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SISTEMAS DE FLUIDOSRepresentação de um sistema de fluido
Bloco desistemade fluido
SaídaEntrada
Diferença de
pressão
Taxa de fluxo
volumétrica
Sistemas de fluidos• Hidráulicos• Pneumáticos
SISTEMAS HIDRÁULICOSElementos dos sistemas hidráulicos
•Resistência Hidráulica•Armazenamento
•Acumulo de fluido•Capacitância hidráulica
•Inércia hidráulica
RESISTÊNCIA HIDRÁULICA
AVqr
=Rqpp =− 21
Para um tubo → Equação de Darcy
γgV
dLfp2
2r
=∆
Para escoamento laminar
γνgV
dLp2
64 2
r
=∆dVf
.64
Re64
rν
== VdLpr
2
.32µ=∆
pL
dq ∆=..128
. 4
µπ
AVq .r
= pL
dV ∆=..32
2
µ
r
Portanto a relação entre p e q é linear para o escoamento laminar
Para escoamento turbulento
γgV
dLfp2
2r
=∆
é obtido do diagrama de Moody
f
A relação entre p e q é não linear para o escoamento turbulento
f varia com o número de Reynolds de forma não linear, e depende da rugosidade do tubo
( ) 8,0Reln86,01−= f
f
41
Re
316,0=f
• Para tubos lisos
ou a fórmula de Blasius
• Para tubos rugosos
−=dfεln86,014,11
• Para tubos comerciais entre a região hidraulicamente lisa e hidraulicamente rugosa
+−=
ffd
.Re51,2ln86,01
7,3
ε
A relação entre q e ∆p é não linear
pLfdV ∆= ....2ρ
Em válvulas e acessórios
ρ2
2VKpr
=∆ pK
V ∆= ..2ρ p
KAq ∆= .
.2ρ
Para contornar o problema das relações não lineares, vamos linearizá-las próximo ao ponto de operação, de modo a permitir expressá-las na forma linear como:
Rppq 21 −=
Capacitância hidráulica
dtdVqq =− 21
mas AhV =
dtdhA
dtAhdqq ==−)(
21
A diferença de pressão entre entrada e saída
atmpp =1 pghppp ≡=−=∆ ρ12⇒ghpp ρ+= 12
dtdp
gA
dtgpdAqq
ρρ
==−)(
21
Líquido incompressível
dtdpCqq =− 21
gACρ
= ⇒
( ) dtqqC
p ∫ −= 211
Integrando
Inércia hidráulicaPara acelerar um fluido e aumentar sua velocidade é necessário uma Força
( )AppApApFF 212121 −=−=−Força
maF =∑2a lei de Newton
dtVdmmaAppr
==− )( 21
dtVdmAppr
=− )( 21
ρALm =AL=A massa de líquido tem volume
dtVdALAppr
ρ=− )( 21 VAqr
=
dtdqLApp ρ=− )( 21
dtdqIpp =− )( 21
ALI ρ
=onde = Inércia hidráulica
SISTEMAS PNEUMÁTICOSElementos básicos dos sistemas pneumáticos
•Resistência pneumática•Armazenamento
•Acumulo de fluido•Capacitância pneumática
•Inércia
RESISTÊNCIA PNEUMÁTICA
mRpp &=− 21
Capacitância pneumática
21 mm && −=Taxa de variação de massa no recipiente
( )dtVd ρ
=Taxa de variação de massa no recipiente
dtdV
dtdV ρρ +=Taxa de variação de massa no recipiente
mRTpV =Gás ideal
dtdp
RTV
dtdp
dpdV
+= ρTaxa de variação de massa no recipiente
dtdp
RTV
dtdp
dpdV
+= ρTaxa de variação de massa no recipiente
dtdp
RTV
dpdVmm
+=− ρ21 &&
Capacitância pneumática devidoa variação do volume dp
dVC ρ=1⇒
Capacitância pneumática devidoa compressibilidade do gás RT
VC =2⇒
( )dtdpCCmm 2121 +=− &&
( ) ( )∫ −+
=− dtmmCC
pp 2121
211
&&
Inércia pneumática( )dtVmdmaFr
==∑ ( )dtVmdAppr
=− )( 21
LqAqLAVm ρρ =
=
r
( )dtqdLApp ρ
=− )( 21qm ρ=&
dtmd
ALpp
&=− )( 21
dtmdIpp&
=− )( 21
ALI =Inércia pneumática
Resistência hidráulica
Dissipação de energia
Capacitância pneumática
Capacitância hidráulica
