-
1.1. Reviso direcionada sobre Transformada de Laplace
A transformada de Laplace fundamental para o estudo dos sistemas
de controle lineares e invariantes no tempo.
As dinmicas desses sistemas podem ser representadas por equaes
diferenciais no domnio do tempo que, em
muitas das vezes, possuem difcil e penosa resoluo no domnio do
tempo. Por exemplo, integrao e diferenciao,
so substitudas por operaes algbricas bsicas no domnio da
freqncia (plano complexo). Uma vez resolvida a
expresso algbrica no domnio s, a resposta da equao diferencial
no domnio do tempo obtida atravs do uso
das tabelas de transformadas de laplace ou pelas tcnicas de
expanso em fraes parciais.
Um exemplo de aplicao pode ser mostrado atravs de um sistema
massa-mola-amortecedor. Esse sistema pode
ser representado pela seguinte equao diferencial
2
2
d x(t) dx(t)M. B. K.x(t) F(t)
dtdt , tirada da segunda lei de
Newton F M.a , onde: M a massa, B o coeficiente de atrito e K a
constante da mola e (a) a acelerao
resultante do sistema, x(t) o deslocamento que o sistema sofre
em funo de t, devido aplicao da fora F(t), ou
seja,
2
2
dx(t) d x(t)B. K.x(t) M.
dt dt . A resoluo desta equao no domnio s ou tambm conhecido
como domnio
da frequncia, (Laplace plano complexo) se resume resoluo de uma
equao simultnea do segundo grau da
seguinte forma 2Ms X(s) BsX(s) KX(s) F(s) (esse procedimento ser
visto adiante). Portanto, a relao entre o
deslocamento sofrido pela massa X(s) devido fora aplicada F(s)
dada por 2X(s).[Ms Bs K] F(s) , ou
melhor, 2
1X(s) F(s)
Ms Bs K
. Dada uma fora aplicada F(s) obtemos um deslocamento X(s) em
funo dos
parmetros M (massa), B (atrito) e K (constante da mola). A
resoluo desse problema no domnio do tempo como
resposta x(t) fora f(t) aplicada ser a transformada inversa de
Laplace de X(s), ou seja,
1 12
1x(t) L X(s) L F(s)
Ms Bs K
que pode ser resolvido facilmente atravs do mtodo de
decomposio
em fraes parciais como ser visto mais adiante.
1.1.1. Definio geral
A transformada de Laplace determinada atravs da multiplicao de
uma funo ou sinal linear f(t) pela funo ste
e integrando o produto, no intervalo de tempo compreendido entre
(0, +), ou seja:
s.t
0
F(s) f (t)e dt
Obs. Consideraremos letras minsculas para as funes no domnio do
tempo e letras maisculas para as suas
transformadas de Laplace (domnio da frequncia)
Esse procedimento far com que uma funo f(t), com t uma varivel
real positiva no domnio do tempo, seja
convertida em uma funo no domnio complexo com s uma varivel
complexa (a + jb) com -
-
A transformada de Laplace uma transformao linear. Dadas as funes
f(t), f1(t) e f2(t) e se elas apresentam
transformada de Laplace, ento:
L[k.f (t)] k.L[f (t)]
1 2 1 2L[f (t) f (t)] L[f (t)] L[f (t)]
A seguir sero desenvolvidas as transformadas de Laplace de
apenas algumas funes bastante usadas na teoria de
controle.
1.1.2. Funo exponencial e sua transformada
A funo exponencial definida da seguinte forma:
t
f (t) 0 se t 0
f (t) k.e se t 0
onde k e so constantes reais.
t t st ( s)t
0 0
L[f (t)] L[k.e ] k.e .e .dt k. e .dt
Lembrando da teoria de clculo, podemos fazer uma troca simples e
conveniente de variveis. Fazendo
( s).t u e derivando os dois membros temos du
( s).dt du dt( s)
.
Devido mudana de variveis, os limites de integrao tambm mudaro
passando a ser;
Para t = 0 u = 0 e para t = u = -
Fazendo a troca de variveis temos:
u u u
0 0
du k kL[f (u)] k. e .( ) . e .du .e
0( s) ( s) ( s)
0 0k k k 1 k k.[e e ] .[e e ] .( 1) .(0 1)( s) ( s) ( s) ( s) (s
)e
Portanto, t kL[k.e ]
s
Para a transformao efetuada, K um ganho e o inverso de , ou
seja, 1
uma constante de tempo.
O grfico da funo 2tf (t) 4e mostrado a seguir: Observe que
quando t=0 f(t) = 4 e quando t = f(t) = 0.
Observe tambm que = 2 e o seu inverso 0,5 que a sua constante de
tempo. Veja que para t igual a 5 valores
de constante de tempo, ou seja, t = 2,5 seg, o valor da funo
praticamente o valor que ela teria em t = , ou seja,
f() = 0. Em geral podemos dizer que uma exponencial ao atingir
um tempo em torno de quatro a cinco vezes a sua
constante de tempo, o valor atingido praticamente o valor que
ela teria para t = .
-
Grfico traado pelo software MATLAB.
1.1.3. Funo degrau e sua transformada
A funo degrau definida da seguinte forma:
f (t) 0 se t 0
f (t) k.u(t) se t 0
onde k uma constante real e u(t) = 1 para t 0.
A transformada de Laplace de k.u(t) (t 0) fica:
(observe que a transformada de Laplace definida no intervalo
(0,) uma vez que a converso feita para funes
no tempo e pelo que sabemos at o momento, no existe tempo
negativo).
st st
0 0
L[f (t)] L[k.u(t)] k.e .dt k. e .dt
Da mesma forma feita no item 1.3.2, podemos fazer uma troca
tambm simples e conveniente de variveis. Fazendo
s.t u e derivando os dois membros temos: du
s.dt du dts
.
