ESTABILIDADE

PólosZerosEstabilidade

Introdução

Uma característica importante para um sistema de controle é que ele seja estável.

Se uma entrada finita é aplicada ao sistema de controle, então a saída deverá ser finita e não infinita, isto é, aumentar sem limite.

0 10 20 30 40 500.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.2−

f t( )

500 t

0 10 20 30 40 502

1.33

0.67

0

0.67

1.33

21.664

1.732−

f t( )

500 t

ESTABILIDADE

EstávelQuando sujeito a uma entrada impulso a saída tende a zero à medida que o tempo tende a infinito.

InstávelQuando sujeito a uma entrada impulso a saída tende a infinito à medida que o tempo tende a infinito.

Criticamente estávelQuando sujeito a uma entrada impulso a saída não vai para zero nem infinito, mas tende um valor finito diferente de zero.

Estável Criticamente estável

Instável

Pólos e Zeros

Função de transferência

( ) ( )( )01

22

11

012

21

1

bsbsbsbsasasasasKsG

nn

nn

n

mm

mm

m

+++++

+++++=

−−

−−

−−

−−

K

K

Se as raízes do denominador e do numerador são conhecidas:

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )n

m

pspspszszszsKsG

++++++

=K

K

21

21

mzzz −−− K21, são chamados zerosSão os valores de s para os quais a função de transferência é zero

nppp −−− K21, são chamados pólosSão os valores de s para os quais a função de transferência é infinita

ZEROS são os valores de s para os quais a função de transferência é zero

PÓLOS são os valores de s para os quais a função de transferência é infinita, isto é, eles fazem o denominador tornar-se zero

( ) ( )( )86

12 +−

−=

ssssG ( )

( ) ( )241−−

−=

sssExemplo:

Zero = +1Pólos = +4 e +2Pólos e zeros podem ser quantidades complexas ou reais

( ) ( )( )1

22 +

−=

sssG ( )

( ) ( )112

jsjss

+−−

=

Zero = +2Pólos = +j1 e – j1 ωσ js +=

Determinar os pólos e os zerosda Função de Transferência.

Exemplo:

( )( )( ) ( ) ( ) ( )4320

15−++−

−+=

ssssss( )

sssssssG

241454

234

2

−−+−+

=

Os pólos são: 0, –2, –3, e +4.Os zeros são: –5 e +1.

Determinar os pólos e os zerosda Função de Transferência.

Exemplo:

( )( ) ( )7,15,07,15,0

4jsjs

s−+++

+=( )

34

2 +++

=ss

ssG

Os pólos são: –0,5 – j1,7 e –0,5 + j1,7.ωσ js +=O zero é: –4.

DIAGRAMA DE PÓLOS E ZEROS

ωσ js += +jω

–jω

0-2 -1

1

2

3

-3

-2

-1

x

x

pólo = –1+j2

zero=2zero = –3

+σ–σo1 2 3x

pólo = 3

-3o

pólo = –1–j2

Um pólo é marcado com x Um zero é marcado com o

ESTABILIDADE E PÓLOS

A estabilidade de um sistema pode ser determinada considerando a variação da saída com o tempo quando é sujeito a uma entrada impulso.

EstávelA saída diminui com o tempo

InstávelA saída aumenta com o tempo

Considere um sistema sem zeros e com um pólo em –2

( )2

1+

=s

sG ( ) ( )ss

s io θθ2

1+

=⇒

( )2

1+

=s

soθ⇒( ) 1=siθEntrada impulso

( ) to et 2−=θ⇒Transformada inversa de Laplace

te 2−O valor de diminui com o tempo

t

θo

0O sistema é ESTÁVEL

Considere um sistema sem zeros e com um pólo em +2

( )2

1−

=s

sG ( ) ( )ss

s io θθ2

1+

=⇒

( )2

1−

=s

soθ⇒( ) 1=siθEntrada impulso

( ) to et 2=θ⇒Transformada inversa de Laplace

te2O valor de aumenta com o tempo

t

θo

0O sistema é INSTÁVEL

Considere um sistema sem zeros e com pólos em (–2 ± j1)

( )( )[ ] ( )[ ]1212

1jsjs

sG−−−+−−

=

( )( )[ ] ( )[ ]

( )sjsjs

s io θθ1212

1−−−+−−

=⇒

Entrada impulso ( ) 1=siθ ( )( )[ ] ( )[ ]1212

1jsjs

so −−−+−−=θ

Transformada inversa de Laplace⇒ ( )

