PAREDES DE ALVENARIA ESTRUTURAL NÃO ARMADA DOTADAS DE ... · 2.1 Modos de Ruptura ... Lista de Tabelas Tabela 1 ... A alvenaria é um dos materiais de construção mais antigos e

Universidade do Minho

Departamento de Engenharia Civil

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PAREDES DE ALVENARIA ESTRUTURAL NÃO ARMADA DOTADAS DE ABERTURAS E SUBMETIDAS A CARREGAMENTO LATERAL

Fernando Artur Nogueira Silva, Paulo B. Lourenço, Romilde A. de Oliverira

Relatório 03-DEC/E-13

Data: 30/06/2003 Nº de Páginas: 63 Palavras-chave: Alvenaria Estrutural, Paredes de Contraventamento, Análise Estrutural

Escola de

Engenharia


Universidade

do Minho

Azurém, 4800-085 Guimarães - Tel. 253 510 200 - Fax 253 510 217 - E-mail [email protected]



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SUMÁRIO 1. INTRODUÇÃO ...............................................................................................................................7 2. AÇÕES HORIZONTAIS – Mecanismos de Ruptura e Distribuição das Forças ............................7

2.1 Modos de Ruptura....................................................................................................................14 2.2 Distribuição das Forças Laterais – Aspectos Gerais................................................................15

3. PAREDES DE CONTRAVENTAMENTO DOTADAS DE ABERTURAS ...............................20 3.1 Aspectos Gerais........................................................................................................................20 3.2 Análise Numérica de Paredes de Contraventamento Dotadas de Aberturas ...........................21

3.2.1 Método das Ligações Rígidas (Magenes G., Bolognini D. e Braggio C. , 2000) .............21 3.2.1.1 Elemento Coluna........................................................................................................22 3.2.1.2 Elemento Viga............................................................................................................26

3.2.2 Método das Ligações Flexíveis.........................................................................................28 3.2.3 Método das Ligações Flexíveis Modificado (Almeida, S de F., La Rovere, H. L., 1995)29

4. MODELAGEM DE ELEMENTOS FINITOS DA ALVENARIA ESTRUTURAL ....................29 4.1 Macro Modelos – Modelagem Contínua Anisotrópica............................................................30 4.2 Macro Modelos – Modelagem Contínua Isotrópica ................................................................32

4.2.1 Alvenaria em compressão .................................................................................................32 4.2.2 Alvenaria em tração ..........................................................................................................32 4.3 Propriedades dos Materiais ..................................................................................................34

5. MODELOS ANALISADOS..........................................................................................................35 5.1 Definição do Problema.............................................................................................................35 5.2 Modelo de Elementos Finitos ..................................................................................................40

6. RESULTADOS E DISCUSSÃO...................................................................................................41 6.1 Parede da Edificação de Quatro Pavimentos – Modelo I.........................................................41

6.1.1 Deslocamentos, Tensões e Deformações ..........................................................................41 6.1.2 Distribuição da Força Horizontal......................................................................................45

6.1.2.1 Modelo I – Fase Elástica – Vento +X........................................................................45 6.1.2.2 Modelo I – Fase de Pico – Vento +X.........................................................................49 6.1.2.3 Modelo I – Fase Fmax/2 – Vento +X ........................................................................50 6.1.2.4 Modelo I – Fase Pós Pico – Vento +X.......................................................................51 6.1.2.5 Modelo I – Fase Elástica – Vento -X.........................................................................53 6.1.2.6 Modelo I – Fase de Pico – Vento -X..........................................................................55 6.1.2.7 Modelo I – Fase de Fmax/2 – Vento -X ....................................................................56 6.1.2.8 Modelo I – Fase de Pós Pico – Vento -X...................................................................57

7. CONCLUSÕES .............................................................................................................................59 8. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...........................................................................................60



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Lista de Figuras Figura 1 - Carregamento lateral e paredes de contraventamento [adotado de (Hendry, 1998)] ..........7 Figura 2 - Parede de contraventamento e lc da parte comprimida da parede .......................................8 Figura 3 – Critério de ruptura biaxial (Samarasinghe et al, 1981).....................................................12 Figura 4 – Critério de ruptura em termos de τ e σy para σx variável .................................................12 Figura 5 - Modos de ruptura de parede de alvenaria estrutural não armada......................................14 Figura 6 - Deformações numa parede de contraventamento: (a) Por Cortante, (b) Por Flexão.........16 Figura 7 - Elementos entre aberturas .................................................................................................17 Figura 8 - Parede sem aberturas (viga em balanço) ...........................................................................18 Figura 9 - Esquema de pórtico equivalente de uma parede carregada no plano................................22 Figura 10 - Detalhe do elemento coluna ............................................................................................22 Figura 11 - Definição da altura efetiva do elemento coluna (Dolce, 1989).......................................23 Figura 12 – Aplicação da definição da altura efetiva do elemento coluna de Dolce, 1989...............23 Figura 13 – Cálculo simplificado da resistência a flexo-compressão (Magenes, G. e tal, 2000) ......24 Figura 14 – Comportamento inelástico do elemento coluna no caso da ruptura por cisalhamento...25 Figura 15 – Deformação angular na extremidade do elemento coluna..............................................25 Figura 16 – Distribuição de tensões para o cálculo do comprimento reagente da parede .................26 Figura 17 - Definição do comprimento efetivo elemento viga (D. Liberatore, 2000).......................27 Figura 18 – Comportamento elasto-plástico-frágil de um elemento viga..........................................27 Figura 19 – Comportamento elasto-frágil de um elemento de viga...................................................28 Figura 20 - Método das Ligações Flexíveis (desenho de G. Gonchorovski, 2001)...........................28 Figura 21 - Estratégias de Modelagens para Alvenaria: (a) micro-modelagem detalhada, (b) micro-

modelagem simplificada e (c) macro-modelagem.....................................................................30 Figura 22 - Superfícies de escoamento Rankine e Hill-Type para o compósito alvenaria

implementadas no Diana (Diana, 1999) ....................................................................................31 Figura 23 - Comportamento da alvenaria em tração uniaxial (esquerda) e compressão uniaxial

(direita) ao longo de duas direções ortogonais [de acordo com (TC MMM N9, 2000: RILEM Techinical Committee, Mechanical Modeling of Masonry)].....................................................31

Figura 24 - Diferentes possibilidades para a modelagem da alvenaria em compressão (Diana, 1999)....................................................................................................................................................32

Figura 25 - Diferentes possibilidades para a modelagem da alvenaria à tração – Constante e Linear (Diana, 1999) .............................................................................................................................32

Figura 26 - Alvenaria em tração – comportamento pós-pico (Diana, 1999) .....................................33 Figura 27 - Modelo de comportamento da alvenaria: critério de falha combinado Von Mises-

Rankine ......................................................................................................................................33 Figura 28 - Comportamento típico de materiais quasi-frágeis sobre carregamento uniaxial e

definição da energia de fratura: (a) carregamento de tração (ft indica a resistência a tração); (b) carregamento compressivo(fc indica a resistência a compressão) (Lourenço, 1996).................34

Figura 29 – Modelos: (a) I ; (b) I-A...................................................................................................35 Figura 30 – Modelo I-B .....................................................................................................................35 Figura 31 - Modelos II .......................................................................................................................36 Figura 32 - Modelos: (a) III ; (b) III-A ..............................................................................................36 Figura 33 - Modelo III-B ...................................................................................................................36 Figura 34 - Modelo IV ......................................................................................................................37 Figura 35 – Modelo V........................................................................................................................37 Figura 36 – Modelo VI.......................................................................................................................37 Figura 37 - Resultado experimentais sob acréscimo de deformação, Raijmakers e Vermeltfoort

(1993); (a) possíveis localizações das fissuras diagonais; (b) fissuras horizontal por tração nos membros; (c) fissuras diagonais predominantes; (d) mecanismo de colapso com a formações de quatro blocos rígidos rotulados ..................................................................................................38



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Figura 38 - Representação dos carregamentos aplicados em deslocamento horizontal de interesse.40 Figura 39 – Malha de elementos finitos.............................................................................................40 Figura 40 - Curva da Força Horizontal x Deslocamento Horizontal – Modelo I – 4 Pav – W+X ....42 Figura 41 - Curva da Força Horizontal x Deslocamento Horizontal – Modelo I – 4 Pav – W-X .....43 Figura 42 - Deformações principais máxima W+X – Modelo I : Fase de Pico – 4 Pav....................44 Figura 43 - Deformações principais máxima W-X – Modelo I : Fase de Pico – 4 Pav.....................45 Figura 44 – Camada de elementos finitos num membro vertical típico da parede de

contraventamento .......................................................................................................................47 Figura 45 – Distribuição das tensões de cisalhamento na fase de pico – Modelo I – W+X – N/mm2 –

4 Pav...........................................................................................................................................49 Figura 46 - Distribuição das tensões de cisalhamento na fase de Fmax/2 – Modelo I – W+X –

N/mm2 – 4 Pav ...........................................................................................................................50 Figura 47 - Distribuição das tensões de cisalhamento na fase de pós pico – Modelo I – W+X –

N/mm2 – 4 Pav ...........................................................................................................................51 Figura 48 - Distribuição das tensões de cisalhamento na fase de pico – Modelo I – W-X – N/mm2 –

4 Pav...........................................................................................................................................56 Figura 49 - Distribuição das tensões de cisalhamento na fase de Fmax/2 – Modelo I – W-X –

N/mm2 – 4 Pav ...........................................................................................................................56 Figura 50 - Distribuição das tensões de cisalhamento na fase de pós pico – Modelo I – W-X –

N/mm2 – 4 Pav ...........................................................................................................................57



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Lista de Tabelas Tabela 1 – Dimensões de abas ou flanges (ACI, EC-6 e NBR 10837)..............................................17 Tabela 2 - Efeito da relação h/t nas deflexões por cisalhamento (Drysdale et al, 1994) ...................19 Tabela 3 – Propriedades dos materiais utilizados nas análises ..........................................................41 Tabela 4 – Distribuição das tensões de cisalhamento – Modelo I – Fase Elástica – W+X – 4 Pav ..46 Tabela 5 - Distibuição das tensões de cisalhamento – Modelo I – Fase Elástica – W+X_+G+Q – 4

Pav..............................................................................................................................................46 Tabela 6 – Distribuição de força cortante – Modelo I – Fase Elástica – W+X – Procedimento

clássico – 4 Pav ..........................................................................................................................48 Tabela 7 - Comparação de distribuição de força cortante – Modelo I – Fase Elástica – W+X – 4 Pav

....................................................................................................................................................48 Tabela 8 - Comparação de distribuição de força cortante – Modelo I – Fase Elástica – W+X_+G+Q

– 4 Pav........................................................................................................................................49 Tabela 9 - Distribuição da força horizontal – Modelo I – Fase de Pico – W+X – 4 Pav...................50 Tabela 10 - Distribuição da força horizontal – Modelo I – Fase de Fmax/2 – W+X – 4 Pav ...........50 Tabela 11 - Distribuição da força horizontal – Modelo I – Fase Pós Pico – W+X – 4 Pav ..............51 Tabela 12 - Distribuição das tensões de cisalhamento – Modelo I – Fase Elástica – W-X – 4 Pav..54 Tabela 13 - Distribuição das tensões de cisalhamento – Modelo I – Fase Elástica – W-X_+G+Q – 4

Pav..............................................................................................................................................54 Tabela 14 - Comparação de distribuição de força cortante – Modelo I – Fase Elástica – W-X – 4

Pav..............................................................................................................................................55 Tabela 15 - Comparação de distribuição de força cortante – Modelo I – Fase Elástica – W-X_+G+Q

– 4 Pav........................................................................................................................................55 Tabela 16 - Distribuição da força horizontal – Modelo I – Fase de Pico – W-X – 4 Pav .................56 Tabela 17 - Distribuição da força horizontal – Modelo I – Fase de Fmax/2 – W-X – 4 Pav ............57 Tabela 18 - Distribuição da força horizontal – Modelo I – Fase Pós Pico – W-X – 4 Pav ...............57



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Lista de Gráficos Gráfico 1 - Envoltória das tensões de ruptura (Mann and Muller, 1976) ..........................................11 Gráfico 2 - Variação da rigidez da parede com a relação h/L............................................................19 Gráfico 3 – Resumo da distribuição da força horizontal: Modelo I - W+X: Membro A – 4 Pav......52 Gráfico 4 - Resumo da distribuição da força horizontal: Modelo I - W+X: Membro B – 4 Pav ......52 Gráfico 5 - Resumo da distribuição da força horizontal: Modelo I - W+X: Membro C – 4 Pav ......53 Gráfico 6 - Resumo da distribuição da força horizontal: Modelo I – W-X: Membro A – 4 Pav ......58 Gráfico 7 - Resumo da distribuição da força horizontal: Modelo I – W-X: Membro B – 4 Pav.......58 Gráfico 8 - Resumo da distribuição da força horizontal: Modelo I – W-X: Membro C – 4 Pav.......59



