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Otimização e caracterização de um motor de indução

esférico para aplicações motrizes

Rui Jorge Viegas Calçada

Dissertação para obtenção do grau de Mestre em

Engenharia Eletrotécnica e de Computadores

Orientador: Prof. Paulo José da Costa Branco

Júri

Presidente: Rui Manuel Gameiro de Castro

Orientador: Prof. Paulo José da Costa Branco

Vogal: Gil Domingos Marques

Novembro 2016

ii

iii

Resumo

Esta tese tem como principais objetivos a caracterização e a otimização do binário

eletromagnético produzido por uma máquina de indução esférica com múltiplos graus de liberdade no

seu rotor. Esta otimização tem como principal foco o circuito magnético e a redução da zona de baixa

permeabilidade magnética (entreferro equivalente). Sendo os enrolamentos de cobre responsáveis por

grande parte da espessura desta zona, uma parte significativa desta tese debruça-se sobre o estudo

de inovadoras configurações destes enrolamentos.

Foram inicialmente criados modelos analíticos eletromagnético e térmico para estabelecer um

modelo adequado para o funcionamento da máquina. A criação destes modelos permitiu verificar as

variações das características eletromecânicas e térmicas da máquina aos seus parâmetros

geométricos. Os modelos foram validados por simulações usando o método de análise em elementos

finitos ou Finite Element Analysis (FEA). Esta poderosa ferramenta permite o estudo computacional de

várias configurações tridimensionais da máquina e das suas propriedades eletromagnéticas e

térmicas. Por fim, a elaboração de protótipos permitiu a confirmação do funcionamento da máquina e

a recolha de dados experimentais para comparação com os teóricos.

Concluiu-se que existe um grande potencial para o aumento do binário eletromagnético

produzido pela máquina de camada de cobre única em detrimento da máquina de camada de cobre

dupla.

Palavras-chave

Máquinas elétricas, máquina de indução esférica, enrolamentos distribuídos, camada dupla, camada

simples, método dos elementos finitos.

iv

Abstract

The main objectives of this thesis are the study and the optimization of the electromagnetic

tangential torque produced by a spherical induction machine with a multiple-degree-of-freedom rotor.

This optimization focuses on the magnetic circuit and on the reduction of the low magnetic permeability

zone (equivalent air-gap). Since the copper windings are the main contributors to the thickness of the

equivalent air-gap, a significant part of this thesis is devoted to the study of innovative configurations

for these windings.

Initially, analytical models were developed, both electromagnetic and thermal, so that the

mathematical basis for the machine operation is established. These models allow the creation of

numerical programs that provide an understanding about the dependence of the machines

characteristics on its parameters. These models are then validated by Finite Element Analysis (FEA)

simulations. This powerful tool allows the computational analysis of various tridimensional machine

configurations and their corresponding electromagnetic and thermal properties. Lastly, the development

of a prototype made it possible to observe the machine operating in real-time and to gather experimental

data to compare with the theoretical results.

The thesis main conclusion is that there is significant potential for the improvement of the

machines electromagnetic torque by using a single-layer configuration for the copper windings as

opposed to a double-layer one.

Keywords

Spherical induction machine, equivalent air-gap, copper windings, double-layer, single-layer, FEA.

v

Agradecimentos

Gostaria de agradecer em primeiro lugar pela excelente orientação do professor Paulo Branco

pelo qual guardo enorme respeito e admiração. Não menos importante foi o suporte do professor João

Fernandes que me acompanhou em todas as etapas da escrita desta tese e constantemente se

mostrou disponível para esclarecimentos de natureza técnica.

Agradeço aos meus pais Liliana e Brás pelo grande apoio psicológico e financeiro prestado ao

longo dos meus estudos que culminam na conclusão desta tese. Agradeço também aos meus irmãos

Nuno e Dinis e à minha irmã Dulce que desempenharam um papel discretamente indispensável.

Um bem-haja ao Rui Martins, à Carlota Vasques, ao Francisco Gomes e ao Jóni Silva que me

providenciaram com a dose de interação social diária que tornou o processo de escrita da tese

tolerável.

Por fim, queria agradecer aos Zemas que me acompanham há muitos anos num só caminho

e são uma das razões que me fazem acordar com vontade de chegar ao fim do dia.

Um só caminho.

vi

Índice

Resumo ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- iii

Abstract ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- iv

Agradecimentos ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ v

Lista de Figuras ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- viii

Lista de Tabelas ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- xii

1. Introdução ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1

1.1. Contextualização-------------------------------------------------------------------------------------------------- 1

1.2. Motivação e objectivos ----------------------------------------------------------------------------------------- 1

1.3. Estrutura ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2

2. Modelo analítico electromagnético ------------------------------------------------------------------------------- 4

2.1. Pressupostos e desenvolvimento matemático --------------------------------------------------------- 4

2.2. Sensibilidade das grandezas electromagnéticas aos parâmetros da máquina -------------- 7

3. Modelo analítico térmico -------------------------------------------------------------------------------------------- 15

3.1. Pressupostos e desenvolvimento matemático -------------------------------------------------------- 15

3.2. Resultados numéricos do modelo analítico térmico ------------------------------------------------- 20

3.3. Sensibilidade da temperatura de regime permanente aos parâmetros da máquina ------- 22

3.4. Optimização da espessura da camada de alumínio -------------------------------------------------- 25

4. Optimização das camadas de cobre ---------------------------------------------------------------------------- 28

4.1. Distribuição dos enrolamentos pelas camadas de cobre ------------------------------------------ 28

4.2. Alteração dos modelos analíticos à máquina de camada única --------------------------------- 29

4.3. Comparação numérica entre camada de cobre dupla e única ------------------------------------ 31

5. Simulações FEA planares ------------------------------------------------------------------------------------------ 36

5.1. Descrição das geometrias simuladas --------------------------------------------------------------------- 36

5.2. Resultados --------------------------------------------------------------------------------------------------------- 38

6. Protótipo planar -------------------------------------------------------------------------------------------------------- 43

6.1. Descrição do processo construtivo ----------------------------------------------------------------------- 43

6.2. Resultados experimentais ------------------------------------------------------------------------------------ 46

7. Simulações FEA esféricas ------------------------------------------------------------------------------------------ 49

7.1. Descrição das geometrias simuladas --------------------------------------------------------------------- 49

7.2. Características electromagnéticas ------------------------------------------------------------------------- 50

7.3. Análise da geometria “Star” --------------------------------------------------------------------------------- 51

7.4. Comparação dos resultados electromagnéticos analíticos e FEA ------------------------------ 53

7.5 Características térmicas --------------------------------------------------------------------------------------- 54

8. Cavas ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 59

8.1. Geometria das cavas para a máquina de camada de cobre dupla ------------------------------ 59

8.2. Resultados para a máquina de camada dupla --------------------------------------------------------- 61

8.3. Geometria das cavas para a máquina de camada de cobre única------------------------------- 61

8.4. Resultados para a máquina de camada única---------------------------------------------------------- 63

vii

8.5. Efeitos térmicos -------------------------------------------------------------------------------------------------- 63

8.6. Adaptação do modelo analítico electromagnético à máquina com cavas -------------------- 64

8.7. Adaptação do modelo analítico térmico à máquina com cavas ---------------------------------- 65

9. Protótipo esférico ----------------------------------------------------------------------------------------------------- 68

9.1. Descrição do processo construtivo ----------------------------------------------------------------------- 68

9.2. Resultados experimentais ------------------------------------------------------------------------------------ 74

9.3. Protótipo esférico da geometria “Star” ------------------------------------------------------------------- 76

10. Conclusões e desenvolvimentos futuros -------------------------------------------------------------------- 78

Referências ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 80

viii

Lista de Figuras

Figura 1 - Esquema representativo do modelo analítico da máquina de indução esférica. Estão

explícitas as coordenadas esféricas usadas no desenvolvimento do modelo. ------------------------------- 4

Figura 2 - Vista amplificada da zona do entreferro com a ilustração dos caminhos utilizados na

resolução das condições fronteira. -------------------------------------------------------------------------------------- 6

Figura 3 - Curvas da densidade de corrente induzida no rotor para Js = 1,5 x 106 A/m2, Js = 3,0 x 106

A/m2 e Js = 6,0 x 106 A/m2. ------------------------------------------------------------------------------------------------ 8

Figura 4 - Curvas da densidade de corrente induzida no rotor para f = 25 Hz, f = 50 Hz e f = 100 Hz. 8

Figura 5 - Curvas da densidade de corrente induzida no rotor para k = 2, k = 4 e k = 8.------------------ 8

Figura 6 - Curvas da densidade de corrente induzida no rotor para δAl = 1 mm, δAl = 2 mm e δAl = 4

mm. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 9

Figura 7 - Curvas da densidade de fluxo magnético para Js = 1,5 x 106 A/m2, Js = 3,0 x 106 A/m2 e

Js = 6,0 x 106 A/m2. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 9

Figura 8 - Curvas da densidade de fluxo magnético para f = 25 Hz, f = 50 Hz e f = 100 Hz.------------- 9

Figura 9 - Curvas da densidade de fluxo magnético para k = 2, k = 4 e k = 8. ------------------------------ 10

Figura 10 - Curvas da densidade de fluxo magnético para δAl = 1 mm, δAl = 2 mm e δAl = 4 mm. -- 10

Figura 11 - Curvas do binário eletromagnético para Js = 1,5 x 106 A/m2, Js = 3,0 x 106 A/m2 e

Js = 6,0 x 106 A/m2. --------------------------------------------------------------------------------------------------------- 10

Figura 12 - Curvas do binário eletromagnético para f = 25 Hz, f = 50 Hz e f = 100 Hz.------------------- 11

Figura 13 - Curvas do binário eletromagnético para k = 2, k = 4 e k = 8.------------------------------------- 11

Figura 14 - Curvas do binário eletromagnético para δAl = 1 mm, δAl = 2 mm e δAl = 4 mm. ----------- 11

Figura 15 - Curvas da potência mecânica para Js = 1,5 x 106 A/m2, Js = 3,0 x 106 A/m2 e Js = 6,0 x 106

A/m2. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 12

Figura 16 - Curvas da potência mecânica para f = 25 Hz, f = 50 Hz e f = 100 Hz. ------------------------- 12

Figura 17 - Curvas da potência mecânica para k = 2, k = 4 e k = 8. ------------------------------------------- 12

Figura 18 - Curvas da potência mecânica para δAl = 1 mm, δAl = 2 mm e δAl = 4 mm. ----------------- 13

Figura 19 - Geometria em camadas do modelo térmico da máquina de indução esférica. -------------- 16

Figura 20 - Vista amplificada das fronteiras da máquina e esquema do modelo térmico inicial. ------- 16

Figura 21 - Circuito elétrico equivalente do modelo térmico em regime permanente. --------------------- 17

Figura 22 - Variação da temperatura da máquina em função de Js. ------------------------------------------- 22

Figura 23 - Variação da temperatura da máquina em função de f. -------------------------------------------- 22

Figura 24 - Variação da temperatura da máquina em função de δAl. ----------------------------------------- 23

Figura 25 - Variação da temperatura da máquina em função de δCu. ---------------------------------------- 23

Figura 26 - Variação da temperatura da máquina em função de δentreferro. ------------------------------ 23

Figura 27 - Variação da temperatura da máquina em função de δS. ------------------------------------------ 24

Figura 28 - Variação da temperatura em regime permanente do alumínio em função da sua

espessura para várias dimensões da máquina (rotor). ----------------------------------------------------------- 25

Figura 29 - Variação do binário eletromagnético com a espessura do alumínio para diferentes

dimensões da máquina (rotor). ------------------------------------------------------------------------------------------ 26

ix

Figura 30 - Esquema da distribuição dos enrolamentos A e B de cobre numa camada para uma

máquina esférica com 4 pares de pólos, indicando as fases ao longo do arco do estator. -------------- 28

Figura 31 - Planificação dos enrolamentos da máquina e esboço das forças magnetomotrizes ao

longo da direção de propagação da onda φ para quatro instantes de período e k = 4. ------------------ 29

Figura 32 - Esquema do modelo térmico para a máquina de camada de cobre única. ------------------- 30

Figura 33 - Circuito térmico da máquina de camada de cobre única. ----------------------------------------- 30

Figura 34 - Ilustração das geometrias comparadas teoricamente: a) Caso 0: camada dupla; b) Caso 1

e 2: camada única; c) Caso 3: camada única ideal. --------------------------------------------------------------- 32

Figura 35 - Comparação da densidade de corrente induzida no rotor em função do escorragamento

para os 4 casos enunciados. -------------------------------------------------------------------------------------------- 33

Figura 36 - Comparação da densidade de fluxo magnético radial em função do escorragamento para

os 4 casos enunciados. --------------------------------------------------------------------------------------------------- 33

Figura 37 - Comparação do binário eletromagnético em função do escorragamento para os 4 casos

enunciados. Os casos 2 e 3 resultam em curvas coincidentes, pelo que apenas são visíveis as

curvas relativas ao caso 3. ----------------------------------------------------------------------------------------------- 34

Figura 38 - Comparação da eficiência em função do escorragamento para os 4 casos enunciados. Os

casos 2 e 3 resultam em curvas coincidentes, pelo que apenas são visíveis as curvas relativas ao

caso 3. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 34

Figura 39 - Configuração utilizada nas simulações FEA planares. a) Plano transversal; b) Vista geral

em 3D. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 37

Figura 40 - Diferentes geometrias das camadas de cobre e esquema das correntes aplicadas: a, b)

correntes aplicadas na camada inferior e superior da Figura 39, respetivamente; c, d, e, f) geometria

e correntes aplicadas nas configurações denominadas “Duo”; “Quad”, “Star” e “Diamond”,

respetivamente. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 38

Figura 41 - Módulo da densidade de corrente induzida num corte transversal do alumínio para quatro

instantes ao longo de metade de um período, para a configuração “Star” (em cima) e “Diamond” (em

baixo). ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 40

Figura 42 - Módulo da densidade de fluxo magnético num corte transversal do alumínio para quatro


baixo). ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 41

Figura 43 – Densidade de força eletromagnética produzida num corte transversal do alumínio para

quatro instantes ao longo de metade de um período, para a configuração “Star” (em cima) e

“Diamond” (em baixo). ---------------------------------------------------------------------------------------------------- 41

Figura 44 - Esquema do protótipo planar construído. a) Estator com os enrolamentos de cobre

dispostos segundo a geometria "Diamond" planar e com as duas fases [Ax/-Ax] e [Bx/-Bx] da direção

“x” indicadas; b) Vista de topo; c) Vista lateral. Dimensões em milímetros. --------------------------------- 44

Figura 45 - Molde usado para enrolamento das bobinas de cobre (à esquerda); bobina no molde

pronta a ser retirada (à direita). ----------------------------------------------------------------------------------------- 45

Figura 46 - Bobina retirada do molde e pronta a ser unida com o resto do estator (à esquerda); uma

das quatro peças do estator completas (à direita). ----------------------------------------------------------------- 46

x

Figura 47 - Estator operacional para uma direção da onda viajante (à esquerda); estator completo

para ambas as direções (à direita). ------------------------------------------------------------------------------------ 46

Figura 48 - Protótipo planar usado na recolha de dados experimentais. ------------------------------------- 47

Figura 49 - Comparação entre os valores da densidade de fluxo magnético das simulações FEA e

dos resultados experimentais. ------------------------------------------------------------------------------------------- 47

Figura 50 - Esquema das configurações esféricas e direção das correntes usadas na criação da onda

de FMM viajante; a) duas camadas; b) "Star" esférica; c) "Diamond" esférica. ----------------------------- 50

Figura 51 - Densidade de corrente [A/m2] no alumínio a cada oitavo de período da onda viajante. --- 52

Figura 52 - Densidade de fluxo magnético [T] no alumínio a cada oitavo de período da onda viajante.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 53

Figura 53 – Densidade de binário superficial [N/m2] produzido na superfície do alumínio a cada oitavo

de período da onda viajante. -------------------------------------------------------------------------------------------- 53

Figura 54 – Ilustrações dos resultados FEA: temperaturas e fluxo de calor para a máquina de duas

camadas de cobre. --------------------------------------------------------------------------------------------------------- 56

Figura 55 – Ilustrações dos resultados FEA: temperaturas e fluxo de calor para a máquina de

camada de cobre única. -------------------------------------------------------------------------------------------------- 57

