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PERCEPÇÕES DE FUTUROS PROFESSORES DE MATEMÁTICA SOBRE A

FUNÇÃO AFIM E SEU ENSINO: UMA ANÁLISE A LUZ DAS

REPRESENTAÇÕES SEMIÓTICAS

Mikaelle Barboza Cardoso – Secretaria de Educação Básica – SEDUC/CE

Silvana Holanda da Silva – Ma. Universidade Estadual do Ceará

Ana Cláudia Gouveia de Sousa – Ma. Universidade Federal do Rio Grande do Norte

Resumo

O presente trabalho objetivou analisar as percepções conceituais e didático-

metodológicas dos futuros professores de matemática em relação ao ensino de função

afim. Para este artigo, tomou-se como aporte teórico a Teoria dos Registros de

Representação Semiótica (TRRS) de Raymond Duval, que coloca as representações

semióticas em evidência, dado a importância que estas têm no ensino e aprendizagem da

Matemática. Segundo o autor, as representações semióticas são caracterizadas por serem

sistemas semióticos potencialmente produtores que podem nos levar a descoberta de

novas representações e objetos matemáticos, além disso, possuem operações cognitivas

específicas que se diferencia dos códigos e dos sistemas formais. A pesquisa foi

realizada com treze graduandos do curso de Licenciatura Plena em Matemática da

Universidade Estadual do Ceará (UECE). A coleta de dados efetivou-se através da

resolução, pelos discentes, de um questionário semiestruturado. Tal instrumental

continha quatro questões, no entanto, para este trabalho, selecionou-se somente uma

para análise, tendo em vista a adequação ao objetivo definido. Os graduandos

dispuseram de até duas aulas de 50 cinquenta minutos cada para responder

individualmente as questões propostas. Constatou-se que os licenciandos possuem

dificuldades conceituais acerca de função afim e metodológicas sobre seu ensino. Além

disso, foram percebidas dificuldades nas atividades cognitivas de formação, tratamento

e conversão, bem como dificuldades de interpretação da questão proposta e produções

de respostas em língua materna. Propõe-se, dessa forma, um trabalho de formação mais

efetivo e sólido com esses graduandos em relação aos conhecimentos específicos,

didáticos e pedagógicos acerca de função afim, destacando as diversas representações

que esse objeto matemático pode apresentar.

Palavras-chave: Formação de professores de Matemática. Função afim. Representações

semióticas.

Introdução

As discussões sobre a qualidade do ensino trazem à tona reflexões relevantes

acerca da formação do professor de Matemática. Nessa perspectiva vem crescendo o

número de pesquisas que tratam desse tema, abordando questões importantes como:

avaliação de cursos de licenciaturas, a complexidade da prática pedagógica, concepções/

percepções dos professores de matemática além da discussão acerca dos currículos

Didática e Prática de Ensino na relação com a Formação de Professores

EdUECE- Livro 205267

adotados (FERREIRA, 2003). Essas pesquisas convergem para pontos comuns, sendo

considerados como desafios a serem superados.

Entre esses desafios está o ensino e a aprendizagem de função. De acordo

com Lima (2008), as dificuldades na compreensão do conceito de função constituem um

problema geral, ou seja, não se restringe a alunos da Educação Básica e Ensino

Superior, mas também a professores de Matemática. A autora afirma que as dificuldades

mais importantes estão relacionadas às múltiplas representações que esse objeto

matemático pode assumir, bem como as “[...] transformações, há trocas conceituais

entre o conceito de função e equação, aos conceitos de domínio, contradomínio e

imagem de funções e a distinção entre variáveis dependentes e independentes” (LIMA,

2008, p. 45).

Atualmente não se pode negar a importância das representações para a

matemática. As investigações apontam para a importância de um ensino pautado na

utilização de múltiplas representações, como forma de diminuir as lacunas conceituais

na aprendizagem, buscando, assim, uma maior e melhor apreensão do objeto

matemático (LOPES, 2003).

É precisamente para esse ponto que este trabalho pretende focalizar a atenção,

ancorado na Teoria dos Registros de Representação Semiótica (TRRS), cuja elaboração

e desenvolvimento é atribuída ao psicólogo e filósofo Raymond Duval. A teoria de

Duval ganhou destaque nas últimas duas décadas no Brasil, reforçando a especificidade

da linguagem Matemática, destacando o papel das representações semióticas como

fundamentais para a compreensão em matemática. Além disso, não obstante o papel das

representações, para que ocorra a apreensão desse conhecimento é necessário o

desenvolvimento de operações cognitivas peculiares da atividade matemática.

