Versão On-line ISBN 978-85-8015-075-9Cadernos PDE

OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE

Produções Didático-Pedagógicas

Ficha para identificação da Produção Didático-pedagógica – Turma 2013

TÍTULO: ENSINO DE FUNÇÕES COM UTILIZAÇÃO DE SOFTWARES

LIVRES

Autor: MÁRCIA MARIKO NAGAY

Disciplina/Área: Matemática

Escola de Implementação do Projeto e sua localização:

Newton Guimarães – Rua Guarujá, 228

Município da escola: Londrina

Núcleo Regional de Educação:

Londrina

Professor Orientador: Luciana Gastaldi Sardinha Souza

Instituição de Ensino Superior:

UEL

Relação Interdisciplinar:

Economia, Trânsito, Comércio, Física, Saúde e Serviço.

Resumo:

Com o objetivo de contribuir com o

ensino/aprendizagem de funções propõe-se a

utilização de três softwares educacionais: o

Geogebra, e Plotfunção que são livres, os quais

podem ser baixados gratuitamente em qualquer

computador e o Excel que embora não seja

gratuito, é encontrado na maioria se não em

todos os computadores. As atividades propostas

nesse trabalho serão implementadas no 9º ano

do Ensino Fundamental – Séries Finais. A

escolha desta série se deu em razão de ser a

série de introdução ao conteúdo “função” e por

ser percebidas várias dificuldades em relação à

compreensão, por parte dos alunos, do conceito

de função e sua utilização fora do contexto

escolar. A escolha destes softwares

educacionais, não foram ao acaso, eles foram

escolhidos por serem fáceis de manusear,

dinâmicos, possibilitarem à investigação, a

criação, experimentação, exploração, produção

de argumentos e também por apresentarem

precisão nas imagens e nos cálculos. Espera-se,

com este projeto, que os alunos possam

compreender o conceito de função e saibam

aplicá-lo em seu cotidiano.

Palavras-chave: Função – Geogebra – Excel - Plotfunção

Formato do Material Didático: Unidade Didática

Público:

9º ano – ensino Fundamental – Séries Finais

1 INTRODUÇÃO

As Tecnologias de informação e comunicação estão revolucionando

e mudando o comportamento e a cultura fazendo surgir uma nova sociedade. Nessa

perpectiva é essencial que se (re)pense sobre as possibilidades de tornar nossas

aulas mais dinâmicas e atrativas, uma vez que os discentes, tendo as tecnologias

em sua mãos possam utilizá-las de maneira sistematizada, para conjecturar,

transmitir, aprender e compreender. O papel do professor é fundamental nesse

aspecto, pois é ele quem deve criar ambientes propícios para o

ensino/aprendizagem por meio da experimentação, pesquisa, exploração e criação.

Na busca pelo redimensionamento de suas práticas, os professores,

preocupados e comprometidos com o ensino de significação e qualidade, estão

sempre a procura de novos caminhos e metodologias.

Segundo as Diretrizes Curriculares da disciplina de Matemática do

Paraná “as mídias tecnológicas como ambientes gerados por aplicativos

informáticos, permitem e potencializam as possibilidades de observação e

investigação ao estudante.” (PARANÁ, 1998).

Para Onuchic e Allevatto (2004), com as atividades de

experimentação e exploração que os sistemas informáticos oferecem, alunos e

professores vivenciam ambientes de aprendizagem extremamente favoráveis à

construção ou reconstrução do conhecimento. Isso se dá pela possibilidade

educativa que a tecnologia de informação e comunicação oferece manifestada pela

enorme capacidade de cálculo numérico e gráfico, com geração rápida e precisão

nas imagens e cálculos. Dentre essas possibilidades, a capacidade de visualização

amplia-se quanto se associa o computador à Matemática.

Rego (2000) aponta as principais vantagens ao se usar as

tecnologias para ensinar e aprender:

as principais vantagens dos recursos tecnológicos, em particular o uso de computadores, para o desenvolvimento do conceito de funções seriam, além do impacto positivo na motivação dos alunos, sua eficiência como ferramenta de manipulação simbólica, no traçado de gráficos e como instrumento facilitador nas tarefas de resolução de problemas. A utilização de computadores no ensino provocaria, a médio e longo prazo, mudanças curriculares e de atitude profundas uma vez que, com o uso da tecnologia, os professores tenderiam a se concentrar mais nas ideias e conceitos e menos nos algoritmos (p.76).

Assim no intuito de despertar no aluno o interesse pela busca do

conhecimento, otimizar as aulas torná-las mais dinâmicas, trabalhar os conteúdos

de forma mais ampla, melhorar a qualidade do ensino fazendo uso da novas

tecnologias, priorizando a análise e interpretação dos dados e proporcionando aos

discentes situações de aprendizagem, de construção e de aplicação dos conceitos

matemáticos relacionados à função em situações do cotidiano, propomos a

utilização dos softwares educacionais Geogebra, Excel e Plotfunção.

O sucesso na utilização de softwares em um ambiente escolar está

em planejar a sua utilização, ter objetivos bem definidos e claros pois suas

potencialidades poderão ser ampliadas ou diminuídas, dependendo da maneira

como forem exploradas.

Almeida (1996) tem a seguinte concepção sobre a importância do

planejamento do professor neste aspecto:

O professor tem um importante papel como agente promotor do

processo de aprendizagem do aluno, que constrói o conhecimento

num ambiente que o desafia e o motivam para a exploração, a

refleção, a depuração de ideias e a descoberta de novos conceitos

(p.162).

2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

2.1 História das Funções

Anos e anos de estudo, observações, investigações e

experimentações foram necessários para que o conceito de função fosse definido

nos moldes em que encontramos hoje.

Segundo Caraça: “O homem em sua tarefa essencial de dominar a

Natureza, observa, descreve os fenômenos e ordena os resultados de sua

observação. E nessa observação verifica que desde que as condições iniciais sejam

as mesmas certos fenômenos apresentam comportamentos idênticos (regularidade)”

p.119.

