OTIMIZAÇÃO DA SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE LAPLACE 2D COM

MULTIGRID GEOMÉTRICO, COM E SEM ANISOTROPIA GEOMÉTRICA

DOUTORANDA: Fabiane de Oliveira, M.Sc.ORIENTADOR: Carlos Henrique Marchi, Dr. Eng.CO-ORIENTADOR: Marcio Augusto Villela Pinto, Dr. Sc.

Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânica PG-MEC - UFPRCuritiba – 17/04/2008

1º SEMINÁRIO DO PROJETO MULTIGRID

OTIMIZAÇÃO DO MÉTODO MULTIGRID PARA PROBLEMAS DE MECÂNICA COMPUTACIONAL

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DADOS COMPUTACIONAIS

Hardware:Máquina: CFD7 do LENA 1;Processador Core2 Duo;2.66 GHz e 8 GB de RAM;

Software:Linguagem: FORTRAN/95;Versão 9.1 INTEL;Projeto console – releasePrecisão dupla, Windows xp 64 bits;

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DADOS DO MODELO MATEMÁTICO E NUMÉRICO

Equação de Laplace;Condições de contorno de Dirichlet; Discretização: Método das diferenças finitas; Aproximação: CDS.

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DADOS DO MULTIGRID

Algoritmo: Full Approximation Scheme (FAS);Restrição: Injeção, meia ponderação, ponderação

completa;Prolongação: Interpolação bilinear;Solver: MSI, Gauss-Seidel e ADI;Malhas uniformes e malhas anisotrópicas;Razão de engrossamento: r = 2;Razões de aspecto: 4, 16, 1024, 4096, 16384 entre

outras.

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EQUAÇÃO GOVERNANTE

Equação de Laplace 2D

yx CyCxy

T

x

T

0e0,02

2

2

2

0),0(),()0,(,),(

yTyCTCT

C

xsenCxT xx

xy

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OTIMIZAÇÃO DO ITI E DOS ROTEIROS

Malhas uniformes;Roteiros:

ITI totalmente constante;ITI dinâmico;ITI constante na restrição e na prolongação;Dente-de-serra;Hortmann.

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ITI TOTALMENTE CONSTANTE

Figura: ITI totalmente constante para ITI = 4 e L = 6

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ITI TOTALMENTE CONSTANTE

O número ótimo de iterações internas é igual a 3; Dado um N, o uso de poucos níveis conduz a

um maior tempo de CPU; O número ótimo de níveis é igual ao número

máximo; Um padrão de comportamento nos parâmetros

estudados (número de iterações internas e número de níveis) pode ser determinado somente a partir de problemas de tamanho 129x129;

Recomenda-se usar ITI = 3 e L = Lmax.

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ITI DINÂMICO

Figura: ITI dinâmico para L = 6

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ITI DINÂMICO

O número de iterações internas é maior na restrição do que na prolongação;

O número de iterações internas na prolongação varia entre 1, 2 e 3;

Na malha mais grossa o número de iterações internas é igual a 1;

O cálculo do resíduo demanda muito tempo de CPU;O melhor algoritmo obtido para iti dinâmico foi com o

uso de uma tolerância interna de 0,01. Tolerâncias internas muito pequenas fazem com que o número de iterações internas seja muito alto e em conseqüência aumente o tempo de CPU, por outro lado tolerâncias internas grandes reduzem demasiadamente o número de iterações internas, aumentando o número de ciclos e consequentemente também o tempo computacional.

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ITI DINÂMICO X ITI CONSTANTE

Figura : Tempo de CPU x N

104 105 106

0,1

1

10

100

Tol_d=0,01 Tol_d=0,1 Told_=0,2 ITI totalmente constante

Tem

po d

e C

PU

N

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ITI CONSTANTE NA RESTRIÇÃO E NA PROLONGAÇÃO

Figura: ITI totalmente constante na restrição e na prolongação

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ITI CONSTANTE NA RESTRIÇÃO E NA PROLONGAÇÃO

Para os problemas testados a soma do número de iterações internas para a restrição e prolongação é igual a 6;

Iti_p = 3 com iti_r = 3 é melhor entre os algoritmos de iti_p e iti_r fixos.

ALGORITMO DE HORTMANN

E

SUAS VARIAÇÕES

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HORTMANN

Figura: Hortmann para L = 6

16

HORTMANN MODIFICADO

Figura: Hortmann modificado para L = 6

17

HORTMANN MODIFICADO INVERSO

Figura: Hortmann modificado para L = 6

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HORTMANN MODIFICADO COM ITI_P CONSTANTE

Figura: Hortmann modificado variando iti_p para L = 6

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HORTMANN E SUAS VARIAÇÕES

Figura : Tempo de CPU x N

104 105 106

0,1

1

10

100

Hortmann Hortmann modificado Hortmann modificado inverso Hortmann modificado inverso com iti_p=3

Tem

po d

e C

PU

N

DENTE DE SERRA

E

SUAS VARIAÇÕES

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DENTE DE SERRA TIPO I

Figura: Dente-de-serra (tipo I) para L = 6

22

DENTE DE SERRA TIPO II

Figura: Dente-de-serra (tipo II) para L = 6

23

DENTE DE SERRA TIPO II MODIFICADO

Figura: Dente-de-serra (tipo II) modificado para L = 6

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COMPARAÇÕES ENTRE OS ALGORTIMOS

Figura : Tempo de CPU x N

104 105 106

0,1

1

10

100

Dente-de-serra tipo II modificado Hortmann modificado ITI_p = 3 ITI dinâmico com tol = 0,01 ITI totlamente constante

Tem

po d

e C

PU

N

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COMPARAÇÕES ENTRE OS ALGORTIMOS

Figura : Tempo de CPU x N

104 105 106

10-1

100

101

Dente-de-serra tipo II modificado Hortmann modificado ITI_p =3 ITI toalmente constante

Tem

po d

e C

PU

N

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ITI TOTALMENTE CONSTANTESOLVERS

Figura : Tempo de CPU x N

104 105 106

0,1

1

10

100

MSI Gauss-Seidel ADI

Tem

po d

e C

PU

N

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ITI TOTALMENTE CONSTANTETIPOS DE RESTRIÇÃO

Figura : Tempo de CPU x N

104 105 106

0,1

1

10

Injeção Meia ponderação Ponderação completa

Tem

po d

e C

PU

N

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ANISOTROPIA

Analisar diversos tipos de anisotropia geométrica;

Propor um método que otimize a convergência do multigrid em problemas anisotrópicos.

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ALGORITMOS

Engrossamento padrão para o problema isotrópico;

Engrossamento padrão para o problema anisotrópico;

Semi-engrossamento (MULDER, 1989);

Semi-engrossamento seguido de engrossamento padrão (ZHANG, 2002).

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ANISOTROPIA TIPO I

yhxh

yNxN

yCxC Figura: Anisotropia Tipo I

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ANISOTROPIA TIPO II

yNxN

yCxC

yhxh

Figura: Anisotropia Tipo II

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ANISOTROPIA TIPO III

yNxN

yCxC

yhxh

Figura: Anisotropia Tipo III

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ANISOTROPIA TIPO IV

yNxN

yCxC

yhxh

Figura: Anisotropia Tipo IV

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RESULTADOS ESPERADOS

Reduzir significativamente o tempo de CPU necessário para resolver a equação de Laplace bidimensional em malhas estruturadas uniformes e uniformes por direção com alta razão de aspecto;

Estabelecer um procedimento com o intuito de aumentar a taxa de convergência em problemas com anisotropia geométrica, diminuindo desta forma o tempo de CPU.