.


ativando o ícone ”Inserir Texto” . Após, salve na sua pasta selecionando no

Menu Principal, a opção ARQUIVO, clicando em GRAVAR COMO, e nomeando-o

conforme os exemplos: Nome do aluno_atividade4_Quadrado_exercício1.

Nome do aluno_atividade4_Retângulo_exercício6.

Nome do aluno_atividade4_Triângulo_exercício2.

Nome do aluno_atividade4_Paralelogramo_exercício4.

Nome do aluno_atividade4_Losango_exercício3.

Nome do aluno_atividade4_Trapézio_exercício1.

QUADRADO

1) Bia resolveu fazer quadros decorativos numa das paredes de sua cozinha usando

pastilhas quadradas, conforme mostra a figura.

a) Represente os quadros feitos por Bia na malha quadriculada do Geogebra.

b) Para saber quantas pastilhas ela usará em cada quadro, complete a tabela,

considerando uma pastilha como unidade de medida de área.

Quadro Nº de lado 1 Nº de lado 2 Nº total de

Q1

Q2

Q3

Q4

Q5



A = ____ X ____

A = _______

_______

c) Comparando os valores de l1, l2 e o número total de pastilhas de Q2 e Q3,

que relação você observa entre eles?

d) O que você observou em Q2 e Q3 vale para os demais quadros?

e) O número total de pastilhas representa a área do quadro. Qual a área de Q4?

Como você fez esse cálculo?

f) Como os lados do quadrado apresentam a mesma medida, ou seja, são iguais,

podemos representar l1 e l 2 simplesmente por l. Com isso, podemos considerar

que a fórmula para o cálculo da área do quadrado é:

colocando na forma de potência:

g) Se Bia fizer um quadro com lado 10, quantas pastilhas ela utilizará?

2) Bia gostou tanto da idéia dos quadros nas paredes que resolveu fazer um quadrado

no meio do chão da cozinha, utilizando agora lajotas coloridas. Para ajudar Bia nos

cálculos analise o quadrado de 1 m de lado.

a) De acordo com a figura 100 cm corresponde a quantos metros lineares?

b) Qual a área do quadrado em metros quadrados (m²)?

c) Qual a área do quadrado em centímetro quadrados (cm²)?

d) Quantos cm² têm um metro quadrado?

e) Agora, calcule quantas lajotas com dimensões 20 cm X 20 cm Bia precisará

comprar para construir um quadrado igual ao da figura no chão de sua cozinha.

Explique como você fez esse cálculo?

f) Represente na malha quadriculada do GeoGebra como ficará o quadrado com

lajotas coloridas.



A = _______

_______

P = ________________

RETÂNGULO

1) Observe o retângulo e complete as atividades abaixo:

a) Tomando como unidade de área o quadradinho com 1 cm² , complete: o

retângulo tem ____ quadradinhos de 1 cm², ou seja a sua área é _____cm². Se b

é a base e h é a altura, logo a fórmula da área do retângulo é:

Utilizando a fórmula, calcule a área do retângulo.

b) Perímetro corresponde ao contorno da figura, ou seja, a soma das medidas dos

lados no caso dos polígonos. Então, o perímetro do retângulo acima é ______

cm. Representando os lados por l podemos dizer que a fórmula do perímetro do

retângulo acima é:

2) Construa na malha quadriculada do GeoGebra 8 quadrados com área de 1 cm²

utilizando o ícone polígono e com o ícone “Mover” monte com eles um

retângulo com 2 cm de altura.

a) Qual a área do retângulo construído em cm²?

b) Qual seu perímetro?

c) Reposicione os quadrados para formar um novo retângulo que tenha o maior

perímetro possível;

Reposicione novamente os quadrados de maneira que o retângulo fique com o

menor perímetro possível.

3) Construa três retângulos diferentes com área igual a 16 cm². E, depois responda as

perguntas abaixo:

a) É possível construí-los? Explique.

b) O que acontece com o perímetro?



c) Utilizando a ferramenta ”Mover” altere a figura de lado quatro de modo

que sua área fique reduzida pela metade. O que acontece com o perímetro?

4) Bia resolveu trocar o piso de sua sala. Ela pretende cobrir o chão com lajotas

quadradas tipo porcelanato. Veja a planta do chão da sala.

