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Versão On-line ISBN 978-85-8015-076-6Cadernos PDE
OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE
Artigos
GEOGEBRA NO ENSINO DE FUNÇÕES DO PRIMEIRO E SEGUNDO GRAU
Vilmar Simm1
Maria Ivete Basniak2
Resumo: Neste artigo é apresentado o desenvolvimento da experiência que tive com alunos da 1ª série do Ensino Médio do Colégio Estadual Pedro Araújo Neto no município de General Carneiro, PR no que se refere à utilização do software GeoGebra para o processo de ensino e aprendizagem das funções do primeiro e segundo graus. Esta atividade é etapa integrante da minha participação no PDE oferecido pela SEED durante os anos de 2013 e 2014. Farei uma abordagem rápida sobre as novas tecnologias no ensino da matemática incluindo a política de expansão de acesso à tecnologia informática nas escolas, bem como as características básicas do software GeoGebra, utilizado em minha intervenção pedagógica. Explanarei a experiência didática com os alunos e uma avaliação dos resultados obtidos que mostrou que o processo ensino aprendizagem acontece de maneira mais ágil, quando utilizamos o software. Palavras-chave: Tecnologia. Educação. GeoGebra. Funções.
1. INTRODUÇÃO
Neste trabalho socializarei a experiência que tive com os alunos da 1ª série
do Ensino Médio do Colégio Estadual Pedro Araújo Neto no município de General
Carneiro-PR através do Programa de Desenvolvimento Educacional (PDE) oferecido
pela Secretaria de Estado da Educação do Paraná (SEED), durante os anos de
2013 e 2014 a qual envolve o ensino e aprendizagem das funções de primeiro e
segundo graus, utilizando o GeoGebra.
O Colégio Estadual Pedro Araújo Neto (CEPAN) – Ensino Fundamental e
Médio está localizado no centro de General Carneiro – PR, município que conta com
aproximadamente 13000 habitantes sendo a maioria de baixa renda. No período
matutino a maioria dos alunos é oriunda do centro da cidade e dos bairros mais
próximos. A família da maior parte deles não é de baixa renda e possui
computadores e celulares com acesso à internet. No período vespertino uma
quantidade massiva de alunos reside no interior do município e não tem acesso à
internet, não possui computador, mas possui aparelho de telefone celular, que é
utilizado quando estão no centro da cidade.
Na sequência, farei uma abordagem das novas tecnologias e o ensino da
matemática, apresentarei o laboratório do colégio onde apliquei o projeto e o
1 Autor Professor da Rede Pública do Paraná Licenciatura Matemática, e-mail:
[email protected]. 2 Orientadora. Professora adjunta do Colegiado de Matemática da Universidade Estadual do Paraná.
Mestre em Métodos Numéricos (UFPR) e Doutora em Educação (UFPR).
software GeoGebra. Explanarei sobre a experiência didática finalizando com alguns
resultados obtidos com este trabalho.
2. AS NOVAS TECNOLOGIAS E O ENSINO DA MATEMÁTICA
Historicamente é sabido que a terceira fase da Revolução Industrial “começou
após a Segunda Guerra Mundial, quando surgiram os processos automatizados cuja
base é a eletrônica” (SILVA & SILVA: 2009, p. 372). Esse processo trouxe profundas
mudanças no comportamento da humanidade com relação aos bens de consumo
modificando a percepção das indústrias quanto à produção desses bens. Todas
essas transformações trouxeram consigo uma grande variedade de mudanças
também no cotidiano e na forma de agir das pessoas, pois novas tecnologias são
desenvolvidas diariamente modificando as relações entre as pessoas, a forma de
interagirem e produzirem. O apelo visual por meio da propaganda estimula a
impressão de necessidade de certos bens de consumo, faz com que crianças e
adolescentes procurem rapidamente ter acesso às diversas tecnologias disponíveis
no mercado.
Atualmente, nas escolas, a maioria dos alunos possui celulares, tablets,
notebooks, acesso à internet ou, se não os tem, ao menos já tiveram contato com
tais aparelhos e os percebem como parte necessária para o seu dia a dia para se
comunicar ou se manterem informados sobre o que ocorre no mundo, por exemplo.
