Plano de Aula- Leticia Tonetto -

Apresentado ao Departamento de Desenvolvimento de Pessoas daUniversidade Federal de Santa Catarina para o concurso de ProfessorAdjunto (Edital 154/DDP/2015) para vaga em Matemtica Aplicada -

Campus Blumenau.

Blumenau, 2016.

Ttulo da aulaDiferenciabilidade no Rn: Derivada parciais, derivadas direcionais e diferenciabilidade.

Objetivos da aula Estender o conceito de diferenciabilidade de funes reais de uma varivel, para o mesmoconceito relativo funes reais de n variveis; Definir derivadas parciais e derivadas direcionais. Estabelecer critrios que garantam a diferenciabilidade de funes reais de n variveis,bem como estabelecer que funes diferenciveis em Rn so contnuas, e que ter derivadasparciais e direcionais em algum ponto no garante que a funo f seja contnua nesseponto.

Recursos didticosQuadro branco, caneta para quadro branco, recurso multimdia.

Pr-requisitosPara o desenvolvimento desta aula o aluno deve ter conhecimentos prvios de Anlisena Reta, bem como familiaridade com noes topolgicas no Rn, dentre elas limites econtinuidade .

1 MotivaoUma funo f de uma varivel derivvel ou diferencivel em x0 se tiver uma derivadaem x0, ou seja, se existir o limite

f (x0) = limh0

f(x0 + h) f(x0)h

. (1)

Como uma consequncia de (1), uma funo diferencivel possui as seguintes propriedades

O grfico de y(x) = f(x) tem uma reta tangente no-vertical no ponto (x0, f(x0)); f poder ser bem aproximada por uma funo linear perto de x0; f contnua em x0.Para uma funo de uma varivel a noo de diferenciabilidade baseada na ideia

de que uma funo diferencivel num ponto se na proximidade desse ponto puder seraproximada por uma funo linear.

Questo: como estender essa noo para funes reais de n variveis?

2 Metodologia

2.1 Derivadas parciaisQuando se estudam funes reais de n variveis, isto , definidas em subconjuntos doespao Rn, se busca para essas funes uma noo de derivada com propriedades anlogass de derivada de uma funo definida em um intervalo. A definio que surge de maneiramais imediata a de derivada parcial.

Definio 1 Seja f : U R uma funo real definida em um subconjunto aberto U Rn.Dado um ponto a U , a i-sima derivada parcial de f no ponto a (onde 1 i n) o limite

f

xi(a) = lim

t0f(a+ tei) f(a)

t, (2)

com ei = (0, ..., 1, ..., 0). Notao: if(a) ou fxi(a)

ExemplosU R2f : U R2 uma funo real de duas variveis, escreve-se f(x, y) para indicar

seu valor no ponto c = (a, b) U . Suas derivadas parciais podem ser representadas por

fx1

(c) e fx2

(c) ou fx(c), f

y(c) ou fx(c) e fy(c).

Analogamente, se U R3, f : U R uma funo de trs variveis reais x, y, e z esuas derivadas parciais em um ponto d = (a, b, c) U so representadas por

fx(d), f

y(d) e f

z(d).

Interpretao geomtrica

Quando n = 2 f uma superfcie em R3 .

fx(c), c = (a, b) a inclinao da reta tangente no ponto (a, b, f(a, b)) contido na curva

obtida pela interseo da superfcie z com o plano horizontal paralelo ao eixo x e fazendoy constante igual a b.

Figura 1: Derivada partial f(c)x , c = (a, b).

Nota: O clculo prtico da i-sima derivada parcial de uma funo real f(x1, x2, ..., xn)se faz considerando todas as variveis como se fossem constantes, exceto a i-sima e entoaplicando as regras usuais de derivao relativamente a essa varivel.

O prximo exemplo mostra que derivadas parciais em um ponto no garantem a con-tinuidade da funo f nesse ponto.

Exemplo 1 f : R2 R

f(x, y) ={

xyx2+y2 , se (x, y) 6= (0, 0),0, se (x, y) = (0, 0). (3)

Tem-se que

fx(0, 0) = lim

t0f(t,0)f(0,0)

t= 0,

fy(0, 0) = lim

t0f(0,t)f(0,0)

t= 0.

As derivadas parciais calculadas com as regras usuais so

fx(x, y) ={

y3x2y(x2+y2)2 , se (x, y) 6= (0, 0),0, se (x, y) = (0, 0).

e fy(x, y) ={

x3y2y(x2+y2)2 , se (x, y) 6= (0, 0),0, se (x, y) = (0, 0).

(4)

Embora f possua derivadas parciais em (0, 0) fcil ver que f no contnua em(0, 0), pois

limt0 f(t, 0) = 0, e limt0 f(t, t) =

12 .

A existncia de todas as derivadas parciais em determinado ponto no garante a con-tinuidade da funo nesse ponto.

2.2 Derivadas direcionais

As derivadas parciais desacompanhadas de hipteses adicionais apenas fornecem informa-es sobre a funo ao longo de retas paralelas aos eixos . As derivadas direcionais surgemna tentativa de estender a noo de derivada parcial outras direes alm dessas.

Definio 2 Sejam f : U Rn definida no aberto U , a U e v Rn. A derivadadirecional de f no ponto a, segundo o vetor v Rn. A derivada direcional de f no pontoa, segundo o vetor v por definio o limite

f

v(a) = lim

t0f(a+ tv) f(a)

t, (5)

quando tal limite existe.

Observaes

As derivadas parciais so casos particulares das derivadas direcionais, quando v umdos vetores ej.