Figura 56 - Temperatura média das camadas de cobre em função da potência injetada, para as duas

geometrias da máquina. -------------------------------------------------------------------------------------------------- 58

Figura 57 - Vista 3D de metade do estator com cavas em ambas as camadas. As diferentes fases

das camadas inferiores e superiores estão indicadas. ------------------------------------------------------------ 60

Figura 58 - Vista 3D de metade do estator com cavas apenas na camada inferior. ----------------------- 61

Figura 59 - Corte transversal da máquina de camada dupla. Neste caso temos n=2 cavas por fase,

ocupando uma largura de δc. -------------------------------------------------------------------------------------------- 61

Figura 60 – Vista 3D de metade do estator da máquina de camada de cobre única "Star" com

indicação das fases para cada direção. ------------------------------------------------------------------------------ 63

Figura 61 - Corte transversal da máquina de camada única. Neste caso temos n=2 cavas por fase,

ocupando uma largura de δc. -------------------------------------------------------------------------------------------- 63

Figura 62 - Curvas do binário eletromagnético total para geometrias da máquina de camada de cobre

dupla e única, com e sem cavas. --------------------------------------------------------------------------------------- 66

Figura 63 - Estator e rotor da máquina construídos com laminações dispostas na vertical. Estão

esboçadas linhas do campo magnético (a branco) e zonas onde estas são perpendiculares às

laminações (a tracejado). ------------------------------------------------------------------------------------------------- 69

Figura 64 - Estator e rotor da máquina construídos com laminações dispostas na horizontal. Estão


laminações (a tracejado). ------------------------------------------------------------------------------------------------- 70

Figura 65 - Bloco cilíndrico do material 3P SOMALOY® com 120mm de diâmetro e 20mm de

espessura.-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 71

Figura 66 - Vista geral do protótipo da máquina esférica. -------------------------------------------------------- 71

Figura 67 - Esquema do protótipo da máquina esférica com dimensões em milímetros. ---------------- 72

Figura 68 - Fotografia do estator do protótipo da máquina esférica. ------------------------------------------ 72

xi

Figura 69 - Fotografias do rotor da máquina esférica. Metade do rotor, com a camada de material

ferromagnético e camada condutora visíveis (à esquerda) e rotor finalizado (à direita). ----------------- 73

Figura 70 - Esquema dos enrolamentos de cobre indicando as duas fases [A/-A] e [B/-B]. ------------- 73

Figura 71 - Bobinas de fio de cobre instaladas no estator.------------------------------------------------------- 74

Figura 72 - Fotografia do suporte de plástico onde assenta o rotor da máquina. -------------------------- 74

Figura 73 - Fotografia do protótipo da máquina esférica usado para teste e recolha de dados

experimentais. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 75

Figura 74 - Montagem experimental usada na recolha de dados experimentais do protótipo da

máquina esférica. a) gerador de corrente contínua auxiliar; b) reóstato. ------------------------------------- 75

Figura 75 - Comparação entre os valores de densidade de fluxo magnético obtidos

experimentalmente e através do método FEA. --------------------------------------------------------------------- 76

Figura 76 - Comparação dos valores de binário eletromagnético obtidos experimentalmente e através

do modelo numérico para várias correntes de entrada. ---------------------------------------------------------- 76

Figura 77 - Esquema do estator do protótipo "Star" esférico. --------------------------------------------------- 77

xii

Lista de Tabelas

Tabela 1 - Parâmetros da máquina considerados no modelo analítico eletromagnético. ----------------- 7

Tabela 2 - Legenda dos parâmetros térmicos. ---------------------------------------------------------------------- 15

Tabela 3 - Parâmetros para o cálculo das resistências do modelo térmico. --------------------------------- 20

Tabela 4 - Resistências térmicas e potências de Joule calculadas. ------------------------------------------- 21

Tabela 5 - Temperaturas da máquina esférica com o rotor bloqueado em regime permanente. ------- 21

Tabela 6 - Valores máximos de temperatura no alumínio e binário eletromagnético para várias

dimensões da máquina (rotor). ------------------------------------------------------------------------------------------ 25

Tabela 7 - Valores das grandezas eletromagnéticas relevantes para os diferentes casos. ------------- 32

Tabela 8 - Variação percentual do binário eletromagnético em relação ao Caso 0. ----------------------- 32

Tabela 9 - Parâmetros da máquina usados nas simulações FEA planares. --------------------------------- 37

Tabela 10 - Resultados das simulações FEA planares. ---------------------------------------------------------- 39

Tabela 11 - Comparação entre os valores das forças produzidas das simulações FEA e dos

resultados experimentais. ------------------------------------------------------------------------------------------------ 48

Tabela 12 - Parâmetros da máquina usados nas simulações FEA esféricas.------------------------------- 51

Tabela 13 - Resultados das simulações FEA esféricas realizadas. ------------------------------------------- 51

Tabela 14 - Comparação dos valores numéricos com os obtidos através do método FEA, para a

máquina esférica de camada dupla. ----------------------------------------------------------------------------------- 54


máquina esférica de camada única "Star". --------------------------------------------------------------------------- 54

Tabela 16 - Parâmetros da máquina usados nas simulações FEA térmicas. ------------------------------- 55

Tabela 17 - Comparação dos resultados numéricos e das simulações FEA para a máquina de duas

camadas de cobre. --------------------------------------------------------------------------------------------------------- 56

Tabela 18 - Comparação dos resultados numéricos e das simulações FEA para a máquina de

camada de cobre única. -------------------------------------------------------------------------------------------------- 57

Tabela 19 - Aumento (em percentagem) do binário da máquina de camada dupla para as várias

configurações das cavas em relação ao caso sem cavas. ------------------------------------------------------- 62

Tabela 20 - Aumento (em percentagem) do binário da máquina de camada única para as várias

configurações das cavas em relação ao caso sem cavas. ------------------------------------------------------- 64

Tabela 21 - Variação da temperatura média do cobre em regime permanente para δc=1°, 2°, 3°, 4° e

5° em relação ao caso sem cavas, para geometrias de camada dupla e única. --------------------------- 64

Tabela 22 - Fator ks para a máquina de camada dupla para várias configurações de cavas. ---------- 65

Tabela 23 - Fator ks para a máquina de camada única para várias configurações de cavas. ---------- 65

Tabela 24 - Variação de temperatura do modelo térmico com cavas em relação ao caso sem cavas e

a sua comparação com os dados FEA da Tabela 21. ------------------------------------------------------------- 67

Tabela 25 - Propriedades do material ferromagnético 3P SOMALOY®, usado no protótipo. ----------- 70

Tabela 26 - Características e condições de teste do protótipo da máquina esférica. --------------------- 76

xiii

1

1. Introdução

1.1. Contextualização

Este trabalho tem como objetivo geral a otimização de uma máquina de indução de geometria

esférica que possibilita a produção de um binário eletromagnético em múltiplos graus de liberdade.

Mais concretamente, os principais elementos desta otimização serão o circuito magnético e a

minimização do entreferro equivalente da máquina esférica.

De uma forma geral, os dispositivos com atuação em múltiplos graus de liberdade,

nomeadamente braços robóticos ou equipamentos de assistência, são constituídas por um conjunto

de máquinas elétricas rotativas, sendo por este motivo aparelhos de alta complexidade, peso e custo.

Assim, através da utilização de uma máquina elétrica com múltiplos graus de liberdade, existe a

oportunidade para reduzir o número de motores nestes equipamentos, tornando-os mais simples, leves

e possivelmente mais baratos.

Várias topologias de máquina com rotação em múltiplos graus de liberdade foram e estão a

ser estudadas e desenvolvidas. Estas topologias incluem máquinas síncronas [1] e máquinas de

relutância magnética variável [2,3], cuja construção requer o uso de ímanes permanentes. Por outro

lado, a máquina de indução esférica [4-6], devido às suas vantagens construtivas e aparente

simplicidade, aponta-se hoje como a opção para o desenvolvimento de uma variação com geometria

esférica. O princípio de funcionamento desta nova máquina elétrica, cujas propriedades

eletromecânicas serão analisadas no decorrer desta tese, é, à semelhança da sua versão clássica, a

produção de binário eletromagnético através de uma onda de força magnetomotriz (FMM) viajante.

Desta forma, muitos dos conceitos utilizados no estudo de uma máquina de indução típica (geometria

cilíndrica) serão usados ao longo deste estudo.

1.2. Motivação e objetivos

O potencial ganho em eficiência e simplicidade que se ganha com uma máquina de indução

de geometria esférica e a potencialidade do número de aplicações foram as principais razões para a

escolha e realização deste trabalho.

Inicialmente, e com o objetivo de estudar o funcionamento da máquina, estabeleceu-se um

modelo eletromecânico e térmico de parâmetros concentrados. Este modelo dar-nos-á uma ferramenta

para caracterizar a máquina e perceber quais as partes do circuito magnético da máquina que terão

mais potencial para uma otimização.

Com a ajuda do modelo desenvolvido e do recurso a ferramentas de computação por

elementos finitos, analisam-se diferentes geometrias do circuito magnético de modo a otimizar as

características eletromagnéticas e térmicas da máquina de indução esférica. Será dada especial

atenção ao circuito de excitação (enrolamentos), cuja distribuição deve assegurar o comando do

campo girante em todos os graus de liberdade.

A recolha de dados experimentais que permitam a validação (ou mesmo correção) das

conclusões obtidas é considerada uma importante contribuição para o objetivo desta tese, pelo que, é

do âmbito da mesma a elaboração e/ou a análise de um protótipo da máquina.

2

As forças tangenciais são a grandeza analisada mais aprofundadamente, sendo

importantíssima em aplicações onde a produção e comando do binário são cruciais (dispositivos de

assistência ao ser humano, por exemplo). Outras grandezas analisadas serão a velocidade angular do

rotor, a densidade do fluxo magnético no entreferro, a densidade de corrente induzida na superfície

condutora, assim como a distribuição da temperatura nas áreas tidas como críticas da máquina.

1.3. Estrutura

Inicialmente, será apresentado nos Capítulos 2 e 3 o modelo analítico de uma máquina elétrica

de indução de rotor esférico. Através deste modelo, ter-se-á alguma ideia da sensibilidade dos

parâmetros do motor e do seu impacto nas grandezas eletromagnéticas e térmicas da máquina. No

Capítulo 4 será feita a adaptação deste modelo à máquina com enrolamentos distribuídos em camada

simples de modo a comparar o seu desempenho com o da máquina de dupla camada. O Capítulo 5

analisa várias geometrias para a distribuição dos enrolamentos estatóricos. Por razões construtivas,

usa-se uma versão “planar” da máquina. Comparando os valores das forças eletromagnéticas e do

campo de indução magnética no entreferro obtidos, escolhe-se uma das geometrias para a construção

de um protótipo planar, descrita no Capítulo 6. A informação retirada destes passos permitirá avançar

com confiança para a análise em geometrias esféricas (Capítulo 7). Neste caso, serão também

comparadas algumas geometrias através do método dos elementos finitos. Os dados desta análise

serão confrontados com dados experimentais de um protótipo de uma das geometrias, no Capítulo 9.

Este protótipo servirá como prova de conceito e será usado como base em futuros desenvolvimentos

deste tema. O Capítulo 8 aborda o uso da técnica das cavas no melhoramento do circuito magnético

no caso da máquina de camada dupla e única.

3

4

2. Máquina de indução esférica: modelo analítico eletromagnético

A formulação de um modelo analítico é a primeira etapa para a compreensão dos fenómenos

de origem eletromagnética mais significativos na máquina de indução esférica. O modelo desenvolvido

permitirá obter as características eletromecânicas da máquina em função dos parâmetros geométricos

e elétricos do circuito magnético e do circuito de excitação, respetivamente.

2.1. Pressupostos e desenvolvimento

A formulação de um modelo analítico requer que, do ponto de vista de continuidade, a máquina

seja simplificada de modo a possuir uma zona homogénea única. Na Figura 1 tem-se um desenho

esquemático do modelo analítico a ser desenvolvido, com base nos seguintes pressupostos:

Uma zona homogénea de espessura constante e baixa permeabilidade magnética (entreferro

de ar);

Uma superfície de cobre contínua e de espessura infinitesimal, situada na superfície interna

do estator (a laranja);

Uma superfície de alumínio contínua e de espessura infinitesimal situada na superfície externa

do rotor (a cinzento claro);

Estator e rotor constituídos por material ferromagnético com elevada permeabilidade

magnética, isotrópico e maciço;

Desprezam-se os efeitos de borda ao nível do estator devido à pequena espessura do

entreferro em comparação com o comprimento do arco do estator.

Figura 1 - Esquema representativo do modelo analítico da máquina de indução esférica. Estão

explícitas as coordenadas esféricas usadas no desenvolvimento do modelo.

Começa-se por estabelecer uma relação entre as densidades de corrente reais a circular no

cobre e no alumínio, Js e Jr, respetivamente, e as densidades de corrente equivalentes

5

correspondentes à redução dos respetivos materiais a uma superfície de espessura infinitesimal,

Jseq e Jreq .

A densidade de corrente na superfície condutora de cobre do estator, definida pela Equação

1, dá origem à onda de força magnetomotriz viajante necessária à produção de binário. A corrente

induzida na superfície condutora de alumínio pode então ser definida pela Equação 2:

Js = Re{Js ej(ωt−kφ)}uθ , (1)

Jr = Re{Jrej(ωt−kφ)}uθ , (2)

onde ω é a frequência angular e k o comprimento de onda espacial segundo uφ (que, neste caso, é

equivalente ao número de pares de pólos de uma máquina de indução convencional1).

Sejam δCu e δAl a espessura real dos enrolamentos de cobre do estator e a espessura real da

camada condutora de alumínio, respetivamente. É possível obter a densidade de corrente equivalente

a partir da densidade de corrente real sabendo que a corrente total no material é igual em ambos os

casos:

ICu = Js ∙ ΔSCu = Js ∙ Δφ ∙ δCu = Jseq ∙ Δφ ⇔ Jseq = JsδCu, (3)

IAl = Re{Jr} ∙ ΔSAl = Re{Jr} ∙ Δφ ∙ δAl = Re {Jreq } ∙ Δφ ⇔ Jreq

= JrδAl, (4)

onde ΔSCu = Δφ ∙ δCu e ΔSAl = Δφ ∙ δAl são as secções normais às densidades de corrente no cobre

e no alumínio, respetivamente. A relação entre a condutividade elétrica real e equivalente do alumínio

(σAl e σAleq) pode ser obtida através da igualdade das potências de Joule associadas aos parâmetros

reais e equivalentes (Equação 5).

PAl = dPAl ∙ ΔVAl = dPAleq ∙ ΔSAl ⇔(Re{Jr}

√2⁄ )

2

σAlΔθ ∙ Δφ ∙ δAl =

(Re {Jreq

}

√2⁄ )

2

σAleqΔθ ∙ Δφ

⇔ δAlσAl

=δAl

2

σAleq ⇔ σAleq = σAl ∙ δAl

(5)

Tem-se assim uma camada de densidade de corrente Jseq situada na superfície interna do

estator, responsável pela criação de uma onda de FMM viajante e pela indução de uma densidade de

corrente Jreq situada na superfície externa do rotor de condutividade σAleq. O problema fica então

reduzido a uma área homogénea de largura constante (entreferro) limitada por duas zonas de alta

permeabilidade magnética, o estator e o rotor.

Através da solução do vetor potencial magnético no entreferro é possível obter o campo de

indução magnética, assim como expressões para as forças e binários aplicados no rotor [8]. Devido à

geometria esférica, sabe-se que o vetor potencial terá uma dependência radial A(r) e espacial/temporal

semelhante à da fonte da força eletromotriz, ou seja, à densidade de corrente Jseq .

Aθ = A(r)ej(ωt−kφ)uθ (6)

1 Esta equivalência é válida tendo em conta o arco 𝜑 completo. No modelo considerado, em que o estator cobre

metade do arco, 𝑘 acaba por ser o dobro do número de pares de pólos magnéticos existentes, e será a

designação usada ao longo desta tese.

6

Por motivos de simplificação do cálculo do vetor potencial e uma vez que a geometria assim o

permite sem cometer erros significativos, serão usadas coordenadas cilíndricas no seu cálculo.

