PA Progressão Aritmética - nsaulasparticulares.com.brnsaulasparticulares.com.br/.../2014/11/Progressao-Aritmetica.pdf · b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 . Página 5 de 11 18. (Enem 2013) As

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PA – Progressão Aritmética

1. (Unicamp 2014) O perímetro de um triângulo retângulo é igual a 6,0 m e as medidas dos lados estão em progressão aritmética (PA). A área desse triângulo é igual a a) 3,0 m

2.

b) 2,0 m2.

c) 1,5 m2.

d) 3,5 m2.

2. (Uece 2014) Seja n(a ) uma progressão aritmética crescente, de números naturais, cujo

primeiro termo é igual a 4 e a razão é igual a r. Se existe um termo desta progressão igual a 25, então a soma dos possíveis valores de r é a) 24. b) 28. c) 32. d) 36. 3. (Uerj 2014) Admita a realização de um campeonato de futebol no qual as advertências

recebidas pelos atletas são representadas apenas por cartões amarelos. Esses cartões são convertidos em multas, de acordo com os seguintes critérios: - os dois primeiros cartões recebidos não geram multas; - o terceiro cartão gera multa de R$ 500,00; - os cartões seguintes geram multas cujos valores são sempre acrescidos de R$ 500,00 em

relação ao valor da multa anterior. Na tabela, indicam-se as multas relacionadas aos cinco primeiros cartões aplicados a um atleta.

Considere um atleta que tenha recebido 13 cartões amarelos durante o campeonato. O valor total, em reais, das multas geradas por todos esses cartões equivale a: a) 30.000 b) 33.000 c) 36.000 d) 39.000

Cartão amarelo recebido

Valor da multa (R$)

1º –

2º –

3º 500

4º 1.000

5º 1.500

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4. (Uerj 2014) Uma farmácia recebeu 15 frascos de um remédio. De acordo com os rótulos,

cada frasco contém 200 comprimidos, e cada comprimido tem massa igual a 20mg.

Admita que um dos frascos contenha a quantidade indicada de comprimidos, mas que cada um

destes comprimidos tenha 30mg. Para identificar esse frasco, cujo rótulo está errado, são

utilizados os seguintes procedimentos:

- numeram-se os frascos de 1 a 15;

- retira-se de cada frasco a quantidade de comprimidos correspondente à sua numeração; - verifica-se, usando uma balança, que a massa total dos comprimidos retirados é igual a

2540mg.

A numeração do frasco que contém os comprimidos mais pesados é: a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 5. (Espcex (Aman) 2014) Os números naturais ímpares são dispostos como mostra o quadro

1ª linha 1 2ª linha 3 5 3ª linha 7 9 11 4ª linha 13 15 17 19 5ª linha 21 23 25 27 29 ... ... ... ... ... ... ...

O primeiro elemento da 43ª linha, na horizontal, é: a) 807 b) 1007 c) 1307 d) 1507 e) 1807 6. (Cefet MG 2013) Durante o mesmo período, dois irmãos depositaram, uma vez por semana,

em seus respectivos cofrinhos, uma determinada quantia, da seguinte forma: o mais novo depositou, na primeira semana, R$ 1,00, na segunda, R$ 2,00, na terceira, R$ 3,00 e assim, sucessivamente, enquanto que o mais velho colocou R$ 10,00 semanalmente até que ambos atingissem a mesma quantidade de dinheiro. Não havendo retirada em nenhum dos cofrinhos, a quantia que cada irmão obteve ao final desse período, em R$, foi de a) 19. b) 21. c) 190. d) 210. e) 290. 7. (Uerj 2013) Na figura, está representada uma torre de quatro andares construída com cubos congruentes empilhados, sendo sua base formada por dez cubos.

Calcule o número de cubos que formam a base de outra torre, com 100 andares, construída com cubos iguais e procedimento idêntico.



8. (Fgv 2013) Um anfiteatro tem 12 fileiras de cadeiras. Na 1Ŗ fileira hį 10 lugares, na 2Ŗ hį 12, na 3Ŗ

hį 14 e assim por diante (isto é, cada fileira, a partir da segunda, tem duas cadeiras a mais que a da frente).