Os limites de integrao tambm mudaro passando a ser: para t = 0 u
= 0 e para t = u = -
Fazendo a troca de variveis temos:
u u u
0 0
du k kL[f (u)] k. e . . e .du .e
0s s s
0 0k k k 1 k k.[e e ] .[e e ] .( 1) .(0 1)s s s s se
Portanto, k
L[k.u(t)]s
Para a transformao efetuada, K um ganho e, se for igual a um,
denominados de degrau unitrio. Esta funo e
ostensivamente utilizada na teoria de controle.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4Grafico da funao exponencial decrescente
Tempo (sec)
Am
plit
ude
-
Observa-se tambm que para a funo degrau, =0, ou seja, a
constante de tempo 1
infinita, ou seja, a funo
no parte de 0 e vai a 1 num determinado tempo ela j parte de 1
para t 0.
Para descrevermos melhor a aplicao dessa funo nos sistemas,
imagine uma balana de prato com indicao
analgica e desejamos medir a massa de um certo material. Imagine
que o instante em que o material colocado na
balana seja t = 0, obviamente, a massa medida pela balana num
tempo anterior colocao do tijolo no prato da
balana ser 0. Veja que a partir de t = 0 o valor de massa
colocado no prato da balana vale K e no modificar para
todo t 0. Esse um exemplo de aplicao da funo u(t). A resposta da
balana (considerada o sistema) ser a
movimentao do ponteiro analgico em sua rgua graduada. Esse
ponteiro sara de 0 (massa = 0) e a partir de t = 0
comear a se deslocar at estabilizar no valor de K que a sua
massa. Se retirarmos o material, tudo voltar a ser
como antes.
Os grficos da aplicao do material na balana f(t)=K.u(t) e da
resposta da balana podem ser mostrados a partir
dos grficos a seguir: As oscilaes no grfico de resposta da
balana podero alterar dependendo dos valores de K,
mas o valor final ser sempre K.
-1 0 1 2 3 4 5 6 74
4.2
4.4
4.6
4.8
5
5.2
5.4
5.6
5.8
6Funao degrau unitario de valor K=5
Tempo (sec)
Am
plit
ude
-
Obs. h um costume geral em se dizer qual o peso de um dado
produto, na verdade deveria ser qual a massa do
produto, uma vez que, balana no mede peso mas sim massa, a
gravidade anulada pelo prato da balana e a
graduao, como todos ns sabemos em gramas).
1.1.4. Funo rampa e sua transformada
A funo rampa definida da seguinte forma:
0 para t 0f (t)
K.t para t 0
A sua transformada de Laplace dada por, st st
0 0
L[f (t)] L[k.t] k.t.e .dt k. t.e .dt
Fazendo u du
u s.t t ento dts s
Os limites de integrao ficam: para t = 0 u = 0 e para t = u = -
, portanto,
st u u
20 0 0
u du kk. t.e .dt k.. .e . . u..e .du
s s s
Dadas as duas funes u e uv e ( udv e .du ) contnuas e que
possuem derivadas no intervalo (-,0), sabemos
do clculo que (u.v) u '.v u.v' . Integrando os dois lados
temos:
0 0 0(u.v) u '.v u.v '
(chamada integrao por partes). Dessa expresso podemos tirar
que:
0 0 0 0u.v ' (u.v) u '.v u.v u '.v
0
Substituindo o valor de v temos:
u u u 0 0
0 0u.e .du u.e e .du ( .e 0.e ) (e e ) (0 0) (0 1) 1
0
-1 0 1 2 3 4 5 6 70
1
2
3
4
5
6
7Movimento do ponteiro da balana
Tempo (sec)
Am
plit
ude
-
O valor de .e 0 pois a expresso tt
tt.e
e
quando t gera uma indeterminao que eliminada
aplicando a regra de LHopital ficando t
t
d(t)
1dtd e(e )dt
e quando t vai a a expresso vai a zero. A expresso pode
ser entendida da seguinte forma: quando t vai para o infinito, o
denominador da expresso vai para o infinito muito
mais rpido que o numerador, porisso, a expresso toda vai a
zero.
Logo, st
0
L[k.t] k. t.e .dt
u
2 2 20
k k k. u..e .du .1
s s s
A transformada de Laplace da funo rampa tambm possui grande
importncia na teoria de controle.
1.1.5. Funo pulso e sua transformada
Antes de determinarmos a transformada de Laplace da funo pulso,
importante que falemos um pouco sobre um
teorema da transformada de Laplace que diz sobre o deslocamento
de uma funo no tempo a qual chamamos de
funo transladada ou funo com retardo de tempo.
Considere as seguintes funes no tempo, f(t) e f(t-). O efeito de
um retardo de tempo na funo f(t) pode ser
visto comparando os dois grficos a seguir.
f(t) Sem retardo de tempo f(t-) Com retardo de tempo ( =
1seg)
Considerando que u(t) a funo degrau unitrio e como essas funes
no tempo s valem para t 0 ento
podemos dizer que a funo sem retardo de tempo dada por f (t) f
(t).u(t) e a funo com retardo de tempo
dada por f (t ) f (t ).u(t ) .
A transformada de Laplace da funo f (t ) dada por st
0
L[f (t ).u(t )] f (t ).u(t ).e .dt
.
Uma troca conveniente de variveis seria fazendo: t dt d .