Aplicando o operador laplaciano:

∇2Az =

∂2Az

∂r2+

1

r2∂2Az

∂φ2+∂2Az

∂θ2+1

r

∂Az

∂r= 0 ⇔

⇔ ∇2Az =

∂2A(r)

∂r2+1

r

∂A(r)

∂r−k2

r2A(r) = 0 ⇔ A(r) = C1r

k + C2r−k

(7)

Os coeficientes C1 e C2 da solução são obtidos a partir da análise das condições fronteira

(Figura 2).

Figura 2 - Vista amplificada da zona do entreferro com a ilustração dos caminhos utilizados na

resolução das condições fronteira.

{

Estator:∫ Hdl = ∫ Jseqn dS

S1

d

c

Rotor:∫ Hdl = ∫ Jreqn dSS2

f

e

(8)

Tendo assim duas equações e duas incógnitas, obtemos os seguintes coeficientes C1 e C2:

C1 =Jseqμ0rs

k+1

k

1 + jSμ0σAleq

krr

rs2k − rr

2k + jSμ0σAleq

krr(rs

2k + rr2k)

, (9)

C2 =Jseqμ0rs

k+1rr2k

k

1 − jSμ0σAleq

krr

rs2k − rr

2k + jSμ0σAleq

krr(rs

2k + rr2k)

, (10)

onde μ0 é a permeabilidade magnética no vácuo, rs é o raio interno do estator, rr é o raio externo do

rotor e S = ω − kωr está associado ao escorregamento (slip) do rotor em relação à onda de FMM

viajante.

Através da Equação 11 é possível obter o campo B no entreferro, constatando que se obtém

uma componente tangencial e uma componente radial.

B = ∇ × A (11)

Br = −j

k

r(C1r

k + C2r−k)ej(ωt−kφ)ur (12)

Bφ = −

k

r(C1r

k − C2r−k)ej(ωt−kφ)uφ (13)

7

Tendo agora as componentes do campo B e a expressão da densidade de corrente equivalente

no rotor, dada pela Equação 14, podemos obter a densidade de força (Equação 15) no rotor, assim

como a força média aplicada na superfície do rotor (Equação 16) e o seu binário total (Equação 17).

Jreq = σAleq[E

+ v × B ] = −jσAleqS(C1rk + C2r

−k)ej(ωt−kφ)uθ (14)

f = Jreq × B = fr + fφ (15)

< fr >=

1

2Re {Jreq

Bφ ∗} < fφ >=

1

2Re {Jreq

Br ∗} (16)

Tφ = rr∫ < fφ > dS

SAl

=< fφ > 2πrr3 (17)

De notar que este modelo dá-nos o comportamento da máquina com rotação apenas num

sentido. Na realidade, de modo a ter uma máquina com múltiplos graus de liberdade, é necessário

existirem duas camadas de cobre com densidades de correntes ortogonais entre si. A modulação

destas densidades de corrente irá produzir um binário resultante na direção da soma do binários

produzidos pelas duas camadas. Para simplificar, assume-se que a produção de binário em cada uma

das direções é independente, aplicando-se o princípio da sobreposição.

Através das equações acima é possível elaborar um modelo numérico, esboçar as grandezas

eletromagnéticas da máquina e analisar as suas variações com os diferentes parâmetros da máquina,

nomeadamente, a densidade de corrente imposta no estator Js, frequência elétrica f, o número de par

de pólos k e a espessura do alumínio δAl. Para tal, considerou-se que existe um entreferro equivalente

que engloba as camadas da máquina de baixa permeabilidade magnética (alumínio, entreferro, cobre).

δentreferroeq = δAl + δentreferro + 2δCu (18)

2.2. Sensibilidade do binário eletromagnético aos parâmetros da máquina

Pretende-se perceber a sensibilidade do binário eletromagnético e das grandezas que

contribuem diretamente para a sua produção com os parâmetros elétricos e geométricos da máquina.

Neste caso, considerou-se apenas a contribuição de uma das camadas de densidade de corrente do

cobre, embora se considere que ambas as camadas estão presentes no estator. Nas Figuras 3 - 18,

apresentam-se curvas de Jr , Br , Tφ e Pmec , em função do escorregamento s =

ω−kωr

ω, para três valores

de cada parâmetro de interesse, mantendo os restantes nos valores da Tabela 1.

Tabela 1 - Parâmetros da máquina considerados no modelo analítico eletromagnético.

Raio do rotor rr 50 [mm]

Densidade de corrente no cobre Js 3x106 [A/m2]

Frequência elétrica f 50 [Hz]

Número de par de pólos k 2

Espessura do alumínio δAl 2 [mm]

Espessura do entreferro δentreferro 1 [mm]

Espessura dos enrolamentos de cobre δCu 2 x 5 [mm]

8

Figura 3 - Curvas da densidade de corrente induzida no rotor para Js = 1,5 x 106 A/m2, Js = 3,0 x 106

A/m2 e Js = 6,0 x 106 A/m2.

Figura 4 - Curvas da densidade de corrente induzida no rotor para f = 25 Hz, f = 50 Hz e f = 100 Hz.

Figura 5 - Curvas da densidade de corrente induzida no rotor para k = 2, k = 4 e k = 8.

9

Figura 6 - Curvas da densidade de corrente induzida no rotor para 𝛿𝐴𝑙 = 1 mm, 𝛿𝐴𝑙 = 2 mm e 𝛿𝐴𝑙 = 4

mm.

Figura 7 - Curvas da densidade de fluxo magnético para Js = 1,5 x 106 A/m2, Js = 3,0 x 106 A/m2 e

Js = 6,0 x 106 A/m2.

Figura 8 - Curvas da densidade de fluxo magnético para f = 25 Hz, f = 50 Hz e f = 100 Hz.

10

Figura 9 - Curvas da densidade de fluxo magnético para k = 2, k = 4 e k = 8.

Figura 10 - Curvas da densidade de fluxo magnético para 𝛿𝐴𝑙 = 1 mm, 𝛿𝐴𝑙 = 2 mm e 𝛿𝐴𝑙 = 4 mm.

Figura 11 - Curvas do binário eletromagnético para Js = 1,5 x 106 A/m2, Js = 3,0 x 106 A/m2 e

Js = 6,0 x 106 A/m2.

11

Figura 12 - Curvas do binário eletromagnético para f = 25 Hz, f = 50 Hz e f = 100 Hz.

Figura 13 - Curvas do binário eletromagnético para k = 2, k = 4 e k = 8.

Figura 14 - Curvas do binário eletromagnético para 𝛿𝐴𝑙 = 1 mm, 𝛿𝐴𝑙 = 2 mm e 𝛿𝐴𝑙 = 4 mm.

12

Figura 15 - Curvas da potência mecânica para Js = 1,5 x 106 A/m2, Js = 3,0 x 106 A/m2 e Js = 6,0 x 106

A/m2.

Figura 16 - Curvas da potência mecânica para f = 25 Hz, f = 50 Hz e f = 100 Hz.

Figura 17 - Curvas da potência mecânica para k = 2, k = 4 e k = 8.

13

Figura 18 - Curvas da potência mecânica para 𝛿𝐴𝑙 = 1 mm, 𝛿𝐴𝑙 = 2 mm e 𝛿𝐴𝑙 = 4 mm.

Sabendo que se pretende maximizar a amplitude da densidade de corrente no rotor Jr e a

densidade de fluxo magnético radial no entreferro de modo a produzir o máximo binário, pode-se retirar

valiosas conclusões dos gráficos apresentados:

Como seria de esperar, todas as grandezas dependem positivamente da densidade de

corrente imposta no estator, sendo esta limitada principalmente pela potência de Joule

dissipada e pelo aquecimento interno da máquina;

As correntes induzidas no rotor aumentam e a densidade de fluxo magnético radial diminui

com o aumento da frequência das correntes impostas no estator, resultando numa deslocação

do valor máximo do binário eletromagnético para valores de escorregamento mais baixos, mas

mantendo o seu valor;

Quer a densidade de corrente no rotor quer a densidade de fluxo magnético radial diminuem

à medida que se aumenta o número de pares de pólos, resultando num binário eletromagnético

menor magnitude, em contraste com o que acontece numa máquina de indução típica;

A densidade de corrente no rotor aumenta com a diminuição da espessura do alumínio,

justificável pela diminuição da área transversal associada à circulação das correntes no rotor;

A densidade de fluxo magnético radial diminui para valores de espessura do alumínio maiores,

uma vez que aumenta também a região de baixa permeabilidade magnética composta pelos

enrolamentos do estator, o entreferro e a camada de alumínio, resultando num circuito

magnético menos eficiente;

A diminuição da espessura do alumínio resulta num deslocamento do ponto máximo do binário

eletromagnético para a direita, assim como um aumento do seu valor, tendo um impacto

positivo no binário de arranque (ou binário com o rotor estático);

Tendo um modelo para o cálculo de grandezas eletromagnéticas da máquina, é necessário

agora obter um modelo térmico que permita dar uma ideia das limitações térmicas associadas às

perdas de Joule nos condutores.

14

15

3. Máquina de indução de rotor esférico: modelo analítico térmico

Este modelo dará um melhor entendimento da transferência de calor na máquina de indução

esférica, sendo de seguida empregue no processo de otimização térmica e elétrica da máquina. Para

além disso, servirá como uma importante ferramenta de simulação, já que a análise por elementos

finitos de geometrias complexas 3D exige uma elevada capacidade de processamento e de tempo de

simulação.

3.1. Pressupostos e desenvolvimento matemático

A máquina é representada por camadas esféricas e semiesféricas concêntricas (Figura 7),

existindo duas fontes de calor: a potência dissipada nos enrolamentos de cobre do estator e a potência

dissipada na camada de alumínio do rotor (desprezam-se as perdas no material ferromagnético2).

Assim, é possível elaborar um modelo térmico de parâmetros concentrados, em analogia com os

típicos modelos de parâmetros concentrados usados para circuitos elétricos [9]. A correspondência

entre os parâmetros térmicos e elétricos encontra-se expressa na Tabela 2. A transferência de calor

na máquina ocorre maioritariamente por condução e convecção, em detrimento da radiação.

Tabela 2 - Legenda dos parâmetros térmicos.

Parâmetro térmico Parâmetro elétrico Símbolo

Calor P [W] Corrente I [A]

Variação de Temperatura ΔT [K] Tensão U [V]

Resistência Térmica R [K/W] Resistência elétrica R [Ω]

Capacidade Térmica C [W s/K] Capacidade Elétrica C [F]

Por fim, considera-se que o ambiente é capaz de absorver todo o calor que lhe é fornecido

sem subir a sua temperatura.

Na Figura 19 apresenta-se uma ilustração da geometria das diferentes camadas térmicas

consideradas e na Figura 20 um esquema representativo do circuito térmico da máquina de indução

esférica, incluindo os parâmetros térmicos considerados.

2 Este fato será comprovado no capítulo da construção de um protótipo esférico devido ao material ferromagnético utilizado apresentar uma baixa condutividade elétrica.

16

Figura 19 - Geometria em camadas do modelo térmico da máquina de indução esférica.

Figura 20 - Vista amplificada das fronteiras da máquina e esquema do modelo térmico inicial.

Este modelo térmico assume que o calor percorre as camadas da máquina radialmente, não

existindo transferência de calor pelas superfícies superiores do cobre e do estator para o exterior.

Considerou-se também que a transferência de calor para o exterior por condução é desprezável em

comparação com a transferência por convecção. Este facto será comprovado no valor das resistências

térmicas calculadas adiante neste capítulo.

𝑃𝐴𝑙

𝑇𝐶𝑢

𝑇𝐴𝑙

𝑅𝑒𝑠𝑡𝑎𝑡𝑜𝑟

𝑅𝐴𝑙 𝑅𝑟𝑜𝑡𝑜𝑟

𝑅𝑟𝑜𝑡𝑜𝑟 −𝑒𝑥𝑡

𝑅𝑒𝑠𝑡𝑎𝑡𝑜𝑟 −𝑒𝑥𝑡

𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑟𝑜

𝑅𝑐𝑜𝑛𝑑 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑟𝑜

𝑇𝑎𝑚𝑏

𝐶𝑒𝑠𝑡𝑎𝑡𝑜𝑟 𝐶𝐶𝑢 𝐶𝐶𝑢 𝐶𝐴𝑙 𝐶𝑟𝑜𝑡𝑜𝑟

𝑅𝐶𝑢2

𝑅𝐶𝑢2

𝑅𝐶𝑢2

𝑅𝐶𝑢2

𝑃𝐶𝑢1 𝑃𝐶𝑢2

17

O modelo pode ainda ser simplificado, tendo em conta que o que se pretende obter do mesmo

são as temperaturas em regime permanente. Uma vez que as capacidades térmicas apenas

influenciam o regime transitório, ou seja, o tempo que se demora a atingir as temperaturas de equilíbrio,

estas podem ser considerados circuitos abertos. Assim o circuito térmico da máquina de indução

esférica toma a forma da Figura 21 a partir do circuito completo da Figura 20.

Figura 21 - Circuito elétrico equivalente do modelo térmico em regime permanente.

Repare-se que na Figura 21, a resistência térmica Rrotor já não está presente no modelo.

Efectivamente, sendo Crotor um circuito aberto, nenhum calor flui por esta resistência térmica. Tal faz

sentido uma vez que, embora o material magnético no rotor absorva algum calor, este terá de ser

dissipado para o ambiente através do alumínio ou do estator.

Calcula-se de seguida cada uma das resistências térmicas do circuito da Figura 21. As

resistências de condução, genericamente Rcond, podem ser calculadas através das Equações 19-21.

Rcond =

ΔT

Pcond (19)

P0 = ∫ q(r)

S

× n dS (20)

q(r) = −KdT ⟺ ΔT = ∫ −

q(r)

Kdr

re

ri

(21)

ΔT é a diferença de temperatura aos terminais da resistência, P0 é o calor que a atravessa, q(r) é a

densidade do fluxo de calor, K a condutividade térmica e S, ri e re são a superfície esférica externa, o

raio interno e o raio externo da camada esférica considerada, respetivamente.

Sabendo que o calor que atravessa uma superfície esférica e semiesférica é dado pelas

Equações 22 e 23, respetivamente, obtemos as expressões para as resistências de condução das

camadas esféricas e semiesféricas.

P0 = 4πr2qesférica(r) ⟺ qesférica(r) =

P04πr2

(22)

P0 = 2πr2qsemiesférica(r) ⟺ qsemiesférica(r) =

P02πr2

(23)

Rcondesférica=∫ −

qesférica(r)K

reri

P0=

1

4πK∫ −

1

r2dr

re

ri

=1

4πK(1

ri−

1

re) (24)

𝑃𝐴𝑙

𝑅𝐶𝑢2

𝑅𝐶𝑢2

𝑅𝐶𝑢2

𝑅𝐶𝑢2

𝑇𝑎𝑚𝑏

𝑅𝑒𝑠𝑡𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑟𝑜


𝑅𝐴𝑙

𝑃𝐶𝑢1 𝑃𝐶𝑢2

𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑡𝑜𝑟 −𝑒𝑥𝑡

𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑟 −𝑒𝑥𝑡

18

Rcondsemiesférico=∫ −

qsemiesférica(r)K

r2r1

P0=

1

2πK∫ −

1

r2dr

re

ri

=1

2πK(1

ri−

1

re) (25)

Obtêm-se as Expressões 26 a 29 para as quatro diferentes resistências de condução:

RAl =

1

4πKAl

(1

rr − δAl−1

rr) (26)

Rcondentreferro

=1

2πKar

(1

rr−1

rs) (27)

RCu =

1

2πKCu

(1

rs + δCu−

1

rs + 2δCu) (28)

Restator =

1

2πKestator

(1

rs + 2δCu−

1

rs + 2δCu + δs) (29)

Em relação à transferência de calor por convecção, esta está presente nas regiões da máquina

onde existe aquecimento de um fluido (neste caso o ar), ou seja, nas zonas de transição do alumínio

para o ambiente e para o entreferro, assim como da superfície exterior do estator para o ambiente.

Para determinar as resistências de convecção dos materiais parte-se da lei de Newton do

arrefecimento [10]:

Pconv = hAΔT, (30)

onde Pconv é o calor transferido através da camada considerada, h é o coeficiente de transferência de

calor por convecção e A é a superfície ortogonal à direção de transferência de calor (neste caso serão

sempre superfícies esféricas ou semiesféricas).

