PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO PUC/SP · (2002; 2004), para realizar a análise da atividade do professor no sentido de compreender como esse profissional desenvolve

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE

SÃO PAULO PUC/SP

Cleusiane Vieira Silva

A prática docente e sua influência na construção de

conceitos geométricos: um estudo sobre o ensino e a

aprendizagem da Simetria Ortogonal

DOUTORADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

São Paulo 2015

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO PUC/SP

CLEUSIANE VIEIRA SILVA

A prática docente e sua influência na construção de

conceitos geométricos: um estudo sobre o ensino e a

aprendizagem da Simetria Ortogonal

Tese apresentada à Banca Examinadora da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, como exigência parcial para a obtenção do título de Doutora em Educação Matemática sob a orientação do Professor Doutor Saddo Ag Almouloud.

São Paulo 2015

Banca Examinadora

Autorizo, exclusivamente para f ins acadêmicos e cient íf ico s, a

reprodução total ou parcial dessa Tese por processos de

fotocopiadoras ou eletrônicos.

Assinatura: ___________________________Local e data: _________

DEDICATÓRIA

Ao meu marido João Arlindo, meus filhos João Felipe, Aline Vitória e uma pessoa que sempre confiou em mim e nunca me deixou desistir, minha mãe, Creusa (in memoriam).

AGRADECIMENTOS

Primeiramente, a Deus, que me permitiu ter saúde para concluir mais

essa etapa da minha vida, que em todos os momentos me ofereceu Sua mão

protetora.

Ao professor doutor Saddo Ag Almouloud, pelo trabalho de orientação

competente e cuidadoso, pela amizade e carinho que me proporcionou ao

longo da confecção desta tese.

Aos professores doutores, Gerson Pastre de Oliveira, Bárbara Lutaif

Bianchini, Gilson Bispo de Jesus e André Ricardo Magalhães, que fizeram

parte da banca de qualificação, cujas sugestões e reflexões foram valiosas

para a finalização deste trabalho.

À minha amiga de todas as horas, Ana Paula Perovano dos Santos

Silva pelo apoio e amizade nos momentos de dificuldades, pelas leituras e

contribuições realizadas durante a confecção deste trabalho.

Aos professores da escola-alvo da pesquisa que, gentilmente,

participaram deste trabalho doando seu precioso tempo, refletindo e

compartilhando experiências conosco.

À minha amiga Diana Maia pela amizade e pela forma como me acolheu

no programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática.

Às minhas irmãs Cleuzilene Vieira da Silva e Cleuzilaine Vieira da

Silva que me escutaram nos momentos de angústia e me apoiaram.

Ao meu marido João Arlindo Batista Pereira pela participação direta

neste trabalho, pelas leituras e preciosa ajuda na formatação.

À minha amiga Roberta D'Ângela Menduni Bortoloti sem a qual minha

trajetória na Educação Matemática não teria começado.

Obrigada à Eliana Gomes de Oliveira por ter dividido comigo

momentos especiais durante o tempo em que permanecemos juntas em São

Paulo.

Ao grupo de pesquisa PEA-Mat, cujas discussões e contribuições nas

reuniões me ajudaram no estudo de teorias da Educação Matemática e me

auxiliaram por meio da troca de experiências.

Agradeço a CAPES, pelo apoio com a bolsa de estudo do tipo taxa.

A todos que, direta ou indiretamente, contribuíram para a realização

deste trabalho,

Obrigada.

Epígrafe

"Julgue seu sucesso pelas coisas que você teve que renunciar para conseguir" - Dalai Lama

SILVA, Cleusiane Vieira. A prática docente e sua influência na construção de conceitos geométricos: um estudo sobre o ensino e a aprendizagem da simetria ortogonal. 301 p. 2015. Tese (doutorado em Educação Matemática) – Pontifícia Universidade Católica de São Paulo - São Paulo, 2015.

RESUMO

Esta tese teve por objetivo investigar como um ambiente de ação e reflexão, que envolve a pré-análise, reflexões sobre a pré-análise, experimentação com alunos do Ensino Fundamental II, pós-análise e reflexões sobre a pós-análise relacionadas a uma sequência didática sobre a simetria ortogonal, interfere nos saberes docentes de professores de Matemática desse mesmo nível de ensino. Portanto, foi pretensão desta pesquisa responder à seguinte questão: como um ambiente de ação e reflexão constituído nos horários destinados às Atividades Complementares (A.C.) pode influenciar os saberes docentes de professores de Matemática do Ensino Fundamental II, sobre a simetria ortogonal? A metodologia utilizada para este estudo apoiou-se nos pressupostos da Engenharia Didática, segundo Artigue (1995) e nas contribuições de Schön (1995; 2000). O referencial teórico baseou-se na Teoria das Situações Didáticas de Brousseau (1997), para fazer um estudo sobre a influência das variáveis didáticas escolhidas nos procedimentos e respostas de professores de Matemática do Ensino Fundamental II e de seus alunos, e Margolinas (2002; 2004), para realizar a análise da atividade do professor no sentido de compreender como esse profissional desenvolve sua prática docente e como esta influência na aprendizagem dos alunos. O referencial teórico baseou-se ainda no quadro dos Paradigmas Geométricos de Parzysz (2001; 2006) na análise da natureza do trabalho geométrico desenvolvido por professores nos momentos de resolução e análise das situações-problema e por alunos nos momentos de interação com essas mesmas situações-problema. Foram utilizados, como trabalho de referência, os estudos de Grenier (1988) para observar as concepções de alunos do Ensino Fundamental II quanto à simetria ortogonal. A análise nos registros fornecidos pelos alunos propiciou a identificação de concepções relativas à simetria ortogonal, algumas corroboram os resultados obtidos nos estudos realizados por Grenier (1988), outras parecem específicas do grupo de alunos investigado. A análise nos registros de professores de Matemática também expôs algumas concepções acerca da simetria ortogonal, cujas concepções parecem estar relacionadas à forma como esse conceito é apresentado nos livros didáticos. Durante a investigação, os professores avaliaram a própria prática e ponderaram sobre os métodos de ensino adotados por eles, no sentido de observar se tais métodos estão ou não surtindo efeito na aprendizagem de seus alunos. Constatou-se que um ambiente de ação e reflexão, constituído na escola, influencia nos saberes docentes de professores de Matemática, embora sua influência seja limitada. Palavras-chave: Simetria Ortogonal. Saberes Docentes. Formação de Professores. Teoria das Situações Didáticas. Paradigmas Geométricos.

SILVA, Cleusiane Vieira. The teaching practice and its influence in the building of geometric concepts: a study on the teaching and learning of orthogonal symmetric. 301 p. 2015. Thesis (Doctorate in Mathematical Education) – Pontifícia Universidade Católica de São Paulo - São Paulo, 2015.

ABSTRACT

This thesis aimed to investigate how an environment of action and reflection that involves the pre-analysis , reflections on the pre-analysis , experimentation with students from Elementary School II , post-analysis and reflections on the post-analysis that is related to a didactic sequence on orthogonal symmetric , interferes in the Mathematics teachers’ knowledge , in the mentioned level. Nevertheless, this research aimed to answer the following question: how can an environment of action and reflection that is constituted in the times for the Complementary Activities, influence the Mathematics teachers’ (from Elementary School II) knowledge on orthogonal symmetric? The methodology that was used in this study was based on the presupposition of Didactical Engineering according to Artigue (1995) and on the contributions by Schön (1995; 2000). The theoretical referential had its basis on the Theory of Didactical Situations - Brousseau (1997) - to do a study on the influence of the didactical variables that were chosen in the Math teachers’ (Elementary School II) procedures and answers, as well as their students’, and Margolinas (2002; 2004) to hold an analysis on the teacher’s activity, in view of understanding how he/she develops the teaching practice and how it can influence students’ learning. Yet, the theoretical referential was based in Parzysz Picture of Geometric Paradigms (2001; 2006), in the analysis of the nature of the geometric work that is developed by teachers in the moments of construction and analysis of problem – situations, and by students in the moments of interaction with these problems. The studies by Grenier (1988) were used as a reference in order to observe the students’ conceptions of Elementary School II according to orthogonal symmetric. The analysis of the registers that had been provided by the students made it possible the identification of conceptions that are related to the orthogonal symmetric – some of them corroborate with the results from studies done by Grenier (1988); other ones seem to be specific in the group of investigated students. The analysis of registers of Math teachers also showed some concepts about orthogonal symmetric, and these conceptions seem to be related to the way this concept is presented in the course books. During the investigation, teachers had the opportunity to evaluate their own practice and reflected on the teaching methods they were using, to really know if they were working or not with their students. It was noted that an environment of action and reflection that is constituted at school, have influence on Math teachers’ knowledge, but this influence is limited. Key words: Orthogonal Symmetric. Teachers’ Knowledge. Teachers’ Education. Theory of Didactical Situations. Geometric Paradigms.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1. Questão 5 do teste 1 aplicado aos alunos na pesquisa “Análise dos

erros cometidos por discentes de cursos de Licenciatura em Matemática das

universidades estaduais baianas” ..................................................................... 34

Figura 2. Representação do Teorema de Desargues ...................................... 42

Figura 3. Representação do Teorema de Menelau .......................................... 43

Figura 4. Representações do Teorema de Menelau para os triângulos OQR,

ORP e OPQ, respectivamente. ......................................................................... 43

Figura 5. Involução de Desargues ................................................................... 44

Figura 6. Exemplo ilustrativo para métodos de transformação de figuras ........ 45

Figura 7. Ponto P’ simétrico do ponto P em relação à reta r. ........................... 51

Figura 8. Transformações Geométricas no plano ............................................ 52

Figura 9. Reflexão do ponto P com relação à reta t e do ponto P’ com

relação à reta r .................................................................................................. 53

Figura 10. Reflexão do ponto P com relação às retas r e s respectivamente .. 54

Figura 11. A simetria ortogonal em torno do eixo OX transforma P=(x, y) em

P’=(x, -y). .......................................................................................................... 55

Figura 12. A simetria com relação à r leva OX em OX1 e OY em OY1 ........... 56

Figura 13. A simetria com relação à reta baxy leva P em P1, com

etapas intermediárias de P’ a P’’. ...................................................................... 57

Figura 14. Mapa conceitual de algumas pesquisas francesas sobre simetria

ortogonal ........................................................................................................... 67

Figura 15. A importância do papel do professor............................................... 68

Figura 16. Algumas pesquisas brasileiras sobre transformações

geométricas no plano ........................................................................................ 74

Figura 17. Situações propostas por Grenier .................................................... 79

Figura 18. Integração entre os objetos envolvidos no desenvolvimento do

pensamento geométrico para o 1º e 2º ciclos do Ensino Fundamental. ........... 89

Figura 19. Mapa conceitual sobre a relação entre os conteúdos que

envolvem a simetria ortogonal no 3º ciclo do Ensino Fundamental. ................. 90

Figura 20. Rede de objetos matemáticos em torno da simetria ortogonal ....... 91

Figura 21. Definição de simetria ..................................................................... 100

Figura 22. Atividade lúdica sobre simetria ortogonal ..................................... 100

Figura 23. Os eixos de simetria do triângulo equilátero ................................. 101

Figura 24. Os eixos de simetria do losango e do quadrado ........................... 101

Figura 25. Exemplos de revestimentos utilizando mosaicos .......................... 102

Figura 26. Figura referente à situação 1, na análise de livros didáticos ........ 104





Figura 31. Exemplo ilustrativo da estruturação do milieu, segundo

Margolinas (2004). .......................................................................................... 124

Figura 32. Construção intuitiva do segmento simétrico ................................. 125

Figura 33. Desenho de pontos simétricos a A e B ......................................... 125

Figura 34. Construção do segmento '' BA .................................................... 126

Figura 35. Articulação entre os quadros teóricos ........................................... 138

Figura 36. Fluxograma de processos 1ª parte ............................................... 153



Figura 39. Continuação da 3ª parte do fluxograma de processos.................. 157


Figura 41. Questão 2 referente à concepção de aprendizagem do

professor ......................................................................................................... 160

Figura 42. Ponto de partida para a construção dos mapas conceituais ......... 165

Figura 43. Rascunho de mapa conceitual confeccionado pelos professores

no ambiente papel e lápis. .............................................................................. 166

Figura 44. Mapa conceitual construído pelos professores ............................. 168

Figura 45. Situação-problema 1 do instrumento aplicado aos professores.... 172



Figura 48. Questão discursiva 1 para análise do professor sobre as

situações-problema ........................................................................................ 191

Figura 49. Questão discursiva 2 do instrumento aplicado aos professores .. 191

Figura 50. Questão discursiva 3 do instrumento aplicado aos professores ... 191

Figura 51. Questão discursiva 4 do instrumento aplicado aos professores ... 192

Figura 52. Resposta do professor Narciso à questão discursiva 3 do

instrumento aplicado aos professores ............................................................ 205

Figura 53. Observação dos professores quanto à posição da figura

simétrica em relação à posição do eixo de simetria, item (i). .......................... 213

Figura 54. Observação dos professores quanto à posição da figura

simétrica em relação à posição do eixo de simetria no item (d)...................... 215

Figura 55. Item sugerido pelos professores para ser adicionado à

sequência didática aplicada aos alunos. ......................................................... 217

Figura 56. Exemplos de eixos de simetria desenhados na figura

correspondente ao item (a) da situação-problema 1 pelas duplas B, E e M

respectivamente. ............................................................................................. 223


correspondente ao item (b) da situação-problema 1 pelas duplas B, L e M



correspondente ao item (c) da situação-problema 1 pelas duplas K e Q


Figura 59. Exemplos de falsos eixos de simetria desenhados na figura

correspondente ao item (d) da situação-problema 1 pelas duplas E, D e K



correspondente ao item (e) da situação-problema 1, pelas duplas C, E,

I e L, respectivamente. .................................................................................... 227

Figura 61. Desenhos das duplas B e N respectivamente .............................. 231

Figura 62. Desenhos das duplas A e D respectivamente. ............................. 231

Figura 63. Item (b) não respondido pela dupla H e item (n) respondido

erroneamente pela dupla H. ........................................................................... 255

Figura 64. Resposta da dupla H para os itens (c) e (f) da

situação-problema 3. ...................................................................................... 256

Figura 65. Resposta das duplas D e E para os itens (c) e (f),

respectivamente, da situação-problema 3. ..................................................... 257

Figura 66. Reprodução da figura construída pelo professor Narciso em

depoimento ..................................................................................................... 263

Figura 67. Atividade preparatória, em vista da Avaliação Complementar,

proposta pela professora Margarida ............................................................... 272

Figura 68. Questão 26 proposto na Avaliação Complementar da

Secretaria de Educação do Estado da Bahia para alunos do 7º ano.............. 273

Figura 69. Questão 31 proposta na Avaliação Complementar da

Secretaria de Educação do Estado da Bahia para alunos do 7º ano.............. 274

LISTA DE QUADROS

Quadro 1. Variáveis didáticas e concepções detectadas por Grenier (1988) .. 80

Quadro 2. Síntese dos resultados de uma investigação preliminar ................. 81

Quadro 3. Conteúdos de geometria listados por série (1ª a 4ª série) .............. 93

Quadro 4. Conteúdos de geometria listados por série (5ª a 8ª série) .............. 94

Quadro 5. Importância dada à simetria nos livros didáticos aprovados no

PNLD 2014 ....................................................................................................... 97

Quadro 6. Variáveis didáticas e valores levados em conta na elaboração e

escolha das tarefas ......................................................................................... 120

Quadro 7. Estruturação do milieu ................................................................... 123

Quadro 8. Estruturação do milieu ascendente para o exemplo ilustrativo ..... 127

Quadro 9. Diferentes aspectos dos Paradigmas Geométricos ...................... 131

Quadro 10. Síntese da classificação dos paradigmas apresentados por

Parzysz ........................................................................................................... 132

Quadro 11. Aplicação do quadro dos Paradigmas Geométricos ao

exemplo 1. ...................................................................................................... 133

Quadro 12. Articulação entre os estudos desenvolvidos por Parzysz, Van

Hiele, Houdement e Kuzniak........................................................................... 136

Quadro 13. Quatro primeiras questões do questionário 1 aplicado aos

professores ..................................................................................................... 148

Quadro 14. Formação dos docentes sujeitos da pesquisa. ........................... 148

Quadro 15. Respostas dos professores sobre cursos realizados .................. 150

Quadro 16. Respostas dos professores à questão: o que você entende por

geometria? ...................................................................................................... 151

Quadro 17. Questões 3 a 6 referentes ao ensino de Geometria .................... 161

Quadro 18. Respostas dos professores referentes à questão 3. ................... 162

Quadro 19. Questões 7, 8,9 ,10 e 11 ............................................................. 163

Quadro 20. Variáveis didáticas e valores identificados na

situação-problema 1 ....................................................................................... 173

Quadro 21. Análise da primeira situação-problema, de acordo com os

Paradigmas Geométricos (PARZYSZ, 2001; 2006) ........................................ 174

Quadro 22. Variáveis didáticas e valores identificadas para a situação-

problema 2 ...................................................................................................... 178

Quadro 23. Análise da segunda situação-problema, de acordo com os


Quadro 24. Estruturação do milieu das situações-problema sobre

reconhecimento de figuras simétricas e construção de eixos de simetria ...... 181

Quadro 25. Variáveis didáticas e valores levados em conta na elaboração

e escolha do conjunto de atividades ............................................................... 185

Quadro 26. Análise da terceira situação-problema, de acordo com os


Quadro 27. Estruturação do milieu da situação-problema 3 .......................... 189

Quadro 28. Indicação dos eixos de simetria para cada figura dos itens

propostos na situação-problema 1. ................................................................. 193

Quadro 29. Justificativa dada pelos professores às respostas fornecidas

por eles na situação-problema 1 ..................................................................... 194

Quadro 30. Estratégias dos professores, de acordo com as variáveis

didáticas e seus valores para a situação-problema 1. .................................... 195

Quadro 31. Respostas dos professores à situação-problema 2 .................... 197

Quadro 32. Identificação de estratégias escolhidas pelos professores para

a situação problema 2, de acordo com as variáveis didáticas e seus valores

outrora fixados. ............................................................................................... 198

Quadro 33. Repostas dos professores aos itens (a) e (m) ............................ 199

Quadro 34. Respostas dos professores aos itens (b), (h), (i) e (l) ................. 200

Quadro 35. Respostas dos professores aos itens (c), (e) e (f) ....................... 201

Quadro 36. Respostas dos professores aos itens (d), (g) e (j) ....................... 202

Quadro 37. Identificação de estratégias escolhidas pelos professores para

a situação-problema 3 de acordo com as variáveis didáticas e seus valores

outrora fixados. ............................................................................................... 203

Quadro 38. Respostas dos professores, com relação à questão

discursiva 2 ..................................................................................................... 206

Quadro 39. Respostas dos professores com relação à questão

discursiva 4 ..................................................................................................... 207

Quadro 40. Síntese das respostas dos professores sobre o instrumento 3

e no debate coletivo ........................................................................................ 218

Quadro 41. Procedimentos de resolução, identificados nos registros das

duplas de alunos para a situação problema 1. ............................................... 228

Quadro 42. Procedimentos de resolução, identificados nos registros das

duplas de alunos para a situação-problema 1. ............................................... 232

Quadro 43. Exemplos de desenhos de figura “simétrica” para os itens (a)

e (m) fornecidos por algumas duplas de alunos. ............................................ 234

Quadro 44. Exemplos de desenhos de figura “simétrica” para os itens (b),

(h), (i) e (l) apresentados por algumas duplas de alunos. ............................... 236

Quadro 45. Exemplos de desenhos de figura “simétrica” para os itens (c),

(e) e (f) nos registros de algumas duplas de alunos. ...................................... 237

Quadro 46. Exemplos de desenhos de figura “simétrica” para os itens (d),

(g), (j) e (n), apresentados por algumas duplas de alunos. ............................. 239

Quadro 47. Procedimentos de resolução identificados nos registros das

duplas de alunos para a situação problema 1. ............................................... 242

Quadro 48. Respostas fornecidas pelos docentes ao analisarem os

registros de algumas duplas de alunos ........................................................... 247

Quadro 49. Comparativo entre o que foi previsto pelos docentes e a pós-

análise nos registros das duplas de alunos B, D, E e H, quanto às

dificuldades que os alunos poderiam encontrar no item (a). ........................... 249



dificuldades que os alunos poderiam encontrar no item (b). ........................... 250



dificuldades que os alunos poderiam encontrar no item (c). ........................... 251



dificuldades que os alunos poderiam encontrar no item (d). ........................... 252



dificuldades que os alunos poderiam encontrar no item (e). ........................... 253

Quadro 54. Respostas dos professores ao analisarem os registros das

duplas de alunos quanto à utilização da malha quadriculada ......................... 254

Quadro 55. Respostas dos professores ao analisarem os registros dos

alunos com relação à construção de figura simétrica ..................................... 256


alunos sobre a influência das variáveis didáticas. .......................................... 258

Quadro 57. Pós-análise nos registros das duplas de alunos B, D, E e H

quanto à influência das variáveis didáticas. .................................................... 258


alunos sobre a utilização dos instrumentos de desenho geométrico .............. 259

Quadro 59. Pós-análise nos registros das duplas de alunos B, D, E e H

quanto aos conhecimentos que mobilizaram para responder o conjunto de

atividades que compõem a sequência didática. ............................................. 261

LISTA DE TABELAS

Tabela 1. Quantidade de tarefas propostas nos livros didáticos analisados

sobre simetria ortogonal ................................................................................. 113

Tabela 2. Frequência da utilização de alguns materiais para planejamento

das aulas de matemática ................................................................................ 159

Tabela 3. Frequência das respostas dos alunos para o item (a) da


Tabela 4. Frequência das respostas dos alunos para o item (b) da


Tabela 5. Frequência das respostas dos alunos para o item (c) da


Tabela 6. Respostas das duplas de alunos para o item (d) da


Tabela 7. Respostas das duplas de alunos para o item (e) da


Tabela 8.Frequência do número de respostas e justificativas das duplas

de alunos para a situação-problema 2 ............................................................ 230

Tabela 9. Frequência das respostas das duplas de alunos para a

situação-problema 3, quanto ao desenho de figura simétrica ......................... 233

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO .................................................................................................. 33

CAPÍTULO 1..................................................................................................... 39

UM ESTUDO SOBRE O OBJETO MATEMÁTICO TRANSFORMAÇÕES

GEOMÉTRICAS NO PLANO ........................................................................... 39

1.1 Um breve histórico sobre as transformações geométricas .................. 39

1.1.1 A Geometria projetiva e seus precursores ........................................... 41

1.1.2 A gênese das primeiras transformações.............................................. 45

1.1.3 A importância da geometria de Descartes para a evolução das

transformações geométricas ............................................................................. 46

1.1.4 Os trabalhos de Felix Klein e de Sophus Lie ....................................... 47

1.2 O grupo das Transformações Geométricas ......................................... 48

1.3 A escolha da Simetria Ortogonal como objeto matemático a ser

estudado ........................................................................................................... 51

CAPÍTULO 2..................................................................................................... 61

A PROBLEMÁTICA ......................................................................................... 61

2.1 Algumas pesquisas relacionadas ao ensino e à aprendizagem de

transformações geométricas no plano .............................................................. 61

2.1.1 Pesquisas francesas relacionadas ao ensino e à aprendizagem de

simetria ortogonal ............................................................................................. 62

2.1.2 As pesquisas brasileiras relacionadas ao ensino e à aprendizagem

de transformações geométricas ........................................................................ 69

2.2 Caracterização do termo concepção ................................................... 75

2.3 Especificidade de nosso estudo .......................................................... 78

2.4 Justificativa e relevância de nosso estudo ........................................... 79

CAPÍTULO 3..................................................................................................... 83

UM ESTUDO SOBRE A SIMETRIA ORTOGONAL À LUZ DA ECOLOGIA

DO DIDÁTICO .................................................................................................. 83

3.1 A simetria ortogonal numa problemática ecológica ............................. 83

3.2 A noção de ecossistema aplicada à simetria ortogonal ....................... 84

3.3 Os documentos curriculares oficiais e o ensino da simetria

ortogonal no ensino fundamental ...................................................................... 87

3.3.1 As transformações geométricas segundo os Parâmetros

Curriculares Nacionais ...................................................................................... 87

3.3.2 A simetria ortogonal segundo as Diretrizes Curriculares de

Matemática para o Ensino Fundamental do Estado da Bahia .......................... 92

3.4 A Simetria Ortogonal e as condições de sua existência ...................... 95

3.4.1 A simetria ortogonal em alguns livros didáticos de matemática para

Ensino Fundamental II ...................................................................................... 97

3.4.2 Análise das quatro coleções de livros didáticos de Matemática .......... 99

3.4.2.1 A organização praxeológica .............................................................. 102

3.5 Algumas reflexões ............................................................................. 116

CAPÍTULO 4 .................................................................................................. 119

FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ..................................................................... 119

4.1 A Teoria das Situações Didáticas ...................................................... 119

4.2 O quadro dos Paradigmas Geométricos ............................................ 128

4.2.1 O modelo do desenvolvimento do pensamento geométrico de

Van Hiele ........................................................................................................ 128

4.2.2 O quadro dos Paradigmas Geométricos apresentados por

Houdement e Kuzniak..................................................................................... 130

4.2.3 O quadro teórico dos Paradigmas Geométricos apresentado

por Parzysz ..................................................................................................... 131

4.2.4 Uma articulação entre o quadro dos Paradigmas Geométricos

proposto por Parzysz e a Teoria das Situações Didáticas de Brousseau ....... 137

CAPÍTULO 5 .................................................................................................. 141

METODOLOGIA E PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS ........................ 141

5.1 A engenharia didática e a formação de professores .......................... 141

5.2 A produção e coleta de dados ........................................................... 145

5.3 O campo e os sujeitos da pesquisa ................................................... 146

5.3.1 A escola ............................................................................................. 146

5.3.2 Caracterização dos sujeitos ............................................................... 147

CAPÍTULO 6 .................................................................................................. 159

PROCEDIMENTOS INICIAIS DE EXPERIMENTAÇÃO ................................ 159

6.1 Análise do questionário relacionado à prática docente ...................... 159

6.2 Mapas Conceituais ............................................................................ 164

6.2.1. Análise dos mapas conceituais concebidos pelos professores ......... 165

CAPÍTULO 7................................................................................................... 171

O ESTUDO EXPERIMENTAL SOBRE AS CONCEPÇÕES DE

PROFESSORES E ALUNOS SOBRE A SIMETRIA ORTOGONAL .............. 171

7.1 Análise, a priori, das situações-problema apresentadas para a

pré-análise dos professores ............................................................................ 171

7.1.1 Problemas de reconhecimento de figuras simétricas e construção

de eixos de simetria ........................................................................................ 172

7.1.2 Problemas de construção de figura simétrica .................................... 183

7.1.3 Análise das questões discursivas propostas aos professores ........... 190

7.2 Experimentação 1: aplicação das situações-problema e do

questionário sobre estas situações aos professores sujeitos da pesquisa ..... 192

7.2.1 Etapa 1 da experimentação 1: análise, a posteriori, das respostas

apresentadas pelos professores às situações-problema ................................ 193

7.2.1.1 Análise, a posteriori, das respostas apresentadas pelos

professores à situação--problema 1 ................................................................ 193


professores a situação--problema 2 ................................................................ 196

7.2.1.3 Análise, a posteriori, das respostas dos pelos professores a


7.2.2 Etapa 2 da experimentação 1: as respostas dos professores ao

questionário discursivo e as discussões nas reuniões sobre a pré-análise

das situações-problema .................................................................................. 204

7.2.2.1 Análise dos dados provenientes das discussões no debate coletivo

sobre a pré-análise realizada pelos docentes sobre a situação-problema 1 .. 208

7.2.2.2 Análise dos dados oriundos das discussões no debate coletivo

sobre a pré-análise realizada pelos professores para a


7.2.2.3 Análise dos dados provenientes das discussões no debate

coletivo sobre a pré-análise realizada pelos professores, para a


7.2.2.4 Uma síntese de nossa análise sobre as respostas de professores

ao questionário discursivo e as discussões nas reuniões sobre a

pré-análise desses docentes às situações--problema .................................... 216

7.3 Experimentação 2: aplicação das situações-problema analisadas

pelos professores, sujeitos da pesquisa, a alunos do 8º ano do Ensino

Fundamental ................................................................................................... 220

7.3.1 Análise, a posteriori, dos procedimentos e respostas

apresentadas pelas duplas de alunos à sequência didática ........................... 222

7.3.1.1 Análise, a posteriori, das respostas de alunos do 8º ano do

Ensino Fundamental a situação-problema 1 ................................................... 222

7.3.1.2 Uma síntese de nossa análise sobre as respostas de alunos do

8º ano do Ensino Fundamental a situação-problema 1 .................................. 228

7.3.1.3 Análise a posteriori das respostas de alunos do 8º ano do Ensino

Fundamental a situação-problema 2 .............................................................. 229


8º ano do Ensino Fundamental à situação-problema 2 .................................. 232

7.3.1.5 Análise, a posteriori, das respostas de alunos do 8º ano do Ensino

Fundamental ao conjunto de atividades que compõem a



8º ano do Ensino Fundamental à situação-problema 3 .................................. 241

7.3.1.7 Algumas considerações sobre a experimentação 2 e a análise

dos registros das duplas de alunos, sujeitos da pesquisa .............................. 244

7.4 Experimentação 3: as respostas de algumas duplas de alunos

do 8º ano à sequência didática sob o olhar de docentes, sujeitos da

pesquisa ......................................................................................................... 246

CONSIDERAÇÕES E PERSPECTIVAS ........................................................ 279

REFERÊNCIAS .............................................................................................. 291

APÊNDICE 1 ................................................................................................. 299

APÊNDICE 2 .................................................................................................. 301

APÊNDICE 3 .................................................................................................. 302

APÊNDICE 4 .................................................................................................. 303

APÊNDICE 5 .................................................................................................. 306

APÊNDICE 6 .................................................................................................. 309

APÊNDICE 7 .................................................................................................. 312

ANEXO 1 ........................................................................................................ 315

ANEXO 2 ........................................................................................................ 316

ANEXO 3 ........................................................................................................ 317

ANEXO 4 ........................................................................................................ 318

ANEXO 5 ........................................................................................................ 319

ANEXO 6 ........................................................................................................ 320

33

INTRODUÇÃO

A trajetória para a construção de nosso objeto de estudo iniciou-se em

2007, quando nós, professores do curso de Licenciatura em Matemática com

Enfoque em Informática da Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia

(UESB), Campus Jequié, inquietados com as altas taxas de reprovação e

evasão das disciplinas desse curso, propusemos à Fundação de Amparo à

Pesquisa do Estado da Bahia (FAPESB) o projeto de pesquisa intitulado

“Análise dos erros cometidos pelos discentes de cursos de Licenciatura em

Matemática das universidades estaduais baianas” (BORTOLOTI, et al. 2007)

que foi aprovado com recurso financeiro.

Como a equipe de investigadores tinha a pretensão de obter um

panorama das dificuldades em Matemática (referentes aos conteúdos da

Educação Básica) que incidiam sobre os alunos no Estado da Bahia,

delimitamos como campo de pesquisa as quatro Universidades Estaduais

baianas, das quais, duas são multicampi. Foram abrangidos dez campi que

possuem cursos de licenciatura em Matemática.

Os sujeitos investigados foram alunos ingressantes (1º semestre) e

alunos veteranos (6º semestre) dos cursos de licenciatura em Matemática das

Universidades Estaduais baianas. Ao aplicar o teste 1 a alunos ingressantes, o

objetivo da pesquisa era investigar como esses alunos estavam chegando à

universidade, isto é, qual o background deles em relação a conteúdos básicos

de Matemática. Quanto aos alunos do 6º semestre, tínhamos como meta

verificar se, após a metade do curso, eles haviam adquirido habilidades para

resolver questões matemáticas referentes a conteúdos da Educação Básica.

No total, foram 417 sujeitos alvos da pesquisa, dos quais 274 eram

alunos de 1º semestre e 143 de 6º semestre. Nossa motivação, neste trabalho

de tese, está fundamentada na análise das questões referentes ao eixo de

34

geometria plana, pelo fato de nosso interesse de investigação estar voltado

para esse eixo.

Para concretização da pesquisa, utilizamos como instrumentos de coleta

de dados dois testes diagnósticos e um questionário socioeconômico. O teste

1, constava de seis questões de conteúdos de matemática da Educação

Básica. Dessas, duas contemplavam o conteúdo de geometria plana. A

primeira questão tratava de um problema quotidiano e vem enunciado a seguir:

Um fazendeiro comprou um terreno de forma retangular com 30m de

perímetro, notando que o triplo da medida do menor lado é igual ao dobro da

medida do lado maior. Resolveu plantar grama em todo o terreno, exceto em

uma semicircunferência, cujo diâmetro coincide com lado menor.

Considerando--se que o valor aproximado de π=3,14 e que o m2 da grama

custa R$40,00, determine quanto o fazendeiro gastou.

A análise quantitativa dos dados evidenciou que, com relação à

resolução dessa questão, apenas 8,02% dos alunos do 1° semestre e 30,07%

dos alunos do 6° semestre a acertaram. Observamos, ainda, que 30,67% dos

sujeitos de 1º semestre e 20,98% dos sujeitos dos 6º semestre não

responderam a questão.

A segunda questão tinha como foco a semelhança de triângulos, e era

enunciada da seguinte forma. Na figura, AB= 8 u.c., BC= 1 u.c., e os triângulos

sombreados são equiláteros. Sobre os triângulos sombreados, calcule o

quociente entre o valor da área do triângulo maior e a área do triângulo menor.

Figura 1. Questão 5 do teste 1 aplicado aos alunos na pesquisa “Análise dos erros cometidos por discentes de cursos de Licenciatura em Matemática das universidades estaduais baianas”

Fonte: Adaptada do Vestibular UESC, 2008

Ressaltamos que nenhum aluno de 1° semestre acertou essa questão e

para os alunos de 6° semestre o índice foi de 7% de acerto. Observamos,

ainda, que 45,26% dos alunos de 1º semestre e 37,06% dos alunos de 6º

semestre não responderam a questão.

35

Esses dados nos fizeram refletir sobre algumas questões ligadas ao

ensino de geometria na Educação Básica e no Ensino Superior. No que diz

respeito à Educação Básica, algumas dúvidas nos inquietaram. Entre elas, as

dificuldades relacionadas com o conteúdo de geometria plana parecem ligadas

às práticas de ensino, adotadas por professores dos níveis Fundamental e

Médio. Segundo as observações de Almouloud et al. (2004, p. 99), “[...] a

maioria dos professores do Ensino Fundamental e do Ensino Médio não está

preparada para trabalhar segundo as recomendações e orientações didáticas

dos PCN1”.

Com relação ao Ensino Superior, apesar de o desempenho dos alunos

do 6º semestre ser melhor do que o desempenho dos alunos ingressantes,

essa diferença deveria ser maior, em função do avançado processo de

formação que apresentavam os alunos veteranos. Isso nos estimulou a refletir

sobre a formação de professores que ensinam Matemática, no que se refere ao

ensino e à aprendizagem da geometria. Essa inquietação é reforçada por

Almouloud et al. (2004), quando afirmam que a formação de professores:

[...] é muito precária quando se trata de geometria, pois os cursos de formação inicial não contribuem para que façam uma reflexão mais profunda a respeito do ensino e da aprendizagem dessa área da matemática. Por sua vez a formação continuada não atende ainda aos objetivos esperados em relação à geometria. (p. 99)

A análise das respostas dos estudantes assinalou que as dificuldades

apresentadas são relacionadas, principalmente, à interpretação de significados

e conceitos geométricos.

A análise dos dados evidenciou indícios de que as dificuldades

encontradas por alunos de cursos de Licenciatura em Matemática das

Universidades Estaduais do Estado da Bahia, possivelmente sejam

provenientes da Educação Básica. Supondo que uma das dificuldades nos

processos de ensino e de aprendizagem de conteúdos de geometria esteja

relacionada com as práticas docentes, surgiu nosso interesse de investigar

como um ambiente de ação e reflexão, que envolve a pré-análise, reflexões

sobre a pré-análise, experimentação, pós-análise e reflexões sobre a pós-

análise relacionadas a uma sequência didática sobre a simetria ortogonal,

1 Parâmetros Curriculares Nacionais

36

interfere nos saberes docentes de professores de Matemática do Ensino

Fundamental II.

Assim, abordaremos nesta pesquisa, a seguinte questão: como um

ambiente de ação e reflexão constituído nos horários destinados às Atividades

Complementares (A.C.) pode influenciar os saberes docentes de professores

de Matemática do Ensino Fundamental II sobre a simetria ortogonal? Para isso,

construímos uma sequência didática sobre a simetria ortogonal, com a intenção

de que, por meio da ação, esta pudesse provocar a reflexão de professores de

Matemática sobre o ensino e a aprendizagem deste objeto matemático com a

finalidade de ponderar como esse movimento pode interferir nos saberes

docentes.

Para o presente trabalho, escolhemos como metodologia de pesquisa a

Engenharia Didática de Artigue (1995) por acreditar que essa metodologia seja

adequada para um estudo que envolve os processos de ensino e de

aprendizagem, uma vez que ela permite, a partir do confronto das análises a

priori e a posteriori, confirmar ou refutar hipóteses. A escolha foi fortalecida

pelos argumentos de Chesnais (2009) sobre a necessidade de seus estudos

serem confrontados com outros contextos. Apoiamo-nos, ainda, em Schön

(1995; 2000) com o objetivo de criar um ambiente de ação e reflexão em que

os professores sejam capazes de refletir sobre sua própria prática. Durante a

experimentação, trabalhamos com professores de Matemática do Ensino

Fundamental II e seus alunos, em uma escola da rede estadual de ensino do

Estado da Bahia. Utilizamos como instrumentos de coleta de dados:

questionários, entrevistas, fichas de observação e gravações de áudio.

Para este estudo, utilizamos como referencial teórico o quadro dos

Paradigmas Geométricos no modelo apresentado por Parzysz (2001; 2006)

associado à Teoria das Situações Didáticas. Escolhemos o quadro dos

Paradigmas Geométricos por acreditar que ele permite um estudo sobre o

desenvolvimento do raciocínio geométrico dos sujeitos, para os docentes nos

momentos de análise da sequência didática e registros dos alunos, e para os

alunos nos momentos de interação com o conjunto de atividades que compõem

a referida sequência.

Por outro lado, utilizamos a Teoria das Situações Didáticas

(BROUSSEAU, 1997) para fazer um estudo sobre a influência das variáveis

37

didáticas escolhidas nos procedimentos e respostas de professores de

Matemática do Ensino Fundamental II e de seus alunos. Apoiamo-nos em

Margolinas (2002; 2004), seguindo o modelo de níveis de atividade do

professor, para compreender as várias fases do trabalho docente. Esse modelo

deve permitir fazer um estudo da atividade do professor nas diferentes

dialéticas que ele deve vivenciar no processo de aprendizagem, isto é, as

dialéticas de ação, formulação, validação e institucionalização.

A seguir, apresentamos a estrutura do trabalho, composto de sete

capítulos.

No primeiro capítulo, apresentamos um estudo sobre as transformações

geométricas no plano, o qual é iniciado com um breve histórico sobre esses

objetos geométricos, seguido por uma apresentação sobre o grupo das

transformações geométricas e os motivos que nos levaram a escolher a

simetria ortogonal como objeto matemático a ser estudado.

No segundo capítulo, tratamos da problemática que envolveu nossa

investigação, a partir do estudo de algumas pesquisas relacionadas ao ensino

e à aprendizagem das transformações geométricas no plano, em especial, a

simetria ortogonal. Apresentamos, ainda, a questão de pesquisa, os objetivos,

a especificidade do estudo e, por fim, sua justificativa e relevância.

No terceiro capítulo, realizamos um estudo ecológico sobre a simetria

ortogonal, cujo objetivo principal foi o estudo das condições de existência

desse objeto matemático em um sistema de ensino público. Para isso,

realizamos estudos nos documentos curriculares oficiais, tanto no contexto

nacional quanto no contexto estadual e análise de livros didáticos.

No quarto capítulo, apresentamos o quadro teórico utilizado na pesquisa,

em que optamos por utilizar a Teoria das Situações Didáticas no sentido de

Brousseau (1997) e de Margolinas (2002; 2004) associada ao quadro dos

Paradigmas Geométricos propostos por Parzysz (2001; 2006).

O quinto capítulo trata da metodologia e procedimentos metodológicos

adotados na pesquisa. Nele, foi realizada uma breve apresentação da maneira

como a Engenharia Didática e o modelo de reflexão sobre a prática de Schön

(1995; 2000) serão aplicados neste trabalho. Apresentamos, também, a

caracterização da escola pesquisada e o perfil dos professores, sujeitos da

pesquisa.

38

No sexto capítulo, trataremos dos procedimentos iniciais de

experimentação, cujo foco é a prática docente relacionada ao ensino de

geometria, por meio da análise de um questionário aplicado aos professores e

da análise dos mapas conceituais sobre simetria por eles construídos e

discutidos durante encontros na escola.

No último capítulo, apresentamos o estudo experimental, que está

dividido nas seguintes subseções: análise a priori do conjunto de atividades

que compõem a sequência didática; experimentação 1; experimentação 2;

experimentação 3; a visão dos professores, sujeitos da pesquisa, durante e

após a investigação sobre o ensino e a aprendizagem da simetria ortogonal.

Na experimentação 1, apresentamos a aplicação da sequência didática

aos professores, a análise a posteriori e a análise do questionário discursivo

respondidos por esses docentes sobre as atividades que compõem a

sequência didática. Na experimentação 2, descrevemos a aplicação da

sequência didática, analisada e modificada pelos professores, a alunos do 8º

ano do Ensino Fundamental e a análise a posteriori dos registros fornecidos

pelos discentes. Na experimentação 3, fazemos uma análise do olhar dos

docentes sobre as respostas de algumas duplas de alunos do 8º ano à

sequência didática. Por fim, apresentamos as considerações e perspectivas

futuras para o estudo.

O trabalho aqui apresentado está inserido no grupo de pesquisa

Processo de ensino e aprendizagem em Matemática (PEA-MAT) e desenvolve-

-se na linha de pesquisa “A matemática curricular e formação de professores”

do Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática, da

Pontifícia Universidade Católica de São Paulo. Esta pesquisa está atrelada a

um projeto maior, que envolve uma parceria entre a PUC-SP e a PUC-Peru,

desenvolvida colaborativamente pelos grupos de pesquisa PEA-MAT e o

Didactica de las Matemáticas (DIMAT) que pertence ao Instituto de

Investigación para La Enseñanza de las Matemáticas (IREM) da PUC-Peru,

Financiado pelo Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e

Tecnológico (CNPq) e pela Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São

Paulo (FAPESP).

39

CAPÍTULO 1

UM ESTUDO SOBRE O OBJETO MATEMÁTICO

TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS NO PLANO

Nosso objetivo, neste capítulo, é fazer um estudo sobre o objeto

matemático transformações geométricas no plano, mais especificamente sobre

simetria ortogonal. Inicialmente, apresentamos alguns elementos do

desenvolvimento histórico e epistemológico das transformações geométricas,

seguido pela importância do grupo das transformações geométricas na

classificação das geometrias e, por fim, os motivos que nos levaram a escolher

a simetria ortogonal como objeto matemático para pesquisa.

1.1 Um breve histórico sobre as transformações geométricas

O desenvolvimento da geometria tem como um dos fundamentos a

necessidade de entender o mundo que nos cerca. Entre outras hipóteses,

Boyer (1996, p. 05) declara que, “o desenvolvimento da geometria pode

também ter sido estimulado por necessidades práticas de construção e

demarcação de terras, ou por sentimentos estéticos em relação à configuração

e ordem”. Esse autor, ainda exemplifica essa preocupação estética ao citar a

presença de padrões geométricos em potes, cestas e tecidos que expressavam

exemplos de congruência e simetria.

Ainda sobre esta busca de padrões Fedorov2, um cristalógrafo que

estudou grupos espaciais cristalográficos, afirma, segundo Galiulin (2003), que

o cérebro humano sempre busca por regularidade em tudo e que isso é

2 Evgraf Stepanovich Fedorov foi um russo matemático, cristalógrafo e mineralogista. Ele escreveu o clássico "A simetria de sistemas regulares de figuras", em 1891, que continha a primeira catalogação dos 230 grupos espaciais, também de forma independente classificada pelo matemático alemão Schönflies e o geólogo inglês William Barlow.

40

compreensível, porque um homem pode ser orientado em sua busca para um

trabalho adequado, considerando apenas materiais agrupados regularmente.

Contudo, a falta de documentos faz com que não seja possível, segundo Boyer

(1996), acompanhar a evolução da matemática desde um desenho até um

teorema que nos seja conhecido.

De acordo com esse mesmo autor, “os elementos de Euclides, não só

constituem a mais antiga obra matemática a chegar até nós, mas o texto mais

importante e influente de todos os tempos” (BOYER, 1996, p. 82). Segundo

Jahn (1998), a geometria euclidiana fez uma amálgama entre uma descrição

teórica da realidade e o desenvolvimento do raciocínio puramente dedutivo; ela

ainda afirma que isto vai dominar durante todo o período compreendido entre a

antiguidade e a aparição dos métodos axiomáticos modernos. A autora refere-

se, especificamente, à geometria de Hilbert no final do século XIX. Justificando

essa extensa espera, Boyer (1996, p.74) afirma que “durante esse longo

intervalo a maioria dos matemáticos considerou a exposição de Euclides como

logicamente satisfatória e pedagogicamente aceitável”.

Ao fazer uma descrição de como são tratados os objetos geométricos

nos Elementos de Euclides, Jahn (1998) declara que as primeiras definições

fornecidas por Euclides têm como referência uma percepção dos objetos da

realidade, e que, portanto, seu papel é fazer um suporte concreto, uma

referência ao senso comum para expor os fundamentos da geometria. A autora

ainda afirma que Euclides não investigou como conferir a essas definições um

status operatório no sentido de explicar sua axiomática.

Sobre a noção de figura, Vitrac3 citado por Jahn (1998) enfatiza que as

declarações de Euclides sugerem que uma figura é determinada sob três

critérios: sua posição, sua forma e sua grandeza. Segundo ela, esse autor

acrescenta que a figura não se reduz à sua fronteira (à superfície que a contém

e de que faz parte), mas que isto significa que uma figura é um objeto

constituído do espaço incluído entre as figuras. A autora afirma que “os objetos

da geometria de Euclides são as figuras, tratadas de maneira estática e

consideradas em sua globalidade como formas. Elas são constituídas de

3 Vitrac, B. (1990). Euclide d’Alexandrie, “Les Eléments” traduits du texte de Heiberg (vol. I). Introduction générale de M. Caveing, livre I-IV: Géométrie Plane. Paris: PUF.

41

elementos particulares tais como pontos e linhas.” (JAHN, 1998, p.27-28,

tradução nossa)

A visão das figuras geométricas, levando em conta seus elementos

particulares e a possibilidade de essas serem transformadas por meio da

manipulação de suas propriedades, foi estudada na geometria projetiva. Na

próxima seção apresentamos a motivação para tais estudos.

1.1.1 A Geometria projetiva e seus precursores

Sobre o aparecimento e a evolução da noção de transformações

geométricas propriamente ditas, Jahn (1998, p.32, tradução nossa) pontua que

“os problemas de representação dos objetos no espaço e os problemas de

sombra foram preocupações dos pintores e artistas do Quattrocento4 que os

conduziu ao método das transformações e à geometria projetiva”. Segundo

Eves (2002), famílias aristocráticas italianas patrocinavam artistas e poetas que

estudavam trabalhos dos mestres gregos e italianos antigos. Dentre os artistas

do renascimento podemos citar Leonardo da Vinci (1452-1519), Michelangelo

(1475-1564), Benvenuto Cellini (1500-1571), Filippo Brunelleschi (1377-1446),

Dürer (1471-1528) e Sandro Botticelli (1445-1510). As obras do Renascimento

têm, como características principais, a simetria, a preocupação com a harmonia

e com o equilíbrio, seja ela uma pintura ou uma escultura. Procurando dar mais

realismo e naturalidade para suas obras, os artistas introduziram conceitos

como ponto de fuga5 e perspectiva.

Em sua obra “Aperçu historique sur l’origine et le développement des

méthodes en géométrie”, Chasles (1793-1880) cita como os trabalhos de

Desargues (1591-1661), principalmente sua obra sobre seções cônicas,

influenciou com aspectos da geometria projetiva alguns artistas do

Renascimento. Este autor afirma que,

Desargues se ocupou das aplicações da Geometria para as artes, e tratou este assunto em relação ao homem superior, trazendo, com uma exatidão frequentemente desconhecida dos artistas, os princípios da universalidade que fazem reconhecer nele [em seu

4 Foram eventos culturais e artísticos do século XV na Itália que marcaram o início do renascimento. 5 O ponto de fuga é a convergência de todas as linhas que representam planos perpendiculares à tela para um ponto produzindo um efeito real de profundidade. Como exemplo, podemos citar a observação dos trilhos de um trem que dá a origem a um ponto na linha do horizonte.