Historiadores encontraram na Mesopotâmia tábuas feitas em argila

nas quais é possível perceber que os Babilônios já tinham uma ideia de função:

eram tábuas de quadrados, de cubos e de raízes quadradas construídas pelos

Babilônios, nas quais era possível observar correspondências entre tabelas.

Pitágoras teria descoberto regras que relacionavam a altura dos

sons com os comprimentos das cordas vibrantes. Ptolomeu registrou em sua obra

“Almagesto” tabelas para comprimentos de cordas de um circulo conhecendo o raio.

No século XIII Rogério Bacon, Frade franciscano, teólogo, filósofo,

físico, matemático, místico e alquimista, percussor da ciência moderna -

“experimental”, afirmava que com o auxílio da razão o homem poderia formular

hipóteses sobre a natureza as quais podem ser confirmadas pela experimentação.

Nos séculos XVI e XVII, o estudo quantitativo dos fenômenos

naturais - (movimento desenvolvido pela queda dos corpos, movimento dos planetas

e dos movimentos curvilíneos) exigiram uma linguagem matemática apropriada que

desse conta desses fenômenos. Galileu e Kepler são os principais representantes

do Renascimento Científico desses séculos.

Ainda no século XVII, com a introdução das coordenadas

cartesianas, por Descartes, tornou-se possível transformar problemas geométricos

em problemas algébricos e estudar analiticamente as funções.

A teoria de Descartes propiciou a base para o Cálculo infinitesimal

de Isaac Newton e Leibniz. Isaac Newton dá às funções a concepção de fluentes.

Nos século XVIII, João Bernouilli, define função: “chama-se aqui

função duma grandeza variável a uma quantidade composta de qualquer maneira

dessa grandeza variável e de constantes”. Em 1748, Euler, substitui o termo

quantidade por expressão analítica.

No século XIX Dirichlet, separou o conceito de função da sua

representação analítica, formulando-os em termos de correspondência arbitrária

entre conjuntos numéricos. George Boole (1815 – 1864) conceituou função como

“transformação” - onde cada elemento de x é transformado no elemento f(x).

No século XX, com o desenvolvimento da Teoria dos Conjuntos por

George Cantor, foi possível dar uma interpretação funcional a correspondências

arbitrárias entre conjuntos de qualquer natureza numéricos ou não.

(http://www.mat.ufrgs.br/~vclotilde/disciplinas/laboratorio/texto_funcoes.pdf).

Historicamente podemos verificar a evolução do conceito de função

como: relação entre quantidades variáveis, como expressão analítica, como relação

entre conjuntos e como transformação.

Juntamente com a evolução do conceito de função o significado de

“variável” vai se aperfeiçoando ao longo dos séculos. No início se referia a

grandezas que variavam e eram interdependentes, na sequência passa a ser

associado à medida de uma curva, após assume o significado de símbolo de

linguagem como, por exemplo, x e y.

As Funções estão presentes em várias áreas do conhecimento e

modelam matematicamente situações que auxiliam o homem em suas várias

atividades.

É o caso da balística – ciência que estuda as trajetórias de projéteis,

como o lançamento de objetos no espaço (pedra, tiro de canhão, chute/ arremesso

de bola, etc.), as quais são parabólicas em um ambiente sob a ação da força da

gravidade. Por exemplo: se um jogador de futebol faz um lançamento para outro

jogador dentro do campo, a trajetória descrita pela bola é uma parábola e a altura

máxima atingida pela bola é o vértice da parábola e a distância que separa os dois

jogadores é o alcance máximo da bola.

Mas o que é parábola? A palavra parábola vem do grego e significa

“lançar ao longe” e está associada à trajetória de um objeto lançado sob um

determinado ângulo.

Parábola geometricamente falando é uma curva resultante de uma

secção feita em um cone por um plano paralelo à geratriz do cone (ver figura 1).

Figura – 1 - Secção cônica

As pontes suspensas são obras de engenharia que foram

construídas a partir da propriedade refletora das parábolas, quando o peso total é

uniformemente distribuído segundo o eixo horizontal da ponte, os cabos assim

dispostos assemelham-se à forma de uma parábola.

Figura – 2 - Ponte 25 de abril – Portugal fonte:fhttp://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm43/conicas.htm

Os arcos parabólicos, pelas suas propriedades fisicas, além de fazerem parte da estrutura de suporte de pontes embelezam a nossa arquitetura.

Figura – 3 – Ponte Juscelino Kubitschek

- fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Ponte_Juscelino_Kubitschek

Podemos perceber a aplicação das funções nas áreas: biológica,

administrativa, contábil, na construção civil, na arquitetura, na física, na medicina, e

em muitas outras áreas do conhecimento.

2.2 OS SOFTWARES

2.2.1- O EXCEL

O Excel é um software desenvolvido pela Microsoft em 1987, que

permite criar planilhas eletrônicas “inteligentes.” Ele reconhece as informações

digitadas e com elas realiza cálculos, cria tabelas, apresenta e analisa dados de

forma rápida e eficiente, coloca lista de nomes em ordem alfabética, números em

ordem crescente, compara, elabora gráficos, tabelas e possui outras funções

interessantes.

É uma ferramenta de fácil manuseio e muito útil, podendo ser

utilizada por qualquer pessoa, seja ela profissional ou dona de casa, tem uma

interface bem simples possibilitando que usuários de nível básico possam utilizá-lo

sem maiores dificuldades. Encontrado na maioria dos computadores, por fazer parte

do “Office”, possui vários recursos constituindo-se numa poderosa ferramenta de

trabalho.

O Excel aceita quatro tipos de entrada de dados: Textos, Números,

Fórmulas e Funções.

Textos: São todas as informações que se inicia com uma letra e geralmente

utilizados em títulos e definições.