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1. INTRODUÇÃO A alvenaria é um dos materiais de construção mais antigos e difundidos. Sua utilização possibilitou, ao longo da história da humanidade, a realização de obras que aliavam o valor arquitetônico à função estrutural. Por outro lado, durante um longo período de tempo achou-se que se havia exaurido a função portante da alvenaria e ela, destarte, estaria limitada como sistema estrutural. Graças, contudo, à evolução das técnicas e sistemas construtivos e ao crescente surgimento de pesquisas científicas nesta área, a alvenaria estrutural vem recuperando o nível de confiança como sistema construtivo seguro e de custos relativamente baixos, quando comparado com outras técnicas de construção. O interesse em se estudar o comportamento de estruturas de alvenaria advém da necessidade de se obter informações que possibilitem o estabelecimento de limites para as tensões e deformações (em serviço e em estado último), de modo a garantir adequadas condições de segurança e confiabilidade tanto ao projeto quanto à construção de obras que utilizem esta tecnologia construtiva. Ademais, é necessário o entendimento do comportamento destas estruturas em termo de fissuração e mecanismos de ruptura bem como sua resistência máxima e comportamento pós-pico a fim de que se possa estabelecer parâmetros de projeto com aceitáveis níveis de confiabilidade. O presente relatório, dentro deste contexto, expõe uma revisão bibliográfica acerca dos métodos de análise bidimensionais de paredes de alvenaria estrutural dotados de abertura encontrados na literatura e apresenta os resultados preliminares de análises planas não lineares realizadas com recurso ao Método dos Elementos Finitos, com especial foco na observação do mecanismo de sustentação de cargas de painéis de alvenaria estrutural não armada submetida a carregamento lateral atuante no próprio plano do painel.

2. AÇÕES HORIZONTAIS – Mecanismos de Ruptura e Distribuição das Forças As cargas horizontais que agem diretamente sobre os painéis de alvenaria são, em geral, de origem sísmica ou provenientes da ação de vento e a sua resposta a este carregamento está diretamente relacionada à resposta dos elementos verticais resistentes, usualmente referidos como piers. A Figura 1 seguir apresenta de maneira esquemática as ações atuantes e os elementos resistentes de uma parede típica de alvenaria estrutural solicitada por carregamento lateral. As paredes submetidas a ação de corte, normalmente referidas como paredes de contraventamentos ou shear walls, se constituem o objeto da investigação promovida ao longo do presente relatório.

Figura 1 - Carregamento lateral e paredes de contraventamento [adotado de (Hendry, 1998)]



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A resistência às ações horizontais nas paredes de contraventamento é geralmente realizada por um sistema formado pelos pisos da edificação e pela própria parede. Devido à elevada rigidez em seu próprio plano, os pisos da edificação, que são geralmente constituídos por lajes de concreto armado, se comportam como diafragmas rígidos e transmitem às paredes de contraventamento os esforços decorrentes das ações laterais aplicadas sobre a edificação. Esta distribuição de esforços depende da rigidez do diafragma, da posição do centro de massa e do centro de torção do sistema estrutural da edificação. Para a verificação das paredes de contraventamento, é necessário que o valor de projeto do cortante aplicado, Vsd, seja igual ou inferior ao cortante resistente de projeto, Vrd:

RdSd VV ≤ O valor do cortante resistente de projeto é dado por:

m

cvkRd

blfVγ

=

Onde: fvk = valor característico da resistência ao corte da alvenaria, com base na carga vertical que pode

ser resistida pela parte comprimida da parede, desprezando qualquer parte da parede sujeita à tração;

b = espessura da parede; lc = comprimento da parede sujeita à compressão, desprezando qualquer parte tracionada, que

deve ser calculado admitindo-se uma distribuição triangular de tensões;Figura 2 γm = coeficiente parcial de segurança relativo às propriedades dos materiais;

Figura 2 - Parede de contraventamento e lc da parte comprimida da parede

O comprimento lc pode ser determinado de acordo com a seguinte expressão:

Sd

Sdc N

Vcomhll =

−= )tan(,)tan(

23 αα

Equação 1

Equação 2

Equação 3



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Onde: NSd = valor de cálculo da carga vertical na parede; VSd = valor de cálculo do esforço cortante; h = altura da parede. O comportamento e a resistência ao cisalhamento da alvenaria estrutural não armada obtiveram maior interesse dos pesquisadores só a partir da década de 50. Isto se explica devido ao fato de que, até aquela época, as paredes eram consideradas unicamente como elementos verticais resistentes, onde a resistência à compressão se consistia no principal fator de interesse para o projeto. Dentre deste contexto, as pesquisas foram desenvolvidas no sentido de se estabelecer o comportamento e a resistência à compressão para várias combinações de blocos e argamassas. Com o sucessivo aumento da altura das edificações, as forças devidas ao vento tornaram-se um dos principais fatores para o projeto de obras em alvenaria e as paredes de contraventamento, paralelas à direção de aplicação do carregamento lateral, ganharam importância na garantia da estabilidade global da edificação. Benjamin e Williamns (Benjamin R. and Williams H.A, 1958) promoveram à análise experimental do comportamento ao cisalhamento de paredes de alvenaria utilizando três tipos de modelos: painel sem pórtico de contorno, painel com pórtico de concreto de contorno e painel com pórtico metálico de contorno. Os autores sugeriram uma relação linear entre a máxima tensão de cisalhamento e a máxima tensão normal. Sinha B. P (Sinha B. P., 1968), baseado nos resultados de ensaios de paredes de contraventamento de um andar com abertura e submetida a variados níveis de pré-compressão, propôs um modelo que incorpora três fases na ruptura por cisalhamento, a saber:

10 σσµσττ ≤+= vvu para com a ruptura por cisalhamento ocorrendo nas juntas de argamassa;

212

2

24 yyyvv

t paraf σσσσ

τσ

≤≤−+=

que conduz a uma ruptura por tração diagonal, e

2yyvu para σσµστ ≥= Onde: τu = tensão de cisalhamento na ruptura; τ0 = resistência inicial de aderência (argamassa e o bloco) ao cisalhamento - coesão; µ = coeficiente de atrito; σv = tensão normal média na junta horizontal de argamassa; σy1 e σy2 = limites da ruptura por tração. Turnsek e Cacovic (Turnsek V. and Cacavic F., 1971) realizaram ensaios em paredes submetidas a ação combinada de tensões normais e de cisalhamento. Os autores admitiram a hipótese de que a ruptura por cisalhamento com fissuração diagonal ocorre quando o esforço principal

Equação 5

Equação 6

Equação 4



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(macroscópico) de tração atinge um valor limite ftu, assumido como resistência à tração convencional da alvenaria. Se assume portanto que, relativamente ao estado limite de ruptura por cisalhamento com fissuração diagonal, a anisotropia da alvenaria pode ser desprezada, o que permite a utilização de um único parâmetro de resistência (ftu). Admitindo que o painel seja suficientemente esbelto para que possa ser associado a um sólido de Saint Venat, o critério proposto pelos autores é expresso pela Equação 7 a seguir.

tu

vtuu fb

f στ += 1

onde b é relação entre a máxima e a média tensão de cisalhamento numa determinada seção transversal, usualmente considerada como 1,5. A aplicação da Equação 7 a painéis rígidos resultou na sugestão de se utilizar valores de b variáveis com a relação altura/comprimento (h/d) do painel (Turnsek e Seppard, 1978). Um critério aproximado (Benedetti e Tomazevic, 1984) adota b = 1,5 para h/d ≥ 1,5 , b = 1 para h/d ≤ 1,5 e b = h/d para 1 < b < 1,5. Esta formulação, que é utilizada no método POR, reproduz de maneira suficientemente acurada a dependência da resistência ao cisalhamento do carregamento vertical que atua sobre a parede submetida ensaio de cisalhamento, no qual se mantém o paralelismo da base inferior e superior do painel, que representa a condição de duplo engaste. Mann e Muller (Mann W. and Muller H., 1976) desenvolveram uma teoria de ruptura que relaciona a tensão normal (σ) com a tensão de cisalhamento (τ) partindo da hipótese de que não há transferência de tensões de cisalhamento nas juntas de argamassa vertical localizada entre os blocos, o que significa dizer que não há carga vertical nestas juntas capaz de produzir atrito. Sustentam esta hipótese considerando que as juntas verticais não são freqüentemente preenchidas ou, quando o são, a argamassa fissura devido à retração. Este aspecto foi confirmado pelos autores nos ensaios realizados, nos quais as fissuras por cisalhamento sempre se originam nas juntas de argamassa verticais. A ruptura pode ocorrer de várias maneiras, dependendo da relação entre a tensão normal e a tensão de cisalhamento. Os critérios de ruptura definidos pelos autores são os seguintes: ruptura por atrito nas juntas de argamassa horizontais com o critério de falha sendo expresso através de uma modificação da Lei de Coulomb com a introdução de um coeficiente de atrito reduzido e uma coesão reduzida (Equação 8), determinados a partir da coesão inicial, do coeficiente de atrito da junta horizontal de argamassa e das dimensões do bloco; ruptura por fissuração dos blocos, quando se tem um elevado valor da tensão vertical, com critério de falha sendo definido através da Equação 9.

vσµκτ +=

zst

vzstu β

σβτ += 1

3.2

onde βzst é a resistência à compressão do bloco; ruptura por compressão da alvenaria que ocorre para elevados valores da tensão normal vertical com critério de falha formulado através da Equação 10.

( )x

yvMu ∆

∆−=

2σβτ

Equação 10

Equação 9

Equação 8

Equação 7



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onde βM é a resistência à compressão da alvenaria, ∆x e ∆y são as dimensões do blocos na direção x e y, respectivamente. O Gráfico 1 apresenta as tensões de cisalhamento aceitáveis de acordo com os critérios definidos pelos autores. A envoltória destas curvas se acha indicada por um linha continua, que delimita o contorno da região formada pelas curvas que representam os três critérios de ruptura. Acha-se também representada no gráfico a Lei de Coulomb

Gráfico 1 - Envoltória das tensões de ruptura (Mann and Muller, 1976)

Yokel e Fattal (Yokel F. Y. and Fattal G., 1976) formularam hipóteses de ruptura de paredes de contraventamento baseado nos resultados de 32 ensaios em paredes. O estudo contempla a avaliação da capacidade de carga de paredes de alvenaria com blocos cerâmicos submetidas a uma carga de compressão diagonal combinada com uma carga de compressão aplicada nos lados normais às juntas horizontais de argamassa. As rupturas observadas foram: separação ao longo da junta de argamassa que pode ser formulada com recurso a Equação 4 com um coeficiente de atrito (µ) igual a 0,4; separação na direção da tensão principal de tração através do centro do painel; separação aproximadamente na direção da tensão principal mas não em direção do centro do elemento. Um indicador da mudança do modo de ruptura é proposto pelos autores baseado na relação entre a resistência nominal ao cisalhamento obtida de ensaios com cisalhamento diagonal e a resistência à flexão de uma secção horizontal que depende da resistência à tração da argamassa e da ligação entre os blocos e a argamassa. Drysdale et al (Drysdale R. G., Vanderkyle R., Hamid A., 1979) apresentaram resultados de 74 ensaios de cisalhamento em paredes, com e sem aplicação de pré-compressão. Os resultados obtidos mostraram que a resistência de aderência para a alvenaria sólida é afetada pela condição da superfície e pela taxa inicial de absorção das unidades. Não foi observada forte correlação entre a argamassa, a resistência à compressão do prisma e a resistência de aderência. Samarasinghe et al (Samarasinghe W., Page A. W. and Hendry A. W., 1981) apresentaram uma abordagem analítica na qual a ruptura localizada de paredes de contraventamento é formulada através de um critério de falha baseado em tensões biaxiais. A formulação proposta, fundamentada em ensaios experimentais de paredes submetidas à ação combinada de pré-compressão e carregamento horizontal, é expressa através de uma superfície de ruptura tridimensional (σ1, σ2 e θ) ,onde θ é a inclinação de σ1 com relação à junta horizontal de argamassa. A ruptura pode ser



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prevista pela superfície proposta (Figura 3) para valores particulares de θ e pela relação σ1/σ2 sendo o modo de ruptura variável com a localização do ponto na superfície. Utilizando este critério, os autores definiram curvas que descrevem a ruptura local da alvenaria em termos das tensões normais (σx e σy) e tensões de cisalhamento. A Figura 4 mostra a ruptura localizada da alvenaria em função de σy e τ para variados valores de σx. Como se trata de um critério de ruptura localizado, não pode ser diretamente comparado com os resultados obtidos da aplicação dos critérios que consideram o comportamento global do painel, a não ser que a ruptura ocorra imediatamente à formação da primeira fissura.