Analise a planta e determine o nº de lajotas que ela precisará comprar se utilizar

lajotas com as seguintes dimensões:

a) 25 cm X 25 cm?

b) 50 cm X 50 cm?

5) Para testar seu aprendizado acesse o endereço eletrônico e faça as atividades:

http://www.proativa.vdl.ufc.br/oa/construtora/construtora.html

6) Na interface do GeoGebra (plano cartesiano) construa:

a) Um triângulo com coordenadas: A (1,1); B (1,5); C (4,5). Una o último ponto ao

primeiro de forma a fechar o polígono.

b) Após construa outro triângulo com coordenadas: D (4,1); E (7,1); F (7,5).

c) Utilizando o ícone “Mover” una os dois triângulos. Que figura formou?

Calcule a área dessa figura usando a fórmula, considerando o lado do

quadradinho da malha medindo 1 cm.




TRIÂNGULO

1) No plano cartesiano do GeoGebra construa um retângulo com coordenadas iguais a:

A (1,5); B (5,5); C (1,3); D (1,3).

2) Ao lado construa o triângulo EFG, com vértices: E (7,5); F (7,3); e G (11,3).

3) Comparando as duas figuras o que você observa com relação às alturas? E, com

relação às medidas das bases?

4) Utilizando o ícone “MOVER” da barra de ferramentas, sobreponha as figuras

de maneira que o vértice F do triângulo, coincida com o vértice D do retângulo. O

que você pode afirmar com relação a área do triângulo, comparando-a com a área

do retângulo?

5) De acordo com o que você observou, se a fórmula da área do retângulo é igual a

A = b.h, como ficará a fórmula da área do triângulo?

6) Bia quer fazer um lenço triangular de seda.

Ela encontrou tecido com largura de 1,5 m.

a) Quantos metros de tecido terá que comprar?

b) Quantos lenços poderá confeccionar?

c) Porém, resolveu colocar um barrado de renda nos lados de mesma medida, e

viés no lado maior, o qual tem 99 cm de comprimento. Quanto de renda e viés

terá comprar?

d) Sobrou ou faltou tecido? Quanto?

e) Qual a área total do lenço feito por Bia?



A = _____ x _______

PARALELOGRAMO

1) No plano cartesiano do GeoGebra construa um paralelogramo (P) como o da figura

acima com coordenadas dos vértices iguais a: A (2,4); B ( 6,4); C (5,2); D (1,2).

2) Ao lado do paralelogramo construa um triângulo (T) e um trapézio (TR). As

coordenadas das figuras são:

Triângulo: E (8,4); F(8,2); G (7,2).

Trapézio: H (9,4); I (13,4); J (12,2); K (9,2).

a) O que você observa com relação às medidas das alturas das duas figuras?

b) Junte as duas figuras pelos lados que representam suas alturas. Que figura

formou? Ela é igual ao paralelogramo ABCD?

c) Mova o triângulo de forma que seu lado EG encaixe com o lado IJ do trapézio

ABCD. Que figura formou?

3) Comparando o paralelogramo ABCD com a figura formada da união do triângulo

com o trapézio, o que você pode afirmar com relação à área dessas figuras?

4) Com base nas observações feitas podemos concluir que a área do paralelogramo é

igual à área do _______________________. Sendo assim, podemos representar a

fórmula da área do paralelogramo por:

5) Calcule usando a fórmula a área do paralelogramo acima, considerando a medida

do comprimento do lado do quadradinho da malha igual a 1 cm.



A = _______________

LOSANGO

1) Construa um losango no plano cartesiano do GeoGebra com as coordenadas: A

(2,5); B (1,3); C (2,1); D (3,3). Onde D corresponde a diagonal maior (AC) e d a

diagonal menor (BD).

2) Cortando o losango em duas partes iguais pela diagonal menor obtemos dois

triângulos T1 e T2. Construa esses triângulos ao lado do losango e responda:

a) Movendo o triângulo T2 podemos compor um

paralelogramo?________________.

b) As áreas dessas figuras T1 e T2 são iguais? _________________.

c) Como a área do paralelogramo é b.h, ache a sua base e altura comparando

com as diagonais do losango. Dessa forma, b = ______ e h = ______, então a

fórmula do losango é:

3) Bia pretende desenhar um losango no plano cartesiano. Entre os pontos

indicados na malha, quais ela pode utilizar como vértices do losango para que

sua área seja 16 cm².