A transferência de calor por convecção é um fenómeno não-linear. O seu comportamento

depende de vários parâmetros, nomeadamente, o tipo do fluxo (laminar ou turbulento, natural ou

forçado), as propriedades do fluído (viscosidade, densidade, velocidade, etc) e a geometria ocupada

pelo fluido.

Fluxos laminares, ocorrendo para velocidades baixas [11], apresentam um comportamento

estruturado. Em contraste, fluxos turbulentos, que ocorrem para velocidades elevadas, são caóticos e

a sua modelação é extremamente complicada. Para o caso da máquina em questão, assume-se que

a gama de velocidades atingida não é suficiente para causar um fluxo turbulento no fluído. A variável

h pode ser calculada através da Expressão 31 [12]

h =

KarNu∗

2ri, (31)

onde Nu∗ é o número de Nusselt, uma constante que depende da geometria do problema. Para o caso

do entreferro de ar, cuja espessura é muito menor que o seu raio interno e onde se assume fluxo

laminar, o seu valor é dado pela Expressão 32 [12].

No caso da transferência de calor do estator para o ambiente, considera-se uma camada

esférica com raio externo é o infinito e raio interno igual à superfície do estator. Temos assim um corpo

esférico de superfície isotérmica imersa num fluido (ar), cujo valor médio do número de Nusselt é dado

pela Expressão 33 [13].

Nuentreferro∗ = 2 + 0,14(Ra∗)1/3 (32)

19

Nuambiente

∗ = 2 +0,589(PrGr)

1/4

[1 + (0,469Pr

)

916]

4/9

(33)

Nas equações anteriores, Ra∗, Pr e Gr são os números de Rayleigh, Prandtl e Grashof, respetivamente,

dados pelas Equações 34 - 36 [13]

Ra∗ =

gβarΔT

(μarρar

) αar(2ri)

3, (34)

Pr =μarcarKar

, (35)

Gr =

g(2ri)3ρar

2ΔTβarμar

2, (36)

onde g é a constante de aceleração gravítica da Terra, βar, μar, ρar, αar e car são o coeficiente de

expansão térmica, a viscosidade absoluta, a densidade, a difusividade térmica e a capacidade térmica

do ar, respetivamente3.

Tanto o número de Rayleigh como o de Grashof dependem do parâmetro ΔT, dando-nos a

entender que o cálculo das resistências de convecção é não-linear, variando com a diferença de

temperatura entre as camadas consideradas. Atribuindo valores iniciais para a variação da temperatura

e tendo todos os restantes dados paramétricos necessários, é possível, através de um cálculo iterativo,

determinar as resistências térmicas de convecção em questão, usando a Equação 37.

Rconv =

ΔT

Pconv=

1

hA=

2riKarNu

∗A (37)

Concretizando-se para as três resistências de convecção da máquina, tem-se:

Rconventreferro =rr

Kar(2 + 0.14(gβarΔT

(μarρar

) αar)

1/3

2rr)π rr2

,

(38)

Rconvrotor−ext =rr

Kar

(

2 +0,589(

carKar

g(2rr)3ρar

2ΔTβarμar

)1/4

[

1 + (0,469μarcarKar

)

916

] 4/9

)

π rr2

,

(39)

Rconvestator−ext =

1rs + 2δCu + δs

Kar

(

2 +0,589(

carKar

∙g(2(rs + 2δCu + δs))

3ρar2ΔTβar

μar)1/4

[


)

916

] 4/9

)

π

.

(40)

3 As propriedades do ar dependem da temperatura e esta dependência está incluída no modelo numérico.

20

Resta então obter expressões para as potências de Joule nos enrolamentos de cobre e na

camada de alumínio do rotor. As Expressões 41 e 42 refletem o aumento da resistividade elétrica dos

materiais condutores devido ao aumento da sua temperatura. Este facto, por sua vez, diminui as

correntes induzidas no rotor e, para uma determinada densidade de corrente imposta no cobre,

aumenta as suas perdas, consequência do aumento da resistência dos enrolamentos.

ρCu = 1,68 × 10−8[1 + αCu(TCu − 20)], αCu = 3,862 × 10−3 K−1 (41)

ρAl = 2,82 × 10−8[1 + αCu(TAl − 20)], αAl = 3,90 × 10−3 K−1 (42)

A potência de Joule dissipada é dada pela Equação 43, onde ΔV é o volume ocupado pela

camada esférica ou semiesférica em questão. Assume-se que as correntes induzidas no alumínio

encontram-se apenas na semiesfera inferior. Para cada caso, obtemos as Expressões 44 - 46.

PJ = dP ∙ ΔV =

1

σ(J

√2)2

∙ ΔV (43)

PCu1 =

1

σCu(Js

√2)2

∙2π

3[(rs + δCu)

3 − rs3] (44)

PCu2 =

1

σCu(Js

√2)2

∙2π

3[(rs + 2δCu)

3 − (rs + δCu)3] (45)

PAl =

1

σAl(Jr

√2)2

∙2π

3[rr

3 − (rr − δAl)3] (46)

3.2. Resultados numéricos do modelo analítico térmico

Têm-se agora todos os elementos necessários para concretizar o modelo. Para os parâmetros

da Tabela 3, calculam-se as resistências térmicas e as potências de Joule, sintetizadas na

Tabela 4, para o caso em que apenas uma camada de cobre apresenta uma densidade de corrente.

Tabela 3 - Parâmetros para o cálculo das resistências do modelo térmico.

Espessura do rotor δr 5 [mm]

Raio externo do rotor rr 50 [mm]



Espessura dos enrolamentos de cobre δCu 2 x 5 [mm]

Espessura do estator δs 5 [mm]


Densidade de corrente no alumínio (modelo analítico) Jr 8,30x106 [A/m2]

Frequência de sincronismo f 50 [Hz]


Temperatura ambiente Tamb 20 [°C]

21

Tabela 4 - Resistências térmicas e potências de Joule calculadas.

Resistência de condução do alumínio RAl 0,14x10-3 [°C/W]

Resistência de condução do entreferro Rcondentreferro 2,28 [°C/W]

Resistência de convecção do entreferro Rconventreferro 11,83 [°C/W]

Resistência de convecção rotor-ambiente Rconvrotor−ext 8,03 [°C/W]

Resistência de condução rotor-ambiente Rcondrotor−ext 98,44 [°C/W]

Resistência de condução do cobre RCu 1,28x10-3 [°C/W]

Resistência de condução do estator Restator 2,47x10-3 [°C/W]

Resistência de convecção estator-ambiente Rconvestator−ext 5,25 [°C/W]

Resistência de condução estator-ambiente Rcondestator−ext 76,67 [°C/W]

Potência de Joule dissipada no cobre PJCu 11,36 [W]

Potência de Joule dissipada no alumínio PJAl 23,08 [W]

Na Tabela 5 apresentam-se os valores de temperatura obtidos para o caso crítico em que o

rotor se encontra parado.

Tabela 5 - Temperaturas da máquina esférica com o rotor bloqueado em regime permanente.

Temperatura interna do alumínio TAl 153,97 [°C]

Temperatura interna do rotor Trotor 153,97 [°C]

Temperatura na superfície interna do estator Testatorint 123,17 [°C]

Temperatura interna nos enrolamentos de cobre TCu 123,18 [°C]

Temperatura da superfície externa do estator Testatorext 123,12 [°C]

Dos valores obtidos para as resistências térmicas é possível validar a premissa colocada

anteriormente, já que se verifica que as resistências de condução do estator e do rotor para o exterior

são mais que dez vezes superiores às resistências de convecção. Note-se também que as resistências

térmicas dos materiais metálicos (alumínio, cobre e material ferromagnético) são muito inferiores às

resistências de convecção, explicando os diminutos gradientes de temperatura entre estes materiais

(alumínio-rotor e cobre-estator).

Existem várias possibilidades de melhorar o desempenho térmico da máquina. Uma delas

seria a incorporação de um dissipador de calor na superfície do estator. O aumento da área de

dissipação de calor baixaria a resistência térmica de convecção entre o estator e o ambiente exterior.

Esta prática é comum nas máquinas de indução convencionais. É também usual a existência de algum

tipo de convecção forçada, normalmente uma ventoinha ventiladora instalada no eixo da máquina.

Para geometrias esféricas, contudo, a ausência de eixo não permite uma fácil implementação de

convecção forçada.

22

A diminuição das temperaturas de regime permanente da máquina permite uma maior

densidade de corrente na mesma a circular, aumentando a potência e binário eletromagnético. No

entanto, estas técnicas de otimização são independentes das propriedades eletromagnéticas do motor,

estando fora do âmbito desta tese.

3.3. Sensibilidade da temperatura de regime permanente aos parâmetros da

máquina

De modo a estudar a sensibilidade das temperaturas da máquina aos seus parâmetros, são

traçados gráficos da temperatura das camadas condutoras em função de δAl, δCu, δentreferro, δs, Js e f,

mantendo os valores base da Tabela 3.

Figura 22 - Variação da temperatura da máquina em função de 𝐽𝑠.

Figura 23 - Variação da temperatura da máquina em função de 𝑓.

23

Figura 24 - Variação da temperatura da máquina em função de 𝛿𝐴𝑙.

Figura 25 - Variação da temperatura da máquina em função de 𝛿𝐶𝑢.

Figura 26 - Variação da temperatura da máquina em função de 𝛿𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑟𝑜.

24

Figura 27 - Variação da temperatura da máquina em função de 𝛿𝑆.

Analisando os gráficos das Figuras 22 a 27, é possível retirar as seguintes conclusões:

Expectavelmente, um aumento da densidade de corrente imposta no estator resulta em mais

calor dissipado, aumentando a temperatura da máquina, como se comprova na Figura 22;

O aumento da temperatura da máquina com a frequência é também expectável já que a

temperatura aumenta com a densidade de corrente induzida no alumínio e, como se viu na

Figura 4, esta densidade de corrente aumenta com a frequência;

As temperaturas do alumínio e do cobre atingem um máximo para uma espessura do alumínio

de cerca de 1 mm. Para uma determinada densidade de corrente no estator, a densidade de

corrente induzida no alumínio é maior para menores espessuras do alumínio, como vimos na

Figura 6. No entanto, para espessuras do alumínio muito finas, a condutividade elétrica do

mesmo diminui significativamente, limitando a intensidade das correntes induzidas. Assim, dá-

se origem aos máximos constatados no gráfico da Figura 24, fazendo com que a espessura

da camada de alumínio tenha um valor ótimo para uma determinada dimensão da máquina;

Como seria de esperar, aumentar a espessura das camadas de cobre mantendo a mesma

densidade de corrente, resulta num aumento da temperatura da máquina, maioritariamente

devido à potência de Joule adicionalmente criada (Figura 24);

A temperatura do alumínio aumenta e a do cobre diminui à medida que se aumenta a

espessura do entreferro (Figura 25);

O aumento da espessura do entreferro diminui no entanto o campo magnético útil na produção

de binário, pelo que a sua espessura será sempre a menor construtivamente possível;

Embora a resistência térmica de condução do estator aumente com a sua espessura, uma

maior área de contacto com o exterior resulta numa menor resistência de convecção,

aumentando a transferência de calor para o ambiente e a diminuição da temperatura da

máquina, como se verifica na Figura 27. O aumento da espessura do estator, constituído por

material ferromagnético, tipicamente de densidade elevada, aumenta tanto a massa como o

custo de fabricação da máquina. A sua espessura deverá pois ser escolhida tendo em conta a

aplicação e de modo a garantir a não saturação magnética da máquina.

25

Sabendo-se que o perfil térmico da máquina irá limitar a sua potência máxima, e

consequentemente o binário produzido é então importante relacionar as grandezas eletromagnéticas

e térmicas dos dois modelos elaborados para a máquina. Da análise feita até aqui, pode-se também

concluir que as camadas condutoras de cobre e alumínio são os alvos com maior potencial para

otimização em termos térmicos e eletromagnéticos.

3.4. Otimização da espessura da camada de alumínio

Como foi verificado, a espessura da camada de alumínio tem impacto nas características

eletromagnéticas e térmicas da máquina. Assim, pretende-se analisar nesta secção a variação do

binário eletromagnético com a espessura do alumínio para várias dimensões da máquina e ao mesmo

tempo perceber o impacto na sua temperatura. Para tal, obtiveram-se relações entre a variação da

temperatura do alumínio e do binário para três diferentes rotores e respetivos estatores da máquina

(Figuras 28 e 29). Os valores dos parâmetros geométricos e elétricos da máquina mantêm-se os da

Tabela 3. Na Tabela 6 apresentam-se os valores máximos das curvas e para que espessura do

alumínio ocorrem.

Figura 28 - Variação da temperatura em regime permanente do alumínio em função da sua

espessura para várias dimensões da máquina (rotor).

Tabela 6 - Valores máximos de temperatura no alumínio e binário eletromagnético para várias

dimensões da máquina (rotor).

Raio do rotor Temperatura máxima do alumínio Binário eletromagnético máximo

4 cm TAl = 117,48 °C | δAl = 1,40 mm Tφ = 0,074 N.m | δAl = 1,50 mm



26

Figura 29 - Variação do binário eletromagnético com a espessura do alumínio para diferentes

dimensões da máquina (rotor).

Como seria de esperar, o binário máximo é atingido para valores de espessura do alumínio

próximos do correspondente ao máximo de temperatura, como se pode observar nas Figuras 28 e 29

e na Tabela 6. De facto, faz sentido que o máximo de temperatura ocorra para valores de densidade

de corrente induzida maiores, para os quais também existe maior produção de binário. Assim, para

determinada configuração da máquina existirá um valor ótimo de espessura do alumínio,

correspondente ao ponto de máximo binário.

27

28

4. Otimização das camadas de cobre

De modo a garantir os múltiplos graus de liberdade da máquina, é necessário que a máquina

seja capaz de produzir duas ondas viajantes de força magnetomotriz ortogonais entre si. As camadas

de cobre são responsáveis pela criação destas ondas e, como tal, são um foco importante da

otimização da máquina. A espessura destas camadas influencia diretamente o entreferro equivalente,

afetando a produção de binário eletromagnético e também as perdas de Joule produzidas no seu

volume, as quais são um parâmetro importante do perfil térmico da máquina. Numa máquina de

indução clássica, estas camadas de cobre correspondem aos enrolamentos de fio de cobre dispostos

em cavas ao longo do perímetro interno do estator. Estes enrolamentos são, tipicamente, o “ponto

fraco” da máquina, devido à sensibilidade da respetiva camada de verniz à temperatura.

Neste capítulo estudam-se formas de melhorar a disposição das camadas de cobre da

máquina de indução esférica, com especial ênfase na possibilidade da transição de uma geometria de

camada dupla para outra de camada única, de modo a reduzir a espessura do entreferro equivalente.

Os aspetos construtivos destes enrolamentos serão considerados adiante no Capítulo 9 desta tese.

4.1. Distribuição dos enrolamentos pelas camadas de cobre

Até aqui, considerou-se que a densidade de corrente no estator era aplicada segundo uma

onda contínua que percorria a superfície interna do estator segundo a direção uφ . Considere-se agora

o caso real onde se têm bobinas discretas e separadas em duas fases, A e B, desfasadas de 90°

elétricos entre si. Na Figura 30 está esquematizada a distribuição dos enrolamentos A e B numa

camada para uma máquina com 4 pólos. A Figura 31 mostra a onda de força magnetomotriz produzida

por cada fase para a planificação da máquina apresentada na Figura 30.

Figura 30 - Esquema da distribuição dos enrolamentos A e B de cobre numa camada para uma

máquina esférica com 4 pares de pólos, indicando as fases ao longo do arco do estator.

−𝐴

−𝐴

−𝐴

−𝐴 −𝐵

−𝐵

−𝐵

−𝐵

29

Figura 31 - Planificação dos enrolamentos da máquina e esboço das forças magnetomotrizes ao

longo da direção de propagação da onda 𝜑 para quatro instantes de período e 𝑘 = 4.

Observa-se na Figura 31 o andamento da onda de força magnetomotriz ao longo do tempo,

produzida por um sistema bifásico constituído pelas fases [A/-A] e [B/-B]4, em quadratura entre si. Note-

se que na Figura 30 está esquematizada a distribuição dos enrolamentos por apenas uma camada de

cobre. De modo a assegurar a capacidade de produzir ondas de força magnetomotriz viajantes e

ortogonais no espaço entre si, seria necessária outra camada de cobre no estator com enrolamentos

dispostos ortogonalmente aos ilustrados. Assim, obtém-se a geometria da máquina de camada dupla

enquanto que se assume esta capacidade numa só camada para a geometria de camada única.