Figura 3 – Critério de ruptura biaxial (Samarasinghe et al, 1981)

Figura 4 – Critério de ruptura em termos de τ e σy para σx variável

Laner (Laner F., 1982) mostrou que ensaios com compressão diagonal apresentam maior variabilidade do que qualquer outro tipo de ensaio e observou também que a resistência da argamassa influencia de maneira importante a resistência ao cisalhamento das paredes. Com base



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em seus estudos propôs o seguinte critério de ruptura, que estabelece uma relação direta entre a tensão de cisalhamento última e a resistência de compressão (σv):

)/(3.010

2mmNvu ±=

στ

onde 0.3 é um coeficiente estatístico de erro. Riddington e Ghazali (Riddington J. R. and Ghazali M. Z., 1988) realizaram ensaios em três tipos de paredes com argamassas de diferentes relações água/cimento e propuseram que a relação entre a tensão de cisalhamento última e a tensão normal de pré-compressão (σv) pode ser formulada através de uma expressão típica de Coulomb conforme se segue:

)/(52.04.0 2mmNcu στ += Atkinson et al (Atkinson R. H. et all, 1989) realizaram uma série de ensaios em protótipos de paredes construídas de unidades novas e velhas de alvenaria cerâmica com diferentes relações água/cimento das argamassas e diferentes espessuras. Os ensaios foram realizados com quatro ciclos de cisalhamento direto sendo mantida constante o carregamento normal e os resultados mais importantes (no primeiro ciclo) indicaram que a curva tensão de cisalhamento x deslocamento apresentava um pico que desaparecia no segundo, quando a resistência ao cisalhamento assumia um valor constante residual. Observaram ademais que este pico era obtido para pequenos valores de deformação. Os coeficientes de atrito foram estimados pelos autores variando num intervalo de 0,7 a 0,85. O EC-6 (Eurocódigo 6, 1995) estabelece que a resistência característica ao cortante da alvenaria não armada, utilizando argamassa de uso geral e com todas as juntas preenchidas, pode ser tomada como o menor dos seguintes valores (Equação 13 e Equação 14).

dvkvk ff σ4,00 += ou

0065,0 vkbvk fquedomenornãomasff =

Onde: fb é a é a resistência normalizada à compressão das unidades de alvenaria; σd é é o valor de cálculo da tensão de compressão perpendicular ao corte no elemento de alvenaria

no piso em análise; fvk0 é é a resistência ao corte, sob compressão nula considerando um valor limite para fvk relacionado com a classe da argamassa e a qualidade das unidades da alvenaria. No caso de alvenaria com juntas transversais não preenchidas, ainda que com as faces contíguas das unidades de alvenaria firmemente encostadas, a resistência característica ao cortante da alvenaria não armada, segundo o EC-6, deve ser tomada como o menor dos seguintes valores:

Equação 11

Equação 12

Equação 13

Equação 14

Equação 15



14

dvkvk ff σ4,05.0 0 += ou

0045,0 vkbvk fquedomenornãomasff = considerando um valor limite para fvk igual a 70% dos limites anteriores. Finalmente, para a alvenaria com juntas descontínuas o EC-6 indica que a resistência característica ao cisalhamento deva ser tomada como o menor dos seguintes valores:

dvkvk ftgf σ4,00 +=

onde g é igual à largura total de duas faixas de argamassa ou

005,0 vkbvk fquedomenornãomasff = considerando os mesmos valores limites de fvk nas juntas transversais não preenchidas.

2.1 Modos de Ruptura Os modos de ruptura das paredes de contraventamento dependem da combinação do carregamento aplicado, de sua geometria e das propriedades dos materiais constituintes. Típicos modos de ruptura acham-se mostrados na Figura 5 a seguir (Drysdale et al, 1994), todos caracterizados por um comportamento frágil com uma rápida diminuição na capacidade resistente uma vez atingida a carga última da estrutura.

(a) (b) (c) (d)

Figura 5 - Modos de ruptura de parede de alvenaria estrutural não armada

A Figura 5 a) mostra o mecanismo quando há predominância do carregamento vertical na ruptura, com a presença de processo de fissuração vertical, que se atribui à incompatibilidade entre as deformações características dos materiais (blocos e argamassas) e as alterações geométricas nas seções transversais ao longo da altura da edificação. A Figura 5 b) mostra o mecanismo de ruptura quando há acréscimo do momento de tombamento causado pela força lateral atuante com conseqüente falha localizada por compressão, conforme indicado.

Equação 16

Equação 17

Equação 18



15

A Figura 5 c) apresenta o mecanismo de ruptura caracterizado pelo deslizamento ao longo das juntas horizontais que ocorre quando as forças laterais de cisalhamento excedem a resistência de aderência/atrito entre a argamassa e as unidades. Este mecanismo ocorre freqüentemente quando há combinação de baixas cargas verticais com elevadas forças de cisalhamento. Quando são combinadas elevadas cargas verticais e elevadas forças de cisalhamento, o mecanismo de ruptura é o que se acha apresentado na Figura 5 d) que apresenta fissuras diagonais de tração. O mecanismo resistente e o conseqüente modo de ruptura de paredes de alvenarias estrutural submetidos a carregamento lateral no seu plano dependem de uma gama variada de fatores, dentre os quais se destacam: a geometria do painel; sua esbeltez; a qualidade dos materiais constituintes; a existência de aberturas e as condições de vínculo.

2.2 Distribuição das Forças Laterais – Aspectos Gerais A distribuição das forças laterais do diafragma para os elementos verticais resistentes é função da rigidez relativa do diafragma e da própria parede de contraventamento. O diafragma rígido, por seu turno, distribui as forças horizontais para os elementos da parede de contraventamento na proporção direta de suas rigidezes relativas. Sob a ação de carregamento simétrico, um diafragma rígido proporcionará a todos os elementos verticais da parede a mesma deflexão, o que implica dizer que cada elemento resistirá à parcela da força lateral compatível com a proporção da rigidez que este elemento tem em relação à rigidez total da parede no mesmo nível e na mesma direção. Adicionalmente, o valor do cortante horizontal máximo numa parede, calculado através de uma análise elástica linear, pode ser alterado tirando partido da possível redistribuição de esforços devido à fendilhação controlada da parede nos estados limites últimos e o cortante numa parede única pode ser reduzido de 15%, desde que o cortante nas paredes paralelas seja aumentado do mesmo valor, de forma a assegurar o equilíbrio sob a ação do valor de cálculo das cargas (Eurocódigo 6, 1995). Diafragmas flexíveis, por outro lado, são considerados menos rígidos do que as paredes de contraventamento e distribuirão as forças laterais para os elementos da mesma numa maneira análoga a uma viga contínua, o que significa dizer que a distribuição das forças laterais se processará segundo a área de influência da parede e não na proporção direta de sua rigidez. A magnitude das forças laterais totais em qualquer piso da edificação depende fundamentalmente do sistema estrutural adotado e da proporção da carga horizontal total que é suportada por um elemento particular de uma parede de contraventamento é função da rigidez relativa deste elemento com relação à rigidez total da parede neste mesmo nível e é inversamente proporcional à deflexão causada por uma força horizontal unitária. A deflexão total no topo é a soma da deformação por corte e por flexão) somadas a eventuais deformações que possam ocorrer devido à rotação na base da parede.



16

Figura 6 - Deformações numa parede de contraventamento: (a) Por Cortante, (b) Por Flexão

Vários fatores afetam a rigidez dos elementos de uma parede de contraventamento, dentre os quais destacam-se: a) A existência de juntas de dilatação/juntas de retração (juntas de controle) Juntas de dilatação e juntas de retração são separações completas que dividem a parede em elementos e são dispostos para controlar a fissuração na alvenaria, resultante da retração das unidades de concreto. Para se controlar a expansão na alvenaria com blocos cerâmicos, são utilizados as juntas de expansão. Os elementos da parede de contraventamento dotados de juntas de controle devem, portanto, ser considerados como membros estruturais isolados durante a análise da rigidez da parede. O número e localização destas juntas de controle dentro do comprimento total da parede pode afetar de maneira significativa as rigidezes dos elementos, com efeito mais notável nas deformações devidas à flexão. b) A existência de aberturas: As aberturas de portas e janelas reduzem a rigidez dos elementos das paredes de contraventamento e, se as suas dimensões forem significativamente grandes ou estas forem numerosas, devem ser consideradas no cálculo da rigidez do elemento. Pequenas aberturas conduzem a pequenas alterações no estado de tensão global da parede ao passo que grandes aberturas necessariamente produzem efeitos mais pronunciados. A questão que se coloca é como estabelecer um clasificação de uma abertura em grande ou pequena. O trabalho de (Albiges e Goulet, 1960) oferece uma possibilidade de classificação das aberturas em paredes de alvenaria em estrutural em três tipos - pequenas, médias e grandes aberturas -, em função de um parâmetro que representa o grau de monolitismo da parede. Quando as aberturas numa parede de contraventamento se tornam tão grandes a ponto da parede resultante se assemelhar a um pórtico rígido ou a uma série de elementos ligados por vigas, a parede pode, em geral, ser analisada adotando-se esta hipótese. Por outro lado, deve-se ter em mente que esta hipótese pode apresentar uma precisão ilusória haja vista que, em razão da largura dos pilares, é pouco provável que a variação de esforços e deformações acuse a descontinuidade indicada pelo diagrama de momentos fletores oriundo do cálculo como pórtico. Com efeito, uma seção da parede não pode ser considerada como suficientemente afastada – do ponto de aplicação dos esforços transmitidos pelo lintel situado imediatamente acima da seção – para que seja válido o princípio de Saint-Venant.

(a) (b)



17

c) A geometria dos elementos: Elementos de canto de uma parede de contraventamento geralmente têm seção L ou T que apresentam maior rigidez do que elementos retilíneos. Este aumento de rigidez, por outro lado, é limitado e geralmente difícil de quantificar. Como forma de expressar esta limitação, os códigos definem as dimensões máximas das abas ou flanges das paredes de seção composta. A Tabela 1 a seguir sumariza as recomendações de alguns códigos sobre este tema.

Código ACI Eurocódigo 6

(o menor dos seguintes valores) NBR 10837

6t 2h/10 L/2

Distância entre pisos/2

6t

t = espessura da parede; h = altura da parede de contraventamento; L = distância entre paredes de contraventamento

Tabela 1 – Dimensões de abas ou flanges (ACI, EC-6 e NBR 10837)

As expressões usualmente disponíveis na literatura para o cálculo da rigidez relativa de um elemento de uma parede de contraventamento, assumindo isotropia, são obtidas através da inversão da deflexão causada por uma carga horizontal unitária. Os parâmetros dos materiais contidos nestas equações são: altura, comprimento, espessura; módulo de elasticidade longitudinal - Em ; módulo de elasticidade transversal - G; e as condições de vínculo no topo e na base do elemento. Se ambas as extremidades do elemento acham-se fixas, ou no caso de paredes entre aberturas (Figura 7), a deflexão total, calculada no domínio elástico linear é definida como:

hGA

HIE

Hhvm

vb1

12

3

+=∆+∆=∆

Onde: ∆b = deflexão devida à flexão; ∆v = deflexão devida ao cisalhamento; Av = área de cisalhamento da seção transversal do elemento; I = momento de inércia da seção transversal do elemento na direção da flexão; G = módulo de elasticidade transversal da alvenaria; h = altura do elemento.

Figura 7 - Elementos entre aberturas

Equação 19



18

Se se admite que a parede em estudo tem seção transversal retangular com área A= Lb, momento de inércia I=L3b/12 e considerando ainda que Av = 5/6 Ag e G = 0.4 Em (Eurocódigo 6, 1995), a Equação 19 pode ser escrita sob a seguinte forma:

+

=∆ 3

2

Lh

Lh

bEH

m

Onde: b = espessura do elemento; L = comprimento do elemento. e a correspondente rigidez é dada por:

+

=∆

=

32

Lh

Lh

bEHk m

Se os elementos forem fixos apenas na base, criando uma condição de engaste (Figura 8), a deflexão total será dada pela seguinte expressão:

hGA

HIE

Hhvm

vb1

3

3

+=∆+∆=∆

Figura 8 - Parede sem aberturas (viga em balanço)

Admitindo as mesmas hipóteses anteriormente referidas, a Equação 22 pode ser escrita sob a seguinte forma:

Equação 20

Equação 21

Equação 22



19

+

=∆

=

342

Lh

Lh

bEHk m

O Gráfico 1 a seguir mostra a variação do parâmetro k/bEm contra a relação h/L da parede, para as situações de vínculo fixo em ambas as extremidades do elemento e engaste apenas na base, onde pode ser observado que a rigidez das paredes com extremidades fixas é sempre maior do que aquelas fixas apenas em uma extremidade.