A (2,6): B (0,7); C (4,7); D (2,4); E (10,4); F (6,6); G (6,2); H (4,0); I (8,2); J (8,6);

K (10,1).



A = área do paralelogramo

2

A = ( )____

2

TRAPÉZIO

1) No plano cartesiano do GeoGebra construa um trapézio 1 de coordenadas:

A (3,4); B (5,4); C(5,2); D(1,2).

Complete:

a) A base menor(b) é representada pelo segmento __________________.

b) A base maior (B) é representada pelo segmento __________________.

c) A altura (h) é representada pelo segmento _______________________.

d) Agora coloque na figura as letra b , B e h nos lugares correspondentes.

2) Construa ao lado um novo trapézio 2 com as coordenadas:

E (7,4); F(11,4); G(9,2); H(7,2). Comparando as figuras construídas responda:

a) O que você observa ao comparar as bases menores? E, as maiores? E, com

as alturas?

b) Os trapézios são iguais? _______________. Então, são chamados de

trapézios congruentes.

c) Una os dois trapézios pelas alturas. Que figura formou? _________________.

d) Comparando o trapézio 1 com a figura formada:

d.1) Pode-se afirmar que a medida da altura do trapézio 1 e da figura formada

são iguais? ___________.

d.2) O comprimento da base do paralelogramo é igual a soma da medida da

base menor (b) e da base __________________ (B) do trapézio , ou seja

B + b. Sendo assim, a fórmula para o cálculo de área do paralelogramo

formado é: A = (B + b). h

d.3) A área do trapézio é igual à metade da área do paralelogramo? _________.

d.4) Com base nessas observações, a fórmula da área do trapézio é:



3) Para treinar o uso da fórmula calcule a área de um terreno com formato

trapezoidal, representando-o na interface do GeoGebra com as seguintes

coordenadas: A (1,1); B (7,1); C (4,4); D (1,4). Considere que os lados dos

quadrados da malha quadriculada apresentam 2m de comprimento.

4) Represente na interface do GeoGebra o trapézio isósceles abaixo. Após realize

as atividades pedidas.

a) Calcule a área do trapézio sem usar a fórmula, considerando que o lado do

quadradinho mede 1,5 cm. Demonstre o cálculo.

b) Agora use a fórmula e verifique se o resultado será o mesmo do exercício

anterior.

5) (Adaptado do Projeto Araribá, 8º ano, 2010). Desafio! Analise o trapézio

retângulo abaixo, recorte-o, represente e movimente as peças obtidas na interface

do GeoGebra, de modo a obter outro trapézio com base maior medindo 20 cm,

base menor 10 cm e lados não paralelos medindo respectivamente 8 cm e 6 cm.

6 cm

8 cm

6 cm 6 cm



ATIVIDADE 5 - ÁREA DE FIGURAS COMPOSTAS


ativando o ícone ”Inserir Texto” . Após salve na sua pasta selecionando no

Menu Principal, a opção ARQUIVO, clicando em GRAVAR COMO, e nomeando-o

conforme os exemplos: Nome do aluno_atividade5_Quadrado_exercício1.

Nome do aluno_atividade5_Retângulo_exercício6.

Nome do aluno_atividade5_Triângulo_exercício2.

Nome do aluno_atividade5_Paralelogramo_exercício4.

Nome do aluno_atividade5_Losango_exercício3.

Nome do aluno_atividade5_Trapézio_exercício1

QUADRADOS

Orientações: Lembre-se de fechar o polígono unindo o último ponto ao primeiro.

Ativar os eixos e o quadriculado toda vez que iniciar um exercício.

1) Utilizando o ícone “Polígono rígido” construa um quadrado grande com as

seguintes coordenadas: A (2,4); B (5,3); C (4,0); D(1,1). Continuando a atividade

construa com o ícone “Polígono” um quadrado pequeno com as

coordenadas: E (1,5); F (3,5); G (3,3); H (1,3).

