Versão On-line ISBN 978-85-8015-075-9Cadernos PDE

OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE

Produções Didático-Pedagógicas

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FICHA PARA IDENTIFICAÇÃO PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA

TURMA - PDE/2013

Título: Aprendendo em que situações pode-se usar O Ponto

estudado na Geometria Analítica

Autor Daisy Luci Regiani Bueno

Disciplina/Área Matemática

Escola de Implementação Colégio Estadual Alberico Marques da Silva - EFMP

Município da Escola Santa Isabel do Ivaí

Núcleo Regional Loanda

Professor Orientador Prof.ª Dr.ª Nelma Sgarbosa Roman de Araújo

Instituto de Ensino Superior Universidade Estadual do Paraná - UNESPAR – Campus de Paranavaí

Relação Interdisciplinar Este item não será contemplado no trabalho.

Resumo

A Unidade Didática apresentada foi idealizada para ser

implementada no 3.º ano do Ensino Médio no Colégio

Estadual Alberico Marques da Silva, cidade de Santa

Isabel do Ivaí, Paraná. Tem como objetivo geral estimular

os alunos a perceberem a importância de compreender

efetivamente os conceitos envolvidos quando se estuda o

conteúdo O Ponto, da Geometria Analítica. Justifica-se

pela dificuldade apresentada pelos alunos na construção

deste conceito matemático e de sua utilização no dia-a-

dia. Pretende-se utilizar os laboratórios de informática

disponíveis na escola para realização de pesquisas pelos

alunos e também para estudos da Geometria Analítica

com uso do software GeoGebra. Também será utilizada a

sala de aula da turma, onde haverá aulas expositivo-

dialogadas, com a retomada de alguns conteúdos

estudados anteriormente (que serão necessários) e a

apresentação e discussão da fundamentação teórica do

conteúdo propriamente dito. Com o objetivo de

proporcionar o desenvolvimento e a aplicação dos

conceitos de coordenadas cartesianas e também o

desenvolvimento da memória e do raciocínio, pretende-se

utilizar os jogos Caminho Correto, Campo Minado e

Batalha Naval. A avaliação acontecerá em todo o

processo, ou seja, durante as participações nas aulas, a

realização dos jogos, a utilização do GeoGebra e as

atividades diversificadas.

Palavras-chaves Educação Matemática; Geometria Analítica; GeoGebra; Jogos.

Formato do Material Didático Unidade Didática

Público Alvo Alunos do 3.º Ano do Ensino Médio

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PRODUÇÃO DIDÁTICO PEDAGÓGICA

APRESENTAÇÃO

A elaboração desta produção didática foi prevista como parte do processo do

Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE, para o segundo semestre do

primeiro ano de estudos e elaborada no formato de unidade didática com o título

“Aprendendo em que situações pode-se usar O Ponto estudado na Geometria

Analítica”. Destina-se a alunos do 3.º Ano do Ensino Médio, objetivando estimulá-los

a perceberem a importância de compreender efetivamente os conceitos envolvidos

quando se estuda este conteúdo. Além disso, que possibilite aos alunos

estabelecerem relações com a utilidade deste conhecimento para o cotidiano;

estimular o cálculo de distância entre dois pontos, com base em suas coordenadas;

proporcionar a compreensão do cálculo do ponto médio de um segmento no plano

cartesiano; motivar a identificação do baricentro de um triângulo; incentivar o cálculo

da área de um triângulo e sua utilidade prática e, ainda, propiciar o reconhecimento

e a verificação do alinhamento de três pontos. Também almeja colaborar com outros

professores de matemática tanto do ensino fundamental como do médio1, na

construção de conceitos pelos alunos quando estudarem o conteúdo específico O

Ponto da Geometria Analítica.

Tem se discutido muito a respeito do processo ensino-aprendizagem na

disciplina de Matemática. A proposta é que o ensinar seja de forma a atrair os

alunos para os conhecimentos e proporcionar um ensino de forma efetiva,

consequentemente, amenizando a angústia dos professores em relação ao

desinteresse pela disciplina e a indisciplina nas salas de aulas.

Segundo Seymour Papert (1991), matemático sul africano, a teoria

educacional “O Construcionismo” visa à aprendizagem dos alunos em ambientes

diferentes daqueles em que se está acostumado a estudar. Seguindo esta teoria

educacional, propõe-se oferecer aos alunos o laboratório de informática para o

aprendizado também com o uso dos computadores.

1 Desde o ensino fundamental se tem uma introdução ao conteúdo, pois este dará subsídios para que

os alunos possam compreender melhor a trigonometria e as funções tanto do 1.º como do 2.º grau.

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UNIDADE DIDÁTICA

APRENDENDO EM QUE SITUAÇÕES PODE-SE USAR O PONTO

ESTUDADO NA GEOMETRIA ANALÍTICA

Esta Unidade Didática é relevante considerando a dificuldade apresentada

pelos alunos do ensino médio no momento da elaboração deste conceito e de sua

utilização em situações do dia a dia. Também se ressalta a sua importância,

considerando que propõe a utilização de um software, alguns jogos e atividades

diversificadas como recursos auxiliares à compreensão do conteúdo. Além desses

fatores, recomenda que seja feita uma revisão de alguns conceitos estudados no

ensino fundamental, os quais comumente os alunos também apresentam

incompreensões, como: produtos notáveis e equações do 2.º grau.

Percebe-se a necessidade de trabalhar na disciplina Matemática o conteúdo

específico O Ponto, de um modo diferenciado, embasando-se na tendência

metodológica educação matemática denominada Mídias Tecnológicas e na

utilização de materiais manipuláveis (jogos). O software proposto é de geometria

dinâmica2 denominado GeoGebra. A escolha deste software se deu por intermédio

de pesquisas, quando a autora procurava uma metodologia e materiais que

possibilitassem facilitar o ensinar e o aprender da Geometria Analítica de uma

maneira diferenciada da convencional, isto é, apenas com a utilização do livro

didático. Este software, além de ser de fácil manuseio, é gratuito, acessível a todos e

possibilita não trabalhar apenas o estudo em questão, mas todo o conteúdo

estruturante correspondente (Geometrias).