Vale destacar que é imprescindível compreender como utilizar essas diferentes

representações semióticas. Nesse contexto, a ideia de compreender um objeto

matemático na sua plenitude perpassa pela importância da coordenação entre diferentes

registros de representação. É nesse sentindo que Duval (2009) acredita que possam

ocorrer avanços nos processos de conceituação para os conteúdos dessa disciplina.

Além disso, as representações semióticas, de acordo com o autor, também são

definidas por favorecer três atividades [operações] cognitivas fundamentais: a formação,

o tratamento e a conversão.

No que se refere à formação, “[...] consiste na constituição de uma representação

coerente, capaz de conter todos os elementos indispensáveis para a sua compreensão”



(SOUSA, 2010, p. 58). Além disso, cada registro de representação possui regras de

funcionamento internas ao sistema semiótico utilizado, que são denominadas regras de

conformidade. Sem o conhecimento dessas regras estruturais e funcionais é impossível

efetivamente formar uma representação.

A segunda atividade cognitiva a ser desenvolvida diz respeito ao tratamento.

Quando tratamos 9+6, 45/3, 225, 5x3, (7/2 + 23/2) observamos diferentes custos

cognitivos que depende da operação a ser realizada. Constatamos também que todos

expressam o mesmo objeto matemático, o número “15” diferenciando-se nos signos

[elementos] que cada um possui.

Vale destacar, nesta teoria, as críticas que são atribuídas à ênfase dada nas

práticas pedagógicas à atividade de tratamento e formação (DUVAL, 2009). Para o

autor, o docente tende a utilizar o registro mais facilmente vinculado ao ensino de

determinado conteúdo. Passa muitas vezes a utilizar um único registro de representação

semiótica, isto é, trabalha no monorregistro. Por exemplo, um professor que se utiliza

apenas do registro algébrico para tratar de funções em detrimento dos demais: gráficos,

tabelas e língua materna, tende a limitar o domínio conceitual do aluno.

A terceira atividade cognitiva é a conversão. Trata-se de um tipo de

transformação externa ao registro de partida, formando-se uma nova representação em

outro registro, preservando, entretanto, o objeto representado. Segundo Duval (2009), a

conversão é menos desenvolvida em sala de aula e é, por muitas vezes, considerada

atividade realizada facilmente pelos estudantes, quase automática. Ou seja, presume-se

que ao realizar os tratamentos nos diferentes registros, os estudantes perceberão a

relação existente entre as representações do mesmo conteúdo nos diferentes registros.

Contrariamente a essa prática, o autor adverte que as relações entre os diversos

registros de representação semiótica não acontecem de forma espontânea. De acordo

com Cardoso (2013, p. 71), “[...] é a articulação dos registros que constitui uma

condição de acesso à compreensão matemática, e não o inverso, qual seja, o

enclausuramento em cada registro”.

Diante do que foi exposto, o objetivo do presente trabalho é analisar as

percepções conceituais e didático-metodológicas dos futuros professores em relação ao

ensino de função afim. Para tanto, analisou-se as respostas dadas pelos futuros

professores a uma questão focalizando o uso das representações semióticas para o

ensino de função, identificando possíveis dificuldades dos graduandos nas atividades



cognitivas de formação, tratamento e conversão. A seguir, será apresentado o percurso

metodológico e a análise dos dados empíricos.

Percurso metodológico

A pesquisa foi realizada na Universidade Estadual do Ceará – UECE, campus

Itaperi com 13 (treze) estudantes do curso presencial de Licenciatura Plena em

Matemática. Além disso, todos os graduandos estavam cursando a disciplina de Prática

de Ensino I, referente ao 5° semestre. Os discentes dispuseram de até duas aulas de 50

cinquenta minutos cada para responder a um questionário com quatro questões abertas

que envolviam situações-problemas diversas. Entretanto, devido às restrições das

normas de publicação do evento para o qual envia-se este artigo, selecionou-se apenas

uma questão para análise. Ver no quadro 1 (ANEXO A).