Os limites de integrao ficam: para para t 0 e para t e quando t
0
Portanto, as integrais ficam:
0st s( ) s( ) s( )
0 0
f (t ).u(t ).e f ( ).u( ).e .d f ( ).u( ).e .d f ( ).u( ).e
.d
s s s s
0 0
0 f ( ).u( ).e .e .d e . f ( ).u( ).e .d
0 1 2 3 4 5 60
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1Funao sem retardo de tempo
Tempo (sec)
Am
plitu
de
0 1 2 3 4 5 6 70
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1Funao com retardo de tempo de 1 seg
Tempo (sec)
Am
plit
ude
-
Como u( ) 1 para t 0 ento, s s s s s
0 0
e . f ( ).u( ).e d e . f ( ).e d e .F(s)
Portanto,
s.L[f (t )] e F(s)
Funo Pulso
A funo pulso definida como sendo 0
0
f (t) k para 0 t t
f (t) 0 para t 0 e t t
e pode ser desenvolvida
analiticamente como sendo a subtrao de dois degraus unitrios de
valor K defasados no tempo de um tempo t0, ou
seja,
0f (t) k.u(t) k.u(t t ) .
Grfico da funo pulso.
A transformada de Laplace da funo pulso ser dada por:
0 0
0 0
s.t s.t
L[f (t)] L[k.u(t) k.u(t t )] k.L[u(t)] k.L[u(t t )]
1 1 Kk. k.e . (1 e )
s s s
1.1.6. Funo impulso e sua transformada
Se fizermos o tempo t0 da funo pulso tender a zero mantendo a
sua rea, a sua amplitude tender ao infinito e
dessa forma definimos a funo impulso.
0
0
st
t 0 0
kf (t) lim (1 e )
s.t
A funo impulso s existe no instante t = 0, portanto, ter valores
iguais a zero para instantes de tempo maiores que
zero. Pode-se dizer que um caso particular da funo pulso.
A transformada de Laplace desta funo pode ser feita da seguinte
forma:
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Tempo
Deg
rau
Degrau 1 em t=0 e Degrau -1 em t=250
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5Funao pulso
-
00
st
t 0 0
kL[f (t)] L lim (1 e )
s.t
se fizermos t0 tender a zero verificaremos que haver uma diviso
de 0 por 0,
ou seja, haver uma indeterminao. Para eliminarmos essa
indeterminao utilizamos do clculo a regra de
LHopital. Derivaremos a expresso tanto no numerador quanto no
denominador em relao t0.
0
0
0
0 0 0
stst
. st0
t 0 t 0 t 00)
0
d[k.(1 e )]
k.( s e )dtlim lim lim(k.e ) kd s
(s.tdt
Quando k = 1, esta funo chamada de FUNO IMPULSO UNITRIO ou FUNO
DELTA DE DIRAC e
representada por (t) . A exemplo da funo degrau unitrio, a funo
(t) tambm tem grande importncia no
estudo da teoria de controle.
Imagine o exemplo dado na seo 1.3.3, ao invs de colocarmos o
material na balana e deixarmos ele l, colocamos
o material e no espao mais curto de tempo possvel, retiramos
esse material do prato da balana. Observa-se que
ao colocarmos o material no prato e depois o retiramos, o
ponteiro da balana atinge um determinado valor e depois
retorna ao ponto de onde partiu. como se desse um murro rpido na
balana e o ponteiro ir mais longe, na
escala da balana, quanto maior for esse murro rpido.
O grfico da aplicao do material na balana com f(t) = K.(t) e da
resposta da balana so vistos a seguir: As
oscilaes no grfico de resposta da balana podero alterar
dependendo dos valores de K. No caso, K = 5 o mesmo
considerado na seo 1.3.3.
0 1 2 3 4 5 6 7-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7Movimento do ponteiro da balana
Tempo (sec)
Am
plit
ude
-
1.1.7. Funes seno e co-seno e suas transformadas
Funo Seno
A transformada de Laplace da funo seno dada por
s.t s.t
0 0
L[k.sen( .t)] k.sen( .t).e .dt k. sen( .t).e .dt
Como j visto, podemos substituir sen( .t) por j. .t j. .te e
2j
, substituindo temos:
j. .t j. .t j. .t s.t j. .t s.t ( s j. ).t ( s j. ).ts.t s.t
0 0 0 0
e e e .e e .e e ek. sen( .t).e .dt k. .e .dt k. .dt k. .dt
2j 2j 2j
(s j. ).t (s j. ).t
0 0
k ke .dt e .dt
2j 2j
Para a primeira parcela da expresso acima, se fizermos u (s j.
)t ento
dudu (s j. )dt dt
(s j. )
E os limites de integrao passam a ser para t 0 u 0 e para t u ,
substituindo temos:
u u 0
0 0
k du k k k ke . e .du (e e ) (0 1)
2j (s j.w) 2j.(s j. ) 2j.(s j. ) 2j.(s j. ) 2j.(s j. )
Fazendo para a segunda parcela procedimento idntico obtemos
k
2j.(s j. )
.
Logo a expresso da transformada de Laplace para a funo seno
fica:
k k k 1 1 k s j. s j.L[k.sen( .t)] . .
2j.(s j. ) 2j.(s j. ) 2j s j. s j 2j (s j. ).(s j. )
2 2 2 2 2 2
k 2.j. k.. k.
2j s s s
0 1 2 3 4 5 6 7-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7Movimento do ponteiro da balana
Tempo (sec)
Am
plit
ude
-
Exerccio proposto
Determinar a transformada de Laplace da funo co-seno, sabendo-se
que
j. .t j. .te ecos( .t)
2
.
O procedimento idntico ao utilizado para determinar L[k.sen(
.t)] . Resposta: 2 2
k.sL[k.cos( .t)]
s
1.1.8. Propriedades bsicas da transformada de Laplace (TL)
As propriedades das transformadas de Laplace mostradas a seguir
so de grande importncia na teoria de controle.