4.2. Adaptação dos modelos analíticos à máquina de camada única

De modo a analisar e comparar as versões da máquina de camada de cobre dupla e única, os

modelos analíticos elaborados até aqui necessitam de alguns ajustes.

4 O sinal negativo indica o sentido contrário das correntes em relação à sua contraparte equivalente.

𝑓𝑚𝑚

𝑓𝑚𝑚

𝑓𝑚𝑚

𝑓𝑚𝑚

𝜑

𝜑

𝜑

𝜑

𝜔𝑡 = 0

𝜔𝑡 = 𝜋2

𝜔𝑡 = 3𝜋2

𝜑 = 𝜋2 𝜑 = 𝜋

4 𝜑 = 𝜋8 𝜑 = 3𝜋

8 𝜑 = 5𝜋8 𝜑 = 3𝜋

4 𝜑 = 7𝜋8 𝜑 = 𝜋 𝜑 = 0

𝜔𝑡 = 𝜋

30

Note-se que, numa geometria de camada única com uma secção estatórica de 180º, a onda

viajante ocupa apenas metade da área do rotor, pelo que a indução de correntes no rotor e,

consequentemente, a produção de binário ocorre apenas nesta área, sendo dada pela Equação 47. O

entreferro de ar equivalente passa a ter em conta apenas a espessura de uma camada de cobre,

tomando a forma da Equação 48.

Tφ = rr∫ < fφ > dS

SAl

=< fφ > πrr3 (47)

δentreferroeq = δAl + δentreferro + δCu (48)

A partir das Figuras 20 e 21, adapta-se o modelo e o circuito térmico equivalente para a

máquina de camada de cobre única, obtendo a forma das Figuras 32 e 33, respetivamente.

Figura 32 - Esquema do modelo térmico para a máquina de camada de cobre única.

Figura 33 - Circuito térmico da máquina de camada de cobre única.

𝑃𝐴𝑙

𝑇𝐶𝑢

𝑇𝐴𝑙

𝑅𝑒𝑠𝑡𝑎𝑡𝑜𝑟

𝑅𝐴𝑙 𝑅𝑟𝑜𝑡𝑜𝑟


𝑅𝑒𝑠𝑡𝑎𝑡𝑜𝑟 −𝑒𝑥𝑡



𝑇𝑎𝑚𝑏

𝐶𝑒𝑠𝑡𝑎𝑡𝑜𝑟 𝐶𝐶𝑢 𝐶𝐶𝑢 𝐶𝐴𝑙 𝐶𝑟𝑜𝑡𝑜𝑟

𝑅𝐶𝑢2

𝑅𝐶𝑢2

𝑃𝐶𝑢1

𝑃𝐶𝑢2

𝑇𝑎𝑚𝑏 𝑃𝐴𝑙

𝑅𝐶𝑢2

𝑅𝐶𝑢2

𝑅𝑒𝑠𝑡𝑎𝑡𝑜𝑟 −𝑒𝑥𝑡 𝑅𝑒𝑠𝑡𝑎𝑡𝑜𝑟




𝑅𝐴𝑙

𝑃𝐶𝑢1

𝑃𝐶𝑢2

31

Algumas das resistências térmicas apresentam pequenas alterações (Equações 49 - 51).

Relembrando que para a produção de binário numa direção na máquina de camada única existem

correntes apenas em metade do volume do cobre e do alumínio, as potências de Joule por onda de

força magnetomotriz viajante nesta camada tomam a forma das Equações 52 e 53.

RCu =

1

2πKCu

(1

rs−

1

rs + δCu) (49)

Restator =

1

2πKmf

(1

rs + δCu−

1

rs + δCu + δs) (50)

Restator−ext =

1rs + δCu + δs

Kar

(

2 +0,589 (

carKar

∙g(2(rs + δCu + δs))

3ρar2ΔTβar

μar)1/4

[


)

916

] 4/9

)

π

(51)

PCu =

1

σCu(Js

√2)2

∙π

3[(rs + δCu)

3 − rs3] (52)

PAl =

1

σAl(Jr

√2)2

∙π

3[rr

3 − (rr − δAl)3] (53)

4.3. Comparação numérica das características eletromecânicas da máquina

com camada de cobre dupla e camada única

Combinando os modelos eletromagnético e térmico apresentados anteriormente como

ferramenta base, numa primeira análise pretende-se verificar a variação da característica

eletromecânica da máquina para os seguintes casos:

Caso 0: Consiste em duas camadas de enrolamentos de cobre ortogonais entre si no espaço,

cada uma com 5 mm de espessura (Figura 34.a)). Os resultados já apresentados referem-se

a esta situação e a mesma servirá de base de comparação com os restantes casos;

Caso 1: De modo a garantir os múltiplos graus de liberdade da máquina, continuam a existir

duas ondas viajantes ortogonais, criadas agora por enrolamentos de cobre ocupando apenas

uma camada de 5 mm de espessura (Figura 34.b)). Assim, os enrolamentos responsáveis por

uma das ondas de força magnetomotriz viajante preenchem apenas metade da área do

estator;

Caso 2: Semelhante ao Caso 1 mas com a espessura da camada de cobre aumentada para

10 mm (Figura 34.b));

Caso 3: Caso ideal onde se teria uma camada de cobre contínua (10 mm) capaz de produzir

uma onda de densidade de corrente em qualquer direção, tornando assim possível múltiplos

graus de liberdade com apenas uma camada e utilizando toda a área do estator (Figura 34.c)).

32

Na Figura 34 ilustram-se os casos considerados. O sentido e a direção das correntes serão

abordados adiante nesta tese.

Figura 34 - Ilustração das geometrias comparadas teoricamente: a) Caso 0: camada dupla; b) Caso 1

e 2: camada única; c) Caso 3: camada única ideal.

Numa máquina elétrica, o isolamento do cobre representa normalmente o seu “ponto fraco”,

tendo em conta a sua sensibilidade às altas temperaturas. A deterioração do isolamento provoca curto-

circuitos entre as espiras dos enrolamentos, comprometendo o bom funcionamento da máquina e

encurtando a sua vida útil. As classes de isolamento especificam a temperatura máxima num ponto

quente do enrolamento [14]. Não sendo possível determinar valores locais de temperatura no cobre, é

tipicamente dada uma margem de segurança de 10 °C em relação à sua temperatura média. Para

além desta margem e por forma a assegurar uma longa vida útil da máquina, considera-se ainda uma

margem adicional de 20°C. Assim, para a classe de isolamento NEMA 180 H, popularmente usada em

máquinas elétricas cilíndricas, limita-se a temperatura interna do cobre TCu a 150 °C. Tendo em conta

esta temperatura de referência, pretende-se comparar valores da densidade de corrente permitida no

estator Js, da densidade de corrente induzida no rotor Jr, da densidade de fluxo magnético radial Br, do

binário eletromagnético Tφ e da eficiência da máquina η para os casos descritos anteriormente. Na

Tabela 7 sintetizam-se os valores máximos destas grandezas obtidos para o Caso 0, 1, 2 e 3. Na

Tabela 8 apresentam-se as variações do binário (expressos em relação aos valores para o Caso 0) e

nos gráficos das Figuras 35 - 38 esboçam-se as curvas das grandezas anteriores em função do

escorregamento.

Tabela 7 - Valores das grandezas eletromagnéticas relevantes para os diferentes casos.

𝐓𝐂𝐮 = 𝟏𝟓𝟎 °𝐂 Caso 0 Caso 1 Caso 2 Caso 3

max 𝐉𝐬 [A/m2] 3,51x106 4,02x106 2,83x106 2,00x106

max 𝐉𝐫 [A/m2] 9,07x106 13,96x106 14,54x106 10,28x106

max 𝐁𝐫 [T] 0,062 0,109 0,099 0,070

max 𝐓𝛗 [N.m] 0,195 0,231 0,253 0,253

max 𝛈 [%] 28,72 46,11 41,84 41,87

Tabela 8 - Variação percentual do binário eletromagnético em relação ao Caso 0.

a) Caso 0 b) Caso 1 e 2 c) Caso 3

33

Caso 1 18,46 %

Caso 2 29,74 %

Caso 3 29,74 %

Figura 35 - Comparação da densidade de corrente induzida no rotor em função do escorragamento

para os 4 casos enunciados.

Figura 36 - Comparação da densidade de fluxo magnético radial em função do escorragamento para

os 4 casos enunciados.

34

Figura 37 - Comparação do binário eletromagnético em função do escorragamento para os 4 casos

enunciados. Os casos 2 e 3 resultam em curvas coincidentes, pelo que apenas são visíveis as

curvas relativas ao caso 3.

Figura 38 - Comparação da eficiência em função do escorragamento para os 4 casos enunciados. Os

casos 2 e 3 resultam em curvas coincidentes, pelo que apenas são visíveis as curvas relativas ao

caso 3.

Das Figuras 35 a 38 e da Tabela 7 conclui-se que:

É preferível uma única camada de cobre em lugar de duas, como é comprovado pelos valores

mais elevados da densidade de fluxo magnético, do binário eletromagnético e da eficiência

para todos os casos de camada de cobre única;

O caso 1 permite o mais elevado valor de densidade de corrente imposta no cobre. Isto

deve-se à menor dissipação de calor para determinada densidade de corrente, a qual se

encontra, neste caso, concentrada num menor volume de cobre;

O caso 1 tem também o valor de eficiência mais elevado e apresenta o melhor desempenho

nas restantes grandezas para alguns valores de escorregamento;

35

O aumento da espessura das camadas de cobre reduz o valor da densidade do fluxo

magnético radial, como se comprova comparando os casos 2 e 3 com o caso 1 na Tabela 7.

Este facto deve-se ao aumento da região de baixa permeabilidade magnética resultando num

entreferro equivalente maior.

Sabe-se então que o desempenho da máquina melhora em todos os aspetos para o caso em

que se tem apenas uma camada de cobre. Pretende-se de seguida obter a melhor configuração desta

camada de cobre de modo a otimizar as características eletromagnéticas e térmicas da máquina. Para

tal, recorreu-se a simulações usando o método de elementos finitos (Finite Element Analysis, ou FEA).

36

37

5. Simulações FEA planares

Dada a geometria complexa da máquina, é necessária a simulação da mesma em três

dimensões. Devido à utilização intensiva de recursos computacionais que estas simulações exigem,

optou-se por analisar, numa primeira etapa deste trabalho, geometrias planares e não esféricas. Estas

geometrias menos complexas permitem a análise de várias configurações sem que o tempo de

execução de cada simulação seja um facto limitativo.

5.1. Descrição das geometrias planares analisadas

A configuração planar da máquina encontra-se esquematizada na Figura 39 e os seus

parâmetros listados na Tabela 9. Pode-se interpretar esta configuração como uma planificação do

estator e do rotor da máquina de indução esférica. Realizou-se uma simulação com duas camadas de

enrolamentos ortogonais (Figura 39 e Figura 40 a) e b)) como termo de comparação para as restantes

quatro geometrias (Figura 40, c) a f)).

Figura 39 - Configuração utilizada nas simulações FEA planares. a) Plano transversal; b) Vista geral

em 3D.

Tabela 9 - Parâmetros da máquina usados nas simulações FEA planares.

Espessura do rotor δr 5 [mm]



Espessura de cada enrolamento de cobre δCu 5 [mm] (2 camadas)

10 [mm] (1 camada)




a)

b)

z

x

z

x

y

y

38

Figura 40 - Diferentes geometrias das camadas de cobre e esquema das correntes aplicadas: a, b)

correntes aplicadas na camada inferior e superior da Figura 39, respetivamente; c, d, e, f) geometria

e correntes aplicadas nas configurações denominadas “Duo”; “Quad”, “Star” e “Diamond”,

respetivamente.

Fmmx

a) b)

c) d)

f) e)

Fmmy

39

A onda de força magnetomotriz viajante produzida é perpendicular à direção das correntes

aplicadas. No caso das Figuras 39, 40.a) e 40.b) as duas camada de cobre produzem ondas de força

magnetomotriz viajantes em sentidos perpendiculares entre si, resultando na indução de correntes na

placa de alumínio que permitem a produção de uma densidade de força eletromagnética em qualquer

direção desejada. Semelhante fenómeno acontece nas restantes configurações denominadas “Duo”;

“Quad”, “Star” e “Diamond”, com a particularidade de que cada onda viajante é produzida a partir de

metade do volume da única camada de cobre existente.

Na configuração “Duo”, os condutores de cobre são assimétricos. Este facto faz com que uma

das ondas viajantes percorra toda a distância do estator num período, ao passo que a outra apenas

percorre metade. Nesta última, acabamos por ter o equivalente a dois pares de pólos, pelo que, a

frequência das correntes nestes condutores é o dobro que nos restantes condutores.

Na configuração “Quad”, o propósito é tornar simétrico o sistema de condutores simétrico. De

notar que neste caso existem dois pares de pólos para cada onda viajante. A frequência das correntes

é, também neste caso, o dobro da frequência usada nos nas configurações “Star” e “Diamond”.

Mantendo a simetria, conceptualizaram-se ainda as configurações “Star” e “Diamond”. Estas

são ambas simétricas do ponto de vista de produção de força magnetomotriz. Adicionalmente, a

configuração “Diamond” é também simétrica no que toca ao volume ocupado pelos condutores de

cobre. Quer isto dizer que todos os condutores responsáveis pela criação de uma onda viajante numa

dada direção têm o mesmo volume de cobre.

5.2. Resultados

Para todos os casos enunciados realizou-se uma simulação 3D e foram obtidos os valores da

densidade de corrente induzida, do campo magnético e da força eletromagnética total produzida no

volume de alumínio ao longo de um período para os seguintes casos: onda de FMM viajante na direção

x, onda FMM na direção y e para ambas as ondas FMM ativas. Calcularam-se os valores médios de

modo a facilitar a comparação entre as diversas configurações. Os dados encontram-se na Tabela 10.

Tabela 10 - Resultados das simulações FEA planares.

Camada dupla “Duo” “Quad” “Star” “Diamond”

Densidade de corrente

média induzida

𝐉𝐫 [A/m2]

1,23x106 1,53x106 9,21x105 1,76x106 2,53x106

Densidade de fluxo

magnético médio 𝐁 [T] 1,46x10-2 1,51x10-2 1,13x10-2 1,12x10-2 1,40x10-2

Força na direção x

𝐅𝐱 [N] 0,133 0,100 0,038 0,053 0,184

Força na direção y

𝐅𝐲 [N] 0,148 0,180 0,038 0,051 0,184

Força total 𝐅𝐓 [N] 0,192 0,188 0,062 0,062 0,260

𝐅𝐓 − 𝐅𝐓𝐝𝐮𝐩𝐥𝐚

𝐅𝐓𝐝𝐮𝐩𝐥𝐚∙ 𝟏𝟎𝟎 0 % -2,08 % -67,71 % -67,71 % 35,42 %

40

É possível constatar pela Tabela 10 que a configuração “Diamond” apresenta os melhores

resultados. Os baixos valores para a força na geometria “Quad” são de esperar devido ao aumento do

número de par de pólo. No caso “Duo”, verificamos que a onda viajante no eixo “y” é predominante.

Isto deve-se ao facto de no eixo “x” a onda viajante percorrer apenas metade do comprimento do

estator pelo que o aumento de frequência para compensar este facto acaba por tornar o seu

comportamento altamente assimétrico.

De modo a perceber a razão do baixo desempenho da configuração “Star” em comparação

com a “Diamond”, analisamos em seguida as propriedades eletromagnéticas em maior detalhe para

cada uma das configurações.

Esboça-se o módulo da densidade de corrente e o módulo da densidade de fluxo magnético

num corte transversal do alumínio, em quatro instantes numa metade de período5 (Figuras 41 - 43).

Desta forma, é possível visualizar a onda de FMM viajante e observar a densidade de força

eletromagnética em vários instantes. Note-se que a produção de força no caso “Star” é na direção Este

e no caso “Diamond” é na direção Nordeste.

Figura 41 - Módulo da densidade de corrente induzida num corte transversal do alumínio para quatro


baixo).

