OTIMIZAÇÃO DE ATIVOS FINANCEIROS - puc-rio.br · incerteza (estocástica e robusta) para o processo de seleção de carteira de ativos financeiros. A seleção de carteira é o

Departamento de Engenharia Industrial

OTIMIZAÇÃO DE ATIVOS FINANCEIROS

Aluno: Bruno Souza Leão

Orientador: Davi Valladão

Introdução

Harry Markowitz desenvolveu, em 1952, a Teoria do Portfólio que até hoje serve de

base para os principais modelos de seleção de carteira. Atualmente, é prática do mercado

relacionar os desvios do retorno com o risco, consequência do modelo de média e variância de

Markowitz. Seu trabalho serviu como base para Willian Sharpe (1964) em conjunto com

outros pesquisadores como John Lintner e Jack Treynor desenvolverem modelos de

precificação de ativos, como o CAPM (Capital Asset Pricing Model). Na teoria clássica é

possível observar que os retornos são variáveis aleatórias e destaca-se a utilização de dois

critérios: a média e o desvio padrão. No entanto, há limitações práticas em utilizar a

volatilidade para mensurar o risco. Por isso, na tentativa de se obter métodos mais sofisticados

para avaliar o risco e otimizar carteiras houve o aparecimento de uma série de pesquisas e

estudos que contribuíram para formar a Teoria Moderna do Portfólio.

Dentre os problemas de se utilizar o desvio padrão como métrica de risco como na

teoria clássica, estão: a variância não só não consegue medir riscos de cauda, os valores

extremos como também não é uma medida de risco propriamente dito, trata-se de uma medida

de desvio da média; assume-se, implicitamente, que a distribuição de probabilidade dos

retornos é simétrica. Por conseguinte, foi desenvolvida a medida de risco de cauda chamada

de V@R (value at risk), em que se conseguiu solucionar parte dos desafios anteriores, porém

ainda se tratava de uma forma inadequada para riscos extremos de cauda e não apresentava

diversificação. Assim, com novos estudos e pesquisas, constatou-se que a média da cauda se

tornaria a medida mais eficiente, ficando conhecida como CV@R (conditional value-at-risk).

A grande questão é que a média-variância tem solução analítica, enquanto um modelo

baseado no CV@R deve ser resolvido numericamente, o que não se um torna problema

devido à possibilidade de representá-lo por programação linear e resolvê-lo com pacotes

comerciais disponíveis no mercado.

Objetivos

Estudar e implementar diferentes modelos de seleção de carteira. Desenvolver ensaios

para descobrir novas evidências e fornecer uma visão diferenciada sobre questões específicas

de alocação de ativos dentro do mercado financeiro brasileiro.

Detalhamento do projeto

Metodologia

Foi realizado um estudo com foco no desenvolvimento de técnicas de otimização sob

incerteza (estocástica e robusta) para o processo de seleção de carteira de ativos financeiros. A

seleção de carteira é o problema de alocação de capital em um número de ativos disponíveis

com a finalidade de maximizar o retorno sobre o investimento, minimizando seu risco. O

risco no modelo clássico de Harry Markowitz (1952) é mensurado apenas através de uma

medida de dispersão dos retornos chamada de variância. Não obstante, na literatura atual,

desenvolveram-se formas mais eficientes de se calcular esse risco como, por exemplo, as


medidas de risco de cauda (conditional value-at-risk) que se demonstram mais plausíveis e

confiáveis. Partindo desse pressuposto, a pesquisa foi direcionada para a implementação de

modelos já existentes com o intuito de aperfeiçoá-los e de gerar resultados superiores aos

índices de referência na indústria de investimento no mercado brasileiro.

Um funcional ρ: 𝒳→ℝ é denominada medida de risco monetária se satisfaz as seguintes propriedades para todo 𝑋, 𝑌 ∈ 𝒳:

Monotonicidade:

Se 𝑋≥𝑌, então 𝜌(𝑋) ≤ 𝜌(𝑌)

Invariância por translação:

Se 𝑚 ∈ ℝ, então 𝜌(𝑋+𝑚) =𝜌(𝑋)− m.

Normalização:

𝜌(0) = 0.