1.1.8.1. Deslocamento no tempo
Esta propriedade obtida pela insero de um retardo de tempo na
funo temporal, j foi mostrada para que
pudssemos calcular a transformada de Laplace da funo pulso no
item 1.3.4.
1.1.8.2. Multiplicao de f(t) por te
.t .t s.t (s )t
0 0
L[e .f (t)] e .f (t).e .dt f (t).e .dt
, observa-se que a transformada de Laplace de funo
.te .f (t) nada mais do que substituir s por (s + ) na definio
da transformada de Laplace, portanto, se
L[f (t)] F(s) , ento .tL[e .f (t)] F(s )
Esta propriedade importante em controle quando precisamos
determinar as transformadas de Laplace de funes
do tipo .t .te .sen( .t) ou e .cos( .t) utilizadas nas respostas
de sistemas oscilantes com decaimento
exponencial que tendem para um determinado valor. As
transformadas de Laplace destas funes so dadas por:
.t
2 2L[e .sen( .t)]
(s )
.t
2 2
sL[e .cos( .t)]
(s )
1.1.8.3. Mudana da escala de tempo
Na anlise de sistemas fsicos, s vezes conveniente a alterao da
escala de tempo de uma dada funo
temporal. Se em uma dada f (t) alterarmos a varivel tempo t para
t
ento a funo ser alterada para
tf
.
s.t
0
t tL f f .e .dt
fazendo 1t
t
1t .t , ento: 1s.t s. .t1 1)0 0
tf .e .dt f t .e .d( .t
Fazendo 1s. s e substituindo, temos: 1 1s.t s .t1 1 10 0
tf .e .dt . f t .e .dt .F(s ) .F( s)
Portanto, t
L f .F( s)
-
Exemplo
Comparemos as duas expresses a seguir:
t
t 0,5.t2t
f (t) e e f e ou f 0,5.t e2
t 1L[f (t)] Lf (t) L[e ] es 1
t 2L f ou L f 0,5.t 2.F(2.s)
2 2.s 1
1.1.8.4. Teorema das derivadas
A transformada de Laplace da derivada de uma funo f(t) dada
por:
dL (f (t) sF(s) f (0)
dt
Sendo f(0) a condio inicial de f(t) calculada em t = 0.
Para demonstrar o teorema utiliza-se a integrao por partes:
0 0 0 0u.v ' (u.v) u '.v u.v u '.v
0
Fazendo
st st
du f (t) du f(t) e
dt
v e (dv s.e dt)
Substituindo os valores de u e v, temos:
st st st
0 0 0 0
du.dv u.v v.du f (t).( s.e .dt) f (t).e (e ). f (t) .dt
0 0 dt
st stst
0 0
e e df (t).e .dt f (t). . f (t) .dt
0s s dt
s. s.0st
0
e e 1 dF(s) f ( ). f (0). f (t) .e .dt
s s s dt
1 1 d f (0) 1 dF(s) 0 f (0). .L f (t) .L f (t)
s s dt s s dt
Portanto, f (0) 1 d d
F(s) .L f (t) s.F(s) f (0) L f (t)s s dt dt
Logo: d
L f (t) s.F(s) f (0)dt
Se considerarmos condies iniciais nulas, temos f(0) = 0, ento:
d
L f (t) s.F(s)dt
Exemplos:
-
Dada a expresso 3.td (e )
dt
determine a sua forma no domnio da frequncia com condio inicial
igual a 1.
3.td 1 s (s 3) 3L (e ) s. 1dt s 3 s 3 s 3
Dada a equao diferencial d
3. x(t) 5.x(t) 0dt
com condio inicial x(0) = 2, determine a sua forma no domnio
da frequncia.
dL 3. x(t) 5.x(t) 0 3.[s.X(s) x(0)] 5.X(s) 0
dt
3.s.X(s) 3.x(0) 5.X(s) 0
X(s).[3s 5] 3.x(0)
3.x(0)X(s)
3s 5
Como x(0)=2, substituindo temos:
6X(s)
3s 5
Se quisermos achar a expresso de x(t) teremos que determinar a
transformada inversa de X(s), ou seja,
1 6x(t) L3s 5
(Este clculo ser visto mais adiante)
Da mesma forma, a transformada de Laplace de uma derivada de
ordem n, ser;
nn n 1 n 2 n 3
n
dL f (t) s .F(s) s .f (0) s .f '(0) s .f ''(0) ...
dt
Se as condies iniciais forem nulas, ento teremos:
nn
n
dL f (t) s .F(s)
dt
Como exemplo, a transformada de Laplace de
2
2
df (t)
dtser:
22
2
dL f (t) s .F(s) s.f (0) f '(0)
dt
e se as condies iniciais forem nulas, ento:
22
2
dL f (t) s .F(s)
dt
Exerccio resolvido
Na equao diferencial a seguir ache a relao no domnio da
frequncia entre X(s) e U(s) considerando as
condies iniciais nulas.
3 2
3 2
d d d dx(t) 4. x(t) 2 x(t) x(t) u(t) 5.u(t)
dt dtdt dt
Resoluo:
-
3 2
3 2
3 2
s .X(s) 4.s .X(s) 2.s.X(s) X(s) s.U(s) 5.U(s)
X(s).[s 4.s 2.s 1] U(s)[s 5]
X(s) s 5
U(s) s 4.s 2.s 1
Esta expresso tem o nome de funo de transferncia e ser vista
mais adiante.
Exerccios propostos
Dada a equao diferencial a seguir, ache a relao no domnio da
frequncia, entre F(s) e U(s) considerando
condies iniciais nulas.