Resistência pneumática
Inércia pneumática
Inércia hidráulica
Armazenamento de energia
Const. AnálogaEquaçãoBloco
( )∫ −= dtppI
q 211
( )∫ −= dtppI
m 211
&
( )dtppdCq 21 −=
( )dtppdCm 21 −=&
LA
I ρ=
1
gAC ρ=
RTV
dtdVC += ρ
LA
I=
1
( )Rppq 21 −=
( )Rppm 21 −=&
R1
R1
Construindo um Modelo para um Sistema de Fluidos
dtdpCqq =− 21
A razão q2 na qual o líquido passa pela válvula é
(a)
ghRqp ρ== 2
A pressão deve-se a altura de líquido no recipiente. Substituindo q2 na eq. (a)
dtdpC
Rpq =−1
Se ghp ρ=
dtghdC
Rghq )(
1ρρ
=−
gAC ρ=Se
Rgh
dtdhAq ρ
+=1
Essa equação mostra como a altura de um líquido em um recipiente depende da taxa de entrada do líquido no recipiente
Sistema Pneumático
A taxa de fluxo de massa para dentro do fole é: m&
Rppm 21 −=& (b)
Todo gás que entra no fole permanece lá, não há escape
A capacitância do fole é dada por:
( )dtdpCCmm 2
2121 +=− &&
Como é dado pela eq. (b) e 1m& 02 =m&
( )dtdpCC
Rpp 2
2121 +=
−( ) 2
2211 pdtdpCCRp ++= (c)
O fole expande ou contrai como resultado da variação de pressão dentro dele. Os foles são um tipo de mola.
xkF .= xkFAp ..2 ==
Substituindo p2 na eq. (c)
( ) xAk
dtdx
AkCCRp ++= 211
Essa equação descreve como a expansão ou a contração do fole varia com o tempo quando ele é submetido a uma pressão de entrada p1
21 dp
dxAC ρ=2
1 dpdVC ρ= AxV =
xkAp .2 =Para o fole
( ) kA
AkxddxAC
2
1ρρ ==Assim
ExemploA Figura mostra um sistema hidráulico. Determinar as equações que descrevem como a altura do líquido nos dois recipientes variará com o tempo. Desprezar a energia a cinética.
Recipiente 1
dtdpCqq 121 =−
dtdhAqq 1
121 =−ghp ρ1=
gACρ1
1 =
A taxa q2 na qual o líquido deixa o recipiente é:
( ) 2121 qRghh =− ρ21qRp =
( )dtdhA
Rghhq 1
11
211 =
−−
ρ (d*)
Essa eq. Descreve como a altura de líquido no recipiente 1 depende da vazão de entrada
Recipiente 2
dtdpCqq 232 =−
dtdhAqq 2
232 =−ghp ρ2=
gACρ2
2 =
322 qRgh =ρPara o fluxo q3 322 qRp =
dtdhA
Rghq 2
22
22 =−
ρ ( )dtdhA
Rgh
Rghh 2
22
2
1
21 =−− ρρ
Essa eq. Descreve como a altura de líquido no recipiente 2 varia. Assim, as eqs (d*) e (e*) descrevem as variações na altura de líquido nos dois recipientes
(e*)
ExemploA Figura mostra um tubo em U contendo um líquido. Derivar uma expressão que indique como a diferença de altura entre os dois braços varia com o tempo quando a pressão acima do líquido em um dos braços aumenta. Desenhar um diagrama em blocos para o análogo elétrico de um sistema hidráulico
dtdqI=Queda de pressão devido à inércia
Rq=Queda de pressão devido à resistência
∫= dtqC1Queda de pressão devido à capacitância
Se p é igual à soma dessas quedas de pressão:
∫++= dtqC
RqdtdqIp 1
AhV =Volume de líquido deslocado
( )dtdhA
dtAhd
dtdVq === ∫++= dh
CA
dtdhRA
dthdIAp 2
2
ALI ρ
=gACρ
=hdh 2=∫Se:
ghdtdhRA
dthdLp ρρ 22
2
++=
O sistema tem quedas de pressão devidas à inércia, à resistência e à capacitância somadas
Equivalente elétrico
Exercício para a próxima semana: Exercício 8, página 111, Livro Engenharia de Controle, W. Bolton, Makron Books, 1995