Figura 8 – Adaptado/Extraído de Projeto Araribá, 2010



a) Analisando as figuras o que você observa?

b) O quadrado maior pode ser movimentado, mantendo-se fixo o vértice que

está no centro do quadrado menor. Observe o que vai acontecendo enquanto

gira a figura. Após, determine a área comum entre os dois quadrados,

considerando o lado do quadrado menor medindo 10 cm e do quadrado maior

15 cm.

2) Utilizando o ícone “Polígono” construa um quadrado com as coordenadas A

(1,5); B (5,5); C (5,1); D (1,1). Após construa utilizando o ícone “Polígono rígido”

um quadrado menor com coordenadas E (5,3); F (7,1); G (9,3);

H (7,5).


a) O que você observa ao analisar as figuras construídas?

b) Sabendo que o lado do quadrado maior mede 8 cm, determine a área do

quadrado menor.

Dica: movimente o quadrado menor até os seus vértices coincidirem com os

pontos médios do quadrado maior.



TRIÂNGULOS

1) (Adaptado do Projeto Araribá, 8º ano, 2010) No projeto de um condômino

fechado há uma praça triangular, representada conforme o desenho abaixo.

Cada quadradinho do projeto tem lado medindo 1 cm, ou seja, cada quadradinho

tem 1 cm² de área.

Figura 10 – Adaptado/Modificado de Projeto Araribá, 2010

a) Represente na interface do GeoGebra o desenho do projeto da praça. Utilize

o ícone “Polígono” para construir o retângulo com coordenadas:

A (1,6); B(1,0); C (8,0); D (8,6), e o triângulo com coordenadas: D (8,6);

E(7,0); F (1,3).

b) Calcule a área da praça (triângulo central).

Dica: extraia da área total do retângulo as áreas dos triângulos externos à

praça.



2) Utilizando o ícone “Polígono” construa o triângulo grande com as

coordenadas: A (3,5); B(5,1); C (1,1). E, com o ícone “Polígono rígido”

construa o triângulo menor com as coordenadas: D (4,3); E (6,3); F (5,3).

Figura 11 – Adaptado/Modificado de Projeto Araribá, 2010

Agora responda:

a) Gire o triângulo menor em torno do seu vértice que está no ponto médio do

lado do triângulo maior. O que você observa quando os três vértices do

triângulo menor coincidem com os pontos médios dos lados do triângulo

maior?

b) Calcule a área do triângulo maior, sabendo que o triângulo menor tem 25 cm²

de área.

RETÂNGULOS

1) (Projeto Araribá, 8º ano, 2010) Beatriz queria uma mesa que tivesse um lado

com 40 cm e a área do tampo com 6.400 cm². Querendo lhe fazer uma surpresa,

seu marido aproveitou algumas peças de madeira que tinha em casa e construiu

esta mesa conforme o desenho abaixo.



Figura 12 – Adaptado de Projeto Araribá, 2010

No entanto, Beatriz queria uma mesa de superfície retangular. Então ela

pediu ao marido que mudasse o formato do tampo.

a) Com o ícone ”Polígono” , construa um retângulo que representa uma

parte do tampo da mesa, na interface do GeoGebra, utilizando as seguintes

coordenadas: A (4,3); B (9,3); C (9,1); D (4,1). Depois, construa a outra parte

com as coordenadas, com o ícone “Polígono rígido” : E (4,4); F (4,7);

G (6,7); H (6,4).

b) Agora, utilizando os recursos necessários, represente o que ele deverá fazer

para mudar o formato do tampo sem mudar a área da mesa. Após, demonstre

através do cálculo que a área não mudou.

c) Para proteger o tampo ela quer cobrir com um plástico transparente adesivo

rente à borda. Quantos metros de plástico ela usará, se a largura é de 40 cm?



2) (Adaptado do Projeto Araribá, 9º ano, 2010)O pentaminó é um conjunto de cinco

quadrados unidos entre si por seus lados, conforme mostra a figura:

a) Represente os pentaminós na malha quadriculada do GeoGebra utilizando o

ícone “Polígono rígido” .

b) Considerando que a medida do lado de cada quadradinho é 1 cm, ou seja,

cada quadradinho tem 1 cm² de área, qual é a área de cada pentaminó?

c) Movimente os pentaminós e forme um retângulo com lados 4 e 5, utilizando

os ícones “Mover” e “Rotação em Torno de um Ponto” .

Qual é a área do retângulo?