Nessa perspectiva analisando especificamente a situação-problema 1, percebe-se

que o item “a” trata de uma conversão da Língua Materna para o Registro Algébrico

(LN→RA) e um tratamento no Registro Algébrico (RA), já o item “b” trata de uma

conversão do Registro Algébrico para o Registro Gráfico (RA→RG).

Nesse sentindo, os licenciandos deveriam interpretar a situação-problema 1 e em

seguida assinalar quais representações (Concreta, Gráfica, Algébrica, Numérica, Tabela,

Língua materna...) eles utilizariam para explicar o problema para os alunos; além disso,

foi solicitado que expressassem por escrito de que maneira se daria o uso dessas

representações na explicação.

No tópico a seguir, serão apresentadas as análises dos dados empíricos coletados

junto aos graduandos, quando da aplicação do referido questionário sobre função.

Resultados e Discussão

Representações escolhidas

No que se refere ao item “a”, que corresponde a quais representações os

graduandos utilizariam para a explicação da situação-problema 1 aos estudantes,

verificou-se que 1 licenciando deixou a questão em branco, 5 graduandos assinalaram

apenas 1 representação, 6 graduandos marcaram 2 representações e apenas 1 graduando

considerou 3 representações. Entre as quais as representações algébricas (6 graduandos),

gráfica (5 graduandos) e tabular (4 graduandos) estiveram entre as mais utilizadas para

explicar a questão aos alunos.

É possível perceber as dificuldades dos graduandos em reconhecer a

possibilidade de uso de diferentes representações da função para trabalhá-la

didaticamente, isso pode estar atrelado às experiências vivenciadas por eles de ensino e



aprendizagem acerca de função, restringindo-se a único tipo de representação, ou seja,

trabalham no monorregistro.

De acordo com Duval (2011a), do ponto de vista matemático basta um único

registro de representação para a realização de uma atividade matemática. Além disso,

costuma-se privilegiar a resolução das situações – problemas, ou seja, o tratamento em

um único registro, limitando o domínio conceitual do estudante já que este passa a não

mais reconhecer os diferentes registros de um mesmo objeto matemático além da

dificuldade do estabelecimento das diversas relações existentes entre os múltiplos pares

possíveis de registros.

Vale destacar também que apenas 1 licenciando (L12) assinalou o registro em

Língua Materna, revelando a ausência de familiaridade com esse tipo de representação

no trato didático da matemática. A importância desse registro de representação, na visão

do autor, está na “[...] espontaneidade discursiva que serve de ponto de ancoragem a

toda a aprendizagem ligada a um ensino” (DUVAL, 2009, p. 106).

Quando perguntados como se daria o uso dessas representações, constatou-se

que 1 licenciando deixou a questão em branco, 6 explicitaram como ensinariam para os

estudantes a situação-problema, 4 resolveram o problema se colocando no lugar do

aluno, 1 licenciando apenas pontuou como o estudante deveria responder aos itens e 1

graduando confundiu metodologias/tendências matemáticas com as próprias

representações. A seguir, têm-se a análise detalhada desses resultados.

Caso 1 – Graduandos que explicitaram como ensinariam para os estudantes a

situação-problema 1.

Através dos dados analisados, contatou-se que, nessa categoria, 2 licenciandos

relacionaram mais de duas representações na explicação, 3 obtiveram explicações

parciais com ênfase na resolução da situação-problema e 1 utilizou apenas a língua

materna para sintetizar a explicação sem o uso de outras representações.

Na primeira subcategoria, dos 2 licenciandos que utilizaram diversas

representações nas explicações, destaca-se que as respostas dos referidos graduandos

foram as que mais se aproximaram do que foi solicitado no item “b” do questionário.

Também observou-se a presença das representações em língua materna, registro

algébrico, gráfico e tabela na explicação do problema. Apresenta-se na figura 1

(ANEXO B) um exemplo de explicação.

Nesse sentindo, pode-se observar a importância da representação para a

matemática, já que cada registro de representação é uma forma parcial de acesso ao



objeto matemático, portanto torna-se imprescindível a compreensão de diversos

registros de representação de um mesmo objeto como forma de percebê-lo na sua

totalidade, além da importância de se conhecer os diferentes tratamentos que cada

representação possui. É nessa perspectiva, de acordo com Duval (2003), que podem

ocorrer amplas apreensões conceituais.