Números: São todos os dados precedidos pelos caracteres: 0 1 2 3 4 5 6 7 8

9 + menos, abre e fecha parênteses, / $ %. Os valores numéricos sempre são

alinhados à direita e podem assumir vários formatos como: número fixo de

casas decimais, percentual entre outros.

Fórmulas: são compostas por números, operadores matemáticos, referências

de células etc.

Funções: são as fórmulas criadas pelo Excel. Existem funções estatísticas,

matemáticas, financeiras dentre outras.

OPERADORES MATEMÁTICOS

ARITMÉTICOS

^ Potenciação

& Concatenação

* Multiplicação

/ Divisão

+ Adição

- Subtração

RELACIONAIS

= Igualdade

< Menor que

> Maior que

<= Menor ou igual

>= Maior ou igual

<> Diferente

Tabela 01 – operadores matemáticos do Excel

Os operadores matemáticos podem ser utilizados para criação de

fórmulas que executem cálculos simples ou complexos. Para sua utilização segue-se

as regras matemáticas:

Exponenciação (^)

Multiplicação (*) e Divisão (/)

Adição (+) e Subtração (-)

Caso a ordem seja alterada deve-se sempre utilizar parênteses. Por

exemplo: se desejarmos efetuar primeiro a adição e subtração basta colocá-los entre

parênteses, caso não seja colocado os parênteses, o resultado será outro.

A inserção de gráfico pode ser definida como uma alternativa

diferenciada para se representar informações visualmente, tornando muito mais fácil

e rápida a compreensão dos dados envolvidos. Os gráficos do Excel são gerados a

partir de dados dispostos em tabelas, que por sua vez estão inseridas dentro de

planilhas eletrônicas. Caso esses dados sejam alterados, o gráfico correspondente é

automaticamente alterado.

Figura 4 – planilha do Excel

Planilhas – ferramenta para adicionar uma série de itens. A planilha

é constituida de linhas e colunas formando uma grade, cada linha possui um número

sequencial na extremidade esquerda, para identificá-la. As colunas são identificadas

por letras, também sequenciais. A interseção de uma linha e de uma coluna é

chamada de célula. Uma célula pode conter números, textos ou fórmulas.

PLANILHAS

BARRA DE TITULOS

BARRA DE MENUS

2.2. 2 O GEOGEBRA

O GeoGebra é um software Freeware (livre) de matemática, criado

por Markus Hohenwarter. É um sistema que permite a construção de pontos,

vetores, segmentos, retas, seções cônicas, admitindo também a inserção de

equações e coordenadas. É de fácil instalação e seu Download está disponível em

http://www.geogebra.org/cms/. O manuseio também não gera grandes dificuldades.

Tem como característica principal duas janelas de visualização: a janela da álgebra

e a da geometria. Seu grande potencial está em trabalhar com variáveis vinculadas a

números, vetores e pontos, permitindo determinar derivadas e integrais de funções.

Oferece ainda um conjunto de comandos próprios da análise matemática, para

identificar pontos singulares de uma função, como raízes ou extremos.

Por ser um software de geometria dinâmica, ele permite a

visualização da representação algébrica com a geométrica do objeto em estudo.

Assim as construções/atividades produzidas no Geogebra podem ser modificadas e

os pontos iniciais de uma construção podem ser arrastados com o mouse sem

alterar as relações matemáticas existentes entre eles e os demais objetos.

JANELA ALGÉBRICA - Nela podem ser observadas as indicações dos objetos

(coordenadas de pontos, equações de retas, de circunferências, comprimentos,

áreas, etc.) Os objetos são classificados em objetos livres e objetos dependentes.

JANELA DE GRÁFICOS – Apresenta um sistema de eixos coordenados e uma

malha de pontos, podendo ser realizadas construções geométricas com a utilização

do mouse, sem necessariamente partir da Entrada de Comando.

ENTRADA DE COMANDOS – é destinada à inserção de expressões algébricas /

condições que definem os objetos, tais como: coordenadas, equações e funções.

Pode-se abrir a lista de comandos no lado direito da Barra de Comandos, clicando

no botão “COMANDO”, depois é só selecionar o comando desejado. Pode-se

também pressionar a tecla F1 para obter informações sobre a sintaxe e os

argumentos requeridos para aplicar o comando correspondente.

Figura 5 – Layout do Geogebra

OPERADORES

OPERADORES

^ Potenciação

* Multiplicação

/ Divisão

+ Adição

- Subtração

sqrt(...) Extrai a raiz quadrada de “...”

cbrt(...) Extrai a raiz cúbica de “...”

Log(...) ou In(...) Calcula logaritmo natural de “...”

Id(...) Calcula logaritmo binário de “...”

Ig(...) Calcula o logaritmo decimal de “...”

sin(...) Calcula o seno de “...”

cos(...) Calcula o cosseno de “...”

tan(...) Calcula tangente de “...” abs(...) Calcula o valor absoluto de “...”

Tabela 2 – operadores matemáticos do Geogebra

BARRA DE MENUS

ENTRADA DE COMANDOS

JANELA DE VISUALIZAÇÃO

GRÁFICA- GEOMETRICA

JANELA DE ALGEBRA

BARRA DE FERRAMENTAS

2.2.3 O PLOTFUNÇÃO

É um software livre cadastrado no BIOE - Banco Internacional de

Objetos Educacionais do MEC – disponível em

http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/11400. É de fácil acesso,

interativo e permite a manipulação dos parâmetros com visualização simultânea das

modificações na função. Mostra na tela a função completa na forma geral e os

gráficos nele produzidos podem ser salvos nos arquivos de imagens. Neste software

podem ser construídos até 10 funções de 1º e 2º graus no mesmo gráfico.