5 Uma vez que se mostram valores do módulo das grandezas indicadas, e sendo ambas as geometrias simétricas, as imagens para a segunda metade do período são semelhantes às esboçadas.

[A/m2]

[A/m2]

41

Figura 42 - Módulo da densidade de fluxo magnético num corte transversal do alumínio para quatro


baixo).

Figura 43 – Densidade de força eletromagnética produzida num corte transversal do alumínio para

quatro instantes ao longo de metade de um período, para a configuração “Star” (em cima) e

“Diamond” (em baixo).

[T]

[T]

42

É possível observar que o caso “Diamond” apresenta valores de pico de corrente induzida e

do campo magnético mais altos que o caso “Star”. Isto significa que a onda viajante no caso “Star” é

menos eficiente na produção de força útil.

Note-se que na Figura 43 as escalas usadas para a densidade de força eletromagnética

produzida são iguais, de modo a ser possível uma rápida comparação visual. Facilmente se verifica

que a produção de força útil (zonas de cores mais quentes) no caso “Diamond” é mais pronunciado do

que no caso “Star”. Uma vez que a densidade de corrente no estator e o volume de cobre usado nas

duas geometrias é o mesmo, conclui-se que a eficiência na produção de força é maior no caso

“Diamond”, resultante de uma maior eficiência na geração da onda de FMM viajante.

Por fim, chama-se a atenção para o facto de que, embora estas comparações nos permitam

perceber qual a melhor geometria planar e porquê, estes resultados não podem ser extrapolados para

geometrias esféricas. Assim, é necessária a realização de um estudo de simulações com uma

geometria da máquina esférica e não planar, como será apresentado nos próximos capítulos.

43

44

6. Protótipo planar: resultados experimentais

De modo validar os resultados obtidos no capítulo anterior, construiu-se um protótipo planar

do sistema de excitação. A comparação de dados obtidos experimentalmente com valores teóricos e

numéricos dar-nos-á uma indicação da “qualidade” dos modelos até aqui desenvolvidos. Para tal,

procedeu-se à elaboração de um protótipo planar. A elaboração de um protótipo planar ajuda também

a entender algumas limitações construtivas da máquina não antevistas durante o processo de análise

teórica. Neste contexto todo o processo de construção do protótipo será descrito a seguidamente.

6.1. Descrição do processo construtivo

Uma vez que a configuração “Diamond” planar foi a que apresentou melhores resultados, a

geometria do protótipo é baseada nesta. A Figura 44 ilustra simplificadamente a composição final da

máquina.

Figura 44 - Esquema do protótipo planar construído. a) Estator com os enrolamentos de cobre

dispostos segundo a geometria "Diamond" planar e com as duas fases [Ax/-Ax] e [Bx/-Bx] da direção

“x” indicadas; b) Vista de topo; c) Vista lateral. Dimensões em milímetros.

a)

b) c)

𝐴𝑥 −𝐴𝑥 −𝐵𝑥 −𝐵𝑥

45

O estator é segmentado em quatro secções quadradas. Esta segmentação é necessária para

possibilitar o enrolamento das bobinas de cobre à volta do estator. Estas quatro secções alojam oito

enrolamentos no total, e cada conjunto de quatro enrolamentos é responsável pela produção de força

numa direção (x ou y). Estes são ligados de forma a criar um sistema de duas fases sinusoidais em

quadratura entre si. Como rotor é usada uma chapa de alumínio de 2 milímetros de espessura em

conjunto com uma camada de 1 milímetro de pequenas chapas de ferro de silício por cima para fechar

o circuito magnético.

As bobinas de cobre apresentam uma geometria que dificulta o seu enrolamento. Com o

objetivo de obter bobinas com números de espiras e dimensões semelhantes construiu-se um molde

no qual se constringe a espessura dos enrolamentos. Uma fotografia deste molde apresenta-se na

Figura 45.

Foi medida a resistência das bobinas para assegurar um número de espiras sensivelmente

igual para todas as bobinas. A contagem do número de espiras individualmente durante o processo de

enrolamento revelou-se inviável, requerendo muita concentração e paciência. Optou-se então por

estimar o número de espiras através da resistência total de cada enrolamento e da área preenchida.

Figura 45 - Molde usado para enrolamento das bobinas de cobre (à esquerda); bobina no molde

pronta a ser retirada (à direita).

O enrolamento é retirado do molde apresentando a forma da Figura 46, à esquerda.

Seguidamente, duas destas bobinas são pressionadas à volta de um segmento do estator de material

ferromagnético. Este segmento de 5 milímetros de espessura é constituído por chapas de meio

milímetro de ferro de silício e é envolto em fita isolante para evitar curto-circuitos. São atados fios na

parte superior e inferior entre os dois enrolamentos de modo a exercer tensão nas bobinas e fixar a

sua posição (Figura 46 á direita).

46

Figura 46 - Bobina retirada do molde e pronta a ser unida com o resto do estator (à esquerda); uma

das quatro peças do estator completas (à direita).

O processo é repetido quatro vezes até obtermos o estator completo semelhante ao que se

ilustrou na Figura 44. Colocam-se rolamentos na periferia e no centro do estator para suportar o rotor

e possibilitar o seu deslocamento com o mínimo de fricção. As ligações elétricas responsáveis pela

correta polaridade das correntes são feitas por baixo da base de suporte de madeira onde todo o

protótipo assenta. Na Figura 47 apresentam-se fotografias do estator com capacidade para produzir

força numa direção assim como para ambas as direções. Na Figura 48 mostra-se o sistema pronto

para análise experimental.

Figura 47 - Estator operacional para uma direção da onda viajante (à esquerda); estator completo

para ambas as direções (à direita).

47

Figura 48 - Protótipo planar usado na recolha de dados experimentais.

6.2. Resultados experimentais

Foram retirados valores do campo magnético na superfície das bobinas, ao longo da direção

da onda viajante e comparados com a simulação FEA. Foram também retirados valores da força

exercida pelo rotor nas várias direções. A obtenção dos valores do fluxo magnético, quer experimentais

quer simulados, foi feita sem o rotor presente, de modo a eliminar uma fonte de erro e facilitar o

processo de recolha de dados. Os resultados encontram-se na Figura 49 e na Tabela 11.

Figura 49 - Comparação entre os valores da densidade de fluxo magnético das simulações FEA e

dos resultados experimentais.

48

Tabela 11 - Comparação entre os valores das forças produzidas das simulações FEA e dos

resultados experimentais.

Valor experimental [N] Simulação FEA Erro [%]

Força direção x 0,822 0,901 8,82

Força direção y 0,826 0,907 9,00

Força total 1,165 1,279 8,91

Analisando o gráfico acima, observa-se que os valores experimentais, de uma forma geral,

estão de acordo com os resultados retirados das simulações FEA. Comparando os valores das forças,

obtêm-se erros entre os resultados experimentais e das simulações de quase 9%. Contudo, devem ser

notados os seguintes pontos:

A simulação FEA apresenta a geometria usada no protótipo mas não é indicativa da qualidade

de construção da mesma. A construção do protótipo, nomeadamente o enrolamento das

bobinas, é um processo manual longe de ideal, pelo que, é de esperar alguma ineficiência;

O rotor do protótipo encontra-se sobre o estator, suportado por cinco rolamentos que permitem

o seu deslocamento para medição das forças. Nas simulações FEA, o rotor encontra-se

simplesmente suspenso acima do estator, sem qualquer contacto com este ou qualquer outra

estrutura;

Existem, adicionalmente, causas de erro como a diminuição da corrente ao longo da recolha

de dados6 (mitigado pela realização de vários ensaios em vários instantes com intervalos de

tempo entre si), o erro na estimação do número de espiras, a imprecisão na recolha manual

dos dados7 e a exatidão dos instrumentos de medida (multímetro, osciloscópio e a

sensibilidade do sensor de Hall).

Tendo em conta estes pontos, os resultados são satisfatórios e validam os dados das

simulações planares feitas até aqui.

6 Esta diminuição resulta do aumento da resistência com a temperatura dos enrolamentos de cobre. 7 Constatou-se durante a recolha de dados que a orientação do sensor de Hall tinha uma enorme influência nos valores lidos.

49

50

7. Simulações FEA esféricas

As simulações FEA em geometrias esféricas oferecem um meio para a validação dos modelos

obtidos até aqui e ajudam na seleção da geometria que proporcionará melhor desempenho.

7.1. Descrição das geometrias esféricas simuladas

As configurações planares “Star” e “Diamond” dão origem às geometrias esféricas ilustradas

na Figura 50. Os parâmetros de cada uma estão expostos na Tabela 12. Como se pode observar, para

as configurações consideradas, as versões esféricas das geometrias consideradas são bastante mais

complexas do que as versões planares. Pretende-se comparar as propriedades eletromagnéticas de

cada uma destas geometrias com o caso em que temos duas camadas de cobre e retirar conclusões.

Figura 50 - Esquema das configurações esféricas e direção das correntes usadas na criação da onda

de FMM viajante; a) duas camadas; b) "Star" esférica; c) "Diamond" esférica.

a) b) c)

51

Tabela 12 - Parâmetros da máquina usados nas simulações FEA esféricas.

Parâmetro Símbolo Unidade Camada dupla “Star” “Diamond”

Espessura do rotor δr mm 5 5 5

Raio externo do rotor rr mm 50 50 50

Espessura do alumínio δAl mm 1 1 1

Espessura do entreferro δentreferro mm 1 1 1

Espessura de cada

enrolamento de cobre δCu mm 2x5 10 10

Espessura do estator δs mm 10 10 10

Densidade de corrente por

enrolamento de cobre Js A/m2 3x106 3x106 3x106

Frequência de sincronismo f Hz 10 10 10

7.2. Características electromagnéticas

Na Tabela 13 encontram-se valores médios do módulo da densidade de corrente induzida no

rotor, da média da densidade de fluxo magnético no alumínio e do binário total produzido.

Tabela 13 - Resultados das simulações FEA esféricas realizadas.

Camada dupla "Star" "Diamond"

|𝐉𝐫| [𝐀/𝐦𝟐] 1,94 x106 3,97 x106 4,04 x106

𝐁𝐫 [𝐓] 3,55 x10-2 5,84 x10-2 5,91 x10-2

𝐓𝛗 [𝐍.𝐦] 3,61 x10-2 6,66 x10-2 6,00 x10-2

Aumento 𝐓𝛗 em

relação à geometria de

camada dupla

0 % 84,49 % 66,21 %

É possível retirar algumas conclusões:

Ambas as geometrias de camada de cobre única têm um desempenho muito superior à de

camada dupla, tal como previsto na análise numérica e na simulação planar “Diamond”;

Embora nas simulações planares a configuração “Diamond” seja superior, nas geometrias

esféricas a configuração “Star” apresenta um desempenho ligeiramente superior8;

Embora a configuração “Diamond” apresente valores médios das correntes induzidas e do

fluxo magnético radial superiores aos da configuração “Star”, esta última apresenta um valor

de binário superior. Uma das razões para este facto tem a ver com a direção das correntes

induzidas9, existindo zonas onde a interação destas com o campo magnético radial não produz

binário eletromagnético na direção desejada;

8 Neste contexto, desempenho é baseado no binário útil produzido. 9 Os valores médios dizem respeito ao módulo da densidade de corrente em qualquer direção e não apenas segundo 𝑢𝜃 .

52

A configuração “Star” apresenta uma grande vantagem: a sua geometria é mais simples do

que a do caso “Diamond” esférico. Do ponto de vista da análise eletromagnética, este facto

não tem importância. No entanto, como veremos nas secções das cavas e da construção de

um protótipo, os enrolamentos de cobre acabam por ser um grave obstáculo à montagem da

máquina, sendo favorecidas soluções com geometrias mais simples.

Por estas razões, a configuração “Star” esférica será analisada em maior detalhe.

7.3. Análise da geometria “Star”

No último capítulo desta tese apresenta-se um esquema onde se ilustram mais

detalhadamente os aspetos construtivos desta geometria da máquina.

Nas Figuras 51 e Figura 52 estão esboçadas a densidade de corrente induzida e a densidade

de fluxo magnético para diferentes instantes ao longo de um período, na superfície do alumínio do

rotor. Na Figura 53 é possível ver as zonas onde o binário eletromagnético é produzido para diferentes

instantes ao longo de um período da onda.

Figura 51 - Densidade de corrente [A/m2] no alumínio a cada oitavo de período da onda viajante.

[A/m2]

53

Figura 52 - Densidade de fluxo magnético [T] no alumínio a cada oitavo de período da onda viajante.

Figura 53 – Densidade de força superficial [N/m2] produzida na superfície do alumínio a cada

oitavo de período da onda viajante.

[T]

[N/m2]

54

Nas imagens anteriores pode-se observar como a onda de FMM viajante é criada.

Deslocando-se de noroeste para sudeste, a onda é criada pela pulsação da corrente no estator. A

interação do campo magnético com as correntes induzidas gera um binário eficaz na direção da onda.

7.4. Comparação dos resultados eletromagnéticos analíticos e FEA

Comparam-se agora os valores médios das propriedades eletromagnéticas obtidos através do

método FEA com os obtidos a partir do modelo analítico. Nas Tabelas 14 e 15 apresentam-se os

resultados para a configuração de camada dupla assim como para a geometria de camada única “Star”.

Esta comparação permitirá avaliar a qualidade dos modelos analíticos elaborados.


máquina esférica de camada dupla.

Camada dupla Modelo numérico Simulação FEA Erro [%]

𝐉𝐫 [𝐀/𝐦𝟐] 1,82 x106 1,94 x106 6,59

𝐁𝐫 [𝐓] 3,35 x10-2 3,55 x10-2 5,97

𝐓𝛗 [𝐍.𝐦] 3,34 x10-2 3,61 x10-2 8,08


máquina esférica de camada única "Star".

Camada única “Star” Modelo numérico Simulação FEA Erro [%]

𝐉𝐫 [𝐀/𝐦𝟐] 3,63 x106 3,97 x106 9,37

𝐁𝐫 [𝐓] 6,71 x10-2 5,84 x10-2 12,91

𝐓𝛗 [𝐍.𝐦] 6,67 x10-2 6,66 x10-2 0,15

Apesar das aproximações adotadas no modelo eletromagnético analítico de camada dupla e

da sua adaptação para camada única, o erro máximo entre os valores médios do modelo numérico e

do método FEA é inferior a 13%, validando o modelo numérico utilizado.

55

7.5 Características térmicas

De modo a validar o modelo térmico analítico, passamos agora para as simulações FEA das

características térmicas da máquina. São analisados os casos de duas camadas e camada única com

rotor bloqueado e com escorregamento (slip) de 10%. Na Tabela 16, apresentam-se os parâmetros da

máquina utilizados.

Tabela 16 - Parâmetros da máquina usados nas simulações FEA térmicas.

Espessura do rotor 𝛅𝐫 5 [mm]

Raio externo do rotor rr 50 [mm]



Espessura de cada enrolamento de

cobre δCu

5 [mm] (2 camadas)

10 [mm] (1 camada)


Densidade de corrente no cobre Js 1,5x106 [A/m2]

3,0x106 [A/m2]



Temperatura ambiente Tamb 20 [°C]

Nas Figuras 54 e 55 apresentam-se as temperaturas em regime permanente da máquina,

assim como o fluxo de calor nas suas diversas camadas. Nas Tabelas 17 e 18 está a comparação dos

resultados numéricos com os das simulações FEA. Os valores de temperatura dizem respeito ao valor

médio na camada considerada.

56

Figura 54 – Ilustrações dos resultados FEA: temperaturas e fluxo de calor para a máquina de duas

camadas de cobre.

Tabela 17 - Comparação dos resultados numéricos e das simulações FEA para a máquina de duas

camadas de cobre.

𝑱𝒔 [A/m2] Modo Modelo numérico Simulação FEA Erro [%]

𝑇𝐶𝑢 [C°] 𝑇𝐴𝑙 [C°] 𝑇𝐶𝑢 [C°] 𝑇𝐴𝑙 [C°] 𝑇C𝑢 𝑇𝐴𝑙

1,5 x 106 Rotor bloqueado 55.62 64.62 55.83 61.29 0.38 5.43

Escorregamento 10% 33.29 35.07 33.38 31.73 0.27 10.53


Escorregamento 10% 64.03 71.23 64.32 57.61 0.45 23.64

a)

Rotor bloqueado

Js=1,5 x 106

b)

Slip = 10%

Js=1,5 x 106

d)

Slip = 10%

Js=3,0 x 106

c)

Rotor bloqueado

Js=3,0 x 106

57

Figura 55 – Ilustrações dos resultados FEA: temperaturas e fluxo de calor para a máquina de

camada de cobre única.