−=

−−

22

jeeet

jtjtt

oθ

O valor de te t sen2−

diminui com o tempo

O sistema é ESTÁVEL

( )( )bsas ++1 ⇔ ( )btat ee

ab−− −

−1

( ) tet to sen2−=θ

t

θo

0

⇒

O sistema será INSTÁVELSe qualquer pólo tiver a parte real positiva

ωj±

O sistema será ESTÁVELSe todos os pólos tiverem a parte real negativa

O sistema será CRITICAMENTE ESTÁVELSe qualquer pólo tiver a parte real nula

A saída será OSCILATÓRIA se existirem pólos envolvendo

xσ

jω

0 2

12

-2-1

1-1-2 σ

jω

0 2

12

-2-1

1-1-2 σ

jω

0 2

12

-2-1

1-1-2x x

x

x

x σ

jω

t

θo

0

Instável

x

Estável

σ

jω

t

θo

0

xEstável

σ

jω

t

θo

0 σ

jω

t

θo

0

Instávelx

x

Criticamente Estável

σ

jω

t

θo

0

x x

Critério de estabilidade de Routh-Hurwitz

A determinação da estabilidade de um sistema envolve:A determinação das raízes do denominador da função de

transferênciaA consideração de que a parte real de qualquer uma delas

seja negativaAs raízes não são muito facilmente obtidas se o denominador tem a forma:

012

21

1 asasasasa nn

nn

nn +++++ −

−−

− K

e n é maior que 3 ou 4O critério de Routhcritério de Routh--HurwitzHurwitz apresenta um método que pode ser usado em tais situações

Critério de estabilidade de Routh-Hurwitz

O primeiro teste consiste em inspecionar os coeficientes da equação acima:

Se os coeficientes são todos positivos e nenhum é zero, o sistema pode ser estável.

Se qualquer coeficiente é negativo, o sistema é instável.Se qualquer coeficiente é zero, o sistema pode ser no máximo

criticamente estável.

012

21

1 asasasasa nn

nn

nn +++++ −

−−

− K

( )132 23 +++ sss ⇒ Pode ser estável

( )132 23 ++− sss ⇒ É instável

( )sss 32 23 ++ ⇒ Pode ser no máximo criticamente estável

Para sistemas que têm denominadores que podem ser estáveis, um segundo teste deve ser realizado.

012

21

1 asasasasa nn

nn

nn +++++ −

−−

− K

Arranjo de Routh:

na1−na

2−na3−na

4−na5−na

ns1−ns

LL

As linhas seguintes no arranjo são determinadas por cálculos feitos a partir dos elementos nas duas linhas imediatamente acima.

Linhas sucessivas são calculadas até que apenas zeros apareçam.

O arranjo deve conter (n+1) linhasUma linha correspondente a cada um dos elementos sn a s0.

012

21

1 asasasasa nn

nn

nn +++++ −

−−

− K

4−na5−na

LL

3b L

3c L

Elementos da 3a linha

31

21 −−

−

−= n

n

nn a

aaab

51

42 −−

−

−= n

n

nn a

aaab

na1−na

1b1c

2−na3−na

2b2c

ns1−ns2−ns3−ns

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ L

Elementos da 4a linha⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ ⋅⋅2s1s

⋅⋅1x1y

1z

⋅2x2y

⋅3x

21

131 b

baac n

n

−= −

−

0s3

1

152 b

baac n

n

−= −

−

Regras práticas para determinar os elementos da matriz:

oo o

A BD E

EDAB − o o

o o oo o o

A B CD E F

FDAC −o o

o ooCF

Quando o arranjo estiver completo:Se todos os elementos na primeira coluna são positivos

Todas as raízes tem a parte real negativaO sistema é ESTÁVEL

Se existem elementos negativos na primeira colunaO número de trocas de sinal na primeira coluna é igual ao

número de raízes com a parte real positivaO sistema é INSTÁVEL

EXEMPLO: Usar o critério Routh-Hurwitz para determinar se o sistema que tem a seguinte função de transferência é estável:

( )1432

12234 ++++

+=

ssssssG A B

D EA CD F

12 4

3 14sA primeira coluna tem todos os elementos positivos.

O sistema é ESTÁVEL

3s1 12s

1s 210s

0 10 20 30 40 500.5

0

0.5

11

0.5−

g t( )

500 t

EXEMPLO: Usar o critério Routh-Hurwitz para determinar se o sistema que tem a seguinte função de transferência é estável:

( )14

12234 +++++

=ssss

ssG A BD E

A CD F

0 2.5 5 7.5 1050

0

50

10051.983

23.222−

f t( )

100 t

A primeira coluna tem um elemento negativo.

O sistema é INSTÁVEL1

11 43−313

1

1 14s3s2s1s0s

EXEMPLO: Para o sistema mostrado, qual a faixa de K que resulta em estabilidade?

( )Ksss

sG1045

1023 +++

=

+–

( )siθ1

1+s

1G

( )410+ss

2G ( )soθ

K

( ) ( ) ( )

( ) ( )Ksss

ssssG

410

111

410

11

+++

++=

H

( )HGG

GGsG21

21

1+=

( )Ksss

sG1045

1023 +++

=

13s2s1s0s

4Para que a primeira coluna tenha somente valores positivos:5 K10

K24−024 >− K

010 >K

2<K

K10 0>K

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