Figura 6 – Layout do software plotfunção – extraído plotfuncao.nascimento.eng.br/PIQ-forum-2010-PlotFuncao.pdf

3 ENCAMINHAMENTO METODOLÓGICO

No primeiro semestre de 2014, mais precisamente na semana

pedagógica, o projeto ENSINO DE FUNÇÕES COM UTILIZAÇÃO DE SOFTWARES

LIVRES, será exposto para a equipe pedagógica, diretores, professores e para os

demais profissionais da educação.

Com o início do ano letivo, o projeto será apresentado aos alunos,

sendo detalhado todo o processo de encaminhamento das aulas, duração e

avaliação.

Concluída a apresentação do projeto, será feita a explanação sobre

o tema “função”. Primeiramente será realizada uma abordagem histórica,

importantíssima no processo, para que os alunos tenham uma referência, conheçam

um pouco do contexto e das circunstâncias em que sucederam os fatos e

compreendam que as grandes descobertas, o avanço cientifico e tecnológicos só

foram possíveis graças às observações, às experimentações e a dedicação de

cientistas, filósofos, matemáticos, astrônomos entre outros.

Será sugerido que os alunos façam uma pesquisa para

complementar a abordagem histórica.

As atividades pedagógicas propostas estarão voltadas para os

alunos do 9º ano do Ensino Fundamental – séries finais.

Será realizada uma verificação sobre os conhecimentos prévios dos

alunos sobre potenciação, plano cartesiano e equações de 1º e 2º grau.

No intuito de verificar qual dos softwares pode trazer melhores

resultados na aprendizagem, será proposta a formação de três grupos, e nesses

grupos as atividades deverão ser desenvolvidas em dupla para estimular a

interação, a socialização e as discussões.

4 ATIVIDADES ATIVIDADE 01

Esta primeira atividade tem por finalidade fazer com que o aluno leia,

analise, interprete, organize e generalize, refletindo sobre as variáveis (quem

depende de quem) e encontre um padrão e consequentemente a lei de formação da

função.

a) Paula tem um sonho, comprar um carro zero. Ela possui R$ 10 000,00, que

está aplicado em caderneta de poupança cujo rendimento é composto de

uma taxa referencial (TR) mais 0,5% ao mês. O custo do carro do seu sonho

é de R$ 25 000,00, hoje. No mes de junho ela passou a economizar do seu

salário R$ 1 500,00, para realizar o seu sonho de consumo.

Quando será que Paula terá dinheiro suficiente para comprar o carro? Será

que quando ela estiver com os R$ 25.000,00, o carro estará custando o

mesmo preço?

E se ela comprasse o carro à prestação, será que compensaria?

Qual a função que relaciona o tempo, em meses com a quantia em reais?

b) A empresa Poderosa & Cia Ltda. é uma empresa que fabrica Jaquetas

femininas. O custo unitário de produção da jaqueta é de R$ 10,00 e o custo

fixo associado à produção de R$ 25,00. Se o preço de venda da jaqueta é de

R$ 90,00. Determine:

A função que relaciona custo total pela produção.

A função que relaciona a receita total auferida pela quantidade vendida e o

preço de venda.

A função Lucro total dado pela diferença entre a receita total e o custo total.

A produção necessária para um lucro de R$ 54 000,00.

Você sabe o que é custo fixo e de qual a sua composição?

c) Mariana quer escolher um restaurante para fazer suas refeições diárias, fez

uma pesquisa em dois restaurantes (A e B) e constatou que eles utilizam

sistemas diversos parar cobrar pelas suas refeições: preço fixo ou preço por

quilograma dependendo da quantidade consumida pelo cliente. No

restaurante A até 250 gramas R$ 4,50 por refeição, acima de 250 gramas R$

4,50 por 250 gramas acrescidos de R$ 0,01 por grama que exceder 250

gramas. No restaurante B até 300 gramas R$ 3,50 por refeição, acima de R$

300 gramas R$ 0,03 por 300 gramas acrescidos de R$ 0,02 por grama que

exceder 300 gramas. Determine:

A função correspondente ao preço a pagar pelas refeições em cada

restaurante;

Em qual situação o Restaurante A é mais econômico; o restaurante B é mais

econômico, e em qual situação que eles se equivalem?

Será que não compensaria Mariana levar as refeições de casa?

d) O volume y do paralelepípedo abaixo é dado em função da medida x indicada

na figura. Qual é a fórmula matemática que define essa função?

e) A área y do retângulo abaixo é dada em função da medida x. Escreva a

fórmula matemática que define essa função.

ATIVIDADE 02 02 A) Objetivo: familiarização com o Geogebra.

a) Construção do gráfico de uma função de 1º grau

b) Construção de dois controles deslizantes a e b

c) Entrada algébrica digite a função y = a*x +b

Desenvolvimento: construir dois controles deslizantes, pelo comando de entrada,

a e b com a = 1 e b = 4 com variação de valor mínimo igual a -5 e máximo igual a

5. Na caixa de entrada digite: f(x) = a*x + b e tecle enter – aparecerá o gráfico de

f(x) = 1x + 4

Clicando com o mouse sobre a reta ou sobre a função podemos mudar a cor da

reta e sua espessura.

Figura 7 – Função de 1º grau – atividade 02-A - Geogebra

02 B) Atividade de familiarização Geogebra

a) Construção do gráfico de uma função de 2º grau

b) Construção de três controles deslizantes: a, b e c

c) Entrada algébrica digite a função y = a*x2 +b*x +c

Desenvolvimento: construir os controles deslizantes: a, b e c, pelo comando

de entrada, com a = 1(tecle enter) e b = 2(tecle enter) e c = 1(tecle enter).

Na caixa de entrada digite: f(x) = a*x2+b*x+c e tecle enter – aparecerá o

gráfico de f(x) = 1x2+2x + 1;

Com o botão esquerdo clique em cada (número) bolinha da janela de

álgebra, será acionado o seletor que aparecerá na janela de visualização.

Clicando com o mouse do lado direito em cada um dos seletores pode-se

solicitar a sua animação.