Gráfico 2 - Variação da rigidez da parede com a relação h/L

As equações apresentadas anteriormente são válidas exclusivamente para cargas aplicadas no topo da parede e mudam para outras configurações de carga. Ademais, a contribuição relativa da flexão e do cortante no cálculo da deformação total depende da relação h/L e, desta forma, a rigidez varia ao longo da altura da edificação. Por outro lado, para valores elevados da relação h/L, o efeito da deformação devida ao cortante tende a ser menor e a determinação da rigidez da parede utilizando-se apenas a contribuição da flexão apresenta razoável precisão, muito embora se reconheça que as distorções de cisalhamento são mais significativas nas paredes com flanges com grandes incrementos na rigidez à flexão mas com pouca mudança na deformação por cisalhamento. A Tabela 2 a seguir apresenta os efeitos da relação h/L na deflexão devida ao cortante para paredes fixas em uma ou duas extremidades.

Percentagem da Deflexão Devida ao Cortante Relação h/L

Parede c/ um engaste Parede c/ dois engastes

0,25 92 98 1,00 43 75 2,00 16 43 4,00 5 16 8,00 1 4,5

Tabela 2 - Efeito da relação h/t nas deflexões por cisalhamento (Drysdale et al, 1994)

Equação 23



20

A maior parte dos manuais de projetos de obras em alvenaria estrutural bem como os livros textos que tratam do assunto recomendam a utilização das equações apresentadas anteriormente para se determinar as deflexões e conseqüentemente a rigidez dos membros das paredes de contraventamento, sem entretanto chamar a atenção para as hipóteses simplificadoras em que fundamentam estas equações. Amrhein (Amrhein, J.E., 1983) recomenda a utilização de uma altura igual à altura das aberturas entre as quais elas estão localizadas para paredes com aberturas niveladas. O mesmo procedimento é também recomendado para paredes com aberturas desniveladas sendo que, neste caso, a menor das alturas é freqüentemente considerada como altura efetiva do elemento em estudo.

3. PAREDES DE CONTRAVENTAMENTO DOTADAS DE ABERTURAS

3.1 Aspectos Gerais Não obstante as paredes de contraventamento com aberturas serem o tipo mais comum de paredes encontradas em obras de alvenaria estrutural (armada ou não), um número limitado de pesquisa experimental e numérica tem sido desenvolvida no sentido de se entender o comportamento destes elementos frente às ações que lhe são usualmente impostas. Aponta a literatura que a pesquisa do comportamento de paredes de contraventamento dotadas de abertura teve importante interesse a partir da década de 70 nos Estados Unidos quando se constatou que grande parte dos danos em elementos estruturais causados por terremotos se concentrava nas paredes de contraventamento dotadas de aberturas (Chen et al, 1978; Scrivener J. C., 1986). As primeiras pesquisas realizadas com elementos de alvenaria estrutural armada (Mayes et al, 1976) entretanto não apresentaram resultados conclusivos, porém indicavam a necessidade de promoção de investigações mais aprofundadas com a finalidade de se obter informações sobre o comportamento das paredes de contraventamento dotadas de abertura. Um extensivo programa experimental e analítico foi implementado nos Estados Unidos na década de 80 conjuntamente com similar programa no Japão, cujo foco era o desenvolvimento de procedimentos para o projeto de obras em alvenaria estrutural armada em estado limite último submetidas a ação de vento e sismos (Noland, J.L., 1990). No escopo deste programa, os ensaios realizados no Japão por Imai (Irmai e Miyamoto, 1988;1989) em seis paredes de alvenaria armada com pequena abertura e submetidas a forças cortantes cíclicas e pré-compressão constante mostraram que fissuras diagonais apareciam para baixos valores de tensão de cisalhamento. As fissuras se iniciavam nos cantos da abertura e se estendiam para os lados da parede. Ainda no âmbito deste programa, Matsuno (Matsuno et all, 1987) utilizou um modelo de pórtico plano com molas inelásticas de flexão nas extremidades dos elementos e molas inelásticas de cisalhamento no centro dos mesmos para analisar uma parede de alvenaria armada de blocos cerâmicos de três andares. O modelo utilizado previa de maneira satisfatória o comportamento verificado nos ensaios experimentais realizados. Seibe et al e Yamazaki et al (Seibe et al, 1987; Yamazaki et all, 1988) realizaram ensaios num módulo típico de uma edificação em escala real de cinco andares no Japão em alvenaria armada com blocos de concreto, na qual as paredes de contraventamento apresentavam expressiva densidade de aberturas. As cargas de projeto dos elementos foram determinadas através de uma análise linear com recurso a um modelo de pórtico plano com regiões rígidas nas intersecções dos elementos de viga e coluna, resultantes da



21

modelagem da estrutura. A estrutura foi dimensionada de acordo com o código Japonês para construções de alvenaria e sua resistência última foi determinada a partir da análise limite considerando um mecanismo de ruptura por formação de rótulas plásticas. Os resultados obtidos mostraram que a estrutura teve um comportamento estável e dúctil e sua capacidade de sustentação de cargas foi superior às exigências de projeto, aspecto que permitiu a conclusão de que estruturas de alvenaria armada adequadamente projetadas satisfazem de maneira eficiente as exigências para construções submetidas a carregamentos laterais. Paulson e Abrams (Paulson, T. e Abrams, D., 1990), ainda no âmbito do mesmo programa, testaram modelos em escala reduzida de três construções em alvenaria armada de blocos de concreto com paredes de contraventamento dotadas de aberturas submetidas, duas delas, a carregamento simulado de terremoto e a terceira a carregamento lateral cíclico com história de deslocamentos similar às anteriores. As duas primeiras estruturas foram dimensionadas com taxas de armaduras mínimas ao passo que a terceira foi dimensionada com maiores taxas de armaduras horizontais e verticais de forma a se evitar a ruptura por cisalhamento. Os resultados obtidos mostraram que, não obstante a configuração simétrica dos modelos, a distribuição da força de cisalhamento não se processou de maneira idêntica para os diversos membros da parede de contraventamento por conta de que o comportamento de dado elemento (rigidez e resistência) foi influenciado pela mudança da força axial gerada pelo momento de tombamento. Ademais, foi observado que os modelos com maior taxa de armadura apresentaram uma maior ductilidade, tanto à flexão quanto ao cortante, e romperam pela formação de rótulas plásticas nas extremidades dos elementos. Klinger et al (Klinger et all, 1990) ensaiaram seis paredes de alvenaria armada de blocos de concreto de dois andares em escala real, dotadas de aberturas de portas e janelas com e sem lintéis. As paredes foram ensaiadas com carregamento quasi-estático lateral e algumas delas foram também submetidas a carregamento compressivo vertical. Os modelos ensaiados apresentaram comportamento dúctil, conforme se pretendia no dimensionamento dos elementos e, baseado nos resultados obtidos, os autores formularam um modelo para previsão da carga de colapso fundamentado no mecanismo de ruptura pela formação de rótulas plásticas.

3.2 Análise Numérica de Paredes de Contraventamento Dotadas de Aberturas A análise numérica de paredes de contraventamento dotadas de aberturas se constitui um campo ativo da pesquisa científica e muito embora os resultados de vários estudos indique que o Método dos Elementos Finitos (MEF) pode prever de maneira bastante precisa o comportamento destes elementos estruturais, sua aplicação nas situações usuais de projeto ainda não é muito difundida tendo em vista a excessiva demanda de esforço e tempo na geração dos modelos e interpretação dos resultados. Neste contexto, tem surgido ao longo dos últimos anos modelos mais simples de análise que têm apresentado resultados satisfatórios quando comparados com os números decorrentes de ensaios experimentais realizados. A seguir uma revisão bibliográfica sobre estes modelos.

3.2.1 Método das Ligações Rígidas (Magenes G., Bolognini D. e Braggio C. , 2000) Este método foi inicialmente desenvolvido para paredes de edifício de múltiplos andares carregadas no seu próprio plano e foi sucessivamente estendido a problemas tridimensionais. Considera-se primeiramente o problema de uma parede de alvenaria com aberturas, carregada no plano, submetida a carregamento vertical constante e força horizontal crescente aplicada ao nível dos pisos. Se a geometria da parede e das aberturas for suficientemente regular, é possível idealizar uma parede de alvenaria como um pórtico equivalente constituído por colunas, vigas e nós conforme indicado na Figura 9 a seguir.



22

Figura 9 - Esquema de pórtico equivalente de uma parede carregada no plano

Se se admite que os elementos “nós” são infinitamente rígidos e resistentes é possível modelá-los numericamente através da introdução de trecho rígidos nas extremidades dos elementos de vigas e colunas e o modelo estrutural resultante é, portanto, equivalente a um pórtico plano com ligações rígidas nas extremidades dos elementos. As vigas são curtas e de grande altura e as colunas são baixas e largas, aspecto que demanda a consideração da deformação por cisalhamento nos elementos. A seguir breves considerações sobre os elementos que constituem o Modelo de Ligações Rígidas.

3.2.1.1 Elemento Coluna A Figura 10 a seguir apresenta detalhes do elemento coluna que é constituído de uma parte deformável com resistência finita e duas partes infinitamente rígidas nas suas extremidades.

Figura 10 - Detalhe do elemento coluna

A parte deformável do elemento, referida como altura efetiva, é usualmente definida como se mostra na, para levar em conta de modo aproximado a deformabilidade da alvenaria na região do nó.



23

,

h,

D

H

,h

Piso

30

300

<

h,

0

D300

h

030

30< 0

300

Piso

Figura 11 - Definição da altura efetiva do elemento coluna (Dolce, 1989)

Figura 12 – Aplicação da definição da altura efetiva do elemento coluna de Dolce, 1989

O comportamento do elemento coluna é formulado em regime elasto-plástico com limite de deformação e admite-se que ele tenha comportamento linear elástico até quando não seja verificado um dos possíveis mecanismos de ruptura. A matriz de rigidez do elemento tem a forma habitual de elementos de pórticos com deformação por cisalhamento e é facilmente obtida uma vez definidos os módulos de elasticidade longitudinal, transversal e a geometria da seção transversal. São previstos três mecanismos de ruptura, a saber: a) Ruptura por flexo-compressão Este mecanismo de ruptura ocorre quando o momento fletor M atuante em uma das seções extremas da parte deformável do elemento assume um valor último. Nesta seção é, então, introduzida uma rótula plástica, com hipótese de comportamento perfeitamente plástico. Se se admite que o peso próprio da parede possa ser desprezado comparativamente à magnitude da força normal P e



24

levando-se em conta os dados da Figura 13 com einf≥ esup, o valor do esforço cortante máximo é definido da condição de esmagamento da alvenaria comprimida na base inferior do painel, conforme a

−

⋅==⋅=⋅

uu f

pDPMePHVκ

12inf0max

onde D é o comprimento da seção normal do elemento coluna, t sua espessura, p = P/Dt é tensão de compressão média, fu é a resistência à compressão da alvenaria e κ é um coeficiente utilizado para se levar em conta a distribuição de tensões na zona comprimida. A altura H0 representa a distância da base à seção de momento nulo. O momento último é, portanto, calculado a partir da Equação 24 fazendo κ = 0,85 , o que corresponde a utilizar uma distribuição retangular das tensões de compressão.

Figura 13 – Cálculo simplificado da resistência a flexo-compressão (Magenes, G. e tal, 2000)

b) Ruptura por cisalhamento com fissuração diagonal A ruptura por cisalhamento com fissuração diagonal ocorre quando o esforço principal de tração atinge um valor limite ftu, considerado como resistência à tração convencional da alvenaria (Turnsek e Cacovic, 1971). Admite-se que, com relação ao estado limite último de ruptura por cisalhamento, a anisotropia da alvenaria pode ser desprezada o que conduz a utilização de apenas um parâmetro de resistência na determinação do esforço cortante último, conforme Equação 25.

dtN

fbdtfV m

tu

mtuu =+= σ

σ;1

onde d é o comprimento da parede, t sua espessura, b a relação entre a tensão de cisalhamento máxima e média e N é a força vertical aplicada. No caso da ruptura por cisalhamento, admite-se que ocorram deformações plásticas de cisalhamento no elemento, conforme se acha indicado na Figura 14 onde se estabelece um limite para a deformação angular θ = ϕ + γ , além do qual a resistência ao cortante se anula. A deformação angular θ é a soma das deformações de flexão - ϕ - e de cisalhamento - γ -, conforme se mostra na Figura 15.