A escolha dos jogos Caminho Correto, Campo Minado e Batalha Naval

ocorreu pelo fato de os alunos, em sua maioria, já os conhecerem e, pela

apresentação que é sugerida que o professor faça, conseguirão identificar com

clareza o plano cartesiano, os eixos (abscissa e ordenada), localizar os pontos neste

plano e, consequentemente, assimilarem o restante do conteúdo.

As atividades diversificadas envolvem a identificação e a localização dos

pontos nos quadrantes, o cálculo do ponto médio de um segmento de reta, a

distância entre dois pontos, o baricentro de um triângulo considerando o plano

cartesiano, a área de um triângulo e a condição de alinhamento de três pontos.

2 Dinâmica pelo fato de construir e desconstruir formas geométricas.

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Esta Unidade Didática (U.D.) está organizada em 10 etapas. Pretende-se

implementá-la com 35 alunos e o tempo estimado para o trabalho proposto é de 32

horas/aulas, em turno normal de estudo dos alunos.

Na primeira etapa, Resgatando a história da Geometria Analítica, almeja-se

rever a historicidade da Geometria. Na segunda etapa, Introdução à G.A.,

apresenta-se o Sistema ortogonal cartesiano, os quadrantes e a localização de

pontos. Na terceira etapa contempla-se a proposição dos jogos Caminho Correto,

Campo Minado e Batalha Naval. Na quarta etapa os alunos serão instigados a

conhecerem o software GeoGebra, com várias práticas de comandos indicados pelo

professor. Na quinta etapa os alunos construirão bissetrizes, utilizando papel

milimetrado e quadriculado, régua e transferidor. As bissetrizes também serão

construídas no GeoGebra. Na sexta etapa serão construídas distâncias entre dois

pontos no plano cartesiano. A sétima etapa contempla o cálculo do ponto médio de

um segmento. Na oitava etapa será trabalhado o traçado do baricentro de um

triângulo no plano cartesiano. Na nona etapa será explorada a condição de

alinhamento de três pontos. A décima e última etapa contempla o cálculo da área de

um triângulo. Ressalta-se que as tarefas da sexta à nona etapa serão realizadas no

modo convencional (no quadro pelo professor e no caderno pelos alunos) e no

GeoGebra.

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1.ª ETAPA: RESGATANDO A HISTÓRIA DA GEOMETRIA ANALÍTICA

Tarefa 1 – No laboratório de informática pesquise quais as contribuições de Euclides

de Alexandria e René Descartes ao estudo da Geometria Analítica (G.A.).

2.ª ETAPA: INTRODUÇÃO À GEOMETRIA ANALÍTICA

Tarefa 2 – Trace um plano cartesiano no papel quadriculado ou milimetrado, marque

os pontos correspondentes aos pares ordenados A(1;0), B(1;3), C(4;3) e D(4;0)3 e

responda:

a) Se forem unidos todos os pontos, que figura geométrica será formada?

b) Qual o perímetro e a área da figura formada, sabendo que o lado de cada quadradinho representa uma unidade?

Tarefa 3 – No quadro seguinte (Figura 1) existem algumas imagens. Observe-as e

complete ou responda cada uma das questões:

a) De acordo com as coordenadas, qual a localização do urso? b) O pintinho tem abscissa E e ordenada.... c) O papagaio tem abscissa.... e ordenada 7 d) O cachorrinho tem abscissa..... e ordenada.... e) O gatinho tem abscissa... e ordenada... f) O peixinho está localizado em qual coordenada?

Figura 1: Quadro de animais Fonte: A autora

3 Os pares ordenados representados neste trabalho estão separados por ponto e vírgula, para que os

alunos não confundam com números decimais.

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Tarefa 4 – Observando o mapa do noroeste do Paraná (Figura 2), que contém um

plano cartesiano dividido em quadrantes, no qual o eixo da horizontal é o eixo das

abscissas e o eixo da vertical é o eixo da ordenadas, responda:

a) Existe alguma cidade localizada exatamente em cima de algum dos eixos? Se

existe, qual (is) a(s) cidade(s) e qual (is) o(s) eixo(s)?

b) Quais cidades estão localizadas no 1.º quadrante? E no 3.º quadrante?

Figura 2: Mapa da região noroeste do estado do Paraná.

Fonte: <http://www.planejamento.mp.pr.gov.br/modules/conteudo/conteudo.php?conteudo=2223> com adaptações feitas pela autora deste. Acesso em: 25 set. 2013.

Tarefa 5 – Considerando os pares ordenados A(1;9), B(2;-3), C(0;2), D(2;0), E(3;0),

F(0;3), G(-5;0) e H(0;-5), responda:

a) Quais pontos estão localizados no eixo das abscissas?

b) Quais pontos estão localizados no eixo das ordenadas?

Tarefa 6 – Observe o gráfico seguinte (Figura 3), escreva quais coordenadas

representam cada ponto e sua localização quanto aos quadrantes.

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Figura 3: Gráfico Plano Cartesiano Fonte: A autora

3.ª ETAPA: OS JOGOS CAMINHO CORRETO, CAMPO MINADO E BATALHA

NAVAL

Tarefa 7 – Jogue Caminho Correto na sala de aula

O objetivo do jogador é descobrir o caminho correto a seguir, sem que pise

em alguma bomba.

Como jogar

Formando grupos de dois, cada dupla planeja um percurso livre de bombas,

identificando as casas onde pisarão de acordo com a intersecção das linhas e

colunas.