2
2
d d df (t) 2. f (t) f (t) 3. u(t) u(t)
dt dtdt
Dada a equao diferencial
2
2
d df (t) 2. f (t) 3.f (t) 0
dtdt , cujas condies iniciais so f(0) = 2 e
f(0) = 1. Determine a sua forma no domnio da frequncia.
1.2. Tabela de transformadas de Laplace
-
1.3. Reviso direcionada sobre transformada inversa de Laplace
(TIL)
Normalmente, em engenharia de controle clssico, utilizado o
mtodo da decomposio em fraes parciais devido
s relaes entre polinmios que normalmente so encontradas na
teoria. Como j visto, as dinmicas dos sistemas
de controle, regidas por equaes diferenciais, transforman-se em
polinmios quando tratadas no domnio da
frequncia (Laplace) da a grande utilizao do mtodo.
1.3.1. Mtodo da decomposio em fraes parciais
O mtodo se resume em expandir uma relao entre polinmios de maior
ordem, em uma soma de relaes
polinomiais, sendo o numerador uma constante e o denominador um
polinmio do tipo (s+A)n, sendo (A) um nmero
real ou complexo e (n) um inteiro positivo. Estas so as condies
que normalmente encontramos em controle,
obviamente, o rigor matemtico faz com que o mtodo seja muito
mais abrangente.
Para realizarmos a decomposio em fraes parciais precisamos
decompor o polinmio do denominador em um
produto de monmios de suas razes. Um problema seria a determinao
dessas razes dependendo do grau do
polinmio do denominador (para acharmos as razes igualamos o
polinmio a zero). Para isso existem calculadoras
cientficas que podem fazer esse trabalho. Entra-se com os
coeficientes do polinmio e como resposta da
calculadora, nos fornece as suas razes, reais ou complexas.
Existem softwares como o MATLAB que tambm pode
fazer isso.
Por exemplo, o comando roots(A) do MATLAB sendo A um vetor
definido pelo usurio com os coeficientes de um
dado polinmio, nos retornar as razes desse polinmio complexas ou
reais.
Exemplo:
Para o polinmio 5 4 3s 3s 5s 7s 8 0 (Observe que o coeficiente
de grau dois deste polinmio zero)
A = [1 3 5 0 7 8] (Os coeficientes so separados por espao em
branco e o polinmio entre colchetes)
roots(A)
O MATLAB nos dar como resposta o seguinte resultado
ans =
-1.7217 + 1.7761i
-1.7217 - 1.7761i
0.6506 + 1.0493i
0.6506 - 1.0493i
-0.8577
Divertimento para quando fizer um sbado chuvoso.
Dado o produto de monmios das razes acima:
[s (-1.7217 + j1.7761)].[[s (-1.7217 - j1.7761)].[s (0.6506 +
j1.0493)].[[s (0.6506 + j1.0493i)].[s-(-0.8577)]
Dando o segunte produto
[s 1.7217 - j1.7761].[[s 1.7217 + j1.7761].[s 0.6506 -
j1.0493].[[s
0.6506 - j1.0493].(s + 0.8577)
Tente chegar no polinmio dado como exemplo.
Obs. Se necessrio, use uma calculadora e no precisa ser,
necessariamente, em um sbado chuvoso.
-
Observa-se que nunca teremos uma raiz complexa isoladamente, ela
sempre aparecer aos pares conjugados
(mesma parte real, porm as partes imaginrias so iguais em mdulo
e com sinais trocados) como pode ser
observado no exemplo dado.
Como o polinmio dado de grau cinco, obviamente, teremos cinco
razes sendo quatro complexas (dois pares
complexos conjugados) e uma raiz real.
Obs. Dada uma relao entre polinmios, as razes do polinmio do
numerador so chamadas de zeros e as razes
do polinmio do denominador so chamadas de polos. bom se
acostumar, pois esses termos so constantemente
utilizados em controle.
Seja uma relao de polinmios dada por B(s)
F(s)A(s)
Onde: A(s), B(s) so polinmios em s e o grau de B(s) sempre menor
que o de A(s).
Se a funo F(s) expandida em partes, ento:
1 2 3 nF(s) F (s) F (s) F (s) ... F (s) e, portanto,
1 1 1 1 11 2 3 nL [F(s)] L [F (s)] L [F (s)] L [F (s)] ... L [F
(s)]
1 2 3 nf (t) f (t) f (t) f (t) ... f (t)
Porm para que possamos aplicar este mtodo numa funo do tipo
B(s)
F(s)A(s)
, necessrio que o grau do
polinmio B(s) seja menor que o grau do polinmio A(s). Se isto no
ocorrer, necessrio dividir os polinmios com o
objetivo de diminuir o grau do numerador. Qualquer funo racional
B(s)
A(s), onde B(s) e A(s) so polinmios, com
o grau de B(s) menor que o grau de A(s), pode ser escrito como a
soma de funes racionais (fraes parciais).
As fraes parciais so, geralmente, transformadas de Laplace
conhecidas de funes no tempo do tipo, exponencial,
degrau, rampa, etc, j desenvolvidas no incio desta apostila.
Quando fazemos a decomposio em fraes parciais de uma relao de
polinmios, podemos encontrar trs
situaes distintas para os polos dessa relao: razes reais e
distintas; razes reais e iguais; razes complexas. Ser
visto cada caso separadamente com exerccios de aplicao e
propostos.
1.3.1.1. Razes reais e diferentes
Seja a funo 1 2 m
1 2 n
B(s) k.(s z ).(s z )...(s z )F(s)
A(s) (s p ).(s p )...(s p )
sendo m< n (inteiros positivos)
k uma constante real.
z zeros
p polos
Se os polos de F(s) so distintos, ento F(s) pode ser expandido
em :
1 2 n
1 2 n
B(s) a a aF(s) ...