Equação 24

Equação 25



25

Figura 14 – Comportamento inelástico do elemento coluna no caso da ruptura por cisalhamento

Figura 15 – Deformação angular na extremidade do elemento coluna

c) Ruptura por cisalhamento-escorregamento Assume-se que a ruptura do elemento coluna por escorregamento ocorra ao longo da camada de argamassa correspondente a uma das seções extremas da parte deformável. O critério de ruptura se fundamenta na resistência à tração convencional e é expresso por uma equação típica de Coulomb (Equação 26).

µστ += c A resistência ao cisalhamento da alvenaria é expressa coma a resistência ao cisalhamento unitária multiplicada pela área reagente da parede (a zona comprimida é calculada com a hipótese de material não reagente à tração) que resulta num esforço cortante expresso conforme a Equação 27, que se aplica a qualquer uma das seções extremas do elemento.

Equação 26

Vu

V

γ = θu - ϕ γ



26

+

+⋅=

pc

pcDtVv

d αµ

31

5.1

onde αv é a relação de cisalhamento M/VD com M = Pe, t é a espessura da parede, D é o seu comprimento e p é a tensão de compressão vertical P/Dt (vide Figura 16).

Figura 16 – Distribuição de tensões para o cálculo do comprimento reagente da parede

A deformação inelástica relativa à ruptura por escorregamento é modelada de maneira análoga à ruptura por fissuração diagonal com uma deformação plástica por cisalhamento que se desenvolve conforme indicado na Figura 14.

3.2.1.2 Elemento Viga O Elemento Viga é formulado de maneira análoga ao Elemento Coluna, definindo-se, portanto, um comprimento efetivo do elemento situado entre os dois trechos rígidos das extremidades. Se as aberturas forem alinhadas verticalmente, estudos indicam que se obtêm bons resultados admitindo que o comprimento efetivo seja igual ao vão livre da própria abertura. Caso as aberturas não sejam alinhadas verticalmente pode-se admitir uma definição do comprimento efetivo nos moldes indicado na Figura 17 a seguir.

Equação 27



27

Figura 17 - Definição do comprimento efetivo elemento viga (D. Liberatore, 2000)

São considerados dois possíveis mecanismos de ruptura: ruptura por flexo-compressão e ruptura por cisalhamento, com critérios similares aos que foram definidos para o Elemento Coluna. A resistência ao cisalhamento leva em conta a posição das camadas de argamassa com relação ao eixo do elemento e considera ainda que a compressão normal às mesmas sob as aberturas é praticamente nula. A Equação 28 expressa a resistência ao cisalhamento considerada.

cDtVu ⋅= onde c é a coesão, D é a altura do elemento viga e t sua espessura. A deformação inelástica associada à ruptura por cisalhamento advém de uma deformação plástica constante de cisalhamento que é seguida de uma diminuição da resistência até um valor αVu, uma vez ultrapassada um valor limite da deformação angular γ1 (Figura 18).

Figura 18 – Comportamento elasto-plástico-frágil de um elemento viga

Esta diminuição de resistência é seguida pela anulação do cortante resistente para uma deformação angular superior ao limite γ2 .

Equação 28

Vu

V

γ1 γ γ2

αVu



28

Análises comparativas realizadas (Magenes e Della Fontana, 1998) indicaram que a hipótese mais eficaz é aquela onde se faz γ1 coincidir com o limite elástico, o que significa assumir um comportamento elasto-frágil conforme se mostra na Figura 19.

Figura 19 – Comportamento elasto-frágil de um elemento de viga

3.2.2 Método das Ligações Flexíveis Este método, a exemplo do Método das Ligações Rígidas, utiliza o mesmo conceito de Pórtico Equivalente porém com pequena alteração na modelagem dos elementos que ligam as vigas e colunas. Com efeito, neste método a ligação é realizada através de elementos flexíveis, que são, na verdade, elementos finitos isoparamétricos de quatro nós para estado plano de tensões, usualmente referidos como elementos de junção, com dois graus de liberdade por nó. Os elementos de viga e coluna, que são elementos de barra com três graus de liberdade por nó, são transformados em elementos planos equivalentes através de uma matriz que relaciona os esforços nas extremidades do elemento plano com os esforços nas extremidades dos elementos de barra (viga ou coluna). Adicionalmente deve ser mantida a compatibilidade de deformações entre os elementos e também devem ser impostas equações de compatibilidade nas situações em que um nó intercepta o meio de um lado, aspecto comum nos casos de aberturas irregulares. A Figura 20 a seguir exibe os detalhes deste modelo.

Figura 20 - Método das Ligações Flexíveis (desenho de G. Gonchorovski, 2001)

Vu

V

γ1 γ γ2

αVu



29

3.2.3 Método das Ligações Flexíveis Modificado (Almeida, S de F., La Rovere, H. L., 1995) Desenvolvido por Almeida e LARovere, consiste numa evolução do Método das Ligações Flexíveis com o objetivo de melhorar sua precisão, de forma a aproximar os resultados obtidos daqueles que se consegue com a análise através do Método dos Elementos Finitos. A estratégia de modificação adotada consiste em sucessivas reduções do comprimento dos elementos rígidos nas extremidades dos elementos de viga-coluna.

4. MODELAGEM DE ELEMENTOS FINITOS DA ALVENARIA ESTRUTURAL A seguir serão abordados os aspectos metodológicos da formulação dos materiais (quasi-)frágeis que são utilizados na modelagem numérica da alvenaria estrutural, com especial enfoque nos diferentes modos de ruptura disponíveis nos elementos finitos encontrados na literatura, especialmente desenvolvidos para a análise com este tipo de material. A alvenaria estrutural não armada é um material compósito formado por blocos (unidades) e argamassas que apresenta diferentes propriedades direcionais, devidas principalmente às juntas de argamassa que se constituem potenciais planos de falha, ao longo dos quais pode se iniciar e se propagar o processo de ruptura da estrutura. O comportamento global do compósito alvenaria é determinado pelas propriedades de seus componentes e pela resistência e orientação das interfaces bloco/argamassa. Vários fatores podem influenciar esta resistência e tornar difícil a simulação numérica da alvenaria estrutural. Dentre estes fatores, pode-se destacar: a anisotropia e dimensão das unidades, a dimensão e orientação das juntas de argamassa, a posição relativa das juntas de argamassa horizontal e vertical, as propriedades da interface bloco/argamassa e a mão-de-obra utilizada no processo de construção. De uma maneira geral, a modelagem numérica da alvenaria estrutural pode enfatizar uma representação detalhada de todos os seus componentes (unidades, juntas de argamassa e interface unidades-argamassa), à qual normalmente se chama de micro-modelagem, ou adotar uma representação macro da estrutura (macro-modelagem) na qual o material é considerado como um compósito, dotado de propriedades elásticas médias, obtidas mediante procedimento de homogeneização. Dependendo do grau de acurácia e simplicidade desejados pelo analista é possível se utilizar uma das seguintes estratégias para a análise de estruturas de alvenaria, Figura 21 (Lourenço, 1996).



30

Figura 21 - Estratégias de Modelagens para Alvenaria: (a) micro-modelagem detalhada, (b) micro-modelagem simplificada e (c) macro-modelagem

a) micro-modelagem detalhada: unidades e juntas de argamassa são representadas através de elementos contínuos ao passo que a interface unidade-argamassa é representada por elementos descontínuos, Figura 21(a);

b) micro-modelagem simplificada: unidades expandidas são representadas por elementos contínuos

ao passo que o comportamento das juntas de argamassa e a interface unidade-argamassa são condensados em elementos descontínuos. Estes elementos representam locais preferenciais de ruptura onde ocorrem as fissuras de tração e corte, Figura 21 (b);

c) macro-modelagem: unidades, juntas de argamassa e interface unidade-argamassa são

condensadas no contínuo, Figura 21 (c). Naturalmente não se pode estabelecer uma hierarquia entre as estratégias de modelagem acima descritas tendo em vista que há campos de aplicação apropriados para micro e macro modelos. Com efeito, se se deseja obter uma visão mais detalhada (localizada) do perfil de distribuição de tensões do painel, uma abordagem com micro modelos é preferível ao passo que, em situações nas quais a estrutura em análise seja composta por paredes sólidas de grandes dimensões, de forma que as tensões ao longo de determinada dimensão possa ser essencialmente uniforme, uma abordagem com macro modelos é mais aplicável. O foco das análises promovidas até o presente estágio dos trabalhos em desenvolvimento considerou o estudo de painéis de alvenaria estrutural através da utilização de macro modelos e, sendo assim, desenvolver-se-á a seguir aspectos relativos à macro-modelagem.

4.1 Macro Modelos – Modelagem Contínua Anisotrópica De uma maneira geral, em grandes estruturas de alvenaria o comportamento da interação entre as unidades e as juntas de argamassa não determina o comportamento global da estrutura. Em situações como esta é preferível considerar modelos que possibilitem o estabelecimento de relação entre tensões e deformações médias na alvenaria, de forma a se obter informações globais sobre o mecanismo de sustentação de cargas da estrutura em análise com menor esforço computacional e humano. Por outro lado, devido à pouca disponibilidade de resultados experimentais e também devido à elevada complexidade na formulação do comportamento inelástico e anisotrópico da alvenaria (comportamento pré ou pós pico), a obtenção e implementação de macro-modelos encerra importantes dificuldades. Recentes modelos desenvolvidos (Rots, 1993, Lourenço e Rots, 1993, Lourenço et al, 1994) combinam as vantagens dos modernos conceitos da plasticidade com uma poderosa representação do comportamento anisotrópico do material, que inclui endurecimento/amolecimento ao longo de cada eixo do material. O modelo inclui uma combinação de uma superfície de escoamento Rankine-Type para tração e uma superfície de escoamento Hill-Type para compressão. Em termos do espaço de tensões principais o critério de escoamento de Rankine é expresso da seguinte maneira (Feenstra e De Borst, 1995), Figura 22, parte superior esquerda:

022

212

22121 =+

−+

+τ

σσσσ

Equação 29



31

O comportamento não linear consiste em amolecimento (softening) exponencial à tração nas duas direções, com diferentes energias de fraturas para cada valor de escoamento. A mais simples superfície de escoamento Hill-Type, que apresenta diferentes resistências à compressão ao longo dos eixos dos materiais é dada pela seguinte expressão, no espaço das tensões principais, Figura 22, parte inferior esquerda:

1212

2221

21 =+++ τσσσσ DCBA

Onde A, B, C e D são quatro parâmetros tais que B2-4AC < 0 , de forma a assegurar convexidade, e podem ser deduzidos diretamente das propriedades da alvenaria (Lourenço, 1996).

Figura 22 - Superfícies de escoamento Rankine e Hill-Type para o compósito alvenaria implementadas no Diana

(Diana, 1999)

Os diferentes comportamentos da alvenaria à tração e compressão uniaxial ao longo de duas direções ortogonais são mostrados na Figura 23, a seguir:

Figura 23 - Comportamento da alvenaria em tração uniaxial (esquerda) e compressão uniaxial (direita) ao longo

de duas direções ortogonais [de acordo com (TC MMM N9, 2000: RILEM Techinical Committee, Mechanical Modeling of Masonry)]

A vantagem do modelo de Lourenço é a extensão anisotrópica do comportamento do material. O comportamento combinado anisotrópico do material é descrito no regime elástico, plástico e em pós-pico e cuja aplicação leva a excelentes resultados tanto em termos da carga de colapso quanto

Equação 30



32

em termos de reprodução do comportamento. Por outro lado, este modelo não se encontra disponível na versão do Diana que se utilizou ao longo das análsies (versão 7.0).

4.2 Macro Modelos – Modelagem Contínua Isotrópica A formulação do comportamento isotrópico leva em consideração diferentes critérios inelásticos para tração e compressão, conforme se discutirá a seguir.

4.2.1 Alvenaria em compressão Para a alvenaria em compressão acham-se disponíveis diferentes modelos para o comportamento pós-pico que modelam o esmagamento da alvenaria. Particularmente, os modelos contemplados no Diana acham-se indicados na Figura 24 a seguir.

Figura 24 - Diferentes possibilidades para a modelagem da alvenaria em compressão (Diana, 1999)

4.2.2 Alvenaria em tração Para a alvenaria em tração, os critérios disponíveis no Diana acham-se representados na Figura 25, a seguir.