Como o plano tem duas dimensões, para localizar os pontos serão

necessárias as duas identificações, indicando a localização pela intersecção entre

elas, como por exemplo: a linha 3 com a coluna C.

Cada grupo define quem arriscará a passagem e quem ditará o caminho a ser

usado.

A cartela contendo as bombas será colocada no quadro pelo professor. Todas

as casas estarão cobertas a fim de que ninguém possa ver qual é o caminho correto

a seguir.

Os grupos, depois de escolherem o caminho, um de cada vez arriscará a

passagem.

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Caso errem, isto é, pisem em uma bomba, o professor ou algum aluno que se

disponha a participar no seu lugar apitará e o próximo grupo recomeça a

participação.

Se todos os grupos tiverem tentado sem conseguir finalizar o percurso,

recomeçar a sequência de participações. O jogo prosseguirá até que um grupo

consiga concluir o percurso.

Figura 4: Quadro de bombas

Fonte: A autora

Tarefa 8 – Jogue Campo Minado no laboratório de informática.

Regras e noções básicas

O objetivo do jogo é encontrar os quadrados vazios e evitar as minas. Quanto

mais rápido você esvaziar o tabuleiro, melhor será a sua pontuação.

O Campo Minado possui três opções de tabuleiros, cada um deles

progressivamente mais difícil que o outro.

Iniciante: 81 quadrados e 10 minas

Intermediário: 256 quadrados e 40 minas

Avançado: 480 quadrados e 99 minas

Este jogo permite tabuleiros com até 720 quadrados e 668 minas.

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Como jogar

Se você descobrir uma mina, o jogo acaba.

Se descobrir um quadrado vazio, você continua jogando.

Se aparecer um número, ele informará quantas minas estão escondidas

nos oito quadrados que o cercam. Você usa essa informação para deduzir

em quais quadrados próximos é seguro clicar.

Sugestões e dicas:

Marque as minas. Se você suspeita que um quadrado contenha uma mina, clique

nele com o botão direito do mouse. Isso marca o quadrado com uma bandeira. (Se

não tiver certeza, clique com o botão direito do mouse novamente para inserir um

ponto de interrogação).

Estude os padrões. Se três quadrados seguidos exibirem os números 2, 3 e 2,

provavelmente haverá três minas alinhadas ao lado desses números. Se um

quadrado mostrar o número 8, todos os quadrados que o circundam estarão

minados, porque existem nove quadrados em volta do número descoberto assim, se

um for 8 no restante também haverá bombas.

Explore o desconhecido. Não sabe onde clicar em seguida? Tente esvaziar algum

território inexplorado. É melhor clicar no meio dos quadrados que não estão

marcados do que em uma área que você suspeita estar minada.

Fonte: <windows.microsoft.com/pt-br/windows7/minesweeper-how-to-play>. Acesso em: 27 mar.

2013.

O jogo Campo Minado está disponível em:

<www.voujogar.com.br/jogosonline/campo-minado html >;

<http://www.papajogos.com.br/classicos/Campo_Minado_1715.html>;

<http://www.recreio.com.br/jogos/campo-minado> e

<http://jogos360.uol.com.br/campo_minado.html>. Acesso em: 04 jul. 2013.

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Figura 5: Tela do jogo Campo Minado Fonte:<http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=26768>. Acesso em: 04 abr.

2013.

Tarefa 9 – Jogue Batalha Naval na sala de aula.

O jogo Batalha Naval foi desenvolvido em um tabuleiro retangular 10x10 cm

com o objetivo de afundar todas as embarcações do adversário.

Joga-se em duplas obedecendo as seguintes regras:

1. Cada aluno recebe uma folha contendo duas cartelas correspondentes às

Figura 6 e 7. Na cartela maior (Figura 6) são colocadas as embarcações conforme

indicadas na Figura 7. Cada embarcação ocupa uma posição diferente: os porta-

aviões são marcados com quatro quadrinhos consecutivos, as fragatas são

marcadas em três quadrinhos consecutivos, os destroyers em dois quadrinhos

consecutivos e os submarinos são representados apenas com um quadrinho. Todas

as embarcações são colocadas conforme o desejo de cada jogador, sem que um

veja a marcação do outro.

2. Quando todos tiverem feito as marcações, estipula-se quem começa o

jogo.

3. O primeiro jogador deve “atirar” nas embarcações do adversário, indicando

o ponto do tiro, pelas suas coordenadas, dizendo a letra e o número onde deseja

atingir.

4. Caso o jogador acerte uma embarcação do seu oponente, este deve dizer

que acertou e, caso erre, o oponente fala “água”

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5. Conforme o jogador vai acertando as embarcações do adversário, continua

jogando até errar, isto é, até o oponente dizer “água”

6. Se o jogador errar o tiro, passa a vez ao seu adversário e assim

sucessivamente.

7. Uma embarcação afunda quando o jogador acertar todas as suas partes.

8. Vence o jogo aquele que conseguir afundar todas as embarcações do

adversário.

Após cada jogo finalizado, responda as seguintes questões:

- Quantas coordenadas do plano vocês utilizaram para indicar cada tiro?

- Qual a importância de se estipular um par ordenado?

- O que deveria ser feito caso essas referências não tivessem sido

estipuladas?

Figura 6: Cartela do jogo Batalha Naval em sala de aula Fonte:<http//portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnica.html?id=17922>. Acesso em: 16 mai. 2013.

Figura 7: Cartela do jogo Batalha Naval Fonte: <http//portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnica.html?id=17922>. Acesso em: 16 mai.2013

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Tarefa 10 - Jogue Batalha Naval no laboratório de informática

Como jogar

O jogo Batalha Naval se desenvolve sobre um tabuleiro retangular de

tamanho 10x10cm. A cor azul, que representa o mar, é destinada para posicionar as

suas embarcações. A cor verde, que simula um radar, é o painel que serve tanto

para disparar como para observar o andamento do jogo.