42

trabalho] pesquisas de pura geometria (CHASLES, 1875, p.84, tradução nossa).

Um dos trabalhos mais conhecidos de Desargues, e que deu início aos

estudos que levaram à geometria projetiva é o teorema que traz o seu nome,

apresentado juntamente com sua demonstração por Coxeter e Greitzer (1967)

da seguinte forma:

Teorema de Desargues: Se dois triângulos estão em perspectiva6 em

relação a um ponto e se as retas suportes de seus pares de lados

correspondentes se cortam, então os três pontos de concorrência são

colineares.

Figura 2. Representação do Teorema de Desargues

Fonte: Figura elaborada pela autora, baseada em Coxeter e Greitzer (1967)

Demonstração: Dados dois triângulos PQR e P’Q’R’ em perspectiva em relação

a um ponto O, tal que as retas suportes de seus pares de lados

correspondentes se encontram nos pontos D, E, F (Figura 2), queremos

mostrar que esses pontos são colineares. A demonstração aqui apresentada

depende do Teorema de Menelau7 enunciado como “os pontos E, F, D

6 Segundo Coxeter e Greitzer (1967) duas figuras de um mesmo tipo estão em perspectiva por um ponto se essas figuras compostas por pontos e linhas puderem ser colocadas em correspondência de tal forma que pares de pontos correspondentes são unidos por retas concorrentes. 7 Menelau de Alexandria (70 d. C – 140 d. C) foi astrônomo e matemático grego que viveu, possivelmente, em Alexandria, Egito e Roma.

43

pertencentes às retas suportes dos lados YZ, XZ e XY, do triângulo XYZ, são

colineares, se somente se, 1YD

XD

XF

ZF

ZE

YE”.

Figura 3. Representação do Teorema de Menelau

Fonte: Figura elaborada pela autora, de acordo com Coxeter e Greitzer (1967)

Vamos aplicar o Teorema de Menelau, para as três tríades de pontos

colineares DR’Q’, EP’R’ e FQ’P’ nos lados dos triângulos OQR, ORP e OPQ

respectivamente.

Fazendo separadamente as representações do Teorema de Menelau

para os triângulos citados temos:

Figura 4. Representações do Teorema de Menelau para os triângulos OQR, ORP e OPQ, respectivamente.

Fonte: figura elaborada pela autora

Para cada uma das representações da figura 4, obtemos referentes aos

triângulos OQR, ORP e OPQ as relações apresentadas a seguir:

I) 1'

'

'

'

QQ

OQ

OR

RR

RQ

QD II) 1

'

'

'

'

RR

OR

OP

PP

PE

RE III) 1

'

'

'

'

PP

OP

OQ

QQ

QF

PF

44

Após multiplicar as três equações consecutivamente e efetuarmos um

número modesto de cancelamentos obtemos:

1QF

PF

PE

RE

RD

QD, portanto, D, E, e F são colineares como queríamos.

Outro teorema, que Chasles classifica como famoso é o teorema da

involução de Desargues, enunciado por Ayres (1967) como:

Teorema: Se um quadrângulo simples é inscrito numa cônica C e se

uma linha k, que não passa por nenhum dos seus vértices, é tal que intersecta

C em dois pontos, estes pontos são um par recíproco na involução8 sobre k

determinada pelo par de lados opostos do quadrângulo.

Figura 5. Involução de Desargues

Fonte: Elaboração da autora, segundo Ayres (1967)

A importância desses teoremas deve-se ao fato de servirem de

fundamentos da teoria das cônicas de Desargues e de serem a origem de

numerosas propriedades sobre as cônicas. Essas propriedades surgiram,

muitas vezes, por meio de transformações geométricas. Segundo Jahn (1998),

essas transformações eram utilizadas como ferramentas de demonstração, na

medida em que elas permitiram transferir as propriedades sobre os objetos

geométricos mais complexos que aqueles aos quais eram iguais. Ela ainda

afirma que o estudo das transformações pretendia fazer aparecerem as

propriedades geométricas invariantes no momento das transformações. Porém,

como vimos na apresentação do teorema de Desargues, as transformações

8 Pares de pontos de uma reta cujo produto das distâncias a um ponto fixo é constante.

(BOYER, 1996, p. 248)

45

utilizadas foram somente as projeções e elas permaneceram no contexto das

cônicas.

Jahn (1998) ainda declara que as transformações geométricas como um

objeto podem ser entendidas em vários níveis. De acordo com a autora, esse

objeto pode ser considerado como as relações entre duas configurações

geométricas ou entre duas partes de uma mesma configuração, o que pode ser

observado quando analisamos figuras decorrentes da simetria ortogonal. Os

conceitos aparecem, assim, ligados ao contexto das figuras e se trata em

determinado momento de uma transformação de figuras.

A seguir, discorreremos sobre alguns métodos de transformações de

figuras.

1.1.2 A gênese das primeiras transformações

Sobre a evolução dos métodos para a transformação de figuras, Chasles

(1875) cita, como ponto de partida, as numerosas maneiras de originar cônicas

sobre o plano, uma pela outra, além de dois processos que, segundo ele, se

tornaram muito frequentes nas artes. Esse autor argumenta que o primeiro

processo empregado por Stévin (1548-1667) e Mydorge (1585-1647) consistia

em fazer crescer, a uma proporção constante, a ordenada de uma curva, e o

segundo, em fazer girar essas ordenadas em torno de seus pés, a uma mesma

grandeza angular, de forma que permaneçam paralelas entre si.

A seguir, construímos um exemplo que ilustra o primeiro método, e outro

para ilustrar o segundo método de transformações de figuras descrito acima.

Figura 6. Exemplo ilustrativo para métodos de transformação de figuras

Fonte: Figura elaborada pela autora

46

Chasles (1875) ainda declara que esses processos foram utilizados

separadamente ou combinados de diversas maneiras, por Gregoire de St

Vicent (1584 -1667) para transformar o círculo em elipse.

Ainda sobre os métodos para transformações de figuras, de acordo com

Chasles (1875), o caso mais simples de um método de deformação de figuras

tomou extensão entre as mãos de La Hire (1640-1718) e Newton (1643-1727).

Esse autor ainda declara que Poncelet (1788-1867), no seu “tratado das

propriedades projetivas”, alargou as figuras para três dimensões, apresentando

na segunda parte daquela obra, um dos métodos mais poderosos da geometria

moderna intitulada “Deformação Homográfica”.

1.1.3 A importância da geometria de Descartes para a evolução das

transformações geométricas

No que tange à geometria de Descartes (1596 - 1650), ao falar sobre os

métodos criados por Cavalieri (1598 – 1647), Fermat (1601 - 1665), Roberval

(1602 – 1675) e Gregoire de St Vincent, Chasles (1875, p. 95, tradução nossa)

pondera que “a concepção de Descartes, somente procurou os meios de

aplicar estes métodos de uma maneira uniforme e geral, ela foi a introdução

necessária aos novos cálculos de Leibniz (1646 - 1716) e de Newton”.

Ainda sobre as contribuições da geometria analítica com seus processos

algébricos às transformações geométricas, Chasles (1875, p.196, tradução

nossa) questiona: “não seria natural, introduzir, paralelamente, na geometria

pura transformações análogas que atingissem diretamente as figuras propostas

e as suas propriedades?” O autor ainda observa que

a geometria de Descartes, além de seu caráter eminente de universalidade, distingue-se da geometria antiga por uma relação especial que merece ser notada: é que ela estabelece, por uma única fórmula, as propriedades gerais de famílias inteiras de curvas, de modo que, se não se podem descobrir, por meio dela, algumas propriedades de uma curva particular, pode-se prontamente saber propriedades iguais ou semelhantes para uma infinidade de outras. Até então, ninguém havia estudado propriedades particulares de algumas curvas, tomadas uma a uma, e de maneiras distintas, de modo a não estabelecer qualquer ligação entre as diferentes curvas (CHASLES, 1875, p. 95, tradução nossa).

47

Nesse sentido, a geometria de Descartes fornece uma nova visão aos

métodos de transformações de figuras desenvolvidos até então.

Piaget e Garcia (1987, p.108) argumentam que “o intervalo de tempo

desde Desargues e Pascal até Poncelet e Chasles é o período durante o qual

se consolida a geometria analítica, tendo como ponto de apoio as

transformações algébricas. As transformações realizam-se através de

equações”.

Segundo as observações acima, podemos notar que a geometria

analítica exerceu um importante papel na evolução dos conceitos relativos às

transformações geométricas. Foi com o trabalho de Felix Klein e Sophus Lie

que esses conceitos foram formalizados com o rigor matemático.

1.1.4 Os trabalhos de Felix Klein e de Sophus Lie

Apesar de os estudos sobre como tornar as propriedades das figuras

invariantes por métodos de transformações terem sido alvo de árduo trabalho

por mais de dois séculos, foi nas mãos de Felix Klein (1849-1925) e Sophus Lie

(1842-1899) que conceitos complexos como a aplicação da teoria de grupos à

geometria se desenvolveram. O resultado dos esforços desses dois

pesquisadores culminou com a proposição da teoria de grupos de

transformações, resultando na classificação das geometrias.

Felix Klein tornou-se conhecido por meio do Programa Erlanger,

considerado como um marco importante na Matemática do século XIX. Birkhoff

e Bennett (1988) avaliam que a estreita amizade entre Felix Klein e Sophus Lie,

no momento do Programa Erlanger, desempenhou um importante papel na

vida acadêmica de ambos. De acordo com Birkhoff e Bennett (1988), os

trabalhos de Klein e Lie eram complementares; exemplificam esse fato,

dizendo que “Klein chamou a atenção para aspectos globais básicos da

geometria, ao passo que os teoremas de Lie eram puramente locais.” (p. 146,

tradução nossa).

Segundo Eves (2002), Klein nasceu em Dusseldorf, estudou em Bonn,

Gottingen e Berlin e foi assistente de Julius Plücker (1801-1868), que teve forte

influência sobre o seu trabalho. De acordo com Boyer (1996, p.379) “a

generalidade do conceito de grupo é evidente, Klein numa célebre aula

inaugural em 1872, quando se tornou professor em Erlanger, mostrou como

48

podia ser aplicado, como um meio conveniente para caracterizar as várias

geometrias que tinham aparecido durante o século”.

Na visão de Coxeter e Greitzer (1967), Felix Klein propôs a classificação

das geometrias, de acordo com os grupos de transformações, isto sem alterar

conceitos, axiomas e teoremas da geometria euclidiana, considerada, nesse

caso, como uma das muitas geometrias.

Como este trabalho tem como foco principal a formação continuada de

professores, acreditamos ser de grande importância o conhecimento desses

sobre o contexto matemático em que a simetria ortogonal está inserida.

Faremos na próxima seção um breve estudo sobre o grupo das

transformações9.

1.2 O grupo das Transformações Geométricas

Inicialmente, definiremos transformação geométrica. Começando pela

palavra transformação, segundo o dicionário Aurélio, da Língua Portuguesa, do

ponto de vista matemático transformação é “qualquer operação em que se

modifica um ente matemático ou que se mapeia uma configuração em outra”

(FERREIRA, 2010, p. 2069). Já na Matemática definimos: uma transformação

T no plano é uma aplicação :T , isto é, uma correspondência que

associa, a cada ponto P do plano, outro ponto PTP 1 do plano, denotado

sua imagem por T. Seja um conjunto de transformações sobre o plano .

Uma transformação :T diz-se injetiva, quando pontos P e Q

distintos em têm sempre imagens distintas, isto é, QTPT . Ou, ainda, T

é injetiva, quando QTPT implicar em P=Q.

Uma transformação T diz-se sobrejetora quando todo ponto 1P em é

imagem de pelo menos um ponto P, ou seja, para todo 1P em existe P em

, tal que 1PPT . Sendo assim, uma transformação T que é,

simultaneamente, injetiva e sobrejetiva é dita bijetiva.

9 Utilizamos como referências para este estudo as obras “isometrias” de Lima (1996) e “Um

Estudo Geométrico das transformações Elementares” de Alves e Galvão (1996).

49

Uma transformação bijetiva :T possui uma inversa :1T ,

isto é, para todo ponto 1P em , sua imagem 1

1PT

pela imagem inversa

1T é o único ponto P de , tal que 1PPT . Se 1T , dizemos que

possui inversa.

Finalmente, definiremos uma transformação geométrica como uma

aplicação bijetiva do plano nele mesmo. Sendo assim, se F é uma figura (um

conjunto de pontos do plano) definiremos T(F)F como conjunto das

imagens dos pontos de F. Observemos que dessa última e das definições

anteriores deriva que toda transformação geométrica possui inversa.

A transformação geométrica :I , definida por I(P) = P para todo

ponto P, é chamada transformação identidade. Se I , dizemos que

possui identidade.

Dadas duas transformações geométricas :, 21 TT , a composta

:12 TT é a aplicação que associa a cada ponto P do plano o ponto

PTT 12 . Portanto, por definição, PTTPTT 1212 , ou seja, 12 TT

consiste em aplicar primeiro 1T e em seguida 2T .

Proposição: A composição de duas transformações geométricas é

também uma transformação geométrica.

De fato, vamos mostrar inicialmente que a composição de duas

transformações geométricas é sobrejetora. Sejam 1T e 2T duas

transformações geométricas sobrejetoras em . Temos que mostrar que dado

P , PPTT 12 . Observando que 2T é sobrejetora, dado P

existe P tal que PPT 2 . Notando que 1T também é sobrejetora,

temos que dado P existe P tal que .1 PPT Logo. PPTT 12

Portanto, 12 TT é sobrejetora.

Mostremos agora que 12 TT é injetora. Suponhamos

QTTPTT 1212 ,então, por definição QTTPTT 1212 , como 2T é

injetora, temos que QTPT 11 . Da mesma forma, como 1T é injetora P=Q.

Logo, 12 TT é injetora.

50

Como a composição 12 TT está em , ou seja, 12 TT é uma

transformação geométrica quando 1T e 2T também o são, dizemos que é um

conjunto fechado com relação à composição.

Dizemos que o conjunto das transformações geométricas possui a

propriedade associativa se, para quaisquer elementos 1T , 2T e 2T em ,

satisfaz a lei associativa 321321 TTTTTT . Com efeito, para todo

P temos PTTTPTTTPTTT 321321321

PTTT 321 .

Observamos que os conjuntos importantes de transformações

geométricas são aqueles que apresentam identidade, inversa e satisfazem,

simultaneamente, as propriedades de fechamento e associatividade. Tais

conjuntos são chamados de grupos de transformações geométricas.

A importância de tais conjuntos, segundo Eves (2002), deve-se ao fato

de Felix Klein definir geometria como “o estudo das propriedades de um

conjunto S que permanecem invariantes quando se submetem os elementos de

S às transformações de algum grupo de transformações ” (p. 606).

Segundo Coxeter e Greitzer (1967, p. 80, tradução nossa), “a geometria

euclidiana é caracterizada particularmente pelo grupo das transformações

semelhantes. Um caso particular importante das transformações semelhantes

são as transformações isométricas”. Esse autor, ainda declara que as

isometrias10 nos fornecem a ideia familiar de congruência, já que duas figuras

são congruentes se, e somente se, uma pode ser transformada em outra por

meio de uma isometria.

O breve estudo histórico realizado ajudou-nos a compreender que a

simetria ortogonal, apresentada como uma transformação geométrica no plano,

que está inserida em um conjunto com propriedades específicas (o grupo das

transformações) reveste o professor de uma série de conhecimentos

necessários à sua formação profissional. Esses conhecimentos possibilitam ao

professor utilizar a simetria ortogonal como ferramenta para estabelecer

relações entre vários conceitos geométricos, além de auxiliá-lo na busca de

10 Uma isometria no plano é uma transformação no plano :f tal que

qfpfdqpd ,, , qp, .

51

estratégias de ensino, cujo objetivo seja tornar a aprendizagem, de fato, efetiva

e significativa para o aluno.

Além disso, o estudo sobre o surgimento e desenvolvimento das

transformações geométricas mostrou a necessidade de investigar a

importância das criações humanas (artísticas), principalmente, no ensino da

simetria ortogonal. O estudo expôs, ainda, a importância de se observar o

enfoque dado nos livros didáticos e as relações matemáticas propostas,

quando se leva em conta o ensino de transformações geométricas no plano, de

forma específica, sobre o ensino da simetria ortogonal. Expôs, também, a

relevância de se estudar, por meio de um ambiente de ação e reflexão, a

maneira como o professor faz tais relações.

1.3 A escolha da Simetria Ortogonal como objeto matemático a

ser estudado

Nesta seção, apresentamos nossa motivação para a escolha da simetria

ortogonal11 como objeto matemático para compor nossa pesquisa. Do ponto de

vista geométrico, definimos a simetria ortogonal (também designada como

simetria axial ou reflexão) da seguinte forma: Seja P um ponto do plano que

não pertence à reta r, a imagem de P por esta transformação é um ponto P’ tal

que r seja a mediatriz do segmento PP’. Por outro lado, se P pertence à reta r,

a imagem de P, P’ é o próprio ponto P.

Figura 7. Ponto P’ simétrico do ponto P em relação à reta r.


11 Utilizamos como referência as obras “Um estudo geométrico das transformações elementares” de Alves e Galvão (1996), “El grupo de las isometrías del plano” de Pastor e Rodrígues (1995), além de “Coordenadas no plano com soluções dos exercícios” de Lima (2002).

52

Em resumo, a simetria ortogonal tem como característica as seguintes

propriedades:

Conservação do alinhamento (a imagem de uma reta é uma reta);

Conservação do paralelismo (quando duas retas r e t são paralelas,

suas imagens r’ e t’ também são paralelas);

Conservação de distâncias (A imagem de um segmento s é um

segmento s’ de mesmo comprimento);

Conservação da área (se uma figura F tem área de medida a sua

imagem F’ também tem área de medida a);

Conservação da medida dos ângulos e, portanto, da ortogonalidade.

Com o objetivo de situar a simetria ortogonal nas transformações

geométricas planas, construímos a Figura 8, um esquema que leva em

consideração algumas das suas propriedades.

Figura 8. Transformações Geométricas no plano


Essas características fazem das isometrias transformações especiais,

uma vez que as relações dessas com outros conteúdos de geometria podem

atribuir mais significado ao seu ensino, como exemplo, no caso da simetria

ortogonal, em que citamos a classificação de polígonos regulares. Esse foi um

53

dos motivos para escolhermos uma das isometrias no plano, em particular, a

simetria ortogonal para o nosso estudo. A escolha desse conceito se dá, ainda,

pela sua importância histórica e cultural, como apresentado anteriormente.

Além disso, como aponta Grenier (1988), a simetria ortogonal ocupa um lugar

privilegiado entre as transformações geométricas no plano. Segundo a autora,

a simetria ortogonal é uma isometria indireta, a partir da qual é possível deduzir

todas as isometrias do plano.

A seguir, apresentamos dois exemplos de composição de duas simetrias

ortogonais, o primeiro resultando numa rotação e o segundo numa translação.

Teorema: Sejam r e t retas concorrentes distintas do plano se

interceptando num ponto A e seja a medida de um dos ângulos orientados

da reta t para r. Então 2,ARSS tr , onde R(A, ) é a rotação de centro

A e ângulo e Sr , St são simetrias em relação às retas r e t.

Figura 9. Reflexão do ponto P com relação à reta t e do ponto P’ com relação à reta r

Fonte: Elaboração da autora, segundo Pastor e Rodrigues (1995)

Demonstração: Considere a Figura 9, na qual P é o ponto refletido com

relação à reta t, a imagem de P é P . A seguir, P é refletido com relação à

reta r a imagem P é P . Seja A o ponto de interseção entre as retas r e t;

observamos que existem dois pares de triângulos congruentes – os triângulos

PAD e ADP são congruentes pelo critério LAL (lado, ângulo, lado), pois por

construção PDPD , o lado AD é comum aos dois triângulos e

º90)()(

ADPmedADPmed . Portanto, temos que PÂPÂD D .

54

Por um argumento parecido, temos PÂÂEP E . Combinando essas

duas igualdades, temos

)PEÂÂEP()PDÂ(PÂDPÂPPPÂPPÂ , isto é,

2DÂEÂEP2P2DÂPÂ P . Como chamamos de , o ângulo entre t e r

mostramos que 2PPÂ . Logo: 2,ARSS tr .

Teorema: A composição de duas simetrias ortogonais com relação a

eixos de simetria paralelos produz uma translação na direção perpendicular

aos eixos de simetria por intermédio de uma distância igual a duas vezes a

distância entre os eixos.

Figura 10. Reflexão do ponto P com relação às retas r e s respectivamente

Fonte: elaborada pela autora, segundo Pastor e Rodrigues (1995).

Demonstração: Considere a Figura 10, na qual as retas r e s são

paralelas. Observe que P é o ponto refletido com relação à r, cuja imagem é

P . Observe ainda que P é o ponto refletido com relação à s, com imagem

P . Então, por construção, temos que PAPA e PBBP .

Sendo assim, ABBPPAPBBPPAPAPP 22 .

Portanto, chamando de

v o vetor AB2 perpendicular aos eixos r e s e

cujo módulo é duas vezes a distância entre os mesmos, temos que a

composição de duas simetrias ortogonais cujos eixos são paralelos é uma

translação.

A possibilidade de produzir todas as isometrias do plano foi mais uma

razão do nosso interesse pela simetria ortogonal como o objeto matemático

para nosso estudo.

55

Já destacamos anteriormente a importância da geometria analítica no

estudo das transformações de figuras planas. Do ponto de vista algébrico, para

definir a simetria ortogonal por meio de equações, devemos observar três

casos, em que consideramos um sistema de eixos ortogonais do plano

denotado por OXY:

1º) Quando o eixo OX coincide com a reta r (eixo de simetria), observamos

para cada ponto yxP , tem-se que 11,' yxPPSr , em que xx 1 e

yy 1 .

Figura 11. A simetria ortogonal em torno do eixo OX transforma P=(x, y) em P’=(x, -y).

Fonte: Elaboração da autora

2º) Quando a reta r passa pela origem O e forma um ângulo de medida com

o eixo OX. A simetria ortogonal Sr transforma o eixo OX no eixo OX1, obtido de

OX pela rotação de ângulo 2 e transforma o eixo OY no eixo OY1 , tal que a

medida do ângulo de OY para OY1 é 180º + 2 .

56

Figura 12. A simetria com relação à r leva OX em OX1 e OY em OY1

Fonte: Lima (2002, p. 152)

Considerando )1,0(),0,1( 21 ee os respectivos vetores unitários dos

eixos OX, OY e 21, ff os vetores unitários de OX1 e OY1 tais que:

212

211

.2cos.2

.2.2cos

eesenf

esenef

Observamos que a simetria ortogonal Sr é uma isometria que transforma, por

meio de uma mudança de coordenadas, o ponto P= (x, y) no ponto P1= (x1, y1)

tal que 211 yfxfP . Portanto, com o objetivo de representar o simétrico de

P=(x,y) em OXY, utilizamos uma mudança de coordenadas para obter

fórmulas que exprimam as coordenada de (x1, y1) de P no sistema OX1Y1 , em

função das coordenadas (x,y) de P no sistema original OXY. Substituindo as

equações obtidas para 1f e 2f na equação anterior obtemos,

212111 .2cos.2..2.2cos., eesenyesenexyx Logo, para a

simetria com relação à reta r do tipo axy temos as equações:

2cos.2.

2.2cos.

1

1

ysenxy

senyxx

57

Observando que a inclinação da reta r é a tangente trigonométrica do ângulo

que essa reta forma com o eixo OX, ou seja, tga , podemos obter por

meio da tangente do arco metade, as fórmulas trigonométricas

2

2

1

12cos

a

a

e 21

22

a

asen

de tal forma que para a simetria com relação à r temos as equações

ya

ax

a

ay

ya

ax

a

ax

.1

1.

1

2

.1

2.

1

1

2

2

21

22

2

1

em que 1x e 1y são expressas em termos de x, y e a.

3º) Quando r é a reta de equação baxy que tem inclinação tga e

corta o eixo OY no ponto de ordenada b, a simetria ortogonal com relação à

reta baxy transforma P= (x, y) em P1= (x1, y1) com etapas

intermediárias P’= (x’, y’) e P”= (x”, y”).

Figura 13. A simetria com relação à reta baxy leva P em P1, com etapas

intermediárias de P’ a P’’.

Fonte: Lima (2002, p. 152)

Para a obtenção das equações para simetria ortogonal Sr onde r é a reta

de equação baxy e tga é utilizada uma translação vertical com

relação ao vetor –v= (0, -b), cujo objetivo é recair no caso anterior, isto é,

58

fazendo a simetria de P’=(x, y-b) para P”=(x”,y”) com relação a uma reta r’

do tipos axy e tga estabelecendo, assim, as equações

2cos.2."

2.2cos."

bysenxy

senbyxx

Uma segunda translação na direção do vetor v= (0, b), é utilizada para

obter o ponto P1=(x1,y1) e estabelecer as equações

bbysenxy

senbyxx

2cos.2.

2.2cos.

1

1

que são as coordenadas do ponto P1=(x1,y1), obtido do ponto P=(x,y), pela

simetria ortogonal com relação a reta r do tipo baxy com tga .

Exprimindo 1x e 1y em termos de x, y e a como fizemos no caso

anterior obteremos

bbya

ax

a

ay

bya

ax

a

ax

.1

1.

1

2

.1

2.

1

1

2

2

21

22

2

1

A apresentação da simetria ortogonal no quadro algébrico permitiu-nos

observar as conexões entre os aspectos geométricos e algébricos desse

conteúdo, além da possibilidade de estabelecer relações com outros conteúdos

de matemática.

Finalizamos este capítulo observando que estudos franceses descrevem

para as transformações geométricas três níveis de significação, isto é,

Nível 1 - A transformação é considerada como uma relação entre duas configurações geométricas ou uma relação entre duas partes de uma mesma configuração (a característica funcional é ausente). Nível 2 - A transformação é considerada como uma aplicação pontual do plano sobre ele mesmo (se trata do objeto funcional). Nível 3 - A transformação é considerada com uma ferramenta funcional, a fim de colocar em evidência os invariantes ou para fins de resolução problema. (LABORDE E GRENIER, apud JAHN 1998, p. 60; tradução nossa)

Além desses, um 4º nível evidenciado nos estudos de Jahn (1998)

também foi detectado por nós. Segundo essa autora “a transformação é

considerada como o elemento de um grupo (as transformações se compõem e

59

se comparam, elas formam o grupo das transformações).” (p.60, tradução

nossa)

Esse breve estudo sobre o objeto transformações geométricas no plano,

em particular sobre a simetria ortogonal, ajudou-nos a conhecer melhor o

objeto matemático escolhido para nossa investigação, o que auxiliou na

compreensão das escolhas que os professores fazem, quando levamos em

conta o ensino da simetria ortogonal e da dificuldade de que mudanças em

suas práticas docentes sejam implementadas.

Este estudo serviu de apoio, para analisar como os livros didáticos

introduzem e desenvolvem o conteúdo simetria ortogonal, o tratamento dado a

esse objeto, quando levamos em consideração sua definição e a aplicação de

suas propriedades.

No próximo capítulo, desenvolvemos a problemática deste trabalho,

iniciada por meio da revisão de literatura que nos forneceu elementos para

formular a questão de pesquisa e nos ajudaram a traçar os objetivos com vistas

a responder as possíveis causas.

60

61

CAPÍTULO 2

A PROBLEMÁTICA

Neste capítulo, discorremos sobre algumas pesquisas relacionadas com

nosso tema de investigação, tanto na França quanto no Brasil. Na França, por

que nesse país, há uma especial atenção para o ensino e a aprendizagem das

transformações geométricas, devido à importância dada a ele nos programas

curriculares e, no Brasil por ser o país em que nossa investigação ocorreu.

Com relação às pesquisas francesas, escolhemos especificamente as que

tratam sobre o ensino e a aprendizagem da simetria ortogonal. Com relação às

pesquisas brasileiras, buscamos a seleção por meio do banco de dados da

CAPES12. Utilizamos como recurso, nessa revisão de literatura, a construção

de mapas conceituais13 com o objetivo de estabelecermos conexões entre as

informações. Apresentamos ainda, neste capítulo, a questão de pesquisa, os

objetivos de nossa investigação e, finalmente, a relevância e especificidade de

nosso estudo.

2.1 Algumas pesquisas relacionadas ao ensino e à aprendizagem

de transformações geométricas no plano

Muitas são as pesquisas relacionadas ao ensino e à aprendizagem das

transformações geométricas no plano, dentro e fora do Brasil. No Brasil, muitas

12 Para essa busca, foi utilizada inicialmente como palavra-chave simetria ortogonal, como

foram obtidos poucos trabalhos, ampliamos nossa busca para transformações geométricas. 13 Mapa conceitual é a representação de conceitos e suas relações através de ligações hierárquicas descritas por palavras que determinam sentenças ou proposições válidas, estabelecendo, assim, significado dentro de certo domínio de conhecimento. (NOVAK apud OKADA, 2008, p.44).

62

das investigações sobre o ensino e a aprendizagem das transformações

geométricas no plano provêm de dissertações de mestrado. Apesar de os

estudos serem direcionados para transformações geométricas no plano, em

particular as isometrias, há uma forte inclinação dos estudos focando

especificamente a simetria ortogonal. Tais pesquisas são compostas de

estudos diagnósticos, nos quais se busca entender como funcionam os

processos de ensino e de aprendizagem, além de propostas alternativas com

vistas à melhoria da qualidade do ensino desse conteúdo.

A atenção dada, na França, ao ensino e à aprendizagem da simetria

ortogonal, também reflete no número de investigações sobre esse objeto.

Discorreremos, neste trabalho, sobre algumas pesquisas francesas que

abordam o tema sob os pontos de vista do ensino e da aprendizagem, como os

estudos de Grenier (1988), Jahn (1998), Miyakawa (2005), Lima (2006), Bulf

(2008) e Chesnais (2009).

2.1.1 Pesquisas francesas relacionadas ao ensino e à aprendizagem de

simetria ortogonal

Grenier (1988) realizou a construção e o estudo do funcionamento de

um processo de ensino sobre a simetria ortogonal no sexto ano. O objetivo de

seu estudo era verificar a possibilidade de elaborar um conjunto de situações

susceptíveis de desafiar as concepções errôneas sobre simetria ortogonal que

persistiam entre os alunos após o ensino. Sua pesquisa foi fundamentada na

Teoria das Situações Didáticas de Brousseau e na Teoria dos Campos

Conceituais de Vergnaud. Ela utilizou como metodologia de pesquisa a

engenharia didática clássica. Inicialmente, a autora fez um estudo das

concepções dos alunos14 com relação a algumas variáveis didáticas, cujo

objetivo era conhecer melhor essas concepções, antes e após o ensino da

simetria ortogonal em sala de aula.

Sobre as condições de evolução dos conhecimentos dos alunos a partir

das situações-problema propostas, a autora afirma que seu estudo mostrou

que essa evolução é possível, mas em diversos níveis, segundo as

propriedades do conceito colocado em jogo na situação. Em particular,

14 Na seção justificativa e relevância da pesquisa serão relatados detalhes deste estudo.

63

verificou-se uma hierarquia na disponibilidade e aprendizagem dos alunos nas

quatro propriedades da transformação escolhidas para estudo (posição,

ortogonalidade, equidistância e incidência), precisamente nessa ordem. Por

fim, Grenier (1988) avalia que um processo somente é comunicável se ele

comporta, não apenas um estudo das concepções dos alunos, mas também

um estudo das representações do professor, de um lado seu conhecimento do

conteúdo em jogo e do outro, o de seus alunos, seus conhecimentos anteriores

e seu modo de construir conhecimento.

Jahn (1998) investigou a passagem das transformações de figuras às

transformações pontuais, por intermédio de uma sequência de ensino com o

software Cabri-géomètre, aplicada a uma classe do 1º ano do Ensino Médio.

No quadro teórico utilizado, a pesquisadora levou em consideração aspectos

da Teoria das Situações Didáticas, em particular o conceito de milieu, proposto

por Brousseau, a noção de quadros e de mudanças de quadros no sentido de

Douady.

A autora utilizou como metodologia de pesquisa a Engenharia Didática:

seus objetivos eram analisar alguns critérios ou condições para integrar às

situações didáticas que podem favorecer a instalação de um aspecto dual

(global/pontual) das transformações, mostrar ao longo do trabalho, que o

software Cabri-géomètre II pode contribuir para renovar a didática

global/pontual, além de permitir colocar em evidência a relação entre as

concepções estática e dinâmica nos problemas de construção de figuras.

Sobre os resultados de sua pesquisa, Jahn (1998) avalia que seu estudo

evidenciou as dificuldades na noção de transformação geométrica como

aplicação pontual. Segundo a autora, essas dificuldades residem no centro de

um conjunto complexo de conhecimentos em diferentes quadros, aspectos e

apreensões de um ponto de vista epistemológico. A autora declara que sua

pesquisa permitiu, ainda, mostrar as dificuldades dos estudantes em se

separarem do nível espaço-gráfico para poder teorizar sua compreensão do

conceito de transformação, na medida em que isto implicasse para eles

resolver numerosos problemas que permaneciam implícitos no ambiente papel

e lápis. Foi observado, ainda, que a presença do software minimiza algumas

das dificuldades enfrentadas nas situações em que utilizavam papel-lápis.

64

Miyakawa (2005), em sua pesquisa, realizou um estudo da relação entre

conhecimento e prova, que teve como objeto matemático a simetria ortogonal.

Nesse estudo a autora buscou responder a questões como: qual conhecimento

ou quais aspectos do conhecimento sobre um objeto matemático é / são

mobilizados pelos alunos no momento da construção de uma prova e qual

relação existe entre o conhecimento e a prova. Foi escolhido como ferramenta

metodológica e ferramenta de análise do conhecimento o modelo ck¢, proposto

por Balacheff; para a análise de prova, o modelo de Toulmin e os resultados

das investigações de Duval. Os resultados dessa pesquisa indicam, a partir da

análise do funcionamento do conhecimento na prova, a evidência de uma

distância entre geometria pragmática e geometria teórica a qual não é fácil de

preencher.

Segundo Miyakawa (2005), sua pesquisa centrou-se no comportamento

dos alunos do terceiro ano do colégio (9º ano do Ensino Fundamental) e

mostrou que a construção geométrica não é suficiente, mas que ela

desempenha um papel importante no processo de aquisição desse

conhecimento. Por fim, o autor afirma que se trata de uma reorganização do

conhecimento na qual a questão de aprendizagem que supera essa distância

surge de forma legítima.

A pesquisa de Lima (2006) teve como finalidade estudar a forma como

os professores tomam suas decisões didáticas com o objetivo de levar os

alunos a avançarem na aprendizagem de um determinado conhecimento e os

elementos que influenciam essas decisões. Para isso, a autora fez um estudo

das concepções dos alunos do 4º ano do colégio (8º ano do Ensino

Fundamental) referentes ao objeto matemático simetria ortogonal. Foi utilizado

na pesquisa o modelo ck¢ de Balacheff, associado à Teoria das Situações

Didáticas. Com esse estudo, a autora revela ter sido possível construir um

dispositivo experimental para estudar as decisões didáticas tomadas pelos

professores.

Com relação aos resultados obtidos em sua pesquisa, Lima (2006)

declara que as experimentações aplicadas aos alunos mostraram que eles

obtêm melhores êxitos em problemas de reconhecimento, do que em

problemas de construção. Seus estudos confirmaram os resultados obtidos,

anteriormente, sobre o papel de certas variáveis didáticas, como a orientação

65

vertical e horizontal dos segmentos sobre a folha. Já as investigações feitas

com professores permitiram, segundo a autora, identificar vários elementos

que fundamentam suas decisões didáticas. Entre esses elementos foram

identificados: o conhecimento do currículo, o desempenho dos alunos, os seus

conhecimentos de matemática e suas concepções de ensino e aprendizagem.

Ela ainda afirma que é à luz desses conhecimentos que os professores

realizam o diagnóstico das concepções iniciais (Ci) dos alunos e fixam as

concepções alvo (Cj) de seu projeto de ensino. Ela sugere para investigações

posteriores as seguintes questões: Como distinguir um caso de coabitação de

várias concepções diferentes, de um caso de evolução de uma concepção a

outra em cada sujeito? Ou ainda, quais são os tipos de problemas que

favorecem a passagem de uma concepção inicial Ci a uma concepção final Cj

(sendo Ci e Cj conhecidas) e como descrever estes problemas em termos de

variáveis didáticas?

O trabalho de pesquisa de Bulf (2008) foi um estudo dos efeitos da

simetria axial sobre a contextualização das isometrias planas e sobre a

natureza do trabalho geométrico no colégio (Ensino Fundamental). A

problemática central desse estudo é o papel desempenhado pela simetria axial

na aprendizagem de outras simetrias planas, tais como a simetria central e a

simetria de rotação. A autora fundamentou sua investigação na teoria dos

campos conceituais de Vergnaud e no quadro dos Paradigmas Geométricos e

dos espaços de trabalhos geométricos de Houdement e Kuzniak.

Segundo a autora, seu trabalho mostrou que a simetria axial poderia

desempenhar um papel de organizador na condução de um estudante ou de

um artesão. No caso do estabelecimento de ensino, a simetria axial pode ser

um controle da dialética GI - GII15, mas continua a demonstrar se tais

alternâncias de paradigmas são favoráveis ao desenvolvimento do pensamento

geométrico. A simetria axial também pode revelar-se como um obstáculo

cognitivo para alguns alunos por causa da proximidade de esquemas com a

simetria central. Sendo assim, a autora avalia que os resultados obtidos não

permitiram decidir entre dois polos: se a simetria axial desempenha um papel

de obstáculo ou de alavanca na aprendizagem de outras isometrias planas.

15 Mais adiante, faremos uma descrição do quadro dos paradigmas geométricos e, consequentemente, da dialética GI-GII.

66

Como proposta para estudos futuros, Bulf (2008) declara que seria

interessante estudar mais finamente o espaço de trabalho geométrico (ETG)16

pessoal dos professores, além considerar qual aspecto do conceito de simetria

parece ser o mais fundamental.

Chesnais (2009) fez um estudo sobre o ensino da simetria axial no 6º

ano; seu trabalho foi focado sobre as práticas de dois professores e as

atividades dos alunos. Segundo essa autora, são três os tipos de efeitos

diferentes relacionados à prática docente: os efeitos diferenciais de práticas

diferentes, a diferenciação das práticas dos professores, segundo os alunos, e

os efeitos diferenciais de uma mesma prática do professor, ainda segundo os

alunos. O quadro teórico utilizado foi uma abordagem dupla de didática e

ergonomia no sentido da teoria da atividade.

Com relação aos resultados, a autora afirma que seu trabalho colocou

em evidência as relações entre as práticas docentes e os resultados dos

controles dos alunos, ao percorrer as possíveis atividades. Foram observadas,

na prática dos dois professores, semelhanças e diferenças. As semelhanças

estão relacionadas às escolhas globais de conteúdos que surgem para a

maioria dos programas. Já com relação às diferenças, destaca-se a

variabilidade nos investimentos das margens de manobras deixadas aos

professores, às vezes, no que concerne aos cenários e às sequências.

A autora aponta algumas questões que ficaram para ser investigadas em

pesquisas futuras, no sentido de validar ou invalidar os resultados obtidos em

seus estudos. Seus argumentos para os estudos posteriores são: o número

restrito de professores participantes da pesquisa (apenas dois), a necessidade

de seu estudo ser confrontado com outros cenários como, por exemplo, de

uma engenharia didática e, por fim, a necessidade de investigar como uma

formação de professores influenciaria na prática de outros professores.

A seguir, apresentamos, na Figura 14, um mapa conceitual em que

buscamos fazer uma síntese das pesquisas apresentadas.

16 Segundo Houdement e Kuzniak (2006, p.184, tradução nossa) o termo espaço de trabalho geométrico é designado como ambiente organizado por e para o geômetra de maneira a articular de forma adequada três componentes: um conjunto de objetos, possivelmente materializados em um espaço real e local; um conjunto de artefatos que serão ferramentas e instrumentos na acepção do geômetra; um quadro teórico que pode ser organizado em um modelo teórico.

67

Figura 14. Mapa conceitual de algumas pesquisas francesas sobre simetria ortogonal

Fonte: Figura elaborada pela autora com auxílio da ferramenta Cmap Tools17

Na Figura 14, dividimos as pesquisas em dois blocos: no primeiro, os

sujeitos das pesquisas eram alunos, e o foco da investigação, a aprendizagem

desses mesmos alunos; no segundo, temos as pesquisas relacionadas às

práticas de professores.

Na maioria das pesquisas estudadas, mesmo quando os professores

não eram os sujeitos diretos de investigação, ficou clara a importância do papel

deles nos processos de ensino e de aprendizagem. Observamos ser esse o

principal elo de convergência entre tais estudos. O mapa conceitual

apresentado na Figura 15 mostra essa convergência.

17 De acordo com Okada (2008) Cmap Tools é um software gratuito, desenvolvido pelo IHMC – University of West Florida que permite construir, navegar, criar apresentações e compartilhar mapas conceituais de forma individual ou colaborativa. Disponível em http://cmap.ihmc.us/download.

68

Figura 15. A importância do papel do professor

Fonte: Figura elaborada pela autora com auxílio da ferramenta Cmap Tools.

Os estudos de Grenier (1988), Lima (2006), Chesnais (2009) e Bulf

(2008) chamam a atenção no sentido de sinalizarem para a necessidade de

investigações sobre o importante papel do professor em um processo de

ensino. Grenier (1988) defende um estudo sobre as representações do

professor, o que vai ao encontro de Lima (2006), ao apontar que, para tomar

decisões didáticas, o professor leva em conta elementos como seu

conhecimento matemático, o desempenho de seus alunos, seu conhecimento

do currículo e, por fim, suas concepções de ensino e aprendizagem.

Os estudos de Bulf (2008) apontam que as próprias representações do

professor influenciam no desenvolvimento de seu curso, alimentando seu

conteúdo, e podem, portanto, ter um impacto sobre a aprendizagem dos

alunos. Jahn (1998) concebe o papel do professor como orientador, isto é, as

intervenções são voltadas, principalmente, para promover o debate, para

capacitar os alunos para explicarem algum argumento escolhido sobre seus

resultados, e fazer perguntas. Suas intervenções correspondiam a informações

sobre o saber em jogo e são desprovidos de efeitos contratuais, tanto quanto

possível.

Por fim, Chesnais (2009) afirma que seu estudo sobre a prática de dois

professores levou a observar semelhanças (principalmente quanto à escolha

do conteúdo em vistas do currículo) e diferenças (é a maneira pessoal de o

69

professor conduzir os processos de ensino e de aprendizagem em sua aula, e

um exemplo é a escolha de recursos didáticos diferenciados).

Os estudos franceses sobre o ensino e a aprendizagem da simetria

ortogonal nos forneceram elementos para compreender, em parte, algumas

das dificuldades que cercam o ensino e a aprendizagem desse objeto

matemático, levando a conhecer algumas propostas de intervenção junto a

essas dificuldades, com vistas a minimizá-las, além de entender o papel do

professor nesses estudos.

As contribuições dessas pesquisas, neste trabalho, estão diretamente

relacionadas à experimentação, por exemplo, utilizamos como referência os

estudos de Grenier (1988) e Lima (2006) para investigar a influência das

variáveis didáticas nelas identificadas, no ensino e na aprendizagem da

simetria ortogonal.

Por outro lado, existe a necessidade de buscarmos, em estudos

brasileiros, indícios para compreender a realidade que cerca o ensino e a

aprendizagem das transformações geométricas planas, especificamente a

simetria ortogonal.

2.1.2 As pesquisas brasileiras relacionadas ao ensino e à aprendizagem

de transformações geométricas

A busca no banco de tese da CAPES, com a palavra-chave

transformações geométricas, resultou em um número expressivo de pesquisas.

Porém, interessou-nos principalmente as investigações que estavam

relacionadas ao ensino das transformações geométricas no plano, fosse por

meio de formação de professores, análise de livros didáticos ou propostas de

sequências de ensino. Dentre algumas pesquisas brasileiras, discorremos

sobre os estudos de Mabuchi (2000), Vaz (2004), Accioli (2005), Luz

(2007),SILVA (2010), Medeiros (2012) e Rodrigues (2012).

Mabuchi (2000), em sua pesquisa, fez um estudo sobre transformações

geométricas, no qual abordou a trajetória de um conteúdo ainda não

incorporado às práticas escolares, nem à formação de professores. Essa

pesquisa teve como foco um estudo de caso desenvolvido com professores

que tinham formação em ciências e complementavam sua formação para obter

a habilitação em Matemática. A autora afirma que, mesmo com experiência no

70

ensino de Matemática, esses professores apresentavam procedimentos

observados em pesquisas feitas com alunos do Ensino Fundamental. Ainda

segundo Mabuchi (2000, p.192),

foi observado que as escolhas de diferentes variáveis como posição do eixo de simetria, complexidade da figura, tipo de papel e percepção relativa do eixo-objeto favoreceram ou dificultaram a resolução dos problemas fazendo surgir concepções e erros semelhantes aos dos alunos de outras pesquisas.

Vaz (2004), em seu estudo, avaliou o uso das isometrias do software

Cabri-Géomètre como recurso no processo de prova e demonstração numa

investigação, cujos sujeitos foram alunos das 7ª e 8ª séries (8º e 9º anos) do

Ensino Fundamental. Ao fazer uma avaliação sobre a pesquisa, a autora afirma

que “o desenvolvimento de estratégia envolvendo um balanço apropriado entre

os campos pragmático e conceitual, pelos alunos é muito difícil” (VAZ, 2004,

p.148). Ela ainda observa que o Cabri-Géomètre auxiliou no movimento

empírico/conceitual, à medida que os alunos perceberam as generalidades de

suas construções. Com relação à sequência de atividades, a autora avalia que

seus resultados indicaram a importância da existência de um equilíbrio

apropriado entre construções guiadas e as construções a serem realizadas

pelos alunos.

Em sua pesquisa, Accioli (2005) realizou um estudo exploratório com

alunos da Educação Básica, cujo foco era a robótica e as transformações

geométricas. O objetivo dessa pesquisa era investigar se um ambiente de

robótica poderia funcionar como um micromundo de aprendizagem

matemática, no sentido de possibilitar a construção de novos significados para

a simetria. A primeira experimentação, chamada “sondagem”, mostrou que

alunos da 3ª e 4ª séries do Ensino Fundamental I relacionavam a simetria em

particular à reflexão, como imagens refletidas no espelho.

Já com alunos das 5ª e 7ª séries do Ensino Fundamental II, quando

submetidos a atividades mais complexas, foi detectado que suas respostas

destacavam a propriedade de congruência. Segundo a autora, os resultados

obtidos nos dois grupos de alunos estão compatíveis com a perspectiva de

71

Vergnaud18. A autora afirma que, ao desenvolver atividades no ambiente

informatizado, Robolab19, ficou provado que a situação proposta provocou a

construção de ideias matemáticas, a partir de conexões particulares

relacionadas àquela situação. Ela ainda aponta que “a notação particular do

ambiente robotizado organizou e expôs o pensamento e o entendimento do

aluno de maneira diferenciada e pertinente à mídia utilizada.” (ACCIOLI, 2005,

p.116).

Finalizando seu trabalho essa autora argumenta que um ambiente

robotizado pode funcionar como um micromundo de aprendizagem matemática

e favorecer a compreensão de propriedades do conceito de simetria.

Luz (2007) efetuou um estudo sobre o ensino de transformações

geométricas numa perspectiva histórica da reforma da Matemática Moderna

aos dias atuais. A pesquisa documental foi realizada com o objetivo de

examinar, com base em livros didáticos e em documentos de orientação

curriculares como guias, propostas e parâmetros curriculares, o ensino de

transformações geométricas no período do movimento da Matemática Moderna

e nos períodos posteriores. Com relação aos resultados, a autora destaca o

caráter excludente não só de conteúdos, cujo principal exemplo são as

transformações geométricas, mas também a exclusão do enfoque dado ao

ensino desse conteúdo, em determinados períodos.

A autora ressalta que, apesar de sua pesquisa restringir-se aos livros

didáticos publicados no Estado de São Paulo, com relação ao ensino de

transformações geométricas, levando em conta a análise desses livros

didáticos, observaram-se três períodos: O primeiro, em que o ensino do objeto

está vinculado à estrutura matemática da qual ele faz parte; o segundo, em que

a abordagem de isometrias e homotetia estão ausentes, e o terceiro que é o

estabelecimento de conexões entre a Matemática e mundo físico.