TRAPÉZIOS

1) (Projeto Araribá, 9º ano, 2010) Um terreno com o formato de trapézio será

repartido entre quatro irmãos. Todos os irmãos deverão ficar com um terreno de

mesma área. Represente na interface do GeoGebra como esse terreno poderá

ser repartido.

Dica: utilize o ícone “Polígono” para dividir a figura e pinte as partes de

cores diferentes.




2) Represente o croqui do terreno abaixo na malha quadriculada do GeoGebra,

utilizando as seguintes coordenadas: A (2,4); B (2,1); C (10,1); D (7,4).

Figura 14 – Adaptado de Projeto Araribá, 2010

a) Quantos metros de muro deverão ser construídos para cercá-lo?

b) Represente no GeoGebra como proceder para calcular sua área

decomponha-o em dois triângulo de áreas diferentes, traçando a diagonal BD.

PARALELOGRAMO

1) Os triângulos desenhados abaixo têm, cada um, 2 cm² de área, e o quadrado

tem 4 cm² de área.

a) Represente no GeoGebra os polígonos com as coordenadas:

T1: A (3,3); B (3,1); C (4,1).

T2: D (5,3); E (5,1); F (6,1).

Q: G (7,3); H (9,3); I (9,1); J (7,1).

b) Movimente os polígonos, forme um paralelogramo e calcule a sua área.



LOSANGO

1) Com o ícone “Polígono rígido” construa os polígonos com as

coordenadas:

Retângulo: A (2,3); B (2,1); C (6,1); D (6,3).

Losango: E (6,2); F (8,3); G (10,2); H (8,1).

Se tudo ocorreu bem, sua figura ficará com o aspecto abaixo.

Feito isso, realize as atividades pedidas e responda:

a) Qual a área do retângulo? Considere a medida do lado do quadradinho da

malha igual a 10 cm.

b) Qual a área do losango?

c) Gire o losango, mantendo fixo o vértice que está no ponto médio do lado

menor do retângulo, até coincidir todos os vértices do losango com os pontos

médios dos lados do retângulo. Se recortarmos o losango, extraindo-o do

interior do retângulo, com os retalhos que sobram podemos construir outro

losango com área igual ao que foi retirado da figura? Justifique sua resposta.



TANGRAM ONLINE.

Acesse o link: http://www.geogebratube.org/material/show/id/56393 , clique em

ir para a versão do estudante, e realize as atividades abaixo:

1) No modelo do Tangram, cada quadradinho representa 1 cm². Calcule de duas

formas diferentes, utilizando em uma delas a fórmula, a área do:

a) Triângulo maior.

b) Triângulo menor.

c) Triângulo médio.

d) Quadrado.

e) Paralelogramo.

2) Movimente as peças do Tangram, gire-as se necessário, monte as figuras

geométricas mencionadas, e após calcule suas áreas em metros quadrados:

a) Quadrado formado pelos dois triângulos maiores.

b) Triângulo formado pelos 2 triângulos menores e pelo triângulo médio.

c) Quadrado formado pelas sete peças do Tangram.

d) Trapézio formado pelos dois triângulos menores e o quadrado.

e) Losango formado pelos dois triângulos menores.

http://www.geogebratube.org/material/show/id/56393



ORIENTAÇÕES METODOLÓGICAS

Esta Unidade Didática é fundamentada na metodologia da pesquisa-ação,

onde o professor deixa de ser um mero observador, e passa a sujeito ativo no

desenvolvimento das atividades intervindo de forma inovadora no processo ensino-

aprendizagem, mediando quando necessário nas situações conflitantes que vão

surgindo.

Para a aplicação dessa unidade didática é necessário uma revisão inicial na

sala de aula envolvendo conceitos básicos de geometria plana, como: definição e

classificação de polígonos, ângulos e sua classificação, entre outros. No endereço

https://sites.google.com/site/annapalhano/sala-apoio---9o-ano está disponível uma

sugestão de atividade de revisão. Após, os alunos serão encaminhados ao

laboratório de informática. Paraná Digital ou do PROINFO para iniciarem as

atividades propostas por esse material.