Além disso, uma medida de risco 𝜌(. ) é coerente se, somente se possui as seguintes

propriedades:

Considerando duas loterias X e Y:

Subaditividade:

𝜌(𝑋 + 𝑌) ≤ 𝜌(𝑋) + 𝜌(𝑌)

Homogeneidade positiva

𝑆𝑒 𝛼 > 0, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝜌(𝛼𝑋) = 𝛼𝜌(𝑋)

Com o objetivo de definir uma metodologia para a definição de uma medida de risco

em uma carteira de investimentos, em 1980, o J. P Morgan desenvolveu o conceito do 𝑉𝑎𝑅

(Value at Risk):

V@Rα(X) = infz{z ∈ R| P(X + z < 0) ≤ 1-α},

ou V@Rα(X) = infz{z ∈ R| P(-X ≤ z) ≥ α}

Para distribuições contínuas:

V@Rα(X)= −𝐹𝑥−1(1 − 𝛼)

Intuitivamente, pode ser interpretado como o menor aporte z para que a probabilidade

de prejuízo do projeto X mais o aporte z seja menor ou igual a 1 − 𝛼, onde 𝛼 ∈ (0, 1) é

conhecido como nível de confiança. Os valores típicos para 𝛼 são 0.90, 0.95 e 0.99. Nas

figuras abaixo, estão representados graficamente o V@R para um 𝛼 qualquer em uma função

Fx(x) acumulada e para uma distribuição de probabilidade hipotética (contínua) com nível de

confiança de 5% , simultaneamente.

Figura 1


É comum, porém, em casos práticos, que o fluxo financeiro associado a alguma opção

de investimento seja discreto, isto é, existe um número discreto de estados da natureza ou

realizações do fluxo financeiro. Como consequência, a Função Distribuição Acumulada é

discreta e, portanto, certo cuidado deve ser tomado para calcularmos o Value-at-Risk nesta

situação. É possível que, para determinados valores do (1 − 𝛼) , o 𝑉𝑎𝑅𝛼 gere confusão. Por

isso, há um exemplo a seguir.

Exemplo 1: Considere um investimento financeiro 𝑋 em que existe 80% de probabilidade de

um ganho de 100 milR$, 10% de probabilidade de uma perda de 70 milR$ e 10% de

probabilidade de perdas de 100 milR$. A árvore de decisão abaixo ilustra o contexto.

A seguir, apresentaremos um procedimento para obter o Value-at-Risk associado a um fluxo

financeiro discreto. Pela definição, basicamente, devemos “concentrar” os estados da natureza

até obtermos um acúmulo de probabilidade estritamente maior que o Nível de Significância

desejado. Assim, como exemplo, para (1 − 𝛼) = 15%, temos que:

Figura 3

Tabela 1

Figura 2

Figura 3


Por conseguinte, o 𝑉𝑎𝑅85%(𝑋) = −𝑋(𝜔2) = 70 milR$. Note que o acúmulo de probabilidade

deve ser feito adicionando o estado que gera o menor próximo valor para o fluxo financeiro.

Desta forma, se invertermos a ordenação fazendo 𝑋(𝜔1) = −70 milR$ e 𝑋(𝜔2) = 100 milR$,

então, temos que a terceira linha da tabela acima terá o estado 𝜔1 e não 𝜔2 como apresentado.

Novamente, vamos calcular o 𝑉𝑎𝑅80%. Temos, então,

Analogamente, 𝑉𝑎𝑅80%(𝑋) = −𝑋(𝜔1) = −100 milR$. De maneira geral, a tabela abaixo faz

uma relação entre o nível de significância (1 − 𝛼) e o 𝑉𝑎𝑅𝛼(𝑋).

Seja (Ω,ℱ,ℙ) um espaço de probabilidade e 𝒳 o conjunto de opções de

investimentos representados por Variáveis Aleatórias. Para qualquer 𝛼 ∈ (0, 1), 𝜌 = 𝑉𝑎𝑅𝛼 é

uma Métrica de Risco.

Prova: Para demonstrarmos esta proposição, vamos verificar se a definição de Value-atRisk

satisfaz as condições de Medidas de Risco.

1. Monotonicidade: Se 𝑋 ≤ 𝑌, então 𝜌(𝑋) ≥ 𝜌(𝑌).

Note que se 𝑋 ≤ 𝑌 então 𝐹𝑋 ≥ 𝐹𝑌

Consequentemente, para um Nível de Significância fixo (1 − 𝛼),

𝑉𝑎𝑅𝛼(𝑋) ≥ 𝑉𝑎𝑅𝛼(𝑌). Assim, 𝜌(𝑋) ≥ 𝜌(𝑌). A figura a seguir ilustra este resultado.