Assim, a maioria dos jovens atualmente cresce tendo contato com um aparato
tecnológico bem mais avançado e de fácil acesso que as gerações anteriores. Isso
se reflete até mesmo em comunidades onde há predominância de famílias com
renda mais baixa, visto que tem que fazer uso de recursos informatizados, como
caixas eletrônicos nos bancos, por exemplo. Dessa forma, a geração atual vem
aprendendo desde muito cedo, a fazer uso dos recursos tecnológicos, como
controles remotos para alterar configurações de TVs e/ou celulares. Nesse sentido,
Campos e Nunes (1994, p 6-7) enfatizam que:
(...) o professor não pode mais reproduzir os modelos educacionais que ele próprio vivenciou enquanto aluno. Mudaram o mundo, os objetivos e a concepção de ensino – portanto, precisa mudar também o professor. As considerações psicológicas sugerem que o professor tem o papel de levar o aluno a reconstruir modelos matemáticos em outras situações, representá-los de maneira a poder utilizar os mais poderosos sistemas simbólicos da Matemática, como instrumento de pensamento, utilizá-los em situações que lhe deem significado. As questões sociológicas discutem a representação
social do professor e lhe abrem perspectivas para uma nova definição a ser conquistada por novas maneiras de interagir com seus alunos. As considerações antropológicas devem tornar o professor consciente de que são seus alunos e pode ajudar a construir um futuro para eles próprios. As considerações epistemológicas e históricas devem engajar o professor num
processo de reavaliação do que importa incluir no currículo.
Para melhoria e aprimoramento do processo de ensino na sala de aula, a
tecnologia, quando bem utilizada pode ser uma aliada. No ensino da matemática
especificamente, o professor pode utilizar diversas ferramentas como softwares, por
exemplo, para ampliar as possibilidades de aprendizagem dos alunos. Segundo
D’Ambrósio, (2001):
É preciso substituir os processos de ensino que priorizam a exposição, que levam a um receber passivo do conteúdo, através de processos que não estimulem os alunos à participação. É preciso que eles deixem de ver a matemática como um produto acabado, cuja transmissão de conteúdo é vista como um conjunto estático de conhecimentos e técnicas.
Uma mudança no processo ensino-aprendizagem, para uma concepção
construtivista, requer entre ouras coisas, uma postura ativa do professor, alunos
motivados e rupturas de paradigmas. Como Valente (1991, p. 17-18) diz:
A sala de aula deve deixar de ser o lugar das carteiras enfileiradas para se tornar um local em que o professor e alunos podem realizar um trabalho diversificado em relação ao conhecimento. O papel do professor deixa de ser o “entregador” de informação, para ser o facilitador do processo de aprendizagem. O aluno deixa de ser passivo, de ser o receptáculo das informações, para se ativo aprendiz, construtor de seu conhecimento.
Se o professor priorizar a maior parte de seu tempo em aulas expositivas,
corre o risco de ver cada vez mais frustrado a construção de um processo de ensino
aprendizagem com significado para o aluno, pois atualmente as novas tecnologias
de informação estão se universalizando interferindo diretamente nas formas de
ensinar e aprender. Considero que um dos problemas do processo de ensino-
aprendizagem da Matemática é o fato de muitas vezes as aulas serem realizadas de
forma mecânica e, sem contextualização ou experimentação. Muitas vezes
considera-se que se houve ensino, automaticamente houve aprendizagem e isso
nem sempre ocorre. Desta forma, pode-se buscar novas possibilidades didáticas
aliadas às tecnologias, como instrumento para aprimoramento nos processos
educacionais que podem através de um processo contextualizado e dinâmico
favorecer a aprendizagem. Com o uso de softwares, por exemplo, com suas
ferramentas que permitem construções. Gravina (1996, p.6) destaca que os
softwares:
São ferramentas de construção: desenhos de objetos e configurações geométricas são feitos a partir das propriedades que os definem. Através de deslocamentos aplicados aos elementos que compõe o desenho, este se transforma, mantendo as relações geométricas que caracterizam a situação. Assim, para um dado objeto ou propriedade, temos associada uma coleção de “desenhos em movimento”, e os invariantes que aí aparecem correspondem às propriedades geométricas intrínsecas ao problema. E este é o recurso didático importante oferecido: a variedade de desenhos estabelece harmonia entre aspectos conceituais e figurais; configurações geométricas clássicas passam a ter multiplicidade de representações. Propriedades geométricas são descobertas a partir dos invariantes no movimento.
Portanto o GeoGebra pode ser um grande aliado para inovar o processo de
ensino e aprendizagem, dado que possui características que o tornam ideal para
esta aplicação são: software de livre distribuição, extremamente dinâmico e interface
amigável. Está disponível em http://www.geogebra.org tanto em plataforma Windows
quanto Linux, além das plataformas portáteis como Android, por exemplo.
Então, a escolha pelo software GeoGebra se deu principalmente por dois
motivos: por ser livre e por ser dinâmico, o que o habilita como uma ferramenta
pedagógica na abordagem, experimentação e construção de conceitos em muitos
conteúdos matemáticos.
A grande vantagem de sua utilização é que as construções feitas no GeoGebra são dinâmicas, isto é, podem ser manipuladas com o auxílio do mouse. Essa caraterística do software permite que durante as aulas possa haver uma abordagem mais experimental e construtiva, através da exploração do mesmo (GERÔNIMO, 2010, p.01).