Tabela 18 - Comparação dos resultados numéricos e das simulações FEA para a máquina de

camada de cobre única.

𝑱𝒔 [A/m2] Modo Modelo numérico Simulação FEA Erro [%]

𝑇𝐶𝑢 [C°] 𝑇𝐴𝑙 [C°] 𝑇𝐶𝑢 [C°] 𝑇𝐴𝑙 [C°] 𝑇𝐶𝑢 𝑇𝐴𝑙


Escorregamento 10% 32.87 34.66 32.96 31.58 0.27 9.75


Escorregamento 10% 62.17 69.27 62.46 56.78 0.46 22.00

a) b)

c) d)

Rotor bloqueado

Js=1,5 x 106

Slip = 10%

Js=1,5 x 106

Rotor bloqueado

Js=3,0 x 106

Slip = 10%

Js=3,0 x 106

58

Como foi visto, a configuração de camada única apresenta no geral resultados térmicos piores

do que a configuração de camada dupla, quando aplicada a mesma corrente no estator. Contudo, é

necessário ter em conta que a geometria de camada única gera muito mais potência no alumínio do

rotor. Na Figura 56, apresenta-se o gráfico da temperatura do cobre em função da potência injetada

na máquina. Conclui-se que, embora o motor de duas camadas aparente ter um melhor desempenho

térmico, na realidade, ambas as configurações são muito semelhantes, existindo uma pequena

vantagem da geometria de camada única, quando considerada a temperatura atingida no cobre por

unidade de potência injetada.

Figura 56 - Temperatura média das camadas de cobre em função da potência injetada, para as duas

geometrias da máquina.

Tendo em conta que a configuração de camada única apresenta uma maior eficiência, é claro

o benefício do uso desta geometria, a qual exibe uma menor temperatura por unidade de potência

mecânica produzida, permitindo assim uma maior potência nominal.

Os desvios do modelo numérico em relação ao modelo FEA são muito maiores em relação à

temperatura do alumínio do que à do cobre. Uma das razões para esta discrepância reside no facto de

no modelo numérico assumir-se que o calor percorre sempre uma trajetória radial. Observando as

figuras acima, podemos constatar que se trata de uma boa aproximação no caso do cobre mas que o

fluxo de calor produzido no alumínio tem um comportamento mais complexo, viajando da parte inferior

do rotor, envolta pelo estator, para a parte superior, em contacto com o ambiente.

Apesar deste facto, os resultados são satisfatórios e dão credibilidade ao modelo térmico

numérico, cuja simplicidade permite a simulação de vários cenários diferentes sem requerer um

enorme poder computacional.

59

60

8. Cavas

A utilização de cavas é prática comum em vários tipos de máquinas elétricas. Têm como

função principal o aumento do campo magnético no entreferro de ar. Este redesenhado perfil do

material ferromagnético do estator oferece um caminho mais eficiente para o fluxo magnético,

diminuindo a relutância magnética do circuito. Para além disso, o uso das cavas ajuda também a

acondicionar e fixar os enrolamentos de cobre e promover uma produção de binário mais suave.

Também na máquina de indução esférica é possível a incorporação de cavas na geometria do estator.

Neste capítulo estudam-se os benefícios do uso desta técnica e compara-se a eficácia da sua

aplicação na configuração de duas camadas versus camada única.

8.1. Geometria das cavas para a máquina de camada de cobre dupla

No dimensionamento das cavas, existem duas variáveis a otimizar: a largura das cavas por

fase, em unidades angulares, e o número de cavas por fase. Um aumento da largura total ocupada

pelas cavas resulta numa diminuição do volume total de cobre, e consequentemente, uma diminuição

da corrente total na máquina. Esta diminuição terá também consequências no perfil térmico da

máquina, reduzindo a potência dissipada e alterando ligeiramente os valores das resistências térmicas

do cobre e do estator.

Figura 57 - Vista 3D de metade do estator com cavas em ambas as camadas. As diferentes fases

das camadas inferiores e superiores estão indicadas.

𝐵𝑖𝑛𝑓

−𝐵𝑖𝑛𝑓

−𝐴𝑖𝑛𝑓

𝐴𝑖𝑛𝑓

𝐴𝑠𝑢𝑝 𝐵𝑠𝑢𝑝

61

Figura 58 - Vista 3D de metade do estator com cavas apenas na camada inferior.

Figura 59 - Corte transversal da máquina de camada dupla. Neste caso temos n=2 cavas por fase,

ocupando uma largura de δc.

Na Figura 57 observamos o estator com cavas em ambas as camadas de cobre. Esta

configuração não é benéfica uma vez que devido à disposição ortogonal dos enrolamentos e das suas

𝛿𝑐2

𝛿𝑐4

𝛿𝑐4

62

cavas, estabelecer-se-iam curto-circuitos no circuito magnético. Assim, se a camada inferior estivesse

ativa, as cavas da camada superior acabariam por funcionar como um escudo para o campo

magnético, suprimindo a indução de corrente no rotor. Desta forma, no estator de duas camadas, só é

possível incorporar cavas na camada inferior, como se ilustra na Figura 58. Neste sentido, a geometria

de camada única apresenta uma clara vantagem, uma vez que toda a potencialidade desta técnica

pode ser utilizada. Na Figura 59 apresenta-se um corte da máquina de dupla camada, esquematizando

a forma como se consideram as variáveis.

8.2. Resultados para a máquina de camada dupla

Usando uma ferramenta FEA, calcula-se o binário produzido pela máquina com rotor

bloqueado para vários valores de espessura total de cavas e número de cavas por fase. Analisam-se

combinações com 1, 2, 4, 8 e 12 cavas por fase. Quanto ao ângulo total por fase, existem dois aspetos

que limitam a largura mínima permitida. Primeiramente, para cavas muito finas, existe a possibilidade

de ocorrer saturação do material ferromagnético. Para além disso, as cavas têm também como função

acomodar as camadas de cobre, pelo que, para larguras muito finas, as cavas perdem a sua

integridade estrutural, podendo quebrar sobre tensão dos enrolamentos de cobre. Tendo isto em conta,

escolheu-se a largura mínima de 1° para as cavas. A Tabela 19 sintetiza os resultados obtidos em

percentagem de aumento do binário relativamente ao caso sem cavas.

Tabela 19 - Aumento (em percentagem) do binário da máquina de camada dupla para as várias

configurações das cavas em relação ao caso sem cavas.

n

δc

1 cava/fase 2 cavas/fase 4 cavas/fase 8 cavas/fase 12 cavas/fase

1° 15,47 % - - - -

2° 13,35 % 15,95 % - - -

3° 10,69 % 12,30 % 20,35 % - -

4° 7,85 % 8,65 % 15,92 % 24,14 % -

5° 4,79 % 4,63 % 11,32 % 18,84 % 22,03 %

Conclui-se que quanto menor for a largura das cavas maior será o aumento do binário e que,

para determinada largura, um maior número de cavas por fase move o resultado no mesmo sentido.

Da tabela acima observa-se que a configuração de cavas ótima são 8 cavas por fase com 4° de largura

no total.

8.3. Geometria das cavas para a máquina de camada de cobre única

Analisemos agora a geometria de camada de cobre única. Na Figura 60 apresenta-se a

configuração “Star” da máquina com cavas. Para além das vantagens já apresentadas para esta

configuração, a geometria relativamente simples das cavas em relação à configuração “Diamond” é

mais um ponto a favor da geometria “Star”.

63

Figura 60 – Vista 3D de metade do estator da máquina de camada de cobre única "Star" com

indicação das fases para cada direção.

Na Figura 61 apresenta-se um corte da máquina de camada de cobre única, esquematizando

a forma como se consideram as variáveis.

Figura 61 - Corte transversal da máquina de camada única. Neste caso temos n=2 cavas por fase,

ocupando uma largura de δc.

𝐴𝑥

𝐴𝑦

𝐵𝑦

𝐵𝑥

𝛿𝑐2

𝛿𝑐4

𝛿𝑐4

Fase B

64

8.4. Resultados para a máquina de camada única

Para as mesmas combinações da Tabela 19, apresentam-se os valores de aumento de binário

para a máquina de camada única na Tabela 20.

Tabela 20 - Aumento (em percentagem) do binário da máquina de camada única para as várias

configurações das cavas em relação ao caso sem cavas.

n

δc


1° 73,26 % - - - -

2° 74,28 % 85,25 % - - -

3° 72,21 % 82,54 % 103,11 % - -

4° 69,12 % 78,85 % 96,53 % 108,90 % -

5° 68,10 % 74,26 % 88,11 % 98,99 % 102,83 %

Como esperado, o uso de cavas é extremamente mais eficaz na máquina de camada única do

que na máquina de camada dupla, tratando-se de um aumento no binário de 108,90% versus 24,14%,

respetivamente. A configuração ótima ocorre novamente para 8 cavas por fase com 4° de largura no

total.

8.5. Efeitos térmicos

O uso de cavas reduz o volume total dos enrolamentos do cobre. Assumindo a mesma

densidade de corrente, há uma redução nas perdas do cobre, o que tem consequências no perfil

térmico da máquina. Recorrendo ao FEA e ignorando a contribuição da potência de Joule no alumínio,

calculam-se as temperaturas da máquina. Na Tabela 21 apresenta-se a variação da temperatura média

do cobre devida ao uso das cavas para diferentes valores de largura total das cavas por fase 𝛿𝑐10.

Tabela 21 - Variação da temperatura média do cobre em regime permanente para δc=1°, 2°, 3°, 4° e 5°

em relação ao caso sem cavas, para geometrias de camada dupla e única.

δc Camada dupla Camada única

1° -0,86 % -1,64 %

2° -1,72 % -3,29 %

3° -2,58 % -4,93 %

4° -3,44 % -6,58 %

5° -4,29 % -8,22 %

Conclui-se que o uso das cavas na máquina de camada de cobre única apresenta resultados

térmicos mais favoráveis quando comparados com a geometria de camada dupla. Esta conclusão é

10 Neste caso, o número de cavas por fase não tem influência nos resultados uma vez que o volume de cobre substituído por material ferromagnético só depende do parâmetro 𝛿𝐶.

65

expectável uma vez que num caso apenas metade do volume de cobre total é afetado pela inserção

de cavas ao passo que no outro caso as cavas englobam todo o volume de cobre.

8.6. Adaptação do modelo analítico eletromagnético à máquina com cavas

Constatando que o uso das cavas tem um grande impacto nas características da máquina, é

interessante explorar a sua implementação no modelo analítico já elaborado. Para tal, lembramos que

se definia um entreferro equivalente constituído pelas camadas de baixa permeabilidade magnética da

máquina. Efetivamente, as cavas melhoram a ligação magnética entre o estator e o rotor. É então

possível definir um fator 𝑘𝑠 que traduz esta melhoria afectando o valor do entreferro equivalente

(Equações 54 e 55).

𝐶𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑢𝑝𝑙𝑎: 𝛿𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑟𝑜𝑒𝑞 = (𝛿𝐴𝑙 + 𝛿𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑟𝑜 + 2𝛿𝐶𝑢) × 𝑘𝑠 (54)

𝐶𝑎𝑚𝑑𝑎 ú𝑛𝑖𝑐𝑎: 𝛿𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑟𝑜𝑒𝑞 = (𝛿𝐴𝑙 + 𝛿𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑟𝑜 + 𝛿𝐶𝑢) × 𝑘𝑠 (55)

Este fator pode ser obtido através dos dados FEA das Tabelas 19 e 20 para as configurações

de cavas estudadas e os seus valores apresentam-se nas Tabelas 22 e 23.

Tabela 22 - Fator ks para a máquina de camada dupla para várias configurações de cavas.

n

δc


1° 0,8358 - - - -

2° 0,8569 0.8308 - - -

3° 0,8829 0.8669 0.7908 - -

4° 0.9129 0.9039 0.8318 0.7578 -

5° 0.9459 0.9479 0.8769 0.8038 0.7758

Tabela 23 - Fator ks para a máquina de camada única para várias configurações de cavas.

n

δc


1° 0.4925 - - - -

2° 0.4885 0.4535 - - -

3° 0.4965 0.4615 0.4044 - -

4° 0.5075 0.4735 0.4214 0.3914 -

5° 0.5115 0.4885 0.4444 0.4144 0.4054

Na Figura 62 temos curvas do binário para as máquinas de camada de cobre dupla e única

nos casos sem e com cavas, obtidas a partir do modelo analítico eletromagnético adaptado.

66

Figura 62 - Curvas do binário eletromagnético total para geometrias da máquina de camada de cobre

dupla e única, com e sem cavas.

8.7. Adaptação do modelo analítico térmico à máquina com cavas

Também o modelo térmico pode ser alterado para incluir o uso de cavas na máquina. Neste

caso, o principal efeito das cavas está na redução do volume de cobre na máquina e,

consequentemente, na redução da corrente total na máquina e das perdas no cobre. Na Equação 56

expressa-se a diminuição do volume de cobre em função da espessura total das cavas por fase 𝛿𝑐 e

do número de par de pólos 𝑘, para uma camada de cobre.

𝑉′𝐶𝑢 = (1 − 𝑥)𝑉𝐶𝑢 𝑥 =

𝛿𝑐𝜋2𝑘

(56)

Desta forma, podemos redefinir as espessuras das camadas de cobre e do estator de maneira

a obtermos espessuras de camadas equivalentes, garantindo o mesmo raio externo da máquina. Esta

redefinição é feita, para a máquina de camada dupla, da forma expressa nas Equações 57 e 58, e,

para a máquina de camada única, nas Equações 57 e 59.

{

𝑟𝑒𝑥𝑡 = 𝑟𝑠 + 2𝛿𝐶𝑢 + 𝛿𝑠𝑟𝑒𝑥𝑡 = 𝑟𝑠 + 𝛿𝐶𝑢 + 𝛿′𝐶𝑢 + 𝛿′𝑠

⟺ 𝛿′𝑠 = 𝛿𝑠 + 𝛿𝐶𝑢 − 𝛿′𝐶𝑢 (57)

67

2𝜋

3[(𝑟𝑠 + 𝛿𝐶𝑢 + 𝛿′𝐶𝑢)

3 − (𝑟𝑠 + 𝛿𝐶𝑢)3 ] =

2𝜋

3(1 − 𝑥)[(𝑟𝑠 + 2𝛿𝐶𝑢)

3 − (𝑟𝑠 + 𝛿𝐶𝑢)3]

⇔ 𝛿′𝐶𝑢𝑑𝑢𝑝𝑙𝑎 = √(1 − 𝑥)(𝑟𝑠 + 2𝛿𝐶𝑢)3 − 𝑥(𝑟𝑠 + 𝛿𝐶𝑢)

33− 𝑟𝑠 − 𝛿𝐶𝑢

(58)

2𝜋

3[(𝑟𝑠 + 𝛿′𝐶𝑢)

3 − 𝑟𝑠3 ] =

2𝜋

3(1 − 𝑥)[(𝑟𝑠 + 𝛿𝐶𝑢)

3 − 𝑟𝑠3]

⇔ 𝛿′𝐶𝑢ú𝑛𝑖𝑐𝑎 = √(1 − 𝑥)(𝑟𝑠 + 𝛿𝐶𝑢)3 − 𝑥𝑟𝑠

33− 𝑟𝑠

(59)

As resistências térmicas das camadas afetadas podem então ser reformuladas conforme as

Equações 60 - 63, tendo em conta as espessuras equivalentes 𝛿′𝐶𝑢𝑑𝑢𝑝𝑙𝑎 , 𝛿′𝐶𝑢ú𝑛𝑖𝑐𝑎

e 𝛿′𝑠.