A investigação conduzida por Silva (2010) avaliou o uso reconstrutivo do

erro na aprendizagem de simetria axial numa abordagem a partir de estratégias

18 Crianças desenvolvem sua noção de reflexão baseadas nas experiências do seu cotidiano porque lidam com diversas formas e objetos simétricos [...] na medida em que as crianças são submetidas a exercícios mais complexos, diferentes níveis de entendimento são alcançados e propriedades são percebidas e destacadas. (ACCIOLI, 2005, p.114) 19 O Robolab é um sistema composto de diversos dispositivos mecânicos e eletrônicos e uma linguagem de programação, com os quais o aluno constrói modelos que podem ser programados para executar tarefas de maneira autônoma. (ACCIOLI, 2005, p.26)

72

pedagógicas com o uso de tecnologias. A pesquisa realizada com alunos do 5º

e 6º anos de Ensino Fundamental foi dividida em duas etapas; na primeira, as

atividades propostas foram realizadas no ambiente papel e lápis, na segunda, a

sequência de atividades foi reconstruída e aplicada, levando-se em conta os

erros observados na primeira etapa. Como resultado, o autor argumenta que

através de análise feita na literatura, foram observados alguns entraves na

incorporação dos conteúdos de geometria na escola e cita como principais

causas: “problemas na formação de professores, desconhecimento dos

conteúdos de geometria e o excesso de formalizações, dentre outros (SILVA,

2010, p. 132)”. Ele ainda declara que, nas atividades da primeira etapa, as

dificuldades na utilização dos instrumentos (régua, compasso) para realizar as

construções foram as limitações que proporcionaram apenas validações

empíricas. A utilização do ambiente informatizado na segunda etapa

proporcionou aos alunos avanços nas construções, uma vez que os recursos

oferecidos oportunizaram correção imediata, validações e provas.

Em seu trabalho, Rodrigues (2012) avaliou as potencialidades e

possibilidades do ensino das transformações geométricas numa pesquisa

realizada com professores dos anos iniciais e alunos do 6ºano do Ensino

Fundamental. A autora constatou, através de um estudo histórico, que os

Parâmetros Curriculares Nacionais foram um incentivo na introdução desse

conteúdo nos livros didáticos. Contudo, essa introdução, na maioria das vezes,

é feita de forma tímida e, às vezes, as transformações geométricas sequer são

exploradas, como aponta o resultado da análise feita pela autora em coleções

de livros didáticos, aprovados pelo PNLD20, no triênio 2011-2013.

Rodrigues (2012) utilizou como instrumento de coleta de dados uma

série de sequências didáticas elaboradas por ela, tanto para o estudo com

professores, quanto na investigação com alunos. A autora argumenta que,

apesar das dificuldades apresentadas pelas professoras com relação a termos

de nomenclatura, realização e exploração espacial, elas identificaram as

potencialidades do conteúdo, já que reconheceram as relações desse tema

com outros trabalhados na sala de aula. Com relação aos alunos, a autora

destaca que a aplicação de um conjunto de atividades, construído por ela,

permitiu observar outro modo de pensar matemático e que isto refletiu na 20 Programa Nacional do Livro Didático.

73

continuidade do trabalho em Matemática com outros conteúdos, no decorrer do

ano letivo.

Medeiros (2012) efetuou um estudo com Geometria Dinâmica no ensino

de transformações geométricas numa experiência com professores da

Educação Básica. A autora tinha por questão de pesquisa investigar de que

forma professores de Matemática se apropriam do software Geogebra para

trabalhar com mosaicos e transformações geométricas. Por meio de uma

sequência didática, realizou, então, sob a forma de oficinas, um processo de

formação de professores, no qual afirma terem sido proporcionadas às

professoras a familiarização com o software e a revisão de conceitos básicos

de geometria.

Nesse sentido, a utilização do software proporcionou ainda uma

reflexão, fazendo com que as participantes da pesquisa repensassem suas

práticas docentes, frente ao uso de tecnologia informática. Sobre a sequência

didática, Medeiros (2012) afirma que sua aplicação e validação tiveram como

principal objetivo a disponibilização de um produto didático que tratasse de

transformações no plano, utilizando como recurso a geometria dinâmica.

Finalizando, a autora argumenta que, através da geometria dinâmica, foi

oportunizada aos participantes da pesquisa a distinção entre desenho e figura,

por meio da construção e a mobilização de diferentes registros semióticos no

sentido de Duval (2011). 21

Apresentaremos, na Figura 16, uma síntese de nosso estudo sobre

algumas pesquisas realizadas no Brasil sobre as transformações geométricas

no plano. Os sentidos das setas na Figura 16 indicam os trabalhos que tinham

como foco o ensino e a aprendizagem das transformações geométricas no

plano, além de expor, ao mesmo tempo, as relações dessas investigações com

as linhas de pesquisa: tecnologia, formação de professores e análise do

currículo e de livros didáticos.

21 DUVAL, Raymond. Ver e ensinar a matemática de outra forma. São Paulo: Proem, 2011.

74

Figura 16. Algumas pesquisas brasileiras sobre transformações geométricas no plano

Fonte: Figura elaborada pela autora com auxílio da ferramenta Cmap Tools

Após o estudo e a análise das pesquisas citadas na Figura 16,

observamos a necessidade de identificar quais os seus pontos de

convergência. Destacamos que as pesquisas brasileiras, aqui apresentadas,

têm como foco a investigação histórica da introdução e evolução das

transformações geométricas no currículo brasileiro, a análise de livros

didáticos, a elaboração e análise de sequências didáticas aplicadas na classe,

ou, ainda, propostas de sequências de ensino, utilizando recursos tecnológicos

aliados a softwares educacionais como Geogebra, Cabri Géomètre, entre

outros. Dentre os pontos em comum dos trabalhos analisados, destacamos,

também, nas pesquisas brasileiras, uma preocupação especial com o papel do

professor no processo de ensino e de aprendizagem.

Essa revisão da literatura foi essencial no decorrer da pesquisa. As

análises de livros didáticos, apresentadas por alguns autores dessas

pesquisas, nos forneceram uma ideia de como as transformações geométricas

planas foram apresentadas por um espaço de tempo considerável. A maneira

de expor as transformações geométricas em livros didáticos teve forte

influência na forma como os professores concebem esse objeto matemático, o

que transparece por meio das respostas dadas por eles, nas diversas fases de

experimentação.

As pesquisas brasileiras e francesas, apresentadas nas Figuras 14 e 16,

sobre o ensino e a aprendizagem das transformações geométricas, e de forma

75

específica, sobre a simetria ortogonal, serviram de fundamento para

formularmos nossas questões de pesquisa e nossos objetivos.

Os vários usos destinados ao termo concepção, no campo científico, nos

levaram a ponderar, na próxima seção, o sentido que esse termo tomará neste

trabalho.

2.2 Caracterização do termo concepção

No decorrer de nossa revisão de literatura, percebemos a necessidade

de realizar um estudo sobre as concepções de professores e seus alunos

sobre a simetria ortogonal. Observamos que o termo concepção adquiriu, ao

longo do tempo, vários significados no campo da Educação Matemática, por

isso, definiremos em qual sentido o termo “concepção” será usado em nossa

pesquisa.

Grenier (1988) utiliza, em sua tese de doutorado, a palavra concepção

com relação ao conhecimento de um aluno, relativamente a um conceito

(matemático). Essa mesma autora afirma “que uma concepção é sempre um

domínio não vazio, isto é, existe um conjunto de situações-problema que ela

resolve. Além disso, se seu domínio de validade é grande, essas concepções

serão mais estáveis em alunos. Tornam-se um verdadeiro conhecimento.” (p.3,

tradução nossa)

Ponte (1992, p.185) argumenta que, de forma geral, “as concepções

formam-se num processo simultaneamente individual (como resultado da

elaboração sobre a nossa experiência) e social (como resultado do confronto

das nossas elaborações com as dos outros)”. Outra abordagem para a

definição do termo concepção é dada por Artigue citada por Almouloud (2007,

p.154), em que a autora

define uma concepção como um ponto de vista local sobre um dado objeto, objeto caracterizado por situações que lhe servem de ponto de partida (situações ligadas à aparição da concepção ou para as quais ela constitui um ponto de vista particularmente bem adequado); situações de representações mentais, icônicas, simbólicas; propriedades invariantes, técnicas de tratamento, métodos específicos (implícitos ou explícitos).

76

Já Brousseau (1997, p.17, tradução nossa) define concepção como

“cada forma organizada, mas particular de tratar um conceito matemático”.

Nesse sentido, o autor afirma que a passagem de um conhecimento a outro

dentro da mesma concepção não é difícil (assimilação). Porém, a transição de

uma concepção para outra é mais difícil, porque exige uma mudança de

repertório significativa. Seu aprendizado requer uma reorganização do

conhecimento antigo (acomodação).

Em nossa pesquisa, vamos utilizar o termo concepção, levando em

consideração sua definição segundo Brousseau (1997) e Artigue, já que

acreditamos que, ao propor a resolução e análise de situações-problema a

professores e a resolução dessas situações a alguns de seus alunos, indícios

de suas concepções individuais poderão ser identificados. Por outro lado,

discussões em grupo, tanto com relação aos professores, quanto com relação

aos alunos poderão interferir nessas concepções, como sinaliza Ponte (1992).

A questão de pesquisa

A motivação apresentada na introdução deste trabalho, o breve estudo

histórico sobre o surgimento e evolução das transformações geométricas, e

nossa investigação sobre outros estudos relacionados ao nosso tema, tanto na

França quanto no Brasil, nos levaram a formular a seguinte questão de

pesquisa:

− Como um ambiente de ação e reflexão constituído nos horários

destinado as Atividades complementares (AC) pode influenciar nos saberes

docentes de professores de Matemática do Ensino Fundamental II sobre a

simetria ortogonal?

Temos por objetivo geral investigar como um ambiente de ação e

reflexão – que envolve professores de Matemática do Ensino Fundamental II –

interfere nos saberes docentes desses profissionais quando realizam a pré-

análise e a pós-análise, reflexões sobre a pré-análise e a pós-análise de uma

sequência didática pré-elaborada, aplicada a alunos desses professores.

Nossos objetivos específicos são:

Identificar e analisar as concepções de professores, sujeitos da

pesquisa, sobre o ensino e aprendizagem da simetria ortogonal;

77

Identificar quais são as concepções de alunos desses professores

do Ensino Fundamental II, referentes à simetria ortogonal;

Estudar por meio de documentos curriculares e análise de livros

didáticos as organizações praxeológicas22, acerca da simetria

ortogonal, no intuito de compreender a realidade que cerca o

ensino da simetria ortogonal;

Propor aos professores a pré-análise e pós-análise de uma

sequência didática pré-elaborada, aplicada aos seus alunos,

sobre a simetria ortogonal, com a finalidade de compreender

como esse processo interfere na prática desses docentes;

Confrontar numa ação coletiva a pré-análise da sequência

didática realizada pelos professores e a pós-análise dos dados

obtidos no momento da experimentação com os alunos.

Para alcançar esses objetivos, propusemos aos professores, sujeitos da

pesquisa, criar um ambiente de ação e reflexão, no qual eles agissem, por

meio da resolução, análise e aplicação a alunos do Ensino Fundamental II,

sobre um conjunto de atividades que compunham uma sequência didática pré-

elaborada sobre a simetria ortogonal. Os docentes, por meio de debates,

refletiram coletivamente sobre essas ações. Ressaltamos que esse processo

reflexivo envolveu várias idas e voltas, em diferentes circunstâncias, sobre o

mesmo conjunto de atividades relacionadas à simetria ortogonal. Essa

sequência didática tinha, como característica principal, a proposta de atividades

que visavam estudar os conflitos relacionados à aplicação das propriedades da

simetria ortogonal, uma vez que os argumentos sobre os procedimentos de

resolução deveriam ser explicitados.

Levantamos, como hipótese, que por meio de um ambiente de ação e

reflexão que envolve a resolução, pré-análise, aplicação a alunos, pós-análise

e discussão de resultados, relacionados a um conjunto de atividades proposto

em uma sequência didática pré-elaborada, cujo objetivo é o ensino e a

22 Almouloud (2007, p. 123) citando Chevallard afirma que organizações praxeológicas associada a um saber matemático são de duas espécies: matemáticas e didáticas. As organizações matemáticas referem-se à realidade matemática que se pode construir para ser desenvolvida em uma sala de aula e as organizações didáticas referem-se à maneira como se faz essa construção.

78

aprendizagem da simetria ortogonal, permitiria aos professores, sujeitos da

pesquisa, avaliar, por meio de reflexões, sua prática docente. Essa avaliação,

leva em consideração saberes docentes como: conhecimentos sobre os

objetos matemáticos e suas relações com outros objetos (internos e externos à

matemática), conhecimentos sobre o currículo e o papel dos objetos

matemáticos nele contidos, conhecimentos sobre as potencialidades de seus

alunos, seus conhecimentos didáticos dos objetos. Temos, por hipótese, ainda,

que esse processo reflexivo pode influenciar nesses saberes docentes,

provocando alterações sobre a prática docente.

Nos itens 2.3 e 2.4, discutiremos a especificidade, justificativa e

relevância de nosso estudo.

2.3 Especificidade de nosso estudo

Ao realizarmos estudos sobre outras pesquisas que tratam das

transformações geométricas no plano e, em específico, a simetria ortogonal,

tanto em pesquisas brasileiras quanto francesas, identificamos a existência de

investigações, cujo foco é a formação de professores em exercício. Algumas

tratam de estudos sobre a prática dos professores Lima (2006), Chesnais

(2009); outras da formação continuada de professores Mabuchi (2000),

Rodrigues (2012) e Medeiros (2012). Observamos que essas últimas se

limitaram a observar qual foi a influência do processo de formação sobre os

conhecimentos tanto matemáticos quanto didáticos dos professores. Contudo,

deixam lacunas sobre a influência do processo de formação sobre a prática

docente e a sua consequência.

O estudo que propomos se diferencia desses, justamente pela pretensão

de investigar como um processo de intervenção, que envolve ações e reflexões

junto a professores do Ensino Fundamental II, pode influenciar na construção

de conceitos geométricos, mais especificamente, de conhecimentos/saberes

relacionados com a simetria ortogonal, por parte de seus alunos, cujo foco seja

um estudo sobre o ensino e a aprendizagem da simetria ortogonal.

Identificamos, porém, nos trabalhos dos autores citados, alguns

elementos que contribuíram para a construção e o desenvolvimento de nossa

pesquisa. No estudo de Lima (2006) sobre a tomada de decisão de

79

professores, os elementos que esses levam em conta no momento de construir

seu curso; nas observações de Chesnais (2009), as semelhanças e diferenças

nas práticas de dois professores; no estudo efetuado por Mabuchi (2000), as

dificuldades de incorporar as transformações geométricas às praticas

escolares; na investigação de Rodrigues (2012) com professores e alunos do

6º ano, quanto às potencialidades e possibilidades do ensino de

transformações geométricas.

2.4 Justificativa e relevância de nosso estudo

Para dar direcionamento à pesquisa, decidimos realizar uma primeira

investigação com um grupo de professores de Matemática em formação, de

uma universidade estadual da Bahia, com a finalidade de fazer um estudo

preliminar acerca das concepções de docentes da Educação Básica sobre a

noção de simetria ortogonal. Para tanto, utilizamos como referência os estudos

de Grenier (1988) sobre as concepções de alunos franceses com relação à

simetria ortogonal. Para investigar tais concepções, Grenier (1988) propôs uma

série de situações, nas quais era solicitado aos alunos que traçassem à mão

livre figura simétrica com relação a uma reta, como pode ser visto na Figura 17:

Figura 17. Situações propostas por Grenier

Fonte: Grenier (1988, p.20)

No Quadro 1, apresentamos as variáveis didáticas estudadas e uma

síntese das concepções detectadas por Grenier (1988):

80

Quadro 1. Variáveis didáticas e concepções detectadas por Grenier (1988)

Variáveis didáticas Concepções detectadas

A interseção da figura com o

eixo de simetria;

A concepção da simetria como transformação de

um semiplano em outro semiplano (delimitado

pelo eixo) é revelada pelas dificuldades que

provoca a interseção da figura com o eixo. O que

parece mais intervir é o local da figura com

relação a esses dois semiplanos.

As direções do eixo de simetria e

dos elementos que compõem a

figura objeto;

A simetria axial transforma uma figura em outra

isométrica, do outro lado do eixo situado sobre

uma reta horizontal ou vertical.

A posição da figura objeto em

relação ao semiplano delimitado

pelo eixo de simetria na folha;

A imagem de um segmento vertical (horizontal) é

um segmento de mesma direção na folha.

O tipo de papel (branco ou

quadriculado) e sua influência

sobre os procedimentos e

respostas dos alunos.

Os itens sobre papel quadriculado não são mais

bem sucedidos que aqueles sobre o papel

branco, isto é, o papel quadriculado induz a levar

em conta os pontos particulares da figura.

Fonte: Elaborado pela autora de acordo com Grenier (1988)

A pesquisa de Mabuchi (2000), realizada no Brasil com professores, e os

estudos de Lima (2006), realizados na França com alunos, sobre o estudo de

tais variáveis, corroboram os resultados obtidos por Grenier (1988). Sobre sua

investigação Mabuchi (2000, p.192) argumenta que ela revelou que “muitos dos

docentes apresentaram procedimentos semelhantes aos assinalados em

pesquisas feitas com alunos do Ensino Fundamental”. Com essa motivação,

construímos e aplicamos um instrumento de coleta de dados, cujo objetivo de

algumas das questões era observar se as concepções detectadas por Grenier

(1988), em seu estudo com alunos, também seriam observadas por nós com

relação a professores de Matemática, em formação.

O grupo investigado constava de nove professores que cursavam a

licenciatura em Matemática do Plano de Nacional de Formação de Professores

da Educação Básica (PARFOR). Desses, apenas cinco responderam as

questões relacionadas com a simetria ortogonal, e a análise de duas dessas

questões está publicada nos anais do XI Encontro Nacional de Educação

81

Matemática. Apresentamos, a seguir, uma síntese de nossa análise dessas

duas questões relacionando-as às variáveis didáticas elencadas com as

concepções por nós observadas.

Quadro 2. Síntese dos resultados de uma investigação preliminar

Variáveis didáticas Síntese de nossa análise

A interseção da figura com o eixo

de simetria;

Acreditamos que o fato de o eixo de simetria ser

oblíquo, e a figura-objeto cortar esse eixo, tenha

adicionado um grau de dificuldade maior à

situação proposta e evidenciado outra concepção

detectada em estudos anteriores, realizados com

alunos, ou seja, a concepção da reflexão como

transformação de um semiplano em outro

semiplano (delimitados pelo eixo).

As direções do eixo de simetria e

dos elementos que compõem a

figura objeto;

Com relação à posição do eixo de simetria, não

houve dificuldade, quando ele tinha direção

vertical ou horizontal à folha.

Já quando o eixo de simetria era oblíquo e não

tinha a mesma direção da figura-objeto

(segmento), apenas um professor apresentou a

solução correta.

A posição da figura objeto em

relação ao semiplano delimitado

pelo eixo de simetria na folha;

Percebemos que, quando o eixo de simetria é

oblíquo em relação à folha e paralelo à figura

(segmento de reta), o êxito prevalece.

O tipo de papel (branco ou

quadriculado) e sua influência

sobre os procedimentos e

respostas dos alunos.

Observamos nas resoluções de quatro dos cinco

professores investigados procedimentos de

contagem sobre as linhas horizontais ou verticais,

cujos procedimentos são falsos quando o eixo de

simetria é oblíquo.

Fonte: Elaborado pela autora baseado em Silva e Almouloud, (2013)

Os resultados dessa investigação preliminar reforçaram aqueles

apresentados por Grenier (1988) e fortalecidos por Silva e Almouloud, quando

afirmam que

observamos nas respostas dos professores uma tendência a conservar na figura imagem a mesma direção da figura-objeto, isto é,

82

a figura imagem será paralela à figura inicial. Outra propriedade levada em conta pelos professores é que a figura imagem estará do outro lado do eixo de simetria, a mesma distância ao eixo que a figura inicial. Não foi uma constante observável nas respostas dos professores a ortogonalidade. (SILVA; ALMOULOUD, 2013, p.12)

Os resultados desse estudo preliminar nos forneceram perspectivas no

que diz respeito às concepções de professores sobre o ensino de simetria

ortogonal, na busca de compreender como um processo de formação de

professores influencia na passagem de uma concepção inicial a uma

concepção final, relacionada à simetria ortogonal.

Realizaremos, no próximo capítulo, um estudo sobre a simetria ortogonal

à luz da ecologia do didático, com a intenção de estudar alguns elementos da

realidade que cercam os processos de ensino e de aprendizagem de simetria

ortogonal.

83

CAPÍTULO 3

UM ESTUDO SOBRE A SIMETRIA ORTOGONAL

À LUZ DA ECOLOGIA DO DIDÁTICO

Neste capítulo, utilizamos a noção de Ecologia do Didático para fazer um

estudo do ponto de vista didático sobre a simetria ortogonal com o objetivo de

entender como esse conteúdo se configura no sistema de ensino brasileiro.

Acreditamos que tal estudo passe pela análise dos referenciais curriculares,

sua efetiva presença em livros didáticos, numa discussão sobre a simetria

ortogonal e as condições de sua existência no sistema de ensino.

3.1 A simetria ortogonal numa problemática ecológica

A noção de transposição didática introduzida por Chevallard é definida

como sendo a transformação do saber científico para o saber a ensinar. Ao

fazer uma análise sobre os processos de transposição didática e sua

teorização Chevallard (1994) avalia que a inserção da problemática ecológica

trouxe consigo uma enxurrada de questões, impulsionando uma verdadeira

desconstrução da realidade. Segundo esse mesmo autor,

os ecologistas distinguiram, tratando-se de um organismo, seu habitat e nicho. Para dizer em uma linguagem deliberadamente antropomórfica, o habitat é de alguma sorte um endereço, lugar de residência do organismo. No nicho estão as funções que o organismo preenche, isto é, alguma forma de profissão que ele exerce. (CHEVALLARD, 1994, p.4, tradução nossa)

De acordo com Almouloud (2007), Chevallard fundamenta-se numa ideia

ecológica, buscando apoio em conceitos como nicho ecológico, habitat, cadeia

alimentar e ecossistema para explicar as relações entre os objetos e no estudo

84

do objeto em si mesmo (aqui, objeto toma diferentes sentidos como, por

exemplo: as instituições, os indivíduos e as posições que os indivíduos ocupam

nas instituições).

Segundo Artaud (1998, p.101, tradução nossa) “a problemática

ecológica apresenta-se como um meio de questionar o real”. Sendo assim, nós

nos propomos, neste capítulo, discutir as seguintes questões:

A simetria ortogonal faz parte das recomendações curriculares

para a Educação Básica?

Está presente nos livros didáticos? Como é apresentada e com

qual finalidade?

Esse conteúdo é efetivamente trabalhado na escola? Se sim, em

quais condições? Se não, quais são os motivos para ser deixado

de lado?

Essas questões nos aparecem como guia na perspectiva apontada por

Artaud (1988, p.101, tradução nossa) em que a problemática gira em torno de

procurar respostas para as seguintes perguntas: – O que existe, e por quê? –

O que não existe e por quê? – O que não existe poderia existir? Sobre quais

condições?

Ainda de acordo com Artaud (1998), a ecologia permite englobar o

domínio da realidade do didata de maneira adequada, munindo o pesquisador

de um meio de se desprender de certa ilusão de transparência e de ser atento

às dependências dos objetos que ele estuda.

3.2 A noção de ecossistema aplicada à simetria ortogonal

De acordo com Artaud (1998), a ecologia do didático foi inspirada na

ecologia biológica, desenvolvida pouco antes do fim do século XIX. Ela ainda

afirma que, no progresso dessa ciência, o conceito de ecossistema foi

particularmente importante. Paul Colinvaux, citado por Artaud (1998, p. 102,

tradução nossa) afirma que o

ecossistema descreve uma ideia, uma criação do homem na qual se define uma parcela de terra de tamanho conveniente e se estuda o

85

funcionamento da vida considerando o conjunto inerte e o vivo para ver como eles interagem. O conceito de ecossistema constitui uma maneira de observar a natureza. Artaud (1998, p. 102, tradução nossa)

Em outra perspectiva, Loreau (2010) pontua que um ecossistema

ecológico está preocupado, principalmente, com o funcionamento do sistema

como um todo, composto de organismos biológicos e seu ambiente abiótico;

seu ponto de partida é o fluxo de matéria ou energia entre os compartimentos

funcionais.

Artaud (1998) pontua que, seguindo o tipo de regime epistemológico ao

qual é submetido o saber matemático, os pesquisadores em Didática da

Matemática identificaram quatro tipos de ecossistemas:

Ecossistema do saber: no qual se produz a matemática;

Ecossistema didático escolar: no qual se estuda a matemática;

Ecossistema profissional: no qual se utiliza a matemática para

concretizar algumas tarefas;

Ecossistema noosferiano: no qual a matemática é manipulada para

fins de transposição.

Segundo essa mesma autora, os objetos matemáticos e os objetos

didáticos “vivem” em associação, desde que as organizações matemáticas

iniciaram suas “vidas”, por meio de pessoas ou instituições, por um processo

de estudo. Seguindo essa visão, um questionamento que surge é: – Como a

simetria ortogonal está presente em cada um desses ecossistemas?

No ecossistema do saber, observamos, por meio da breve investigação

histórica apresentada no início deste trabalho sobre as transformações

geométricas, a importância da simetria ortogonal na construção de

conhecimentos geométricos relacionados ao desenvolvimento dos métodos de

transformações de figuras, principalmente ao levar em conta a invariância de

propriedades geométricas.

Já no ecossistema didático escolar, percebemos, por intermédio de

nossos estudos sobre o ensino e a aprendizagem das transformações

geométricas, em especial a simetria ortogonal, que ainda existe grande

86

dificuldade para que esse conteúdo “sobreviva” no sistema de ensino brasileiro

como objeto matemático a ser estudado.

No ecossistema profissional, esse conhecimento pode ser utilizado,

principalmente na área técnica, uma vez que as transformações geométricas

podem ser incorporadas como linguagem básica nos programas de

computação gráfica. Por fim, no ecossistema noosferiano a simetria ortogonal

está presente com especial destaque nas recomendações e diretrizes

curriculares.

Por meio de nossos estudos, identificamos, comparando a coleção de

livros didáticos adotados na escola investigada (PNLD 2011-2013) e as

coleções analisadas (PNLD 2014-2016), que esse conteúdo vem ganhando

cada vez mais espaço nos livros didáticos, como podemos conferir nas seções

3.4.1 e 3.4.2. Acreditamos que, por esse motivo, seu ensino em sala de aula

vem sofrendo alterações diferentes daquelas apontadas em nossa revisão de

literatura, em que, na maioria dos estudos brasileiros, a simetria ortogonal

parecia ser ignorada pelos professores.

Na próxima seção, apresentaremos uma investigação acerca das

recomendações de conteúdos relacionados às transformações geométricas no

plano, em documentos curriculares oficiais. Tomamos como base o conceito de

“cadeia alimentar” que, segundo Loreau (2010, p.79, tradução nossa),

[...] descreve a rede de interações tróficas entre espécies, isto é, quem come quem, em um ecossistema. Uma vez que interações tróficas são ambas os veículos de transferência de energia e de materiais e uma das mais significativas maneiras pelas quais as espécies interagem, elas sempre têm ficado na confluência de comunidades e de ecossistemas ecológicos.

Observamos que, nesse estudo, espécies tomam o sentido de objetos

matemáticos. Sendo assim, procuramos os objetos que podem contribuir para

que a simetria ortogonal possa “viver” no sistema de ensino servindo-lhe como

fonte de energia. Nosso objetivo nesta seção é analisar, por meio de mapas

conceituais, como a simetria ortogonal se relaciona com outros conteúdos de

geometria nos documentos curriculares oficiais.

87

3.3 Os documentos curriculares oficiais e o ensino da simetria

ortogonal no ensino fundamental

A portaria nº. 5.872 de 15 de julho de 2011, da Secretaria Estadual de

Educação da Bahia, aprova o Regimento Escolar das unidades escolares

integrantes do sistema público estadual de ensino da Bahia. Esse regimento,

em seu artigo 35, estabelece que a organização curricular de tal sistema seja

construída a partir das orientações postas pelas diretrizes, parâmetros e

referenciais curriculares nos contextos nacional e estadual. Consideraremos

como documentos curriculares oficiais os descritos no referido artigo. Por isso,

os documentos de que trataremos neste trabalho serão os Parâmetros

Curriculares Nacionais – PCN (BRASIL, 1997, 1998) e as Diretrizes

Curriculares de Matemática para o Ensino Fundamental do Estado da Bahia –

DCMEF (BAHIA, 1994).

A simetria ortogonal tem como habitat mais propício para “viver” no

Ensino Fundamental as transformações geométricas no plano. Faremos, a

seguir, um estudo numa visão ampla, por acreditar que os objetos, os quais

subsidiam sua “sobrevivência” no sistema de ensino, interagem dentro de um

ecossistema maior.

3.3.1 As transformações geométricas segundo os Parâmetros

Curriculares Nacionais

As transformações geométricas aparecem na seleção de conteúdos de

Matemática no Ensino Fundamental, dentro do bloco espaço e forma dos

Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1997, 1998). Esse bloco trata,

particularmente, dos conceitos geométricos a serem ensinados, a justificativa

para sua presença no currículo é a de que,

Os conceitos geométricos constituem parte importante do currículo de Matemática no ensino fundamental, porque, por meio deles, o aluno desenvolve um tipo especial de pensamento que lhe permite compreender, descrever e representar, de forma organizada, o

mundo em que vive. (BRASIL, 1997, p.39).

88

Esses conceitos, na maioria das vezes, são ensinados de forma tímida e

dissociados de outros conteúdos matemáticos na escola. Em particular, no

ensino de conteúdos geométricos, as transformações geométricas ainda são

pouco exploradas, apesar da importância que lhes é conferida. A necessidade

e importância do ensino dos conteúdos de geometria, especificamente, das

transformações geométricas, são explicitadas pelos Parâmetros Curriculares

Nacionais, desde o primeiro ciclo do Ensino Fundamental. Dentre os objetivos

para o ensino de Matemática, enunciados para o primeiro ciclo, relacionados às

transformações geométricas, destacamos:

Estabelecer pontos de referência para situar-se, posicionar-se e deslocar-se no espaço, bem como para identificar relações de posição entre objetos no espaço; interpretar e fornecer instruções, usando terminologia adequada. Perceber semelhanças e diferenças entre objetos no espaço, identificando formas tridimensionais ou bidimensionais, em situações que envolvam descrições orais, construções e representações. (BRASIL, 1997, p. 47)

Para o segundo ciclo do Ensino Fundamental, destacamos os seguintes

objetivos de Matemática relacionados às transformações geométricas:

• Estabelecer pontos de referência para interpretar e representar a localização e movimentação de pessoas ou objetos, utilizando terminologia adequada para descrever posições. • Identificar características das figuras geométricas, percebendo semelhanças e diferenças entre elas, por meio de composição e decomposição, simetrias, ampliações e reduções. (BRASIL, 1997, p. 56)

Visando responder ao questionamento: – Qual é o ecossistema, em

termos de cadeia alimentar, no qual o professor pode buscar estabelecer inter-

-relações entre os conteúdos geométricos trabalhados em sua prática e a

noção de simetria ortogonal visando à construção de conhecimento por parte

dos alunos? –, construímos a Figura 18, elaborada a partir das orientações

propostas nos conteúdos conceituais e procedimentais para o 1º e 2º ciclos do

Ensino Fundamental apresentados nos PCN.

89

Figura 18. Integração entre os objetos envolvidos no desenvolvimento do pensamento geométrico para o 1º e 2º ciclos do Ensino Fundamental.


A finalidade desse mapa conceitual é estabelecer conexões entre as

recomendações de noções geométricas para serem trabalhadas no 1º ciclo e

no 2º ciclo do Ensino Fundamental. Por meio da Figura 18, podemos visualizar

a possibilidade de integração entre os conteúdos relacionados à geometria nos

dois primeiros ciclos do Ensino Fundamental, além da proposta de

continuidade entre esses conteúdos. Observamos que as orientações

curriculares sugerem que as noções geométricas, detectadas com base nas

experiências dos alunos e trabalhadas no primeiro ciclo, sejam utilizadas como

referência para o trabalho no 2º ciclo relacionado às transformações

geométricas.

A política pública23 de ampliar o tempo de duração do Ensino

Fundamental de oito para nove anos, incluindo nesse nível de ensino crianças

com seis anos, aumentou a possibilidade de que, ao ingressarem no primeiro

ciclo do Ensino Fundamental, a maioria dessas crianças traga consigo noções

informais sobre espaço e forma. De acordo com os PCN

é importante estimular os alunos a progredirem na capacidade de estabelecer pontos de referência em seu entorno, a situar-se no espaço, deslocar-se nele, dando e recebendo instruções, compreendendo termos como esquerda, direita, distância, deslocamento, acima, abaixo [...] (BRASIL, 1997, p.49).

23 Lei nº. 11274/2006 que regulamenta o Ensino Fundamental com duração de 9 anos.

90

Nos dois primeiros ciclos, fica explícita a orientação de utilização de

atividades que tenham como base a visualização e o reconhecimento. Por

intermédio de diferentes atividades – trabalhos com dobraduras, recortes ou

espelhos e que incluam a observação de obras artísticas – a noção de simetria

ortogonal pode ser introduzida com o objetivo de estimular o aluno a discernir

características entre figuras e a utilizar propriedades com a finalidade de

classificar e conceituar formas geométricas.

Nos 3º e 4º ciclos, a recomendação dos PCN com relação às

transformações geométricas é ainda mais específica, pois esclarece que:

deve destacar-se também nesse trabalho a importância das transformações geométricas (isometrias, homotetias) de modo que permita o desenvolvimento de habilidades de percepção espacial e como recurso para induzir de forma experimental a descoberta, por exemplo, das condições para que duas figuras sejam congruentes ou semelhantes. (BRASIL, 1998, p.51).

Com a finalidade de entender as conexões que podem ser feitas entre

os conteúdos de geometria e as transformações geométricas, dentre elas a

simetria ortogonal, elaboramos um mapa conceitual (Figura 19), a partir das

orientações propostas nos conteúdos conceituais e procedimentais,

apresentados nos PCN para o 3º ciclo do Ensino Fundamental.

Figura 19. Mapa conceitual sobre a relação entre os conteúdos que envolvem a simetria

ortogonal no 3º ciclo do Ensino Fundamental.


91

O mapa conceitual ilustrado na Figura 19 apresenta as conexões que

podem ser estabelecidas entre as transformações geométricas e outros

conteúdos de geometria no bloco espaço e forma, ao mesmo tempo que expõe

as correlações que podem ser estabelecidas com alguns conteúdos de outros

blocos. Ainda é possível observar nessa figura uma cadeia de objetos que

servem de “alimento” uns para os outros, no sentido de formar uma rede de

conhecimentos inter-relacionados. A forma de relacionar esses objetos vai

depender dos conhecimentos prévios dos alunos e dos tipos de situações-

-problema que o professor apresentará aos estudantes.

Para o 4º ciclo, os PCN orientam que sejam desenvolvidas “atividades

que permitam ao aluno perceber que, pela composição de movimentos, é

possível transformar uma figura em outra”. (BRASIL, 1998, p.86). Na figura 20,

apresentamos um esquema baseado nessas orientações, com o intuito de

destacar a rede de objeto que pode ser formada em torno da simetria

ortogonal.

Figura 20. Rede de objetos matemáticos em torno da simetria ortogonal

Fonte: Figura elaborada pela autora com auxílio da ferramenta Cmap Tools

O esquema foi construído com a finalidade de mostrar para quais

conteúdos a simetria ortogonal pode servir de “alimento” e aqueles que servem

de “alimentos” para ela. Observamos que muitos desses conteúdos aparecem

em dois ou mais ciclos do Ensino Fundamental, isso porque a proposta dos

92

PCN é a de que os conteúdos introduzidos em um ciclo sejam consolidados

nos ciclos seguintes. Além disso,

os conteúdos organizados em função de uma conexão não precisam ser esgotados necessariamente de uma única vez, embora deva-se chegar a algum nível de sistematização para que possam ser aplicados em novas situações. Alguns desses conteúdos serão aprofundados, posteriormente em outras conexões, ampliando dessa forma a compreensão dos conceitos e procedimentos envolvidos. (BRASIL, 1998, p.53)

A importância de propiciar ao aluno condições que lhe permitam

estabelecer relações é explicitada nos PCN, não só entre os conteúdos de

Matemática, mas também com outras áreas de conhecimento. O documento

orienta que

é fundamental que os estudos do espaço e forma sejam explorados a partir de objetos do mundo físico, de obras de arte, pinturas, desenhos, esculturas e artesanato, de modo que permita ao aluno estabelecer conexões entre a Matemática e outras áreas do conhecimento. (BRASIL, 1998, p.51)

No item 3.3.2, analisamos as recomendações dadas quanto ao ensino

da simetria ortogonal nas Diretrizes Curriculares de Matemática para o Ensino

Fundamental no Estado da Bahia.

3.3.2 A simetria ortogonal segundo as Diretrizes Curriculares de

Matemática para o Ensino Fundamental do Estado da Bahia

Por não existir outro documento oficial a respeito do currículo na Bahia,

utilizamos as Diretrizes Curriculares de Matemática para o Ensino Fundamental

desse Estado, apesar de o documento datar de 1994. Uma preocupação,

expressada nesse documento em relação aos conteúdos, está direcionada aos

“eixos ou núcleos temáticos essenciais, considerando-se os aspectos intuitivos,

formais, a verticalidade e as interfaces com outras áreas” (BAHIA, 1994, p.17),

o que mostra uma consonância com as recomendações apresentadas nos

PCN.

Entre os objetivos gerais do Ensino de Matemática apresentados no

documento, destacamos um que trata especificamente da aprendizagem de

93

geometria. De acordo com as Diretrizes Curriculares de Matemática para o

Ensino Fundamental do Estado da Bahia, o ensino de geometria deve

proporcionar condições para que os alunos “identifiquem corpos e figuras

geométricas na análise de objetos, formulando hipóteses sobre o seu

comportamento, a partir das propriedades e relações geométricas implicadas”

(BAHIA, 1994, p.31).

Os conteúdos são estruturados em três temas fundamentais: Números,

Geometria e Medidas. Apresentamos, no q

Quadro 3, os conteúdos de Matemática para o ensino de geometria, sugeridos

pelo referido documento. Pelo fato de levar em consideração a Lei 5.691/1971,

de Diretrizes e Base para o ensino de 1º e 2º graus, os conteúdos são

apresentados numa estrutura para oito anos de Ensino Fundamental, e na

forma de listas por série como podemos observar nos quadros a seguir.

Quadro 3. Conteúdos de geometria listados por série (1ª a 4ª série)

Conteúdos da 1ª série Conteúdos da 2ª série

Formação de conceitos referentes à:

-Posição (acima de/abaixo de, em cima de/em baixo de, à direita de/à esquerda de, etc...). -Direção e sentido (para frente/para trás, para o lado, pela frente/por detrás, através de, etc...). Comparação (maior que/menor que, igual a, mais fino que/mais grosso que, inferior a/superior a, etc,...). Curvas -Curvas, não curvas, curvas abertas, curvas fechadas, interior e exterior de ramos fechados de curvas, fronteira.

Sólidos geométricos:

-Corpos redondos (cone, cilindro e esfera) -Corpos retilíneos-poliedros (primas e pirâmides) -Identificação de faces, vértices e arestas de um poliedro. Planificação dos sólidos através do contorno de suas faces: figuras planas (triângulos, quadriláteros, círculos).

Simetria:

Simetria em figuras planas através de dobraduras, recortes, decalques, pinturas.


Círculos/Disco Polígonos -Classificação dos polígonos quanto ao número de lados. Simetria nos polígonos: identificação de polígonos regulares.

Entes primitivos - Ponto, reta, plano (retas, segmentos de reta). Noção de paralelismo e perpendicularidade -Retas paralelas e retas perpendiculares. Polígonos -Classificação dos triângulos quanto à perpendicularidade entre os lados e quanto à medida de seus lados. -Classificação dos quadriláteros segundo: paralelismo dos seus lados, perpendicularidade entre seus lados e medidas dos lados. Ângulos -Classificação (ângulo reto, ângulo maior que o reto, ângulo menor que o reto). Ampliação e redução

94

-Ampliação e redução de desenho em papel quadriculado. -Redução de objetos para a construção de maquetes. Simetria

Fonte: Quadro elaborado pela autora com base em DCMEF (BAHIA, 1994, p. 35-43).

O Quadro 3 mostra que a simetria ortogonal também consta nas

Diretrizes curriculares para o Ensino Fundamental do Estado da Bahia, já nas

primeiras séries. A proposta é que esse conteúdo esteja ligado à visualização

pelo intermédio de dobraduras, decalques, recortes e pinturas ou utilizada para

a identificação e reconhecimento de polígonos. Apesar de os conteúdos serem

apenas listados, sem indicação de como devem ser trabalhados, de forma que

auxilie o aluno a estabelecer conexões entre os conteúdos, percebe-se

convergência da seleção de conteúdos em comparação com as orientações

apontadas pelos PCN.

No Quadro 4 apresentamos os conteúdos de geometria, sugeridos nas

referidas Diretrizes para ensino da 5ª a 8ª série (atualmente 6º ao 9º ano) do

Ensino Fundamental.

Quadro 4. Conteúdos de geometria listados por série (5ª a 8ª série)


Noções de reta, semirreta, segmento de reta -posições relativas de reta; -operações com segmentos de reta. Polígonos -conceito, elemento, nomenclatura; -triângulos (classificação quanto aos lados); -quadriláteros (classificação de paralelogramos e trapézios). Sólidos geométricos -classificação de sólidos geométricos; -identificação de faces, vértices e arestas de um poliedro.

Ângulos -conceito de ângulo; -classificação de ângulo quanto à medida; -ângulos formados por duas paralelas cortadas por uma transversal; -ângulos opostos pelo vértice; -ângulos congruentes -bissetriz de um ângulo -demonstração do teorema da soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo e de um quadrilátero; -classificação dos triângulos quanto à medida de seus ângulos internos.


Círculos/Disco Polígonos -triângulos (construção de triângulo, congruência de triângulos, pontos notáveis de um triângulo: encontro das alturas, medianas, bissetrizes e mediatrizes);

Semelhança -semelhança de figuras planas – homotetia (teorema de Tales e suas aplicações); - semelhança de triângulos; Relações Métricas no triângulo retângulo

95

-quadriláteros (construção de quadriláteros - paralelogramos, trapézios); - diagonais de um polígono; Círculo e Disco -conceito; -elementos; -Posições relativas de uma reta e um círculo -posições relativas de dois ou mais círculos; -ângulos no círculo.

-demonstração geométrica e algébrica do Teorema de Pitágoras e suas aplicações; Razões trigonométricas no triângulo retângulo Círculo -relações métricas no círculo; -cálculo do lado e do apótema de um polígono inscrito num círculo de raio dado.

Fonte: Quadro elaborado pela autora com base em DCMEF (BAHIA, 1994, p. 44-65).

Ao analisar os Quadros 3 e 4, observamos que, apesar de o documento

afirmar que “elaborar uma lista de conteúdos não se constitui, entretanto, em

condições suficientes para caracterizar uma postura curricular, nem tampouco

assegurar a dinamização da mesma” (BAHIA, 1994, p. 26), nele são

apresentados conteúdos de geometria listados por série e isolados de outros

conteúdos geométricos, como podemos notar na seleção apresentada para a

6ª série, que trata apenas do estudo dos ângulos.

Quanto à simetria, ela desaparece da lista de conteúdos do Quadro 4,

ficando a orientação apenas para o trabalho com semelhança de figuras

planas, em que se cita explicitamente a homotetia. Outras transformações

geométricas como rotação e translação não são citadas no documento.

3.4 A Simetria Ortogonal e as condições de sua existência

Vimos, por intermédio dos estudos realizados a partir de pesquisas

sobre transformações geométricas no Brasil, que existem muitas dificuldades

em incorporar esse conteúdo na Educação Básica. As dificuldades persistem,

mesmo que as orientações curriculares detalhem a importância desse

conteúdo para a formação matemática dos estudantes e ofereça sugestões de

como tais conteúdos podem ser trabalhados interligados a outros. As

dificuldades são identificadas por Artaud (1998) como barreira ecológica e

podem estar relacionadas a uma série de restrições, como a forma com que os

autores apresentam a simetria ortogonal nos livros didáticos. Segundo esta

autora,

toda introdução de um objeto do saber matemático em um ecossistema didático não é automaticamente viável, e a existência deste objeto na noosfera não garante que seja implementado no sistema de ensino. Existe, assim, uma verdadeira barreira ecológica

96

entre a noosfera e o sistema de ensino. (ARTAUD, 1998, p. 121, tradução nossa)

Em razão disso, deparamo-nos com o seguinte questionamento: − Quais

são as condições para que a simetria ortogonal, “viva” não apenas no Ensino

Fundamental, mas também no Ensino Médio de forma estável?

Parte da resposta para a questão está na “lei do todo estruturado” que,

segundo Artaud (1998), foi nomeada assim por Landy Rajoson. Segundo essa

lei “um objeto não pode viver de maneira isolada; é necessário que ele tome

seu lugar no seio de uma organização matemática (organização que pode ser

inegavelmente desenvolvida).” (ARTAUD, 1998, p. 111, tradução nossa). A

mesma autora afirma que a Teoria da Transposição Didática identificava três

grandes conjuntos de condições que permitiam aos objetos matemáticos

existirem no sistema de ensino:

A matemática ensinada deveria ser compatível com o seu meio social, em particular com a esfera de produção da Matemática, por um lado com a instituição dos pares e por outro lado, externa;

A matemática ensinada deveria poder ser apresentada sequencialmente. As noções matemáticas se sucedem sobre o eixo temporal linear do tempo didático (cronogênese).

A matemática ensinada deveria definir duas relações institucionais, uma em posição de professor e a outra em posição de aluno (topogênese). (ARTAUD, 1998, p. 104, tradução nossa)

Construímos, na seção anterior, para os diferentes ciclos do Ensino

Fundamental, esquemas de organizações matemáticas baseadas nos PCN.

Esses esquemas mostram como a simetria ortogonal pode ser relacionada aos

outros conteúdos de geometria. Contudo, percebemos pela análise de outras

pesquisas, que tais articulações são, muitas vezes, ignoradas no sistema de

ensino brasileiro. O episódio vem ao encontro de Artaud (1998), quando ela

chama a atenção para o fato de que não é suficiente que exista, ao redor de

um objeto, uma organização matemática compatível com as outras

organizações do corpus ensinado, mas que essa organização matemática

responda às condições didáticas determinadas, as quais têm como exigências

o funcionamento didático do meio cultural no qual o sistema de ensino está

imerso.

97

Os livros didáticos têm papel de destaque nessas condições didáticas,

razão pela qual os analisamos no item 3.4.1.

3.4.1 A simetria ortogonal em alguns livros didáticos de matemática

para Ensino Fundamental II

Recurso importante nos processos de ensino e de aprendizagem e,

muitas vezes, a principal fonte de consulta de professores, o livro didático pode

nos dar alguns indícios sobre o ensino de determinado conteúdo, sobretudo a

simetria ortogonal. A importância desse recurso tomou uma dimensão ainda

maior depois da implementação da política pública de distribuição de livros por

intermédio do Programa Nacional do Livro Didático (PNLD).

No guia de livros didáticos PNLD 201424 para o Ensino Fundamental II,

escolhemos as coleções de livros de Matemática aprovadas para alunos do 6º

ao 9º anos. Observamos, pela análise dos conteúdos abordados em cada uma

das coleções de livros didáticos, que a simetria (em particular a simetria

ortogonal) é contemplada em todas as 10 coleções aprovadas. A seguir,

apresentamos um quadro cujo objetivo é destacar a importância dada à

simetria nessas coleções:

Quadro 5. Importância dada à simetria nos livros didáticos aprovados no PNLD 2014

Coleções aprovadas no PNLD 2014

Livros da coleção em que aparece

Está associada aos conteúdos

Unidade, capítulo, ou uma seção de capítulo

Descobrindo e aplicando a Matemática

6º ano Figuras geométricas espaciais e planas; simetria de reflexão;

Seção

7º ano Figuras geométricas, medida de ângulos, ângulos: entre retas, em polígonos, na circunferência;

Seção

Matemática Bianchini

7º ano Simetria de reflexão; ângulos: complementares, suplementares, opostos pelo vértice;

Capítulo

8º ano Ângulos – medidas de ângulo – circunferência; simetria: axial, de rotação.