Deslize os controles deslizantes para a direita e para esquerda.

Figura 8 – função quadrática – atividade 02-B - Geogebra

ATIVIDADE 03

Objetivo: Compreender o significado de coeficiente angular e linear; analisar gráficos

para estabelecer sinal, crescimento, decrescimento e a raiz da função.

O contexto: se um estacionamento cobra R$ 5,00 pela hora inicial e R$ 3,00 por

cada hora adicional, o preço final (y), em função do número de horas estacionado

(x) será definido pela expressão:______________________________________

Construa o gráfico com os procedimentos abaixo e após, analisar e refletir

responda as questões abaixo:

abra um novo arquivo

Na caixa de entrada digite:

a=3 e de enter

b= 2 e de enter

digite y = a*x+b

Figura 09 - gráfico da atividade 03 - Geogebra

Com o botão esquerdo clique em cada (número) bolinha da janela de

álgebra, será acionado o controle deslizante que aparecerá na janela de

visualização. Clicando com o mouse do lado direito em cada um dos controles

deslizantes faça a animação.

Clique sobre a reta com o lado direito do mouse, será exibido o menu abaixo,

clique em propriedades, mude a cor da reta e o estilo.

Explorando os coeficientes angulares e lineares – movendo o controle deslizante

a) Observe e escreva em que ponto o gráfico da função intercepta o eixo: das

ordenadas e o eixo das abscissas.

b) Mova o controle deslizante a – e responda o que aconteceu com a reta

quando o valor de a passou a ser negativo. Quais conclusões que pode

chegar sobre o coeficiente a.

c) Mova o controle deslizante b descreva o comportamento da reta nos casos

em que b for positivo e negativo. Quais conclusões você pode aferir sobre o

coeficiente b.

d) Responda: em que ponto a reta intercepta o eixo x, quando temos b = 0? O

que acontece quando a = 0

e) Como pode ser classificada a reta, quando temos a =0?

f) Qual coeficiente deverá ser alterado para que tenhamos uma função

crescente, decrescente ou constante?

ATIVIDADE 04

A atividade a seguir visa mostrar a formação da parábola pela sua

definição, a dinamicidade de seus coeficientes e suas representações gráficas.

Contexto: As trajetórias parabólicas podem ser encontradas, por

exemplo, nos saltos olímpicos ou na piscina. Essa trajetória é descrita por dois

movimentos, simultâneos, um na vertical onde o corpo esta sujeito à aceleração da

gravidade e a velocidade nessa direção varia de intensidade diminuindo até atingir a

altura máxima e volta a aumentar até chegar à superfície da água e outra na

horizontal quando se percebe a distância que esse corpo atingiu.

Ao estudarmos estes conceitos nos remetemos à física onde

encontramos a aplicação do modelo matemático nos movimento retilíneo

uniformemente variado- MRUV e movimento retilíneo uniforme – MRU.

Os movimentos simultâneos que ocorrem tanto na horizontal como

na vertical quando o atleta salta na piscina formam uma trajetória parabólica que

pode ser descrita pela função matemática.

Na vertical :

Onde

h = altura

h0 = altura inicial

v0 = Velocidade inicial

t = tempo

g= gravidade

Na Horizontal:

S= Espaço final

S0= Espaço inicial

v0 = Velocidade inicial

t = tempo

Vamos ao exercicio:

Considerando um salto de uma plataforma de 10 m da piscina e

velocidade inicial de 10m/s, calcule a altura máxima do salto. Considere a

aceleração da gravidade = 9,8m/s2.

a) Escreva a fórmula matemática que define essa função;

b) Insira no Geogebra os valor de a = -5; b = 10 e c = 10

c) Insira a formula matematica y = a*x^2+b*x+c

d) Descreva a caracteristica que voce pode perceber através do

grágico.

e) Insira o controle deslizante para a , b e para c

f) Deslize o controle deslizante de “a”, descreva o que acontece

quando o valor de “a” é positivo.

g) Agora deslize o controle de “b”, descreva o que acobtece

quando ele muda de sinal e de valor.

h) Deslize o controlde de “c” , descreva o que acontece.

UTILIZAÇÃO SOFTWARE – EXCEL

As atividades a seguir serão desenvolvidas no Excel.

ATIVIDADE 01

I. CONHECENDO O SOFTWARE

Obs: Microsoft Office Excell 2007

a) Construção de uma tabela

b) construção do gráfico da função de 1º grau y = 2,30x

Desenvolvimento: abra o Excel, você verá coluna e linhas conforme abaixo:

Figura 10 – atividade 01 – Item I - Excel

Insira na coluna A linha 1( célula A1) a letra x e na coluna B linha 1

(celula B1) a letra y;

Vá para a linha 2 coluna A (célula A2) e insira o valor 10 e nas linhas

sucessivas os valor de 20; 30; 40; 50 e 60;

Insira na coluna B linha 2 (célula B2) a seguinte fórmula =(2,30*A2)

de enter, volte com o mouse na coluna B linha 2(célulaB2) , clique

com o mouse lado direito no canto inferior direito e arraste até a linha

7, a formula digitada na coluna B linha 2 será copiada até a celula

marcada.

Agora selecione as colunas clicando com o mouse esquerdo. Na

barra de ferramentas clique no menu inserir, será fornecido vários

tipos de gráficos, escolha o disperção com linhas retas e

marcadores.

Figura 11 –atividade 01 – item I - Excel

Salvando o arquivo – Para salvar o arquivo clique em salvar como,

abra uma NOVA PASTA – escreva o seu nome na pasta - clique duas vezes com o

mouse na pasta, a pasta será aberta e voce poderá salvar com o nome

“Conhecendo o Software” ou outro que voce achar mais conveniente.