Figura 4

Tabela 2

Tabela 3


2.Invariância a Translação: Para 𝑚 ∈ ℝ, então 𝜌(𝑋 + 𝑚) = 𝜌(𝑋) − 𝑚.

Pela definição, temos que 𝑉𝑎𝑅𝛼(𝑋) − 𝑉𝑎𝑅𝛼(𝑋 + 𝑚) = 𝑚. Portanto, 𝑉𝑎𝑅𝛼(𝑋 + 𝑚) =

𝑉𝑎𝑅𝛼(𝑋) − 𝑚. A figura a seguir ilustra este resultado.

3. Normalização: Para 𝟎 ∈ 𝒳, 𝜌(𝟎) = 0.

Aplicando a definição, temos que :

𝑉@𝑅𝛼(𝟎) = min{𝑧 ∈ ℝ | ℙ({𝜔 ∈ Ω | 𝟎(𝜔) + 𝑧 < 0}) ≤ 1 − 𝛼}

= min{𝑧 ∈ ℝ | ℙ({𝜔 ∈ Ω | 0 + 𝑧 < 0}) ≤ 1 − 𝛼}

= 0

O V@R é uma medida de risco bastante difundida no mercado financeiro, não

obstante é necessário ter atenção com as suas limitações:

Para caudas largas, o V@R demonstra-se inadequado, ou seja, em resumo, o V@R quantifica

o menor valor tal que a probabilidade de prejuízo seja inferior ao nível de significância, mas

nada nos informa sobre o quão ruim é o investimento nos piores casos, como pode ser

verificado na figura abaixo:

Figura 5

Figura 6


Outro problema associado à métrica de Value-at-Risk é a possível violação de um dos

conceitos básicos da análise de investimento, a diversificação. Em diversos casos, o Value-at-

Risk de uma carteira de ativos é superior à soma do Value-at-Risk dos ativos individuais, isto

é, o risco da carteira é maior que o acúmulo do risco individual. Esta violação vai de encontro

ao conhecido Efeito Portfólio largamente estudado na literatura.

Exemplo 2: Suponha dois possíveis investimentos 𝑋1 e 𝑋2 tais que suas realizações sejam

independentes. O fluxo financeiro destes investimentos é:

Obtendo o Value-at-Risk para um Nível de Significância (1 − 𝛼) = 50%, em ambas as

opções de investimento, temos que 𝑉𝑎𝑅50%(𝑋1) = −1 e 𝑉𝑎𝑅50%(𝑋2) = −5. Supõe-se agora

uma carteira 𝑋 com uma alocação igualitária. Assim, o fluxo financeiro da carteira pode ser

escrito como:

Portanto, o 𝑉𝑎𝑅50%(𝑋) = −4. Assim, temos que 𝑉𝑎𝑅50%(𝑋) = 𝑉𝑎𝑅50%(𝑋1 + 𝑋2) = −4 > −1

− 5 = 𝑉𝑎𝑅50%(𝑋2) + 𝑉𝑎𝑅50%(𝑋1) Assim, 𝑉𝑎𝑅50%(𝑋1 + 𝑋2) > 𝑉𝑎𝑅50%(𝑋2)

+𝑉𝑎𝑅50%(𝑋1), implicando que o risco da carteira é maior que o risco individual dos

investimentos. Assim, apesar de portfólios diversificados possuírem vantagens sob portfólios

não diversificados, o correspondente Value-at-Risk não reflete esta vantagem, sendo,

portanto, um ponto negativo desta métrica.

Outro ponto negativo do Value-at-Risk é o fato de esta métrica ser muito sensível

à escolha do nível de significância, especialmente quando estamos em um contexto discreto.

Exemplo 3: Suponha um investimento 𝑋 com o seguinte fluxo financeiro:

O Value-at-Risk a um Nível de Significância de 50% é −1. Contudo, para um nível de

significância de 49.9%, o Value-at-Risk é 1. O fato de esta métrica ser descontínua com

relação ao nível de significância implica que uma leve alteração neste nível pode resultar em

uma significante alteração na quantificação de “risco” do investimento.

Uma crítica final feita à métrica Value-at-Risk está associada a sua formulação como um

Equação 1

Equação 2

Equação 3


problema de otimização. A formulação de problemas de decisão baseados na minimização

desta métrica (quanto menor o risco, melhor!) é realizada sob o contexto de programação

matemática não linear e costumam ser bastante complexos. Consequentemente, não há

registros na literatura de algoritmos eficientes para resolver estes problemas para um caso

geral, sendo a formulação de boas metodologias de solução dependentes caso-a-caso.