A(s) s p s p s p
O coeficiente 1, 2, ..., nia i chamado de resduo do polo is
p
-
O resduo ser dado pela expresso: i
ii
(s+p ).B(s)a =
s pA(s)
Aqui dispensamos a demonstrao deste resultado. Uma demonstrao
poder ser encontrada na referncia
Engenharia de Controle Moderno Katsuhiko Ogata 4 edio pag
28.
Exerccio resolvido
Determine a transformada inversa de Laplace da funo 2
s 5F(s)
s 5s 6
Os polos ou as razes do denominador so p1 = -2 e p2 = -3.
Decompondo o polinmio do segundo grau do denominador em dois
monmios na forma 1 2(s p ).(s p ) , temos:
s 5 s 5F(s)
[s ( 2)].[s ( 3)] (s 2)(s 3)
(Obs. Os polos so os valores de s que zeram o denominador)
1 21 1 1 1s 5 a af (t) L [F(s)] L L L(s 2)(s 3) s 2 s 3
1(s 2)(s 5) 2 5
a 3s 2(s 2)(s 3) 2 3
2(s 3)(s 5) 3 5 2
a 2s 3(s 2)(s 3) 3 2 1
Portanto, 1 1 1 2.t 3.ts 5 3 2f (t) L L L 3.e 2e
(s 2)(s 3) s 2 s 3
(veja a transformada de
Laplace da funo exponencial).
Exerccios propostos
Determine a transformada inversa de Laplace das seguintes
funes
Lembre-se de que o clculo das razes somente para o denominador,
ou seja, determinao dos polos.
a)
2
2
s 5F(s)
s 7s 10
b)
2
2
s 3s 1F(s)
(s 4s 3)(s 2)
1.3.1.2. Razes reais e iguais (razes mltiplas)
Seja a funo 1 2 m
n
B(s) k.(s z ).(s z )...(s z )F(s)
A(s) (s p)
sendo n < m (inteiros positivos)
k uma constante real.
z zeros
p polos
Se os polos de F(s) so mltiplos, ento F(s) pode ser expandido
em:
-
1 2 n
2 n)
B(s) a a aF(s) ...
A(s) s p (s p) (s p
Os resduos 1, 2, ..., nia i so obtidos da seguinte expresso:
n i
in i
1 da B(s)
s pn i ! ds
sendo ai = 1, 2, ..., n
Exerccio resolvido
Dada a funo
2
3
s 2s 3F(s)
(s 1)
, determine a sua f (t) dada pela sua transformada inversa de
Laplace (TIL).
21 2 31 1
3 2 3
s 2s 3 a a af (t) L [F(s)] L
(s 1)(s 1) (s 1) (s 1)
3 1 22
13 1 2
1 d 1 d 1a B(s) s 2s 3 .2 1
s 1 s 1 s 13 1 ! 2! 2ds ds
3 22
23 2
1 d 1 da B(s) s 2s 3 2s 2 0
s 1 s 1 s 13 2 ! 1! dsds
3 32 2
33 3
1 d 1a B(s) s 2s 3 ( 1) 2.( 1) 3 2
s 1 s 13 3 ! 0!ds
21 t 2 t t 2
3 2 3 3
s 2s 3 1 0 2 1 2f (t) L e t e e (1 t )
(s 1) (s 1)(s 1) (s 1) (s 1) (s 1)
A transformada inversa de Laplace de3
2
(s 1) obtida diretamente da tabela de transformadas fornecida
(par
nmero 8 da tabela ).
Exerccios propostos
Determine a transformada inversa de Laplace das seguintes
funes
a)
3
4
s 2s 4F(s)
(s 2)
b)
2
3
s 3s 1F(s)
(s 1) .(s 2)
(Observe que neste exerccio teremos uma combinao de razes
distintas e razes
mltiplas. O procedimento o mesmo)
1.3.1.3. Razes complexas conjugadas
Seja a funo1 2 m
1 2 n
B(s) k.(s z ).(s z )...(s z )F(s)
A(s) (s p ).(s p )...(s p )
-
Suponhamos que um par de razes seja complexas conjugadas. bom
relembrar que as razes complexas s
aparecem aos pares, sendo uma conjugada da outra.
Os procedimentos de clculo so idnticos aos dois processos
anteriores, porm, as razes sero complexas
conjugadas ao invs de reais.
A visualizao atravs de exemplos tornar mais fcil o
entendimento.
Exerccios resolvidos
Seja a funo
3
2
s 2s 4F(s)
s 4s 5
. Determine a sua transformada inversa de Laplace.
A sua transformada inversa dada por:
31 1
2
s 2s 4L [F(s)] L
s 4s 5
Os polos da funo so: 2 j ficando:
3 31 21 1 1
2
s 2s 4 s 2s 4 a aL L L
(s 2 j).(s 2 j) s 2 j s 2 js 4s 5
Como os polos so complexos conjugados, as constantes a1 e a2
tambm sero complexas conjugadas, vamos
calcular a1 e a2 e mostrar essa afirmao.
As razes so diferentes e no so mltiplas, ento, utiliza-se o
mtodo para razes diferentes, s que agora as razes
so complexas e no reais.
3 3
1(s 2 j).(s 2s 4) ( 2 j) 2.( 2 j) 4
as 2 j(s 2 j).(s 2 j) 2 j 2 j
3 2( 2 j) ( 2 j) .( 2 j) (4 4j 1).( 2 j) (3 4j).( 2 j) 6 11j 4 2
11j
Logo,
2
12
2 11j 4 2j 4 ( 2 13j) j 2j 13j 13 2ja . 6,5 j
2j 2j j 22j
um pouco trabalhoso, mas fcil. s fazer com ateno para no errar
nas contas.