É jogado por duas pessoas. O objetivo de cada jogador é afundar todos os

navios do adversário. Para isso, cada jogador realiza na sua vez um disparo

clicando sobre o radar. Se for possível alcançar um navio inimigo, joga-se outra vez.

Para iniciar o jogo, você deve posicionar os 9 navios no tabuleiro azul. Cada

jogador dispõe de um porta-aviões (de 4 casas de comprimento), três

submarinos (de 3 casas cada um), três destroyers (de 2 casas) e dois botes (de 1

casa).

O jogador poderá posicionar suas unidades clicando com o botão esquerdo

do mouse sobre a malha azul onde aparecerá uma marca de cor verde ou

vermelha. A marca verde indica que é possível colocar a unidade nesta posição e

a vermelha indica o contrário, ou seja, que não é possível colocar nada neste lugar

e que deverá escolher outro.

Para mudar a direção do barco, clique sobre as setas situadas fora do

tabuleiro.

Uma forma automática e rápida para posicionar a frota é clicar em aleatório.

Começando a partida

Uma vez posicionados os 9 barcos, será encontrado o aviso: Esperando a

confirmação dos demais jogadores caso o adversário ainda não posicionou suas

unidades.

Depois de iniciado o jogo, e no seu turno, você poderá clicar sobre a malha

verde e disparar. A resposta será a iluminação do retângulo em azul (água),

marrom (unidade atingida) ou vermelho (unidade abatida).

Ao passar a vez, o jogador pode observar o efeito dos tiros do adversário

sobre seus próprios navios.

O jogo termina quando todos os navios de um jogador forem abatidos.

Fonte: <http://www.ludijogos.com/multiplayer/batalha-naval/regras>. Acesso em: 24 jul. 2013.

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Figura 8: Tela do jogo Batalha Naval Fonte: http://www.macoratti.net/07/08/vb_naval.htm. Acesso em: 04 abr. 2013.

Jogo disponível em:

<http://clickjogos.uol.com.br/Jogos-online/Acao-e-Aventura/Batalha-Naval/>;

<http://passatempo.ig.com.br/jogos/batalha-naval/>;

<http://www.voujogar.com.br/jogosonline/batalha-naval.html> e

<http://www.tocadosjogos.com/jogo/batalha/battleship+general+quarters.html>.

Acesso em: 12 jul. 2013.

4.ª ETAPA: CONHECENDO O GEOGEBRA

Tarefa 11 – Vá ao laboratório de informática para conhecer na prática o software

GeoGebra.

Atenção para os comandos!

Comando 1: Criar pontos e segmentos de reta

a) Vá à janela 2 e clique em Novo Ponto. Crie dois pontos quaisquer e nomeie-os

de X e Y, lembrando que os pontos são colocados em letra maiúscula (quando você

clicar os pontos já aparecerão nomeados de A e B). Para mudar as letras dos

pontos, pois foi pedido para que os pontos chamassem X e Y, clique com o botão

direito sobre o ponto e vá à janela renomear e, assim, mude para a letra desejada.

b) Vá à janela 3, opção Segmento definido por dois pontos e ligue os pontos X e Y.

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c) Em seguida construa dois novos pontos e nomeie-os de E e F, respectivamente

(agora você já sabe).

d) Clique na janela 3, vá à opção Segmento definido por dois pontos e construa um

segmento de reta.

e) Na janela 8, clique na opção Ângulo, selecione a opção comprimento e, em

seguida, clique nos pontos E e F para medir o segmento de reta.

Depois de realizar todos os comandos, ir à barra menu, clicar em Arquivo

(que abrirá nova janela), clique e comece novo comando.

Comando 2: Construção de polígono e pintura

a) Clique na janela 2, selecione a opção Novo ponto e marque no plano cartesiano

os seguintes pontos: A(2;0) e B(0;2).

b) Agora, no campo entrada, digite os pontos C(1;2) e D(2;3) e clique enter.

Aparecerão os pontos C e D.

c) Na janela 5 escolha a opção Polígono, clique em todos os pontos e assim

formará o polígono (para fechar o polígono clique em A,B,C,D, e A).

d) Clique com o botão direito em cada segmento de reta (um de cada vez) e nomeie.

Aparecerão sugestões da letra, poderá usá-la clicando em OK e fechar.

e) Agora vá à janela 1, selecione a opção Mover e arraste as letras (que

representam os pontos e as retas) que estiverem dentro do polígono para fora dele.

f) Na janela de visualização, clique na setinha ao lado que aparecerá várias opções.

Então escolha o desenho dos eixos e clique sobre ele. Assim, o plano cartesiano do

GeoGebra desaparecerá e ficará somente a figura formada.

g) Pinte o polígono de verde escuro. Para pintar o polígono basta clicar dentro do

polígono com o botão direito. Abrirá uma janela com várias opções, clique em

Propriedades, Cor (vai em verde escuro, clique) e fechar. O polígono ficará verde.

h) Vá até a janela 8 e clique. Escolha a opção cm para determinar o comprimento de

cada segmento de reta. Então clique primeiro em AB, depois em BC, depois em CD

e por último em DA. Aparecerão as medidas dos segmentos.

i) Clicando na janela 1, opção Mover, você poderá mexer com os valores e colocá-

los para fora do polígono, faça isso.

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j) Calcule o perímetro. Para calcular o perímetro, vá ao campo de entrada, digite

s=a+b+c+d e enter. Você verá que na janela algébrica aparecerá o valor do

perímetro do quadrilátero formado.

Comando 3 – Construção de pentágono

No seu GeoGebra, forme um pentágono (figura geométrica formada por cinco

lados), pinte-o de marrom, mova todas as letras dos pontos e dos segmentos de reta

para fora do polígono e encontre seu perímetro.