Como pode ser verificado, a métrica Value-at-Risk possui um conjunto de ineficiências que

foi sendo melhorada pelas medidas coerentes de risco, cuja definição está descrita acima.

Dentro desta classe destaca-se o Conditional Value-at-Risk (CV@R) que foi usado

intensivamente no trabalho realizado e sua definição encontra-se a seguir.

Seja (Ω,ℱ,ℙ) um espaço de probabilidades e 𝑋 ∈ 𝒳 uma variável aleatória que representa o

fluxo financeiro de um investimento. A métrica Conditional Value-at-Risk é um funcional

𝐶𝑉𝑎𝑅𝛼: 𝒳 → ℝ definido como:

𝐶𝑉𝑎𝑅𝛼(𝑋) = −(𝑧 −𝔼[(z−X)+]

1−𝛼),

onde (𝑥)+ = max{𝑥, 0}, 𝑧 = −𝑉𝑎𝑅𝛼(𝑋) e 𝛼 ∈ (0, 1), assim como definido para o Value-at-

Risk.

Para o caso de distribuições contínuas, o Conditional Value-at-Risk pode ser definido como:

𝐶𝑉𝑎𝑅 (𝑋) = = −𝔼[𝑋 | 𝑋 ≤ −𝑉𝑎𝑅𝛼(𝑋)],

ou seja, o Conditional Value-at-Risk representa o Valor Esperado dos fluxos que são

inferiores ao –Va𝑅𝛼, isto é, inferiores ao quantil de (1-α)%. Na figura abaixo, há a representação da relação entre o Value-at-Risk e o Conditional Value-at-Risk para uma distribuição de probabilidade (contínua) hipotética e um Nível de Confiança (1-α)=5%.

Exemplo 4: Utilizando o mesmo exemplo dado para o cálculo do VaR pode-se extrair o

CVaR conforme será demonstrado abaixo.

Novamente analisa-se um investimento financeiro 𝑋 tal que existe 80% de probabilidade de

um ganho de 100 milR$, 10% de probabilidade de uma perda de 70 milR$ e 10% de

probabilidade de perdas de 100 milR$ cuja árvore de decisão está representada a seguir.

Figura 7

Figura 8


Já chegou-se a conclusão de que para 𝛼 = 85%, o 𝑉𝑎𝑅85%(𝑋) = 70 milR$. A partir deste

valor e da primeira definição dada de CVaR, é possível calcular o CVaR85%(𝑋) e encontrar a

seguinte tabela:

A partir desta tabela, podemos calcular o Conditional Value-at-Risk a um Nível de

Significância de (1 − 𝛼) = 15%.

CVaR85%(X) = − (−VaR85%(X) − 𝔼[(−VaR85% − X)+]

1 − α)

= −(−70 −∑ (−70 – X(ω))+ ℙ({ω})w ∈{ω1,ω2,ω3 }

0.15)

= − (−70 − (30 ⋅ 0.1 + 0 ⋅ 0.1 + 0 ⋅ 0.8)

0.15)

= 90

Para um nível de significância de (1-α)= 20%, recalcula-se:

𝑉𝑎𝑅80%(𝑋) = −100milR$ (resultado obtido através do exemplo 1)

Assim,

CVaR80%(X) = −(−VaR80%(X) − 𝔼[(−VaR80%(X) − X)+]

1 − α )

= −(100 − ∑ (100 − X(ω) )+ ℙ({ω}) ω ∈{ω1,ω2,ω3 }

0.2

= −(−100 −(200 ⋅ 0.1 + 170 ⋅ 0.1 + 0 ⋅ 0.8)

0.2)

= 85

Tabela 4

Tabela 5


Uma das propriedades que o Conditional Value-at-Risk possui é o fato de não ser

descontínuo com relação a pequenas variações do nível de significância (1 − 𝛼), ao contrário

do Value-at-Risk. Na figura a seguir, foi plotado a curva do 𝐶𝑉𝑎𝑅𝛼(𝑋) e o 𝑉𝑎𝑅𝛼(𝑋) em

função de 𝛼.

Observe que, de fato, o 𝐶𝑉𝑎𝑅𝛼(𝑋) não possui saltos como verificou-se no 𝑉𝑎𝑅𝛼(𝑋).