O nśmero total de cadeiras é a) 250 b) 252 c) 254 d) 256 e) 258 9. (Ufmg 2013) Dentro dos bloquinhos que formam uma pirâmide foram escritos os números naturais, conforme ilustrado na figura abaixo, de forma que: — na primeira linha da pirâmide aparece um número: 1; — na segunda linha da pirâmide aparecem dois números: 2 e 3; — na terceira linha da pirâmide aparecem três números: 4, 5 e 6; — na quarta linha da pirâmide aparecem quatro números: 7, 8, 9 e 10, e assim

sucessivamente.

Considerando essas informações, a) DETERMINE quantos bloquinhos são necessários para construir as 10 primeiras linhas da

pirâmide. b) DETERMINE o último número escrito na trigésima linha da pirâmide. c) DETERMINE a soma de todos os números escritos na trigésima linha da pirâmide. 10. (Fgv 2013) Entre 2006 e 2010, foram cometidos em média 30 crimes por ano em Kripton (entre roubos, estelionatos e assassinatos). Em 2007, foram cometidos 40 crimes no total. Entre 2006 e 2010, o número de crimes evoluiu em uma progressão aritmética. a) Qual é a razão da progressão aritmética em que evoluiu o número de crimes, entre 2006 e

2010? b) Em 2010, houve duas vezes mais roubos que assassinatos e igual número de roubos e

estelionatos. Quantos estelionatos ocorreram em 2010? c) Em 2011, foram cometidos 30 crimes. Qual é o número médio de crimes cometidos entre

2007 e 2011? 11. (G1 - utfpr 2013) A quantidade de números inteiros entre 50 e 100 que sejam múltiplos dos

números 3 e 4 ao mesmo tempo é: a) 3. b) 4. c) 5. d) 13. e) 17. 12. (Uepg 2013) Um total de n bolas está distribuído em 20 caixas, de modo que a primeira caixa contém 3 bolas, a segunda caixa contém 6 bolas, a terceira caixa contém 9 bolas e assim sucessivamente, formando uma P.A. Sobre o número n de bolas, assinale o que for correto. 01) n é um múltiplo de 6. 02) n > 600. 04) n é um múltiplo de 4. 08) n < 650.



13. (Ufg 2013) Pretende-se levar água de uma represa até um reservatório no topo de um

morro próximo. A potência do motor que fará o bombeamento da água é determinada com base na diferença entre as alturas do reservatório e da represa. Para determinar essa diferença, utilizou-se uma mangueira de nível, ou seja, uma mangueira transparente, cheia de água e com as extremidades abertas, de maneira a manter o mesmo nível da água nas duas extremidades, permitindo medir a diferença de altura entre dois pontos do terreno. Esta medição fica restrita ao comprimento da mangueira, mas, repetindo o procedimento sucessivas vezes e somando os desníveis de cada etapa, é possível obter a diferença de altura entre dois pontos quaisquer. No presente caso, realizaram-se 50 medições sucessivas, desde a represa até o reservatório, obtendo-se uma sequência de valores para as diferenças de altura entre cada ponto e o ponto

seguinte, 1h , 2h , 3h , ..., 50h , que formam uma progressão aritmética, sendo 1h 0,70 m,

2h 0,75 m, 3h 0,80 m, e assim sucessivamente. Com base no exposto, calcule a altura do

reservatório em relação à represa. 14. (Mackenzie 2013) Em uma progressão aritmética o primeiro termo é 2 e a razão é 4. Nessa progressão, a média aritmética ponderada entre o terceiro termo, com peso 2, e 10% da soma dos cincos primeiros termos, com peso 3, é a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9 15. (Espcex (Aman) 2013) Em uma progressão aritmética, a soma nS de seus n primeiros

termos é dada pela expressão 2nS 5n 12n, com n . A razão dessa progressão é

a) –2 b) 4 c) 8 d) 10 e) 12 16. (Ufg 2013) Participaram de uma reunião 52 pessoas, entre homens e mulheres. Uma a uma, todas as mulheres passaram a convidar alguns dos homens presentes para adicioná-las como contatos em suas redes sociais, de maneira que a primeira mulher convidou sete homens, a segunda convidou oito, a terceira nove, e assim sucessivamente. Cada uma convidou um homem a mais que a anterior, até que a última das mulheres convidou todos os homens presentes. Nestas condições, calcule o número de mulheres e o de homens na reunião. 17. (Pucrj 2013) Se a soma dos quatro primeiros termos de uma progressão aritmética é 42, e

a razão é 5, então o primeiro termo é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5



18. (Enem 2013) As projeções para a produção de arroz no período de 2012–2021, em uma

determinada região produtora, apontam para uma perspectiva de crescimento constante da produção anual. O quadro apresenta a quantidade de arroz, em toneladas, que será produzida nos primeiros anos desse período, de acordo com essa projeção.

