PECE – ES025 - lem.ep.usp.br · 1 Universidade de São Paulo Escola Politécnica - Engenharia Civil PEF - Departamento de Engenharia de Estruturas e Fundações PECE – ES025 ESTRUTURAS

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Universidade de São PauloUniversidade de São PauloEscola Politécnica Escola Politécnica -- Engenharia CivilEngenharia CivilPEF PEF -- Departamento de Engenharia de Estruturas Departamento de Engenharia de Estruturas

e Fundaçõese Fundações

PECE – ES025ESTRUTURAS DE CONCRETO

Exercício de Laje

Professores: Túlio N. Bittencourt

PECEPECE –– EES025S025

Exemplo 1:

• Calcular e detalhar as lajes esquematizadas na figura a seguir:

Dados:fck = 25 MPa; Aço CA50A; claje = 1,5 cm (Cobrimento mínimo das armaduras de laje)q = 2,0 kN/m²(carga acidental);enchimento = 16 kN/m³;vigas: bw = 12 cm e cviga = 2,0 cm

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Planta de Fôrmas:


Determinação das Cargas:

Cargas(kN/m²) L1 L2 L3Peso Próprio 0,08x25=2,00 0,07x25=1,75 1,75Revestimento 1,00 1,00 1,00Enchimento --- 0,25x16=4,0 ---Permanente 3,00 6,75 2,75

Acidental 2,00 2,0 2,00Total 5,00 8,75 4,75

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Cálculo dos Momentos Fletores:

Laje Tabela lx ly ly/lx α x α y β x β y mx my m'x m'yL1 1 4,0 5,0 1,3 15,9 22,4 5,0 3,6L2 1 2,5 3,0 1,2 16,9 22,3 3,2 2,5L3 2 2,5 3,0 1,2 22,0 23,8 10,1 1,4 1,3 -2,9

Apoio m'esq m'dir 0,8 m' m'médio m´L1 - L3 m'y = - 2,9 0,0 -2,4 -1,5 m´1-3 = -2,4

Armaduras de Flexão:Laje d (cm) m (kN.cm) md (kN.cm) x (cm) As (cm2) ρs Asmin (cm2) Asefetivo Escolha

6 mx = 500 700 1,03 2,88 0,10% 0,8 2,88 φ6,3 c/105,5 my = 360 500 0,80 2,24 0,10% 0,8 2,24 φ6,3 c/145 mx = 320 450 0,78 2,2 0,10% 0,7 2,20 φ6,3 c/14

4,5 my = 250 350 0,68 1,9 0,10% 0,7 1,90 φ5,0 c/115 mx = 140 200 0,33 0,92 0,10% 0,7 0,92 φ5,0 c/20

4,5 my = 130 180 0,34 0,96 0,10% 0,7 0,96 φ5,0 c/20L1 - L3 5 mbarra_13 = 240 340 0,58 1,62 0,15% 1,05 1,62 φ6,3 c/19

L1

L2

L3

• Nas lajes isoladas: [kN.m/m]

• Nos apoios contínuos: [kN.m/m]


Tabela de Armadura Mínima :

Onde: ρs = As/bw h e ρp = Ap/bw hNOTA - Os valores de ρmin constam da tabela 17.3 da NBR 6118/2003

-As/s ≥ 20 % da armadura principalAs/s ≥ 0,9 cm2/m

ρs ≥ 0,5 ρmin

Armadura positiva (secundária) de

lajes armadas em uma direção

ρs ≥ ρmin - 0,5ρp ≥ 0,5 ρminρs ≥ ρmin – ρp ≥ 0,5 ρminρs ≥ ρmin

Armadura positiva (principal) de lajes armadas em uma

direção

ρs ≥ ρmin - 0,5ρp ≥ 0,5 ρminρs ≥ 0,67 ρmin– ρp ≥ 0,5 ρmin

ρs ≥ 0,67 ρmin

Armaduras positivas de lajes armadas

nas duas direções

ρs ≥ ρmin - 0,5ρp ≥ 0,67 ρmin(ver 19.3.3.2 da NBR 6118)ρs ≥ ρmin– ρp ≥ 0,67 ρminρs ≥ ρmin