Figura 25 - Diferentes possibilidades para a modelagem da alvenaria à tração – Constante e Linear (Diana, 1999)

Do ponto de vista experimental, nenhum deles é perfeito para a modelagem da alvenaria (Page, 1981, 1983; Lourenço, 1996) e considerando que é extremamente difícil se obter resultados experimentais na área de ensaios em estado biaxial de tração-compressão e levando-se em conta, ainda, que os resultados disponíveis na literatura apresentam elevada variabilidade, torna-se difícil a tarefa de eleger um modelo preferencial para a representação da alvenaria em tração (Page, 1981, 1983).



33

No que respeita ao comportamento pós-pico, diferentes possibilidades acham-se disponíveis, Figura 26 a seguir.

Figura 26 - Alvenaria em tração – comportamento pós-pico (Diana, 1999)

Extensivas pesquisas desenvolvidas na alvenaria em regime da tração (Van der Pluijm, 1999) mostram que o comportamento exponencial simula bem o comportamento real da alvenaria. Nas análises realizadas ao longo do presente trabalho, o comportamento mecânico da alvenaria foi simulado através de um modelo de plasticidade contido no Diana que combina os critérios de Rankine, para ruptura à tração, e Von Mises para ruptura à compressão, que resulta na seguinte função de falha (Equação 31 e Equação 32):

PRRtRR ff 11 ;)(),( εκκσκσ && =−=

( ) ( ) ( )( )23

22

21

2221

21 3

2;)(),( PPPVMVMcVMVM ff εεεκκσσσσκσ &&&& ++=−+−=

Onde:

21 σσ e são as tensões principais;

iκ são as variáveis internas de estado ou deformações plásticas equivalentes; )()( VMcRt fef κκ são as resistências à tração e compressão unixial, respectivamente;

Piε& são as deformações plásticas principais e o ponto sobre a variável indica derivação com relação

ao tempo. A Figura 27 a seguir mostra a representação gráfica desta função de falha.

Figura 27 - Modelo de comportamento da alvenaria: critério de falha combinado Von Mises-Rankine

Equação 31

Equação 32



34

Esta combinação de superfícies de plastificação é especialmente aplicável em situações de estado plano de tensões e foi considerada nas análises realizadas ao longo do presente trabalho tendo em vista sua aplicabiliadde e disponibiliade da versão do Diana utilizada (7.2). As energias de fraturas à tração e à compressão são dadas pelas áreas correspondentes aos diagramas tensão-deformação uniaxial à tração e à compressão, mostrados de maneira esquemática na Figura 28 a seguir.

Figura 28 - Comportamento típico de materiais quasi-frágeis sobre carregamento uniaxial e definição da energia de fratura: (a) carregamento de tração (ft indica a resistência a tração); (b) carregamento compressivo(fc indica a

resistência a compressão) (Lourenço, 1996)

4.3 Propriedades dos Materiais Para aplicação prática do modelo relatado anteriormente vários parâmetros relativos aos materiais são necessários. Estes parâmetros acham-se a seguir elencados. - Propriedades Elásticas: Módulo de Elasticidade Longitudinal E, Módulo de Elasticidade

Transversal (G) e Coeficiente de Poisson (ν), - Alvenaria em compressão: resistência à compressão (fc), energia de fratura (Gfc) - Alvenaria em tração: resistência à tração (ft), energia de fratura (Gf,I)



35

5. MODELOS ANALISADOS

5.1 Definição do Problema O estudo das paredes de contraventamentos tem crescido em interesse nos últimos anos devido às dificuldades de modelagem e previsão dos diversos mecanismos de rupturas a elas associado (esmagamento, ruptura por tração e ruptura por corte). Vários programas de pesquisa teóricos-experimentais em larga escala têm sido desenvolvidos no sentido de oferecer elementos para o projeto de obras em alvenaria estrutural e, no caso particular das paredes de contraventamento, os resultados dos ensaios têm servido também para calibrar os modelos de elementos finitos utilizados em sua análise. A geometria dos painéis analisados no âmbito do presente relatório se acha indicada na Figura 29 a Figura 36, a seguir. Tratam-se de paredes estruturais típicas encontradas em grande parte das obras que utilizam esta tecnologia construtiva, todas constituídas de blocos de concreto com 14 cm de espessura, o que resulta numa esbeltez global dos painéis de 20. A resistência a compressão dos blocos é de 6,0 N/mm2. Os painéis contam com uma abertura de janela de dimensão 2,0 x 1,20 m e uma abertura de porta de dimensão 0,90 x 2,20 m e são continuamente apoiados ao longo de sua base.

A B C A B C

(a) (b)

Figura 29 – Modelos: (a) I ; (b) I-A

(medidas em cm)

BA C

Figura 30 – Modelo I-B



36

(medidas em cm)

A B C

Figura 31 - Modelos II

(medidas em cm)

(a) (b) Figura 32 - Modelos: (a) III ; (b) III-A

(medidas em cm)

A B C

Figura 33 - Modelo III-B



37

(medidas em cm)

Figura 34 - Modelo IV

(medidas em cm)

A B C

Figura 35 – Modelo V

(medidas em cm)

A B C

Figura 36 – Modelo VI

(medidas em cm)



38

Os Modelos I, I-A e I-B têm a mesma geometria e aberturas de janela e porta de iguais dimensões, entretanto o Modelo I conta aberturas niveladas ao passo que os Modelo I-A e I-B contemplam desnível entre as aberturas, sendo o primeiro com o nível superior da abertura da janela abaixo do nível superior da abertura da porta e o segundo em situação inversa. O Modelo II é similar ao Modelo I-B exceto que os comprimentos dos membros verticais foram duplicados em relação àquele modelo. Os Modelo III, III-A e III-B são variações do Modelo I, nas quais se considerou comprimentos diferentes para todos os membros verticais (no Modelo I há dois membros de comprimentos iguais – A e B.) e o Modelo IV é similar ao Modelo III-A com comprimentos de membros verticais duplicados. O principal objetivo do presente estudo é a investigação do perfil de distribuição da força cortante para os diversos membros da parede de contraventamento promovendo-se a um cotejo entre os resultados obtidos mediante recurso ao procedimentos clássicos de apropriação deste distribuição, já explicitados anteriormente e análises realizadas com o Método dos Elementos Finitos. A fim de se obter resultados mais próximos do comportamento real das paredes, foram realizadas análises em regime não linear utilizando uma macro modelagem contínua com os modos de ruptura sendo definidos através das propriedades dos materiais, apresentadas mais adiante. Adicionalmente, foi focalizada a atenção na forma como se distribui a força horizontal aplicada no topo das paredes e promovida uma comparação dos resultados com aqueles que se obtêm mediante recurso aos procedimentos analíticos disponíveis na literatura para este fim. Durante o colapso, diferentes mecanismos de ruptura, que são dependentes da relação entre o carregamento vertical e horizontal, se manifestam. A Figura 37 a seguir apresenta típicos mecanismos de falha das paredes de contraventamento dotadas de abertura central (Lourenço, 1996).

Figura 37 - Resultado experimentais sob acréscimo de deformação, Raijmakers e Vermeltfoort (1993); (a) possíveis localizações das fissuras diagonais; (b) fissuras horizontal por tração nos membros; (c) fissuras diagonais predominantes; (d) mecanismo de colapso com a formações de quatro blocos rígidos rotulados



39

É possível observar que a abertura define dois membros e que as fissuras em zigzag diagonal começam a aparecer a partir dos dois cantos da abertura em quatro prováveis locais. Com o incremento da deformação horizontal, as fissuras começam a surgir do lado de fora da parede na base e no topo dos membros verticais (piers). Ao final, forma-se o mecanismo de colapso, localizado no topo e na base, caracterizado pela formação de rótulas plásticas que impõem à estrutura o comportamento semelhante a quatro blocos rígidos interconectados pelas rótulas. Diversos estudos apontam que os danos em construções de alvenaria estrutural submetidas a carregamento lateral geralmente se localizam em algumas regiões das paredes portantes, nomeadamente nos seus membros verticais e lintéis. Se se considerar o fluxo de forças através da estrutura parece óbvio que embora os lintéis transfiram as forças horizontais, todas as forças aplicadas (verticais e horizontais) têm que ser transmitidas para a fundação através dos membros verticais, de forma que estes serão os elementos mais críticos da construção contribuindo de maneira decisiva para a capaciade de carga da mesma. Os painéis analisados, cujas geometrias acham-se indicadas nas Figura 29 a Figura 36 representam as paredes do térreo de uma edificação que será analisada para as situações de dois, quatro e oito pavimentos, com carregamentos aplicados em seu topo indicados a seguir: A - Edificação de Dois Pavimentos (Relação W/(G+Q) = 1:6,56) - Carregamento Permanente : G = 18,258 N/mm - Carregamento Acidental : Q = 6,125 N/mm - Carregamento Horizontal de Vento : W = 23,788 kN B - Edificação de Quatro Pavimentos (Relação W/(G+Q) = 1:6,77) - Carregamento Permanente : G = 45,713 N/mm - Carregamento Acidental : Q = 13,125 N/mm - Carregamento Horizontal de Vento : W = 55,624 kN C - Edificação de Oito Pavimentos (Relação W/(G+Q) = 1:6,32) - Carregamento Permanente : G = 100,625 N/mm - Carregamento Acidental : Q = 27,125 N/mm - Carregamento Horizontal de Vento : W = 129,446 kN As cargas permanentes consideradas na análise são as correspondentes à ação do peso próprio das lajes e das cargas fixas normativas relativas ao revestimento das mesmas, sendo adotado um valor de 3.000 N/m2 para as lajes de piso e 2.000 N/m2 para a laje de coberta. O valor adotado para o peso próprio das paredes foi de 19 kN/m3. As cargas acidentais correspondem às sobrecargas decorrentes da utilização dos pisos da edificação sendo adotado 2.000 N/m2 para as lajes de piso e 1.500 N/m2 para a laje de coberta. Para efeito de apropriação das ações sobre as paredes, foi considerado que as lajes da edificação são armadas numa só direção, com vãos de 3,5 metros de comprimento. O carregamento devido ao vento foi calculado de acordo com a norma brasileira NBR 6123 – Forças Devidas ao Vento em Edificações, adotando-se uma velocidade básica do vento de 30 m/s.



40

Os valores da força horizontal referidos acima correspondem à soma de todas as forças aplicadas ao nível de cada piso da edificação. A Figura 38 a seguir ilustra de maneira esquemática os carregamentos que atuam nos painéis assim como indica a localização do deslocamento horizontal de interesse para as avaliações promovidas ao longo do presente documento.

h∆W

G+Q

Figura 38 - Representação dos carregamentos aplicados em deslocamento horizontal de interesse

5.2 Modelo de Elementos Finitos As análises de elementos finitos realizadas foram implementadas utilizando-se o programa Diana 7.2 (Diana, 1998). A aplicação da força horizontal foi implementada pelo método de controle de deslocamentos. Foi considerada, nesta fase, uma modelagem plana com macro modelos em regime não linear e isotrópico. Os carregamentos verticais (permanente e variável) bem como o peso próprio dos painéis foram aplicados nos primeiros passos de carga. A força horizontal foi aplicada através de sucessivos deslocamentos horizontais incrementados até a ruptura, sendo consideradas, para cada painel analisado, a força horizontal atuando segundo as direções +X e –X. Elementos isoparamétricos de quatro nós foram utilizados na discretização dos painéis e a malhas típicas utilizadas acham-se indicadas na Figura 39, a seguir. As duas primeiras linhas de elemento do topo modelam a cinta de concreto armado existente sobre as paredes, através da qual foi simulada a hipótese de diafragma rígido, proporcionada pela laje de piso existente.

(a) (b)

Figura 39 – Malha de elementos finitos



41

O refinamento observado nas proximidades das aberturas da porta e janela foi considerado tendo em vista os elevados gradientes de tensão que ocorrem nestas localidades. A Tabela 3 a seguir apresenta as propriedades dos materiais utilizadas nas modelagens.

Material Módulo de Young

(N/mm2)

Coef. de Poisson

Energia de fratura na tração Gf

(N.mm/mm2)

Energia de fratura na compressão Gc

(N.mm/mm2)

Resistência à tração (N/mm2)

Resistência à compressão (N/mm2)

Alvenaria 3900 0,15 5,0 10 0,05 3,9

Tabela 3 – Propriedades dos materiais utilizados nas análises

6. RESULTADOS E DISCUSSÃO

6.1 Parede da Edificação de Quatro Pavimentos – Modelo I

6.1.1 Deslocamentos, Tensões e Deformações A Figura 40 a seguir apresenta o gráfico Força x Deslocamento Horizontal para o Modelo I para ação da força horizontal segundo as direções +X e –X. O perfil das tensões de cisalhamento no estágio de atingimento da força máxima também se acha indicado neste gráfico para as duas situações de aplicação da força horizontal.