Ano Projeção da produção (t)

2012 50,25

2013 51,50

2014 52,75

2015 54,00

A quantidade total de arroz, em toneladas, que deverá ser produzida no período de 2012 a 2021 será de a) 497,25. b) 500,85. c) 502,87. d) 558,75. e) 563,25. 19. (Upf 2012) Num laboratório está sendo realizado um estudo sobre a evolução de uma

população de vírus. A seguinte sequência de figuras representa os três primeiros minutos da reprodução do vírus (representado por um triângulo).

Supondo que se mantém constante o ritmo de desenvolvimento da população de vírus, qual o número de vírus após uma hora? a) 140 b) 180 c) 178 d) 240 e) 537 20. (Unioeste 2012) Quantos múltiplos de 13 existem entre 100 e 1000? a) 65. b) 80. c) 69. d) 49. e) 67.



Gabarito: Resposta da questão 1: [C]

Sejam x, x r e x 2r as medidas, em metros, dos lados do triângulo, com x, r 0.

Aplicando o Teorema de Pitágoras, encontramos x 3r. Logo, os lados do triângulo medem

3r, 4r e 5r.

Sabendo que o perímetro do triângulo mede 6,0 m, vem

13r 4r 5r 6 r .

2

Portanto, a área do triângulo é igual a

223r 4r 1

6 1,5 m .2 2

Resposta da questão 2: [C]

n 1a a (n 1) r

23 4 (n 1) r

(n 1) r 21

Logo: n – 1 = 3 e r = 7 ou n – 1 = 7 e r = 3 ou n – 1 = 1 e r = 21 ou n – 1 = 21 e r = 1 Portanto, a soma dos possíveis valores de m será dada por 7 + 3 + 21 + 1 = 32. Resposta da questão 3: [B] As multas relacionadas formarão uma P.A. de 11 termos e de razão 500 (500, 1000, 1500, ... , a11). Onde, a11 = 500 + 10 . 500 = 5500 Calculando a soma dos 11 primeiros termos dessa P.A., temos:

(500 5500) 11S 33000

2



Resposta da questão 4:

[C]

Supondo que todos os comprimidos tivessem massa igual a 20mg, a massa total retirada dos

frascos seria igual a

(1 15)20 (1 2 3 15) 20 15

2

2400mg.

Daí, como a diferença entre a massa dos comprimidos é de 30 20 10mg, segue que o

número do frasco que contém os comprimidos mais pesados é

2540 240014.

10


[E] Até a 42

a linha, temos:

(1 42) 421 2 3 4 40 41 42 903 termos.

2

Portanto, o primeiro elemento da 43ª linha será o 904º número natural ímpar. Então:

904a 1 903 2 1807.

Resposta da questão 6: [C] Considerando n a quantidade de depósitos, temos:

Primeiro irmão: n n 1

1 2 3 42

Segundo irmão: 10 10 10 10n

Igualando as duas expressões, temos:

2n n 1

10n n 19n 0 n não convém ou n 192

Portanto, no final do período cada irmão, obteve 10 19 R$190,00.


O número de cubos que formam a base de uma torre de 100 andares é dado por

1 1001 2 3 100 100

2

101 50

5050.




[B]

O número de lugares cresce segundo uma progressão aritmética de primeiro termo igual a 10

e razão 2. Logo, o número total de cadeiras é

2 10 11 212 252.

2


a) O número de bloquinhos para construir as 10 primeiras linhas é igual à soma dos números naturais de 1 até 10.

10(1 10) 10

S 55.2

b) O último número escrito na trigésima linha da pirâmide é igual a soma dos 30 primeiros

números naturais

S30 = (1 30).30

4652

c) O último número escrito na trigésima linha é 465 e o primeiro é 465 – 29 = 436.