Comando 4 – Construção do triângulo e cálculo de ângulos internos

a) Com os pontos A (5;3), B(-2;1) e C(3;-2) forme um triângulo, pinte-o de laranja e

mova todas as letras para fora do polígono.

b) Clique na setinha da janela visualização que aparecerá a malha quadriculada,

clique nela. Seu polígono ficará na malha.

c) Clique na janela 8, na opção Ângulo e em seguida clique em três pontos

consecutivos, assim: ABC, BCD, CDA e aparecerão todos os ângulos internos.

d) Mova as medidas para fora do triângulo. Deixe o triângulo apenas com as

medidas dos ângulos. Para excluir as letras, clique com o botão direito sobre elas

(uma de cada vez), vá à opção Exibir Rótulo e clique, todas as letras desaparecerão.

5.ª ETAPA: TRAÇANDO BISSETRIZES

Tarefa 12 – Construa um plano cartesiano no papel milimetrado, sabendo que a

intersecção entre os eixos (x,y) é ponto de origem (0,0). Trace o segmento de reta

que representa as bissetrizes dos quadrantes e cite três coordenadas de cada

quadrante que passem pelas bissetrizes.

Tarefa 13 – Trace bissetrizes no GeoGebra seguindo os comandos: .

a) Vá à janela 2 (Novo ponto) e marque 3 pontos quaisquer A, B e C.

b) Em seguida, na janela 5, clique em Polígono e una os três pontos A, B e C.

c) Formado o triângulo, pinte-o de verde. Para pintar, clique com o botão direito

dentro do triângulo, vá a Propriedades, Cor (escolha a cor) e feche.

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d) Agora na janela 4, selecione a opção Bissetriz e clique em três pontos (A, B e

C). Assim, será traçada a bissetriz do ângulo .

e) Ainda na janela 4, selecione a opção bissetriz e clique em outros três

pontos(B,C e A). Assim, será traçada a bissetriz do ângulo

6.ª ETAPA: CALCULANDO DISTÂNCIAS ENTRE DOIS PONTOS

Tarefa 14 - Observando o mapa da Figura 9, atribua valores no plano cartesiano,

sabendo que a intersecção entre as retas é o ponto de origem (0;0).

Figura 9: Mapa do Brasil

Fonte: <objetoseducacionais2.mec.gov.br> com algumas adaptações da autora deste. Acesso em: 25

set. 2013.

a) Sabendo que cada quadrado representa uma unidade de área, qual a distância

entre o Amazonas e o Ceará?

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b) Qual a distância do Amazonas a Minas Gerais se tiver de passar pelo Mato

Grosso, em linha reta?

c) E se for direto do Amazonas a Minas Gerais, sem passar pelo Mato Grosso, em

linha reta, qual será a distância?

d) Quanto terei andado se sair do Rio Grande do Sul passando por Mato Grosso,

Amazonas, Ceará, Minas Gerais e voltando até o ponto de partida sempre em linha

reta?

7.ª ETAPA: CALCULANDO O PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO

Tarefa 15 - Utilizando o mapa da Tarefa 14 (Figura 9), determine:

a) Que estado fica exatamente no meio dos pontos localizados nos estados do

Ceará e do Rio Grande do Sul?

b) Qual é o ponto médio entre o Amazonas e o Rio Grande do Sul? Que estado está

localizado neste ponto?

c) Que estado fica exatamente no meio dos pontos localizados no Ceará e no

Amazonas?

Tarefa 16 - Se A (-5;2) é uma das extremidades do segmento de reta AB e M(-2;4) é

o seu ponto médio, o ponto B terá as coordenadas:

a) (1;6) b) (0;1) c) (2;12) d) (-5;4) e) (-2;2)

8.ª ETAPA: CALCULANDO O BARICENTRO DE UM TRIÂNGULO

Tarefa 17 – Construa o plano cartesiano em seu caderno. Marque os pontos A(-1;

-2), B(1;-1) e C(-2;3). Una esses pontos com segmentos de reta, formando um

triângulo. Encontre o baricentro nominando-o de ponto G.

Tarefa 18 - Utilizando o GeoGebra:

a) Vá à janela 2, selecione a opção Novo ponto e clique em três pontos quaisquer do

plano cartesiano formando A, B e C. Clique na janela 5 em Polígono e una os três

pontos formando um triângulo.

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b) Pinte de verde (não esqueça de que para pintá-lo é necessário clicar com o botão

direito dentro, ir a Propriedades e escolher a cor desejada).

c) Vá à janela Visualização e clique. Aparecerão os eixos dentre outras opções.

Clique em Eixos e o plano cartesiano sumirá.

d) Clique em malha e aparecerá uma malha completa como fundo.

e) Na janela 2 clique na função Ponto Médio ou Centro e marque os três pontos

médios.

f) Selecione na janela 3 a opção Segmento definido por dois pontos e una os três

pontos formados, cada um com seu vértice oposto. Assim, serão traçadas as

medianas.

g) A intersecção das três medianas formará um ponto, o qual recebe o nome de

baricentro.

9.ª ETAPA: CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS

Tarefa 19 – Verifique se os pontos A (2;3), B (3;2) e C (1;0) estão alinhados(são

colineares).

Dica: Para que os pontos sejam colineares o determinante tem que ser zero.

Tarefa 20 – Qual deve ser o valor de x para que os pontos A (-1; 1), B (3;x ) e

C (1;3) sejam colineares (estejam alinhados).

Tarefa 21 – Qual (is) devem ser o(s) valor (es) de x para que os pontos A (5;3),

B (2;1) e C (x; 4) sejam vértices de um triângulo.

Dica: Para que os pontos sejam vértices, estes pontos não podem estar alinhados.