42

Figura 40 - Curva da Força Horizontal x Deslocamento Horizontal – Modelo I – 4 Pav – W+X



43

Figura 41 - Curva da Força Horizontal x Deslocamento Horizontal – Modelo I – 4 Pav – W-X

Para as duas situações de carga consideradas (vento em +X e –X), é possível observar um comportamento global do painel com relativa simetria, tanto em nível de deslocamentos horizontais quanto em nível do perfil de distribuição das tensões de cisalhamento. Os deslocamentos horizontais máximos obtidos foram de 11,704 mm e 10,121 mm, correspondentes, respectivamente, aos valores máximos das forças horizontal agindo segundo as direções +X e –X. Por outro lado, o comportamento dos membros verticais ao longo do processo de incremento da força horizontal mostra-se marcadamente diferente, para as duas situações de carga estudadas. Isto ocorre porque as diagonais comprimidas que se formam em cada membro, não obstante apresentar um lógica de formação, muda consoante a direção da força aplicada, aspecto que concorre para a alteração das rigidezes dos membros verticais e consequentemente influencia a parcela do esforço cortante que é absorvido pelo respectivo membro. É possível observar ainda um processo de plastificação de alguns dos membros da parede que aponta uma certa ductilidade dos mesmos e que contradiz, em certo ponto, com a consideração de que a alvenaria estrutural não armada apresenta comporamento frágil. A ductilidade da alvenaria estrutural não armada, no entanto, não é uma ductilidade no sentido convencional, tal como aquela das estruturas de concreto armado que advém da deformação plástica do aço. No caso da alvenaria não armada a ductilidade está associada ao deslizamento relativo das partes dos elementos da parede ao longo das superfícies de fissuração sem perda significativa de resistência. É portanto uma função da força normal atuante, da geometria espressa através da relaão



44

entre altura e comprimento, das propriedades dos materiais e das condições de contorno da parede. Comportamento com semelhante formato foi observado nos demais modelos analisados. As forças máximas alcançadas para estas duas situações, 193,90 kN e 201,30 kN respectivamente, também se mostraram similares, o que conduziu a fatores de carga também similares – 3,5 e 3,6, respectivamente. Este fato permite concluir que a rigidez do painel é aproximadamente a mesma para ambas as situações da força horizontal aplicada. A força cortante máxima, calculada conforme procedimentos correntes de dimensionamento, conduziu a um valor máximo de 120 kN. No caso da força horizontal aplicada em +X, observa-se, ainda, um expressivo processo de fissuração nos diversos membros da parede conforme mostra a Figura 42.

Figura 42 - Deformações principais máxima W+X – Modelo I : Fase de Pico – 4 Pav

No caso da força horizontal aplicada na direção –X (Figura 43), observa-se o mesmo processo de fissuração nos membros da parede mas com menor expressão do que aquele observado para a força horizontal atuando segundo a direção +X. Pode-se observar ainda que o membro C sofre um levantamento de sua base, que indica um processo de ruptura localizado, a exemplo do que ocorre com membro A (Figura 42) ao nível do peitoril (mesma localização relativa, ou seja, no início da correspondente abertura). Este comportamento permite concluir que a massa de alvenaria situada abaixo do peitoril da janela se constitui um elemento de elevada rigidez que confere ao membro situado à esquerda desta abertura, com início no nível deste peitoril, um tipo de apoio semelhante ao membro situado à direita da porta (membro C) no nível da base.



45

Figura 43 - Deformações principais máxima W-X – Modelo I : Fase de Pico – 4 Pav

Outra observação que se pode constatar através do exame do perfil das deformações principais apresentados na Figura 42 e na Figura 43 é a formação das bielas segundo as diagonais, representadas pelas manchas escuras nas respectivas figuras. Alguns autores consideram uma modelagem aproximada de paredes de alvenaria estrutural através de bielas equivalentes (precisamente estas que se acham representadas), cujas propriedades de rigidez são determinadas através de fórmulas empíricas que levam em conta a geometria e parâmetros físicos da alvenaria.

6.1.2 Distribuição da Força Horizontal A seguir apresenta-se o comportamento dos modelos analisados, no que respeita à distribuição da força horizontal aplicada. O perfil desta distribuição foi examinado nas seguintes fases: - Fase elástica (com hipótese de ação simultânea ou não do carregamento vertical); - Fase de pico (com valor máximo da força horizontal atingido); - Fase correspondente à metade da força máxima obtida; - Fase pós pico e - Procedimento clássico, conforme item 2.

6.1.2.1 Modelo I – Fase Elástica – Vento +X Uma vez realizada a análise de elementos finitos, foi promovido um corte longitudinal passando pelos três membros verticais da parede e as tensões de cisalhamento neste nível foram calculadas. A Tabela 4 apresenta a distribuição das tensões de cisalhamento em cada membro para ação isolada da força horizontal e a Tabela 5 apresenta as mesmas tensões para ação conjunta do carregamento compressivo vertical e força horizontal de vento.



46

Membro A Membro B Membro C

x (mm)

τxy (N/mm2)

X (mm)

τxy (N/mm2)

x (mm)

τxy (N/mm2)

0 0,0412 3.000 0,1569 4.900 0,1666 269 0,0674 3.111 0,1574 4.944 0,1747 485 0,1066 3.222 0,1448 5.095 0,1737 659 0,1412 3.333 0,1163 5.203 0,1437 798 0,1785 3.444 0,0972 5.319 0,1171 910 0,1862 3.555 0,0958 5.443 0,1105

1.000 0,1781 3.666 0,1147 5.577 0,1082 3.777 0,1421 5.719 0,1037 3.888 0,1513 5.872 0,0933 4.000 0,1497 6.036 0,0737 6.212 0,0423 6.400 0,0233

x = distância até lado esquerdo da parede

Tabela 4 – Distribuição das tensões de cisalhamento – Modelo I – Fase Elástica – W+X – 4 Pav

Membro A Membro B Membro C x

(mm) τxy

(N/mm2) x

(mm) τxy

(N/mm2) x

(mm) τxy

(N/mm2) 0 0,0740 3.000 0,2741 4.900 0,3000

269 0,1171 3.111 0,2702 4.944 0,3137 485 0,1691 3.222 0,2446 5.095 0,3130 659 0,1511 3.333 0,1568 5.203 0,2267 798 0,1262 3.444 0,0678 5.319 0,1336 910 0,1175 3.555 0,0283 5.443 0,1056

1.000 0,1063 3.666 -0,0250 5.577 0,0944 3.777 -0,0551 5.719 0,0852 3.888 -0,0451 5.872 0,0734 4.000 -0,0415 6.036 0,0567 6.212 0,0324 6.400 0,0181


Tabela 5 - Distibuição das tensões de cisalhamento – Modelo I – Fase Elástica – W+X_+G+Q – 4 Pav

É possível observar que as tensões de cisalhamento nos contornos livres da parede não são iguais a zero como se esperava que fossem. Isto ocorre devido ao fato de que as tensões são avaliadas nos pontos de integração no interior dos elementos e posteriormente são extrapoladas para os nós geométricos do modelo, operação que normalmente introduz erros numéricos. Por outro lado, como



47

será realizada uma média das tensões de cisalhamento ao longo do comprimento de cada membro vertical para o cálculo da força horizontal que nele atua, os erros de extrapolação se cancelarão e a precisão da distribuição desta força será preservada. Também é possível observar que a ação do carregamento compressivo vertical contribui para uma importante alteração do perfil de distribuição das tensões de cisalhamento dos três membros verticais da parede que influenciará, por sua vez, a parcela da carga horizontal que solicitará cada membro vertical da parede. Para este modelo a relação entre o carregamento horizontal e vertical é de 1:6,77. A fim de se determinar a força cortante que atua num determinado membro da parede de contraventamento foi utilizado o procedimento a seguir descrito, tomando-se como referência a Figura 44, que representa uma camada de elementos finitos de um membro vertical típico da parede.

Figura 44 – Camada de elementos finitos num membro vertical típico da parede de contraventamento

A tensão de cisalhamento média no elemento 1 é definida da seguinte maneira:

49821 ττττ

τ+++

=média

mas, uma vez que τ1 = τ8 e τ2 = τ9 tem-se que a tensão de cisalhamento média no elemento 1 será dada por:

221 ττ

τ+

=média

e tensão média de cisalhamento no membro em exame é obtida a partir da seguinte expressão:

( )

total

ii

ii

membromédia l

l∑=

+

−

+

=

6

1

1

2ττ

τ

onde li é o comprimento do elemento finito i e ltotal é o comprimento total do membro em estudo. A força cortante neste membro é obtida mediante recurso à seguinte expressão:

Equação 33

Equação 34

Equação 35



48

membrodoespessuramembrodoocomprimentV membromédiamembro ••= −τ A Tabela 6 apresenta os resultados da aplicação do procedimento clássico de apropriação da força cortante que atua em cada membro da parede de contraventamento, conforme expressões apresentadas no item 2.2.

Membro Altura (h, mm)

Comprimento (L, mm)

Relação h/L Rigidez Relativa (N/mm)

Percentual (%)

Força Cortante

(N) A 1.200 1.000 1,200 108.333,33 37,041 20.603,69 B 1.200 1.000 1,200 108.333,33 37,041 20.603,69 C 2.200 1.500 1,467 75.802,14 25,918 14.416,62

Tabela 6 – Distribuição de força cortante – Modelo I – Fase Elástica – W+X – Procedimento clássico – 4 Pav

A Tabela 7 apresenta uma comparação da distribuição da força cortante considerando o cálculo pelo procedimento clássico e pelo método dos elementos finitos em regime elástico.

Força Cortante (N)

Membro

Procedimento Clássico MEF

Diferença Relativa

(%)

Percentual MEF (Relativo à força

aplicada) A 20.603,69 15.956,39 29,125 28,686 B 20.603,69 18.246,79 12,917 32,804 C 14.416,62 21.678,28 -33,497 38,973

Tabela 7 - Comparação de distribuição de força cortante – Modelo I – Fase Elástica – W+X – 4 Pav

Os valores apresentados na Tabela 7 permitem concluir que a utilização do procedimento clássico de apropriação da força cortante, quando comparado com os resultados obtidos pelo método dos elementos finitos em regime elástico, conduz a forças conservadoras para os membros A e B ao passo que o membro C apresenta uma força cortante subestimada, aspecto que concorre para o seu sub-dimensionamento. Ademais, um pequeno erro na rigidez dos elementos mais rígidos pode causar importante e inaceitável erro nos elementos menos rígidos, aspecto que se constitui numa insuperável desvantagem da utilização do procedimento clássico. Quando se considera a ação simultânea do carregamento compressivo vertical e da força horizontal, obtém-se os resultados apresentados na Tabela 8.

Equação 36



49

Força Cortante (N)

Membro


Diferença Relativa

(%)


aplicada) A 20.603,69 17.848,93 15,434 32,089 B 20.603,69 11.802,15 74,576 21,218 C 14.416,62 26.170,43 -44,913 47,049

Tabela 8 - Comparação de distribuição de força cortante – Modelo I – Fase Elástica – W+X_+G+Q – 4 Pav

Comparando os resultados apresentados na Tabela 8 com aqueles da Tabela 7 é possível observar que a atuação simultânea do carregamento vertical e horizontal introduz alteração no perfil de distribuição da força horizontal, muito embora permaneça ainda uma superestimação das forças cortantes nos membros A e B e subestimação no membro C, a exemplo do que foi observado quando atua a força horizontal isoladamente. Complementarmente é possível observar que a atuação concomitante dos dois carregamentos gera aumentos expressivos na superestimação e subestimação das forças cortantes nos três membros da parede.

6.1.2.2 Modelo I – Fase de Pico – Vento +X A Figura 45 a seguir apresenta o perfil de distribuição das tensões de cisalhamento na fase de pico, correspondente a uma força horizontal máxima de 193,85 kN o que perfaz um fator de carga de 3,5. Nela é possível se observar claramente o mecanismo de sustentação da força horizontal aplicada através dos três membros verticais da parede assim como a expressiva concentração das tensões de cisalhamento no membro C. Esta concentração de tensões concorrerá para uma maior magnitude da força cortante que solicita o membro C, conforme se constata na Tabela 9 a seguir, onde se observa que aproximadamente 50% da força máxima aplicada é suportada por este membro, ficando o restante da força distribuída entre os membros A (29%) e B (21%).

Figura 45 – Distribuição das tensões de cisalhamento na fase de pico – Modelo I – W+X – N/mm2 – 4 Pav



50

Membro Força Cortante (N)

% Relativo da Força Aplicada

A 56.658,96 29,228 B 42.064,63 21,699 C 97.571,90 50,333

Tabela 9 - Distribuição da força horizontal – Modelo I – Fase de Pico – W+X – 4 Pav

A distribuição da força horizontal na fase de pico – Tabela 9 – quando comparada com a distribuição advinda da análise de elementos finitos para atuação simultânea do carregamento compressivo vertical e da força horizontal no regime elástico – Tabela 8 – mostra que há pouca alteração na proporção da força horizontal aplicada que solicita cada membro da parede.