Assim, esse aplicativo pode ser útil no processo de visualização de conceitos
e propriedades no processo de ensino aprendizagem da matemática precisando ser
mais divulgado e também mais utilizado pelos docentes em todas as escolas.
2.1 Programas de implantação de laboratórios de informática nas escolas
Tanto o governo Estadual (na gestão 2003-2010), quanto o governo Federal
tentaram reduzir o déficit de aparatos tecnológicos das escolas com a implantação
de laboratórios de informática, projetor multimídia e disponibilização de internet. O
Governo do Estado do Paraná (gestão 2003-2006) criou em 2004 o Programa
Paraná Digital ou simplesmente PRD. Foram adquiridos novos equipamentos para a
instalação de um laboratório de informática com acesso a internet com rede de fibra
ótica da Copel para todas as 2100 escolas da rede estadual. O PRD não recebe
atualizações desde 2010 quando houve mudança no governo do Estado.
Já o Governo Federal, iniciou em 1997 o Programa Nacional de Informática
na Educação (ProInfo) que passou a disponibilizar equipamentos para a instalação
de laboratórios de informática com conexão a Internet às escolas. O ProInfO, em
2007 passou a ser denominado Programa Nacional de Tecnologias na Educação,
tendo como principal objetivo" promover o uso pedagógico de Tecnologias de
Informática e Comunicações (TICs) na rede pública de ensino fundamental e médio"
(FNDE, 2014). Por meio dele o MEC disponibiliza às escolas computadores,
recursos digitais e conteúdos educacionais. Os estados e municípios entram com a
contrapartida de garantir a organização da infraestrutura adequada para a instalação
dos laboratórios. Também devem prover capacitação aos profissionais das escolas
para uso das máquinas, tanto no âmbito técnico quanto no educacional.
Atualmente o ProInfo distribui às escolas também lousas digitais que
funcionam junto com projetores multimídia e tablets aos professores. Estas medidas
corroboram para que os docentes incorporem as tecnologias digitais, a sua rotina de
trabalho aproveitamento essas tecnologias para favorecer o processo de ensino e
aprendizagem.
O laboratório de informática do ProInfo do CEPAN foi implantado no ano de
2012. Dispõe de 16 microcomputadores e 01 projetor multimídia. Utilizei esta
estrutura, para o desenvolvimento das atividades com os alunos.
3. DESENVOLVENDO O TRABALHO EM SALA DE AULA.
Como já destaquei no texto, para a aplicação da intervenção pedagógica
escolhi duas turmas de 1ª série de Ensino Médio. Neste tópico tratarei de como se
deu o andamento dos trabalhos citando alguns resultados desse desenvolvimento e
fazendo considerações com relação aos objetivos que incialmente haviam sido
idealizados.
No primeiro encontro com os alunos na sala de informática, no início do mês
de junho de 2014, apresentei o projeto explicando que seria executado seguindo um
cronograma, dividido em partes: primeiramente com a visualização do plano
cartesiano no GeoGebra, duas atividades para noção de função, uma atividade para
o reconhecimento e visualização do domínio e contradomínio, duas atividades para
função do primeiro e segundo graus e finalizando duas atividades para raízes e
vértices de funções do segundo grau. Outra particularidade da execução é que
essas atividades foram desenvolvidas sempre em grupos aproveitando que o
número de máquinas disponíveis no laboratório é reduzido. Utilizamos tais grupos
como forma de potencialização no desenvolvimento das atividades e dos debates.
Antes de iniciarem as tarefas com conteúdos matemáticos os alunos testaram
alguns comandos básicos do GeoGebra para se familiarizarem com suas
ferramentas e suas funcionalidades, levando-os a questionarem sobre o significado
da janela de álgebra, visualização (geométrica) e janela de entrada.
Iniciaram-se discussões mediadas por mim nas quais se observou que os
alunos entenderam que todas as construções geométricas são realizadas através de
uma sequência de comandos na janela de entrada que podem ser visualizadas na
janela de "visualização" geometricamente e de forma algébrica na janela do lado
esquerdo “de álgebra”.
3.1 Noção de função I
O QUADRO 1 mostra a tarefa cujo objetivo consistiu em que os alunos:
visualizassem a correspondência biunívoca entre as grandezas valor (em reais) e
quantidade (em litros), reconhecessem a dependência entre variáveis e
expressassem matematicamente sentenças que representam funções.
QUADRO 1: Construindo a Tabela no GeoGebra
Noção de função I
Construa uma tabela para abastecer um tanque se possuir: R$ 10,00; R$ 20,00; R$ 30,00; R$ 40,00; R$ 50,00; R$ 60,00; R$ 70,00; R$ 8,000 e R$ 90,00, sendo R$ 2,80 o valor do litro. Para isso:
01) Carregue o GeoGebra.