A aplicação da unidade didática será realizada utilizando o software de

Geometria Dinâmica, o GeoGebra, em dois encontros semanais. De posse do

material impresso, sugere-se que formem grupos de dois alunos de forma que um

execute os comandos e o outro leia e, posteriormente, reflitam sobre o construído,

mediados pelo professor, se necessário. E quando se tratar de pesquisar conteúdos

desconhecidos ou que tenham esquecido, o grupo poderá recorrer à internet. Ao

final de cada exercício o professor deve orientar o aluno a salvá-lo na sua pasta,

selecionando no Menu Principal, a opção ARQUIVO, clicando com o botão esquerdo

em GRAVAR COMO, e nomeando-o conforme o exemplo: Nome do

aluno_atividade2_exercício1.

Para que haja aprendizagem é necessário a elaboração de situações

problemas. A partir dessa perspectiva é que este material foi organizado da seguinte

forma:

Atividade 1 – Conhecendo o Software GeoGebra (Previsão - 2 aulas): tem a

intenção de apresentar aos alunos as funções básicas dos ícones da barra

ferramenta do software, as quais serão apresentadas pelo professor através do

projetor de imagens ou a lousa digital. Já os alunos com o Programa aberto no

computador, poderão interagir junto com o professor e tirar as dúvidas de como

utilizar cada um dos recursos disponíveis. Os slides da interface e dos ícones da




barra de ferramentas do GeoGebra estão disponíveis no endereço:

https://sites.google.com/site/annapalhano/sala-apoio---9o-ano.

Atividade 2 – Explorando algumas ferramentas do GeoGeobra (Previsão - 8 aulas, 8

atividades): esta atividade vem como forma de auxiliar no manuseio das ferramentas

do software para a realização das atividades posteriores. Os alunos terão que

aprender a construir pontos, segmentos, ângulos, retas, polígonos, construções no

plano cartesiano, nomear objetos, mudar formas e cores, e perceber que pode

interagir com o que está construindo, movimentando objetos livres, e ao mesmo

tempo revisar conceitos básicos de geometria plana.

Atividade 3 – Revisando figuras geométricas planas com o Tangram (Previsão - 11

aulas, 2 atividades): pretende-se de forma lúdica que os alunos construam,

identifiquem, mudem de cor e movimentem os polígonos. Também compreendam a

idéia de composição e decomposição de figuras de maneira informal, sem a

preocupação com o cálculo em si.

Atividade 4 – Construindo e explorando conceitos de área e perímetro na malha

quadriculada e no plano cartesiano (Previsão - 15 aulas, 27 atividades): vem com a

intenção de fazer com que os alunos compreendam que área é a medida de uma

superfície, e que essa medida pode ser expressa em diferentes unidades, conforme

a situação. Com a idéia de composição e decomposição de figuras pretende-se que

os alunos cheguem às fórmulas para os cálculos de áreas de figuras planas

conhecidas, como: quadrado, retângulo, paralelogramo, triângulo, losango e

trapézio.

Atividade 5 – Áreas de figuras compostas (Previsão - 19 aulas, 12 atividades): esta

atividade é uma ampliação e um aprofundamento das atividades anteriores, pois

será necessário compor e decompor as figuras em polígonos conhecidos para

facilitar o cálculo de suas áreas.

Como aparecerão diferentes soluções, várias maneiras de compor e

decompor uma mesma figura, é interessante pedir aos alunos que, em duplas,

apresentem as estratégias, os procedimentos e as soluções encontradas. Nesse




momento o professor pode aproveitar para discutir que não existe uma única

estratégia de resolução, enquanto que, os alunos poderão aprimorar suas

estratégias de cálculo de área e perímetro em diferentes situações-problemas.

No que se refere à avaliação, o professor poderá aplicar:

- Avaliações Diagnósticas (apêndice 1): serão realizadas antes e depois da

execução de todas as atividades da unidade didática, com a intenção de verificar se

houve uma aprendizagem significativa no que se refere ao estudo de área e

perímetro de figuras planas.

- Fichas de Autoavaliação (apêndice 2 ): o professor pode propor aos alunos o

preenchimento delas, após cada atividade, fazendo com que esses reflitam sobre o

seu envolvimento e desempenho na resolução delas.

- Fichas de Mapeamento (apêndice 3): o professor poderá fazer observações diretas

dos alunos nestas fichas, com o objetivo de acompanhar a mudança de atitudes

durante o desenvolvimento da unidade didática.