Tarefa 22 - Num surto de dengue, o departamento de saúde de uma cidade quer

que seus técnicos visitem todas as casas existentes na região limitada por um

triângulo de vértices nos três focos em que a doença foi encontrada. Para facilitar

essa ação, colocou-se o mapa da cidade sobre um plano cartesiano, com escala 1:1

km, e verificou-se que os focos se localizavam sobre os pontos A(2;5), B(– 3;4) e

C(2;–3). Considerando que cada especialista será responsável por 2 km2 de área

nessa região triangular, o número de técnicos necessários e suficientes será igual a:

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a) 20 b) 18 c) 16 d) 12 e) 10

Fonte: <professorfernandoboze/sugestoes-de-atividades/3o-ano---em/geometria-analitica/area-do-triangulo-e-condicao-de-alinhamento>. Acesso em: 08 jul. 2013.

10.ª ETAPA: CALCULANDO ÁREA DE UM TRIÂNGULO

Tarefa 23 – Calcule a área do triângulo formado pelos pontos A(2;-6), B(-4;2) e

C(0;4) no plano cartesiano, no papel milimetrado.

Tarefa 24 - Utilizando as respectivas ferramentas do GeoGebra, com os mesmos

pontos A(2;-6), B(-4;2) e C(0;4), encontre a área do triângulo formado.

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ORIENTAÇÕES METODOLÓGICAS

Na sequência serão apresentadas algumas sugestões e orientações aos

professores que pretendem utilizar esta U.D., referentes a algumas tarefas que se

pensou fazer necessárias. As tarefas não citadas foram consideradas

autoexplicativas.

A aula poderá ter início com o professor investigando o que os alunos sabem

a respeito da Geometria Analítica, por meio de alguns questionamentos.

Na tarefa 1 os alunos devem ser levados ao laboratório de informática para

que façam uma pesquisa sobre as contribuições de Euclides de Alexandria e

Descartes para o estudo da Geometria Analítica. Em seguida, com a pesquisa em

mãos, faz-se um seminário (plenária) na sala de aula para que todos possam

compartilhar as pesquisas feitas e assim ter um conhecimento maior sobre esses

pensadores, filósofos e matemáticos. Um breve histórico da geometria pode ser

contemplado pelo professor, complementando as pesquisas dos alunos. Neste

momento sugere-se, que seja resgatada parte da história da Geometria e da

Geometria Analítica, enfatizando o conhecimento geométrico da Grécia antiga que

foi sistematizado por Euclides por volta do ano 300 a.C., em sua obra denominada

Elementos. Conforme expõe as DCEs (PARANÁ, 2008, p. 55), é importante ressaltar

aos alunos que na geometria euclidiana engloba tanto a “geometria plana” (pela qual

se estuda o ponto, a reta e o plano; posições relativas entre retas como: Ângulos,

Triângulos, Quadriláteros, Polígonos, Perímetro, Áreas de regiões plana) como a

“geometria espacial”(pela qual estuda-se o espaço e as figuras que podem ocupá-lo

como: prisma, cubo, paralelepípedo, pirâmides, cone, cilindro e esfera).

Na 2.ª etapa, Introdução à Geometria Analítica, antes de iniciar o conteúdo

propriamente dito, é importante fazer uma revisão, no quadro, quanto à

representação dos números inteiros na reta numérica, utilizando as representações

tanto na posição horizontal quanto na vertical. Na sequência, o professor fará a

apresentação do conteúdo científico Sistema Ortogonal Cartesiano (e os alunos

podem acompanhar pelo livro didático cedido pelo governo do estado do Paraná), o

qual envolve o plano cartesiano, quadrantes e localização de pontos. Apresentam-se

também, nesse momento, os tópicos a serem estudados.

No estudo analítico do ponto, estudam-se os seguintes conteúdos

específicos: Plano cartesiano (coordenadas cartesianas), Distância entre dois

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pontos, Ponto médio de um segmento, Baricentro de um triângulo, Condições de

alinhamento de três pontos e Área de um triângulo.

Após explicação e exemplificação do conteúdo pelo professor propõe-se as

tarefas desta etapa aos alunos.

A 3.ª etapa compreende os jogos sugeridos para trabalhar o conteúdo O

Ponto, denominados Caminho Correto, Campo Minado e Batalha Naval. Estes jogos

são considerados estratégicos porque estimulam o jogador a criar estratégias de

ação para melhorar seu desempenho como jogador. Espera-se que estes auxiliem

na criação de condições para que os alunos deixem de ser passivos e

heterônomos4. Além disso, acredita-se que é possível, com a utilização desses e de

outros jogos, transformar a disciplina de Matemática de séria e tenebrosa em

atraente e divertida propiciando, paralelamente, a construção de conhecimentos de

forma diferenciada.

Na tarefa 7 considera-se importante o professor fazer um comentário sobre o

jogo proposto, esclarecendo que utiliza conceitos relacionados ao plano cartesiano,

usando apenas um quadrante. Neste jogo, a tabela contendo as bombas, que ficará

no quadro, pode ser colocada no chão para que alunos pisem literalmente nas

bombas ou percorram o caminho correto.

Com relação à tarefa 9, fica uma dica ao professor:

DICA: É importante deixar as letras e números dispostos no modo que está no

modelo (Figura 6), pois assim os alunos conseguirão compreender melhor o trabalho

no primeiro quadrante do Plano Cartesiano.

Ao final desta tarefa, espera-se que os alunos compreendam a importância

de se adotar referências nesse jogo para que o adversário possa interpretar a

jogada que está sendo feita e assim avaliar se o tiro foi certeiro ou não.

Essa tarefa permite que os alunos tenham contato com o plano ortogonal

apresentado num jogo. Além disso, possibilita reconhecer o eixo das abscissas,

percebendo que se trata da reta numérica dos números inteiros, depois o eixo das

ordenadas, destacando o fato de o ponto de encontro entre as duas retas ser o

ponto (0,0) (ponto de origem do plano).