Na segunda subcategoria, dos licenciandos com explicações parciais com ênfase

nas resoluções da situação-problema, destacam-se dois casos Figura 2 (ANEXO C) e

Figura 3 (ANEXO D).

No primeiro caso, no item “a”, o licenciando L13 utiliza-se do tratamento para

obter a resposta de 20 litros, porém não deixa explícito como seria a explicação dessa

situação para os estudantes e nem como se daria o uso das representações na explicação.

Além disso, o referido graduando constrói uma tabela, por isso infere-se que a formação

dessa representação se constitui uma maneira do mesmo compreender e interpretar para

si a situação-problema apresentada. O item “b” não é mencionado pelo licenciando,

quer seja pela dificuldade de conversão do registro algébrico para o registro gráfico ou

por não saber como seria a explicação dessas representações para os alunos.

Segundo Duval (2009), a conversão necessita de uma maior atenção, pois no

ensino geralmente tende-se a privilegiar as atividades cognitivas de formação e

tratamento. Sendo a atividade cognitiva menos desenvolvida em sala de aula por ser

considerada de fácil acesso aos estudantes. Contudo, observa-se que as relações

estabelecidas entre os diversos registros de representação semiótica não acontecem de

forma espontânea pela maior parte dos estudantes, necessitando de um trabalho

didático-metodológico com esse fim.

Já no caso do licenciando L2 (Figura 3) a ênfase é dada ao registro gráfico do

item “b”, ou seja, o item “a” deixa de ser mencionado na sua explicação, o licenciando

utiliza-se da abordagem ponto a ponto. De acordo com Duval (2011 b, p. 98), “[...] é

por meio desta abordagem que são introduzidas e definidas as representações gráficas.

Em referência aos dois eixos graduados, um par de números permite identificar um

ponto (e inversamente, um ponto se traduz por um par de números)”. Nesse sentindo, de

maneira associativa, essa abordagem acaba se limitando a valores particulares e aos

pontos marcados no plano cartesiano.

Por fim, apenas 1 licenciando (L10) utilizou-se da língua materna para sintetizar

a explicação sem o uso de outras representações (Figura 4 – ANEXO E). Percebe-se que

esse graduando não explicou como se daria o uso das representações na sua explicação,



ou por não saber de forma efetiva como fazê-lo ou por não ter compreendido o

enunciado do item “b”.

Além disso, a explicação do referido graduando pode revelar desconhecimento

das regras de formação dessas representações, ou seja, sem o conhecimento das regras

estruturais e funcionais de cada registro o insucesso dos estudantes aumenta

consideravelmente no tratamento de um problema matemático.

Caso 2 – Graduandos que resolveram o problema se colocando no lugar no aluno.

Neste caso, percebeu-se a necessidade do tratamento dos dados, mesmo que não

tenha sido o foco da pergunta. Nessa categoria, destacam-se as produções dos

licenciandos L6 e L9.

No exemplo no licenciando L6 (Figura 5 – ANEXO F), verificou-se as tentativas

de encontrar a solução da situação-problema. As dificuldades enfrentadas pelo

graduando revela pouco domínio conceitual do conteúdo, isso é revelado nas tentativas

de proporção do estudante e na ausência do item “b” que se refere ao registro gráfico da

função f(x) = 2,5x.

A resolução algébrica do problema também pode ser vista no exemplo do

licenciando L9 (Figura 6 – ANEXO G). Percebem-se em ambos os casos a dificuldade

de representar a função afim no registro gráfico. Isso pode ocorrer devido ao

desconhecimento das variáveis pertinentes e a correspondência das unidades

significantes no registro algébrico e no registro gráfico. Essas dificuldades, muitas

vezes, decorrem do aprisionamento a um único tipo de registro de representação

semiótica, mencionado por Duval (2003).

Além disso, essas lacunas conceituais podem perdurar desde o Ensino

Fundamental até o Ensino Superior, ou seja, essas ideias estão de acordo com Lima

(2008), quando afirma que mesmo os alunos apresentando essas dificuldades entre

outras, eles ingressam em disciplinas de conhecimentos avançados em matemática já no

primeiro semestre. Isso ocorre porque de alguma maneira se tem a falsa ideia que esses

estudantes já possuem conhecimentos de base sólida. Os estudos da autora revelaram

que mesmo entre os estudantes concluintes do Ensino Médio, muitos apresentam

lacunas conceituais, além disso, a autora salienta ser imprescindível um trabalho efetivo

com esses conhecimentos prévios dos estudantes com o objetivo de alcançar uma

efetivação da aprendizagem conceitual além de ser essencial estudar problemas

elementares de Matemática por meio de metodologias alternativas de ensino.