02) Vá em exibir e clique em “planilha”. Feche a janela de álgebra clicando no “x” . Também feche a janela gráfica (ou de visualização) clicando no “x”
.
03) Na célula A1 digite “valor” e em B1 digite litros.
04) Complete a coluna ‘valor” com os 9 valores propostos.
05) Complete a coluna “litros” fazendo os cálculos necessários.
Os alunos fazem os cálculos necessários manualmente e completam a tabela com os valores. E, em seguida, utilizando os recursos do software. Seguindo os seguintes passos: 1) Na célula B2 temos 3.57 (3,57 citado anteriormente que o GeoGebra não aceita vírgula como separador decimal), em B3 7.14 L.
2) Então vamos fazer com que o software calcule a quantidade de litros. Em B2 digite a sentença matemática para o litro L=v/2,80.
3) Agora selecionando B2 arraste na vertical arraste até onde desejar. Nesta etapa poderão ser inseridos valores que se desejar que o software efetue os cálculos.
4) Agora poderemos alterar ou acrescentar valores em reais e obtermos os litros correspondentes na coluna “litros”.
Fonte: material didático, 2013.
Na sequência, no material didático, nesta tarefa foi questionado quantos litros
de combustível é possível abastecer em um carro com determinada quantidade de
dinheiro. Durante o desenvolvimento da tarefa os alunos estabeleceram uma relação
de dependência entre a quantidade de litros a ser abastecida com determinada
quantidade de dinheiro e que teria como variável independente o valor do litro de
combustível fixado em R$ 2,80, ficando a tabela disposta da seguinte forma:
TABELA 1: Calculando a quantidade de litros.
Valor (em R$) Qtde.(em L)
R$ 10,00 3,85
R$ 20,00 7,69
R$ 30,00 11,54
R$ 40,00 15,38
R$ 50,00 19,23
R$ 60,00 23,08
R$ 70,00 26,92
R$ 80,00 30,77 Fonte: autor, 2014.
Então, após algumas análises nos resultados obtidos através do software,
pode-se estabelecer um primeiro modelo que calculava o número de litros (L) que
poderiam ser abastecidos no tanque sendo R$ 2,80 o valor do litro de combustível,
com os valores predeterminados na tabela: “L=valor÷2,80”.
Nas tarefas os alunos começaram a sugerir outras ideias para a relação da
tabela, como a troca de colunas, por exemplo, em que uma aluna mencionou que a
mãe dela abastecia seu veículo periodicamente com R$ 50,00 e não fazia controle
de quantos quilômetros era possível rodar com aquele valor em dinheiro e muito
menos de quantos litros eram colocados no tanque cada vez que ela abastecia.
Intervi neste momento a respeito do tema e simulei pequenas variações no valor do
combustível a partir dos valores de dois postos de gasolina da cidade, para que a
partir daí eles criassem uma tabela em que fosse possível observar como as
pequenas variações dos valores (reais), podem modificar as quantidades
abastecidas.
Outra questão apresentada por um dos integrantes de um dos grupos trouxe
a experiência de como seu pai faz o cálculo para abastecimento. O aluno relatou
que o seu pai rodava em torno de 200 km por semana de carro e o consumo médio
do carro era de aproximadamente 10 km/l. Isto o levou através da experiência, a
concluir que 20 litros eram a medida ideal para seu abastecimento semanal. Neste
momento incluí o comentário de que a relação entre quantidade de combustível e
valor pago pode ser feita de diversas formas. De fato, a relação que o aluno relatou
que o seu pai faz está correta e também é possível criar uma função que atenda a
forma como ele modela matematicamente a realidade pessoal de abastecer seu
veículo para poder usar durante a semana.
3.2 Noção de função II
Na aula que se seguiu foi feito um feedback para retomar os conceitos
básicos desenvolvidos, tais como as relações entre os valores da TABELA 1 que
conduziam à correspondência biunívoca. Mostrei novamente o que é dependência
entre variáveis e como em uma mesma situação real pode-se ter diversas relações
de dependência de variáveis, desde que a alternância das grandezas, possa trazer
alguma informação útil e relevante para a problematização que está sendo
analisada. As tarefas desenvolvidas apresentadas no QUADRO 2 possibilitaram
criar uma regra algébrica capaz de relacionar diretamente todos os valores na tabela
que foi criada. Essa lei pode ser modificada conforme a necessidade de uma ou de
outra informação relacionada ao problema.
Ainda com o intuito de mostrar aos alunos a correspondência biunívoca entre
as grandezas, reconhecer dependência entre variáveis e expressar
matematicamente sentenças que representam as funções, os alunos desenvolverem
a tarefa indicada no QUADRO 2.