Figura 12 –atividade 01 – item I – Excel

II. CONHECENDO O SOFTWARE E ALGUMAS OPERAÇÕES

a) Construindo a Tabela

b) contruindo gráfico do 2º grau : F(x) = x2 – 2x + 3

Desenvolvimento:

Abra uma nova planilha

Noemie as colunas como o descrito abaixo:

x x2 2x(-1) c f(x) = x2-2x+3

Inserir as fórmulas:

Preencha a coluna x, com os valores -4 a +6, de A2 a A12

Na primeira célula (coluna e linha) - (B2) da coluna x2, insira a fórmula

=POTÊNCIA(A2;2)

Na primeira célula (C2) da coluna 2x(-1), insira a fórmula = MULT(-2;A2)

NA primeira célula (D2) da coluna c insira a constante 3 em todas as celulas.

Na Primeira celula da coluna f(x) = x2-2x+3, insira a fórmula =

SOMA(B2;C2;D2)

Automatizando a tabela

Passe o cursor do mouse no canto inferior direito nas primeiras células de

cada coluna, clique, segure e arraste para baixo até a última célula.

Construindo o gráfico

Selecione a coluna do x e depois, segure a tecla CTRL, selecione a coluna

f(x) = x2-2x+3

Salvando o arquivo

Para salvar clique no menu salvar como, clique na pasta que tem o seu nome

criando no exercício anterior, e salve com o nome CONHECENDO O

SOFTWARE – 2 ou outro nome que voce achar conveniente.

Figura 13 –atividade 01 – item II - Excel

ATIVIDADE 02

Objetivo Compreender o significado de coeficiente angular e linear; analisar gráficos

para estabelecer sinal, crescimento, decrescimento e a raiz da função.

A Fatura de energia eletrica:

A Tarifa cobrada por certa empresa de distribuição de energia é de R$ 12,63 pela

iluminação publica, adicionados ao consumo em Kwh. Sendo o valor em Kwh de R$

de R$ 0,3976297.

a) escreva fórmula matemática _______________________

b) esboce o gráfico com os seguintes valores para x: 50; 150; 200; 250; 300; 350;

400.

c) Quanto se pagará por um consumo de 362Kwh?

d) O que voce nota no grafico? Descreva.

e) Caso não haja consumo em KWh, qual o valor a ser pago?

f) Existe a possibilidade do consumo ser negativo?

f) se o valor a pagar for só R$ 12,63 o que acontece com o grafico? Descreva.

g) Caso não houvesse a tarifa de Iluminação Pública como seria o grafico?

Descreva.

h) Observe a fatura de energia eletrica de sua residência, quais os tributos que são

cobradas em sua fatura? Você sabe para que finalidade eles são cobrados?

Construção do Gráfico:

Preencha a celula A1 com a formula; D1 com a=; E1 com 0,396297 e G1 com 12,63

Preencha A2 com o texto: consumo de luz

Preencha A3 com x e B3 com y

Preencha A4 a A11 com valores de 50; 100; 150; 200; 250; 300; 350 e 400

Preencha B4 com a formula =(E$1*A4+G$1)

Clique uma vez na celula B4 e com a ajuda do mouse coloque o cursor na parte

inferior direita ate aparecer uma cruz preta, fique pressionando o botão esquerdo do

mouse e vá arrastando a formula para as celulas seguintes.

Para inserir o grafico selecione as colunas que contem os valores de x e de y,

inclusive o titulo [CONSUMO DE LUZ], clique o menu Inserir graficos “dispersão”

com linhas retas e marcadores.

Figura 14 – atividade 02 - Excel

ATIVIDADE 03

A atividade a seguir visa mostrar a formação da parábola pela sua definição, a

dinamicidade de seus coeficientes e suas representações gráficas.

Nos acidentes de trânsito, uma das preocupações dos especialistas em tráfego é

descobrir qual a velocidade do veículo antes da colisão. Quando um motorista, a

certa velocidade, é forçado a acionar o freio repentinamente, observamos que o

veículo ainda percorre uma certa distância até que fique totalmente parado. Esse

caminho ainda percorrido pelo automóvel é chamado de espaço de frenagem de um

veículo. O valor dessa distância depende, entre outros fatores, da velocidade em

que o veículo se encontra, quando é freado. E uma das fórmulas utilizadas para

descobrir em que velocidade o carro estava antes da colisão é:

Na qual v é a velocidade, em quilômetros por hora, desenvolvida pelo veículo antes

do choque e d, é a distância, em metros, que o mesmo percorre desde que o

motorista pressente o acidente até a parada do veículo.

Contexto: houve um acidente com a colisão de dois carros no cruzamento da

Avenida Bandeirante com a Souza Naves. O perito foi chamado e efetuou as

medições das marcas deixadas pelos pneus dos carros até parar. As medições

estavam assim anotadas: carro A 33,6 m e carro B 59,4 m. Responda:

a) Qual era a velocidade de cada carro?

b) Que grandeza esse gráfico relaciona?

c) Pesquise sobre causas de acidentes de transito em Londrina e o que pode

ser feito para evitá-los.

d) Quantos metros percorre um carro a 60 km/h, desde o momento em que vê o

obstáculo, até o carro parar?

e) Quando a velocidade dobra passando de 60 para 120 km/h, o espaço de

frenagem também dobra?

ATIVIDADE 04

Objetivo Compreender o significado de coeficiente angular e linear; analisar gráficos

para estabelecer sinal, crescimento, decrescimento e a raiz da função.

Contexto: A empresa de TV a cabo FATWORD cobra de seus assinantes uma mensalidade de R$ 69,00 e mais R$ 13,00 por programas extras comprados.

Desse modo, o valor a ser pago no final de cada mês depende do número de programas comprados pelo assinante.

Organize uma tabela e mostre a relação entre o número de programas extras comprados e o total a ser pago.