Seção

Matemática ideias e Desafios

6º ano Polígonos: ladrilhamento; simetria axial; Seção

7 º ano Simetria axial Capítulo

8º ano Simetria axial: eixo de simetria; distância de ponto a reta; simetria central; movimentos rígidos no plano: reflexão, translação e rotação de movimentos rígidos e congruência de figuras geométricas planas;

Unidade

24 Este guia apresenta as coleções de livros didáticos de Matemática aprovadas para o triênio 2014-2016, além de uma resenha sobre cada coleção aprovada e os critérios de avaliação adotados.

98

Padrões e ladrilhamentos;

Matemática Imenes & Lellis

6º ano Simetria de reflexão - números simétricos Capítulo

7º ano Ângulos – medidas de ângulo – circunferência; simetria: axial, de rotação;

Seção

8º ano Ângulos formados por retas paralelas e transversais; polígonos; quadriláteros; simetrias;

Seção

9º ano Desigualdade triangular; simetria; desenho em perspectiva;

Seção

Matemática: teoria e Contexto

6º ano Ângulos; polígonos; circunferência e círculo; paralelepípedos; prismas e pirâmides; simetria axial;

Seção

7º ano Ângulo - medida de ângulos - retas perpendiculares; triângulos; polígonos regulares; simetrias: axial, de rotação, central; localização no plano; representação em perspectiva;

Seção

Praticando Matemática Edição renovada

6ºano Triângulos, quadriláteros; polígonos regulares – perímetro – circunferências; simetria de reflexão;

Seção

Projeto Arariba Matemática

6ºano Sólidos geométricos: poliedros e corpos redondos; figuras geométricas planas; vistas – gráfico de coluna, simetria de reflexão;

Seção

Projeto Telaris Matemática

7º ano Poliedros e corpos redondos: elementos, classificação; polígonos convexos; vistas; simetria de reflexão, gráficos;

Seção

9º ano Figuras geométricas semelhantes; semelhança de polígonos; transformações geométricas: translação, reflexão, rotação, homotetia – gráficos de setores;

Projeto Velear Matemática

8° ano Simetrias de: reflexão, rotação e translação; mosaicos e ornamentos.

Seção

Vontade de saber Matemática

6° ano Polígonos: classificação; triângulos e quadriláteros; circunferência e círculo; simetria de reflexão;

Seção

7º ano Ampliação, redução e reprodução de figuras; simetria: reflexão, rotação;

Seção

9º ano Simetria de rotação; simetria de translação, simetria de reflexão;

Seção

Fonte: Quadro elaborado pela autora com base no Guia do PNLD 2014.

Notamos, por meio do Quadro 5, que a simetria ortogonal aparece

sempre relacionada a outros conteúdos de geometria, por exemplo, na

classificação de polígonos e, na maioria das vezes, em mais de um livro da

coleção. Assim, entendemos ser importante fazer uma análise sobre o

tratamento dado à simetria ortogonal em alguns livros didáticos de matemática

para o Ensino Fundamental II, isto é, como esse conteúdo é introduzido, quais

são os tipos de problemas e de técnicas neles propostas. As coleções de livros

didáticos alvos de nossa análise foram escolhidos utilizando dois critérios:

99

A coleção escolhida e adotada pela escola-alvo da pesquisa

segundo o guia do PNLD para o triênio 2011-2013;

As coleções escolhidas por essa escola, segundo o guia do

PNLD para o triênio 2014-2016,

Como nossa intenção é analisar as condições de existência da simetria

ortogonal, escolhemos a coleção adotada pela escola, segundo PNLD 2011-

2013, por acreditar que os dados fornecidos por essa análise, junto a outros

referentes à pesquisa, poderão facilitar nossa compreensão da realidade que

cerca esse objeto matemático e seu ensino. O segundo critério de escolha

justifica-se por entender que tal análise nos fornecerá indícios de quais são as

perspectivas futuras para que esse conteúdo se mantenha “vivo” no sistema.

Assim analisaremos as obras:

Coleção 1 - adotada pela escola-alvo da pesquisa para o triênio

2011-2013;

Coleção 2 - primeira opção na escolha da escola para o triênio

2014-2016 e, por consequência, adotada por ela.

Coleção 3 e coleção 4 - escolhas de livro didático para segunda e

terceira opções na escola.

Supomos que a análise dessas coleções nos ajudará a responder

algumas questões referentes às condições de “sobrevivência” da simetria

ortogonal no sistema de ensino.

3.4.2 Análise das quatro coleções de livros didáticos de Matemática

As terminologias utilizadas para simetria ortogonal nas coleções

escolhidas para a análise são simetria de reflexão (Coleção 1), simetria em

relação a uma reta (Coleção 2), apenas reflexão e simetria axial (Coleção 3,

Coleção 4). Em todas as coleções, o assunto simetria é introduzido do ponto

de vista perceptivo, apoiado, principalmente, no aspecto visual por meio das

observações de elementos que remetem à arte (criações humanas) e

elementos da natureza, cujo exemplo clássico é a disposição das asas da

borboleta.

100

A noção de simetria ortogonal é introduzida nos livros didáticos, levando

em consideração a etimologia da palavra e a noção de espelhamento e

sobreposição como pode ser verificado na figura 21.

Figura 21. Definição de simetria

Fonte: Coleção 1, 2009, p. 304

Outra forma de introduzir a ideia de simetria ortogonal abordada nas

quatro coleções é por intermédio de uma atividade lúdica de cunho intuitivo,

como pode ser observado na atividade representada pela Figura 22. Ela tem

por objetivo principal definir eixo de simetria e figura simétrica.

Figura 22. Atividade lúdica sobre simetria ortogonal


Os autores aproveitam as atividades desse tipo para definir

intuitivamente eixo de simetria como uma linha reta, que divide a figura em

duas partes, com mesma forma e mesma dimensão, como se uma fosse a

101

imagem da outra refletida em um espelho. A definição de figura simétrica e

assimétrica deriva da definição de eixo de simetria. A palavra forma, nessa

definição intuitiva, parece remeter à aparência da figura. Em alguns casos são

apresentados no corpo do texto ou na lista de exercícios alguns polígonos e

seus eixos de simetria, como podemos conferir a seguir:

Figura 23. Os eixos de simetria do triângulo equilátero


Esse autor apresenta outros polígonos e propõe aos alunos uma

discussão sobre a diferença entre o número de eixos de simetria do quadrado e

do losango, como apresentado na Figura 24:

Figura 24. Os eixos de simetria do losango e do quadrado


O autor utiliza essa reflexão para definir polígono regular, utilizando a

noção de eixo de simetria como: “todo polígono que tem o número de lados

igual ao número de eixos de simetria é denominado polígono regular”

(COLEÇÃO 2, 2011, p.166). Reconhecemos a habilidade do autor em fazer a

conexão entre a noção de polígono regular e eixo de simetria, mas avaliamos

102

que esse tipo de definição poderia ser estabelecido pelo próprio aluno por meio

de um conjunto de situações – tarefas – que o levassem a tal conclusão.

Na Coleção 1, tanto a simetria ortogonal quanto as outras isometrias

planas são desenvolvidas como projeto, focando o estudo de mosaicos,

apresentado no final do livro. Em nosso ponto vista, a efetiva aplicação desse

tipo de projeto em sala de aula dependerá, principalmente, da disponibilidade

de tempo didático e do interesse do professor. As outras coleções também

apresentam os mosaicos como forma de motivar os alunos a aprenderem

simetria e as outras transformações geométricas. Alguns exemplos de formas

geométricas utilizadas em mosaicos estão representados na Figura 25.

Figura 25. Exemplos de revestimentos utilizando mosaicos

Fonte: Ccoleção 1, 2009, p. 306, 307

Num apelo à beleza e à criatividade, são propostas aos alunos

atividades de criação de mosaicos, em que eles utilizem isometrias planas,

dentre elas, simetrias sucessivas com relação à reta.

Passaremos, a seguir, à análise de algumas das atividades das quatro

coleções de livros didáticos escolhidas, segundo a praxeologia didática. Tais

atividades foram escolhidas, levando em consideração seu tipo, isto é,

questões de reconhecimento de figuras simétricas e eixos de simetria com e

sem a malha quadriculada, de construção de figura simétrica (utilizando a

malha quadriculada, utilizando construções geométricas) e observação da

conservação de propriedades.

3.4.2.1 A organização praxeológica

Para a análise dos livros didáticos, utilizamos a noção de organização

praxeológica proposta por Chevallard (1998), segundo o qual o postulado

básico da Teoria Antropológica do Didático estabelece que toda atividade

103

humana é realizada segundo um modelo único resumido pela palavra

praxeologia. De forma simplificada, Almouloud define “um conjunto de técnicas,

de tecnologias e de teorias organizadas para um tipo de tarefa forma uma

organização praxeológica (ou praxeologia) pontual” (2007, p.117). Segundo

Artaud (1998), para que um tipo de tarefa didática T possa viver no sistema de

ensino, é necessário que exista um conjunto de técnicas que permitam realizar

T, tecnologias relativas a essas técnicas (um discurso que permita justificar as

técnicas) e, por fim, uma teoria que é a explicação da tecnologia.

Ao analisar as tarefas propostas nos livros didáticos, levamos em

consideração as técnicas desenvolvidas pelos seus autores. Sendo assim,

construímos nossa ferramenta de análise, de acordo com o conjunto de

critérios apresentados por Chevallard (1998). Para fim de melhor entendimento,

colocamo-los na forma de questões com relação.

Aos tipos de tarefa

Critério de identificação: – Os tipos de tarefas estão claramente

apresentados e identificados? As tarefas em torno da noção de simetria

ortogonal são interligadas ou independentes? As tarefas são compostas de

situações que permitem gerar, por meio de seu sistema de variáveis,

problemas culturalmente conhecidos, gerando assim conhecimentos? As

tarefas são representativas de um corpus de conhecimentos localizados em

torno da simetria ortogonal efetivamente disponível, suficientemente numeroso

e de adequado grau de dificuldade?

Critério das razões de ser: – Que interesses as tarefas relacionadas à

simetria ortogonal colocam em evidência? Ficam explícitas as razões de ser

dessas tarefas?

Critério de Pertinência: – As atividades propostas nas tarefas fazem

aparecer as propriedades matemáticas relacionadas à simetria ortogonal? A

tarefa faz surgir algum tipo de generalização, do ponto de vista matemático?

Aos tipos de técnicas

Segundo Chevallard (1998), quanto ao tipo de técnicas, elas seguem os

mesmos critérios que as tarefas, isto é, as técnicas que envolvem a noção de

104

simetria ortogonal (dobradura, espelhamento, sobreposição, utilização de

malhas quadriculadas, construções geométricas, demonstrações) propostas

nos livros didáticos são, realmente, desenvolvidas ou apenas esboçadas?

As técnicas são apresentadas com adequada evolução de acordo com o

grau de maturidade do alunado ou se mantêm estáveis? São suficientemente

inteligíveis? Seu escopo é satisfatório?

Quantos ao bloco teórico-tecnológico

Para cada técnica relacionada à simetria ortogonal apresentada foi,

realmente, oferecida uma justificativa ou essa é considerada como tacitamente

dada, natural, evidente ou popular? As formas de justificação dadas são

fechadas às formas canônicas em Matemática? São adaptadas às condições?

Os resultados tecnológicos são disponibilizados e, na verdade, otimamente

explorados?

A seguir, apresentamos a análise de algumas tarefas de reconhecimento

e construção de eixo de simetria em figuras planas sem e com malha

quadriculada (situações 1, 2 e 3) e construção de figura simétrica com e sem

malha quadriculada (situações 4 e 5), encontradas nas coleções de livros

didáticos analisados. Nessa análise, destacamos o tipo de tarefa, as técnicas

disponíveis pelos autores, o discurso teórico-tecnológico em torno de cada

situação.

Situação 1: Reproduza as figuras 3, 4 e 5 da página 305 e desenhe nelas todos

os eixos de simetria.

Tarefa: reproduzir os outros eixos de simetria em cada uma das figuras.

Figura 26. Figura referente à situação 1, na análise de livros didáticos

Fonte: Coleção 1, 2009, 7° ano, p. 305

105

Técnica: foram detectadas duas técnicas distintas:

1) espelhamento – para as Figuras 3 e 5, situação 1, como um eixo de

simetria já está determinado, basta determinar se ela possui outros eixos e

desenhá-los. Tomar um espelho plano nas mãos e colocá-lo na posição

perpendicular à folha sobre a figura, e perpendicular ao eixo desenhado, de

forma que o segmento por ele formado divida a figura ao meio. Observar que o

reflexo de uma parte da figura aparecerá sobre a outra parte; então, traçar o

eixo no local onde o espelho está apoiado. Fazer o mesmo processo para

outras posições na figura, até descartar a existência de outros eixos de

simetria.

Já para a Figura 4 da situação 1, o espelhamento também poderá ser

utilizado. Nesse caso, o espelho deverá ser colocado perpendicularmente à

folha sobre cada segmento que liga o vértice do pentágono regular ao ponto

médio do lado oposto e, a seguir, traçar o eixo de simetria. Esse procedimento

deve ser repetido cinco vezes.

2) Dobradura ou sobreposição – para as Figuras 3 e 5 da situação 1,

fazer uma dobra no papel onde a figura foi desenhada perpendicularmente à

linha tracejada na figura, de forma que divida a figura ao meio; verificar se os

dois lados da figura foram sobrepostos. Marcar o eixo de simetria na dobra

feita. Verificar se existem outras formas de dobrar o papel, de maneira que os

dois lados da figura sejam sobrepostos, para descartar outros eixos de

simetria.

Para a Figura 4, a dobradura deverá ocorrer sobre o segmento que liga

cada vértice do pentágono regular ao ponto médio do seu lado oposto. Verificar

se, após a dobra, os dois lados da figura foram sobrepostos e desenhar os

eixos de simetria. Esse procedimento deve ser repetido cinco vezes.

Situação 2: Entre as figuras geométricas representadas a seguir, quais

possuem eixo de simetria?

106


Fonte: Coleção 2, 2001, 7º ano, p. 167

Tarefa: identificar ou não eixos de simetria nas figuras dadas.

Técnica: as técnicas para solucionar cada uma das subtarefas podem

ser consideradas as mesmas; o que diferencia cada solução são os

procedimentos de aplicação. As técnicas desenvolvidas no livro incluem

dobradura, espelhamento e sobreposição. Identificaremos cada subtarefa como

T seguido da letra que identifica a figura.

T(a) e T(b) Dobra-se o papel ao meio, onde a figura se encontra

desenhada verticalmente e observa-se que as duas partes da figura irão

sobrepor-se. Encontra-se o eixo de simetria exatamente na dobra construída.

A outra técnica envolve a utilização de um espelho plano, colocado

perpendicularmente ao papel onde a figura se encontra desenhada na posição

vertical, no meio da figura; observa-se que a figura aparece completa

novamente e o eixo de simetria deve estar localizado sob o espelho.

T(c) A dobra do papel ou o espelho plano, nesse caso, deve ser

localizado entre as duas setas da figura no sentido oblíquo, de forma que a

figura possa ser dividida em duas partes sobrepostas e congruentes.

T(d) e T(f) Após algumas tentativas de dobrar o papel ou colocar o

espelho plano onde a figura está desenhada, de forma que se divida em duas

partes congruentes e opostas, perceber-se que a figura (d) não possui eixo de

simetria.

T(e) Nesse caso, como a figura tem dois eixos de simetria, é possível

encontrá-los dobrando o papel onde a figura está localizada verticalmente ou

horizontalmente, de forma que as duas partes da figura sejam congruentes e

sobrepostas. Por outro lado, também é possível utilizar o espelho como em T(a)

e T(b).

107

Situação 3: Em que caso a reta r representa um eixo de simetria da

figura? Responda a questão no seu caderno.


Fonte: Coleção 2, 2011, 7º ano, p. 167.

Tarefa: identificar figuras simétricas por meio de seus eixos de simetria.

Técnica: para cada item da situação 3, marcar em um dos semiplanos

da figura com relação à reta r alguns pontos referenciais. Utilizar a malha

quadriculada e a noção de reta perpendicular para buscar no semiplano oposto

à reta r os pontos “simétricos” aos pontos marcados. Verificar se a distância de

cada ponto e seu simétrico até a reta r é a mesma. Comparar a forma das

figuras nos dois semiplanos da reta r.

Discurso teórico-tecnológico: em todas as três tarefas, a justificativa

aplicada nas técnicas é a mesma, isto é, o conceito de simetria relacionado ao

significado da palavra correspondência, em grandeza, forma e posição relativa

de partes situadas em lados opostos de uma linha ou plano médio, ou, ainda,

que se achem distribuídas em volta de um centro ou eixo.

As situações 1, 2 e 3 são do tipo reconhecimento de figura simétrica por

intermédio da identificação de seus eixos de simetria, sem e com a utilização

de malha quadriculada.

Observamos para a situação 1, quanto ao tipo de tarefa, que o seu

objetivo está claramente apresentado, isto é, desenhar nas figuras todos os

eixos de simetria. Para as situações 2 e 3, o objetivo também é claro, identificar

ou não eixos de simetria nas figuras simétricas.

108

Ressaltamos que, apesar de os autores utilizarem figuras planas, com

características diferentes, eles não as exploram com o intuito de que o sujeito

tenha a possibilidade de estabelecer conexões dessas características com a

simetria ortogonal. O sujeito é estimulado apenas a fazer observações

superficiais para executar a tarefa. Além disso, as atividades não propõem que

o sujeito apresente argumentos sobre o porquê de identificar ou não os eixos

de simetria das figuras e, para a situação 2, no caso de esses existirem,

construí-los, o que restringe a possibilidade de construção de conhecimento

por parte dos discentes. O fato de a classificação das figuras em grupos de

figuras planas diferentes, segundo suas características, não ser explorado, não

explicita, de forma clara, a razão de ser de cada uma das subtarefas tanto na

situação 1 quanto nas situações 2 e 3.

Quanto ao critério de pertinência, as situações 1, 2 e 3 não oferecem

condições para que o sujeito faça conjecturas e tente validá-las, mesmo que

seja localmente. Nesse caso, a definição e as propriedades matemáticas

podem não ser percebidas.

Sobre as técnicas, a simetria ortogonal é introduzida nos livros didáticos

como reflexão; dessa forma o espelhamento e a dobradura são as principais

técnicas desenvolvidas pelos autores e disponibilizadas para o sujeito utilizar

na execução da tarefa. Para as tarefas apresentadas nas situações 1, 2 e 3 as

técnicas são adequadas e estão de acordo como o grau de maturidade do

alunado ao qual os livros se destinam.

O discurso teórico-tecnológico, por sua vez, permanece restrito ao senso

comum. A justificação é dada por meio de observações visuais, relacionadas

ao espelhamento e à manipulação por meio da dobradura. Esta explicação está

ligada, principalmente, ao significado da palavra simetria.

A diferença básica entre as tarefas apresentadas nas situações 1 e 2 é

que, na primeira, é dada a figura na qual é marcado um dos eixos de simetria.

O aluno precisa desenhar os outros eixos de simetria das figuras, utilizando as

técnicas propostas no livro, e na segunda, deve decidir quais figuras são

simétricas, mas para isso precisa identificar se elas possuem ou não eixos de

simetria.

109

As situações a seguir propõem tarefas de construção de figura simétrica

com e sem a malha quadriculada, com ou sem a utilização de instrumentos de

desenho como compasso, esquadro e régua.

Situação 4: Faça um desenho como este em uma folha de papel

quadriculado. A partir dele, obtenha outro, realizando um movimento de

reflexão em relação ao eixo e.


Fonte: Coleção 3, 2012, livro do 8º ano, p. 127.

Tarefa: obter sobre a malha quadriculada a figura simétrica com relação ao

eixo e.

Técnica1: marcar os pontos sobre os vértices da figura geométrica. Dobrar a

folha de papel sobre a reta e, encontrar os pontos simétricos aos pontos

marcados na figura inicial. Ligar os pontos simétricos encontrados por meio de

segmentos de reta. Verificar se a figura inicial e a simétrica obtida foram

sobrepostas.

Técnica 2: marcar sobre a malha quadriculada alguns pontos referenciais da

figura. Utilizar a malha quadriculada para encontrar as retas perpendiculares ao

eixo, passando pelos pontos marcados. Marcar sobre essa reta, do lado oposto

ao eixo, os pontos simétricos. Ligar os pontos simétricos por meio de

segmentos de reta e revelar a figura simétrica.

Técnica 3: destacar os principais pontos da figura dada. Em seguida, por esses

pontos traçar, utilizando régua e compasso, as retas perpendiculares ao eixo

110

de simetria e. Utilizando um compasso, marcar o ponto simétrico a cada um

dos pontos correspondentes, destacados na figura dada, nas retas

perpendiculares construídas, observando que a distância de cada um desses

pontos ao eixo de simetria é igual à distância de seus pontos correspondentes,

destacados na figura dada, ao eixo de simetria e.

Situação 5: Desenhe polígonos parecidos com estes. Trace as retas r, s e t em

posição semelhante às da figura.


Fonte: Coleção 3, 2012, livro do 8º ano, p. 119.

Tarefa: obter em cada caso, a figura simétrica sobre o papel branco.

Técnica 1: sobreposição ou decalque da figura por meio de papel de seda

dobrando a folha e copiando a figura do outro lado da dobra (eixo de simetria).

Técnica 2: primeiro, destacam-se os pontos sobre os vértices de cada uma das

figuras geométricas, com a utilização de um compasso (ou esquadro) e com a

régua graduada traçar as retas perpendiculares ao eixo de simetria, passando

por cada um desses pontos. Os pontos simétricos são marcados sobre as

retas perpendiculares, construídas à mesma distância que o ponto original até

o eixo de simetria, só que do lado oposto deste. A seguir, ligar os pontos e

revelar a figura simétrica.

Discurso teórico-tecnológico: para as justificativas das técnicas nas situações 4

e 5 tem-se a definição de simetria ortogonal, levando-se em consideração que

111

a imagem de um ponto B com relação a uma reta r é o ponto B' (simétrico de

B) não pertencente a r, tal que r é a mediatriz do segmento 'BB , logo 'BBr

e )B'd(r,B)d(r, .

Quanto ao tipo de tarefa, para as situações 4 e 5, observamos que seus

objetivos estão claramente apresentados, ou seja, obter com e sem a malha

quadriculada, a figura simétrica a cada uma das figuras dadas com relação aos

respectivos eixos de simetria. Implicitamente, as tarefas estão interligadas a

outros conteúdos, por exemplo, ângulos e construção de retas perpendiculares.

Essa ligação permite ao sujeito relacionar objetos e, por meio dessa relação,

construir conhecimentos. Observamos, ainda, que as tarefas são

representativas de um corpus de conhecimentos, localizados em torno da

simetria ortogonal, estão efetivamente disponíveis no livro didático e possuem

adequado grau de dificuldade. Quanto à razão de ser da tarefa e sua

pertinência, o autor da coleção 3 espera que o sujeito perceba as propriedades

e estabeleça a definição de simetria ortogonal, mas não propõe que, a cada

passo da construção da figura simétrica, o sujeito argumente sobre eles, o que

poderia explicitar as propriedades e os elementos necessários para construir a

definição.

Verificamos que as técnicas 1, 2 e 3 apresentadas para a construção da

figura simetria na situação 4 e as técnicas 1 e 2 no caso da situação 5, estão

totalmente desenvolvidas no livro do 8º ano da coleção 3. Observamos, ainda,

que são apresentadas com adequado nível de evolução e de acessível

compreensão dos sujeitos aos quais o livro didático se destina.

Quanto ao bloco teórico-tecnológico, para cada uma das técnicas

relacionadas acima o autor apresenta gradualmente uma justificativa que tem

início com a proposta de observações relacionadas ao significado da palavra

simetria; passa pela definição de distância entre ponto e reta e, por fim, chega

à construção da figura simétrica utilizando compasso e régua.

Observamos que as explicações e justificativas dadas são adaptadas às

condições, de forma que o alunado construa o conceito de simetria ortogonal,

inicialmente por meio de visualização e de manipulação de figuras simétricas e,

posteriormente, por meio da construção dessas figuras, em que são levadas

em consideração a definição e as propriedades da simetria ortogonal. Contudo,

112

o autor não propõe, nas situações 4 e 5, uma iniciação dedutiva para justificar

os procedimentos de construção da figura simétrica

Algumas considerações sobre nossa análise

Com relação ao conjunto de critérios que estabelecemos para analisar

os livros didáticos, percebemos, quanto ao tipo de tarefa, que em todas as

quatro coleções analisadas, elas estão interligadas de forma superficial a

outros conteúdos geométricos como ângulos, congruência de figuras

geométricas planas e as demais isometrias, mais que o corpus de

conhecimento envolvidos nas tarefas poderia ser ampliado. São utilizados

textos históricos e apelo a observações da utilização da simetria ortogonal na

arte e atividades cotidianas do homem, como é o caso de revestimentos e

azulejos por meio de mosaicos para justificar as tarefas propostas. As

generalizações matemáticas relacionadas à simetria ortogonal como a

conservação de propriedades são pouco exploradas nas tarefas propostas.

As técnicas (dobradura, espelhamento e sobreposição) necessárias para

a resolução de algumas das tarefas são totalmente desenvolvidas nos livros.

Somente em uma coleção de livros há a apresentação de outras técnicas como

a construção geométrica por intermédio de instrumentos de desenho

geométrico. Observarmos que nas coleções em que a simetria ortogonal é

tratada em mais de um livro, o conteúdo retorna nas coleções de matemática

de anos posteriores, com os mesmos tipos de situações-problema, sendo

apresentadas as mesmas técnicas para desenvolver as tarefas propostas nas

situações.

Quanto ao discurso teórico-tecnológico, na maioria das vezes fica

restrito a uma justificativa aceita pelo senso comum, por intermédio da

observação e reconhecimento, sem explicações que levem em conta definições

e propriedades matemáticas relacionadas à simetria ortogonal sejam

efetivamente desenvolvidas no livro do aluno. Podemos observar, nas

orientações didáticas do livro do 8º ano da coleção 3, os argumentos do autor

para apresentar os conceitos geométricos apenas de forma intuitiva.

O tratamento intuitivo dado aos conceitos de geometria como idealização geométrica dos objetos do mundo físico recebe continuidade neste volume, tendo como pressuposto que o

113

conhecimento é resultado da elaboração e reelaboração constantes dos conceitos. [...] A análise e o uso de padrões disponibilizam, aos alunos, recursos que favorecem o estudo das características e propriedades de um movimento em geometria (transformações geométricas) e possibilitam destacar as que são consideradas relevantes e observar as que coincidem. Com isso, os alunos poderão ensaiar possíveis organizações e tentar verificar se elas se conservam em todos os casos. (COLEÇÃO 3, MANUAL DO PROFESSOR, 2012, 8º ano, p. 38)

Em nenhuma das coleções, identificamos um tratamento no sentido de

transição da validação perceptiva para a dedutiva, por parte dos alunos, isto é,

não há nenhuma iniciação de justificativa por meio de demonstração.

Em sua pesquisa, Lima (2006), ao analisar manuais escolares adotados

na França, classificou os seguintes tipos de problemas (tarefas) propostos

nesses manuais:

reconhecimento de figuras simétricas com relação a uma reta d; reconhecimento dos eixos de simetria; construção de figuras simétricas (à mão livre, sobre o papel quadriculado, com os instrumentos de desenho); construção de eixos de simetria (à mão livre, sobre o papel quadriculado, com os instrumentos de desenho); (LIMA, 2006, p. 59, tradução nossa).

Além dos tipos de tarefa relacionados pela autora, acrescentamos, por

intermédio de nossa análise das quatro coleções analisadas: a identificação da

conservação de algumas propriedades geométricas, identificação de pontos

simétricos em uma figura plana e a criação padrões decorativos por meio de

simetria axial. Na tabela 1, apresentamos os tipos tarefas e a quantidade de

cada uma delas por livro25 em cada coleção analisada.

Tabela 1. Quantidade de tarefas propostas nos livros didáticos analisados sobre simetria

ortogonal (continua)

Tipos da Tarefa

Diversificação da tarefa

Coleção 1 Coleção 2 Coleção 3 Coleção 4

Total

L 7 L7 L8 L7 L8 L8

Reconhecer eixos de simetria

Com a utilização da malha quadriculada

6 6

Sem a utilização da malha quadriculada

1 4 3 1 15 24

Reconhecer figuras simétricas

Com a utilização da malha quadriculada

1 1

25 Para identificar os livros de cada coleção codificamos por L (livro) seguido por um número

que representa o ano de escolaridade, por exemplo, L7 significa livro do 7º ano.

114

Sem a utilização da malha quadriculada

11 1 2 2 5 21

Construir eixos de simetria

À mão livre 1 2 3 5 11

Com instrumentos de desenhos

1 0 1

Construir figuras simétricas

À mão livre 4 5 9

Sobre a malha quadriculada

20 2 1 5 1 29

Com instrumentos de desenhos

3 4 3 10

Identificação da conservação de algumas propriedades em figuras planas

Por meio de instrumentos de desenho

1 1

Por meio da malha quadriculada

5 2 7

Sem a utilização de malha quadriculada

7 4 11

Identificar pontos simétricos em uma figura plana

Por meio de instrumentos de desenho

2 2

Sobre a malha quadriculada

3 3

Sem a utilização de malha quadriculada

1 5 6

Criar padrões decorativos por meio de simetria axial

A mão livre ou com instrumentos de desenho geométrico

1

1 2 1 5

Total 3 59 10 9 30 36 147

Fonte: Elaborado pela autora

Analisando a Tabela 1, constatamos que entre os tipos de tarefas e

técnicas exploradas na maioria dos livros didáticos, os procedimentos

privilegiados para a construção de figura simétrica são aqueles que utilizam a

malha quadriculada. Os autores dessas coleções teriam, provavelmente,

considerado a malha quadriculada como facilitadora da aprendizagem do

aluno. Contudo, os estudos de Grenier (1988) apontam que as respostas nos

itens sobre o papel quadriculado não eram mais bem sucedidas que as

respostas sobre o papel branco, isto é, o papel quadriculado induz a levar em

conta os pontos particulares da figura. Além disso, como já apontado em

estudos anteriores, Grenier (1988), num estudo com alunos do 6º ano do

Ensino Fundamental, e Silva; Almouloud (2013) numa investigação realizada

com professores em formação foram observados, nas respostas dos sujeitos,

115

procedimentos de contagem sobre as linhas horizontais ou verticais,

procedimentos que são falsos quando o eixo de simetria é oblíquo à folha.

A Tabela 1 ainda nos leva a ponderar que a utilização de instrumentos

de desenhos para construir figuras simétricas ou eixos de simetria é pouco

explorada nas situações apresentadas nos livros, o que pode ocasionar a não

construção por parte dos alunos de conceitos geométricos envolvidos nas

tarefas propostas.

O conjunto de critérios estabelecidos para analisar as tarefas propostas

nos livros didáticos permitiu evidenciar alguns aspectos em torno do ensino e

da aprendizagem da simetria ortogonal. Um exemplo é a forma intuitiva como a

simetria ortogonal é apresentada, pois observamos que o aluno não é instigado

a questionar ou discutir sobre os procedimentos adotados nas tarefas

propostas. Tal fato pode ocasionar uma restrição ao desenvolvimento do

pensamento geométrico, principalmente com relação à escolha das técnicas, o

que pode influenciar diretamente na forma como esses alunos justificam essas

técnicas.

Desse modo, análise de livros didáticos contribuiu para nossa

compreensão de certa realidade que cerca o ensino da simetria ortogonal, além

de apontar algumas variáveis a serem consideradas pelos professores no

momento da construção, análise e aplicação de uma sequência de ensino. Por

exemplo, que sejam propostas tarefas que explorem as definições e

propriedades matemáticas relacionadas à simetria ortogonal, seja por meio de

exercícios envolvendo técnicas como dobradura, espelhamento e decalque ou

por meio de construções geométricas, com a utilização de instrumentos de

desenho.

Acreditamos que, ao apresentar tarefas apenas de forma intuitiva e

voltada, na grande maioria das vezes, para contextos externos à Matemática,

sobretudo com alunos que estejam cursando os últimos anos do Ensino

Fundamental, é possível, posteriormente, desencadear o aparecimento de

dificuldades de validação dos procedimentos que envolvam pensamento lógico-

dedutivo.

116

3.5 Algumas reflexões

Respondendo às questões elencadas no início deste capítulo, afirmamos

que a simetria ortogonal está presente nas recomendações curriculares para a

Educação Básica, tanto em contexto nacional, quanto estadual. No contexto

nacional, constatamos, por meio de nossa análise, que esse documento sugere

que a simetria ortogonal seja trabalhada em todos os ciclos do Ensino

Fundamental, de forma que o aluno estabeleça conexões entre seu conteúdo e

outras áreas do conhecimento, tanto internas quanto externas à Matemática.

Já contexto estadual, o documento recomenda o ensino de simetria, mas

apenas no Ensino Fundamental I, em que as sugestões de trabalho se limitam

a dar ênfase, principalmente, ao ensino de simetria em figuras planas, sem a

preocupação com as propriedades específicas do objeto.

Observamos, ainda, que tanto os documentos oficiais, como os livros

didáticos analisados, focam mais o estudo da simetria no objeto, isto é, estão

mais interessados na determinação do eixo simetria de uma figura do que no

estudo do objeto “simetria ortogonal” (definição e suas propriedades). Isso

pode ter consequências irreparáveis no que tange à compreensão desse

objeto, suas propriedades e suas relações com outros objetos matemáticos.

Como já sinalizamos anteriormente, existe um movimento ocorrendo na

apresentação e no desenvolvimento das transformações geométricas nos livros

didáticos, cujo movimento atinge, é claro, a simetria ortogonal. No livro didático

utilizado pela escola no período de 2011 a 2013, observamos que as

transformações geométricas eram apresentadas de forma totalmente

superficial, levando em consideração apenas sua aplicação nas artes e sua

utilização cotidiana na produção de mosaicos para revestimentos de superfície.

Essa apresentação contava apenas com um projeto no final do livro do 7º ano,

e sua efetiva aplicação dependia da disponibilidade de tempo didático e

interesse do professor.

Por outro lado, nas 10 coleções de livros didáticos aprovadas no PNLD

2014-2016, observamos, por meio do conteúdo programático disponibilizado no

guia do PNLD, que as transformações geométricas são apresentadas

relacionadas a outros conteúdos de geometria, como capítulo, ou fazendo parte

de uma seção do livro, muitas vezes, em mais de um volume da coleção.

117

Um dos fatores que contribuem para essa alteração é a tentativa de

adequação dos livros didáticos de acordo com as orientações dos Parâmetros

Curriculares Nacionais (BRASIL, 1997; 1998), além da observação, por parte

dos autores de livros didáticos, de resultados provenientes de pesquisas na

área da Educação Matemática. Contudo, segundo nossa análise de alguns

livros didáticos, ainda é um desafio para os autores a apresentação da simetria

ortogonal como objeto matemático, isto é, de forma que outros objetos sirvam

de “alimento” para a simetria ortogonal e esta não apenas “sobreviva” no

sistema de ensino, mas possa “viver” de forma estável, para alimentar também

outros conceitos para que eles também possam sobreviver.

Identificamos como aspectos fundamentais dos resultados apresentados

nesta análise para as fases de experimentação neste trabalho, a observação

de como a maneira pela qual a simetria ortogonal é apresentada no livro

didático, utilizado na escola pesquisada, influencia no ensino desse conteúdo,

quando levamos em conta a prática docente, além da verificação de quais são

as consequências dessa influência.

Para responder a última questão colocada no início deste capítulo sobre

as condições de “sobrevivência” da simetria ortogonal na rede de ensino

pública, necessitamos aprofundar nossos estudos na busca de respostas para

nosso problema de pesquisa e deles conseguir novos indícios para responder

essa questão.

No capítulo a seguir, apresentamos a fundamentação teórica que

fornecerá subsídios para as respostas que procuramos.

118

119

CAPÍTULO 4

FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

Neste capítulo, apresentamos nossa fundamentação teórica que

consiste na Teoria das Situações Didáticas e no quadro dos Paradigmas

Geométricos, apresentado por Parzysz (2001; 2006). A escolha da Teoria das

Situações Didáticas no estudo é justificada pela própria problemática deste

trabalho que permeia, principalmente, as interações estabelecidas entre o

professor, o aluno e o saber. Por outro lado, o quadro dos Paradigmas

Geométricos permite analisar a natureza do trabalho geométrico desenvolvido

por professores, nos momentos de resolução e análise das situações-problema

e por alunos nos momentos de interação com elas. No final deste capítulo,

apresentamos uma articulação entre esses dois quadros teóricos, cujo objetivo

está alinhado com a proposta do nosso trabalho.

4.1 A Teoria das Situações Didáticas

A Teoria das Situações Didáticas foi desenvolvida por Guy Brousseau,

com a finalidade de estudar as situações que são propícias à aquisição de

conhecimento e às relações estabelecidas entre aluno, professor e o saber

mobilizado em um ambiente de ensino. Segundo Brousseau (1997), situações

didáticas são situações usadas para ensinar; é, portanto, todo o ambiente que

cerca o aluno, incluindo o professor e o sistema educacional em si.

Destaque na Teoria das Situações Didáticas, o conceito de milieu 26 foi

concebido por Brousseau como um sistema que interage com o aluno de forma

26Em português milieu pode ser traduzido como “meio”, mas concordando com Almouloud

(2007), entendemos que este termo não alcança toda a amplitude da ideia proposta por Brousseau (1997), por isso, manteremos o termo milieu em nosso trabalho.

120

antagônica desafiando-o, por intermédio da reflexão sobre suas ações, a

encontrar respostas para as situações-problema propostas a ele.

Segundo Almouloud (2007), a Teoria das Situações Didáticas se apoia

em três hipóteses: (1) o aluno aprende adaptando-se a um milieu que gera

dificuldades, contradições e desequilíbrio. O conhecimento, resultado da

adaptação do aluno manifesta-se por novas respostas que fornecem

evidências de aprendizagem; (2) um milieu sem intenção didática não é

suficiente para promover a aprendizagem matemática do aluno, isto é, o

professor deve criar, organizar um meio no qual serão desenvolvidas as

situações (problemas) suscetíveis de provocar essa aprendizagem; (3) o milieu

e essas situações devem engajar fortemente os saberes matemáticos

envolvidos no processo de ensino e aprendizagem.

Ainda de acordo com esse autor, “uma situação didática é caracterizada

pelo milieu e este é organizado a partir da escolha das variáveis didáticas, que

são aquelas para as quais a mudança de valores provoca modificações nas

estratégias ótimas” (ALMOULOUD, 2007, p.37). Por esse motivo, a

determinação de variáveis didáticas e seus valores é muito importante na

construção, escolha e análise de situações de ensino. Nos estudos de Grenier

(1988) e Lima (2006), são identificadas algumas variáveis didáticas e valores

relacionados à simetria ortogonal. Apoiados nesses estudos, distinguimos aqui

algumas variáveis e valores que levaremos em consideração neste trabalho a

respeito desse objeto matemático.

Quadro 6. Variáveis didáticas e valores levados em conta na elaboração e escolha das tarefas

Variáveis didáticas Valores

A interseção da figura-objeto com o eixo de

simetria

- toca o eixo

- corta o eixo em um ponto

- corta o eixo em mais de um ponto

As direções dos elementos que compõem a

figura objeto

- horizontais

- verticais

- oblíquas

A direção do eixo de simetria sobre a folha

- horizontais

- verticais

- oblíquos

O tipo de papel - branco

- quadriculado

O tipo de tarefa

- reconhecimento de figura simétrica

- reconhecimento de eixo de simetria

- construção de figura simétrica

121

- construção de eixo de simetria

- identificação de propriedades

A configuração da figura-objeto

- pontos

- segmentos

- polígonos

- outros tipos de figuras

Distância da figura objeto ao eixo de simetria - conservada

- não conservada

Fonte: Adaptado de Grenier (1988) e Lima (2006)

Segundo Brousseau (1997), as variações de uma situação para o

mesmo saber matemático podem apresentar grandes diferenças em termos de

complexidade e, portanto, levar a diferentes estratégias ótimas, além de

proporcionar formas diferentes de conhecer o mesmo saber27.

O desafio do professor é, justamente, construir situações cujas intenções

de ensinar não são inicialmente reveladas aos alunos –, mas que estes

aceitam – e conseguir que eles sejam capazes de refletir, agir e evoluir em

seus conhecimentos matemáticos por conta própria. De acordo com Brousseau

(1997, p. 30, tradução nossa), “cada item do conhecimento pode ser

caracterizado por uma (ou mais) situação (ões) adidática(s) as quais preservam

significados”, situações que ele chamou de situações fundamentais.

A Teoria das Situações Didáticas permite, no momento da aplicação

das situações ou problemas em classe, que os professores vivenciem as

quatro fases (fases de ação, formulação, validação e institucionalização) no

processo de aprendizagem, apresentadas por Brousseau (1997). De acordo

com esse autor, a fase de ação consiste em colocar o aprendiz numa situação

de ação, na qual se coloca um problema para o aluno, cuja melhor solução,

nas condições propostas, é o conhecimento a ensinar. Na fase de formulação,

o aluno troca informações com uma ou várias pessoas, que serão os emissores

e receptores trocando mensagens escritas e orais. Esse é um momento em

que os estudantes ou grupo de estudantes explicitam, por escrito ou oralmente,

as ferramentas que utilizaram e a solução encontrada.

27 Os termos conhecimento e saber são utilizados por Brousseau de forma diferenciada. “Os conhecimentos são meios transmissíveis (por imitação, iniciação, comunicação, etc) ainda que necessariamente demonstráveis, de controlar uma situação e obter dela um resultado determinado, de acordo com uma expectativa e exigência social. O saber é o produto cultural de uma instituição que tem como objetivo identificar, analisar e organizar os conhecimentos a fim de facilitar sua comunicação”. (BROUSSEAU, 2008, p. 31-32)

122

Na fase de validação, o estudante deve mostrar a validade de seus

argumentos, submetendo a mensagem matemática ao julgamento de um

interlocutor. Segundo Almouloud (2007), o emissor deve justificar a exatidão e

a pertinência de seu modelo e fornecer, se possível, uma validação semântica

e sintática. Finalmente, na fase de institucionalização, o professor fixa,

convencional e explicitamente, o estatuto cognitivo do saber. Uma vez

construído e validado, o novo conhecimento vai fazer parte do patrimônio da

classe. Depois da institucionalização feita pelo professor, o saber torna-se

disponível para sua utilização na resolução de problemas matemáticos.

Nos momentos destinados a uma reflexão sobre a prática, as discussões

no grupo pesquisado voltaram-se a um aspecto essencial do contrato didático,

isto é, à devolução que, segundo Brousseau (1997, p.41, tradução nossa), “é o

ato pelo qual o professor faz o aluno aceitar a responsabilidade por uma

situação de aprendizagem ou de um problema e aceita, ele próprio, as

consequências dessa transferência”.

Nossa pesquisa visa, principalmente, ao estudo do processo de ensino

focado nas atividades do professor, por meio da criação de condições que

provoquem a aquisição de conhecimentos matemáticos pelos alunos. Para

alcançar esse propósito, apoiamo-nos em Margolinas (2002) que propôs um

modelo de níveis de atividade do professor, os quais apresentamos a seguir.

- O nível (+3) mais geral do modelo, chamado de nível noosferiano ou

nível ideológico, caracteriza a atividade do professor que reflete de forma muito

ampla sobre o ensino de Matemática. Nesse nível, ocorrem discussões sobre

os documentos curriculares e o papel dos conteúdos matemáticos no contexto

do ensino em geral.

- O nível (+2) é o da construção, a atividade do professor é concebida

em grandes linhas de ensino sobre um tema. O professor constrói ou escolhe

uma série de situações fundamentais, com o objetivo de analisar as variáveis

didáticas envolvidas e os valores dessas variáveis, e também, o repertório de

conhecimentos a serem mobilizados pelos alunos durante a experimentação.

- O nível (+1) é o do planejamento, caracterizado pela atividade do

professor, que é determinada pelo cenário de uma lição. Nível em que é

construída ou escolhida uma sequência de situações em que se levam em

conta as informações colhidas no nível anterior.

123

- O nível (0), também chamado de nível didático, caracterizado pela

ação do professor na classe. Esse é o nível em que professores e alunos

interagem, de fato.

- O nível (-1) de observação é caracterizado pela devolução ou pela

observação das atividades dos alunos.

Segundo Margolinas (2002), o professor toma decisões em todos os

níveis de sua atividade, mas também pode transformar seus pontos de vista

em uma atividade reflexiva, isto é, o professor aprende durante sua atividade

profissional. Um dos objetivos de nossa investigação é estudar como essa

transformação afeta os processos de ensino e de aprendizagem.

Baseada nas pesquisas de Brousseau, Margolinas propôs a

estruturação do milieu que possibilita duas análises: a descendente,

caracterizada pela atividade do professor (descrita anteriormente) e a

ascendente, caracterizada pela atividade do aluno.

Quadro 7. Estruturação do milieu

M+3: M- construção

P+3: P noosferiano

S+3: Situação noosferiana

Nív

eis

sobre

-did

átic

os M+2:

M- planejamento

P+2: P construtor

S+2: Situação de construção

M+1: M-didático E+1: Aluno reflexivo

P+1: P planejando

S+1: situação de planejamento

M0; M- aprendizagem

E0: Aluno P0: Professor S0: Situação Didática

M-1: M- referência

E-1: Aluno aprendendo

P-1: P- observador

S-1: Situação adidática de aprendizagem

Situ

ação

sub

- did

átic

a

M-2: M- Objetivo

E-2: Aluno em ação

S-2: Situação de referência

M-3: M- material

E-3: Aluno objetivo

S-3: Situação objetiva

Fonte: Margolinas (2004, p. 52)

Nessa estruturação do milieu, observamos as posições relativas do

milieu (M), do aluno (E) e do professor (P). Observamos, ainda, que a situação

didática S0 é composta pela interação entre M0, E0 e P0.

Com o objetivo de observar o papel do professor e as posições do aluno

numa situação de ensino e aprendizagem, analisamos, a seguir, a situação-

124

problema exposta no Exemplo 1, segundo a estruturação do milieu, de acordo

com Margolinas (2004).

Exemplo 1: Construa a figura simétrica ao segmento AB com relação à reta r.

Em seguida descreva a construção.

Figura 31. Exemplo ilustrativo da estruturação do milieu, segundo Margolinas (2004).


O objetivo da situação-problema é propor ao aluno a construção do

segmento simétrico, observando propriedades como ortogonalidade e

equidistância com relação ao eixo de simetria r.

A situação objetiva ou material S-3

É uma situação que, segundo Margolinas (2002), não está finalizada, na

qual o milieu material (M-3) é formado pelos seguintes objetos: simetria

ortogonal (reflexão), construções geométricas, mediatriz de um segmento,

distância entre ponto e reta que são os objetos mínimos disponíveis para que

E-3 possa iniciar a construção da figura simétrica com relação à reta r.

Por outro lado, os conhecimentos que permitirão a E-3 interagir com o

milieu M-3 são: a definição de transformação geométrica, a noção de simetria

ortogonal (reflexão), o domínio de instrumentos de desenho na construção de

retas perpendiculares dados um ponto e uma reta, construção de pontos

simétricos e as propriedades relativas à simetria ortogonal.

Na situação S-3, a figura simétrica ao segmento AB com relação à reta

r é construída de forma intuitiva pelo aluno E-3.

125

Figura 32. Construção intuitiva do segmento simétrico


A situação de referência S-2

Na situação S-2, uma finalidade do problema é introduzida; assim S-2 é

uma situação de referência em que o aluno E-2 está agindo. O milieu M-2

compreende a situação S-3 que, às vezes, de acordo com Margolinas (2004), é

o objeto da ação de E-2 e fonte da retroação. Sendo assim, o aluno E-2 utiliza-

-se das propriedades de simetria ortogonal (ortogonalidade e equidistância

entre pontos da figura e o eixo de simetria, etc.) como estratégia na construção

por meio de instrumentos de desenho dos pontos simétricos a A e B com

relação à reta r.

Figura 33. Desenho de pontos simétricos a A e B


O milieu M-1 é formado a partir da afirmação “a figura simétrica do

segmento AB é a figura formada pelos simétricos de seus pontos”.

126

A situação adidática de aprendizagem S-1

A situação S-1 é uma situação de aprendizagem que compreende os

componentes de antecipação, de formulação e validação. O milieu M-1 é

formado pelos pontos simétricos dos pontos A e B da figura objeto. O aluno,

por meio da construção de pontos, deve buscar justificar matematicamente a

construção do segmento 'BA' , por meio da definição de simetria ortogonal e de

suas propriedades.

Figura 34. Construção do segmento '' BA

Fonte: Eelaboração da autora

A simetria ortogonal transforma o segmento AB em um segmento

'BA' de mesmo comprimento.