QUADRO 2: Construção da tabela
Noção de função II
Agora vamos construir um quadrado e uma tabela que relacione a medida do seu lado com sua área. Para isso:
01) Abra o Geogebra.
02) Feche a janela de álgebra
03) Com o botão direito do mouse em cima da janela de visualização, desabilite os eixos
.
04) Selecione a ferramenta polígono regular , e clique duas vezes na tela do Geogebra. Abrir-
se-á a tela ·. Digite 4 e dê “enter”.
05) Com o cursor em cima da figura, clique no botão direito do mouse. Isto fará com que abra uma janela. Clique em “propriedades” e depois em “básico”. Troque o pol1, por área. Marque abaixo
“exibir rótulo”: .
06) Selecione a ferramenta “distância, comprimento ou perímetro” . Posicione o cursor em cima de cada lado e clique.
07) Clique em “exibir” na barra de menus e em seguida clique em planilha.
08) Na planilha que abriu do lado direito da tela, elabore uma tabela com duas colunas, uma com a medida do lado e a outra com a área, com pelo menos 10 medidas. Altere a figura e faça as anotações dos valores que você observar. Para isso, posicione o cursor em cima do ponto A ou B, segure e arraste para ver o que acontece. Se aumentar a figura e a tela ficar pequena, deslize o botão central do mouse para trás para diminuir o “zoom”.
Em seguida responda as perguntas, observando a tabela construída.
a) O que é dado em função do quê?
b) Qual a variável dependente?
c) Qual a variável independente?
d) Existe uma lei de associação para a área do quadrado?
e) Como fica a lei escrita matematicamente? Podemos dizer que o tamanho da área depende da medida do lado? E a medida do lado depende da área?
Fonte: material didático, 2013.
Após os alunos realizarem diversas construções de quadrados com diferentes
medidas de lado e também obterem suas áreas automaticamente pelo software, foi
solicitado novamente que criassem uma tabela, agora com 9 linhas, tendo na coluna
esquerda as medidas de comprimento de lado (em centímetros) obtidas na
construção dos quadrados e na coluna da direita as áreas (em centímetros
quadrados). Depois de completar a tabela, eles foram orientados a novamente criar
um gráfico no plano para observar a relação criada, em que geometricamente foi
possível notar que não se tratava de uma reta, mas sim de uma curva, onde todos
os valores da variável dependente representavam exatamente o quadrado de cada
valor da medida de lado do quadrado. Dessa forma, se verificou a relação entre
variável independente e variável dependente, ficando a tabela representada da
seguinte forma:
TABELA 2: Área do quadrado.
Lado (em cm) Área (em cm²)
2 4
3 9
4 16
5 25
6 36
7 49
8 64
9 81
10 100 Fonte: autor, 2014.
Após as atividades no laboratório de informática com o software GeoGebra,
foi realizado um novo feedback com os alunos em sala de aula, reelaborando ideias
e formalizando as conjecturas que havia surgido durante a realização das atividades
no laboratório de informática. Iniciei uma discussão fazendo questionamentos com o
intuito de perceber se os alunos tinham se apropriado de conceitos como a relação
entre o lado do quadrado e sua área. Também questionei a respeito da dependência
de variáveis para ver se eles perceberam que existia. Os alunos fizeram diversos
comentários como, por exemplo, sobre o cálculo da área de uma casa e como isso
tinha relação com o exemplo da TABELA 2. Portanto considera-se que os alunos
aprenderam os conceitos visto que conseguiram aplicá-los no desenvolvimento das
tarefas do QUADRO 2 e relacioná-las com outras situações semelhantes.
3.3 Domínio e contradomínio
Na terceira tarefa foram abordados os temas domínio e contradomínio através
da realização de uma construção3 que permitiu através da manipulação da medida
do lado do quadrado visualizar e reconhecer o domínio e a imagem de uma função
diretamente no plano cartesiano.
Após essa atividade, reutilizei o exemplo usado na atividade anterior, (do
abastecimento do tanque de combustível), em que cada valor (em reais) tinha uma
única quantidade de litros e foi feita a análise de domínio e imagem dentro daquela
3 Vide material didático (2013) disponível em www.diaadiaeducacao.pr.gov.br.
situação. Através do GeoGebra a tarefa foi desenvolvida de forma dinâmica e
participativa, reafirmando o que D’Ambrósio, (2001) nos diz sobre os processos de
ensino, que precisam estimular os alunos à participação. Pois considero que
somente com uma participação ativa é possível construir o conhecimento,
experimentando aplicações práticas daquilo que é estudado.
3.4 Função do primeiro grau
Na continuidade do projeto, foi proposta aos alunos uma tarefa no software
GeoGebra onde utilizaram dois controles deslizantes, uma para os valores de “a” e
outro para os valores de “b”, com variação de -10 a 10. Após inseriram uma função
do 1º grau “� = � � + �” no campo de entrada, observaram na janela de álgebra
a reta formada pela função em que marcaram um ponto “A”. Após, traçaram uma
reta perpendicular ao eixo “x” e depois ao eixo “y”, passando por “A”. Habilitaram o
rastro dos pontos “B” e C”.