Número de programas extras

Preço ( em reais)

0 69

1 69 + 1 . 13

2 69 + 2 . 13

3 69 + 3 . 13

4 69 + 4 . 13

a) escreva fórmula matemática _____________________________________

b) Qual o valor a ser pago se o número de programas extras comprado for 10?

c) O que voce nota no grafico? Descreva.

d) Se não for adquirido nenhum programa extra, qual será o valor a pagar?

e) Dentro do contexto do problema apresentado, qual o dominio da função?

f) Qual a imagem?

g) Qual a relação existente entre o coeficiente linear e a semi-reta?

h) Qual a relação entre a declividade e a semi-reta?

Construa o gráfico considerando os meses de janeiro a julho com o valores sem

programas extras.

Construção do Gráfico:

Preencha a celula A1 com a formula; D1 com a=; E1 com 13 e G1 com 69

Preencha A2 com o texto: MENSALIDADE - FATWORD

Preencha A3 com x e B3 com y

Preencha B4 com a fórmula =(E$1*A4+G$1)

Clique uma vez na celula B4 e com a ajuda do mouse coloque o cursor na parte

inferior direita ate aparecer uma cruz preta, fique pressionando o botão esquerdo do

mouse e vá arrastando a formula para as celulas seguintes.

Para inserir o grafico selecione as colunas que contem os valores de x e de y,

inclusive o titulo [MENSALIDADE - FATWORD], clique o menu Inserir graficos

“dispersão” com linhas retas e marcadores.

y=13*x +69

a= 13 b= 69 MENSALIDADE -

FATWORD

x y 0 69,00 1 82,00 2 95,00 3 108,00 4 121,00 5 134,00 6 147,00 7 160,00 8 173,00

Figura 15 – atividade 04 - Excel

MESES MENSALIDADE

JAN 69,00 FEV 69,00 MAR 69,00 ABR 69,00 MAI 69,00 JUN 69,00 JUL 69,00

Figura 16 – atividade 04 - Excel

UTILIZAÇÃO SOFTWARE – PLOTFUNÇÃO

As atividades a seguir serão desenvolvidas no Plotfunção

ATIVIDADE 01

Objetivo: familiarização com o Plotfunção

a) Construção do gráfico de uma função de 1º grau

Digite valores para B e C.

Neste caso introduzimos os seguintes valores B = 2 e C = 3 e obtivemos o

que se segue:

Figura 17 - atividade 01 - Plotfunção

Quais as caracteristicas do gráfico? Descreva.

ATIVIDADE 02

Objetivo: familiarização com o Plotfunção

a) Construção do gráfico de uma função de 2º grau

Digite valores para A, B e C

Neste caso introduzimos os seguintes valores A = 1 B = 2 e C = 3 e obtivemos o

que se segue:

Figura 18 – atividade 02 - Plotfunção

Quais as caracteristicas do gráfico? Descreva.

ATIVIDADE 03

Objetivo: Compreender o significado de coeficiente angular e linear; analisar gráficos

para estabelecer sinal, crescimento, decrescimento e a raiz da função.

Contexto: Para uma viagem a Fortaleza foi fretado um avião com 90 lugares. Cada

pessoa deve pagar à companhia R$ 450,00, além de taxa de R$ 15,00 para cada

lugar não ocupado do avião.

Responda:

a) Qual a fórmula matemática que define esta função?____________________

b) O que você entende por lucro e receita?

b) Qual a receita arrecadada se os 90 lugares fossem ocupado?

c) Qual a receita máxima que pode ser arrecada nas condições do problema?

d) Para que valores de x (numero de ocupantes) o lucro é zero?

e) Faça o gráfico.

ATIVIDADE 04

Objetivo Compreender o significado de coeficiente angular e linear; analisar gráficos

para estabelecer sinal, crescimento, decrescimento e a raiz da função.

Os taxistas de uma determinada cidade, cobram pela corrida um valor fixo chamada

de bandeirada, adicionado a um valor por quilometro rodada, e a noite é cobrada a

bandeirada dois que significa que o quilometro rodado sofre uma variação de 30%.

Contexto: Em uma determinada cidade, os taxistas cobram R$ 12,00 a bandeirada e

mais R$ 2,00 por quilometro rodado.

a) Elabore uma planilha;

b) Esboce o gráfico;

c) Qual é o domínio da função? E a imagem?

d) Que relação existente entre o coeficiente linear e a semirreta?

e) O que você percebe sobre a declividade e os dados do problema?

e) Usando os mesmos dados do problema, determine a função que fornece o preço

de uma corrida onde a bandeira dois é usada.

ATIVIDADE 05

Objetivo: Compreender o significado de coeficiente angular e linear; analisar gráficos

para estabelecer sinal, crescimento, decrescimento e a raiz da função.

a) Calcular o valor de f(x) = ax + b para a = -1, 0, 1, 2 e 3 e b = - 2

b) Calcular o valor de f(x)= ax + b para b= -1, 0, 1, 2 e 3 com a = 1

c) Relate o que você notou em relação ao coeficiente, ao gráfico e em relação à raiz

da função.

ATIVIDADE 06

Explorando o coeficiente de x no gráfico da parábola y = 2x2 + bx – 2

a) Considere valores positivos para o coeficiente de b. Faça os gráficos de y = 2x2 +

x – 2; y = 2x2 + 2x – 2 e y = 2x2 + 3x – 2. Que mudança você observa?

b) Considere agora valores negativos para o coeficiente b. Quando o coeficiente b é

negativo o que acontece com a parábola?

ATIVIDADE 07

Esta atividade tem como objetivo fazer com que os alunos pesquisem sobre as

causas da obesidade e quais as providências que podem ser tomadas para evitar o

sobre peso.

Hoje muito se fala em medida certa, IMC – Índice de massa corpórea, pois

pesquisas recentes revelaram que mais de 50% dos brasileiros estão com

sobrepeso ou são obesos.

a) fazer uma pesquisa sobre a obesidade – o que causa – quais as soluções

b) Pesquisar qual a fórmula para encontrar o IMC

c) Calcular o IMC de cada aluno da sala

d) Fazer o gráfico

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Em tempos modernos e tecnológicos não é mais admissível que

apenas o uso da tecnologia do giz e do quadro-negro possa propiciar o ensinar e

aprender.