Armaduras negativas

Elementos estruturais com armadura ativa não aderente

Elementos estruturais com armadura ativa aderente

Elementos estruturaissem armaduras ativas

Armadura

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Tabela da Taxa de Armadura Mínima :

1) Os valores de ρmin estabelecidos nesta tabela pressupõem o uso de aço CA-50, γc = 1,4 e γs = 1,15. Caso esses fatores sejam diferentes, ρmindeve ser recalculado com base no valor de ωmín dado.

NOTA - Nas seções tipo T, a área da seção a ser considerada deve ser caracterizada pela alma acrescida da mesa colaborante.

0,2880,2590,2300,2010,1730,1500,1500,035Retangular

50454035302520

Valores de ρmin1) (As,min/Ac) %

Forma da seção fckωmin


Verificação Cisalhamento:

VSd ≤ VRd1

A resistência de projeto ao cisalhamento é dada por:

VRd1 = [τRd k (1,2 + 40 ρ1) + 0,15 σcp] bwdonde:τRd = 0,25 fctd = 0,32 MPa

fctd = fctk,inf / γc = 1,282 MPa

fctk,inf = 0,7 x fct,m = 0,7.2,565 = 1,795 MPa

fct,m = 0,3 x fck2/3 = 0,3.252/3 = 2,565 MPa

Considerando o cortante na direção X :

ρ1 = As1/bw x d = 3,15/100 x 6,0 = 0,525% (não maior que 0,02)

k = 1,6 – d [m] = 1,6 – 0,06 = 1,54

Verificação do cisalhamento na laje 1 para o momento Mx

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onde:

As1 = 3,15 cm2 (considerando toda a armadura)

bw = 100 cm (largura mínima da seção ao longo da altura útil d);

σcp = NSd / Ac = 0

NSd = 0 pois não existe força longitudinal na seção devida à protensão ou carregamento.

Assim,

VRd1 = [τRd k (1,2 + 40 ρ1) + 0,15 σcp] bw.d = [0,032 x 1,54(1,2 + 40 x 0,00525)+ 0] x 100 x 6 =

VRd1 = 41,7 kN/m

VSd = px . γf = 5,0 x 1,4 = 7,0 kN/mVRd1 = 41,7 > 7,0 = VSd

Não há a necessidade de estribos



Considerando o cortante na direção Y :

ρ1 = As1/bw x d = 2,5/100 x 5,5 = 0,454% (não maior que 0,02)

k = 1,6 – d [m] = 1,6 – 0,055 = 1,545

As1 = 2,5 cm2 (considerando toda a armadura)

bw = 100 cm (largura mínima da seção ao longo da altura útil d);

Assim,

VRd1 = [τRd k (1,2 + 40 ρ1) + 0,15 σcp] bw.d = [0,032 x 1,545(1,2 + 40 x 0,00454)+ 0]100 x 5,5 =

VRd1 = 37,56 kN/m

VSd = py . γf = 6,0 x 1,4 = 8,4 kN/mVRd1 = 37,56 > 8,4 = VSd

Não há a necessidade de estribos


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Arranjo das Armaduras:



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Tabela de Ferros:

Posição φ n CU CT φ CT PesoN1 5 92 102,0 279 5 531 85,0N2 6,3 35 520 205 6,3 437 109,3N3 6,3 36 420 151N4 5 60 70 42 M = 194,3 kgN5 6,3 21 258 54 V = 5,12x4,06x0,08= 1,66N6 5 30 318 95 2,56x3,06x0,07= 0,55N7 5 46 70 32 2,56x3,06x0,07= 0,55N8 5 13 268 35 2,76N9 5 15 318 48N10 6,3 13 208 27 Taxa de Consumo = 195,6/2,76 = 70,4 kg/m³