A partir dessa construção foi feito o estudo dos coeficientes “a” e “b” através
da manipulação dos controles deslizantes referentes a esses valores, para que
observassem quais alterações gráficas seriam produzidas. No momento em que
movimentavam o controle deslizante e o valor de “a” alterava de -10 a 10 surgiram
comentários entre os alunos, de que a reta ora estava inclinada da esquerda para a
direita quando o “a” ficava positivo e ao contrário quando o “a” ficava negativo. Esse
foi o momento em que se destacou que o “a” é chamado de coeficiente angular, ou
seja, ele determina o ângulo entre a reta formada pela função e o eixo “x”.
Outra observação importante foi feita por um aluno, que quando se alterava o
valor de “a”, o valor de “y” também se modificava, aumentando ou diminuindo. A
partir disso, aproveitou-se para inserir o conceito de função “crescente” e
“decrescente”. Importante destacar que alguns alunos visualizaram que quando
“� > 0”, a função era crescente e quando “� < 0”, a função era decrescente.
O aluno Thiago, fez uma observação que quando ele alterava o valor de “b”,
mudava também o ponto onde a reta corta o “y”. Aproveitando esta contribuição feita
pelo aluno, foi mostrado que o coeficiente "�" representa a intersecção da reta
esboçada com o eixo “y” e foi explicado que esse valor de “b” é chamado de
coeficiente linear e significa o ponto em que a reta que representa a função
intercepta o eixo “y”. Para se observar melhor o coeficiente “b” os alunos foram
orientados a marcar um ponto na intersecção da reta da função com o eixo “y”, o
que evidenciou de forma mais clara e visual o que tinha sido posto a respeito do
valor “b”, pois os mesmos fizeram várias alterações no coeficiente comprovando o
que tinha sido exposto.
O aluno Paulo em certo momento perguntou: “Professor a reta sempre corta o
eixo “y” no valor do “b”, certo? E no eixo “x”, é no valor do “a”?”. Era esperado que
algum aluno tentasse sistematizar as questões envolvendo um de seus interceptos a
partir da própria equação. Neste momento pode-se intervir para sistematizar o
conceito de função da reta e de seu gráfico; porém deixou-se a pergunta para que
as próprias experimentações dos alunos os levassem através da observação a uma
resposta. Tratando na sequência do “zero ou raiz da função”, pedindo aos alunos
que marcassem um ponto na intersecção da reta formada com o eixo “x”. Alterando
as propriedades do ponto, exibindo o nome e valor do mesmo, fazendo várias
alterações no coeficiente “a”, verificaram que o valor de “a” não correspondia a
intersecção da reta com o eixo “x”. Até que um aluno falou: “Professor não é no
mesmo valor do “a” que ele corta o “x”, mas sempre o y é zero”. Com essa
colocação do aluno os demais entenderam que o valor de “x” faz com que a função
fique igual a zero, ou seja, f(x)=0, chamado de zero da função ou raiz, verificando
isso geometricamente.
3.5 Função do segundo grau
Nesta tarefa (QUADRO 3) utilizou-se a sentença matemática usada
anteriormente para a noção de função. Da área do quadrado “� = ��”.
QUADRO 3: Construção da tabela
Função do 2º grau
01) Abra o Geogebra.
02) Campo de entrada digite, a=1, dê enter.
03) Na janela de álgebra, clique na bolinha do número .
04) Com o cursor em cima do controle deslizante a, clique com o botão direito do mouse na tela aberta. Clique em controle deslizante e deixe -20 a 20 e o incremento de 0.1. Dê “enter” e feche a tela.
05) No campo de entrada digite f(l)=l^2, dê “enter”.
06) No campo de entrada digite A=(a,0), dê “enter”.
07) Ative a ferramenta reta perpendicular, clique no ponto A e no eixo x.
08) Ative a ferramenta “interseção de dois objetos”, clique na intersecção da reta perpendicular ao
eixo x e o gráfico da função.
09) Ative a ferramenta reta perpendicular, clique com o botão esquerdo no ponto B e em seguida no eixo y.
10) Ative a ferramenta interseção de dois objetos. Clique com o botão esquerdo do mouse em cima da intersecção da reta perpendicular ao eixo y que passa por B.
11) Na janela de álgebra, oculte as retas b e c.
12) Ative a ‘ferramenta segmento definido por dois pontos”, clique no ponto A e, em seguida no ponto B. Com a mesma ferramenta, clique no ponto B e em seguida no ponto C.