𝑅′𝐶𝑢𝑑𝑢𝑝𝑙𝑎 =

1

2𝜋𝐾𝐶𝑢(

1

𝑟𝑠+𝛿𝐶𝑢−

1

𝑟𝑠 + 𝛿𝐶𝑢 + 𝛿′𝐶𝑢𝑑𝑢𝑝𝑙𝑎) (60)

𝑅′C𝑢ú𝑛𝑖𝑐𝑎 =

1

2𝜋𝐾𝐶𝑢(1

𝑟𝑠−

1

𝑟𝑠 + 𝛿′𝐶𝑢ú𝑛𝑖𝑐𝑎) (61)

𝑅′𝑒𝑠𝑡𝑎𝑡𝑜𝑟𝑑𝑢𝑝𝑙𝑎 =

1

2𝜋𝐾𝑚𝑓

(1

𝑟𝑠 + 𝛿𝐶𝑢 + 𝛿′𝐶𝑢𝑑𝑢𝑝𝑙𝑎−

1

𝑟𝑠 + 𝛿𝐶𝑢 + 𝛿′𝐶𝑢𝑑𝑢𝑝𝑙𝑎 + 𝛿′𝑠) (62)

𝑅′𝑒𝑠𝑡𝑎𝑡𝑜𝑟ú𝑛𝑖𝑐𝑎 =

1

2𝜋𝐾𝑚𝑓

(1

𝑟𝑠 + 𝛿′𝐶𝑢ú𝑛𝑖𝑐𝑎−

1

𝑟𝑠 + 𝛿′𝑠) (63)

As potências de Joule para as máquinas de camada dupla e única tomam a forma das

Equações 64 e 65, respetivamente.

{

𝑃′𝐶𝑢1 =

1

𝜎𝐶𝑢(𝐽𝑠

√2)2

∙2𝜋

3[(𝑟𝑠 + 𝛿𝐶𝑢)

3 − 𝑟𝑠3]

𝑃′𝐶𝑢2 =1


√2)2

∙2𝜋

3[(𝑟𝑠 + 𝛿𝐶𝑢 + 𝛿′𝐶𝑢𝑑𝑢𝑝𝑙𝑎)

3

− (𝑟𝑠 + 𝛿𝐶𝑢)3]

(64)

𝑃′𝐶𝑢 =

1


√2)2

∙𝜋

3[(𝑟𝑠 + 𝛿′𝐶𝑢ú𝑛𝑖𝑐𝑎)

3− 𝑟𝑠

3] (65)

Na Tabela 24 apresentam-se os resultados do modelo térmico com cavas e a comparação

com as simulações FEA.

Tabela 24 - Variação de temperatura do modelo térmico com cavas em relação ao caso sem cavas e

a sua comparação com os dados FEA da Tabela 21.

δc Camada dupla Desvio FEA Camada única Desvio FEA

1° -0,77 % 0,09 % -1,52 % 0,13 %

2° -1,56 % 0,16 % -3,08 % 0,21 %

3° -2,35 % 0,22 % -4,69 % 0,24 %

4° -3,16 % 0,27 % -6,35 % 0,22 %

5° -3,99 % 0,31 % -8,07 % 0,15 %

Como se pode observar, os resultados numéricos com cavas apresentam um desvio máximo

de 0,31% em relação aos resultados FEA obtidos, validando as alterações ao modelo térmico com

cavas.

68

69

9. Protótipo esférico

A análise de um protótipo esférico permite verificar o funcionamento da máquina, recolher

dados experimentais e perceber aspetos construtivos importantes. A comparação dos dados

recolhidos servirá como base para a avaliação da exatidão dos modelos até aqui desenvolvidos. Este

protótipo baseia-se no modelo da máquina de camada de cobre dupla.

9.1. Descrição do processo construtivo

A geometria esférica da máquina apresenta problemas no uso de ferro de silício como material

ferromagnético de escolha. Este material é anisotrópico, apresentando propriedades diferentes

consoante a direção do campo magnético nele aplicado e dando origem a zonas onde existem perdas

consideráveis no ferro. Estas perdas por correntes de Foucault são máximas nas zonas onde o campo

magnético é perpendicular à direção das lâminas de ferro de silício. Ora, devido à geometria da

máquina, existem sempre zonas onde esta situação ocorre, qualquer que seja a orientação das

laminações de ferro de silício. As Figuras 63 e 64 mostram este facto, ilustrando as laminações de

ferro e as linhas do campo magnético na máquina.

Figura 63 - Estator e rotor da máquina construídos com laminações dispostas na vertical. Estão


laminações (a tracejado).

z

70

Figura 64 - Estator e rotor da máquina construídos com laminações dispostas na horizontal. Estão


laminações (a tracejado).

De modo a combater este problema, os componentes ferromagnéticos do protótipo são feitos

de um material compósito magnético macio. O material utilizado, designado 3P SOMALOY®

desenvolvido pela empresa Hӧganӓs AB, cujas propriedades se encontram na Tabela 25 [15], é feito

de material magnético em pó consolidado numa resina isolante. Tem-se assim todas as características

necessárias para a máquina esférica: isotropia, alta permeabilidade magnética, alto valor de saturação

magnética e baixa condutividade elétrica, evidenciada pelo baixo valor das perdas. Embora não

apresente um valor de permeabilidade magnética tão alto como o ferro de silício, este facto terá um

impacto mínimo, uma vez que o entreferro equivalente, constituído por materiais de baixa

permeabilidade da máquina, é relativamente largo, apresentando uma relutância magnética muito

superior ao resto do circuito magnético.

Tabela 25 - Propriedades do material ferromagnético 3P SOMALOY®, usado no protótipo.

Saturação magnética 1.8T

Permeabilidade magnética

relativa máxima 850

Perdas para B=1T e f=50Hz 5 W/kg

Densidade 7630 kg/m3

z

71

As dimensões da máquina foram impostas pelas opções de geometria na compra deste

material, o qual está disponível em blocos cilíndricos de dimensões 120 x 20 mm e 80 x 40 mm

(diâmetro x espessura). Uma amostra deste material é apresentada na Figura 65.

Figura 65 - Bloco cilíndrico do material 3P SOMALOY® com 120mm de diâmetro e 20mm de

espessura.

O estator é constituído por três blocos com 120 mm de diâmetro. Estes foram colados e

posteriormente desbastados de forma a criar uma semiesfera de raio 55mm na sua superfície superior.

O rotor é constituído por dois blocos de 80mm de diâmetro. Cada um dos blocos foi desbastado até se

obterem semiesferas com 5mm de espessura. Estas foram coladas de forma a obter uma esfera oca.

Seguidamente, desbastaram-se duas semiesferas de alumínio com 2 mm de espessura e coladas para

criar a camada condutora do rotor. Nas Figuras 66 e 67 apresentam-se ilustrações do protótipo e nas

Figuras 68 e 69 é possível observar fotografias do estator e do rotor, respetivamente.

Figura 66 - Vista geral do protótipo da máquina esférica.

Soft magnetic material(rotor)

Aluminium(rotor)

Soft magnetic material(stator)

Material magnético

do rotor

Camada condutora

de alumínio do rotor

Material magnético

do estator

72

Figura 67 - Esquema do protótipo da máquina esférica com dimensões em milímetros.

Figura 68 - Fotografia do estator do protótipo da máquina esférica.

73

Figura 69 - Fotografias do rotor da máquina esférica. Metade do rotor, com a camada de material

ferromagnético e camada condutora visíveis (à esquerda) e rotor finalizado (à direita).

Devido à complexidade construtiva associada à configuração baseada na geometria de

camada de cobre dupla, instalou-se, numa primeira fase, apenas uma camada de enrolamentos na

máquina. Esta camada é constituída por duas fases, à semelhança do protótipo planar. Na Figura 70,

encontra-se esquematizada a distribuição dos enrolamentos na máquina.

Figura 70 - Esquema dos enrolamentos de cobre indicando as duas fases [A/-A] e [B/-B].

Os enrolamentos do fio de cobre foram feitos numa base planar e posteriormente moldados

ao formato esférico do estator até terem tomado a forma desejada. Na Figura 71 observa-se o estator

com ambas as bobinas responsáveis pelas fases [A/-A] e [B/-B] já instaladas no estator.

−𝐴

−𝐴 −𝐵

−𝐵

74

Figura 71 - Bobinas de fio de cobre instaladas no estator.

De modo a fixar as bobinas no seu lugar foi colocada sobre elas uma estrutura de plástico

sobre as mesmas. Também nesta estrutura foram instalados cinco rolamentos (Figura 72) de modo a

oferecer um suporte de baixo atrito ao rotor. O protótipo preparado para teste e recolha de dados

experimentais tomou então a forma final da Figura 73.

Figura 72 - Fotografia do suporte de plástico onde assenta o rotor da máquina.

Suporte de

plástico Rolamentos

75

Figura 73 - Fotografia do protótipo da máquina esférica usado para teste e recolha de dados

experimentais.

9.2. Resultados experimentais

Foram recolhidos valores experimentais da densidade de fluxo magnético no entreferro de ar

recorrendo a um sensor de efeito de Hall semelhante ao usado no protótipo planar. Para a recolha de

valores do binário eletromagnético produzido usou-se um gerador de corrente contínua ligado a uma

carga resistiva de modo possibilitar a leitura para diferentes velocidades do rotor. A montagem

experimental utilizada encontra-se representada na Figura 74.

Figura 74 - Montagem experimental usada na recolha de dados experimentais do protótipo da

máquina esférica. a) gerador de corrente contínua auxiliar; b) reóstato.

Na Tabela 26 estão sintetizadas as características da máquina e as condições usadas na

recolha dos dados experimentais.

76

Tabela 26 - Características e condições de teste do protótipo da máquina esférica.

Espessura do rotor 5 [mm]

Raio externo do rotor 42 [mm]

Espessura do alumínio 2 [mm]

Espessura do entreferro 5 [mm]

Espessura camada de cobre 5 [mm]

Densidade de corrente no cobre 3x106 [A/m2]

Frequência de sincronismo 50 [Hz]

Retiraram-se valores da densidade de fluxo magnético radial ao longo da superfície do rotor.

Foram realizados três ensaios de modo a obter dados consistentes e, na Figura 75, estes são

comparados com os resultados obtidos da simulação 3D esférica. Na Figura 76 temos o gráfico do

binário eletromagnético produzido para vários valores da corrente na máquina.

Figura 75 - Comparação entre os valores de densidade de fluxo magnético obtidos

experimentalmente e através do método FEA.

Figura 76 - Comparação dos valores de binário eletromagnético obtidos experimentalmente e através

do modelo numérico para várias correntes de entrada.

77

Como se pode observar na Figura 75, existe uma boa concordância entre os resultados

experimentais e os resultados obtidos pela simulação esférica. Também no caso do binário, os

resultados experimentais são consistentes com os que se obtêm a partir do modelo numérico.

9.3. Protótipo esférico da geometria “Star”

Infelizmente, não foi possível desenvolver um protótipo da configuração “Star” da máquina de

camada de cobre única. Esta geometria é a que apresenta maior potencial para o aumento do binário

e da eficiência. Assim, conceptualiza-se a construção deste protótipo para que as suas limitações

construtivas possam ser mais bem compreendidas em trabalhos futuros.

De forma semelhante ao que aconteceu com o protótipo planar elaborado, o estator desta

geometria tem que ser fragmentado em quatro partes idênticas de modo a acomodar as bobinas de

cobre à sua volta. Na Figura 77 encontra-se um esquema do estator desta geometria.

Figura 77 - Esquema do estator do protótipo "Star" esférico.

Observa-se que este esquema apresenta algumas características muito diferentes do

esquema apresentado na Figura 50. Resta saber o impacto destas diferenças no perfil eletromagnético

da máquina. Note-se que também no caso do protótipo da máquina de camada dupla existem

diferenças em relação ao seu esquema ideal.

78

79

10. Conclusões e desenvolvimentos futuros

Os objetivos da caracterização e otimização da máquina de indução esférica foram atingidos.

Foi desenvolvido um modelo analítico eletromagnético e um térmico cuja simplicidade permite uma

rápida análise das características da máquina e da sua sensibilidade às variações dos diferentes

parâmetros. As adaptações a estes modelos para permitir a simulação das várias geometrias

analisadas e a incorporação do efeito das cavas, fornecem-nos, quando implementada num programa

numérico uma importante ferramenta no estudo da máquina. Os resultados obtidos mostram um

melhoramento das características eletromagnéticas e térmicas da máquina de camada de cobre única

em relação à de camada de cobre dupla. Mais especificamente, o binário eletromagnético apresenta

um aumento de 29,74% e um aumento na eficiência de cerca de 13%.

A análise em simulações FEA planares revelou-se um passo introdutório importante, uma vez

que, através da elaboração de geometrias simples, tornou a aprendizagem das técnicas FEA mais

acessível e forneceu valiosa informação relativa às configurações simuladas. Concluiu-se que as

características eletromagnéticas são muito sensíveis à geometria das camadas de cobre. A geometria

“Diamond” revelou-se a mais bem sucedida, apresentando um aumento de força total de 32,42% em

relação à configuração de camada dupla.

A construção do protótipo planar forneceu alguma informação quanto aos limites construtivos

da máquina, especialmente no que diz respeito ao enrolamento das bobinas de cobre. A recolha de

dados experimentais deste protótipo revelou resultados consistentes com os obtidos pelo método FEA,

aumentando o grau de confiança nas simulações realizadas e permitindo avançar para o estudo da

máquina em geometrias esféricas.

As simulações FEA esféricas realizadas confirmaram o aumento do desempenho

eletromagnético e térmico da máquina de camada de cobre única em relação à de camada dupla. Mais

concretamente, a geometria “Star” esférica apresentou um aumento no binário eletromagnético

produzido na ordem dos 84%. Verificou-se também a concordância dos dados obtidos analiticamente

com os do método FEA e concluiu-se que, embora o modelo analítico apresente desvios significativos

nos valores da distribuição espacial das grandezas eletromagnéticas em relação aos obtidos nas

simulações FEA, os resultados são consistentes quando considerados os valores médios,

apresentando erros sempre menores do que 13%.

O estudo das cavas é um importante passo na otimização do circuito magnético da máquina.

Os resultados obtidos mostram um aumento do binário para o caso da máquina de camada dupla de

cerca de 24% e para a máquina de camada única de cerca de 109%. Também o perfil térmico

apresenta melhorias, no que diz respeito à temperatura média das camadas de cobre, sendo esta até

4,29% mais baixa para o caso da máquina de camada dupla e até 8,22% mais baixa no caso da

camada única. Observa-se que o potencial da técnica das cavas é significativamente mais bem

aproveitado na máquina de camada única.

80

O estudo do protótipo esférico e a observação do seu funcionamento permitiu identificar

limitações construtivas. A recolha de dados experimentais ajudou mais uma vez a ganhar confiança

nos modelos analíticos e nas simulações FEA, apresentando resultados consistentes com os já

obtidos. Infelizmente, não foi possível a construção de um protótipo esférico baseado na máquina de

camada única no tempo disponível.

Concluiu-se que existem fortes vantagens no desenvolvimento de uma máquina esférica de

camada de cobre única, a qual apresenta, relativamente à máquina de camada dupla, melhores

características eletromagnéticas e térmicas. No entanto, as disposições reais destas geometrias têm

enormes diferenças, pelo que, seria necessária a confirmação das vantagens observadas através da

construção de um protótipo da configuração “Star” esférica. Um esquema da sua construção é

apresentado, para ser elaborado no seguimento da presente tese.

Encontrando-se este tema ainda na sua infância, existe ainda muito trabalho para ser realizado

neste âmbito. Mais concretamente, existe espaço para melhorias no modelo analítico eletromagnético,

o qual beneficiaria de uma reformulação em coordenadas esféricas. Há também a possibilidade do uso

de cavas no rotor. É interessante investigar se é possível encontrar um compromisso entre a

complexidade construtiva adicional e o ganho em desempenho. O enrolamento das bobinas de cobre

nas geometrias esféricas revelou-se também um importante obstáculo ao desenvolvimento do

protótipo pelo que a criação de técnicas que otimizem este passo será uma mais--valia. Finalmente,

esta máquina apresenta uma componente de controlo mais complexa do que a tradicional máquina de

indução. A modulação das correntes responsáveis por cada uma das direções de rotação do rotor tem

que ser controlada com precisão. É necessário ainda perceber se a interação entre as duas ondas

magnéticas produz algum binário indesejado na máquina.

Tendo em conta os resultados alcançados, o principal objetivo desta tese, assente na melhoria

do binário eletromagnético produzido pela máquina esférica através da otimização do circuito

magnético, foi atingido.

81

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