6.1.2.3 Modelo I – Fase Fmax/2 – Vento +X A Figura 46 e a Tabela 10 a seguir apresentam, respectivamente, a distribuição das tensões de cisalhamento para uma força equivalente à metade da força horizontal máxima e a distribuição desta força para os três membros da parede de contraventamento.

Figura 46 - Distribuição das tensões de cisalhamento na fase de Fmax/2 – Modelo I – W+X – N/mm2 – 4 Pav



A 29.064,68 29,292 B 23.346,97 23,530 C 47.208,10 47,577

Tabela 10 - Distribuição da força horizontal – Modelo I – Fase de Fmax/2 – W+X – 4 Pav

As mesmas considerações apresentadas anteriormente para a fase de pico são aplicáveis à fase de aplicação de metade da força horizontal máxima.



51

6.1.2.4 Modelo I – Fase Pós Pico – Vento +X O perfil das tensões de cisalhamento e a distribuição da força horizontal na fase pós pico acham-se representadas na Figura 47 e Tabela 11, onde se pode observar um comportamento semelhante àquele observado na fase de piso, sendo pertinentes, portanto, todas as considerações lá formuladas.

Figura 47 - Distribuição das tensões de cisalhamento na fase de pós pico – Modelo I – W+X – N/mm2 – 4 Pav

Membro Força Cortante

(N) % Relativo da Força

Aplicada

A 55.395,34 30,015 B 42.853,31 23,220 C 89.814,57 48,665

Tabela 11 - Distribuição da força horizontal – Modelo I – Fase Pós Pico – W+X – 4 Pav

O Gráfico 3, o Gráfico 4 e o Gráfico 5 a seguir condensam os resultados das diversas análises promovidas no Modelo I com força horizontal agindo segundo a direção +X, no que diz respeito à distribuição desta força para os diversos membros verticais da parede de contraventamento analisada.



52

Gráfico 3 – Resumo da distribuição da força horizontal: Modelo I - W+X: Membro A – 4 Pav

Gráfico 4 - Resumo da distribuição da força horizontal: Modelo I - W+X: Membro B – 4 Pav



53

Gráfico 5 - Resumo da distribuição da força horizontal: Modelo I - W+X: Membro C – 4 Pav

A observação destes gráficos mostra que o procedimento clássico de distribuição da força horizontal aplicada sempre superestimou a magnitude desta força nos membros A e B e a subestimou no membro C, para a parede de contraventamento analisada e em todos os estágios considerados.

6.1.2.5 Modelo I – Fase Elástica – Vento -X A seguir apresenta-se resultados da análise do mesmo modelo mas com o vento atuando na direção –X. Os mesmos procedimentos para a apropriação da força cortante em cada membro descritos anteriormente foram utilizados.



54


(mm) τxy

(N/mm2) x

(mm) τxy

(N/mm2) x

(mm) τxy

(N/mm2) 0 -0,0396 3.000 -0,1460 4.900 -0,1630

269 -0,0645 3.111 -0,1467 4.944 -0,1714 485 -0,1022 3.222 -0,1360 5.095 -0,1717 659 -0,1367 3.333 -0,1110 5.203 -0,1435 798 -0,1749 3.444 -0,0955 5.319 -0,1185 910 -0,1838 3.555 -0,0978 5.443 -0,1136

1.000 -0,1761 3.666 -0,1202 5.577 -0,1127 3.777 -0,1509 5.719 -0,1089 3.888 -0,1618 5.872 -0,0985 4.000 -0,1603 6.036 -0,0779 6.212 -0,0445 6.400 -0,0243


Tabela 12 - Distribuição das tensões de cisalhamento – Modelo I – Fase Elástica – W-X – 4 Pav


(mm) τxy

(N/mm2) x

(mm) τxy

(N/mm2) x

(mm) τxy

(N/mm2) 0 -0,0064 3.000 -0,0288 4.900 -0,0297

269 -0,0148 3.111 -0,0340 4.944 -0,0324 485 -0,0397 3.222 -0,0361 5.095 -0,0324 659 -0,1268 3.333 -0,0705 5.203 -0,0604 798 -0,2272 3.444 -0,1249 5.319 -0,1021 910 -0,2525 3.555 -0,1653 5.443 -0,1185

1.000 -0,2480 3.666 -0,2600 5.577 -0,1265 3.777 -0,3481 5.719 -0,1274 3.888 -0,3583 5.872 -0,1183 4.000 -0,3515 6.036 -0,0949 6.212 -0,0543 6.400 -0,0295


Tabela 13 - Distribuição das tensões de cisalhamento – Modelo I – Fase Elástica – W-X_+G+Q – 4 Pav

A Tabela 6 apresentada anteriormente permanece válida, uma vez que o procedimento clássico de apropriação da força cortante nos membros da parede de contraventamento não se altera com relação à direção de atuação da força horizontal. Sendo assim a mesma proporção contemplada nesta tabela para o procedimento clássico é válida para o vento atuando na direção –X. A Tabela 14 a seguir apresenta a comparação entre os resultados obtidos pelo procedimento clássico e aqueles decorrentes da análise de elementos finitos em regime elástico.



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Força Cortante (N)

Membro


Diferença Relativa

(%)


aplicada) A 20.603,69 15.493,28 32,985 27,854 B 20.603,69 18.248,42 12,907 32,807 C 14.416,62 22.136,04 -34,873 39,796

Tabela 14 - Comparação de distribuição de força cortante – Modelo I – Fase Elástica – W-X – 4 Pav

Os resultados apresentados na Tabela 14, quando comparados com aqueles da Tabela 7, mostram que a mudança na direção de atuação da força horizontal, no regime elástico e para ação isolada da força horizontal, introduz pequena perturbação no perfil de distribuição da mesma para os membros da parede, permanecendo notável uma superestimação da força cortante nos membros A e B e subestimação no membro C, a exemplo do que ocorre para a força horizontal atuando segundo a direção +X. Quando se considera a ação simultânea do carregamento compressivo vertical e da força horizontal, obtém-se os resultados apresentados na Tabela 15.

Força Cortante (N)

Membro


Diferença Relativa

(%)


aplicada) A 20.603,69 13.600,75 51,489 24,451 B 20.603,69 24.693,06 -16,561 44,393 C 14.416,62 17.643,89 -18,291 31,720

Tabela 15 - Comparação de distribuição de força cortante – Modelo I – Fase Elástica – W-X_+G+Q – 4 Pav

Comparando os resultados apresentados na Tabela 15 com aqueles da Tabela 14 é possível observar que a atuação simultânea do carregamento vertical e horizontal (direção –X) introduz alteração no perfil de distribuição da força horizontal podendo ser observada agora uma subestimação das forças cortantes que atuam nos membros B e C , comportamento diverso daquele que foi observado para a ação simultânea dos dois carregamentos com a força horizontal agindo segundo a direção +X ( Tabela 8).

6.1.2.6 Modelo I – Fase de Pico – Vento -X A Figura 48 a seguir apresenta o perfil de distribuição das tensões de cisalhamento na fase de pico, correspondente a uma força horizontal máxima de 201,26 kN o que perfaz um fator de carga de 3,6. Nela é possível se observar claramente o mecanismo de sustentação da força horizontal aplicada através dos três membros verticais da parede assim como a expressiva concentração das tensões de cisalhamento no membro B. Esta concentração de tensões concorrerá para uma maior magnitude da força cortante que solicita o membro B, conforme se constata na Tabela 16 a seguir, onde se observa que aproximadamente 45% da força máxima aplicada é suportada por este membro, ficando o restante da força distribuída entre os membros A (21%) e C (34%).



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Figura 48 - Distribuição das tensões de cisalhamento na fase de pico – Modelo I – W-X – N/mm2 – 4 Pav



A 42.878,74 21,305 B 90.421,50 44,927 C 69.107,88 34,337

Tabela 16 - Distribuição da força horizontal – Modelo I – Fase de Pico – W-X – 4 Pav

6.1.2.7 Modelo I – Fase de Fmax/2 – Vento -X A Figura 49 e a Tabela 17 a seguir apresentam, respectivamente, a distribuição das tensões de cisalhamento para uma força equivalente à metade da força horizontal máxima e a distribuição desta força para os três membros da parede de contraventamento.

Figura 49 - Distribuição das tensões de cisalhamento na fase de Fmax/2 – Modelo I – W-X – N/mm2 – 4 Pav



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A 23.018,96 22,891 B 41.763,86 41,532 C 36.313,99 36,112

Tabela 17 - Distribuição da força horizontal – Modelo I – Fase de Fmax/2 – W-X – 4 Pav

6.1.2.8 Modelo I – Fase de Pós Pico – Vento -X O perfil das tensões de cisalhamento e a distribuição da força horizontal na fase pós pico acham-se representadas na Figura 50 e Tabela 18, onde se pode observar um comportamento semelhante àquele observado na fase de piso, sendo pertinentes, portanto, todas as considerações lá formuladas.

Figura 50 - Distribuição das tensões de cisalhamento na fase de pós pico – Modelo I – W-X – N/mm2 – 4 Pav

Membro Força Cortante

(N) % Relativo da Força

Aplicada

A 44.379,77 23,832 B 70.557,49 37,889 C 73.295,65 39,359

Tabela 18 - Distribuição da força horizontal – Modelo I – Fase Pós Pico – W-X – 4 Pav

O Gráfico 6, o Gráfico 7 e o Gráfico 8 a seguir condensam os resultados das diversas análises promovidas no Modelo I com força horizontal agindo segundo a direção -X, no que diz respeito à distribuição desta força para os diversos membros verticais da parede de contraventamento analisada.



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Gráfico 6 - Resumo da distribuição da força horizontal: Modelo I – W-X: Membro A – 4 Pav

Gráfico 7 - Resumo da distribuição da força horizontal: Modelo I – W-X: Membro B – 4 Pav



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Gráfico 8 - Resumo da distribuição da força horizontal: Modelo I – W-X: Membro C – 4 Pav

Os resultados das demais análises paramétricas realizadas nos outros modelos contemplados na presente pesquisa encontram-se em anexo e mostram um comportamento similar ao que se acha apresentado nas figuras anteriores, no que respeita à distribuição da força cortante para os diversos membros verticais das paredes de contraventamento analisadas. As análises realizadas permitem concluir que a acurácia da distribuição da força cortante entre os membros verticais das paredes de contraventamento estudadas, decorrente da utilização de procedimentos clássicos de cálculo das rigidezes, pode conduzir a importantes erros, mesmo nos casos em que os membros têm aproximadamente a mesma rigidez. Nos modelos estudados foram observadas diferenças de até 45% nas forças cortantes que solicitam os membros, valor que é inaceitável do ponto de vista de projeto. Isto ocorre devido ao fato de que o cálculo das rigidezes dos membros é processado utilizando-se as propriedades geométricas brutas dos mesmos, sendo, desta forma, negligenciados os efeitos da fissuração e magnitude das forças axiais, aspectos que concorrem para a degradação das rigidezes dos membros ao longo do processo de carregamento da parede. Conclui-se, portanto, que o procedimento clássico de cálculo da rigidezes deve ser revisado de forma a levar em consideração os efeitos acima referidos.

7. CONCLUSÕES A rigidez de paredes de contraventamento dotadas de aberturas e submetidas a carregamento atuante em seu próprio plano se constitui num dado fundamental do processo de projeto destes elementos estruturais. Uma adequada estimativa desta rigidez permite ao projetista distribuir as forças laterias aos diversos membros verticais da parede, assim como possibilita a determinação dos deslocamentos laterais de forma a que sejam respeitados os estados limite de utilização da



60

edificação. Por outro lado, uma estimativa realística das rigidezes da própria parede e dos membros verticais de uma parede de contraventamento dotada de abertura não se constitui numa tarefa fácil, haja vista os diversos fatores intervenientes no seu cálculo, dentre os quais se destacam: o processo de fissuração, sua configuração geométrica, as condições de contorno, o nível de tensão normal. Para fins de projeto, é comum a utilização da rigidez elástica não fissurada da parede para o cálculo através de procedimento clássicos, conforme descrito ao longo do texto. Estes métodos, no entanto, não levam em consideração os efeitos acima referidos e a fim de se obter valores aceitáveis para as rigidezes é necessária a correção destes procedimentos. A pesquisa no sentido de se propor um procedimento de distribuição da força cortante em paredes de contraventamento se constitui, desta forma, o foco da continuação da presente pesquisa.

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