Na tarefa 10, o jogo Batalha Naval é sugerido com o objetivo de trabalhar o

conceito de par ordenado. No entanto, contribui também para o desenvolvimento do

4 Heterônomo - que está sujeito a uma lei ou força exterior ou a vontade de outra pessoa. Fonte:

<http://aulete.uol.com.br/heter%C3%B4nomo>. Acesso em: 23 set. 2013.

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raciocínio lógico e da capacidade de concentração dos alunos. Este jogo possibilita

a compreensão da ideia de abscissa(x) e ordenada(y) e, consequentemente, a

localização do par ordenado no plano cartesiano. Além disso, proporciona a

percepção de que a ordem de localização dos pontos é fundamental, sendo preciso

colocar primeiro o valor numérico do eixo da abscissa e depois o do eixo da

ordenada, concluindo que, se trocar a ordem, o ponto estará em outro quadrante.

Adota-se nesta Unidade Didática a teoria educacional “O Construcionismo”,

que surgiu nos anos 70 e 80 pelo matemático sul africano Seymour Papert (1991), a

qual visa a aprendizagem dos alunos em ambientes diferentes daqueles em que

está acostumado a estudar. Propõe-se, então, oferecer ao aluno o laboratório de

informática para o aprendizado também com o uso dos computadores.

Na 4.ª etapa, quanto à utilização do GeoGebra, requer estudo e prática do

professor para aprender e dominar seguramente o software. Sendo assim, sabemos

que a maioria dos nossos alunos tem um domínio bem maior que o nosso em

relação às mídias tecnológica e é importante levar em consideração que tanto os

alunos aprenderão com o professor como o professor aprenderá com os alunos. E,

como disse Moran (2008, p 02), “o educador autêntico é humilde e confiante Mostra

o que sabe e, ao mesmo tempo, está atento ao que não sabe, ao novo. Mostra para

o aluno a complexidade do aprender, a nossa ignorância, as nossas dificuldades”

O GeoGebra é um software que reúne recursos de geometria, álgebra,

tabelas, gráficos, probabilidade, estatística e cálculos simbólicos em um único

ambiente, conforme relata a equipe do Instituto GeoGebra no Rio de Janeiro. Ele foi

idealizado e desenvolvido em 2001 por Markus Hohenwarte (Universidade de

Salzbue na Áustria). É um software indicado para o ensino da Escola Básica e

Superior, afim de que o ensino de alguns conteúdos de matemática sejam melhores

compreendidos, pelo fato de ser em português, funcionar em diversas plataformas

como Windows e Linux e principalmente por sua distribuição ser gratuita.

Logo, com o uso da mídia informática (especificamente o software

GeoGebra), espera-se que as aulas de Geometria, em especial as de Geometria

Analítica que tratam sobre o assunto O Ponto, possam modificar o interesse dos

alunos pelo referido estudo. A utilização do GeoGebra também permite ao professor

proporcionar condições aos alunos de estimular sua criatividade, o raciocínio, além

de encontrar novas possibilidades para a construção do conhecimento.

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Na tarefa 11, que ocorrerá no laboratório de informática, é interessante que o

professor vá apresentando aos alunos, no projetor multimídias, os comandos

propostos e as ferramentas do GeoGebra. Estes podem ser encontrados no Manual

disponível em: <http://www.geogebra.org/help/ docupt_PT.pdf>. Acesso em: 10 jul.

2013.

Atenção:

Ao selecionar um objeto e clicar com o botão direito do mouse sobre ele,

aparecerá uma janela mostrando as opções.

Estas foram as orientações e sugestões que se pensou serem necessárias.

O estudo da Geometria Analítica engloba vários conteúdos básicos e

específicos. Ao elaborar o projeto e, consequentemente, o projeto de Intervenção,

pensou-se no estudo da G.A. com enfoque em ponto, reta e circunferência. Devido

ao tempo para a implementação ser limitado e levando-se em conta a extensão do

conteúdo, optou-se por trabalhar apenas com o conteúdo específico O Ponto.

Assim, o conteúdo específico O Ponto pode ser ainda explorado com várias

outras atividades, jogos e softwares.

Sugere-se que durante o ano letivo, os conceitos e aplicações de reta e

circunferência também possam ser trabalhados na mesma linha de estudo como foi

proposto o ponto, devido a importância principalmente do uso do software citado no

projeto.

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AVALIAÇÃO DA APRENDIZAGEM COM A IMPLEMENTAÇÃO DA U.D.

1. Durante os jogos, os alunos serão observados quanto aos momentos de

interação.

2. Durante a pesquisa na internet, serão verificadas as pertinências das

informações selecionadas.

3. Observando as atividades desenvolvidas e a participação dos aluno, será

possível avaliar se desenvolveram a capacidade de:

- Transpor a linguagem escrita em língua materna para a linguagem

algébrica, relacionando os pontos do plano com sua representação em

pares ordenados, utilizando também a leitura das representações

simbólicas apresentadas.

- Relacionar o trabalho no plano cartesiano com a representação dos

números inteiros na reta numérica.

- Compreender e distinguir a representação das características do plano

em linguagem matemática (abscissa, ordenada, quadrante).

- Interpretar problemas e situações que envolvam a representação de

dados no plano cartesiano.

4. No final do processo os alunos também serão avaliados com atividades

impressas individualizadas com tempo previsto para o término.

RECURSOS MATERIAIS

Os recursos materiais a serem utilizados na implementação desta Unidade

Didática são: quadro de giz, giz, sala de aula, sala de informática, jogos físicos

(Caminho Correto e Batalha Naval), computadores com software GeoGebra e jogos

instalados (Campo Minado e Batalha Naval), projetor multimídias, folhas impressas,

papel quadriculado e papel milimetrado.

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SUGESTÕES DE ATIVIDADES AVALIATIVAS 1 - A Câmara de Dirigentes Lojistas de Feira de Santana, na Bahia, tem a

disposição de acordo com o mapa abaixo.