Confirmando o clculo para a2.
3 3
2(s 2 j).(s 2s 4) ( 2 j) 2.( 2 j) 4
as 2 j(s 2 j).(s 2 j) 2 j 2 j
23 2 2 2( 2 j) ( 2 j). 1.(2 j) ( 2 j)( 1) .(2 j) ( 2 j).(2
j)
(4 4j 1).( 2 j) (3 4j).( 2 j) 6 11j 4 2 11j
2
22
2 11j 4 2j 4 ( 2 13j) j 2j 13j 13 2ja . 6,5 j
2j 2j j 22j
Confirmando que a2 o complexo conjugado de a1.
Agora colocando a1 e a2 na forma polar temos: 1a 6,58.8,75 ou
j.8,756,58.e e j.8,752a 6,58.e
Substituindo os valores de a1 e a2 temos:
3 j.8,75 j.8,751 1 j.8,75 (2 j).t j.8,75 (2 j).t
2
s 2s 4 6,58.e 6,58.eL L 6,58.[e .e e .e ]
s 2 j s 2 js 4s 5
-
2.t j.8,75 j.t j.8,75 j.t 2.t j.(t 8,75 ) j.(t 8,75 ) 2f (t)
6,58.e . e .e e .e 6,58.e . e e .2
j.(t 8,75 ) j.(t 8,75 )2.t 2.te ef (t) 13,16.e . 13,16.e .cos(t
8,75 )
2
Nota-se, portanto, que o procedimento idntico ao de razes reais,
exceto pela quantidade de clculos que,
naturalmente, um pouco maior.
Podemos adotar uma forma padro como se segue:
Dada a funo 1 2k k
F(s)s a jb s a jb
expandida em fraes parciais com polos complexos, ento:
1
2
k (s a jb).F(s) Ms a jb
k (s a jb).F(s) Ms a jb
Substituindo os valores de k1 e k2 na expresso de F(s) acima e
trabalhando-a, como feito no exerccio anterior,
ento, chega-se na seguinte expresso para f (t) .
a.tf (t) 2M.e .cos(b.t )
Outra maneira de resolver este tipo de transformada inversa de
Laplace visualizar, na expresso dada, uma
transformada de Laplace conhecida. Se conseguir enxergar
importante pois evita muitas contas. Veja o exemplo a
seguir:
Encontre a transformada inversa de Laplace de 2
2s 12F(s)
s 2s 5
.
Se observarmos que 2 2 2s 2s 5 (s 1) 2 ento podemos colocar a
expresso na forma:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2s 12 2s 2 10 2(s 1) 10 (s 1) 2F(s) 2. 5.
(s 1) 2 (s 1) 2 (s 1) 2 (s 1) 2 (s 1) 2
Se verificarmos a tabela de pares de transformadas de Laplace,
veremos que a primeira parcela a transformada de
Laplace de t2.e .cos(2.t) (par n 21 da tabela) e a segunda
parcela a transformada de Laplace de t5.e .sen(2.t)
(par n 20 da tabela). Portanto, a funo
1 t t tL (F(s)] f (t) 2.e .cos(2t) 5.e .sen(2t) e .[2cos(2.t)
5sen(2.t)]
Pode-se perceber pela expresso que o grfico desta funo ser
oscilante tendendo a zero quando o tempo tende a
infinito devido exponencial decrescente. O grfico est mostrado
abaixo.
-
Exerccios propostos
Chegar na expresso a.tf (t) 2M.e .cos(b.t )
b) 2
4F(s)
s 2s 8
Observe que
2 2s 2s 8 (s 2) 4
c) 2
s 5F(s)
s 3s 3
Para o exerccio (b) utilize uma casa decimal. Faa o exerccio
substituindo diretamente na expresso padro e
depois faa os clculos e confira com o resultado obtido,
substituindo diretamente na expresso padro.
Lembre-se que, mesmo para colocar os valores na expresso padro,
deve-se calcular os polos da funo e as
constantes k1 e k2.
1.3.2. Clculo de resduos utilizando o MATLAB
Para expresses muito complexas, a utilizao do MATLAB se torna
importante. A seguir dado um exemplo de
utilizao do software.
Determinar os resduos da funo
4 3
6 5 4 3 2
s 3s 1F(s)
s 9s 42s +108s 147s 99s 26
.
Para termos uma idia da complexidade de clculo da transformada
inversa de Laplace desta funo, obteremos, via
MATLAB, os seus polos.
Cdigo MATLAB
A = [1 9 42 108 147 99 26];
roots(A)
A resposta do MATLAB ser:
ans =
-2.0000 + 3.0000i
-2.0000 - 3.0000i
-2.0000
-1.0000
-1.0000
-1.0000
0 1 2 3 4 5 6 7 8-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
-
Observa-se que a funo possui um polo distinto em s = -2, um polo
mltiplo em s = -1 e um par de razes complexas
conjugadas em s = -2 j3. A determinao dos resduos de forma
analtica torna-se uma operao bastante penosa.
Utilizando o MATLAB para a determinao dos resduos teremos:
Cdigo MATLAB
A = [1 3 0 1]; (Coeficientes do polinmio do numerador)
B = [1 9 42 108 147 99 26]; (Coeficientes do polinmio do
denominador)
[r,p,k]=residue(A,B)
r vetor onde sero colocado os resduos;
p vetor onde sero colocados os polos associados a cada
resduo.
k Uma constante real denominada ganho.