É preciso que como educador saibamos utilizar recursos

tecnológicos, busquemos novas estratégias, novos meios, novas metodologias para

proporcionar aos educandos um ensino de qualidade.

Espera-se que com a utilização dos softwares no desenvolvimento

das atividades propostas nesta unidade didática as aulas se tornem mais dinâmicas,

os educandos mais ativos no processo e que realmente consigam construir os

conceitos e aplicá-los fora do ambiente escolar. Não será uma tarefa fácil, sabemos.

Muitos alunos em sala, problemas de toda a ordem poderão surgir no decorrer da

aplicação da intervenção pedagógica, mas faz parte do processo. O importante é

tentar e tentar de novo até que cosigamos o nosso objetivo “ensinar e aprender”.

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Figura 1 – secção cônica............................................................................................14

Figura 2 – Ponte 25 de abril ..................................................................................... 14

Figura 3 – Ponte Juscelino Kubtschek ..................................................................... 14

Figura 4 – Planilha do Excel ..................................................................................... 18

Figura 5 – Layout do Geogebra ................................................................................ 20

Figura 6 – Layout do Plotfunção ............................................................................... 21

Figura 7– Função 1º grau – atividade 2A ................................................................. 25

Figura 8 – Função Quadrática – atividade 2B .......................................................... 26

Figura 9 – gráfico –atividade 3 – Geogebra ............................................................. 27

Figura 10– Atividade 1 – Item I - Excel ..................................................................... 31

Figura 11 – Atividade 1 – item I -Excel ..................................................................... 32

Figura 12 – Atividade 1- item I - Excel ..................................................................... 32

Figura 13– Atividade 1 – Item II - Excel .................................................................... 34

Figura 14 – Atividade 2 –Excel ................................................................................. 36

Figura 15 – Atividade 4 - Excel ................................................................................ 39

Figura 16– Atividade 4 –Excel .................................................................................. 39

Figura 17 – Atividade 1 - Plotfunção ........................................................................ 40

Figura 18 – Atividade 2 - Plotfunção ....................................................................... 41

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 – Operadores matemáticos do Excel ......................................................... 17

Tabela 2 – Operadores matemáticos do Geogebra ................................................. 20

REFERÊNCIAS

ALMEIDA, M. E. A formação de recursos humanos em informática educativa propicia

a mudança de postura do professor? In: VALENTE, J. A. O professor no Ambiente

Logo: formação e atuação. Campinas, SP: UNICAMP/NIED, 1996.

CARAÇA, B.J.C. Conceitos fundamentais da Matemática. Lisboa: Tipografia

Matemática, p.318, 1951.

DIRETORIA DE GENTE E GESTÃO - PlotFuncao - Nascimento.eng.br

plotfuncao.nascimento.eng.br/PIQ-forum-2010-PlotFuncao.pdf - acesso em

11/09/2013

GEOGEBRA - http://www.geogebra.org/cms/ acesso em 02/09/2013

GERONIMO, J.R. Geometria Euclidiana: um estudo com o software Geogebra?João

Roberto Geronimo, Rui Marcos de Oliveira Barros, Valdeni Soliani Franco. Maringá:

Eduem, 2010.

GIOVANNI, J.R. A Conquista da matemática – Nova/José Ruy Giovanni, Benedito

Castrucci, José Ruy Giovanni Jr. – São Paulo: FTD, 1998, (Coleção a Conquista da

Matemática)

ONUCHIC, L. L.R.; ALLEVATO, N. S. G. Novas reflexões sobre o ensino-

aprendizagem de Matemática através da Resolução de Problemas. In: BICUDO, M.

A. V. V.; BORBA, M. C. (Orgs). Educação e Matemática: pesquisa em movimento.

São Paulo: Cortez, 2004.

PARANÁ. Diretrizes Curriculares da Educação Básica. Matemática. Curitiba: Jam3

Comunicação, 1998.

RÊGO,R.G. Um estudo sobre a construção do conceito de função. Tese (Doutorado

em Educação) Faculdade de Educação, Universidade Federal do Rio Grande do

Norte - UFRN, 2000.

http://revistaescola.abril.com.br/matematica/pratica-pedagogica/jeito-certo-ensinar-

funcao-afim-629266.shtml – acesso em 13/09/2013.

http://www.atividadesrodoviarias.pro.br/mantenhadistancia.htm – acesso em

13/10/2013

http://www.dicasgratisbrasil.com/o-que-e-o-excel – O QUE É O EXCEL? - DICAS

GRATIS BRASIL - Alimentação ... acesso em 02/09/2013

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm28/hist.htm – acesso em 12/09/2013

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm43/conicas.htm – acesso em 12/09/2013.

http ://www.fundacaobradesco.org.br/ Sumário - Apostila de Excel – acesso em

02/09/2013

http://www.magiadamatematica.com/introestudofuncoes.pdf – acesso em 13/10/2013

http:www.mundoeducacao.com/matematica/grafico-funcao-lucro.htm – acesso em

16/09/2013

http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/2012/index.html ACESSO 12/09/2010

http://www.tecciencia.ufba.br/equacao-do-2o-grau/equacoes-de-2o-grau-no-nosso-

cotidiano – acesso em 12/09/2013

http://www.tecciencia.ufba.br/funcao-do-2o-grau – acesso em 12/09/2013

http://sites.unifra.br/Portals/1/ARTIGOS/REEGEN_CANDIDO_04.pdf – acesso em

17/11/2013.

http://educacao.uol.com.br/biografias/roger-bacon.jhtm – acesso em 17/11/2013.

http://www.mat.ufrgs.br/~vclotilde/disciplinas/laboratorio/texto_funcoes.pdf – acesso

em 18/11/2013.