- Ficha de avaliação das atividades no GeoGebra (apêndice 4): o professor poderá

diagnosticar problemas que o aluno teve ao manusear o software na resolução das

atividades.



APÊNDICES

APÊNDICE 1 – Avaliação Diagnóstica Escola Estadual Dom Orione - Ensino Fundamental - Data:___/___/____

Aluno(a):____________________ nº: ____ 9º ano - Turma: ___

Avaliação diagnóstica

1) Complete a tabela observando os ângulos das figuras abaixo:

Figura Nºde

ângulos retos

Nºde ângulos agudos

Nºde ângulos obtusos

Total do

nº de ângulos

Nº de lados

Nome do polígono

a

b

c

d

e

f

g

h Você observou alguma relação entre o número de lados e o número de ângulos dos polígonos?

2)Calcule a área e o perímetro da figura abaixo e diga como se chama:



3) ( Adaptado da Nova Escola, 2011) Beatriz desenhou na malha quadriculada a peça de um jogo que tem em casa. Se Beatriz fizer um novo desenho desta peça, porém com os lados dobrados o que ocorrerá com o perímetro da nova figura?

a) Ficará multiplicado por 4

b) Ficará dividido por 4

c) Ficará multiplicado por 2

d) Ficará dividido por 7

Responda:

a) Qual a área da peça antes de dobrar?_____ E depois da dobra?_______

b) Calcule o perímetro antes da dobra? _____ E depois da dobra?_______

4) Qual o nome do polígono? Calcule a sua área.

5) ( OBMEP 2012) O retângulo abaixo, que foi recortado de uma folha de papel

quadriculado, mede 4 cm de largura por 5cm de altura. Qual é a área da região escura?

6) Calcule a área e o perímetro do triângulo.



APÊNDICE 2 – Ficha de Autoavaliação

Ficha de Autoavaliação do Aluno Data:__/__/____ Nome nº

Responda com o número 1 para SIM e 2 para NÃO 1 Realizei as tarefas no grupo

2 Entendi o objetivo da atividade

3 Cooperei com os outros elementos do grupo

4 Aceitei a opinião dos outros elementos do grupo

5 Fui capaz de mediar a discussão no grupo

6 Contribui com ideias para resolver as atividades

7 Fui perseverante na resolução das atividades

8 Escolhi estratégias apropiadas

9 Justifiquei as respostas e ideias

10 Utilizei os recursos adequados na resolução das atividades

11 Registrei os resultados

12 Cheguei às conclusões coerentes

13 Interagi com a turma

14 Gostei de trabalhar em grupo



APÊNDICE 3 – Ficha de Mapeamento

Ficha de Mapeamento dos Alunos Data: __/__/____

Nº Atitudes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Sociável Tem iniciativa

Troca saberes Interage

Resolução c/ajuda Resolução s/ajuda Mantém o foco

Propõe idéias Líder positivo Concilia

Retraído Brinca demais

Impõe ideias

Compete Desiste rápido

Espera ajuda do prof.



APÊNDICE 4 – Ficha de avaliação das atividades do software GeoGebra

Ficha de avaliação das atividades do software GeoGebra– Data: __/__/____

Nome nº

Responda com o número 1 para SIM e 2 para NÃO 1 Gostou de trabalhar com o software

2 Teve dificuldades em manusear o GeoGebra

3 Achou as atividades difíceis

4 Achou as atividades acessíveis

5 Gostou da apresentação das atividades

6 As orientações estão claras

7 Achou interessante trabalhar as atividades no GeoGebra

8 Facilitou compreender área

9 Facilitou compreender perímetro

10 Os conceitos básicos de geometria ficaram mais claros após a revisão

11

12

13

14

Críticas : 1)________________________________________________________________ 2)________________________________________________________________ 3)________________________________________________________________

Elogios : 1)________________________________________________________________ 2)________________________________________________________________ 3)________________________________________________________________ Sugestões : 1)________________________________________________________________ 2)________________________________________________________________ 3)________________________________________________________________