A situação didática S0

Na situação S0, encontram-se as intenções de ensinar do professor P0 e

de aprender do aluno E0; num contrato didático, nas fases de

institucionalização e conclusão, são reunidos e atualizados os pontos de vista

de alunos e professor. Nesse nível, o aluno busca justificativas matemáticas

para a construção da figura simétrica, e o professor P0 intervém com o objetivo

de institucionalizar. A institucionalização poderá ser feita, dependendo do ano

escolar, por meio de uma demonstração (como a proposta na seção 4.2) ou da

verificação de propriedades por intermédio de instrumentos de medida. O aluno

E0 elabora numa conjectura o que aprendeu na situação S-1 e o professor P0

intervém para fazer a seguinte institucionalização: “A simetria ortogonal

127

transforma o segmento AB em um segmento 'BA' de mesmo comprimento,

porém com a orientação invertida”. Em resumo, apresentamos o quadro 8.

Quadro 8. Estruturação do milieu ascendente para o exemplo ilustrativo

Milieu Aluno Professor Situação Fases de

aprendizagem

M0;

M-aprendizagem E0: Aluno

P0:

Professor

agindo.

S0: Situação

didática. A visão de

alunos e professores

produzindo um saber

sobre o conceito de

simetria ortogonal

Institucionalização

M-1: M-referência

Busca nas

propriedades da

simetria ortogonal

de argumentos

justificativos

E-1: Aluno

justificando

e validando

conjecturas

a respeito

da figura

simétrica

P-1:

Professor

observando

as

estratégias

dos alunos

ou fazendo a

devolução do

problema.

S-1: Situação

adidática de

aprendizagem.

Construção da figura

simétrica.

Validação

M-2: M-Objetivo.

Formado pelo

milieu M-3 e a

situação S-3

E-2: Aluno

em ação -

propostas

de

conjecturas

S-2: Situação de

referência.

Construção de

pontos simétricos da

figura

Formulação

M-3: M-material

Formado pelos

conhecimentos

geométricos e a

experiência de

vida dos sujeitos.

E-3: Aluno

objetivo

S-3: Situação

objetiva.

Construção da figura

simétrica de forma

global

Antecipação/ação

Fonte: Elaborado pela autora, baseando-se em Margolinas (2004)

Na próxima seção, apresentaremos o quadro dos paradigmas

geométricos, segundo Parzysz (2001,2006), cuja referência são os trabalhos

de Van Hiele e Houdemont e Kuzniak.

128

4.2 O quadro dos Paradigmas Geométricos

O quadro dos Paradigmas Geométricos fornecerá uma referência para

analisar, por meio dos dados produzidos, a influência de um processo de

formação de professores nas concepções desses docentes, cujo foco particular

é a simetria ortogonal. Para compreender como os processos de ensino e de

aprendizagem da geometria se dão, foi necessário fazer um estudo sobre as

pesquisas desenvolvidas sobre esses processos. Para tanto, apresentamos, a

seguir, as pesquisas de Parzysz e sua equipe, as quais estão fundamentadas

no quadro dos Paradigmas Geométricos apresentados por Houdement e

Kuzniak e têm como primeira referência os estudos dos Van Hiele.

Apresentaremos, na sequência, uma síntese dos trabalhos de Van Hiele

(1986) e Houdement e Kuzniak (1999) com o objetivo de compreender melhor

a proposta de Parzysz (2001; 2006).

4.2.1 O modelo do desenvolvimento do pensamento geométrico de

Van Hiele

Entre os estudiosos que se propuseram fazer uma investigação sobre o

desenvolvimento do pensamento geométrico está o casal Dina Van Hiele-

Gedolf e Pierre Marie Van Hiele. Tal investigação foi estabelecida, segundo a

Teoria dos Níveis de Pensamento proposta por esses mesmos autores, cuja

ideia básica é a de que a aprendizagem se faz passando por níveis graduais de

pensamento. No caso da Matemática, Van Hiele (1986) afirma ser possível

discernir os cinco níveis seguintes: o nível visual; o nível descritivo (análise); o

nível teórico (com relações lógicas, por exemplo, a geometria gerada de acordo

com Euclides), a lógica formal (um estudo das leis da lógica); rigor (a natureza

das leis da lógica).

Especificamente quanto à geometria, observamos que os níveis acima

podem ser descritos como segue:

Nivel 0 (Visualização ou reconhecimento): é feito o primeiro contato com

as figuras geométricas de forma visual. As figuras são reconhecidas de acordo

com sua aparência, são vistas como um todo.

Nível 1 (Análise): os alunos são capazes de aplicar propriedades

operacionais para reconhecer e até mesmo caracterizar figuras.

129

Nível 2 (Dedução Informal ou Ordenação): os estudantes compreendem

definições abstratas, estabelecem inter-relações das propriedades nas figuras

(as diagonais de um losango são perpendiculares) e entre figuras (se um

quadrilátero é um quadrado ele é um losango, pois um quadrado é um losango

com algumas propriedades extras).

Nível 3 (Dedução Formal): os alunos são capazes de construir uma

sequência lógica de afirmações a partir de outras. Por exemplo, quando os

alunos estão familiarizados com os teoremas sobre congruência de triângulos,

eles, geralmente, são capazes de aplicar esse conhecimento ordenadamente

para provar a igualdade de elementos numa dada figura geométrica.

Nível 4 (Rigor): os estudantes avaliam vários sistemas dedutivos com

rigor matemático, comparam sistemas axiomáticos e estudam várias

geometrias, na ausência de modelos concretos.

Segundo Van Hiele esses níveis não estão associados à idade e

possuem as seguintes propriedades:

1. Sequencialidade: não se pode alcançar o nível n sem haver passado

pelo nível anterior n-1, isto é, o progresso dos alunos por meio dos

níveis é invariante.

2. Recursividade: em cada nível de pensamento, o que era implícito, volta

explícito no nível seguinte.

3. Especificidade da linguagem: cada nível tem sua própria linguagem

(símbolos linguísticos) e respectiva significância dos conteúdos

(conexão desses símbolos com algum significado).

4. Localidade: dois indivíduos em níveis de pensamento distintos não

podem se entender.

Alguns pesquisadores contestam que o progresso dos alunos seja

invariante por intermédio desses níveis. Sobre esse fato, Nasser e Sant’anna

(2010, p. 9) afirmam que “é comum encontrarmos alunos que mostram

estratégias de raciocínio de mais de um nível, dependendo da tarefa que está

resolvendo”.

Ao apontar a distinção entre os estudos dos Van Hiele, propostos em

níveis de pensamento e a proposta dos Paradigmas Geométricos, Houdement

http://pt.wikipedia.org/wiki/Linguagem

130

e Kuzinak (2003) argumentam que enquanto o primeiro estudo apresenta uma

hierarquia de raciocínios, o segundo estudo proposto busca manter uma

coerência interna e baseia-se em teorias homogêneas.

A seguir, discorreremos sobre o quadro dos Paradigmas Geométricos

propostos por Houdement e Kuzniak.

4.2.2 O quadro dos Paradigmas Geométricos apresentados por

Houdement e Kuzniak

Houdement e Kuzniak (1999) afirmam que suas pesquisas se apoiam

nos trabalhos de Gonseth28 (1890-1974), cuja abordagem dialética visa

compreender melhor a construção da geometria na relação com o espaço e o

mundo sensível. Essa abordagem organiza-se em torno de três pilares: a

intuição, a experiência e a dedução.

Fundamentados nos trabalhos de Gonseth, os pesquisadores

Houdement e Kuzniak (1999) desenvolveram três Paradigmas Geométricos por

eles apresentados como: geometria natural (geometria I), geometria axiomática

natural (geometria II) e geometria axiomática formalista (geometria III).

Segundo Houdement e Kuzniak (1999):

A geometria natural (confusão entre geometria e realidade)

funciona como um recurso de validação da realidade e compreende três

aspectos: a intuição, a experiência e a dedução.

Já na geometria axiomática natural (geometria como esquema

da realidade) os recursos de validação se fundem nas leis hipotético-

-dedutivas de um sistema axiomático o mais preciso possível. A relação

com a realidade ainda subsiste no sentido de modelar os conhecimentos

geométricos, quando se leva em consideração a resolução de uma

situação (esquema ou modelo da realidade).

Por fim, na geometria axiomática formalista (independência entre

geometria e realidade) os axiomas não são mais fundamentados sobre a

sensibilidade e a primazia do raciocínio lógico se impõe.

28 Segundo Houdement e Kuzniak (1999), Ferdinand Gonseth (1890-1974) foi um matemático, professor da Escola Politécnica de Zurich, autor da obra Les fondements des mathematiques (1926).

131

Esses autores resumem as características de cada um dos Paradigmas

Geométricos no quadro a seguir:

Quadro 9. Diferentes aspectos dos Paradigmas Geométricos

Geometria Natural Geometria axiomática natural

Geometria axiomática formalista

Intuição Sensibilidade, ligação da percepção enriquecida pela experiência.

Relacionada com as figuras

Interna aos matemáticos

Experiência Relacionada ao espaço mensurável.

Esquema da realidade Do tipo lógico

Dedução Próximo do real e ligada à experiência pela visão

Demonstração fundamentada sobre os axiomas.

Demonstração fundamentada sobre os axiomas.

Tipo de Espaço Espaço intuitivo e físico Espaço físico-geométrico

Espaço abstrato euclidiano

Situação do desenho

Objeto de estudo e validação

Ferramenta para investigar e conjecturar

Ferramenta heurística

Aspecto privilegiado

Evidência e construção Propriedade e demonstração

Demonstração e relação entre os objetos

Fonte: Houdement e Kuzniak (1999, p. 19).

Segundo Houdement e Kuzniak (1999), a análise de uma figura do tipo

perceptiva está relacionada com a intuição em seu primeiro sentido (apreensão

de um objeto de acordo com a visão) e depende dos conhecimentos do sujeito

que analisa a figura. Parzysz (2006, p. 129, tradução nossa) afirma que “uma

das finalidades do ensino de geometria no curso obrigatório é fazer com que os

alunos passem de uma “geometria de observação” para uma “geometria de

demonstração””, argumentando, ainda, que Van Hiele distingue dois níveis de

apreensão das formas geométricas: o nível inferior (visual) e o nível superior

(descritivo). Nesse sentido, segundo Parzysz a noção de figura é um elemento

central e incontornável na prática nesses níveis.

4.2.3 O quadro teórico dos Paradigmas Geométricos apresentado

por Parzysz

Apoiado em estudos anteriores e em resultados das pesquisas de sua

equipe, Parzysy (2006) propõe um quadro teórico que comporta quatro

Paradigmas Geométricos divididos em dois grupos: geometrias não

axiomáticas e geometrias axiomáticas. O primeiro grupo compreende os

paradigmas G0 (geometria concreta), o qual não é uma geometria propriamente

132

dita e cujos objetos são realizações materiais e, G1 (geometria espaço-gráfica)

que se apoia em situações concretas. O segundo engloba os paradigmas G2

(geometrias proto-axiomáticas) sendo essa uma geometria axiomática que tem

como referência o “real” e, por fim, G3 (geometria axiomática) onde a

axiomatização é completamente explicitada. Sintetizando sua proposta, o autor

apresenta o seguinte esquema:

Quadro 10. Síntese da classificação dos paradigmas apresentados por Parzysz

Geometrias não axiomáticas Geometrias axiomáticas

Tipo de

geometria

Geometria

concreta (G0)

Geometria

espaço-gráfica

(G1)

Geometria

proto-axiomática

(G2)

Geometria

axiomática (G3)

Objetos Físicos Teóricos

Validações Perceptivas Dedutivas

Fonte: Parzysz (2001, p.101)

Segundo Parzysz (2006, p.102) “no nível do ensino obrigatório, G1 e G2

têm um papel crucial na construção pelo aluno de sua relação com os saberes

da geometria” (tradução nossa). Em consonância com esse autor, os PCN no

3º ciclo do Ensino Fundamental sugerem que “as atividades geométricas

centrem-se em procedimentos de observação, representações e construções

de figuras, bem como o manuseio de instrumentos de medidas que permitam

aos alunos fazer conjecturas sobre algumas propriedades dessas figuras”

(BRASIL, 1998, p. 68). Por outro lado, ainda de acordo com os PCN, no 4º

ciclo,

os problemas de geometria vão fazer com que o aluno tenha seus primeiros contatos com as necessidades e as exigências estabelecidas por um raciocínio dedutivo. Isso não significa fazer um estudo absolutamente formal e axiomático da Geometria. (BRASIL, 1998, p. 86).

Em termos de recomendações curriculares observamos que, no 3º ciclo,

é requerida do estudante a compreensão dos objetos geométricos de forma

perceptiva, isto é, uma geometria que se apoia em situações “concretas”, numa

transição de G0 para G1. No 4º ciclo, a sugestão dos PCN expõe uma fase de

transição de G1 para G2, esperando-se que, no final desse último, o aluno já

tenha condições de reconhecer a validação de forma dedutiva.

133

Como nossa proposta de estudo se restringe aos 3º e 4º ciclos do

Ensino Fundamental, manteremos nosso foco nas geometrias G0, G1 e G2

seguindo a proposta de geometria paradigmática de acordo com Parzysz

(2001; 2006). Outro motivo para nos atermos a essas geometrias está

relacionado com o objeto matemático por nós escolhido –, a simetria ortogonal

– que evoca naturalmente a referência ao real de uma forma perceptiva (G0) e

mesmo quando esse conteúdo é referenciado em um sistema lógico-dedutivo

(geometria euclidiana) a “figura” toma um sentido de raciocínio geométrico

heurístico (num movimento duplo 21 GG ), isto é, ela assume a função de

auxiliar na construção de conhecimentos lógico-dedutivos.

Utilizando esse quadro teórico, vejamos como podemos observar as

características da proposta de Parzysz (2001), aplicadas ao exemplo 1

analisado na seção anterior, isto é, o que podemos esperar de um indivíduo

que esteja transitando nas geometrias G0, G1 e G2.

Quadro 11. Aplicação do quadro dos Paradigmas Geométricos ao exemplo 1.

Tipo de geometria

Validação Caracterização da geometria

G0

A ligação com a realidade faz com que o estudante imagine uma folha de papel dobrada ao meio, o uso da régua graduada seria para comparar as

medidas da figura objeto AB ao eixo e do eixo à figura

imagem A´B´ construída por sobreposição. A posição do eixo de simetria contribui de forma perceptiva para o êxito na execução da tarefa. Aqui fica evidente a percepção global da figura. A validação é feita visualmente.

G1

O estudante poderá utilizar como instrumentos de desenho a régua graduada, esquadro e o compasso para construir a figura imagem, levando em consideração seus conhecimentos de propriedades como equidistância e ortogonalidade com relação ao eixo. A percepção pontual poderá ser notada no ato da construção. A validação tem como base as

134

técnicas de construção apoiada no uso instrumentos.

G2

Demonstração: Pela definição de simetria ortogonal, temos que a imagem do ponto B com relação à reta r é o ponto B' não pertencente a

r, tal que r é a mediatriz do segmento 'BB , logo

'BBr e )B'd(r,B)d(r, . Da mesma forma, a

imagem do ponto A com relação à reta r é

ponto A' não pertencente a r, tal que, r é a

mediatriz do segmento 'AA , logo 'AAr e

A´)d(r,A)d(r, , portanto

rdrd ,B'A',AB . Provemos, agora, que os

segmentos AB e 'BA' são congruentes. Sejam

C e D pontos sobre a reta r tal que C está

entre B e B' e B'BC C , D está entre A e A'

tal que DA'AD .

Observamos que os triângulos BCD e CDB'

são congruentes pelo critério LAL, pois o lado

CD é comum aos dois e os ângulos DCB

e

DCB'

são retos. Por outro lado, notemos que

os triângulos ABD e DBA '' também são congruentes pelo critério LAL, uma vez que,

''BD DB e os ângulos 'BDA

e BDA

'

também são congruentes, pois são opostos pelo vértice.

Portanto, os segmentos AB e 'BA' são congruentes.

A construção da figura é apenas uma forma de auxiliar na justificativa que vem da utilização na geometria euclidiana plana de definições, axiomas, teoremas e propriedades para demonstrar que a figura construída é simétrica à figura-objeto. Nesse caso, a invariância dessas propriedades é observada e a percepção da figura se dá pontualmente.


Segundo Parzysz (2006), essas geometrias, do ponto de vista didático,

diferenciam-se uma da outra na ruptura do contrato didático29. Assim, a

passagem de G0 para G1 coloca em evidência a materialidade dos objetos em

29 O contrato didático aqui é entendido no sentido de Brousseau, isto é, “como conjunto de comportamentos específicos do professor esperado pelos alunos, e o conjunto de comportamentos dos alunos esperado pelo professor”. (ALMOULOUD, 2007, p.89)

135

jogo (no exemplo acima o objeto traçado na folha de papel), a passagem de G1

para G2 deixa evidente a justificativa pela percepção (o uso do compasso e

régua graduada para aferir as distâncias), a passagem de G2 para G3 expõe a

necessidade dedutiva das propriedades julgadas “evidentes”. Este autor ainda

pontua que, G1 e G2 são susceptíveis de ações de controle uma sobre a outra

e exemplifica:

G2 controla G1: se uma contradição perceptiva é identificada na “figura” (G1), pode-se investigar em G2 o erro de demonstração que a produziu. G1 controla G2: se a conclusão de um raciocínio geométrico surpreende, o retorno à figura e as técnicas de G1 pode permitir confirmar ou enfraquecer esse resultado. (PARZYSZ, 2006, p.133, tradução nossa)

Portanto, para esse autor a resolução de um problema geométrico pode

consistir em uma sucessão de idas e voltas entre as geometrias G1 e G2, nas

quais a “figura” é um elemento central. Nesse processo, as figuras têm um

papel importante e antagônico, pois elas podem tanto constituir uma ajuda no

sentido de propiciar a construção de conjecturas, quanto um obstáculo à

demonstração no sentido perceptivo (visual). Observemos um exemplo

fornecido pelo autor sobre a alternância entre G1 e G2 na resolução de um

problema:

G1G2: modelagem de um problema “concreto”

G2G1: construção de um desenho com objetivo heurístico

G1G2: demonstração de uma conjetura resultante da observação

G2G1: “verificação”, sobre um desenho de uma conclusão teórica.

(PARZYSZ, 2006, p.137)

Segundo esse autor, coloca-se em funcionamento, nesse caso, o que

ele chamou de “dialética sabido/percebido”, a qual foi introduzida com o

propósito de representação do espaço em geometria. A dialética

sabido/percebido proposta por Parzysz pode ser sintetizada da seguinte forma:

“o sabido refere-se a uma leitura da representação gráfica do objeto geométrico

tendo em vista suas propriedades. [...] A percepção apenas dos elementos e de

suas relações visíveis na representação gráfica se relaciona com o visto.”

(DIAS, 2009, p. 27).

136

Ainda sobre a dialética sabido/percebido, de acordo com Parzysz (2001),

podemos imaginar que não existe dificuldade no caso de figuras planas, pois

podemos, em princípio, construí-las tais como elas são, isto é, o sabido

coincide com o visto. Levando em consideração a simetria ortogonal,

concordamos com Dias (2009), ao afirmar que essa dialética aparece

associada “às questões de representação de objetos segundo enunciados,

dados de problemas geométricos ou à leitura particular de desenhos que

acompanhem tais enunciados” (p. 27)

Apresentamos no Quadro 12, uma articulação entre os quadros teóricos

desenvolvidos Van Hiele, Parzysz, Houdement e Kuzniak.

Quadro 12. Articulação entre os estudos desenvolvidos por Parzysz, Van Hiele, Houdement e Kuzniak.

Geometrias não

axiomáticas Geometria axiomática

Parzysz Tipo de geometria

G 0 (concreto)

G 1 (espaço gráfico)

G 2 (Proto-axiomático)

G 3 (axiomático)

Objetos Físicos (empíricos) Teóricos

Van Hiele Níveis de

pensamento Nível 0 Nível I Nível II Nível III Nível IV

Houdement e Kuzniak

Paradigmas Geométricos

GI GI G II e GIII G II e G III G III

Fonte: Adaptado pela autora segundo as observações de Parzysz (2001, p.100)

Podemos observar, pelo Quadro 12, que os níveis 0 e I integram as

geometrias não axiomáticas (G0 e G1) no sentido de Parzysz (2001; 2006), ao

mesmo tempo que esses níveis compõem a geometria I (GI) dos Paradigmas

Geométricos propostos por Houdement e Kuzniak (1999), os quais afirmam

que nessa geometria os objetos são considerados apenas sob seu aspecto

físico (relacionados à realidade). O nível II é uma espécie de nível intermediário

entre as geometrias não axiomáticas e axiomáticas, isto é, nesse nível, o

estudante pode transitar entre objetos físicos e teóricos.

Já o nível III, segundo Houdement e Kuzniak (2003), continua a ser um

nível de transição em seu componente dedutivo e sistema axiomático; por isso,

nesse nível o aluno apresenta aspectos característicos dos paradigmas GII e

GIII propostos por esses autores.

O nível IV é associado à G3 (GIII) tanto nos estudos propostos por

Parzysz (2001; 2006), que o classifica como tipo de geometria, quanto nas

pesquisas de Houdement e Kuzniak (1999) que o classificam como paradigma

137

geométrico. Esses autores convergem com relação ao papel das

representações figurais, cuja importância remete à investigação dedutiva sobre

a validade de conjecturas.

O Quadro 11, apresentado anteriormente, nos fornece uma ideia do

desenvolvimento do quadro apresentado por Parzysz e o papel central que a

figura toma na construção de conhecimentos geométricos.

4.3 Uma articulação entre o quadro dos Paradigmas Geométricos

proposto por Parzysz e a Teoria das Situações Didáticas de

Brousseau

Apresentamos nas seções anteriores, de forma independente, o quadro

dos Paradigmas Geométricos e parte da Teoria das Situações Didáticas,

evidenciando como ambos os modelos teóricos podem ser relevantes para o

nosso estudo. O objetivo dessa seção é apresentar uma possível articulação

entre esses modelos teóricos, cuja finalidade é servir de suporte para nossa

análise de dados.

Um aspecto em que os dois quadros se encontram é a noção de

contrato didático estabelecido entre professores e alunos, já que a

diferenciação entre os tipos de geometrias é caracterizada por rupturas de

contrato, que são produzidas entre uma e outra geometria. Então, podemos

afirmar que o tipo de situações-problema e os procedimentos de sua resolução

vão depender do contrato didático estabelecido que dita regras ou estratégias

de resolução requeridas do aluno e aceitas pelo professor como meio de

validação.

Essa afirmação pode ser observada no exemplo 1 que propõe a

construção de figura simétrica apresentado nas seções anteriores, em que a

diferenciação dos tipos de geometria (G0, G1 e G2) está relacionada aos

objetos e ao tipo validação. Por outro lado, como as geometrias são suscetíveis

de controle uma sobre a outra, observamos que, durante uma mesma atividade

(ou uma sequência de atividades), a interação entre sujeitos e milieu pode

ocorrer na passagem de uma geometria para outra.

No caso de situações-problema envolvendo a simetria ortogonal,

podemos comparar a situação S-3 à geometria G0. Nessa situação, o milieu M-

138

3 é formado por objetos “concretos”: físicos (papel quadriculado, papel

decalque, espelho, uma figura desenhada no papel) ou não (transformação

geométrica, simetria ortogonal, construção geométrica, mediatriz, distância

entre ponto e reta, etc), objetos mínimos disponíveis para que o aluno E-3

possa começar a agir numa situação adidática. A validação local é feita de

forma perceptiva, por meio de medições, comparações e sobreposições.

Na situação S-2, o milieu M-3 e a situação S-3 constituem o milieu M-2,

sobre o qual o aluno E-2 age, comparando com G1, os objetos ainda são

concretos (forte ligação com o real) e a validação local perceptiva. As

conjecturas são formuladas baseadas nas figuras construídas e sua validação

local se dá por meio da verificação de propriedades utilizando instrumentos de

medida.

Tecendo um paralelo entre S-1 e G2 identificamos os objetos como

teóricos, mas com referência ao real, e à validação do tipo perceptivo-

-dedutiva. Nesse caso, o aluno E-1 age sobre o milieu M-1, formado pelo milieu

M-2 e a situação S-2, buscando justificativas matemáticas por meio de

definições, teoremas e propriedades. Ainda em G2, temos a institucionalização,

momento em que o professor P0 em interação com os alunos E0 age sobre o

milieu M0, no qual estão validadas localmente as conjecturas elaboradas pelos

alunos. Nessa institucionalização é feita uma validação global, o saber

construído fica disponível para a turma. O Esquema a seguir ilustra esta

articulação entre os quadros teóricos.

Figura 35. Articulação entre os quadros teóricos

139


O conflito sabido/percebido tende a aparecer entre as fases de

formulação e validação (no sentido de Brousseau), isto é, entre as situações S-

2 e S-1, quando os sujeitos colocam em julgamento seus argumentos, isto é,

as conjecturas formuladas, momento em que as dificuldades podem se tornar

aparentes e ser resolvidas na interação do grupo.

Neste trabalho, apesar de os quadros teóricos poderem ser articulados

em determinadas fases, eles foram utilizados de forma que um complemente o

outro, enquanto a Teoria das Situações Didáticas auxilia na compreensão dos

processos de ensino e de aprendizagem, por um lado no estudo e na análise

das várias etapas da atividade do professor e por outro, da atividade do aluno

caracterizada, principalmente, pela interação com o milieu. Esse processo é

finalizado com a interação entre alunos e professores que produzem

conhecimentos de diferentes aspectos pelas ambas as partes.

O quadro dos Paradigmas Geométricos orienta de forma específica o

estudo do desenvolvimento do pensamento geométrico dos sujeitos, em que se

busca compreender a influência da ação do professor por meio da proposta

adequada de situações-problema no estabelecimento da relação entre

percepção e dedução.

No próximo capítulo, apresentaremos a metodologia e os procedimentos

metodológicos utilizados na pesquisa.

140

141

CAPÍTULO 5

METODOLOGIA E PROCEDIMENTOS

METODOLÓGICOS

Visando alcançar nossos objetivos e responder nossa questão de

pesquisa, escolhemos a Engenharia Didática (ARTIGUE, 1995) como

metodologia de pesquisa e buscamos apoio nas contribuições de Schön (2000)

para construir um ambiente de ação e reflexão, sobretudo nas

experimentações com os professores. Neste capítulo, apresentamos de modo

breve as fases de uma Engenharia Didática e a descrição dos procedimentos

de coleta de dados adotados para a execução da parte experimental da

pesquisa. Por fim, apresentamos, ainda, o campo e os sujeitos da pesquisa.

5.1 A Engenharia Didática e a formação de professores

Para entender o que ocorre durante o processo que envolve professores

num trabalho de ação e reflexão sobre a ação, acreditamos que nossos

objetivos e o problema proposto para este trabalho, nos aproximaram de uma

pesquisa do tipo qualitativo. Segundo D´Ambrósio (2002, p. 10), a pesquisa

qualitativa “[...] tem como foco entender e interpretar dados e discursos, mesmo

quando envolve grupos de participantes”.

O foco da pesquisa é estudar os processos de ensino e de

aprendizagem acerca do objeto matemático simetria ortogonal. Acreditamos

que a construção de um ambiente de ação e reflexão em cooperação com

professores de Matemática em uma escola da rede pública de ensino da

cidade de Jequié, na Bahia, permitirá estudar alguns elementos da prática dos

professores, sujeitos da pesquisa. Para tanto, identificamos como metodologia

142

de pesquisa para este estudo a Engenharia Didática. A escolha foi fortalecida

com os argumentos de Chesnais (2009) sobre a necessidade de seu estudo

ser confrontado com outros cenários como, por exemplo, os de uma

Engenharia Didática e pela necessidade de investigar como uma formação de

professores influenciaria na prática deles.

A Engenharia Didática é uma metodologia de pesquisa do tipo

qualitativa, de cunho experimental, que surgiu com a Teoria das Situações

Didáticas, cujo objetivo é produzir conhecimento na área de Educação

Matemática e verificar se os métodos criados são eficientes. Segundo Artigue

(1995), ela é processada a partir de quatro fases, descritas abaixo com

adequação ao nosso quadro de estudo.

Primeira fase: composta dos estudos preliminares que se apoiam num

quadro teórico e os conhecimentos adquiridos sobre o tema estudado. Nesse

sentido, realizamos o estudo do objeto matemático por meio de uma breve

investigação histórica sobre as transformações geométricas, mais

especificamente sobre a simetria ortogonal; efetuamos um estudo do objeto

simetria ortogonal do ponto de vista geométrico e algébrico; realizamos, ainda,

uma investigação sobre alguns trabalhos desenvolvidos no Brasil e na França

que envolviam o ensino e a aprendizagem da simetria ortogonal.

Apresentamos, também, nessa fase, o referencial teórico composto pelo

quadro dos Paradigmas Geométricos no sentido de Parzysz (2001; 2006) e a

Teoria das Situações Didáticas, proposta por Brousseau (1997) e Margolinas

(2002). Foi feito um estudo da simetria ortogonal à luz da Ecologia do Didático,

em que analisamos como esse objeto é tratado nos documentos curriculares e

em alguns livros didáticos. Finalmente, apresentamos o perfil dos professores,

sujeitos da pesquisa, levando em consideração formação docente,

desenvolvimento profissional e a prática docente (no que se refere ao ensino

de geometria);

Segunda fase: é a fase de concepção e análise a priori de situações

didáticas reguladas por variáveis de comando, as quais são divididas em dois

tipos: as variáveis macro-didáticas (globais) que consistem na organização

global da engenharia e as variáveis micro-didáticas (locais) que consistem na

organização de uma fase ou sessão da Engenharia Didática. Nessa fase,

construímos uma sequência didática sobre a simetria ortogonal, cujo objetivo

143

era a aplicação aos professores de Matemática e, posteriormente, a alguns de

seus alunos, sujeitos da pesquisa. Realizamos a análise, a priori, do conjunto

de atividades que compunha a referida sequência didática e, para tal,

utilizamos a Teoria das Situações Didáticas, associada, por meio de nossa

proposta de articulação, ao quadro dos Paradigmas Geométricos.

Terceira fase (Experimentação): é o momento da aplicação das

situações de ensino concebidas e analisadas na fase anterior. Essa fase foi

dividida em três momentos. No primeiro momento, a experimentação com os

professores, em que esses resolveram, analisaram e discutiram por meio de

um debate coletivo a sequência didática pré-elaborada. No segundo momento,

a aplicação da sequência didática, analisada e modificada pelos professores, a

alguns de seus alunos, que cursavam o 8º ano do Ensino Fundamental. Nesse

momento, espera-se que um componente essencial do contrato didático, a

devolução, venha à tona. No terceiro e último momento, a análise dos

professores nos registros fornecidos pelos alunos ao resolverem as atividades

propostas na sequência didática. Durante a experimentação, a coleta de dados

se deu por meio das produções escritas de alunos e professores, gravações de

áudio das reuniões com os docentes e questionários aplicados aos

professores.

Quarta fase (Análise a posteriori e validação): nessa fase, analisamos

os dados coletados em comparação com a análise a priori. Este é o momento

de validar ou refutar as hipóteses consideradas. A fase foi dividida em quatro

partes. Na primeira, fizemos a análise, a posteriori, das respostas dos

professores ao conjunto de atividades que compunha a sequência didática. Na

segunda parte, apresentamos a análise das respostas dos docentes ao

questionário discursivo que propunha uma análise das atividades da sequência

didática e dos dados produzidos, por meio do áudio gravado nos debates

coletivos. Na terceira, fizemos a análise, a posteriori, dos registros dos alunos

da mesma sequência didática, porém, analisada e modificada pelos

professores. A quarta e última parte consta de uma reflexão sobre a análise

dos professores a propósito dos registros dos alunos frente à sequência

didática aplicada.

Para o desenvolvimento da terceira fase, apoiamo-nos nas contribuições

de Schön (1995; 2000) com o objetivo de criar um ambiente em que, durante a

144

resolução e análise do conjunto de atividades que compõe a sequência didática

e dos registros dos alunos ao responderem as questões, os professores

fossem capazes de refletir sobre sua prática. Esse autor considera que o

conceito de reflexão sobre a prática envolve um movimento triplo apoiado no

conhecimento-na-ação, na reflexão-na-ação e na reflexão-sobre-a-ação.

Em relação ao conhecimento-na-ação, Schön (2000), refere-se aos

tipos de conhecimentos revelados nas ações inteligentes, caso em que o ato

de conhecer está na ação. Sendo assim, conhecer sugere a qualidade

dinâmica de conhecer-na-ação que, ao serem descritas, são convertidas em

conhecimento-na-ação. Na escola, o professor deve ajudar o aluno a articular o

seu conhecimento-na-ação com o saber escolar, o que pode ser feito no

planejamento de situações de ensino adequadas.

A Reflexão-na-ação é uma reflexão no meio da ação sem interrompê-la,

que serve para dar nova forma ao que se está fazendo. Num processo de

reflexão na ação, o professor permite-se ser surpreendido pelo que o aluno faz;

procura compreender a razão pela qual foi surpreendido; reformula o problema

suscitado pela situação de ensino; coloca uma nova questão ou estabelece

uma nova tarefa para testar a hipótese que formulou sobre o modo de pensar

do aluno.

A Reflexão-sobre-a-ação é um pensar retrospectivo sobre a ação. Após

o experimento, o professor pode pensar no que aconteceu e observou, no

significado dado aos acontecimentos e, por conta disso, adotar outros

procedimentos.

Segundo Schön (1995), o processo de reflexão na ação não exige

palavras; por outro lado, refletir sobre a reflexão-na-ação é uma ação, uma

observação e uma descrição que exige o uso de palavras.

De acordo com Perez, Costa e Viel (2002, p.54, grifo do autor) “a

reflexão é vista como um processo em que o professor analisa sua prática,

compila dados, descreve situações, elabora teorias, implementa e avalia

projetos e partilha suas ideias com colegas e alunos, estimulando discussões

em grupo”.

Almeida (2003) avalia que, durante um processo de formação, o

educador pode vivenciar vários papéis, como o de aprendiz, o de observador

da atuação de outro educador, o de gestor de atividades desenvolvidas no

145

grupo e o de mediador junto com os outros aprendizes. Nesse momento, cada

componente do grupo é levado a refletir sobre sua prática.

Na fase final da pesquisa, utilizamos o conceito proposto por Schön

(2000) a respeito da reflexão sobre a prática, e o modelo de níveis da atividade

do professor, proposto por Margolinas (2002), para analisar a visão dos

docentes, sujeitos da pesquisa, durante e após as investigações.

5.2 A produção e coleta de dados

A coleta de dados ao longo da pesquisa foi constituída pelas seguintes

etapas:

Questionários aplicados aos professores: são dois instrumentos: o primeiro é

constituído por questões, cujo objetivo é traçar o perfil dos docentes e questões

referentes ao desenvolvimento profissional. O segundo instrumento tem por

finalidade levantar informações sobre a prática docente, quando se levam em

consideração o ensino de geometria, as dificuldades nos processos de ensino

e de aprendizagem e as estratégias utilizadas para minimizar tais dificuldades.

Instrumento aplicado aos professores: é composto da sequência didática pré-

-elaborada, referente à simetria ortogonal e a questões em que se propõe a

análise didática (e/ou modificação) do conjunto de atividades que compõe a

sequência didática. Na primeira, o objetivo é identificar as concepções de

professores quanto ao ensino da simetria ortogonal. Já as questões discursivas

têm por finalidade principal instigar o professor a refletir sobre a própria prática

e preparar-se para as próximas fases da pesquisa.

Instrumento aplicado aos alunos: sequência didática composta pelo conjunto

de atividade sobre a simetria ortogonal, analisadas (e/ou modificada) pelos

professores. Nesse caso, o objetivo é identificar e analisar as concepções dos

alunos quanto à simetria ortogonal e relacioná-las às análises realizadas pelos

professores, fazer a análise sobre a atividade do professor no momento da

experimentação e, finalmente, propor aos professores a análise de alguns dos

registros oriundos da aplicação desse instrumento.

Entrevistas com alunos e professores: tiveram como objetivo tirar dúvidas com

relação a algum tipo de dificuldade, tanto dos alunos quanto dos professores e

poderá ocorrer durante a investigação.

146

Além dos instrumentos de coleta de dados apresentados, as reuniões

regulares com os professores de matemática em ambiente escolar, originaram

por meio das gravações de áudio e/ou observações anotadas pela autora, uma

gama de dados que foram produzidos na interação entre a pesquisadora e os

professores pesquisados. Um desses dados foi a produção coletiva, pelos

professores, de mapas conceituais sobre simetria, que foi solicitado após uma

discussão proposta pela pesquisadora sobre a utilização de mapas conceituais

no ensino de matemática.

5.3 O campo e os sujeitos da pesquisa

5.3.1 A escola

A unidade escolar escolhida está localizada na região central da cidade

de Jequié no sudoeste Baiano. A cidade possui 161.52830 habitantes e está

localizada a 365 km de Salvador, no sudoeste da Bahia, na zona limítrofe entre

a caatinga e a zona da mata. O primeiro critério para a escolha da escola,

cenário de nossa pesquisa, era o de que a unidade pertencesse à rede pública

de Educação Básica. Outro motivo determinante para a escolha da escola foi o

acolhimento que recebemos pela coordenação pedagógica, direção e pelos

professores de Matemática, ali lotados.

A escola foi fundada em maio de 1994 e passou por um período de

mudança em 2006. Pregando disciplina e compromisso com a educação, ela

vem conquistando um lugar de destaque no ensino público da cidade. Isso

pode ser percebido por meio do Índice de Desenvolvimento da Educação

Básica - IDEB31 que, em 2005 fora observado como 1.8 e em 2013 passou

para 5.2. Com 1055 alunos distribuídos nos três turnos (manhã, tarde e noite),

a escola oferece o Ensino Fundamental II e Ensino Médio, utilizando nos três

períodos 13 salas de aula. Essa unidade educacional possui ainda, à

disposição dos alunos, uma biblioteca e um laboratório de informática que, no

momento, passa por reestruturação.

30 Dados do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística – IBGE disponível em < http://cidades.ibge.gov.br/xtras/temas.php?lang=&codmun=291800&idtema=130&search=bahia|jequie|estimativa-da-populacao-2015->, acesso 13 out. 2015. 31 Dados do Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira - INEP disponível em <http://ideb.inep.gov.br/resultado/>, acesso 09 set 2014.

http://pt.wikipedia.org/wiki/Salvador_(Bahia)

http://pt.wikipedia.org/wiki/Caatinga

http://pt.wikipedia.org/wiki/Zona_da_mata

147

As reuniões com os professores são realizadas no horário destinado às

Atividades Complementares (A.C.), quinzenalmente, nas dependências da

própria escola. Os encontros são realizados na sala dos professores, por um

tempo máximo de 01h 30 min.

5.3.2 Caracterização dos sujeitos

Nossa primeira abordagem com os professores foi realizada em 10 de

setembro de 2013, com uma visita, em que apresentamos, por meio de um

PowerPoint, nossa proposta de pesquisa e fizemos o convite de participação

dos docentes. Nesse primeiro contato, conversamos com os professores sobre

o ensino de geometria e eles declararam que na escola os conteúdos de

geometria foram trabalhados, até o ano de 2009, como uma disciplina

separada dos outros conteúdos de Matemática em todas as séries do Ensino

Fundamental II.

Atualmente, somente o 8º ano tem uma disciplina de geometria e outra

de Matemática. O motivo dessa escolha seria pelo fato de que esse ano

escolar é considerado pelos professores de Matemática como período de

transição para os alunos na passagem da aritmética para a álgebra. Foi, ainda,

nesse encontro, que deixamos claro o caráter acadêmico de nosso trabalho e a

participação em regime voluntário dos convidados. Observamos que os quatro

professores sujeitos da pesquisa são todos docentes efetivos do Estado da

Bahia e estão lotados na escola.

O segundo encontro com os professores, em 01 de outubro de 2013, foi

dividido em dois momentos. No primeiro, apresentamos o Termo de

Consentimento Livre e Esclarecido (TCLE)32 que foi lido, discutido e

prontamente assinado pelos docentes. No segundo momento, solicitamos aos

professores que respondessem um questionário, cujo objetivo era traçar o perfil

deles mesmos. Esse primeiro instrumento de coleta de dados constava de sete

questões, das quais as quatro primeiras eram:

32 O projeto que deu origem a esta tese foi aprovado pelo comitê de Ética da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, por meio do sistema Plataforma Brasil sob nº 13563713.2.0000.5482, cujo Termo de Consentimento Livre e Esclarecido consta nos anexos deste trabalho.

148

Quadro 13. Quatro primeiras questões do questionário 1 aplicado aos professores

Questão 1 Questão 2 Questão 3 Questão 4

Atualmente sou professor do(s): ( ) Anos iniciais do Ensino Fundamental ( ) Anos finais do Ensino Fundamental ( ) Ensino Médio.

Você tem ____anos de experiência como professor. E como professor de Matemática?_____

Qual a sua formação profissional? Graduação _______ Especialização ____ Outros___________

Você possui uma segunda formação a nível universitário? Qual_____________

Fonte: Elaborado pela pesquisadora

Nosso objetivo com a primeira questão era identificar os professores que

atuavam no Ensino Fundamental II, já que nossa pesquisa é direcionada para

docentes que atuam nesse nível de ensino. Nossa intenção ao questionar

quantos anos de experiência tinham os professores, era identificar se eles

vinham de uma formação recente ou não, uma vez que, “[...] trabalhar remete a

aprender a trabalhar, ou seja, a dominar progressivamente os saberes

necessários à realização do trabalho” (TARDIF, 2011, p.57). Como em

qualquer outra profissão, o tempo de professorado exerce forte influência sobre

a prática docente.

A necessidade de planejar as fases de experimentação foi o principal

motivo de indagarmos aos professores sobre sua formação profissional e se

eles possuíam outra formação de nível superior. No Quadro 14, apresentamos

uma síntese das respostas dos professores sobre a formação acadêmica e,

para garantir o anonimato dos participantes utilizamos nomes fictícios:

Quadro 14. Formação dos docentes sujeitos da pesquisa.

Nome Graduação Experiência

Docente (anos)

Nível de Atuação

Disciplinas relacionadas à geometria cursadas na graduação

Pós – Graduação

Lato Sensu

Stricto Sensu

Jacinto

Licenciatura em

Matemática e

Licenciatura em Química

13

Ensino Fundamental II e Ensino

Médio

Geometria plana, Geometria Espacial e Geometria Analítica.

Ensino de Ciências

Mestrando em

Matemática

Margarida Licenciatura

em Matemática

18 Ensino

Fundamental II

Geometria Plana e geometria analítica

Ensino de Matemática

----

149

Narciso Licenciatura

em Matemática

16


Médio

Fundamentos II, Geometria Analítica I e Geometria Analítica II, Desenho Geométrico.

Educação Matemática

Mestrado em

Matemática

Rosa Licenciatura

em Matemática

10


Médio

Álgebra Linear I e Álgebra Linear II, Cálculos, Geometria Analítica I e Geometria Analítica II.

Ensino de Matemática

---

Fonte: Dados da pesquisa

Por meio do Quadro 14, é possível observar a preocupação dos

professores em relação à continuidade de sua formação, pois todos têm pós-

-graduação Lato Sensu na área de ensino; um deles terminou há pouco tempo,

o mestrado em Matemática e outro o está cursando. Ao inquirir sobre as

disciplinas relacionadas à geometria, cursadas na graduação, temos em

comum geometria plana e geometria analítica, e apenas um professor cita a

disciplina geometria espacial, o que mostra estar em consonância com as

Diretrizes Curriculares para a Licenciatura em Matemática, pois, segundo Gatti

e Barreto (2009, p.143), “os conteúdos considerados comuns a esses cursos

de Licenciatura são: Cálculo Diferencial e Integral, Álgebra Linear,

Fundamentos de Análise, Fundamentos de Álgebra, Fundamentos de

Geometria e Geometria Analítica”.

Complementado o Quadro 14, sobre a formação docente, perguntamos

aos professores, se durante sua vida profissional eles já haviam feito algum

curso de capacitação ou formação de professores, por conta própria ou por

intermédio da Secretaria Estadual de Educação, que cursos foram esses e o

que eles se lembravam das discussões provenientes desses cursos. No

Quadro 15, as respostas dos professores:

150

Quadro 15. Respostas dos professores sobre cursos realizados

Professores Cursos realizados pelos docentes

Jacinto Sim. Gestar33

Margarida Sim. Metodologia de Ensino de Matemática, Mídias, EJA, Gestar, etc.

Narciso Sim. Curso de Mídias digitais foi discutido as possíveis mídias que podem ser

usadas como ferramenta de ensino.

Rosa Sim. Gestar, EJA, etc. Recordo-me das abordagens sobre as metodologias

da Educação Matemática.

Fonte: dados da pesquisa.

O Quadro 15 mostra que os docentes participam de cursos de

capacitação ou formação continuada oferecidos pela Secretaria Estadual de

Educação, mas, ao responder o quanto se lembram desses cursos, deram

respostas superficiais ou não responderam, o que não é de se estranhar, pois

uma

razão comumente invocada nos estudos críticos sobre formação continuada é a limitada, senão ausente, participação dos professores na definição de políticas de formação docente, como categoria profissional, e na formulação de projetos que têm a escola e o seu fazer pedagógico como centro. Nestas condições, eles não se envolvem, não se apropriam dos princípios, não se sentem estimulados a alterar sua prática, mediante a construção de alternativas de ação, ao mesmo tempo em que se recusam a agir

como meros executores de propostas externas. (GATTI; BARRETTO,

2009, p. 201)

Gatti e Barreto (2009) ainda citam outras razões para as dificuldades

impostas à formação continuada, promovidas por meio de políticas públicas.

Dentre elas, estão: a dificuldade da formação em massa, a brevidade dos

cursos realizados nos limites dos recursos financeiros destinados e a

dificuldade de fornecer os instrumentos e o apoio necessários para a

realização das mudanças esperadas.

33 O Programa Gestão da Aprendizagem Escolar oferece formação continuada em Língua Portuguesa e Matemática aos professores dos anos finais (do sexto ao nono ano) do Ensino Fundamental, em exercício nas escolas públicas. A formação possui carga horária de 300 horas, sendo 120 horas presenciais e 180 horas a distância (estudos individuais) para cada área temática. O programa inclui discussões sobre questões prático-teóricas e busca contribuir para o aperfeiçoamento da autonomia do professor em sala de aula. Disponível em <http://portal.mec.gov.br/index.php?option=com_content&view=article&id=12380:gestar-ii&catid =315:gestar-ii&Itemid=642>, acesso 02 dez 2014.

151

As discussões na primeira reunião, sobre trabalhar os conteúdos de

matemática em duas disciplinas, geometria e matemática nos motivaram a

perguntar aos professores: o que você entende por geometria?

Quadro 16. Respostas dos professores à questão: o que você entende por geometria?

Professores Respostas dos professores

Jacinto Parte da matemática que estuda as figuras.

Margarida Parte da matemática que estuda medidas e suas relações.

Narciso A parte da matemática que estuda as propriedades dos objetos

geométricos na natureza.

Rosa É uma área do saber (parte da matemática) que estuda as formas e

dimensões das figuras.


Percebemos, nos registros dos professores, que a geometria é definida

por todos eles como uma parte da Matemática que, de um modo geral, está

relacionada ao estudo das figuras (forma, dimensões) e suas propriedades.

Mesmo vendo a geometria como parte da matemática, os professores ainda

defendem a importância de manter como duas disciplinas a geometria e a

matemática em todos os anos do Ensino Fundamental II. O principal motivo

para essa separação, segundo eles, seria o aumento da carga horária total

destinada à Matemática. Atualmente, a separação permanece apenas no 8º

ano, a carga horária total para os conteúdos de matemática é de 7 horas

semanais, sendo 2 horas para a disciplina geometria e 5 horas para a disciplina

matemática, o que propicia aos professores mais tempo para trabalhar os

conteúdos dessa matéria.

Nossa terceira e última reunião de 2013, foi no dia 22 de outubro, isso

porque os professores precisavam encerrar o ano letivo, ou seja, finalizar as

avaliações discentes e dar sequência ao período de recuperação e provas

finais. Nesse encontro, ao fazer uma breve apresentação sobre mapas

conceituais, percebemos que dois professores já conheciam essa ferramenta.

Após algumas discussões sobre a aplicação dessa ferramenta no ensino

(como ferramenta de aprendizagem, de avaliação, de análise e planejamento

do currículo) e, em particular, no ensino de Matemática, solicitamos aos

professores que confeccionassem um mapa conceitual sobre simetria.

Indicamos aos docentes que utilizassem o software Cmap Tools, fornecemos o

152

site para download, e enviamos, já no final do ano de 2013, alguns artigos

sobre a elaboração de mapa conceitual e sua utilização no ensino.