Esta propriedade é bastante interessante para mesurar “risco”, uma vez que uma leve alteração

no nível de significância (1 − 𝛼) não gera uma significante alteração na métrica de risco como

acontecia com o 𝑉𝑎𝑅𝛼 . Além disso, o 𝐶𝑉𝑎𝑅𝛼(𝑋) está sempre “por cima” do 𝑉𝑎𝑅𝛼(𝑋).

Tomando como base tal medida de risco e a premissa de que a distribuição de

probabilidade dos retornos futuros é estimada de forma não paramétrica, em que cada dia do

histórico utilizado representa um cenário possível de retorno futuro, foi possível desenvolver

um modelo para otimizar a alocação de ações de empresas brasileiras no mercado financeiro

brasileiro.

Foram utilizadas ferramentas computacionais para se coletar dados de empresas

listadas em bolsa nacional a fim de, a partir de uma análise de seus retornos mensais passados,

realizar, dentro de um retorno requerido e de um risco máximo suportado, a alocação ótima

dos ativos. Para isso, foi necessário implementar um modelo de programação estocástica de

dois estágios e utilizar o CV@R como métrica de risco.

Portanto, o modelo necessita apenas da entrada dos retornos passados de empresas, do

retorno que se espera obter e do risco máximo admitido. Posteriormente, como saída é

determinado o percentual de cada ação que maximiza o retorno levando em consideração o

risco tolerado.

Uma das grandes vantagens do CV@R em relação ao V@R é a possibilidade de

escrevê-lo em forma de problema de programação linear estocástica, conforme está

explicitado abaixo:

Figura 9


max𝑧,{𝑦𝑠},{𝑥𝑖}

{𝑧 − ∑ 𝑝𝑠

𝑦𝑠

1 − 𝛼𝑠

}

𝑦𝑠 ≥ 𝑧 − ∑ 𝑅𝑖(𝑠)𝑥𝑖

𝑖

, ∀𝑠

𝑦𝑠 ≥ 0, ∀𝑠

∑ 𝑥𝑖

𝑖

= 1

∑ ∑ 𝑝𝑠𝑅𝑖(𝑠)

𝑠

𝑥𝑖

𝑖

≥ 𝛾

Equação 4

Em que Z corresponde ao Value-at-Risk (V@R) no ótimo, ys= variável auxiliar para

cada cenário que no ótimo é igual a (𝑧 − ∑ 𝑅𝑖(𝑠)𝑥𝑖)+

𝑖 , xi= percentual ótimo alocado em cada

empresa, Ri= retorno em cada cenário, ps= probabilidade de cada cenário e γ= retorno

requerido.

Resultados numéricos

Foram coletados dados de 11 empresas listadas em bolsa de valores brasileira: Vale

(‘VALE5.SA’), AmBev (‘ABEV3.SA’), Petrobrás (‘PETR4.SA’), Eletrobrás (‘ELET3.SA’),

Banco Bradesco (‘BBDC3.SA’), Souza Cruz (‘CRUZ3.SA’), Companhia Siderúrgica

Nacional (‘CSNA3.SA’), Lojas Americanas (‘LAME4.SA’), Embraer (‘EMBR3.SA’),

Gerdau (‘GOAU4.SA’), Banco do Brasil (‘BBAS3.SA’). Para efeito comparativo de

mudanças devido a problemas macroeconômicos, dividiu-se a coleta de dados mensal em três

períodos:

1) 1º de janeiro de 2003 até 31 de maio de 2011, em que se observa tanto a grande

recessão de 2008, quanto os problemas econômicos brasileiros resultantes da entrada

de Lula no poder cujo partido tinha um viés de esquerda que era bastante temido pelo

mercado em 2003

10,000.00

20,000.00

30,000.00

40,000.00

50,000.00

60,000.00

70,000.00

80,000.00

Variação Ibovespa

Figura 10


2)1º de janeiro de 2005 até 31 de maio de 2011, contendo apenas a grande crise global de

2008

3)1º de junho de 2009 até 31 de maio de 2011, cujo resultado demonstra-se mais positivo

obviamente já que abrange uma janela sem crises.