Caso 3 – Graduando que pontuou como o estudante deveria responder aos itens da

situação-problema 1.

Neste caso, destaca-se a explicação do licenciando L7 (Figura 7 – ANEXO H).

Ressalta-se que o referido estudante não apresentou como explicaria aos alunos a

situação – problema 1, também não mencionou como se daria o uso efetivo das

representações. Isso pode ser reflexo da ausência da articulação entre as disciplinas

didáticas e específicas dos cursos de licenciaturas, ou seja, a dicotomia entre teoria e

prática permanece como sendo um campo de grande desafio para os futuros professores.

De acordo com Libâneo (2010), a qualidade da educação é essencial, sendo

necessária uma efetiva formação teórica e prática para os professores. O autor ainda

salienta a importância da didática na formação dos professores, sendo, portanto,

imprescindível a inclusão desta nos currículos e programas de pesquisas. Dessa forma,

Ferreira (2003, p.35) complementa que atualmente ocorre uma tendência mundial de

mudança em relação às pesquisas brasileiras, “[...] aos poucos, a formação de

professores passa a ser entendida como um processo contínuo por meio do qual o

sujeito aprende a ensinar”.

Caso 4 – Graduando que confundiu metodologias/tendências matemáticas com as

próprias representações.

Por fim, na última categoria analisada, o licenciando L3 (Figura 8 – ANEXO I)

confundiu a tendência matemática denominada modelagem matemática com as próprias

representações. De acordo com Silva, Bertoni e Baccartin (2010, p. 33), essa tendência

“[...] é o processo que envolve a obtenção de um modelo para a resolução de uma

situação-problema”, além disso, requer uma postura investigativa, dinâmica, senso

crítico como forma de refletir e solucionar um determinado contexto, construindo assim

soluções generalizadas.

Em contrapartida, de acordo com Duval (2011a), os registros de representação

semiótica são caracterizados essencialmente pelas atividades cognitivas particulares que

eles permitem efetuar, quais sejam: formação, tratamento e conversão. Além disso, são

caracterizadas por serem sistemas semióticos potencialmente produtores que podem

levar à descoberta de novas representações e objetos matemáticos.

Considerações finais

Constatou-se que os referidos graduandos possuem dificuldades conceituais

acerca de função afim e metodológicas sobre seu ensino, não percebendo a importância



e os papéis que as representações semióticas desempenham no ensino e aprendizagem

da Matemática. Além disso, não estão familiarizados com o registro em língua materna,

visto que, apenas um licenciando assinalou essa representação como forma de explicar

um problema a um aluno.

No que se refere às atividades cognitivas de formação, tratamento e conversão,

constatou-se dificuldades em formar uma representação no registro algébrico, como o

caso do licenciando L6; dificuldades de compreender o que a questão propunha, como

no caso do licenciando L9, que recorreu somente ao tratamento da situação-problema;

dificuldades em produzir por escrito em língua materna como no caso do L10, L6, L9,

L7 entre outros. Essas dificuldades podem estar atreladas às experiências de

aprendizagem e ensino vivenciadas pelos graduandos durante toda a sua Educação

Básica até o Ensino Superior.

Diante desse contexto, salienta-se a necessidade de um trabalho de formação

mais efetivo e sólido com esses graduandos em relação aos conhecimentos específicos,

didáticos e pedagógicos acerca de função afim, enfatizando também suas diferentes

representações semióticas.

Referências

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Curso de Mestrado acadêmico em Educação. Universidade Estadual do Ceará,

Fortaleza-CE, 2010.

Anexos

ANEXO A Quadro 1: Questão respondida pelos graduandos.

ANEXO B

Figura 1: Resposta do L4.



ANEXO C

Figura 2: Explicação do L13.

ANEXO D


ANEXO E


ANEXO F

Figura 5: representação do L6.

ANEXO G



Figura 6: Representação algébrica do L9.

ANEXO H

Figura 7: Explicação do Estudante L7.

ANEXO I

Figura 8: Explicação do L3



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