A proposta inicial foi planejada para que os professores realizassem

individualmente a tarefa, no período do recesso e férias, mas, por motivos

pessoais, em nossa primeira reunião de 2014, dia 04 de março, os docentes

confirmaram que não tinha sido possível fazer o mapa conceitual. Então,

acertamos que na próxima reunião discutiríamos os mapas construídos por

eles. Nessa ocasião, aplicamos o segundo questionário aos professores,

instrumento que será analisado no capítulo 6.

Segundo relato dos professores, no dia 18 de março eles se reuniram no

horário destinado ao A.C. e preferiram organizar-se em um único grupo para

fazer uma construção coletiva do mapa conceitual sobre simetria.

Na reunião de 25 de março, os docentes apresentaram os mapas

conceituais construídos e fizeram uma descrição do processo de construção.

Os mapas conceituais e os procedimentos de sua confecção também são

analisados no capítulo 6.

No dia 15 de abril de 2014, retornamos à escola para apreciação do

texto produzido pela autora com as análises do material colhido/produzido nas

reuniões anteriores junto aos professores, sujeitos da pesquisa. Nesse

encontro, por causa da finalização da primeira unidade, havia na escola apenas

a professora Margarida, a quem apresentamos o texto, sendo por ela, avaliado

e aprovado; quanto aos outros professores, o texto foi enviado por e-mail para

avaliação, tendo sido aprovado com algumas sugestões, como, por exemplo, a

inserção no texto do primeiro rascunho do mapa conceitual por eles produzido.

Essa primeira etapa da pesquisa foi finalizada no dia 10 de junho de

2014, com a avaliação, pelos professores, de todo o processo de construção

do mapa conceitual, tanto em termos de evolução pessoal, quanto do ponto de

vista profissional.

Para facilitar a distinção entre os procedimentos de formação e os de

pesquisa, vamos seguir a proposta de Almeida e Bruno (2004), ou seja,

construir um fluxograma de processos, cuja primeira parte apresentamos na

Figura 36.

153

Figura 36. Fluxograma de processos 1ª parte


No período de 15 de abril a 27 de maio de 2014, estávamos envolvidos

na construção e análise a priori, da sequência didática aplicada aos

professores, o que condiz com a preparação do primeiro experimento a ser

aplicado a eles, ou seja, a 2ª fase da Engenharia Didática.

Apresentamos, a seguir, a continuação do fluxograma de processos com

a 2ª fase da engenharia didática que é caracterizada apenas por

procedimentos de pesquisa.

154



Na reunião do dia 27 de maio, aplicamos aos professores o 3º

instrumento de coleta de dados para ser respondido individualmente. Nossa

intenção era a de que o instrumento fosse respondido no horário de A.C., mas

na escola estava ocorrendo a aplicação das provas da OBMEP34 e a maioria

dos professores estava envolvida naquela atividade. Eles, então, se

dispuseram a responder o instrumento em casa e registrar os procedimentos

de resolução; a discussão e entrega do instrumento respondido seria na

reunião seguinte.

Retornamos à escola, para novo encontro em 10 de junho para

discussão sobre as questões respondidas pelos professores. Nessa ocasião

eles tinham respondido as situações-problema, mas tinham dúvidas quanto às

questões, principalmente aquelas que solicitavam uma análise didática das

situações-problema; não tinham, portanto, terminado de responder ao

instrumento. Esclarecemos as dúvidas e preferimos aguardar até o retorno das

aulas em julho para finalizar essa fase da pesquisa. Na Figura 38,

34 Olimpíadas Brasileiras de Matemática da Escola Pública.

155

apresentamos a terceira parte do fluxograma de processos que consta da 3ª

fase da Engenharia Didática, ou seja, a experimentação35.


Fonte: elaboração da autora

Na reunião do dia 22 de julho, estavam presentes três professores que

confirmaram a leitura do segundo texto com as análises do questionário 2

aplicado a eles e enviado por e-mail, cujo texto foi aprovado pelos docentes. A

reunião prosseguiu com a discussão sobre o conjunto de atividades que

compõem a sequência didática sobre simetria ortogonal e questões que

orientavam as análises delas pelos professores. No final da reunião, os

docentes propuseram algumas modificações no instrumento.

No encontro do dia 19 de agosto, foi apresentada aos professores a

sequência didática por eles analisada com as modificações propostas no

encontro anterior (essas modificações foram discutidas pelos presentes), o

termo de autorização de participação a ser enviado aos pais dos alunos

35 O projeto inicial previa refazer todo o processo de experimentação com a alteração de que todas as etapas seriam executadas pelos professores, sujeitos da pesquisa. Neste caso, a intervenção da pesquisadora seria mínima, por falta de tempo, deixamos este segunda estudo como perspectiva estudos futuros.

156

sujeitos da pesquisa. Finalizamos o encontro com a decisão da data e da turma

em que seria aplicada a sequência didática.

Foi necessário mais um encontro com os professores, no dia 02 de

setembro, antes da aplicação da sequência didática aos alunos, para tratar dos

procedimentos específicos da experimentação. Os professores foram

orientados a evitar, ao máximo, dar respostas aos alunos, pedir aos alunos que

interagissem entre si para incentivar as argumentações, deixar para o momento

final a institucionalização das situações-problema.

Em 09 de setembro, aplicamos aos alunos do 8º ano do Ensino

Fundamental II a sequência didática analisada e modificada pelos professores

nas reuniões anteriores. No momento da experimentação, apenas um

professor participou da aplicação, já que os outros se encontravam em sala de

aula e por isso não puderam participar.

No dia 14 de outubro de 2014, entregamos aos professores, sujeitos da

pesquisa, o material para que efetuassem a pós-análise nos registros de

algumas duplas de alunos sobre a sequência didática a elas aplicada.

A devolução do material produzido pelos professores à pesquisadora

ficou agendada para o dia 11 de novembro de 2014, mas, na ocasião, os

professores não haviam terminado de preencher o quadro síntese, em que

faziam o confronto entre a pré-análise realizada por eles da sequência didática

e as observações efetuadas nos registros de algumas duplas de alunos. Dos

quatro, apenas dois36 professores entregaram no dia 25 de novembro o

material respondido, porém a reunião com os docentes nessa data não

ocorreu, porque eles estavam aplicando provas finais aos alunos da escola.

Com o encerramento do ano letivo, as discussões sobre essa etapa

experimental da pesquisa foram transferidas para o ano de 2015.

No dia 17 de março de 2015, realizamos a reunião que tratou da

discussão sobre a pós-análise efetuada pelos docentes, sobre os

procedimentos e respostas fornecidos por algumas duplas de alunos. Neste

encontro, participaram três professores: Narciso, Margarida e Jacinto.

Aproveitamos a oportunidade para solicitar que os docentes professores

elaborassem de forma independente, uma situação de ensino sobre a simetria

36 Uma professora deixou a pesquisa por entrar em licença maternidade. O material respondido e analisado pelo outro professor foi extraviado por um funcionário da escola.

157

ortogonal, levando em consideração as dificuldades detectadas por eles ao

analisarem os protocolos fornecidos pelas duplas de alunos.

Apesar de termos marcado uma última reunião para o dia 05 de maio,

esta não ocorreu, estando na escola apenas a professora Margarida. O

professor Narciso havia sofrido um acidente na mão e estava afastado de suas

atividades profissionais, porém, havia deixado com a professora Margarida a

atividade solicitada. Recebemos as situações de ensino construídas pelos dois

professores.

Para ilustrar a continuação da 3ª fase da Engenharia Didática

apresentamos, na Figura 39, a continuação da 3ª parte do fluxograma de

processos.

Figura 39. Continuação da 3ª parte do fluxograma de processos


No dia 19 de maio de 2015, realizamos a última reunião com os

professores, sujeitos da pesquisa. Nesse encontro, foi efetuada uma discussão

sobre as situações de ensino propostas pelos próprios professores, provocada

pelos questionamentos por nós proferidos. Finalizando o encontro, pedimos

que os docentes avaliassem o processo investigativo.

158

A quarta e última fase da Engenharia Didática também foi concebida em

quatro etapas. Esta fase também é marcada apenas por procedimentos de

pesquisa. A Figura 40 expõe o desenvolvimento do processo na fase final da

investigação.



Ao todo, foram 18 encontros com os professores de Matemática, na

escola. Naqueles momentos, vivenciamos suas angústias e compartilhamos,

por meio de discussões e reflexões, nossos conhecimentos. No próximo

capítulo, apresentamos os procedimentos iniciais de experimentação.

159

CAPÍTULO 6

PROCEDIMENTOS INICIAIS DE

EXPERIMENTAÇÃO

Neste capítulo, apresentamos os procedimentos iniciais de

experimentação, isto é, a análise de um questionário aplicado aos professores,

sujeitos da pesquisa, em que buscamos elementos sobre a prática docente.

Apresentamos ainda análise de mapas conceituais sobre simetria

confeccionados pelos docentes.

6.1 Análise do questionário relacionado à prática docente

O segundo questionário utilizado para colher dados sobre professores

de Matemática tinha como foco a prática docente. O objetivo da primeira

questão era obter informações sobre onde os professores buscavam subsídios

para o planejamento de suas aulas e indícios da frequência com que isso

acontecia. Na Tabela 2, quantificamos o número de respostas dadas pelos

professores.

Tabela 2. Frequência da utilização de alguns materiais no planejamento das aulas de

matemática

Materiais que utiliza no planejamento das aulas

Frequência

Sempre Às vezes

O livro didático adotado 4

Outros livros 2 2

Obtém atividades via internet

4

Livros e apostilas de cursos realizados

4

Atividades elaboradas pelo próprio professor

2 2

Outros materiais Um dos professores citou softwares matemáticos

Fonte: dados da pesquisa

160

As respostas dos professores, observadas na Tabela 2, confirmam a

preferência unânime desses docentes em utilizar, principalmente, o livro

didático para planejar suas aulas. Acreditamos que o motivo para essa postura

se dê pelo fato de que,

o livro didático não é somente um guia, ou um organizador do currículo para o professor, mas também um recurso de complementação de conhecimentos, sejam eles relativos a conteúdos específicos da disciplina, sejam de propostas metodológicas de ensino. (SILVA, 2010, p.72)

Contudo, as respostas dos docentes ainda apontam que outras opções

como, consulta a outros livros, atividade elaborada pelo próprio professor e

atividades obtidas via internet, também são levadas em consideração com

alguma frequência.

Considerando que a concepção de aprendizagem que o professor

possui influencia diretamente em sua prática profissional (FIORENTINI, 1995),

conforme a Figura 41, questionamos:

Figura 41. Questão 2 referente à concepção de aprendizagem do professor

Fonte: Questionário 2 aplicado aos professores

Nessa questão os professores poderiam, se quisessem, marcar mais de

uma opção. Observamos que os quatro professores marcaram os itens (e) e (f),

cada um dos itens (b), (c) e (d) foi escolhido por dois professores, apenas um

docente marcou a opção (a). A partir desse questionamento, identificamos nas

respostas dos sujeitos, indícios de que o aluno aprende um conteúdo

matemático quando ele tem capacidade de resolver corretamente exercícios e

161

condições de argumentar sobre o procedimento de resolução adotado diante

de uma situação de aprendizagem.

Por outro lado, o fato de serem assinaladas simultaneamente outras

opções da questão 2, além do item (e) parece indicar que esses docentes

também levam em conta que “a reprodução correta pode ser apenas uma

simples indicação de que o aluno aprendeu a reproduzir alguns procedimentos

mecânicos, mas não apreendeu o conteúdo e não sabe utilizá-lo em outros

contextos”. (BRASIL, 1998, p.37)

As questões 3, 4, 5 e 6 referem-se, especificamente, ao ensino de

Geometria e têm por objetivo identificar o espaço dado pelos professores de

Matemática aos conteúdos relacionados à Geometria, aos recursos didáticos

por eles utilizados e obter indícios sobre como eles se relacionam com esse

conteúdo. Essas perguntas são apresentadas no Quadro 17.

Quadro 17. Questões 3 a 6 referentes ao ensino de Geometria

Questão 3 Questão 4 Questão 5 Questão 6

Quais são os conhecimentos que os alunos do ensino fundamental II precisam aprender em Geometria?

Quando seu aluno apresenta dificuldades nos conceitos geométricos como você trabalha com a dificuldade do aluno?

Qual é a carga horária semanal que você destina ao ensino de Geometria? a) ( ) Uma aula por semana. b) ( ) Mais de uma aula por semana. c) ( ) Os conteúdos são integrados por isso não sei precisar. d) ( ) Nenhuma aula.

Quais recursos didáticos você utiliza durante as aulas destinadas ao ensino de Geometria? a)( ) Apenas o livro didático b)( ) Utilização de softwares educacionais.Quais? _________ c) ( ) Quadro negro e giz, d)( ) Jogos. Quais?__________ e) ( ) Instrumentos para construções geométricas (compasso, régua graduada, esquadros).


Ao responder a questão 3, dois professores fizeram afirmações gerais

como “operações fundamentais, noção de espaço e forma” (Professor Narciso)

ou “Geometria plana, Geometria espacial” (Professor Jacinto). Uma professora

oferece como resposta “ângulos, polígonos, sólidos geométricos,

proporcionalidade nos triângulos” (Professora Rosa). Nossas observações

mostram que apenas uma professora se baseou na sua experiência em sala

para expor conteúdos que acredita serem necessários para os alunos

aprenderem: “ângulos, polígonos e circunferência” (Professora Margarida).

162

Observamos, a partir das respostas, que os professores não parecem ter

clareza sobre quais conhecimentos os alunos do Ensino Fundamental II

precisam aprender em Geometria.

Apenas um professor não respondeu a quarta questão. Apresentamos

no Quadro18, os extratos das respostas fornecidas pelos outros docentes:

Quadro 18. Respostas dos professores referentes à questão 3.

Professores (as) Resposta dos professores

Narciso

Rosa

Margarida


As orientações dos PCN (BRASIL, 1998) chamam a atenção para as

distorções referentes à ideia equivocada de contextualização, no sentido de

trabalhar apenas com o que se supõe fazer parte do cotidiano do aluno.

Contudo, não descartam a importância das situações cotidianas e sugerem que

os conteúdos de matemática sejam explorados em outros contextos internos à

matéria e contextos de aprendizagem de várias outras áreas do saber. Nesse

sentido, a visão dos professores está em conformidade com essas orientações.

Ao serem questionados sobre a carga horária semanal destinada aos

conteúdos de Geometria, três professores responderam não saber, pois os

conteúdos de matemática são integrados. Uma professora afirmou que destina

duas horas semanais37 para os conteúdos de Geometria, mesmo quando não

está trabalhando com a própria disciplina.

Indagados sobre os recursos didáticos utilizados durante as aulas,

quatro professores marcaram o item (c) quadro negro e giz; dois, o item (d)

jogos, e nesse caso foi citado o Tangram; dois, o item (e) referente a

instrumentos utilizados em construções geométricas como compasso, régua

graduada e esquadro; um professor assinalou o item (b) utilização de softwares

37Observamos que esta é a mesma carga horária da disciplina geometria no 8º ano do Ensino Fundamental II.

163

educacionais e citou Geogebra e Winplot. Nessa questão os professores

também poderiam optar por mais de um item.

Os objetivos das questões de 7 a 11 eram avaliar se os professores

possuíam conhecimentos sobre as recomendações curriculares em

documentos de âmbito nacional e estadual, além de identificar que

conhecimentos seriam esses.

Quadro 19. Questões 7, 8,9 ,10 e 11

Questão 7 Questão 8 Questão 9 Questão 10 Questão 11

Você conhece as propostas dos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) para os 3º e 4º ciclos do Ensino fundamental?

Você conhece as abordagens que os PCN trazem em relação ao ensino dos conteúdos de Geometria para o 3º e 4º ciclos do Ensino Fundamental? Se sim, cite algumas.

Você utiliza as recomendações dos PCN na preparação de suas aulas? a) sim, frequentemente; b) ( ) sim de vez em quando; c) ( ) sim mais esporadicamente; d) não Se sim, descreva um pouco como você os utiliza.

Os professores da escola em que você trabalha, discutem os PCN nas reuniões pedagógicas ou em outros momentos escolares? a) sim, frequentemente; b) ( ) sim de vez em quando; c) ( ) sim mais esporadicamente; d) não

Tem conhecimento sobre as diretrizes curriculares para o ensino de Matemática do Estado da Bahia? Se sim, como obteve tais conhecimentos?


Três dos quatro professores investigados conhecem as propostas dos

Parâmetros Curriculares para o 3º e 4º ciclos do Ensino Fundamental e citam

como recomendações sugeridas naquele documento: a contextualização das

formas geométricas do cotidiano, as construções geométricas para facilitação

da visualização e a necessidade de ressaltar a importância da Geometria, além

de relacioná-la com outros conteúdos de Matemática. Apenas uma professora

diz conhecer mais ou menos as orientações, mas, não expõe nenhuma delas.

A maioria dos professores afirma que utiliza, de vez em quando essas

orientações durante o planejamento de suas aulas. Ao serem inquiridos sobre

como as utilizam, apenas um docente respondeu: ”fazendo contextualização

dos conteúdos de Geometria com o cotidiano, fazendo aplicação dos

conteúdos nas profissões”. Os professores ainda informaram que em reuniões

pedagógicas os PCN são discutidos, de vez em quando.

As diretrizes curriculares para o ensino de matemática Estado da Bahia

são conhecidas por dois professores por intermédio do site da Secretaria

164

Estadual de Educação e da graduação na licenciatura em Matemática, os

outros dois professores revelaram não conhecer as diretrizes.

A importância do conhecimento dos professores, sobre as

recomendações propostas nos documentos curriculares é um fator que pode

influenciar na prática docente. Lima (2006) afirma que o conhecimento do

currículo é um dos elementos que norteiam o trabalho do professor no

momento da tomada de decisões didáticas. Corroboramos essa afirmação e

acreditamos que o desconhecimento do conteúdo desses documentos ou de

parte deles traz prejuízos ao ensino de determinados conteúdos matemáticos,

principalmente àqueles relacionados à Geometria. Apesar de os professores

afirmarem conhecer e até citar algumas orientações desses documentos,

percebemos que eles mesmos não os utilizam com frequência, na preparação

de suas aulas. Essas propostas são discutidas “de vez em quando” pelos

professores da escola, e é possível que esse fato ocorra porque no Brasil não

se tem um currículo obrigatório mínimo a ser cumprido pelas escolas da

Educação Básica.

Quando aplicamos o instrumento analisado, tínhamos por objetivo

conhecer o cenário anteposto para a realização de nosso estudo. Continuando

nesse intuito e avançando rumo a alcançar os objetivos outrora propostos para

a pesquisa, realizamos mais uma etapa dos estudos preliminares que previam

a construção de mapas conceituais, como podemos conferir a seguir.

6.2 Mapas Conceituais

Segundo Novak e Canãs (2010, p.10), “mapas conceituais são

ferramentas gráficas para a organização e representação do conhecimento”.

Seguindo essa definição, solicitamos aos professores que construíssem

um mapa conceitual cuja palavra-chave fosse simetria, e que levariam em

consideração que

eles incluem conceitos, geralmente dentro de círculos ou quadros de alguma espécie, e relações entre conceitos, que são indicados por linhas que os interligam. As palavras sobre essas linhas, que são palavras ou frases de ligação, especificam os relacionamentos entre dois conceitos. (NOVAK E CANÃS, 2010, p.10)

165

Observamos, também, que “um processo de mapeamento exige:

percepção dos componentes-chave do assunto a ser mapeado, a identificação

das conexões entre estes elementos, a interpretação do próprio mapa, o

entendimento da rede de conhecimentos representada graficamente.” (OKADA,

2008, p.201)

Nosso objetivo, propondo a construção de mapas conceituais, era de

que, por meio deles, os professores estabelecessem e observassem as

possíveis relações entre a simetria e os vários outros conteúdos de Geometria

num processo que os levasse, de forma coletiva, a construir conhecimento.

6.2.1. Análise dos mapas conceituais concebidos pelos professores

Segundo os próprios professores, a construção do mapa conceitual teve

algumas etapas. As primeiras construções foram concebidas em ambiente

papel e lápis. O primeiro rascunho de mapa conceitual apresentado pelos

professores destaca qual foi o ponto de partida para os demais. Expomos, na

Figura 42, esse mapa conceitual.

Figura 42. Ponto de partida para a construção dos mapas conceituais


Segundo os professores, inicialmente eles pensaram em fazer duas

subdivisões destacando em quais anos do Ensino Fundamental II a simetria

ortogonal é ensinada, e a outra ligada ao conceito de simetria (o que é, quais

166

são seus tipos). Ressaltamos que, nesse mapa conceitual, os conteúdos ainda

não estão relacionados e, para isso, os docentes precisaram pesquisar, tanto

em livros didáticos quanto em outras fontes.

Sobre o processo de construção dos mapas conceituais, os professores

ponderaram ter sido “foi realizado em conjunto, principalmente o esqueleto.

Eles foram lembrando, um ao outro as questões do conteúdo que estão no livro

didático com que a gente ia trabalhar e aí começamos a construção.” 38

Na etapa seguinte, ainda no ambiente papel e lápis, foram estabelecidos

os conteúdos que poderiam ser relacionados à simetria, e observadas quais

relações poderiam ser feitas entre eles, como podemos ver na Figura 43:

Figura 43. Rascunho de mapa conceitual confeccionado pelos professores no ambiente papel e lápis.


Para a ramificação ligada ao conceito de simetria, os professores

esclarecem que

Essa parte aqui conceitual é uma parte que pode até ter um equivoco ou outro, mas é uma parte que foi pesquisada, ou seja, nós buscamos nos livros os conceitos, aqui não foi nos nossos livros (didáticos) a gente buscou em outros materiais, mas aqui foi mais uma produção individual da gente em relação aos conteúdos 39

38 Professor Narciso em depoimento concedido em reunião – março de 2014 39 Professor Narciso em depoimento concedido em reunião – março de 2014. Este professor foi escolhido pelos outros docentes para explicar como se deu o processo de construção do mapa conceitual.

167

Os docentes estabeleceram, segundo o livro didático utilizado, em quais

anos do Ensino Fundamental II a simetria é ensinada e quais conteúdos

estudados nesses anos podem ser relacionados a ela, como observaremos nas

declarações a seguir:

Na ramificação do lado direito a gente pensou em que série se ensina e quais são os conteúdos, então a gente identificou, aí foi baseado nas discussões da gente, a gente não viu simetria no 6º ano, mas vimos no 7º, 8º e 9º ano. Por exemplo, 7° ano, a gente botou aqui bissetriz, mediana, sólidos geométricos. A gente foi pensando o seguinte, talvez inicialmente sólido geométrico a gente não veja simetria no sólido, entenda o que eu vou falar, mas se tem uma propriedade dentro de sólidos geométricos que a gente usa simetria aí a gente colocou o conteúdo. 40

De volta à escola, para avaliação da atividade, retomamos a parte final

da última fala do professor e provocamos uma discussão que culminou com um

consenso sobre a diferenciação entre a simetria no objeto, exemplo dado pelo

professor na transcrição acima, e o objeto matemático simetria em que

destacamos sua definição, suas propriedades matemáticas e aplicações dentro

e fora de contextos matemáticos.

Observamos na Figura 43, a vasta quantidade de objetos matemáticos

utilizados na construção do mapa conceitual e as relações propostas para

esses objetos. O Professor Narciso explicou como eles raciocinaram, em

termos de relações matemáticas; nas palavras dele, “a gente pensou na

propriedade, por exemplo, dentro de bissetriz, como se usa no triângulo

equilátero, no triangulo isósceles. A bissetriz é a mediatriz. Então, a gente

pensou mais em propriedades.” 41

Na terceira etapa de construção do mapa, os professores, reunidos na

escola, baixaram o Cmap Tools, dominaram as funções do software e

utilizaram-no para refazer o mapa conceitual construído no ambiente papel e

lápis, como podemos conferir na Figura 44:

40 Professor Narciso em depoimento concedido em reunião – março de 2014. 41 Professor Narciso em depoimento concedido em reunião – março de 2014.

168

Figura 44. Mapa conceitual construído pelos professores


A partir da Figura 44, identificamos a preocupação dos professores em

associar a noção de simetria à forma como aparece na natureza e nas criações

humanas, de acordo sua com experiência docente e o modo como essa

matéria é introduzida nos livros didáticos. Eles ainda colocaram no mapa

conceitual termos como transversalidade e citaram alguns softwares educativos

em que é possível trabalhar a simetria.

O que chama a atenção a partir dos mapas conceituais construídos

pelos docentes, em cada etapa, é a evolução com relação à rede de

conhecimentos envolvidos e a complexidade das conexões estabelecidas.

Sobre essa evolução, o professor Narciso afirmou que o primeiro rascunho do

mapa conceitual foi o mais difícil de construir, mas que, por meio dele, as ideias

foram articuladas, e nos outros mapas foram feitas complementações. A

professora Rosa complementou a ideia, definindo o primeiro mapa como um

“esqueleto” para os outros. Para a professora Margarida, a evolução da

atividade foi aparecendo nos próprios mapas; ela ainda exemplificou, dizendo

que, quando o mapa conceitual estava quase pronto e sendo transferido para o

Cmap Tools, lembrou-se das aplicações nas artes e na arquitetura.

169

Descrevemos, a seguir, a avaliação dos professores sobre o ponto de

vista profissional.

Professor Narciso: a construção dos mapas trouxe outra possibilidade de

trabalhar os conteúdos na sala de aula. Segundo ele, na maioria das vezes os

conteúdos são trabalhados de forma linear, isto é, são apresentadas

definições, propriedades, exemplos ou exercícios e aplicações. A construção

do mapa conceitual trouxe à tona o trabalho dos conteúdos matemáticos de

forma articulada e ainda a observação com relação à transversalidade entre a

simetria e outras disciplinas como artes e línguas.

Professores Jacinto e Margarida: avaliaram que a principal contribuição

dos mapas foi a percepção das possíveis articulações da simetria com outros

conteúdos matemáticos. Para a professora Rosa, a construção do mapa foi

muito produtiva, pois foi mais uma maneira de relacionar os conceitos

adquiridos na formação acadêmica e formação profissional.

Avaliamos que, nesse processo, nosso objetivo foi alcançado, isto é, os

professores observaram e estabeleceram conexões entre a simetria e outras

áreas do conhecimento, internas e externas à matemática. Observamos, ainda,

que essa atividade proporcionou, durante as reuniões, reflexões sobre o ensino

desse conteúdo, além de a atividade aumentar o nível de interação entre os

professores, o que influenciou positivamente nas fases seguintes da pesquisa.

No capitulo a seguir, apresentamos a segunda parte experimental de

nossa investigação.

170

171

CAPÍTULO 7

O ESTUDO EXPERIMENTAL SOBRE AS

CONCEPÇÕES DE PROFESSORES E ALUNOS

SOBRE A SIMETRIA ORTOGONAL

Neste capítulo, nosso principal objetivo é realizar um estudo sobre a

atividade do professor. Para isso, construímos e analisamos uma sequência

didática sobre a simetria ortogonal. Este estudo experimental está dividido em

três etapas. Na primeira, a experimentação com os professores, em que estes

resolveram, analisaram e discutiram por meio de um debate coletivo a

sequência didática pré-elaborada. Na segunda, a aplicação da sequência

didática analisada e modificada pelos professores a alguns de seus alunos, que

cursavam o 8º ano do Ensino Fundamental. Na terceira etapa, a análise dos

professores nos registros fornecidos por algumas duplas de alunos ao

resolverem o conjunto de atividades propostas na sequência didática.

7.1 Análise, a priori, das situações-problema apresentadas para a

pré-análise dos professores

A seguir, apresentamos a análise, a priori, das situações-problema

apoiados no quadro dos Paradigmas Geométricos, segundo Parzysz (2001;

2006) na Teoria das Situações Didáticas, no sentido de Brousseau (1997) e

Margolinas (2002). Acreditamos que, em nosso estudo, esses dois quadros se

completam. No primeiro, buscamos compreender quais são os conflitos

cognitivos entre os níveis de desenvolvimento geométrico de alunos do Ensino

Fundamental II e no segundo, iremos estudar por meio da estruturação do

milieu os papéis de professores e alunos com relação à sequência didática pré-

172

elaborada, efetuar um estudo sobre a influência das variáveis didáticas

escolhidas nas respostas dos sujeitos. Elaboramos uma sequência didática

composta por um conjunto de atividades sobre a simetria ortogonal, cuja

finalidade foi a resolução e a pré-análise da referida sequência pelos

professores além da aplicação a seus alunos, seguida da análise dos registros

desses mesmos alunos pelos professores.

7.1.1 Problemas de reconhecimento de figuras simétricas e construção

de eixos de simetria

A primeira situação-problema tem por objetivo o reconhecimento de

figuras que têm eixo de simetria e a construção dos eixos de simetria em

figuras geométricas planas, caso eles existam.

Figura 45. Situação-problema 1 do instrumento aplicado aos professores

Fonte: Instrumento aplicado aos professores

No entanto, para iniciar nossa análise, em primeiro lugar, é necessário

evidenciar as variáveis didáticas levadas em conta durante a escolha e

construção das atividades propostas. As variáveis didáticas identificadas para

esta situação são apresentadas no Quadro 20:

173

Quadro 20. Variáveis didáticas e valores identificados na situação-problema 1


As posições relativas dos elementos que compõem a figura objeto

- horizontais - verticais - oblíquas

As direções dos eixos de simetria sobre a folha

- horizontais - verticais - oblíquos

O tipo de papel - branco - quadriculado

O tipo de tarefa

- reconhecimento de figura simétrica - construção de eixo de simetria

Número de eixos de simetria da figura

- nenhum - um - mais de um eixo

A configuração da figura objeto

- circunferência - polígonos regulares - polígonos quaisquer

Ausência da evidência das medidas lados e dos ângulos

-quadriláteros - octógono - paralelogramo

Fonte: Elaboração da autora, de acordo com Grenier (1988) e Lima (2006)

Nos itens (b), (c), (d) e (e) existe a possibilidade de que as direções dos

elementos que compõem a figura-objeto influenciem favoravelmente ou não, na

identificação de figuras que têm eixo de simetria e de eixos de simetria em

cada uma delas, caso existam. Essa possibilidade pode tornar-se mais

evidente no item (d). Acreditamos que a direção do eixo de simetria também é

uma variável que intervém na resposta dos sujeitos, uma vez que, por meio de

outros estudos (GRENIER, 1988; LIMA, 2006; SILVA, ALMOULOUD, 2013),

observamos maior êxito nas situações em que os eixos são horizontais e

verticais. Supomos, ainda, que o papel branco e a ausência da evidência das

medidas dos ângulos internos em cada uma das figuras interfiram nos

procedimentos de resolução, uma vez que não são oferecidos indícios para o

sujeito decidir sobre a classificação dos polígonos (regulares ou irregulares) na

situação proposta.

Como consequência da escolha dessas variáveis didáticas, acreditamos

que as técnicas adotadas (dobradura, utilização de instrumentos de desenho

geométrico, isto é, compasso, régua graduada e esquadros) influenciem,

principalmente, no tipo de validação (perceptiva, lógico dedutivo) apresentada

pelo sujeito.

174

A seguir, utilizamos o quadro da geometria paradigmática, segundo

Parzysz (2001, 2006), para apresentar os tipos de solução que poderão ser

propostos, inicialmente pelos professores e posteriormente pelos alunos.

Quadro 21. Análise da primeira situação-problema, de acordo com os Paradigmas Geométricos (PARZYSZ, 2001; 2006)

Item da

situação

Tipo de

geometria Validação

Caracterização da

geometria

(a)

G0

Percepção de que ao dobrar

o papel em que a figura se

encontra desenhada42 sobre

um segmento de reta

qualquer, que toca a figura

em dois pontos e passa pelo

seu centro em diferentes

direções, têm-se infinitos

eixos de simetria.

G1

A utilização de instrumentos

de desenho geométrico como

régua graduada, esquadro e

compasso para construir43

algumas retas que passam

pelo centro da figura para

validar as propriedades de

ortogonalidade e

equidistância.

G2

A construção dos eixos de

simetria é apenas uma forma

de auxiliar na justificativa que

vem da definição de corda e

diâmetro de uma

circunferência.

42 Em nossas análises estamos utilizando o termo desenho no sentido da “representação de formas sobre uma superfície, por meio de linhas, pontos e manchas.” (FERREIRA, p. 681, 2010) 43 Utilizamos o termo construir como traçar, segundo os fundamentos geométricos.

175

(b), (c) e (e)

G0

A ligação com a realidade

provoca a percepção de que

as figuras representadas são

polígonos regulares isto é:

quadrado, triângulo

equilátero, e octógono

regular. Os instrumentos

geométricos (régua

graduada, compasso) são

utilizados para traçar os eixos

de simetria da figura e, em

seguida, validar sua

observação por meio de

medições.

G1

A validação é feita por meio da

definição de simetria ortogonal

e de propriedades

matemáticas.

Um exemplo seria o de que o

número de lados de um

polígono regular é igual ao

número de eixos de simetria

desse polígono.

Neste caso, o sujeito utiliza

propriedades matemáticas

para discutir a possibilidade

de a figura representar outros

tipos de polígonos além dos

polígonos regulares e assim

decidir, em cada caso, o

número de eixos de simetria

que a figura pode vir a

possuir.

G2

Demonstração da validade das

propriedades em cada caso.

As definições, propriedades

são utilizadas para

demonstrar que, para cada

caso, o número de eixos de

simetria será alterado.

(d) G0

A validação é feita de forma

perceptiva por meio da

visualização.

A percepção de que a figura

não possui eixos de simetria

pelas tentativas de se dobrar

o papel em que a figura se

encontra desenhada para

formar duas outras figuras

“idênticas” e estas não se

sobrepuserem.

176

G1

Por meio da definição de

simetria ortogonal destaca-se a

não possibilidade de existência

de eixos de simetria, pois

propriedades como

ortogonalidade e equidistância

não são válidas.

A utilização de instrumentos

de medida para mostrar a

não existência de eixos de

simetria.

G2

A demonstração deve ser feita

supondo que o paralelogramo

admita eixos de simetria então

teríamos duas possibilidades.

A primeira de que o eixo fosse

uma das diagonais do

paralelogramo, neste caso por

causa da ortogonalidade, os

pontos das extremidades da

outra diagonal seriam

simétricos e o paralelogramo

seria formado por quatro

triângulos retângulos e

recairíamos em um quadrado

ou um losango.

A segunda, de que o eixo de

simetria fosse paralelo a um

dos pares de lados e

equidistante aos vértices.

Neste caso, também pela

ortogonalidade, o

paralelogramo seria formado

por dois quadriláteros cujas

medidas dos ângulos internos

seriam todos de 90º e,

portanto, seria um retângulo ou

um quadrado.

Demonstração de que se a

propriedade de

ortogonalidade for válida

para o paralelogramo o

mesmo será um quadrado,

um retângulo ou um losango.

Portanto, um paralelogramo

que não seja um dos citados

anteriormente, não possui

eixos de simetria.


Espera-se que, neste problema, os sujeitos observem que no item (a),

por se tratar de uma circunferência, qualquer reta que coincida com o seu

diâmetro (qualquer segmento de reta que liga dois pontos da circunferência e

177

que passa pelo seu centro) é um eixo de simetria, portanto a figura admite

infinitos eixos de simetria.

Para as figuras (b), (c) e (e), espera-se que o aluno discuta os tipos de

figuras, isto é, se essas figuras forem polígonos regulares, elas têm o mesmo

número de eixos de simetria que o número de lados; sendo assim, a figura (b)

tem 4 eixos de simetria, a figura (c) tem 3 eixos de simetria e a figura (e) tem 8

eixos de simetria. Mas se a figura (b) for um retângulo, por exemplo, teria 2

eixos de simetria, e se for um quadrilátero qualquer não teria nenhum eixo de

simetria. Para a figura (c), se o triângulo for isósceles ela terá 1 eixo de simetria

e se for escaleno não terá nenhum eixo de simetria.

A figura (d), sugestiva de um paralelogramo, foi colocada no

instrumento, porque estudos precedentes, voltados para alunos (GRENIER,

1988), apontam baixo índice de êxito em atividades de reconhecimento de

eixos de simetria, quando comparadas a outros tipos de figuras. A percepção

da divisão do paralelogramo em duas partes “idênticas” cria a ilusão de

existência de eixos de simetria. Nesse caso, as propriedades de congruência

entre as duas partes da figura (medida dos ângulos, comprimento dos lados

paralelos e a forma semelhante entre as figuras) provocam nos sujeitos a

impressão de existência de eixos de simetria. Segundo a pesquisadora acima

citada, essa dificuldade na identificação da não existência de eixos de simetria

ocorre devido ao fato de os sujeitos ignorarem a propriedade de ortogonalidade

numa primeira análise perceptiva. O objetivo desse item no instrumento é

observar se o mesmo resultado pode aparecer nos registros dos professores,

sujeitos da pesquisa, e em nos registros de seus alunos.

A segunda situação-problema, apresentada na Figura 46, tem por

objetivo a construção de eixos de simetria, a partir da utilização de

instrumentos de desenho geométrico e da identificação de propriedades como

equidistância do eixo aos pontos simétricos das figuras, alinhamento e

ortogonalidade.

178



As variáveis didáticas identificadas para esta situação são apresentadas

no Quadro 22 a seguir:

Quadro 22. Variáveis didáticas e valores identificadas para a situação-problema 2


As posições relativas dos elementos que

compõem a figura objeto (um exemplo é o

olho do peixe)

- horizontal

- vertical

- oblíqua


- horizontal

- vertical

- oblíquo


-quadriculado

O tipo de tarefa - reconhecimento de figura simétrica


Posição das figuras na folha

-horizontal

- vertical

- oblíqua

A configuração da figura objeto - peixe construído por segmentos de reta

e ponto.

Distância das figuras (objeto e simétrica)

ao eixo de simetria

- conservada

- não conservada

Fonte: Elaboração da autora de acordo com Grenier (1988) e Lima (2006)

179

É possível que, para cada item da situação-problema 2, as direções dos

elementos que compõem a figura, sobretudo o olho do peixe, interfira na

decisão dos sujeitos quanto à existência ou não do eixo de simetria. No caso

da construção de eixos de simetria, as direções verticais e horizontais das

figuras também podem fornecer indícios de figura simétrica. A complexidade da

figura pode dificultar a percepção de não simetria, já que o número de

elementos que compõem a figura e que devem ser considerados sofre um

aumento. A distância entre as figuras (objeto e simétrica) também pode

influenciar nos procedimentos de resolução da situação (principalmente quanto

à construção do eixo de simetria).

No Quadro 23, os itens (1) e (5) e depois (2), (3) e (4) foram analisados

em conjunto, por apresentarem o mesmo tipo de argumentação nos

procedimentos de resolução.

Quadro 23. Análise da segunda situação-problema, de acordo com os Paradigmas

Geométricos (PARZYSZ, 2001; 2006) Item da situação

Tipo de geometria


(1) e (5)

G0

Percepção de que, ao dobrar o papel em que as duas figuras se encontram desenhadas nas direções vertical (item 1) e horizontal (item 5), elas irão se sobrepor perfeitamente. A utilização da régua graduada seria para validar as medidas e traçar o eixo de simetria.

G1

A percepção de que, dependendo da posição do olho do peixe, a figura possui ou não eixo de simetria, a partir daí o aluno pode utilizar instrumentos de desenho geométrico como régua graduada, compasso ou esquadro para construir os eixos de simetria de cada figura e validar as propriedades da simetria ortogonal como equidistância, alinhamento e ortogonalidade.

G2

Utilização da definição de mediatriz para elaborar e provar a seguinte conjectura: O eixo entre dois pontos simétricos quaisquer de figuras simétricas é

A partir da construção dos eixos de simetria é possível formular uma conjectura. A prova dessa conjectura vem da utilização de definições, axiomas, teoremas e propriedades para demonstrar que cada figura admite um eixo

180

também o eixo de simetria dessas figuras. Reciprocamente, o eixo entre duas figuras simétricas é também o eixo de simetria entre dois pontos das figuras que se correspondem pela mesma simetria.

de simetria.

(2),(3) e (4)

G0 A validação é feita de forma perceptiva por meio da visualização.

A percepção de que cada figura não possui eixos de simetria pelas tentativas de se dobrar o papel onde as figuras se encontram desenhadas e observar que as duas partes da figura não se sobrepõem (itens 2 e 4) ou que existem elementos (por exemplo, olho do peixe) das duas partes que não se sobrepõem (item 3).

G1

A validação é feita por meio de análise pontual da figura, a partir da definição de simetria ortogonal e de suas propriedades matemáticas.

Neste caso, a identificação da posição do olho do peixe é fator que destaca a não validade das propriedades de equidistância e ortogonalidade.

G2

Utilização da contra-positiva da conjectura formulada para os itens (1) e (5), isto é, se quaisquer dois pontos de uma figura não são simétricos então a figura também não é simétrica, portanto não admite eixo de simetria.

As definições e propriedades da simetria ortogonal são utilizadas como forma de demonstrar que não é possível traçar os eixos de simetria para os itens 2, 3 e 4. Nesse caso, a identificação de definições e propriedades válidas para outros tipos de transformações geométricas, a saber, a translação e a rotação, também podem ser utilizadas como justificativa de não existência de eixos de simetria.


Um procedimento de solução que poderá ser apresentado pelos sujeitos

é aquele que parte de abordagens globais em que são utilizadas técnicas como

dobradura e sobreposição. Neste caso, o aluno faz a marca do eixo de simetria

pela dobra do papel e o desenha com a régua. No caso da utilização de

instrumentos de desenho (esquadro, compasso e régua), um procedimento

esperado seria a partir de uma abordagem pontual, levando em consideração a

definição de simetria ortogonal, figuras ilustradas no quadro 23, para os itens

(1) e (5) em G1. Então, teríamos: Localização dos pontos O, o traço do

segmento 'OO , a construção da mediatriz do segmento 'OO denotada pela

181

reta r e, por fim, a observação de que r também é a mediatriz dos segmentos

'MM e 'PP destacados nas figuras.

Espera-se, ainda, que por meio das discussões, os sujeitos cheguem a

elaborar conjecturas a fim de justificar a existência ou não dos eixos de simetria

para cada item da situação-problema.

Por meio do Quadro 24, esquematizado a seguir, apresentamos a

estruturação do milieu para as duas primeiras situações-problema e as fases

no processo de aprendizagem conforme Brousseau (1997).

Quadro 24. Estruturação do milieu das situações-problema sobre reconhecimento de figuras

simétricas e construção de eixos de simetria

Professor P

Aluno E

Milieu M

Situação S

Fases de aprendizagem

P3: P-noosferiano. O professor refletindo sobre o ensino de geometria e o papel da simetria ortogonal dentro do currículo de matemática.

M3: M-construção. A existência e o número de eixos de simetria vão depender da natureza da figura geométrica.

S3: Situação noosferiana. Compreensão de que a noção de simetria ortogonal vai além de sua aparição em criações artísticas e em formas da natureza

P2: P - construtor professor resolvendo as situações--problema e estudando uma forma de intervenção didática.

M2: M- planejamento. Retomar a noção de figuras geométricas planas e a definição de polígonos regulares para discutir a simetria ortogonal de figuras geométricas apresentadas.

S2: Situação de construção. O que fazer para ajudar os alunos a compreender que a existência e o número de eixos de simetria da figura vão depender da natureza da figura geométrica?

P1: P-planejando Professor analisando as situações e as questões sobre o ensino e a aprendizagem da simetria ortogonal

M1: M-didático

S1: situação de planejamento. Fazer os alunos discutirem e aceitarem as condições de existência de eixos de simetria para cada figura.

182

P0: Professor em ação

E0: Aluno M0: M-aprendizagem

S0: situação didática. Introdução do conceito e propriedades da simetria ortogonal

Institucionaliza-ção

P-1: Observador observar os alunos em atividade é caracterizado pela devolução.

E-1: Aprendiz Identifica-ção dos novos saberes

M-1: referência

S-1: aprendizagem. Identificação de figuras simétricas e a construção dos eixos de simetria de cada figura.

Validação

P-2: Observa as tentativas dos alunos, mas não interfere.

E-2: Aluno em ação Discussão de hipóteses e conjecturas

M-2: M-objetivo

S-2: situação de

referência.

Formulação

P-3: Adequação do milieu para ser utilizado pelo aluno.

E-3: aluno objetivo

M-3: M-material. Noção de espelhamento ou dobradura; classificação de polígonos regulares, noção de diâmetro de uma circunferência.

S-3: situação objetiva. Reconhecimento de figura simétrica e eixos de simetria.

Ação

Fonte: Elaborado pela autora de acordo com Margolinas (2002)

Nessa estruturação, foram apresentadas duas análises: a descendente

(S3 até S0), em que caracterizamos a atividade do professor e a análise

ascendente (S-3 até S0), em que caracterizamos a atividade do professor e do

aluno.

Observamos que a situação S2 compreende o milieu M3, isto é, a

situação de construção é fazer os alunos compreenderem que a existência e o

número de eixos de simetria estão relacionados à natureza da figura

geométrica. Isso quer dizer que o professor P2 deve estudar um modo de

intervenção didática correspondente.

O milieu M2 (de planejamento) compreende os conhecimentos dos

docentes sobre os moldes de apresentação da questão. Sendo assim, o milieu

M2 compreende, pelo menos, P2 (professor construtor) que conhece as

situações-problema no contexto das transformações geométricas. Logo, a

interação de P2 com M2 deve levar à seguinte situação de construção: retomar

183

a noção de figuras geométricas planas e a definição de polígonos regulares

para discutir a simetria ortogonal nas figuras geométricas apresentadas.

O milieu M1 contém S2, neste caso, a situação de planejamento S1 está

em pensar numa forma de "fazer os alunos discutirem e aceitarem as

condições de existência de eixos de simetria para cada figura".

O professor P-3, ao escolher e adequar as situações-problema para

serem aplicadas aos alunos, leva em conta os conhecimentos a serem

mobilizados pelos alunos (E-3 aluno objetivo) para iniciar a resolução das

situações e os meios materiais para que isso ocorra, isto é, o milieu material M-

3.

Em nossa fundamentação teórica propomos uma articulação entre o

quadro dos Paradigmas Geométricos (PARZYSZ, 2001; 2006) e a Teoria das

Situações Didáticas, o que nos permite, para as situações S-3, S-2, S-1 e S0

apresentadas no Quadro 24, associar a análise das duas situações-problema

propostas para os tipos de geometria G0, G1 e G2 nos quadros 21 e 23.

7.1.2 Problemas de construção de figura simétrica

A terceira e última situação-problema é uma adaptação das situações

propostas nos estudos de Grenier (1988) e Lima (2006), e tinha por finalidade a

construção de figuras simétricas.



184

O motivo de solicitarmos aos sujeitos traçar nos itens (a) e (m) os

simétricos dos pontos dados com relação ao eixo de simetria foi, em ambos os

casos, para avaliar se eles levariam em conta propriedades como distância do

ponto ao eixo de simetria e ortogonalidade. No item (m), colocamos dois

pontos, um próximo ao eixo de simetria e o outro afastado dele; nossa intenção

era avaliar se esse fato dificulta ou auxilia na execução da tarefa.

Para os itens (c), (e) e (f), acreditamos na possibilidade de que os

resultados de estudos precedentes (GRENIER, 1988, por exemplo), que

revelaram as dificuldades provocadas pelas interseções da figura com o eixo

de simetria, voltem a surgir durante nossa investigação. Para o item (b), tanto

nos estudos de Grenier (1998) com alunos franceses do 6º ano, bem como em

nossa investigação preliminar com professores em formação, apontaram

conflitos nas resoluções, relacionadas ao paralelismo entre o objeto e seu

simétrico. Nosso objetivo é dar continuidade a esta investigação para,

eventualmente, confirmar esse tipo de dificuldade. Finalmente, para os itens

(d), (f) e (g), temos por hipótese que a complexidade da figura também seja

fator de dificuldade entre os sujeitos pesquisados.

Os estudos de Grenier (1988) e nossa investigação preliminar (SILVA,

ALMOULOUD, 2013) mostraram que, quando o eixo de simetria tinha direção

vertical ou horizontal à folha e, quando o eixo de simetria era oblíquo com

relação à folha e paralelo à figura-objeto, os sujeitos obtinham êxito na

resolução da tarefa. Nossa intenção em retornar com as atividades (h), (i) e (l)

é verificar se esse quadro se confirma.

Nossa hipótese, ao escolher esse conjunto de atividades, foi a de que a

análise desse conjunto pelos professores provocasse reflexões sobre o papel

das variáveis didáticas em cada situação e como seus valores intervêm na

aprendizagem dos alunos. No Quadro 25, relacionamos as variáveis didáticas e

seus respectivos valores.

185

Quadro 25. Variáveis didáticas e valores levados em conta na elaboração e escolha do conjunto de atividades


A interseção da figura-objeto com o eixo de simetria

- toca o eixo - corta o eixo em um ponto - corta o eixo em mais de um ponto

As direções dos elementos que compõem a figura objeto


A direção do eixo de simetria sobre a folha - horizontal - vertical - oblíquo

O tipo de papel - branco - quadriculado

O tipo de tarefa - construção de figura simétrica

A complexidade da figura objeto - pontos - segmentos - polígonos

Distância da figura objeto ao eixo de simetria - próximo - longe

Fonte: Elaborado pela autora de acordo com Grenier (1988) e Lima (2006).