Geometricamente fv(a) o coeficiente angular da reta tangente ao grfico de f, no ponto

a e na direo v.

No exemplo a seguir ilustrado o fato que a existncia de derivadas direcionais emtodas as direes em um determinado ponto no implica na continuidade da funo fnesse ponto .

Exemplo 2 f : R2 R

f(x, y) ={

xyx2+y2 , se(x, y) 6= (0, 0),0, se(x, y) = (0, 0). (6)

fv(0, 0) existe para qualquer v R2, mas f no contnua na origem.

Basta verificar que

limt0

f(a+ tv) f(a)t

= limt0

tv31v2t4v61 + v22

= 0.

Agora verifica-se que f no contnua em x = 0. De fato, tomando x = 0 e y = t,tem-se (x, y) (0, 0) quando t 0. Ento

lim(x,y)(0,0)

f(x, y) = limt0 f(0, t) = 0.

Por outro lado, tomando x = t e y = t3, tem-se (x, y) (0, 0) quando t 0, mas

lim(x,y)(0,0)

f(x, y) = limt0 f(t, t

3) = limt0

t6

2t6 =12 .

Obervao

Utilizou-se que f(x, y) contnua em (x0, y0) se f(x0, y0) estiver definida e se

lim(x,y)(x0,y0)

f(x, y) = f(x0, y0).

2.3 Diferenciabilidade

Definio 3 Se f : U R est definida no aberto U Rn e f tem todas as derivadasparciais em a U ento o gradiente de f no ponto a o vetor

f(a) =(f

x1(a), f

x2(a)..., f

xn(a)). (7)

Definio 4 dito que uma funo f : U R definida no aberto U Rn diferencivel em

a U quando existirem constantes A1, ..., An tais que para todo vetor a+ v U se tenha

f(a+ v) = f(a) + A11 + ...+ Ann + r(v), (8)

com limv0

r(v)|v| = 0.

Definio equivalente f : U R diferencivel no ponto a U quando existem asderivadas parciais

f

xi(a), ..., f

xn(a), (9)

e alm disso, para todo v = (1, 2, ..., n), tal que a+ v U , se tenha

f(a+ v) = f(a) + fxi

(a)1 + ...+ fxn (a)n + r(v)

= f(a)+ < f(a), v > + r(v),(10)

onde limv0

r(v)|v| = 0.

Observaes

Para testar que se f diferencivel em a, necessrio que f tenha todas as derivadasparciais no ponto a.

Na definio de diferenciabilidade o importante saber se limv0

r(v)|v| = 0, pois a

igualdade (10) sempre verdadeira, basta definir r(v) = f(a+ v) f(a)f(a) v.

Teorema 1Seja U um aberto em Rn. Toda funo f : U R diferencivel no ponto a contnua

em a.

Prova

lim|v|0

[f(a+ v) f(a)] = lim|v|0

[f(a) v + r(v)] (11)

Mas

lim|v|0|f(a) v| lim

|v|0|f(a)| |v| = 0 (12)

e

lim|v|0

r(v) = lim|v|0|v|r(v)|v| = 0. (13)

Logo lim|v|0

f(a+ v) f(a) = 0. E ento f contnua.

Teorema 2Toda funo f :U R diferencivel em a, U aberto de Rn, tem todas as derivadas

direcionais em a. E a derivada direcional definidaf(a)v

= f(a) v,v Rn. (14)

Prova

Fixando v Rn, deve-se mostrar que

limt0 |

f(a+ tv) f(a)t

f(a) v | = 0.

De fato,

limt0 |

f(a+ tv) f(a)t

f(a) v| = limt0 |f(a) tv + r(tv)

tf(a) v| (15)

= limt0 |

r(tv)t| = lim

t0 |r(tv)t|v| |v|| = 0 |v| = 0.

Logo

f

v(a) = f(a) v. (16)

Observao: A recproca do teorema no verdadeira

Exemplo 3

f(x, y) ={

x3yx6+y2 , se(x, y) 6= (0, 0),0, se(x, y) = (0, 0).

(17)

Tem todas as derivadas direcionais em (0, 0), mas no contnua na origem. Logo fno diferencivel na origem.

Definio 5 Seja U aberto de Rn e f :U R uma funo que possui as n derivadasparciais em todos os pontos do aberto U Rn. Ficam ento definidas as n funes

f

x1, ...,

f

xn: U R, onde f

xi: x 7 f(x)

xi, x U. (18)

Quando essas n funes so contnuas em U dito que f de classe C1 e escreve-sef C1(U).

Teorema 3Se f C1(U) ento f diferencivel em U .

Observao: A recproca do Teorema no verdadeira.Exemplo

f(x, y) =

(x2 + y2) sin( 1

x2+y2 ), se (x, y) 6= (0, 0),

0, se (x, y) = (0, 0),(19)

f diferencivel em todos os pontos mas f no de classe C1(R2).

3 Finalizao da aula-Resumo esquemtico

f C1(U) implica que f diferencivel, ento f possui derivadas direcionais paratodo v U , em particular f possui todas as derivadas parciais.

f possuir todas as derivadas parciais no implica que f possua derivadas direcionaispara todo v, que por sua vez no implica em f ser diferencivel.

Se f de classe C1 ento diferencivel.

Bibliografia

[1] E.L.Lima, Curso de Anlise Volume 2, 2009, (Captulo III).[2] H. Anton, I. Bivens and S. Davis Clculo Volume II, 2007 (Captulo 14).

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3 Finalizao da aula