A resposta fornecida pelo MATLAB ser:
r =
-0.0732 + 0.0070i
-0.0732 - 0.0070i
-0.5556
0.7020
-0.6600
0.3000
p =
-2.0000 + 3.0000i
-2.0000 - 3.0000i
-2.0000
-1.0000
-1.0000
-1.0000
k =[ ]
A decomposio em fraes parciais fica:
2 3
0,0732 j0,007 0,0732 j0,007 5556 0,702 0,66 0,30
s 2 j3 s 2 j3 s 2 (s 1) (s 1) (s 1)
Obs. O MATLAB considera a seqncia fornecida dos resduos, igual
seqncia crescente dos expoentes do
denominador.
Achando a transformada inversa de Laplace de cada frao parcial
obtemos a seguinte expresso no tempo:
j.(174.5375) j.(174.5375)1 2.t t t 2 t0,735e 0,735e 0,3f (t) L
0,5556.e 0,702.e 0,66.t.e .t .e
s 2 j3 s 2 j3 2
2.t 2.t 2 tf (t) 1,47.e .cos(3.t 174,5) 0,5556.e (0,702 0,66.t
0,15.t ).e
A ttulo de curiosidade, o grfico desta funo calculado pelo
MATLAB :
-
1.4. Teorema do valor final
um teorema muito importante para a teoria de controle e
relaciona o comportamento em regime estacionrio da
funo no tempo f (t) ao comportamento de s.F(s) [lembre-se que
s.F(s) a transformada de Laplace de d
f (t)dt
com condies iniciais nulas] nas proximidades de s = 0.
Este teorema somente existir se existir limite da funo f (t)
quando t , ou seja, somente se f (t) tender para
um valor constante ou valor final ou valor de regime permanente,
o teorema existir e ser vlido.
Se todos os polos de s.F(s) estiverem no semiplano esquerdo do
plano s (plano complexo), ou seja, somente se os
polos de s.F(s) tiverem parte real negativa, a funo no tempo f
(t) convergir para um determinado valor (as
exponenciais sero decrescentes). Como observado na expresso a.tf
(t) 2M.e .cos(b.t ) , a sua transformada
de Laplace possui polos em s = a jb . Se a parte real fosse
positiva a exponencial seria crescente e a funo
divergiria no sendo aplicado o teorema do valor final.
A demonstrao desse teorema feita fazendo a transformada de
Laplace de d
f (t)dt
tender a zero, quando s0.
ento:
s.ts 0 s 0
0
dlim f (t) .e .dt lim s.F(s) f (0)
dt
Como s.t
s 0lime 1
(obs. Isso pode ser feito pois a integral em relao t e o limite
em relao s)
Portanto, s 0 s 0
0
dlim f (t) .dt f (t) f ( ) f (0) lim s.F(s) f (0)
0dt
Logo,
s 0 s 0
t
f ( ) f (0) lims.F(s) f (0) f ( ) lims.F(s)
Como f ( ) lim f (t) ento,
t s 0lim f (t) lims.F(s)
(este teorema ser bastante utilizado durante o curso)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-1.4
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4Grfico da funo f(t)
-
Exerccios resolvidos
Seja a funo dada por 3 2
2s 3F(s)
s s 6s
. Sabemos que essa funo possui polos em s = 2, s = -3 e um polo
em s
= 0, portanto, possui um polo (s = 2) no semiplano direito do
plano s. A transformada inversa de F(s), ou seja, a
funo f(t) associada, ir divergir e no convergir para um
determinado ponto, para que seja vlido o teorema do valor
final (TVF).
Se calcularmos o TVF, teremos:
3 2 2 2t s 0 s 0 s 0 s 0
2s 3 s 2s 3 2s 3 3 1lim f (t) lim[s.F(s)] lims. lim lim
s 6 2s s 6s s s 6 s s 6
A transformada inversa de Laplace de F(s) 2.t 3.t7 1 1f (t) e
e
10 5 2
. Como vemos, a exponencial 2.te far com
que a funo divirja para e no convirja para 1
2 como calculado pelo TVF. Portanto, quando a funo possui
pelo
menos um polo no semiplano direito do plano s (funes
divergentes) o TVF fornecer valores incoerentes e sem
qualquer fundamento.
O grfico de f (t) fica:
Veja agora este exemplo. Seja a funo 3 2
2s 3F(s)
s 5s 6s
. Esta funo possui polos em s = -2 e s = -3 e um polo
em s = 0, portanto, todos no semiplano esquerdo do plano s.
Se calcularmos o TVF, teremos para esta funo:
3 2 2 2t s 0 s 0 s 0 s 0
2s 3 s 2s 3 2s 3 3 1lim f (t) lim[s.F(s)] lims. lim lim
s 6 2s 5s 6s s 5s 6 s 5s 6
e a transformada inversa de Laplace de F(s) 2.t 3.t1 1f (t) e
e
2 2
. Fazendo t percebemos que f (t)
tender a 1
2 , como previsto pelo TVF (as duas exponenciais tendero a
zero). O grfico de f (t) fica:
0 1 2 3 4 5 6 7 8-1
0
1
2
3
4
5
6
7x 10
6
-
Exerccios propostos
Verifique nas funes a seguir, a possibilidade de se calcular o
valor f (t) em regime permanente (valor final) das
seguintes funes no domnio s e, se for possvel, fazer o clculo do
TVF e achar a transformada inversa de Laplace
para conferir os valores em regime permanente quando t .
a) 3 2
3s 1F(s)
s 5s 6s
b) 2
3s 16F(s)
s.(s 4)
c) 2
3s 4F(s)
s 1
0 1 2 3 4 5 6 7 80
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