Fonte: <http://www.cdlfs.com.br/teatro.php> (clique em: “VEJA O MAPA DAS POLTRONAS”) Acesso

em: 03 jul. 2013

Sabendo que as linhas estão na posição horizontal e representadas pelas letras do

alfabeto e que as colunas estão na vertical representadas por números,

considerando que você está no centro do palco olhando para a plateia, responda:

a) quem está sentado na linha D, poltrona 05, está sentado em que linha e em que

coluna?

b) quem está sentado na linha H e poltrona 17, está sentado em qual linha e qual

coluna?

c) quem está sentado na fileira M, número 10, está sentado em qual fileira e qual

coluna?

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d) quem está sentado na fileira M, número 9, está sentado em qual fileira e qual

coluna?

2 – Determine os possíveis valores para m, sabendo que o ponto P(- m+5, -2+4m)

pertence ao 3.º quadrante.

3 - Agora é com você!

Crie alguns comandos para utilizar o GeoGebra, de acordo com as ferramentas

abaixo:

Janela 1

Janela 2

Mover: permite selecionar,mover e manipular objetos. Girar em Torno do Ponto: permite girar os objetos em torno de um ponto. Gravar para a Planilha de

Cálculos: permite transportar

informações selecionadas da

janela geométrica para a planilha

de cálculo.

Novo ponto: permite criar um ponto em espaço livre, objeto ou intersecção. Intersecção de Dois Objetos: permite localizar os pontos de intersecção entre dois objetos. Ponto Médio ou Centro: permite criar um ponto médio entre dois objetos.

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Janela 3

Janela 4

Janela 5

Reta Definida por Dois Pontos: permite criar uma reta que passa por dois pontos. Segmento definido por Dois Pontos: permite criar o segmento de reta que liga dois pontos. Segmento com Comprimento Fixo: permite criar um segmento de reta definido o seu comprimento. Semirreta Definida por Dois Pontos: permite criar uma semirreta dados dois pontos. Vetor definido por Dois Pontos: permite criar um vetor definido por dois pontos. Vetor a Partir de um Ponto: permite criar um vetor paralelo a outro vetor clicando num vetor e

em seguida num ponto.

Reta Perpendicular: constrói uma reta perpendicular a uma reta, semirreta, segmento de reta, vetor, eixo ou lado de um polígono. Reta Paralela: constrói uma reta paralela a uma reta, semirreta, segmento de reta, vetor, eixo ou lado de um polígono. Mediatriz: permite construir a reta perpendicular que passa pelo ponto médio de um segmento. Bissetriz: permite construir a bissetriz de um ângulo. Tangentes: permite construir retas tangentes a uma circunferência, cônica ou função, dado um ponto. Reta Polar ou Diametral: constrói a reta diametral relativa a uma circunferência ou curvas cônicas. Reta de Regressão Linear: permite achar a reta que melhor se ajusta a um conjunto de pontos. Lugar Geométrico: constrói automaticamente o lugar geométrico descrito pelo movimento de um objeto ao longo de uma trajetória.

Polígono: permite construir um polígono de n lados. Polígono Regular: permite construir um polígono regular dado um lado e a quantidade de vértices ou lados.

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Janela 6

Janela 7

Fonte: <http://www.geogebra.org/help/docupt_PT.pdf> e a autora deste. Acesso em: 10 jul. 2013

Ângulo: permite marcar e medir um ângulo definido por três pontos, sendo que o segundo ponto marcado é o vértice. Ângulo com amplitude fixa: constrói um ângulo com amplitude fixa dado, dois pontos. Distância, Comprimento ou Perímetro: fornece o comprimento de um segmento ou distância entre dois pontos. Área: fornece a área de uma figura. Inclinação: fornece a inclinação de uma reta.

Seletor: é um segmento pequeno que possui um ponto deslizando sobre ele. Caixa para Exibir/Esconder Objetos: permite escolher quais objetos quer mostrar. Para esconder o objeto, basta desmarcar esta opção. Inserir texto: permite inserir um texto na janela de visualização. Incluir imagem: permite inserir figuras na janela de visualização Relação entre Dois Objetos: fornece algumas relações dado dois objetos.

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2 – (Enem 2011) Questão 152 - Matemática (prova amarela)

Fonte: <http://guiadoestudante.abril.com.br/vestibular-enem/enem-2011-questao-152-matematica-prova-amarela-644393.shtml>. Acesso em: 22 abr. 2013.

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REFERÊNCIAS

ALBUQUERQUE, L.; SANTOS, C. H. O programa GeoGebra: relato de experiência

no ensino de geometria plana de 5.ª a 8.ª séries e na socialização com professores

da rede de ensino estadual. Disponível em: <http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/

portals/pde/arquivos/1735-8.pdf>. Acesso em: 20 mai. 2013.

CABRAL, M. A. A utilização de jogos no ensino da Matemática. 2006. Trabalho

de Conclusão de Curso de Matemática – Habilitação em Licenciatura. Universidade

Federal de Santa Catarina. Florianópolis. Disponível em: <http://repositorio.ufsc.br/

bitstream/handle/123456789/96526/Marcos_Aurelio_Cabral.pdf?sequence=1>.

Acesso em: 06 jun. 2013.

MORAN, J. M. O uso das novas tecnologias da informação e da comunicação

na EAD: uma leitura crítica dos meios. Disponível em: <http://portal.mec.gov.br/

seed/arquivos/pdf/T6%20TextoMoran?-pdf>. Acesso em: 07 jul. 2013.

PAPERT, S. Situating Constructionism. In: HAREL, I.; PAPERT, S. (Ed.).

Constructionism. Cambridge, MA: MIT Press, 1991. p.1-11.

PARANÁ. Diretrizes Curriculares da Educação Básica (Matemática). Curitiba:

SEED/ DEB, 2008.