13) Posicione o cursor em cima do ponto B. Clique no botão direito, em propriedades, básico, marque exibir rótulo e nome e valor. Na mesma tela, clique na aba cor e selecione a cor verde para seleciona-la. Na mesma tela, clique em estilo, em tamanho do ponto e selecione 3. Dê enter e feche a tela.
Responda:
a) Os valores do eixo x, em relação ao quadrado, representam os valores de quê? E os valores do eixo y?
b) Alterando os valores de x (lado do quadrado), o quadrado existe para todos eles?
c) Que tipo de gráfico se forma quando digitamos f(l)=l²?
Fonte: material didático, 2013.
A primeira coisa que os alunos perceberam no momento em que digitaram
“�(�) = ��” é que o gráfico que representa a função não era uma reta e sim uma
curva, atingindo o principal objetivo desta atividade que era que os alunos
observassem principalmente a diferença gráfica da função do 1º grau e do 2º grau.
Um detalhe que chamou a atenção dos alunos foi a questão do domínio, pois os
mesmos verificaram que nem sempre se utilizam de toda a reta “y” como
contradomínio, como acontecia com a grande maioria dos casos de reta. Também
perceberam que nem todos os valores reais servem como conjunto domínio na vida
real, já que não se podem ter lados negativos em um quadrado. Na situação
envolvendo a área do quadrado ficou claro que somente o subconjunto dos números
positivos e maiores que zero, dos números Reais servem como valores para a
medida do lado e da área.
Na tarefa que se seguiu, os alunos construíram gráficos de duas funções do
2º grau, utilizando a planilha do GeoGebra para duas funções “� = �� − 2� − 3 “ e
domínio � = {−2, −1, 0, 1, 2, 3 � 4}, “� = −�� + 2� + 3” e domínio
� = {−2, −1, 1, 0, 1, 2, 3 � 4}. Primeiramente, fizeram os cálculos e obtiveram o
conjunto imagem da função manualmente, e em seguida completaram a planilha no
GeoGebra. Logo após, construíram uma nova tabela com os mesmos valores e
inseriram a fórmula correspondente a cada função para que o software fizesse os
cálculos e puderam verificar que nem todos os valores estavam corretos. Depois
abriram outra janela de visualização, exibiram a malha e marcaram todos os pontos
das duas tabelas, alterando a cor dos pontos da primeira tabela para azul e da
segunda para vermelho. Utilizando a ferramenta “caneta” os mesmos ligaram os
pontos em azul e depois os pontos em vermelho. Nem todos os grupos conseguiram
visualizar a parábola, pois a atividade requeria um pouco mais de coordenação
motora dos alunos para trabalharem com a caneta do software. Depois desta etapa
os alunos foram orientados a inserir as funções pelo campo de entrada. Com isso,
eles perceberam que todos os pontos que tinham marcados na janela de
visualização estavam sobre a parábola construída pela função.
Na aula que se seguiu, foram abordados os coeficientes “a”, “b” e “c” e o que
cada um deles tem como propriedade para a função quadrática. Nesta aula os
alunos realizaram a construção geométrica de uma parábola e depois inseriram mais
três controles deslizantes “a”, “b” e “c”, com variação de -30 a 30. Feito isso, foram
alterando os valores em três situações específicas usando valores maiores, menores
e iguais a zero, em ordem e fazendo suas observações do que acontecia com a
representação gráfica da função.
Primeiramente, os alunos tiraram suas conclusões em relação ao coeficiente
“a”, conseguindo compreender que quando a>0 a concavidade fica voltada para
cima. Quando a<0, a concavidade fica voltada para baixo. Na questão de a=0,
perceberam que a função deixava de ser do 2º grau e se tornava uma função do 1º
grau, tanto graficamente (reta) como algebricamente.
Em relação ao parâmetro “b”, foi necessária uma explicação retomando sobre
tangente e qual a sua relação com a parábola. Quando b>0, a "tangente é positiva".
Quando b<0 é “tangente negativa” e quando b=0 a “tangente é nula”.
FIGURA 1: Observações em relação as variações no valor de b
Fonte: autor, 2014.
Com relação ao coeficiente “c” a interpretação gráfica por parte dos alunos
ocorreu sem maiores dificuldades.
3.6 Raízes ou zeros da função quadrática
Esta atividade se desenvolveu de forma satisfatória graficamente, pois os
alunos a relacionaram com a função do primeiro grau e logo viram que eram os
valores de “x” que zeravam a função ou onde a parábola corta o eixo “x”. Utilizando
a experiência da construção anterior fizeram várias interpretações gráficas com as
funções verificando as três situações que podem ocorrer em relação a função
quadrática: duas raízes diferentes, duas iguais e nenhuma raiz, “não corta o eixo x”.