-

10,000.00

20,000.00

30,000.00

40,000.00

50,000.00

60,000.00

70,000.00

80,000.00

3-jan-05 3-jan-06 3-jan-07 3-jan-08 3-jan-09 3-jan-10 3-jan-11

Variação do Ibovespa

-10.00%

0.00%

10.00%

20.00%

30.00%

40.00%

50.00%

60.00%

70.00%

2-j

an-0

9

2-m

ar-0

9

2-m

ai-0

9

2-j

ul-

09

2-s

et-

09

2-n

ov-

09

2-j

an-1

0

2-m

ar-1

0

2-m

ai-1

0

2-j

ul-

10

2-s

et-

10

2-n

ov-

10

2-j

an-1

1

2-m

ar-1

1

2-m

ai-1

1

2-j

ul-

11

2-s

et-

11

2-n

ov-

11

Variação do Ibovespa

Figura 11

Figura 12


Para a obtenção dos dados do Yahoo Finanças foi utilizado a ferramenta financeira do

programa Matlab. Assim, com o objetivo de analisar as informações obtidas, ou seja, os

retornos de cada ativo mensal nos três períodos destacados, foi desenvolvido um modelo de

otimização baseado no 𝐶𝑉𝑎𝑅, cuja fórmula se encontra na equação 4. Por conseguinte, foi

possível colocar como input retornos de um determinado ativo, o retorno requerido e o risco

máximo suportado e gerar como output a carteira ótima que maximiza os ganhos. Vale

destacar que o modelo foi resolvido através dos pacotes comerciais para problemas lineares:

Mosek e Yalmip.

Nota-se, portanto, que ao exigir como retorno um intervalo de -0.01 até 0.01, variando

de 0.001 em 0.001, com um intervalo de confiança de 95% e com as empresas cujos tickers

são: 'PETR4' 'VALE' 'ABEV' 'BBD' 'BBAS' 'ELET' 'GOAU' 'LAME' 'EMBR' 'CRUZ'

'CSNA', obtém-se a seguinte fronteira ótima a seguir, em que o a linha em verde corresponde

ao 3º intervalo, vermelha ao 2º e azul ao terceiro.

Figura 13

Percebe-se um evidente melhor resultado na linha verde cuja janela é de 2009 para 2011, em

que não houve grandes problemas econômicos. Observa-se uma linha verde melhor que a

vermelha cujo intervalo engloba a crise de 2008 e melhor que a azul, claramente a pior cuja

janela possui além da crise de 2008, os problemas econômicos de 2003.

Além disso, a seguir está expresso as carteiras ótimas para cada intervalo simultaneamente.


Intervalo de 2003 até 2011


Figura 14

Figura 15



Nota-se que devido ‘as incertezas por um partido de esquerda assumir o governo, no primeiro

intervalo de tempo, as carteiras ótimas possuem um número maior de empresas que não são

estatais. Conforme há a mudança nos intervalos, fica claro um maior esforço do governo para

melhorar as estatais e, por conseguinte, apresentam melhores resultados, aumentando o

número de empresas estatais nas carteiras ótimas com maior retorno.

Figura 16


Conclusão

O estudo teórico permitiu uma maior compreensão da evolução dos modelos de

otimização e das finanças. Pode-se notar que a aplicação de medidas de risco mais modernas

como o CV@R se mostra um caminho deveras consistente para se obter resultados mais

verossímeis e eficientes.

A utilização do modelo proposto é bastante simples, sendo necessário apenas ter o

conjunto de retornos passados das empresas para realizar a alocação ótima dos ativos de uma

carteira, ou seja, maximizar o retorno e minimizar o risco.

O procedimento descrito pode ser implementado não só para o caso de empresas

brasileiras como também para mercados internacionais. Assim, torna-se evidente, portanto,

que o continuo desenvolvimento dessas técnicas de otimização e de mensuração do risco será

essencial para se conseguir melhorias significativas no processo de seleção de carteira.

Referências

1 - JORION, Philippe Value at risk, Irwin Chicago, 1997.

2- ROCKAFELLAR, R. Tyrrel, Coherent Aproaches of risk in optimization under

uncertainty, Tutorials in Operations Research, informs, 38-61, 2007

3- ROCKAFELLAR, R. Tyrrel e S. Uryasev, Conditional-value-at-risk for General Loss

Distributions, 2008

4 – ARTZNER, Ph., F. Delbaen, J. M. Eber, e D. Heath, Coherent Measures of Risk,

Mathematical Finance, 9, 203-229, 1999

5-Pflug, G., Some results on Value-at-risk and Conditional-Value-at-Riks in S. Uryasev

Ed., Probabilistic Constrained Optimization: Methodology and Applications, Kluwer

Academic, Norwell, MA, 2000

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