Calculando agora a soma dos 30 termos da P.A. (436, 437, 438, ..., 464, 465)

436 465 3013515.

2


a) Sabendo que a média anual de crimes é igual a 30, segue que foram cometidos

30 5 150 crimes entre 2006 e 2010. Além disso, como 2a 40, temos:

1 5 1 5

3

2

a a a a150 5 30

2 2

a 30

a r 30

r 10.

b) Sejam e, a e r, respectivamente, o número de estelionatos, o número de assassinatos e o

número de roubos cometidos em 2010.

Sabemos que r e 2a.

Do item (a), podemos concluir que o número de crimes cometidos em 2010 é

2a 3r 40 30 10.

Portanto,

ee a r 10 e e 10

2

e 4.

c) Dos itens anteriores, podemos concluir que o número total de crimes cometidos entre 2007 e

2010 foi de 150 50 100. Portanto, o número médio de crimes cometidos entre 2007 e

2011 é dado por

100 3026.

5




[B] MMC(3,4) = 12 Múltiplos de 12 são múltiplos de 3 e de 4 ao mesmo tempo. Múltiplos de 12 entre 50 e 100 (60, 72, ..., 84, 96). Utilizando a fórmula do termo geral da P.A., temos: 96 = 60 + (n–1) 12 (em que n é o número de múltiplos de 12 entre 50 e 100)

36 n 1 12

n 1 3

n 4


01 + 02 + 08 = 11. Determinando o total de bolas na última caixa: an = 3 + 19 3 = 60 (termo geral da P.A.) Determinando agora o total n de bolas:

3 60 20n 630

2

Portanto, estão corretas as afirmações [01], [02] e [08]. Resposta da questão 13:

Como a razão da progressão aritmética é 0,05 m, segue que a altura do reservatório em

relação à represa é dada por

49 0,050,7 50 35 61,25

2

96,25 m.


[D] O terceiro termo da P.A. será dado por: a3 = 2 + 2.4 = 10 O quinto termo da P.A. será dado por: a5 = 2 + 4.4 = 18

A soma dos cinco primeiros termos será dada por: 55

S 2 18 50.2

Logo, a média M pedida será dada por:

10 2 3 0,1 50 20 1M 7.

5 5

5




[D] O primeiro termo da progressão aritmética é dado por

21 1a S 5 1 12 1 7.

Desse modo, o segundo termo da progressão é tal que

2 2 1

2

a S a

5 2 12 2 ( 7)

20 24 7

3.

Portanto, a razão da progressão aritmética é 2 1r a a 3 ( 7) 10.


Admitindo n como o número de mulheres, temos: 52 n homens.

Se a primeira mulher convidar 7 homens, a segundo mulher convidar 8 homens e assim por

diante, a mulher n convidará 52 n homens. Temos então uma P.A de razão 1 e primeiro

termo 7.

52 n 7 (n 1) 1 2n 46 n 23.

Então, na reunião havia 23 mulheres e 52 23 29 homens. Resposta da questão 17:

[C]

Seja (a, a 5, a 10, a 15, ) a progressão aritmética cujo primeiro termo (a) queremos

calcular. Como 4S 42, segue que

4a 30 42 a 3. Resposta da questão 18:

[D]

Como 51,50 50,25 52,75 51,50 54 52,75 1,25, podemos concluir que a sequência

50,25; 51,50; 52,75; 54,00; é uma progressão aritmética de primeiro termo 1a 50,25 e

razão r 1,25. Portanto, queremos calcular a soma dos 10 primeiros termos dessa progressão

aritmética, ou seja,

110

2a 9rS 10

2

2 50,25 9 1,2510

2

558,75.




[C]

A população de vírus desenvolve-se segundo a progressão aritmética 1, 4, 7, .

Portanto, o número de vírus após uma hora é 1 (60 1) 3 178.

Resposta da questão 20: [C] Os múltiplos de 13 entre 100 e 1000 formam a P.A. de razão 13 a: (104, 26, 39,..., 988) Admitindo que n é o número de termos da P.A., temos:

988 104 n 1 13

988 104 n 1 13

884 n 1 13

n 1 68

n 69


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