A partir da técnica disponível/escolhida para a resolução das situações-

-problema, acreditamos que seja possível inferir sobre o tipo de geometria (G0,

G1 ou G2) em que os procedimentos e respostas dos sujeitos estejam

transitando. No Quadro 26, apresentamos a análise do conjunto de atividades

que compõem a situação-problema 3, de acordo com os Paradigmas

Geométricos, no sentido de Parzysz (2001; 2006);

Quadro 26. Análise da terceira situação-problema, de acordo com os Paradigmas Geométricos

(PARZYSZ, 2001; 2006)

Item da Situação-problema

Tipo de geometria


(a) e (m)

G0

Ao utilizar técnicas como dobradura ou espelhamento, o sujeito determina a localização dos pontos simétricos no semi-plano oposto ao eixo de simetria para em seguida desenhá-los.

G1

A construção geométrica dos pontos simétricos é feita a partir do conceito de reta mediatriz, por meio da utilização do compasso e da régua graduada ou de esquadros.

G2

Dado P um ponto do plano que não pertence à reta r (eixo de

A construção dos pontos-imagem, realizada com a utilização de instrumentos de desenho

186

simetria), demonstra-se, por meio da definição funcional de simetria ortogonal, a existência de um único ponto P’ simétrico a P com relação à reta r.

é justificada pela aplicação da definição de simetria, levando-se em conta a noção de mediatriz de um segmento e a verificação das propriedades equidistância e perpendicularidade, para demonstrar que os pontos são simétricos.

(b), (h), (i) e (l)

G0

A utilização de técnicas como dobradura, decalque ou espelhamento para determinar, em cada item, a localização dos segmentos simétricos e desenhá-los seguindo o rastro. A validação é feita por meio da visualização. A régua é utilizada para fazer o traço da figura simétrica e comparar medidas.

G1

Com a utilização de instrumentos como compasso, régua ou esquadro, determina-se para cada item os pontos simétricos a cada uma das extremidades das figuras-objeto (segmentos) para, em seguida, traçar a figura imagem. Nesse caso, é necessária a mobilização de conhecimentos sobre ortogonalidade e equidistância, com relação ao eixo de simetria.

G2

Demonstração utilizando a definição de simetria ortogonal.

A validação vem da utilização da figura como ponto de partida para se estudar a validade das propriedades de simetria ortogonal por meio de definições e teoremas como, por exemplo, os casos de congruência de triângulos e as propriedades do retângulo.

(c), (e) e (f)

G0

A utilização de técnicas como dobradura, decalque ou espelhamento

187

determinam a localização da figura-objeto e pode-se desenhá-los seguindo o rastro. A validação é perceptiva, os instrumentos são utilizados apenas para desenhar as figuras e fazer eventuais medições.

G1

Com a utilização de instrumentos como compasso, régua ou esquadro determina-se para cada item os pontos simétricos a cada uma das extremidades da figura-objeto (segmentos) para, em seguida, traçar a figura imagem. Os instrumentos são utilizados também para medições cujo objetivo é validar as construções. É importante o aluno mobilizar conhecimentos como retas concorrentes e ângulos.

G2

Demonstração a partir da definição de simetria ortogonal.

Validação dedutiva, tendo a construção da figura-imagem um papel heurístico.

(d), (g) e (j)

G0

Além da utilização de técnicas como dobradura, decalque ou espelhamento, o sujeito poderá utilizar a malha quadriculada nos itens (d) e (j) para determinar a localização dos pontos simétricos em relação aos da figura objeto, e desenhar as figuras-imagem, perceptivamente.Nesse caso, a validação poderá ser feita de forma perceptiva por meio de medições e da contagem dos quadrinhos.

G1

Com a utilização de instrumentos como compasso, régua ou esquadro determinam-se, para cada item, os pontos simétricos a cada uma das extremidades da figura-objeto (segmentos) para, em seguida, traçar a

188

figura imagem.

G2

Demonstração a partir da definição de simetria ortogonal.

Validação dedutiva em que a construção da figura-imagem tem um papel heurístico.


No Quadro 26, agrupamos os itens de acordo com algumas variáveis

didáticas, por exemplo, os itens (a) e (m) em que é solicitado traçar pontos

simétricos, pelo tipo de tarefa. Nos itens (c), (e) e (f) a figura-objeto toca ou

corta o eixo de simetria. A direção do eixo de simetria sobre a folha foi a

variável didática levada em conta para agruparmos os itens (b), (h), (i) e (l).

Por fim, nos itens (d), (g) e (j), a intenção era estudar, principalmente, a

influência do tipo de figura (complexa) e papel (quadriculado ou branco) nas

resoluções dos sujeitos.

Para cada item espera-se que, num primeiro momento, os sujeitos

visualizem a figura-objeto de forma global e utilizem técnicas como

espelhamento, dobradura e sobreposição para iniciar os procedimentos de

resolução. Como exemplo, observamos na geometria G0, os itens (a) e (m) em

que a percepção de que, ao dobrar o papel no qual o ponto-objeto se encontra

desenhado, exatamente sobre o eixo de simetria dado, torna possível encontrar

o rastro do ponto-imagem e traçá-lo.

Outra forma de procedimento esperada é a utilização de instrumentos de

desenhos geométricos como mostram as figuras apresentadas no Quadro 26

para a validação correspondente à geometria G1. Neste caso, o sujeito parte

de uma percepção pontual, em que leva em conta propriedades como

ortogonalidade e igualdade entre a distância de pontos da figura-objeto e seus

pontos simétricos com relação ao eixo simetria, para validar a figura construída

como simétrica, evidenciando uma transição da geometria G1 para a geometria

G2.

Por meio do Quadro 27, esquematizado a seguir, apresentamos a

estruturação do milieu para a terceira situação-problema e as fases no

processo de aprendizagem conforme Brousseau (1997).

189

Quadro 27. Estruturação do milieu da situação-problema 3

Professor P

Aluno E

Milieu M

Situação S

Fases de aprendizagem

P3: P-noosferiano professor refletindo sobre o ensino de geometria e o papel da simetria ortogonal dentro do currículo de matemática.

M3: M-construção. Os procedimentos de construção de figura simétrica dependem dos tipos de técnicas disponíveis e estão ligados a outros conteúdos geométricos.

S3: Situação noosferiana. Compreensão de que a noção de simetria ortogonal vai além de sua aparição em criações artísticas e em formas da natureza.

P2: construtor professor resolvendo as situações-problema e estudando uma forma de intervenção didática.

M2: M- planejamento Rever a noção de mediatriz de um segmento e reta perpendicular.

S2: Situação de construção O que fazer para ajudar os alunos a compreenderem que, na construção de figura simétrica, a propriedade de ortogonalidade também deve ser levada em conta.

P1: planejando O professor analisa as situações e as questões sobre o ensino e a aprendizagem da simetria ortogonal.

M1: didático

S1: Situação de planejamento

P0: Professor em ação

E0: Aluno M0: aprendizagem

S0: situação didática Introdução do conceito e propriedades da simetria ortogonal.

Institucionaliza-ção

P-1: observador observar os alunos em atividade; é caracterizado pela devolução

E-1: aprendiz Identificação dos novos saberes.

M-1: referência

S-1: aprendizagem Construção da figura simétrica em cada item.

Validação

P-2: Observa as tentativas dos alunos sem interferir.

E-2: aluno em ação Discussão de hipóteses e conjecturas.

M-2: objetivo

S-2: situação de referência.

Formulação

190

P-3: Adequação do milieu para ser utilizado pelo aluno.

E-3: aluno objetivo.

M-3: material Noção de espelhamento ou dobradura; utilização de instrumentos de desenho geométrico.

S-3:situação objetiva Construção de figura simétrica.

Ação

Fonte: Elaborado pela autora de acordo com Margolinas (2002)

Observamos que a situação S2 compreende o milieu M3, isto é, a

situação de construção é fazer os alunos compreenderem que, na construção

de figura simétrica, a propriedade de ortogonalidade também deve ser levada

em conta. Nesse caso, o professor P2 deve estudar um modo de intervenção

didática correspondente. Para a terceira situação-problema, o professor P2 é

levado a considerar no milieu M2 a seguinte situação de construção: propor

que o aluno utilize a definição de simetria ortogonal e, para isso, é necessário

introduzir a noção de ponto simétrico por meio da mediatriz de um segmento.

Observando que o milieu M1 contém S2, a situação de planejamento

está nas “condições para que os alunos observem as propriedades de simetria

ortogonal na construção de figuras simétricas, em especial a ortogonalidade”.

Nesse caso, um conhecimento necessário e que deve ser mobilizado pelo

aluno P-3, é o manuseio de instrumento de desenho geométrico, conhecimento

que deve compor o mileu M-3, necessário para dar prosseguimento à

resolução do problema.

Como nas duas primeiras situações-problema, as situações S-3, S-2, S-

1 e S0 apresentadas no Quadro 27 serão associadas à análise proposta para

os tipos de geometria G0, G1 e G2 no Quadro 26, devido à nossa articulação

entre os quadros teóricos aqui considerados.

7.1.3 Análise das questões discursivas propostas aos professores

A segunda parte do instrumento aplicado aos professores é composta de

três situações-problema (analisadas na seção anterior) e quatro questões

discursivas que orientavam os docentes para uma análise matemática e

didática dessas situações. Na Figura 48, apresentamos a primeira questão cujo

objetivo era colocar o professor numa situação de reflexão.

191

Figura 48. Questão discursiva 1 para análise do professor sobre as situações-problema


Durante a resolução das situações-problema pelos professores, deve

ocorrer o primeiro movimento de reflexão, segundo Schön (2000), isto é,

conhecimento-na-ação, em que o professor, ao resolver as situações a ele

propostas, é levado a refletir por meio da ação sobre: as respostas corretas por

ele esperada e aceitas, as possíveis dificuldades apresentadas por seus

alunos, os conhecimentos que esses mobilizariam no momento da execução

de cada atividade, além da importância de cada uma delas para a formação de

seus alunos com relação à geometria, em especial, à simetria ortogonal.

A segunda questão apresentada na Figura 49 é mais específica, e há

uma proposta de retorno às situações-problema resolvidas pelos professores:

Figura 49. Questão discursiva 2 do instrumento aplicado aos professores

Fonte: Instrumento aplicado aos professores.

Nessa reflexão, o docente é instigado a pensar nos conhecimentos a

serem mobilizados pelos alunos, nas dificuldades e dúvidas que possam surgir

para eles durante a resolução de cada uma das atividades que compõem a

sequência didática, numa referência de reflexão-na-ação (SCHÖN, 1995).

Na terceira questão, está a proposta de uma ação sobre a reflexão-na-

ação, para que o professor pense sobre quais situações apresentaria aos

alunos, com o intuito de esses superarem possíveis dificuldades por meio da

reflexão sobre os procedimentos e resultados por eles obtidos.



192

Para a quarta e última questão discursiva, o objetivo é instigar o

professor a analisar as situações-problema, considerando as variáveis

didáticas44 e seus valores. Sendo assim, indagamos:



A principal finalidade desse estudo é estudar como os professores,

sujeitos desta pesquisa, lidam com as variáveis didáticas escolhidas e seus

valores, e se percebem a importância dessas variáveis no processo de

construção de conhecimentos/saberes por parte de seus alunos. Os resultados

dessa questão foram utilizados na experimentação 3, quando, ao analisar os

registros de algumas duplas de alunos, os docentes discutiram a influência das

variáveis didáticas e seus valores nos procedimentos e respostas para elas.

Na próxima seção, analisaremos as resoluções dos professores sobre

as situações-problema propostas e as discussões geradas pela pré-análise

realizada pelos mesmos docentes sobre elas.

7.2 Experimentação 1: aplicação das situações-problema e do

questionário sobre estas situações aos professores sujeitos da

pesquisa

A experimentação 1 é composta de duas etapas: a resolução por parte

dos docentes do conjunto de atividades que compõem uma sequência didática

pré-elaborada e a pré-análise do ponto de vista didático destas atividades. Para

viabilizar nossa proposta, fizemos uma breve explicação sobre variáveis

didáticas e seus valores. Além disso, provocamos uma discussão sobre como a

escolha de tais variáveis didáticas e seus valores no momento da seleção e

construção de situações-problema podem influenciar nas decisões feitas pelo

professor, quanto aos objetivos a serem alcançados e com relação à

aprendizagem dos alunos. Na seção 7.2.1 apresentamos a análise, a posteriori

,das respostas e procedimentos fornecidos pelos professores com relação à

44 Antes da aplicação do instrumento de coleta de dados, fizemos uma discussão coletiva com os professores sobre o que são variáveis didáticas e seus valores. Os detalhes dessa discussão estão relacionados na subseção 7.2.2.

193

sequência didática aplicada a eles e cuja análise, a priori, foi concebida na

seção 7.1.

7.2.1 Etapa 1 da experimentação 1: análise, a posteriori, das respostas

apresentadas pelos professores às situações-problema

Nesta seção apresentaremos a análise, a posteriori, das respostas dos

professores às situações-problema propostas na sequência didática. As duas

primeiras situações-problemas eram compostas de atividades que envolviam

problemas de reconhecimento e construção de eixos de simetria e a terceira

construção de figura simétrica. O instrumento de coleta de dados foi entregue

aos quatro professores que participavam da pesquisa, mas, por motivos de

ordem pessoal, apenas dois devolveram o instrumento respondido. A análise

que apresentaremos, portanto, equivale à resposta desses dois professores.


professores à situação-problema 1

O enunciado da situação-problema solicitava que o sujeito indicasse se

cada uma das figuras apresentadas admitia ou não eixos de simetria e

justificasse sua resposta. Observamos, por meio do Quadro 28, que para essa

indicação, os professores traçaram, em alguns casos, eixos de simetria em

cada figura.

Quadro 28. Indicação dos eixos de simetria para cada figura dos itens propostos na situação-

problema 1.

Docentes Resoluções

Profª. Margarida

Profº Narciso


Para solucionar cada item da situação-problema proposta, os

professores poderiam utilizar ou não instrumentos para construção geométrica,

194

uma vez que uma das discussões que sucederia à resolução seria quanto ao

papel dos instrumentos nos procedimentos de resolução. Segundo os próprios

professores, os instrumentos por eles utilizados foram: régua graduada e

esquadro. Para as justificativas, os professores utilizaram os argumentos

apresentados no Quadro 29.

Quadro 29. Justificativa dada pelos professores às respostas fornecidas por eles na situação-

problema 1

Docentes Justificativas

Profª. Margarida

a) Infinitos eixos de simetria, visto que cada corda que passa pelo centro (diâmetro) é um eixo de simetria; b) Quanto aos eixos de simetria (2 diagonais e 2 medianas dos lados); c) Se equilátero (3 eixos de simetria: as medianas); se isósceles (1 eixo de simetria: a mediana da base), se escalenos (não possui eixos de simetria);

d) Não há eixos de simetria; e) Octógono: oito eixos de simetria se a figura for um octógono regular (4 retas que passam pelos vértices e centro, 4 retas que dividem os lados em partes iguais);

Profº Narciso

Circunferência: infinitos eixos de simetria (reta que contém o diâmetro); Quadrado: 4 eixos (duas diagonais e duas metades); Triângulo: se for equilátero – 3 eixos; se for isósceles – 1 eixo.

Octógono: 8 eixos de simetria; Paralelogramo: 4 eixos de simetria


Como esperado, ambos os professores justificaram a existência de

infinitos eixos de simetria na figura de item (a), circunferência, com a

argumentação de que cada corda que passa pelo centro da circunferência

(diâmetro) é um eixo de simetria.

Como pode ser observado pelo Quadro 29, no item (b) inicialmente os

professores não discutiram a possibilidade de que o quadrilátero apresentado

não fosse um quadrado (essa discussão surge no debate coletivo), isto é, eles

levaram em conta a aparência da figura no momento de determinar quantos e

quais seriam os eixos de simetria.

Para o item (c) os argumentos dos dois docentes sobre os eixos de

simetria estão relacionados com a classificação dos triângulos em equilátero,

isósceles e escaleno como prevíamos em nossa análise, a priori.

A figura apresentada no item (d), paralelogramo, provocou, como

esperávamos em nossa análise, a priori, dificuldades na resolução dos

professores já que, inicialmente, ambos os docentes afirmaram que o

paralelogramo possuía eixos de simetria e apontaram as diagonais da figura e

195

as retas paralelas a cada um dos pares de lados e equidistante dos vértices

como os prováveis eixos. Contudo, a professora Margarida atentou para o

equívoco e como podemos verificar nos Quadros 28 e 29 retificou sua

resposta. Já o professor Narciso chegou a traçar os falsos eixos de simetria na

figura. Como discutimos anteriormente, acreditamos que o fato da divisão da

figura resultar em duas outras figuras de mesmas proporções provocou a ilusão

de existência dos falsos eixos de simetria.

No caso da figura (e), octógono, os professores foram unânimes na

resposta, 8 eixos de simetria. O professor Narciso admitiu a figura como sendo

um octógono regular e traçou os eixos, já a professora Margarida não traçou os

eixos na figura, mas justificou que, se a figura fosse um octógono regular, teria

8 eixos de simetria e descreveu a localização deles na figura. Nenhum dos

professores discutiu a possibilidade de existência ou não dos eixos de simetria,

para o caso de o octógono não ser regular.

Resumindo, no Quadro 30 apresentamos as variáveis didáticas

identificadas na pesquisa para esta situação-problema, seus valores e as

estratégias identificadas como utilizadas pelos professores levando-se em

conta essas variáveis e seus valores.

Quadro 30. Estratégias dos professores, de acordo com as variáveis didáticas e seus valores

para a situação-problema 1.

Variáveis didáticas Valores Estratégias escolhidas

pelos professores

As posições relativas dos elementos que compõem a

figura objeto


Observação da posição dos lados no caso dos polígonos.

As direções dos eixos de simetria sobre a folha

- horizontais - verticais - oblíquos

Localização perceptiva dos eixos de simetria de acordo

com a figura


-quadriculado

Utilização da régua e esquadro como instrumento

de medição

O tipo de tarefa



Emprego da percepção

Número de eixos de simetria da figura

- nenhum - um

- mais de um eixo

- Utilização de seus conhecimentos prévios para

fazer a indicação de existência ou não dos eixos de simetria e sua justificativa

-Traçar os eixos

196

A complexidade da figura objeto

- circunferência

Construção perceptiva dos eixos e emprego da definição de diâmetro como justificativa para a existência dos eixos

- polígonos Construção perceptiva dos

eixos sem justificativa matemática

Ausência da evidência das medidas dos lados e dos

ângulos

-quadriláteros - octógono

Suposição de que os polígonos eram regulares


Ao analisar as respostas dos professores, para cada item da situação-

problema 1, notamos indícios de que as estratégias escolhidas como

procedimentos de resolução foram influenciadas por mais de uma variável

didática e seus respectivos valores. Um exemplo tangível dessa possibilidade

está no item (d), paralelogramo, em que as direções dos elementos que

compõem a figura objeto (lados opostos paralelos dois a dois), o tipo de papel

(branco) e a ausência da evidência da medida dos ângulos podem ter

influenciado na escolha de estratégias de resolução (localização perceptiva dos

eixos de simetria, utilização da régua e esquadro como instrumento de

medição), que levaram à resposta errada.

Para os polígonos apresentados nos outros itens, observamos que as

estratégias escolhidas pelos docentes forneciam respostas corretas num

campo restrito de validade. No geral, as técnicas escolhidas nos procedimentos

de resolução têm como referência dobradura e espelhamento por meio da

percepção.


professores a situação-problema 2

Na segunda situação-problema, a solicitação era dizer, em cada item, se

as figuras compostas pelos peixes A e B admitiam ou não eixos de simetria;

justificar a resposta e traçar os eixos identificados com a utilização de

instrumentos geométricos. No Quadro 31, mostramos as soluções

apresentadas pelos professores com as respectivas justificativas.

197

Quadro 31. Respostas dos professores à situação-problema 2

Professor Solução Justificativas

Profª. Margarida

Caso 1 e caso 5, pois em ambos os pontos correspondentes aos desenhos são simétricos.

Profº Narciso

Figura 1: eixo de simetria vertical, pois os “peixes” estão olhando um para o outro. Figura 3: eixo de simetria inclinado (pela posição da figura). Figura 5: eixo de simetria horizontal (pela posição da figura).


Analisando as soluções dos professores, observamos que, apesar de o

enunciado solicitar a utilização de instrumentos de desenho geométricos

(régua, compasso ou esquadro) para construir os eixos de simetria, no caso de

eles existirem, é possível que esses instrumentos tenham sido utilizados

apenas para desenhar os eixos de simetria de forma perceptiva e não por meio

de construções geométricas. Como prevíamos, as direções verticais e

horizontais das figuras forneceram indícios quanto à existência ou não dos

eixos de simetria. Podemos observar na solução do professor Narciso que a

direção de um elemento particular da figura, o olho do peixe, interferiu

desfavoravelmente na decisão por existência do eixo de simetria para a figura

apresentada no item (3). Nesse caso, observamos indícios da não utilização de

198

compasso ou esquadro nos procedimentos de resolução, o que ocasionou uma

resposta errada. Chamou-nos a atenção o fato de o professor Narciso também

não ter se atentado para a verificação da propriedade de ortogonalidade.

No Quadro 32, identificamos as estratégias escolhidas pelos

professores, na resolução da situação-problema 2 de acordo com as variáveis

didáticas e os valores fixados.

Quadro 32. Identificação de estratégias escolhidas pelos professores para a situação problema

2, de acordo com as variáveis didáticas e seus valores outrora fixados.

Variáveis didáticas Valores Estratégias escolhidas

pelos professores

As direções dos elementos que compõem a figura objeto

(exemplo, olho do peixe)


Utilização da percepção para a decisão de existência ou

não do eixo de simetria


- horizontal - vertical - oblíquo

Localização perceptiva dos eixos de simetria de acordo com a posição das figuras


Utilização da régua e esquadro como instrumentos

de medição e para fazer o desenho dos eixos de

simetria

O tipo de tarefa



Emprego da percepção

A complexidade da figura objeto

- peixe construído por segmentos de reta e ponto.

Construção perceptiva dos eixos de simetria sem

justificativa matemática


Por meio das justificativas apresentadas pelos professores, podemos

inferir que o conjunto de variáveis didáticas e valores fixados contribuíram para

a escolha de estratégias de resolução que levaram a soluções perceptivas

corretas para os itens (1) e (5). Contudo, do ponto de vista geométrico, a opção

por não utilizar os instrumentos desenho (régua, compasso e esquadro) para

construir os eixos de simetria foi, aparentemente, um fator decisivo para os

argumentos justificativos não estarem fundamentados por meio de definições e

propriedades matemáticas.

Fazendo uma comparação com nossa análise, a priori, (Quadro 23),

observamos sinais de que, na maioria das vezes, nas respostas apresentadas

pelos docentes, está referenciada a geometria G0 de acordo com a

classificação proposta por Parzysz (2001; 2006). Nesse caso, os argumentos

199

dos docentes apontam para validação do tipo perceptiva, por meio da

visualização, porém esses argumentos não estão fundamentados de forma

explícita em propriedades matemáticas como equidistância e ortogonalidade.

7.2.1.3 Análise, a posteriori, das respostas fornecidas pelos professores

a situação-problema 3

A terceira e última situação-problema proposta aos professores,

baseava-se nos estudos de Grenier (1988) e solicitava em seu enunciado que

o sujeito traçasse, para cada item, a figura simétrica com relação à reta dada.

Ao solicitarmos que os procedimentos utilizados para solucionar cada um dos

itens da situação-problema 3 fossem explicados, o professor Narciso

argumentou que “foram utilizados para a construção [de figuras simétricas]

régua e esquadro, cada ponto foi transferido para o outro do eixo de simetria

mantida a equidistância”. A professora Margarida justificou dizendo que, na

construção da figura simétrica “utiliza pontos simétricos a cada ponto do

desenho do outro lado do eixo de simetria”.

Como apresentado no Quadro 26 da seção 7.1, nessa seção os itens

também serão analisados de forma agrupada, de acordo com algumas

variáveis didáticas como detalhado anteriormente. No Quadro 33, mostramos

as construções dos professores para os itens (a) e (m).

Quadro 33. Repostas dos professores aos itens (a) e (m)

Itens Professor Construção

(a), (m)

Profª. Margarida

Profº Narciso


Observamos, na resposta da professora Margarida, indícios de que não

foram utilizados instrumentos como compasso ou esquadro (pela ausência de

prolongamentos e linhas de construção) para a construção dos pontos

200

simétricos. Aparentemente, a professora utilizou a percepção e seus

conhecimentos prévios para traçar os pontos simétricos. Em nossa análise, a

priori, um dos objetivos era avaliar se as propriedades como equidistância e

ortogonalidade seriam levadas em consideração na construção dos pontos

simétricos; nossas observações mostraram que a equidistância foi uma

preocupação da professora, validada por meio de medições com a régua.

Contudo, quanto à ortogonalidade notamos para cada item, que o ângulo

entre os eixos de simetria e o segmento que liga cada ponto dado ao seu ponto

“simétrico” não é de 90º, o que remete a uma falha na aplicação da definição

de simetria ortogonal. É possível perceber que o professor Narciso utilizou a

régua para medir distância, e o esquadro para o ângulo.

Nas respostas dos dois professores, foi possível observar que o fato de

no item (m) serem dois pontos, um próximo e o outro afastado do eixo de

simetria não influenciou nas soluções apresentadas, já que cada ponto foi

analisado de forma independente.

No Quadro 34, apresentamos as construções dos professores para os

itens (b), (h), (i) e (l).

Quadro 34. Respostas dos professores aos itens (b), (h), (i) e (l)

Itens Professor construção

(b), (h), (i) e (l)

Profª. Margarida

Profº Narciso


201

Para essa sequência de atividades, observamos que as resoluções tanto

da professora Margarida quanto do professor Narciso são perceptivas.

Observamos indícios de que os instrumentos de desenho geométrico foram

utilizados para medir ângulos e/ou distância, o que pode ter ocasionado falhas

na construção da figura simétrica. Chamou-nos a atenção o ponto de

interrogação na construção do item (l) expressado pela professora Margarida, o

que, provavelmente, sugere dúvida na resolução. Para o item (b) não foi

observado na resolução dos professores, o que Grenier (1988) chamou de

paralelismo entre o objeto e seu simétrico, para os outros itens ((h), (i) e (l))

confirmamos nossas hipóteses prévias de que a posição do eixo de simetria e

a posição da figura-objeto com relação ao eixo de simetria favoreceram a

resolução dos docentes.


itens (c), (e) e (f). Nesses itens foram explorados os casos em que a figura-

-objeto toca ou corta (em um e dois pontos) o eixo de simetria.

Quadro 35. Respostas dos professores aos itens (c), (e) e (f) Itens Professor Construção

(c), (e), (f)

Profª. Margarida

Profº Narciso


Como previsto em nossa análise, a priori, para cada item a interseção da

figura-objeto com o eixo de simetria provocou dificuldades nas construções das

figuras simétricas. Essas dificuldades tornam-se mais evidentes quando a

figura corta em um ou mais pontos o eixo de simetria. Identificamos como

procedimentos de construção em ambas as respostas dos professores, para os

itens (c), (e), (f), a transcrição das distâncias das extremidades dos segmentos

que compõem a figura-objeto no semiplano oposto ao eixo de simetria, o que

202

acarretou uma diferença no comprimento dos segmentos que a compõem e,

consequentemente, nas dimensões e no formato das figuras. Nesse caso, o

fato de a ortogonalidade não ter sido considerada, levou à construção de

figuras errôneas.


itens (d), (g) e (j). A intenção nessa sequência de atividades era focar na

influência da malha quadriculada, direção do eixo de simetria sobre a folha,

posição do eixo de simetria e na complexidade da figura-objeto.

Quadro 36. Respostas dos professores aos itens (d), (g) e (j)

Itens Professor Construção

(d), (g) e (j)

Profª. Margarida

Profº Narciso


Nas respostas de ambos os professores é possível observar, fazendo

uma comparação dos itens (d) e (j) com o item (g), que as variáveis didáticas (e

seus valores), tipo do papel (quadriculado) e direção do eixo de simetria sobre

a folha (vertical), foram elementos favoráveis na resolução dos itens (d) e (j).

No caso desses itens, a transcrição de pontos da figura-objeto para o

semiplano oposto ao eixo de simetria se dá numa direção “quase” ortogonal ao

eixo. Para o item (g), fazemos a mesma observação, apresentada para as

respostas dos docentes aos itens relacionados no Quadro 36, quanto aos

procedimentos de construção de figura simétrica.

Um resumo de nossa análise é apresentado no Quadro 37, em que

procuramos sintetizar a influência das variáveis didáticas escolhidas e seus

valores nas respostas apresentadas pelos professores.

203

Quadro 37. Identificação de estratégias escolhidas pelos professores para a situação-problema 3 de acordo com as variáveis didáticas e seus valores outrora fixados.

Variáveis didáticas Valores Estratégias escolhidas pelos

professores

A interseção da figura-objeto com o eixo de simetria

- toca o eixo - corta o eixo em um ponto - corta o eixo em mais de um ponto

Utilização da percepção para transcrição de pontos da figura-objeto para o semiplano oposto ao eixo de simetria.

As posições relativas dos elementos que compõem a figura-objeto


Localização dos pontos das extremidades dos segmentos que compõem a figura-objeto.


- horizontal - vertical - oblíquas

Escolha de direções perceptivamente ortogonais ao

eixo de simetria

O tipo de papel

- branco

Utilização da régua e esquadro como instrumento de medição.

- quadriculado Utilização da malha quadriculada para construção global da figura

simétrica.

O tipo de tarefa - construção de figura simétrica Emprego da percepção

A configuração da figura-objeto

- pontos - segmentos - polígonos

Construção da figura “simétrica” tendo como fundamento a conservação da distância.

Distância da figura-objeto ao eixo de simetria

- conservada - não conservada

Preocupação com a conservação da distância


Notamos nas respostas fornecidas pelos professores, em todos os itens

da situação-problema 3, procedimentos de construção de figura simétrica,

marcados pelo uso da percepção e dos conhecimentos prévios dos docentes,

no que diz respeito à referência à dobradura e espelhamento. Esses

procedimentos foram usados em detrimento da utilização de instrumentos de

desenho geométricos (régua, compasso e esquadro) na construção das figuras

simétricas. Como consequência dessas escolhas, observamos que a validação

dos procedimentos fica restrita à percepção visual, com a ausência de

justificativas matemáticas.

Observamos por meio dessa análise, que as respostas dos professores

transitam entre as geometrias G0 e G1, dependendo da atividade proposta.

Existe, porém uma forte tendência para a geometria G0, o que já era esperado

devido ao fato de os professores exercerem há mais de 10 anos a docência em

Matemática no Ensino Fundamental, como pode ser observado no Quadro 14.

204

Na seção 7.2.2 apresentaremos as respostas dos professores quanto ao

questionário discursivo que propunha uma pré-análise das três situações-

problema resolvidas pelos professores e discussões sobre tais situações nas

reuniões presenciais realizadas na escola com os docentes sujeitos da

pesquisa.

7.2.2 Etapa 2 da experimentação 1: as respostas dos professores ao

questionário discursivo e as discussões nas reuniões sobre a pré-

análise das situações-problema

Para direcionar as discussões, propusemos aos professores um

conjunto de quatro questões discursivas, com o objetivo de estimular a reflexão

sob o ponto de vista didático, as situações-problema analisadas na seção 7.1.

Nessa etapa da experimentação 1, a coleta de dados foi realizada de duas

formas interligadas, as respostas dos professores, sujeitos da pesquisa, ao

questionário acima citado e as gravações do áudio dos depoimentos dados

pelos docentes, durante uma reunião que ocorreu no formato de debate

coletivo. As respostas e os depoimentos apresentados pelos docentes são

analisados a seguir, nesta análise, na qual utilizamos como referência a

estruturação descendente do milieu, segundo Margolinas (2002; 2004).

Focaremos, portanto, segundo esse modelo, nos níveis de atividade que vão

de (+3) a (-1) com o objetivo de analisar apenas a atividade do professor.

Observamos que o nível (+3), noosferiano, foi vivenciado nos

procedimentos iniciais de experimentação em que discutimos, em conjunto com

os docentes, sobre o papel da simetria no currículo de Matemática e a sua

relação com outros conteúdos matemáticos, o que culminou numa ação

reflexiva por parte dos professores, isto é, a construção de mapas conceituais.

Contudo, na resposta do professor Narciso à questão discursiva 3 do

questionário, observamos reflexões voltadas a esse nível, conforme Figura 52.

205

Figura 52. Resposta do professor Narciso à questão discursiva 3 do instrumento aplicado aos professores


Essa reflexão foi ampliada quando questionamos, presencialmente, os

professores, para saber se eles consideravam pouco o trabalho com as

construções geométricas na escola. Segundo o professor Narciso,

não é trabalhado nada de construções geométricas na escola, faz muitos anos, mas, muitos anos mesmo que a gente não vê a disciplina desenho geométrico: construção de mediatriz, reta perpendicular, construção de retas paralelas usando régua e compasso. 45

Os professores justificam esse fato, pela retirada da disciplina desenho

geométrico dos cursos de Licenciatura em Matemática nas universidades. Eles

ainda citam como motivo para essa retirada a inclinação para as propriedades

e a simbologia, isto é, à álgebra.

Segundo Margolinas (2002) no nível +2 (da construção), o professor

constrói ou escolhe uma série de situações fundamentais, com o objetivo de

analisar: as variáveis didáticas envolvidas e os valores dessas variáveis; as

dificuldades que os alunos poderiam apresentar durante a experimentação e as

ações para minimizar ou saná-las e o repertório de conhecimentos a serem

mobilizados pelos discentes.

Nossa proposta, na primeira questão discursiva, restringia-se a instigar o

docente a refletir sobre as respostas corretas esperadas por eles, as

dificuldades que os alunos poderiam encontrar na resolução das situações-

45 Em depoimento concedido em reunião - julho de 2014.

206

-problema, os conhecimentos mobilizados pelos alunos para resolver cada item

de cada uma das situações propostas e a importância didática de situações

desse tipo na formação dos alunos, em relação à simetria axial. Apesar disso,

os professores detiveram-se, principalmente, nas dificuldades esperadas por

eles com relação a uma possível solução a ser apresentada pelos alunos, o

que justifica terem passado a responder o questionário a partir da questão

discursiva 2. Essas respostas estão relacionadas no Quadro 38.

Quadro 38. Respostas dos professores, com relação à questão discursiva 2

Docentes

Profª. Margarida

Prof Narciso


Por meio das respostas apresentadas no Quadro 38, identificamos que

os professores acreditavam que a complexidade da figura-objeto (por exemplo,

octógono e circunferência), no caso de reconhecimento e construção de eixo

de simetria e o fato de a figura-objeto tocar ou cortar (em 1 ou mais pontos) o

207

eixo de simetria no caso de construção de figura simétrica, acarretariam

dificuldades aos alunos, para sua resolução. Aparentemente, para os

professores, a visão de simetria ortogonal como espelhamento é determinante

para que os discentes obtenham êxito no conjunto de atividades propostas na

sequência didática.

Na quarta questão discursiva, perguntamos aos professores, se eles

identificavam alguma variável didática que pudesse dificultar ou facilitar a

resolução das situações propostas. As respostas dos professores são

apresentadas no Quadro 39.

Quadro 39. Respostas dos professores com relação à questão discursiva 4

Docentes

Profª Margarida

Prof Narciso


Observamos que as variáveis didáticas identificadas pelos professores

nas atividades que compõem a sequência didática proposta, vêm ao encontro

de algumas daquelas já relacionadas neste estudo, a saber: as direções do

eixo de simetria na folha, o tipo de papel (branco ou quadriculado), a

complexidade da figura-objeto, as direções dos elementos que compõem a

figura-objeto e a interseção da figura-objeto com o eixo de simetria.

Ressaltamos que uma consequência importante da escolha de variáveis

didáticas é o tipo de técnica disponível/escolhida nos procedimentos e nas

respostas dos sujeitos. Essa importância se deve ao fato de que, dependendo

do tipo de técnica escolhida para os procedimentos de resolução, existe a

necessidade da mobilização de conhecimentos diferentes.

Acreditamos que, no momento em que os professores responderam

esse questionário discursivo, ocorreu um movimento duplo, o que Schön (2000)

208

chamou de conhecimento-na-ação e reflexão-na-ação, isto é, uma primeira

reflexão acerca da sequência didática proposta.

Por considerarmos as respostas fornecidas nos Quadros 38 e 39

insuficientes para o processo de investigação, decidimos fazer uma segunda

discussão dessas mesmas questões, porém, presencialmente, por meio de um

debate coletivo. Essas discussões ampliaram os argumentos sobre as

dificuldades esperadas pelos professores com relação a cada item das

situações-problema, as variáveis didáticas (e seus valores) envolvidas na

sequência de atividades, além dos conhecimentos a serem mobilizados pelos

alunos durante a resolução delas. Consideramos que essas discussões nos

levaram a uma reflexão-sobre-a-ação, no sentido de Schön (2000). Para esse

debate coletivo, apesar de apenas dois dos quatro professores, engajados na

pesquisa, terem respondido e entregado os questionários, participaram três

professores: o professor Narciso, a professora Margarida e a professora Rosa.

Sendo assim, as argumentações dos docentes foram transcritas e são

analisadas a seguir.


coletivo sobre a pré-análise realizada pelos docentes sobre a

situação-problema 1

Sobre a atividade do professor, Margolinas (2002, p.2) observa que,

de maneira geral, o professor está preso entre as considerações que faz, de alguma forma, sobre os alunos e de outras que provêm de sua condição de professor de Matemática, como tal está fortemente sujeito ao estabelecimento de ensino e da instituição matemática”.

(tradução nossa).

A seguir, podemos conferir que as argumentações dos professores sobre a análise de cada item da situação-problema 1 está de acordo com essa observação.

Com relação ao item (a), circunferência, para os alunos do 6ºano do

Ensino Fundamental, o professor Narciso avalia que:

o aluno não tem a noção do que venha a ser diâmetro (primeiro problema), por exemplo, ele pode até traçar aquele primeiro eixo de simetria, mas ele não vai entender que de qualquer jeito que ele

209

traçar uma corda passando pelo centro ele vai traçar um eixo de simetria, por que ele não tem noção de diâmetro 46.

Ainda sobre o reconhecimento e construção dos eixos de simetria da

circunferência, esse mesmo professor reforça que, para os alunos do 6º ano,

ele vai, com a experiência que a gente tem, a experiência de sala de aula, ele vai dobrar aqui e vai dizer que só existe um eixo de simetria, ai a gente vai perguntar, e se a gente dobrar aqui? Sabe o que ele vai responder? Mas professor é a mesma coisa. E se a gente dobrar assim? Não professor é a mesma coisa. Então ele não vai entender que quando a gente muda a posição da dobradura a gente muda o eixo de simetria, isto é, a gente tem outro eixo.47

Quanto a possíveis dificuldades na resolução desse item, a professora

Margarida acredita que “no nono ano, o aluno já entenderia isso, porque a

simetria é trabalhada no oitavo ano”. 48

De acordo com o professor Narciso, “na figura (b) eu acho que ele

[aluno] vai ter menos dificuldade, tanto é que eu não fiz questão, por exemplo,

de identificar a variável didática [...] talvez não entendesse [o aluno] a diagonal

como sendo um eixo de simetria, mas acho que não teria problema”. 49

Para o item (c) o professor Narciso pontua que, “uma variável didática é

exatamente a questão das propriedades do triângulo: se for um triângulo

equilátero possui 3 eixos de simetria, isósceles 1 eixo de simetria e se for

escaleno nenhum.” 50 Para o octógono, os professores reforçaram que a

complexidade da figura é a principal variável didática.

Voltando ao debate sobre o item (b), chamamos a atenção dos docentes

para a aparência da figura. Por exemplo, e se a figura fosse um losango e não

um quadrado? Na discussão, os professores concluíram que “ele vai ter dois

eixos de simetria, o losango só vai ter as diagonais como eixo de simetria por

porque [a medida] dos ângulos opostos são iguais, então quando a gente traça

as diagonais, a gente traça dois triângulos isósceles congruentes.” 51

Ao questionarmos os professores, se eles acreditavam que os alunos

fariam alguma discussão ou perguntariam sobre a natureza da figura dada, por

46 Em depoimento concedido em reunião - julho de 2014. 47 Professor Narciso em depoimento concedido em reunião - julho de 2014 48 Em depoimento concedido em reunião - julho de 2014. 49 Idem. 50 Idem. 51 Professor Narciso em depoimento concedido em reunião – julho de 2014.

210

exemplo, se discutiriam o número de eixos de simetria de acordo com a

classificação dos triângulos ou dos quadriláteros, a professora Margarida

explicou;

não, porque a questão de conceito eles não gostam muito que a gente diga o porquê, eles querem que a gente vá direto, então eles não perguntam se a gente vai trabalhar a dedução de uma fórmula, por exemplo, eles não querem não, dá logo professora e acabou. Eles não querem saber por que aquilo não veio do nada não. 52

Já o professor Narciso, ponderou que, “no 6º ano, é muito mais fácil

discutir os porquês, uma vez que o aluno ainda está naquela fase da

curiosidade, mas quando o aluno vai crescendo ele vai despertando para

alguns outros interesses”53. Segundo esse mesmo professor, essa questão é

mais complexa, isto é, a afinidade com outras áreas do conhecimento faz com

os alunos do 9º ano, por exemplo, não tenham tanto interesse pela dedução de

fórmulas ou pelas definições matemáticas e tantas mais.

Observamos que, nesse caso, as discussões dos professores ainda

estão pautadas no nível +3, noosferiano, em que os debates sobre as ações

que podem ser tomadas a respeito das respostas esperadas (corretas ou não)

tomam uma proporção mais ampla. Assim, a situação S+3 (noosferiana)

poderia ser descrita como: P+3 investiga uma forma de envolver os alunos em

uma discussão, de maneira que eles observem que as definições e

propriedades das figuras geométricas planas (Figura 45, p.172) estão

diretamente ligadas ao conceito de figuras simétricas e, por consequência, ao

número de eixos de simetria.

Em grandes linhas gerais, o debate ficou em volta de uma reflexão sobre

a volta da inserção da disciplina desenho geométrico no currículo e sobre a

forma/ordem de apresentação dos conteúdos nos livros didáticos. Nas

situações-problema 2 e 3, o foco principal do debate coletivo foi a influência

das variáveis didáticas e de seus valores nos procedimentos de resolução

esperados pelos docentes.

52 Em depoimento concedido em reunião - julho de 2014. 53 Em depoimento concedido em reunião - julho de 2014.

211

7.2.2.2 Análise dos dados oriundos das discussões no debate coletivo

sobre a pré-análise realizada pelos professores para a situação-

problema 2

Margolinas (2002) esclarece que o professor P0, ator em classe, está

sempre em tensão entre seu projeto de ensino (nível +1 na estruturação do

milieu) e a reação dos alunos. A afirmação do professor Narciso externa essa

tensão, pois, segundo esse docente, “a dificuldade de enxergar detalhes das

figuras, por exemplo, aqui no item 5 ele [aluno] tem que enxergar exatamente,

ou melhor dizendo, o que vai mostrar onde está o eixo de simetria é a posição

dos olhos do peixe, se tem ou não eixo de simetria e onde está.”54 (ver Figura

46, p.180)

Segundo os professores, existe um detalhe importante no caso da

Figura 5, “se o olho [do peixe B] estivesse em cima, a figura não teria eixo de

simetria” 55; “o olho [do peixe] muitos [alunos] não vão observar o olho” 56. Eles

concluem que a posição do olho do peixe é a principal variável didática nessa

atividade.

Essa identificação condiz com nossa análise, a priori. Contudo, outras

variáveis didáticas importantes não foram levadas em conta nessa

identificação, e um exemplo é a conservação ou não da distância das figuras

(objeto e simétrica) ao eixo de simetria. Ressaltamos que uma consequência

dessa variável didática é a escolha do tipo de técnica (dobradura, construção

com régua esquadro e compasso) a ser utilizada nos procedimentos de

resolução. Consideramos que o tipo de técnica escolhida é determinante no

momento de decidir pela existência ou não dos eixos de simetria e, no caso de

existência, na construção desse elemento.


coletivo sobre a pré-análise realizada pelos professores, para a

situação-problema 3

Para essa última situação-problema foram debatidas amplamente as

variáveis didáticas, seus valores e a influência que elas podem ter sobre as

54 54 Em depoimento concedido na reunião - julho de 2014. 55 Professor Narciso em depoimento concedido em reunião - julho de 2014. 56 Professora Margarida em depoimento concedido em reunião - julho de 2014.

212

construções de figuras simétricas. Sobre a utilização dos instrumentos de

desenho, na resolução de cada item, apesar de os professores admitirem sua

importância, eles não detalharam como os instrumentos podem auxiliar os

alunos no processo de aprendizagem; um dos professores argumenta que eles

“auxiliam bastante na construção das figuras simétricas de acordo com o eixo

de simetria”. 57

Chamamos a atenção dos professores com relação à simetria ortogonal,

no caso de simetria de pontos e simetria de figuras complexas. Quando

detalhavam sua prática de ensino um dos professores afirmou que

a primeira simetria que a gente faz, no caso de simetria axial, é fazer a simetria de ponto. Então se eu tenho um ponto e o eixo de simetria aonde é que está o outro [ponto simétrico]? Quando esta bem firme na cabeça do aluno a questão da simetria de ponto com relação a um eixo de simetria, ai a gente parte para as figuras, mas a gente parte para as figuras pensando exatamente isso, identifique os pontos dessa figura e transfira os pontos [simétricos]. Eu fiz muito isso não em matemática, mas quando era professor de física do segundo ano, na parte de ótica geométrica, espelho plano, para a gente construir a imagem a gente falava isso aqui esta o espelho, mas a gente vai transferir ponto a ponto. Depois de transferir ponto a ponto a gente só

vai ligar os pontos. 58

Pelo depoimento do docente, inferimos que ele acredita que, se o aluno

sabe traçar o simétrico de um ponto, ele está apto a traçar o simétrico de uma

figura qualquer. Contudo, Grenier, em seu estudo, tinha como uma das

hipóteses, a de que “não é suficiente para o aluno saber o traçado simétrico de

um ponto para conhecer o traçado simétrico de qualquer figura” (1988, p. 22,

tradução nossa).

Sobre essa hipótese, a autora afirma que seus experimentos permitiram

verificar a não equivalência pelos alunos das tarefas de traçado simétrico de

uma figura, quando esta era composta unicamente de pontos separados ou

quando era composta de segmentos, o mesmo acontecendo com os alunos

que tiveram um ensino anterior sobre o conceito de simetria ortogonal. Ela

afirma ainda que, no ensino, a passagem da construção do simétrico de um

ponto para aquele simétrico de qualquer figura é frequentemente implícito e

deixado a cargo dos alunos.

57 Professor Narciso em depoimento concedido em reunião - julho de 2014. 58 Professor Narciso em depoimento concedido em reunião - julho de 2014.

213

Com relação à interseção do eixo de simetria com a figura-objeto, as

discussões dos professores voltaram-se, principalmente, para quando a figura-

-objeto corta o eixo de simetria em um ou mais pontos. Segundo o professor

Narciso, “uma das maiores dificuldades que o aluno teria, mesmo com papel

quadriculado ou sem papel quadriculado é quando uma parte da figura está

sobreposta do outro lado do eixo de simetria” 59. A interseção da figura-objeto

com o eixo de simetria voltou a ser citada quando questionamos sobre quais

itens da situação-problema 3, os docentes acreditavam que os alunos teriam

mais dificuldades. Eles foram unânimes ao dizer que: “para o aluno do sexto

ano, se a gente tiver feito uma releitura da simetria como espelhamento e por

aí vai, a dificuldade na minha concepção para ele, letra (c) e letra (f), porque,

em todas as duas eu tenho figuras cortando o eixo de simetria”60; “no sétimo

ano, com certeza, essas dificuldades continuariam” 61 para os itens (c) e (f); “as

letras (c) e (f) até no nono ano os alunos teriam dificuldades”62. As observações

dos docentes estão de acordo com os resultados obtidos por Grenier (1988).

Em seus estudos, essa autora pontua que a interseção da figura-objeto com o

eixo de simetria continuou a provocar erros nos registros dos alunos, mesmo

após o ensino do conceito.

Outra variável didática identificada pelos docentes e que, segundo eles,

provocaria um pouco de dúvida no aluno, é quando o eixo de simetria é

oblíquo, mas não é a diagonal da folha (itens (a), (b), (i), (m) e (n)). Por

exemplo, no item (i), os professores observaram que a figura-objeto toca a

borda retangular superior, mas que, ao construir a figura simétrica, essa não

toca a borda retangular inferior conforme observamos na Figura 53.