Tabela de Ferros Resumo

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Verificação da Flecha: (CQP)

Cálculo do Momento de Fissuração (Laje 1)

Mr = (α.fct,m. Ic)/yt = (1,5x2565x 4,27.10-5) / 0,04 = 4,1 kN.m

α = 1,5 para seção retangular;

fct,m já calculado anteriormente para o cisalhamento

Ic = b.h3/12 que é momento de inércia da seção de base 100 cm – ESTÁDIO I;

yt é a distância do centro de gravidade à fibra mais tracionada.

Como :Mr = 4,1 kN.m

Ma = 3,62 kN.m

Não se faz necessário o cálculo da flecha em ESTÁDIO II.


Verificação da Flecha: (CQP)

Flecha Imediata

Onde:α2 = 14,3 (laje tipo 1 com ly/lx = 1,25);

p = g + ψ2 q = 3,6 kN/m2 (valor da carga para a combinação quase permanente (ψ2 = 0,3 p/ edifícios

residenciais);

ai = (b.p.lx4) / 12.EI0 . α2 = (1 x 3,6 x 44) / 12 x 23,8 106 x 4,26 10-5 x 14,3 = 0,0053m

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Flecha Diferida no Tempo

∆ξ = 2 - 0,6773 = 1,3227

Verificação da Flecha:

t0 = 1 (tempo, em meses, que foi aplicado o carregamento)

t > 70 (tempo, em meses, que se deseja saber o valor da flecha)

Como:

ρ = 0 (não existe armadura negativa)

α f∆ξ

1 50 ρ⋅+:= αf = 1,3227

∆ξ ξ t( ) ξ t 0( )−:= para t ≤ 70 meses

ξ t 0( ) 0.68 0.996t 0( )⋅ t 0

0.32⋅:=

ξ t( ) 0.68 0.996t( )⋅ t0.32⋅:=

ξ(t) = 2 para t > 70 meses


Flecha Diferida no Tempo

Verificação da Flecha:

af = ai x αf = 0,0053x 1,3227 = 0,007 m

Flecha Total

aT = ai x (1+ αf) = 0,0053(1 + 1,3227) = 0,0123 m

alim = l / 250 = 0,0144 m OK!!

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Abertura de Fissuras: (CF)

w

7,5φ

7,5φ

7,5φ 7,5φ

7,5φ 7,5φ

c < 7,5φ

a (a < 15 φ)

Acr

Acr é a área da região de envolvimento protegida pela barra φi;

Esi é o módudo de elasticidade do aço da barra considerada (φi);

φi é o diâmetro da barra que protege a região de envolvimento considerada;

ρri é a taxa de armadura em relação à área da região de envolvimento (Acri);

σsi é a tensão de tração no centro de gravidade da armadura, no Estádio II;

η1 é o coeficiente de conformação da armadura (1 em barras lisas, 1,4 barras dentadas e 2,25 barras nervuradas)

≤

Cálculo da Abertura de Fissuras (Laje 1)

≤

+= 454..

.5,12 1

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risi

si

Ew

ρσ

ηφ

ctmsi

si

fEw

..3.

.5,12

2

1

12

ση

φ=


Abertura de Fissuras:

2

s

dsi

cri

scri

,26kN/cm250,8.6.3,15

3820,8.d.A

Mσ

5,53%0,05358,823,15

AAρ

===

====

2ctm

2si

2565kN/cm,0f

21000kN/cmE

=

=

7,5 φ

7,5 φ 7,5 φ

c = 1,5 cm

Acrit

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Abertura de Fissuras:

w = 0,0325 mm < wklim (tab 13.3-NBR6118/2003)

w < 0,4 mm OK!

mmw

w

0325,0

45053,04

2100026,25

25,25,123,6

1

1

≅

+

×=

mmw

w

08,0

256,02100026,253

25,25,123,6

2

2

2

≅

××

×=

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