REFERÊNCIAS

ARAÚJO, L. C. L. de; NÓBRIGA, J. C.C. Aprendendo Matemática com o GeoGebra – São Paulo: Editora Exato, 2010. GIOVANNI Jr., J. R.; CASTRUCCI, B. A Conquista da Matemática. 8º ano. Edição renovada, São Paulo: FTD, 2009. p. 240 e 241. MUNHOS, A. F. da S. ;NAZARETH, H. R. ; TOLEDO, M. B. de A. Coleção Rumos e Desafios. 7ª série – 1ª ed. – São Paulo: Positivo, 2006. p. 103. MATHEUS, Aline dos Reis et al . Projeto Araribá: Matemática. 6ºano/ organizadora Editora Moderna; obra coletiva concebida, desenvolvida e produzida pela Editora Moderna; editor responsável Fabio Martins de Leonardo. – 3ª ed. – São Paulo: Editora Moderna, 2010. Guia e recursos didáticos. p. 15. ____ Projeto Araribá: Matemática. 7ºano/ organizadora Editora Moderna; obra coletiva concebida, desenvolvida e produzida pela Editora Moderna; editor responsável Fabio Martins de Leonardo. – 3ª ed. – São Paulo: Editora Moderna, 2010. p. 287. ____ Projeto Araribá: Matemática. 8ºano/ organizadora Editora Moderna; obra coletiva concebida, desenvolvida e produzida pela Editora Moderna; editor responsável Fabio Martins de Leonardo. – 3ª ed. – São Paulo: Editora Moderna, 2010. p. 143, 177 e 181. ____ Projeto Araribá: Matemática. 9ºano/ organizadora Editora Moderna; obra coletiva concebida, desenvolvida e produzida pela Editora Moderna; editor responsável Fabio Martins de Leonardo. – 3ª ed. – São Paulo: Editora Moderna, 2010. p. 168 e 175.

NOVA ESCOLA. Planos de aula 2 – Matemática. Edição especial. São Paulo:

Fundação Victor Civita, p. 52, janeiro 2011.

SITES CONSULTADOS

OBMEP, 2012. Disponível em: http://www.obmep.org.br/provas_static/pf1n2-2012.pdf Acessado em 20/07/2013

http://www.obmep.org.br/provas_static/pf1n2-2012.pdf



SOFTWARE GEOGEBRA. Disponível em: www.geogebra.org Acessado em 12/02/2013.

PARANÁ DIGITAL, disponível em: www.gestaoescolar.diaadia.pr.gov.br/modules/conteudo/conteudo.php?conyeudo=407 Acessado em 21/06/2013. PROINFO, disponível em: http://portal.mec.gov.br/index.php?Itemid=462 Acessado em 21/06/2013. ARTIGO: PESQUISA-AÇÃO, disponível em: Educar, Curitiba, n. 16. P. 181-191. 2000. Editora da UFPR. http://www.educaremrevista.ufpr.br/arquivos_16/irineu_engel.pdf Acessado em 21/06/2013. SUGESTÕES DE ATIVIDADES DE REVISÃO/TABELAS/SLIDES DO GEOGEBRA, disponíveis em: https://sites.google.com/site/annapalhano/sala-apoio---9o-ano Acessado em 21/10/2013. SIMULADOR DE CÁLCULO DE ÁREA, disponível em: http://www.proativa.vdl.ufc.br/oa/construtora/construtora.html Acessado em 21/07/2013. TANGRAM ONLINE, disponível em: http://www.geogebratube.org/material/show/id/56393 Acessado em 06/11/2013. SUGESTÕES DE SITES

INSTITUTO GEOGEBRA DE PORTUGAL

http://www.geogebra.ese.ipp.pt/

INFORMAÇÕES BÁSICAS SOBRE O GEOGEBRA

http://www.geogebra.org/help/docupt_BR.pdf

http://www.geogebra.org/

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http://www.educaremrevista.ufpr.br/arquivos_16/irineu_engel.pdf



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http://www.geogebra.ese.ipp.pt/

http://www.geogebra.org/help/docupt_BR.pdf



GEOGEBRA NO FACEBOOCK

http://www.facebook.com/geogebra

MATERIAIS PARA CONSULTA: ATIVIDADES FEITAS NO GEOGEBRA

http://www.geogebratube.org/material/

http://www.facebook.com/geogebra

http://www.geogebratube.org/material/

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OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE … · Aprendendo Geometria Plana com o Uso do GeoGebra PDE – Programa de Desenvolvimento Educacional – SEED/PR ... segmentos, polígonos,