Neste momento, mostrei aos alunos como encontrar algebricamente as raízes
da função quadrática. Como eles já haviam feito na função do primeiro grau, não
apresentaram maiores dificuldades para entender que bastava resolver a equação
fazendo “��� + �� + � = 0”. Essa resolução poderia ser feita de diversas formas,
como uso da fórmula de Bhaskara ou soma e produto, por exemplo.
Foram feitas várias funções e após terem encontrado as raízes, questionou-
se em relação ao número de raízes. O que determinava se tinha duas raízes
diferentes, duas iguais ou não tinha raízes. Após vários questionamentos,
comparando funções, os alunos perceberam que era o valor do delta “∆= �� − 4��”
que determinava quantas seriam as raízes dessas funções.
4. CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste trabalho socializei a experiência desenvolvida com os alunos da 1ª
série do Ensino Médio do Colégio Estadual Pedro Araújo Neto no município de
General Carneiro, PR no que se refere à utilização do software GeoGebra para o
processo de ensino e aprendizagem das “funções do primeiro e segundo grau”.
Ao longo do processo de pesquisa, pude constatar que a utilização das
tecnologias digitais como ferramentas de ensino e aprendizagem de conteúdos
matemáticos não só apresentam-se como eficientes quanto à diversidade no modo
de promover a apropriação do conhecimento, como também promovem maior
envolvimento e interesse por parte dos alunos.
O software GeoGebra, mostrou-se uma ferramenta pedagógica importante na
abordagem, experimentação e construção de conceitos de conteúdos matemáticos.
Com o uso desta ferramenta tecnológica em sala de aula tive a oportunidade de
utilizar uma tecnologia voltada ao ensino-aprendizagem de matemática, em que
mesmo alunos com pouca familiaridade no uso das tecnologias de informação
conseguiram se apropriar desta ferramenta utilizando-a nas tarefas propostas.
Ao longo do processo de implementação do projeto também tive novas
percepções de ações que não faria se fosse aplicar novamente o projeto, tal como
refazer as tarefas que foram executadas durante a aplicação do projeto. Pois
constatei neste ano de 2014, utilizando as mesmas tarefas para o ensino das
funções, que os alunos desenvolveram todos as atividades e cálculos algébricos
necessários, concomitante ao uso do GeoGebra, podendo, por exemplo, visualizar
com o uso do software se acertaram o cálculo dos zeros de uma função. Com isso o
processo de ensino aprendizagem ganhou mais agilidade. Por outro lado é essencial
que se faça um feedback dos conceitos já aprendidos sempre que for iniciado um
conceito novo.
Foi possível perceber que a aprendizagem dos conceitos de álgebra e
geometria ensinados foi favorecida pelo uso do computador. Percebi também que
não há necessidade de reexplicar conceitos que foram aprendidos no laboratório.
A experiência com os alunos no desenvolvimento das atividades foi muito
produtiva, especialmente para minha vida profissional. A pesquisa e o trabalho que
desenvolvi com os alunos durante a aplicação do meu projeto mostraram-me o
quanto pequenas ações, como organizar nosso trabalho em sala de aula, pode ser
muito relevante para a aprendizagem dos alunos. Percebi que para falarmos a
linguagem dos nossos alunos necessitamos de uma aproximação, cada vez maior,
do trabalho em sala de aula com as novas tecnologias, pois a cada dia que passa a
sociedade está mais interativa, mais dinâmica, e querendo respostas de maneira
mais rápida e direta.
5. REFERÊNCIAS
ARAÚJO, L. C.; NÓBREGA, J. C. Aprendendo Matemática com o GeoGebra. São Paulo: Editora Exato, 2010. CAMPOS, T. M. M; NUNES, T. Tendências atuais do ensino e aprendizagem da Matemática. Brasília, n. 62, abr/jun, p. 3-7, 1994. D´AMBRÓSIO, U. Educação Matemática: da Teoria a Pratica. Campinas: Papirus, 2001. FNDE. Fundo Nacional de Desenvolvimento da Educação. Disponível em: <http://www.fnde.gov.br/programas/programa-nacional-de-tecnologia-educacional-proinfo/proinfo-perguntas-frequentes: Acessado em 02 de setembro de 2014.
GERONIMO, J. R. Geometria Euclidiana: um estudo com o software GeoGebra. Maringá: Eduem, 2010.
GRAVINA, M. A. SANTAROSA, L. M. A aprendizagem da matemática em ambientes informatizados. In: Anais do IV congresso RIBIE, 1998. Disponível em: <http://lsm.dei.uc.pt/ribie/docfiles/txt200342413933117.pdf>. Acessado: 21 de maio de 2013.
VALENTE, J. A. Liberando a mente: computadores na educação especial, 1991.
SILVA, K. V.& SILVA, M. H. Dicionário de conceitos históricos. São Paulo: Contexto, 2009.