Figura 53. Observação dos professores quanto à posição da figura simétrica em relação à

posição do eixo de simetria, item (i).


59 Em depoimento concedido em reunião - julho de 2014. 60 Professor Narciso em depoimento concedido em reunião - julho de 2014. 61 Professora Rosa em depoimento concedido em reunião - julho de 2014. 62 Professora Margarida em depoimento concedido em reunião - julho de 2014.

214

Segundo o argumento dos docentes “alguém pode pensar que aqui vai

encostar, mas por que não encosta? Porque o eixo de simetria não é a

diagonal do retângulo” 63.

Observamos que, nesse caso, os professores identificaram uma variável

didática que não estava prevista em nossa análise, a priori, isto é, a posição do

eixo de simetria na folha.

Ao serem questionados sobre o papel da malha quadriculada, os

professores ficaram divididos: ela favorece ou não a resolução? Nesse sentido,

Narciso afirma que

A malha quadriculada auxilia ao aluno visualizar a figura simétrica sem o auxílio de material [instrumento de desenho geométrico] por que, por exemplo, em todas essas [itens sobre o papel branco] aqui eu usei régua e esquadro (eu não usei compasso) para conseguir visualizar medindo direitinho, nessa daqui [item sobre a malha quadriculada] eu não precisei tanto de régua e esquadro por que eu consegui visualizar, então é aquela questão da visualização da figura. A malha quadriculada ela auxilia ao aluno e me auxiliou também a enxergar a figura a figura simétrica sem precisar de material de desenho [geométrico] para construir. 64

A concepção de que a malha quadriculada é um agente facilitador para a

construção de figura simétrica, pode ter sido reforçada pelo fato de que, entre

os tipos de tarefas propostas por alguns autores de livros didáticos, são

privilegiados aqueles que utilizam a malha quadriculada, como pode ser

observado na Tabela 1, apresentada no terceiro capítulo deste trabalho.

Porém, como já pontuamos anteriormente por meio dos resultados de

Grenier (1988) e pela investigação preliminar realizada por nós (SILVA;

ALMOULOUD, 2013), os procedimentos e respostas aos itens sobre papel

quadriculado não são mais bem sucedidos que aqueles sobre o papel branco.

Além disso, em nossa análise, a posteriori, observamos, nos registros

fornecidos pelos professores ao resolverem a sequência didática pré-

elaborada, que a malha quadriculada induziu os sujeitos a levarem em

consideração pontos particulares da figura-objeto e transcrever esses pontos

no semiplano oposto ao eixo de simetria, numa direção “quase” ortogonal a ele.

Esse fato acarretou a construção de figuras “simétricas” errôneas, isto porque

63 Professor Narciso em depoimento concedido em reunião - julho de 2014. 64 Professor Narciso em depoimento concedido em reunião - julho de 2014.

215

ocultou uma propriedade importante da simetria ortogonal, a ortogonalidade, a

qual não foi levada em conta nas construções de figuras simétricas.

A professora Margarida argumenta que “se o aluno não atentar, olhar a

malha [quadriculada] e não atentar à quantidade de quadrinhos de um lado e

do outro [do eixo de simetria], por exemplo, aqui tem três colunas de

quadrinhos, aqui têm quatro, eles [os alunos] podem se equivocar” 65. Fato que

está ilustrado na Figura 54, pelo item (d) da situação-problema 3.

Figura 54. Observação dos professores quanto à posição da figura simétrica em relação à posição do eixo de simetria no item (d).


Nesse caso, ao analisar o item (d) da situação-problema 3, a professora

avalia que a composição de duas variáveis didáticas, tipo do papel

(quadriculado) e a posição do eixo de simetria na folha podem influenciar na

resolução dos alunos.

Como forma de minimizar as possíveis dificuldades, os docentes

discutiram propostas, como o trabalho com construções geométricas nas aulas

de geometria. Nesse caso, a situação S+2 poderia ser descrita como: P+2

refletindo sobre a construção de uma sequência de atividades a partir das

quais os discentes possam progredir da construção de mediatriz e reta

perpendicular para a definição e as propriedades da simetria ortogonal (ver

citação, p.164 e p.165).

Segundo Margolinas (2004), no nível +1(planejamento), o professor

constrói ou escolhe uma sequência de situações didáticas com a finalidade de

ensinar determinado conteúdo. Para direcionar a pesquisa, os professores

realizaram a pré-análise de uma sequência didática pré-elaborada, na qual eles

65 Em depoimento concedido em reunião - julho de 2014.

216

tinham a possibilidade de modificar as situações-problema e/ou adicionar

algum item em cada uma das sequência de atividades.

Na próxima seção, apresentamos uma síntese da pré-análise realizada

pelos docentes. Nela, exibimos algumas sugestões de modificações em alguns

dos itens que compõem as situações-problema apresentados na sequência

didática pré-elaborada e as decisões tomadas, no debate coletivo, sobre o

conjunto de atividades a ser aplicado numa turma do 8º ano do Ensino

Fundamental.

7.2.2.4 Uma síntese de nossa análise sobre as respostas de professores

ao questionário discursivo e as discussões nas reuniões sobre a

pré-análise desses docentes às situações-problema

Um ponto de discussão sobre a sequência didática pré-elaborada está

relacionado com os enunciados das situações-problema. Os professores

insistiam que a simetria ortogonal deveria ser tratada como espelhamento,

sobretudo para alunos do 6º ano do Ensino Fundamental. Entretanto,

argumentamos que os alunos precisam ter contato com a linguagem

matemática e ficou acordado que, se no momento do experimento, os

discentes pedissem explicação sobre os enunciados, poderia ser utilizado o

termo espelhamento para esse fim.

Outro ponto de discussão, foi a retirada do item (f) da situação-problema

1; inicialmente, os professores argumentaram que o objetivo desse item já

estava contemplado nos itens anteriores. Depois de certo debate, foi decidido

que o item seria mantido na sequência, uma vez que poderia trazer mais

elementos acerca dos procedimentos adotados pelos alunos. Foi acertado,

ainda, que a sequência didática seria aplicada em uma das turmas do 8º ano

de Ensino Fundamental II, na escola em que a investigação estava sendo

realizada e no horário de aulas de um dos docentes, sujeito da pesquisa.

Os professores observaram que, quando o papel era do tipo malha

quadriculada, não havia sido proposto na sequência didática pré-elaborada um

item no qual o eixo de simetria tivesse direção oblíqua com relação à folha e a

figura-objeto não fosse paralela a essa folha. Eles sugeriram propor esse item

na sequência didática a ser aplicada aos alunos. Ilustramos na Figura 55 o item

sugerido pelos docentes para ser adicionado à sequência didática.

217

Figura 55. Item sugerido pelos professores para ser adicionado à sequência didática aplicada aos alunos.

Fonte: Questionário aplicado aos alunos

A situação S+1 pode ser descrita como: o professor P+1 avalia as

situações-problema propostas na sequência didática pré-elaborada e sugere

alterações com vistas à sua aplicação a alunos do 8º ano do Ensino

Fundamental II.

Nessa investigação com docentes participantes da pesquisa, sobre o

ensino da simetria ortogonal, identificamos a concepção de que a utilização de

termos como espelhamento e reflexão pode facilitar a compreensão dos

discentes, ao resolverem atividades sobre a simetria ortogonal. Outra

concepção, identificada na análise dos registros e áudios fornecidos pelos

mesmos docentes é que se o aluno sabe traçar o simétrico de um ponto, ele

está apto a traçar o simétrico de uma figura qualquer. Por fim, foi possível

perceber o entendimento de que a malha quadriculada é um agente facilitador

para a construção de figura simétrica.

No Quadro 40, fazemos uma síntese das respostas fornecidas por dois

professores no questionário discursivo e pelas discussões de três professores

que participaram do debate coletivo realizado no horário destinado ao A.C.

(atividades complementares).

218

Quadro 40. Síntese das respostas dos professores sobre o instrumento 3 e no debate coletivo

Ativ

idad

es

Dificuldades que os

alunos podem encontrar

Os conhecimentos que os alunos mobilizariam

para responder os itens

A importância didática desse

tipo de situações para

a formação dos alunos

Variáveis didáticas

As propostas

1- a) O aluno pode traçar o primeiro eixo [de simetria], mas, ele não vai entender que de qualquer forma que ele traçar uma corda passando pelo centro [da circunferência] ele vai traçar o eixo de simetria, porque não tem a noção de diâmetro.

-Noção de diâmetro de uma circunferência. - Corda. - Ângulo central, que é igual ao comprimento de arco.

-Essas atividades dão condições ao aluno de perceber as propriedades e conceitos referentes à simetria tanto para a construção de figuras simétricas quanto na identificação do eixo de simetria. Noções de equidistância, perpendicularidade e paralelismo ficaram mais claras para os alunos após a aplicação dessas atividades. - O aluno participando deste laboratório tem a possibilidade de formular conjecturas, de forma a conseguir de forma autônoma compreender conceitos relativos à geometria. - São atividades práticas que proporcionarão aos educandos

A própria figura

-Situação prática envolvendo espelhamento. - Trabalharia o conceito de simetria e eixo de simetria. - Inserção novamente da disciplina desenho geométrico - A valorização da geometria no currículo da educação básica. - Propiciar ao aluno atividades que possibilitem que ele faça construções geométricas.

1- b) Talvez ele [o aluno] não entenda a diagonal como eixo de simetria.

As propriedades do quadrado.

Não identificou nenhuma

1- c) Quanto à classificação dos triângulos (equilátero isósceles e escaleno). Especificamente traçariam apenas um eixo como se fosse um triângulo isósceles.

As propriedades do triângulo.

A natureza da figura.

1- d) Identificariam dois eixos de simetria, pois não atentariam ao espelhamento.

-Ângulos opostos são iguais -Ângulos adjacentes. -Fazer as relações de ângulos opostos pelo vértice.

1- e) Não conseguiriam [os alunos] encontrar todos os eixos de simetria do octógono.

Propriedades dos polígonos

Complexi-dade da figura.

2 Dificuldade de enxergar detalhes das figuras.

Equidistância. Posição dos olhos dos peixes.

219

3 - Problema de interpretação, tem ajudar a entender o que se está pedindo [no enunciado]. - Para os itens (c) e (f) as dificuldades seriam maiores quando uma parte da figura está sobreposta do outro lado do eixo de simetria. - Para os itens (a), (i) e (m) uma dificuldade seria quando o eixo de simetria é oblíquo, mas não é diagonal na folha.

- Ângulo reto. - Construção de mediatriz. - Construção de reta perpendicular.

a reflexão, discussão, tomada de decisão e internalização do conceito de simetria.

Quando a figura corta o eixo de simetria em um ou mais pontos.

A posição do eixo de simetria com relação à folha.


Por meio do Quadro 40, constatamos a afirmação de Margolinas (2004)

de que os níveis da atividade do professor interagem entre si. Um exemplo

dessa interação aparece na coluna que trata das propostas dos professores,

cujo objetivo seria minimizar ou sanar as possíveis dificuldades a serem

encontradas pelos alunos. Traços das discussões proferidas no nível

noosferiano (que segundo Margolinas (2004) é um nível não finalizado),

voltaram a ser apresentados pelos professores, tanto nas respostas ao

questionário discursivo, quanto no debate coletivo ao serem inquiridos sobre a

proposta de situações didáticas envolvendo a simetria ortogonal.

A partir das considerações feitas pelos professores ao analisar a

sequência didática pré-elaborada, observamos que as avaliações partem de

suas próprias experiências, tanto como o sujeito que estudou e propôs

soluções para as situações-problema, quanto na condição de professor de

Matemática, isto é, aquele que propõe alterações e faz uma análise didática da

sequência, levando em consideração suas concepções de ensino e de

aprendizagem. De acordo com a estruturação do milieu do professor, proposta

por Margolinas, essas observações corroboram a afirmação de que

o professor está sempre em tensão entre os níveis superiores (isto é, dado um nível n, os níveis n+1, n+2, etc.) e os níveis inferiores (respect. n-1, n-2, etc.), ou seja, entre um nível de concepção mais ou menos geral de uma seção, de uma instrução, de um ensinamento, e um nível que o aproxima da classe a partir de sua posição de partida. (MARGOLINAS, 2004, p 75, tradução nossa)

220

O debate coletivo expôs, quando analisamos os argumentos dos

professores, que “existe uma complexidade temporal na atividade do professor,

em cada nível; a ação do professor pode ser considerada, também, como o

presente das ações em interações passadas ou futuras.” (MARGOLINAS,

2004, p.75, tradução nossa)

Na seção 7.3, apresentamos a análise experimentação 2, em que a

sequência didática analisada e modificada pelos professores foi aplicada aos

alunos do 8º ano do Ensino Fundamental.

7.3 Experimentação 2: aplicação das situações-problema

analisadas pelos professores, sujeitos da pesquisa, a alunos

do 8º ano do Ensino Fundamental

A seção de aplicação das situações-problema aos alunos contou com a

participação da pesquisadora e do professor regente da turma, o professor

Jacinto. Os outros professores de matemática investigados, não puderam

participar dessa experimentação por estar em sala de aula com outras turmas.

Escolhemos para a aplicação da sequência didática uma das turmas de 8 º ano

do Ensino Fundamental II da escola. Os alunos que tinham entre 13 e 14 anos

de idade, foram agrupados em 16 duplas. A seção foi realizada no horário

normal de aulas com 2 horas-aula de duração, e iniciada com a apresentação

da pesquisadora pelo professor regente e, em seguida, a entrega do material

da coleta de dados. Esse material constava de jogo de esquadros, uma régua

graduada e quatro folhas com as impressões das atividades a serem resolvidas

pelos discentes, que foram entregues às duplas de alunos, uma por vez.

No momento da experimentação, observamos que as duplas de alunos

apresentaram muitas dificuldades com relação ao conceito de figura simétrica e

eixo de simetria, sendo necessária, por várias vezes, a intervenção do

professor regente e da pesquisadora para que eles continuassem os

procedimentos de resolução. É importante ressaltar que, em nenhum momento,

essas intervenções foram no sentido de dizer aos alunos as respostas das

atividades, e sim oferecer uma forma de eles refletirem e continuarem a fazer

as tarefas. A atividade do professor, nesse caso, pode ser esboçada como: o

221

professor P(-3) leva o aluno E (-3) a compreender o objetivo das tarefas

propostas nas atividades que compõem a sequência didática.

Durante a experimentação, observamos que o professor Jacinto fazia

devoluções “locais” nas mesas, à medida que algumas duplas de alunos

terminavam as atividades. Observamos, ainda, que essas devoluções “locais”

tiveram como foco a reflexão dos alunos, por meio de questionamentos sobre

os procedimentos e respostas. As respostas dos alunos a esses

questionamentos levaram-nos, passo a passo, a rever sua resposta inicial e a

chegar perceptivamente à resposta correta, cuja validação é local. Nessa fase,

a atividade do professor pode ser descrita como: o professor P(-2), em

interação com as duplas de alunos, observa e faz a devolução, propondo

situações fundamentais que utilizaram as técnicas dobradura e espelhamento.

A institucionalização na classe foi realizada pela pesquisadora, uma vez

que o professor alegou estar com problemas na garganta e não estar em

condições de fazer esse trabalho. Sobre a institucionalização, observamos que

a maior parte dos alunos necessitava experienciar as situações para

argumentar sobre os eixos de simetria, sobretudo no conjunto de atividades da

primeira situação-problema.

Um exemplo, que ilustra esse fato foi quando questionamos os alunos se

o paralelogramo, item (g), apresentava eixos de simetria, e apenas uma dupla

de alunos respondeu corretamente. O restante da turma só observou a não

existência de eixos de simetria, quando solicitamos a eles que recortassem a

figura e fizessem as dobras na direção das diagonais do paralelogramo e nas

direções dos segmentos cujas retas suporte são paralelas a cada um dos pares

de lados e equidistantes aos vértices do paralelogramo. Nesse momento,

observamos que a maioria dos alunos compreendia a simetria ortogonal

apenas como espelhamento e tinha a necessidade de utilizar técnicas como

dobradura e, por vezes, o espelho plano físico para identificar ou não a

existência de eixos de simetria e, no caso de identificação, visualizar a imagem

da figura simétrica.

Principalmente pela restrição de tempo e dificuldades apresentadas

pelas duplas de alunos, quanto à mobilização de conhecimentos necessários

para validar, do ponto de vista científico, os procedimentos e respostas às duas

primeiras situações-problema da sequência didática, a validação ficou restrita

222

ao campo perceptivo. Ainda por falta de tempo, a institucionalização da

sequência didática ficou restrita apenas às duas primeiras situações-problema,

sendo a última deixada para nova oportunidade, a qual, por causa do

encerramento do ano letivo não teve como ser efetuada.

Na seção 7.3.1 é apresentada a análise a posteriori sobre os protocolos

fornecidos pelas duplas de alunos momentos antes da institucionalização.

7.3.1 Análise, a posteriori, dos procedimentos e respostas

apresentadas pelas duplas de alunos à sequência didática

Optamos por realizar, na próxima seção, a análise quantitativa dos

registros dos alunos e discutir a influência das variáveis didáticas escolhidas e

seus valores nos procedimentos e respostas das duplas de alunos. Essas

análises serão apresentadas por representação, levando-se em conta,

principalmente, a frequência das respostas. O objetivo de fazer uma análise

quantitativa dos dados é conhecer, de forma geral, os tipos de respostas e

procedimentos que os alunos adotaram em suas resoluções.


Fundamental a situação-problema 1

Apresentaremos para cada item da situação-problema 1, uma tabela em

que trazemos as respostas dos alunos e a frequência com que ela ocorre, e

cuja finalidade foi ter uma ideia global dos tipos de respostas que os alunos

forneceram.

Para o item (a), apresentamos na Tabela 3, a frequência das respostas

das duplas de alunos quanto ao número de eixos de simetria.

Tabela 3. Frequência das respostas dos alunos para o item (a) da situação-problema 1

Respostas Frequência

Admite vários eixos de simetria 1

Admite mais de um eixo de simetria 5

Admite mais de dois eixos de simetria 1

Possui 4 eixos de simetria 6

Possui 2 eixos de simetria 2

Possui 1 eixo de simetria 1 Fonte: Dados da pesquisa

223

Observamos que apenas uma dupla de alunos respondeu corretamente

o item (a). Porém, apesar de afirmar que a circunferência admite vários eixos

de simetria, no momento de justificar a resposta os discentes não utilizaram

justificativas matemáticas, argumentando que “ela pode [ser] cortada de vários

jeitos e ela [circunferência] fica da mesma forma” (dupla A).

Figura 56. Exemplos de eixos de simetria desenhados na figura correspondente ao item (a) da

situação-problema 1 pelas duplas B, E e M respectivamente.


Os alunos que responderam “mais de um eixo de simetria”, na maioria

das vezes, traçaram na figura dois ou quatro eixos de simetria. Quatro dessas

duplas apresentaram justificativas do tipo - “pois se reflete por múltiplos lados”

(dupla B), “devido ter os lados iguais irá dar para traçar mais de um eixo de

simetria e reproduzir a cena de forma correta (dupla H)”, “porque o círculo não

tem pontas” (dupla I), “porque tem partes iguais” (dupla O).

Nas justificativas das duplas de alunos, não ficam claros quais os

procedimentos de resolução utilizados; observamos que a validação é feita

apenas de forma perceptiva, por meio da visualização. Observamos, ainda, que

do total, 9 duplas não forneceram nenhum tipo de justificativa ou explicação

para as suas respostas, apenas desenharam alguns dos eixos de simetria na

figura.

Na Tabela 4, exibimos que para o item (b), a quantidade de eixos de

simetria desenhados pelas duplas de alunos e sua frequência. Observamos

que esta ficou dividida em três categorias.

Tabela 4. Frequência das respostas dos alunos para o item (b) da situação-problema 1

Número de eixos de simetria desenhados na figura

Frequência

2 eixos de simetria 4


1 eixo de simetria 1 Fonte: Dados da pesquisa

224

Como sinalizado em nossa analise, a priori, os alunos consideram a

figura dada como um quadrado. A maioria, 11 duplas de alunos desenharam 4

eixos de simetria na figura. Dessas duplas, 4 justificaram suas respostas da

seguinte forma: “possui 4 eixos de simetria, pois possui 4 lados” (dupla B),

“nesta figura há quatro eixos [de simetria] que formam 8 lados iguais porque é

uma figura que contém um número par de vértices” (dupla D), “nós fizemos de

várias formas e a que mais se encaixou foi esta” (dupla E). Apesar de a dupla B

fazer relação entre o número de eixos de simetria e o número de lados da

figura, a dupla não cita nenhuma propriedade matemática utilizada na sua

explicação.

Figura 57. Exemplos de eixos de simetria desenhados na figura correspondente ao item (b) da

situação-problema 1 pelas duplas B, L e M respectivamente.


Observamos que duas duplas traçaram os quatro eixos de simetria na

figura dada e, em seguida, contaram cada parte da figura obtida como um eixo

de simetria totalizando em suas contagens 8 eixos de simetria. Da mesma

forma, outras duas duplas desenharam dois eixos de simetria na figura e

contaram quatro. Na justificativa, uma delas declarou: “possui 4 eixos de

simetria, por que as partes cortadas por cada ângulo calculando resulta em 4

eixos [de simetria]” (ver Figura 57, dupla M). Nesses casos, o que parece

ocorrer é que, as duplas de alunos D, F, I e M, recorrem a um conhecimento

anterior, mas inadequado para executar a tarefa.

No geral, os alunos não citam nenhum tipo de propriedade geométrica

para explicar suas respostas. Quanto às técnicas escolhidas (dobradura,

espelhamento ou decalque), não ficou evidente em nenhuma das justificativas

a utilização de qualquer uma delas; por outro lado, as direções (horizontal e

vertical) dos elementos que compõem a figura parecem ter favorecido no êxito

da maioria das duplas. A validação é feita apenas de forma perceptiva, os

225

instrumentos de desenho foram utilizados, algumas vezes, apenas para

desenhar os traços na figura, sem ter como finalidade a verificação de

propriedades por meio de medições ou para construir os traços na figura.

Apresentamos na Tabela 5, as respostas das duplas de alunos quanto

ao número de eixos de simetria, para o item (c).

Tabela 5. Frequência das respostas dos alunos para o item (c) da situação-problema 1

Número de eixos de simetria desenhados na figura

Frequência

Nenhum eixo de simetria 1

1 eixo de simetria 11

3 eixos de simetria 4 Fonte: Dados da pesquisa

Apesar de a maioria das duplas de alunos desenharem no triângulo

dado um eixo de simetria, poucas justificaram sua resposta; dois dos

argumentos utilizados foram “nesta figura só há um eixo que forma 2 lados por

que só tem 3 vértices” (dupla D), “porque não há outra ponta para ligar” (dupla

M). Conforme a Tabela 5, apenas 4 duplas de alunos consideraram que a

figura proposta era um triângulo equilátero e desenharam 3 eixos de simetria.

Dessas, uma dupla apresentou a seguinte justificativa “possui três eixos de

simetria por ser um triângulo que possui 3 lados iguais” (dupla B).

Na Figura 58, apresentamos dois exemplos de respostas fornecidos

pelas duplas K e Q para o item (c).

Figura 58. Exemplos de eixos de simetria desenhados na figura correspondente ao item (c) da

situação-problema 1 pelas duplas K e Q respectivamente.


Analisando os registros dos alunos, observamos que a associação de

duas variáveis didáticas, as direções dos elementos que compõem a figura

dada e a direção dos eixos de simetria na figura, foi fator de dificuldade na

resolução das duplas de alunos. Observamos, ainda, que nenhuma das duplas

226

de alunos discutiu o número de eixos de simetria, de acordo com a

classificação dos triângulos em equilátero, isósceles ou escaleno. Inferimos

que a não mobilização de conhecimentos prévios necessários na execução da

tarefa, como a classificação dos triângulos, de acordo com os lados e a posição

do desenho na folha limitaram as respostas dos discentes.

Na Tabela 6 apresentamos as respostas das duplas de alunos para o

item (d) da situação-problema 1.

Tabela 6. Respostas das duplas de alunos para o item (d) da situação-problema 1

Número de “falsos eixos de simetria” desenhados na figura

Frequência


1 eixo de simetria 3



Conforme previmos em nossa análise, a priori, o fato de os traços das

diagonais do paralelogramo resultarem, visivelmente, em duas outras figuras

congruentes, cria a ilusão de existência de eixos de simetria, o que pode ter

levado a maioria das duplas de alunos a desenharem na figura dada dois eixos

de simetria. Observamos, por meio da Tabela 6, que das 16 duplas de alunos,

10 desenham na figura dada dois falsos eixos de simetria, referentes às

diagonais do paralelogramo.

Figura 59. Exemplos de falsos eixos de simetria desenhados na figura correspondente ao item (d) da situação-problema 1 pelas duplas E, D e K respectivamente.


As justificativas dadas pelos estudantes para suas respostas resumem-

-se, na maioria das vezes, a indicar de forma escrita o número de falsos eixos

de simetria desenhados. A dupla K desenhou 3 falsos eixos de simetria (Figura

59) e concluiu “nenhum eixo de simetria” sem dar qualquer explicação ou

justificativa para sua conclusão. Como já observamos para os outros itens da

situação-problema 1, três duplas de alunos desenharam dois falsos eixos de

227

simetria e os contaram pelo número de partes da figura resultante. Apenas

uma dupla de alunos não desenhou nenhum eixo de simetria na figura, porém,

justificou sua resposta da seguinte forma “existe mais de um eixo, porque tem

partes iguais” (dupla O). Os tipos de justificativas apresentados nos levam a

inferir que algumas duplas de alunos apresentaram uma explicação qualquer

para o item (d).

A Tabela 7 exprime as respostas das duplas de estudantes para a figura

representada no item (e), quanto ao número de eixos de simetria desenhados

no octógono.

Tabela 7. Respostas das duplas de alunos para o item (e) da situação-problema 1

Respostas das duplas de alunos para o número de eixos desenhados na figura

Frequência






Acreditamos que a associação de duas variáveis didáticas, em especial,

a complexidade da figura-objeto e as direções dos elementos que a compõem,

foi determinante para que a maioria das duplas de alunos desenhasse na figura

proposta no item (e), 4 eixos de simetria.

Figura 60. Exemplos de eixos de simetria desenhados na figura correspondente ao item (e) da

situação-problema 1, pelas duplas C, E, I e L, respectivamente.


Observamos que apenas a dupla C (Figura 60) representa na figura

dada 8 eixos de simetria, porém, ao justificar argumenta “4 lados, só possui

isso”(dupla C). Parece que para a maioria das duplas de alunos, existe uma

correspondência entre os vértices da figura e o número de eixos de simetria.

228

7.3.1.2 Uma síntese de nossa análise sobre as respostas de alunos do 8º

ano do Ensino Fundamental a situação-problema 1

Não identificamos, de forma explícita, a utilização de nenhuma das

técnicas previstas em nossa análise, a priori, nos procedimentos de resolução,

uma vez que não apareceram nas justificativas apresentadas pelas duplas.

Parece-nos que os alunos utilizaram como recurso para desenhar os eixos de

simetria a percepção e, para a validação, apenas a visualização.

No Quadro 41, apresentamos, levando em consideração os registros da

maioria das duplas de alunos, uma síntese geral de nossa análise sobre

respostas e procedimentos realizados para o conjunto de atividades que

compõem a situação-problema 1.

Quadro 41. Procedimentos de resolução, identificados nos registros das duplas de alunos para a situação-problema 1.

Item da situação

Validação

Os procedimentos de resolução identificados

nos registros das duplas de alunos

Algumas variáveis didáticas que influenciaram

diretamente nos procedimentos de

resolução

(a)

Perceptiva, por meio do desenho de alguns eixos de simetria na figura.

A utilização da intuição para desenhar alguns eixos de simetria na figura. Porém, a maioria das duplas de alunos não chega a concluir que a figura possui infinitos eixos.

- A complexidade da figura. - O número de eixos de simetria da figura (nesse caso infinitos eixos).

(b)

Perceptiva, por meio do desenho dos

eixos de simetria na figura dada.

A maioria das duplas de alunos considerou a figura

como quadrado e desenhou com o auxilio de

instrumentos (régua, esquadro) ou à mão livre os

eixos simetria.

- As direções (horizontais e verticais) dos elementos que compõem a figura objeto. - As direções (horizontal vertical e oblíqua) dos eixos de simetria sobre a folha. - Ausência da evidência das medidas dos lados e dos ângulos.

(c)

Perceptiva, por meio do desenho de um ou três eixos de

simetria na figura dada.

Não mobilização de conhecimentos prévios,

como a classificação dos triângulos de acordo com o comprimento dos lados ou medida dos ângulos para

traçar os eixos de simetria. Os alunos utilizaram a

intuição para desenhar na figura um ou três eixos de

simetria.

- As direções (horizontais e oblíquas) dos elementos que compõem a figura objeto. - As direções (horizontal, vertical e oblíqua) dos eixos de simetria sobre a folha. - O número de eixos de simetria da figura (nesse caso, exige a necessidade de classificação dos triângulos).

229

(d)

Intuitiva, por meio do

desenho de alguns falsos

eixos de simetria na figura dada.

A não utilização de nenhuma das técnicas disponíveis (dobradura ou espelhamento) e o fato de os traços das diagonais do paralelogramo resultarem visivelmente em duas outras figuras congruentes criaram a ilusão de existência de eixos de simetria.

-A complexidade da figura. - O número de eixos de simetria da figura (nesse caso, nenhum eixo) -As direções (horizontais e oblíquas) dos elementos que compõem a figura objeto. -Ausência da evidência das medidas dos lados e dos ângulos.

(e)

Intuitiva, por meio do

desenho de alguns dos eixos de

simetria na figura dada.

A utilização da intuição ao desenhar alguns eixos de simetria na figura. Porém, a maioria das duplas de alunos não chega a concluir que a figura possui oito eixos.

-A complexidade da figura. -As direções (horizontais e verticais) dos elementos que compõem a figura-objeto. - As direções (horizontal, vertical e oblíqua) dos eixos de simetria sobre a folha. - Ausência da evidência das medidas dos lados e dos ângulos.


Levando em conta nossa análise, a priori, (Quadro 21, p. 174-176), para

todos os itens das situações-problema 1, classificamos as respostas das

duplas de alunos em G0, isto é, na geometria concreta de acordo com o

modelo apresentado por Parzysz (2001; 2006). Contudo, identificamos na

maioria dos registros das duplas de alunos, falha na mobilização de

conhecimentos prévios necessários para responder corretamente às atividades

propostas. O não acesso a conhecimentos como diâmetro de uma

circunferência, classificação de polígonos, entre outros, e ainda uma possível

confusão no conceito de simetria ortogonal, impossibilitaram a obtenção de

êxito na maioria das atividades propostas. No geral, parece que, para as duplas

de alunos, no caso de polígonos, existe uma correspondência entre o número

de vértices das figuras e a existência de eixos de simetria.

7.3.1.3 Análise a posteriori das respostas de alunos do 8º ano do Ensino

Fundamental a situação-problema 2

Para a situação-problema 2, apresentaremos uma tabela com as

respostas das duplas de alunos em termos de número de duplas que

desenharam os eixos de simetria e número de justificativas. Observamos, na

tabela, que o número de justificativas dadas nas Figuras 1 e 5 ultrapassa o

número de duplas que desenharam os eixos de simetria.

230

Tabela 8. Frequência do número de respostas e justificativas das duplas de alunos para a situação-problema 2

Figuras N° de duplas que desenharam os

eixos de simetria

Número de justificativas

1 12 14

5 10 11 Fonte: Dados da pesquisa

No caso da Figura 1, das 14 duplas de alunos que justificaram suas

repostas, 11 fizeram suas explicações por meio de espelhamento e movimento

de reflexão. A dupla K argumentou que “para representar o movimento de

reflexão, o eixo de simetria deve funcionar como um espelho, por isso as

únicas figuras que apresentam este são as de número 1 e 5”. Esse tipo de

resposta já era esperado, uma vez que a professora Margarida afirmara, em

uma das reuniões que esse conteúdo já havia sido trabalhado na classe do 8º

ano. Três duplas justificaram suas respostas apenas por meio da visualização,

aplicando, implicitamente, a propriedade da equidistância; uma delas foi “de

acordo com a distância dessas figuras, dá para entender onde deve ficar o eixo

de simetria” (dupla G).Outras duas duplas não justificaram suas respostas.

Já na Figura 5, o índice de acerto foi menor, mas as justificativas

também foram a partir do conceito de reflexão. Observamos que 6 duplas não

traçaram o eixo de simetria, porém justificaram a existência do eixo de simetria

por meio da reflexão. O que parece ter interferido nas respostas das duplas de

alunos foi a direção (horizontal) dos eixos de simetria a ser traçado na figura.

Observamos, ainda, que outras 6 duplas de alunos além de identificarem

que as Figuras 2, 3, e 4 não possuem eixos de simetria, justificaram essa não

existência pelas outras transformações geométricas translação e rotação

representadas nas figuras.

231

Figura 61. Desenhos das duplas B e N respectivamente


Observe que na Figura 61, a dupla N chega a indicar para o item 4, a

direção do vetor ao identificar a transformação geométrica como translação. Já

a dupla B mostra indícios de confusão ao identificar a transformação

geométrica rotação para esse mesmo item. Observamos, ainda, que mesmo

identificando o item 3 como rotação, as duplas não citam o ponto de referência,

nem o ângulo de rotação.

Uma variável didática que, em nossa análise, a priori, e na pré-análise

dos professores se acreditava ser fator de dificuldade para os alunos, a direção

de elementos da figura (em particular o olho do peixe), não foi constante nas

respostas, pois, de 16, apenas duas duplas de alunos desenharam os eixos de

simetria nos itens 2, 3 ou 4, como podemos conferir na Figura 62.

Figura 62. Desenhos das duplas A e D respectivamente.


Levando em conta esses três itens, a dupla A traça o eixo de simetria

apenas no item 3, o que revela, aparentemente, o tipo de influência da referida

variável didática na resposta dessa dupla de alunos. É possível notar a

232

indicação de não existência dos outros eixos de simetria nos itens 2 e 4. Por

outro lado, a dupla D desenha os eixos de simetria em todos os itens.

Inferimos que, no geral, as direções dos elementos que compõem as

figuras, em especial o olho do peixe, interferiram favoravelmente na decisão

por existência ou não de eixos de simetria.


ano do Ensino Fundamental à situação-problema 2

No Quadro 42 apresentamos, levando em consideração os registros da

maioria das duplas de alunos, uma síntese geral de nossa análise sobre as

respostas dadas na situação-problema 2.

Quadro 42. Procedimentos de resolução, identificados nos registros das duplas de alunos para

a situação-problema 1.

Itens da situação

Validação

Os procedimentos de resolução identificados

nos registros das duplas de alunos

Algumas variáveis didáticas que influenciaram

diretamente nos procedimentos de

resolução

Figuras 1 e 5

Perceptiva, por meio do

traço dos eixos de simetria

Noção de dobradura e espelhamento para identificar as figuras

simétricas. Utilização da régua para

desenhar os eixos de simetria.

- A direção (horizontal, vertical) dos eixos de simetria sobre a

folha. - A posição das figuras na folha. - As direções dos elementos que

compõem a figura objeto (um exemplo é o olho do peixe).

- O tipo de papel (branco)

Figuras 2, 3,4

Perceptiva

Identificação de outros tipos de transformações

geométricas (reflexão ou rotação) ou identificação de não existência de eixos de

simetria por meio das noções de dobradura ou

espelhamento.

- A posição das figuras na folha. - As direções dos elementos que

compõem a figura objeto (um exemplo é o olho do peixe).


Aparentemente, os instrumentos de desenho oferecidos, em nenhum

momento foram utilizados com o objetivo de verificar propriedades ou construir

os eixos de simetria, duas duplas fizerem os desenhos dos eixos de simetria à

mão livre. Em geral, sobre os desenhos dos eixos de simetria nos itens 1 e 5,

notamos nos registros das duplas de alunos pouco ou nenhum cuidado quanto

às propriedades inerentes à simetria ortogonal, como se pode verificar por meio

das Figuras 60 e 61. As validações foram feitas de forma perceptiva sem que

233

nenhuma propriedade matemática inerente à simetria ortogonal fosse utilizada.

É importante observar que algumas duplas de alunos utilizam os termos como

reflexão e espelhamento para justificar a existência de eixos de simetria ou,

ainda, outras transformações geométricas (translação e rotação) para explicar

a não existência deles. Contudo, nessas explicações os objetos eram sempre

físicos, num apelo claro à realidade.

Fazendo um comparativo com nossa análise, a priori, (Quadro 23, p.179

e p. 180), situamos as respostas das duplas de alunos, na geometria G0 no

sentido de Parzysz (2001; 2006).


Fundamental ao conjunto de atividades que compõem a situação-

problema 3

Para a situação-problema 3, apresentamos a Tabela 9 em que, para

cada item, exibimos a frequência das respostas fornecidas pelas duplas de

alunos, classificadas quanto ao desenho da figura simétrica em: não desenhou

a figura simétrica, desenho intuitivo da figura simétrica, desenho incorreto da

figura simétrica. Por desenho intuitivo de figura simétrica, entendemos aquele

que o aluno pratica, baseado em alguma das técnicas disponíveis (dobradura,

espelhamento ou decalque) e aparenta estar correto. Contudo, não é justificado

pela definição ou propriedades da simetria ortogonal e que, por esse motivo,

não são levadas em consideração no desenho da figura “simétrica”. A

finalidade desse quadro foi ter uma ideia global dos tipos de respostas que as

duplas66 de alunos forneceram.

Tabela 9. Frequência das respostas das duplas de alunos para a situação-problema 3, quanto

ao desenho de figura simétrica

Itens Não desenhou a figura

simétrica

Desenho intuitivo de figura simétrica

Desenho Incorreto de

figura simétrica

(a) 2 13

(b) 1 3 11

(c) 3 12

(d) 1 14

(continua)

66 Nesta situação-problema, avaliaremos apenas os registros de 15 duplas de alunos, 1 dos registros foi perdido por um dos professores, sujeito da pesquisa, quando um funcionário da escola fez uma limpeza na sala dos professores.

234

(e) 3 12

(f) 3 3 9

(g) 1 14

(h) 1 14

(i) 1 14

(j) 7 8

(l) 2 13

(m) 1 4 10

(n) 1 14

Total 8 29 158 Fonte: Dados da pesquisa

Observamos que, na sequência didática aplicada aos alunos, atendendo

à solicitação de modificação dos professores, sujeitos da pesquisa,

adicionamos o item (n) à situação-problema 3, conforme mencionamos na

seção 7.2.2.3. Apresentaremos a seguir uma análise das respostas

apresentadas pelas duplas de alunos, em que buscamos representar, por meio

de exemplos, os tipos de respostas fornecidos. Essa análise segue os mesmos

critérios de agrupamento de itens adotados no Quadro 26 da seção 7.1.2.

A Tabela 9 mostra que, para o item (a), obtemos 13 desenhos incorretos

da figura simétrica. Dentre esses, observamos que uma dupla de alunos (dupla

H, Quadro 43) desenhou como figura simétrica para a figura-objeto (ponto) um

segmento de reta. Mostrando indícios de não conhecerem o conceito de

simetria ortogonal, a dupla de alunos justificou sua reposta com a frase

“movimentos de complementares de retas” (dupla H).

Quadro 43. Exemplos de desenhos de figura “simétrica” para os itens (a) e (m) fornecidos por

algumas duplas de alunos.

Itens Duplas de

alunos Desenhos

(a) H, G e O

respectivamente.

(m) B, D, E e F

respectivamente.


235

Observamos, ainda, que para os desenhos incorretos no item (a), 7

duplas de alunos pareceram ignorar a propriedade de equidistância entre

figura-objeto e eixo de simetria, e eixo de simetria e figura simétrica. Como

exemplos, apresentamos os registros das duplas G e O, Quadro 43.

Para o item (m), o Quadro 43 mostra uma diversificação do local onde as

figuras “simétricas” (pontos) são representadas na folha. Observamos que,

aparentemente, duas variáveis didáticas tiveram forte influência na taxa de

insucesso das duplas de alunos: uma é a direção do eixo de simetria na folha

(oblíqua) e a outra é a posição do eixo de simetria na folha (ele não é a

diagonal da folha). O fato de serem dois pontos, também pode ter interferido na

resolução das duplas de alunos, uma vez que observamos em alguns registros

paralelismo entre os pontos-objeto e os “pontos-imagem” (Quadro 43, duplas

D, E e F) .

Tanto para os 2 desenhos intuitivos de figura simétrica no item (a),

quanto para os quatro desenhos intuitivos de figura simétrica no item (m), as

duplas de alunos afirmaram ter dobrado o papel para seguir o rastro da figura-

-objeto e assim desenhar a figura “simétrica”. Essa foi a justificativa dada pela

dupla B (ver desenho no Quadro 43), que argumentou - “dobramos o papel e

fizemos de acordo com a figura”. Outras duas duplas justificaram seus

procedimentos pela utilização de espelho físico para visualizar a figura

simétrica e da régua para medir distâncias e obter os desenhos dos pontos-

imagem, porém não obtiveram êxito na tarefa.

Para o item (b), apenas 1 dupla de alunos não desenhou a figura

simétrica. Em 8 dos 11 desenhos incorretos de figura simétrica apresentados

para este item, e em 6 dos 13 desenhos no item (l), identificamos o que Grenier

(1988) chamou de paralelismo entre figura-objeto e a figura simétrica. Para

essas duplas de alunos a imagem de um segmento horizontal (oblíquo) é um

segmento de mesma direção na folha. Os exemplos são apresentados no

Quadro 44 a seguir.

236

Quadro 44. Exemplos de desenhos de figura “simétrica” para os itens (b), (h), (i) e (l) apresentados por algumas duplas de alunos.

Itens Duplas de

alunos Desenhos

(b) N, O e C

respectivamente.

(h) F, I, B

respectivamente

(i) D, E e K

Respectivamente

(l) E, F, L, O

respectivamente


Uma diferença marcante nos registros das duplas de alunos foi quanto

às propriedades relativas à distância. Alguns exemplos desses registros foram

exibidos no Quadro 44. Observamos, no desenho da dupla N, no item (b), a

preocupação com a conservação da distância entre a “figura-imagem” e o eixo

de simetria; além disso, aparentemente, essa mesma dupla de alunos ainda

utilizou a régua para conservar o comprimento da “figura-imagem” obtida,

cuidados esses que não são percebidos nos registros das duplas O e C.

Por outro lado, observamos que das três duplas de alunos que

realizaram desenhos intuitivos de figura simétrica no item (b), uma justificou

seus procedimentos, afirmando que dobraram o papel e, para as outras duas

não foi possível identificar os procedimentos utilizados pelos alunos, já que

utilizam como justificativa os argumentos “tivemos que saber a distância (dupla

G)” e “replicar o traço de acordo com o eixo” (dupla K). Duas duplas de alunos

afirmaram que foi utilizado um espelho plano físico para visualizar a figura

237

imagem e fazer o traço, mas também como nos itens (a) e (m) não obtiveram

êxito na tarefa. Um exemplo é o desenho da dupla C exibido no Quadro 44.

Observamos que, em todos os 14 desenhos incorretos de figura

simétrica para o item (h), a direção do eixo de simetria (vertical) na folha levou

as duplas de alunos a desenharem perceptivamente a “figura-imagem”.

Inferimos que a alta taxa de insucesso nesse item se deve ao fato de as duplas

de alunos não observarem às propriedades inerentes à simetria ortogonal, o

que resultou na obtenção de desenhos de figuras “simétricas” de comprimentos

diferentes da figura-objeto, além de alterações nas direções delas.

No item (i), conforme observado pelos professores na pré-análise da

sequência didática, notamos que, em todos os 14 desenhos incorretos de

figura simétrica, as duplas de alunos assumem que a figura simétrica toca a

borda retangular na horizontal inferior (dupla D) ou na lateral direita (dupla E),

como exemplificado no Quadro 44.

Apenas a dupla K fez o desenho intuitivo correto da figura simétrica para

este item. Observamos que, apesar de a direção da figura-objeto (oblíqua) em

relação à direção do eixo de simetria (oblíqua) favorecer a resolução do item

(i), a posição do eixo de simetria na folha (já que esse não era a diagonal da

folha) não foi observada pelas duplas de alunos, e um dos motivos dessa não

observação deve-se ao fato de a ortogonalidade ter sido ignorada.

Como sinalizado em nossa análise, a priori, e observado na pré-análise

apresentada pelos professores, sujeitos da pesquisa, o fato de a figura-objeto

interceptar (em um ou mais pontos) ou tocar no eixo de simetria teve forte

influência na taxa de insucesso das duplas de alunos. Por meio do Quadro 45,

apresentamos para os itens (c), (e) e (f) alguns exemplos dos registros das

duplas de alunos.

Quadro 45. Exemplos de desenhos de figura “simétrica” para os itens (c), (e) e (f) nos registros

de algumas duplas de alunos.

Itens Duplas de

alunos Desenhos

(c)

C, E, G e I respectivamente.

238

(e) B, C, D, E

respectivamente

(f) B, J, K, N

respectivamente


No caso do item (c), 3 duplas de alunos não desenharam a figura

simétrica e outras 12 duplas a desenharam incorretamente. Para o item (e),

também foram apresentados 12 desenhos incorretos de figura simétrica e 3

desenhos intuitivos de figuras simétricas. Tanto para o item (c), quanto para o

item (e) observamos que o ângulo formado entre a figura-objeto e o eixo de

simetria parece ter sido fator de dificuldade para as duplas de alunos, como

pode ser verificado no Quadro 45. Aparentemente, as duplas perceberam que

a medida do ângulo formado entre a figura-objeto e o eixo de simetria era igual

à medida do ângulo formado entre o eixo de simetria e a figura-imagem.

Acreditamos que pode ter ocorrido, nesse caso, dificuldade em manusear os

instrumentos de desenho geométrico.

Para o item (f), observamos que, além da interseção (em dois pontos) da

figura-objeto com o eixo de simetria, outros fatores como a complexidade da

figura-objeto e a direção do eixo de simetria (vertical) tiveram forte influência

nas respostas das duplas de alunos. Notamos que quase todos os desenhos

de figuras “simétricas” foram concebidos a partir de percepções globais, isto é,

as partes da figura não são vistas de forma separada.

Três duplas de alunos não desenharam a figura simétrica, outras três

duplas a desenharam intuitivamente. Para estas três últimas duplas,

observamos pelo registro da dupla B, indícios da utilização da técnica

decalque, a dupla N justificou sua resposta afirmando: “conseguimos fazer

dobrando o papel”. Já a dupla K, aparentemente, transferiu os pontos para o

semiplano oposto ao eixo de simetria numa direção quase ortogonal a este e,

em seguida, traçou os segmentos de reta.

239

Das 9 duplas de alunos que desenharam incorretamente a figura

simétrica, 4 justificaram seus desenhos argumentando que dobraram o papel

em que a figura-objeto se encontrava, na mesma direção do eixo de simetria;

uma dupla justificou seu desenho por meio do uso do espelho; o desenho de

uma dupla não ultrapassou o eixo de simetria e os desenhos de duas duplas de

alunos ultrapassaram o eixo de simetria, porém as figura-objeto e a “figura-

-simétrica” desenhadas não se sobrepunham.

No Quadro 46, mostramos alguns exemplos de desenhos de figura

simétrica apresentadas por algumas duplas de alunos para os itens (d), (g), (j)

e (n).

Quadro 46. Exemplos de desenhos de figura “simétrica” para os itens (d), (g), (j) e (n),

apresentados por algumas duplas de alunos.

Itens Duplas de

alunos Desenhos

(d)

F, E, L, M Respectivamente

(g) B, F, K, O

Respectivamente

(j) B, D, H, J

respectivamente

(n) D, E, F, K,

respectivamente


Dos 14 desenhos incorretos de figuras simétricas identificados no item

(d), observamos que 2 apresentaram prolongamento entre elementos da figura-

-objeto e a “figura-imagem” obtida (exemplo dupla F, Quadro 46). Verificamos

que a posição do eixo de simetria na folha, que nesse caso é marcada pela

diferença entre a quantidade de quadrinhos nos semiplanos divididos pelo eixo

240

de simetria, influenciou nos procedimentos de resolução de outras 3 duplas de

alunos – um exemplo é o desenho de figura “simétrica” fornecido pela dupla M

(ver Quadro 46).

Ainda para esse item, o registro da dupla L (Quadro 46) apresenta

paralelismo entre figura-objeto e a representação de “figura simétrica” obtida.

Observamos que a malha quadriculada não interveio de forma a favorecer nos

procedimentos de resolução e respostas das duplas de alunos, o que parece

ter ocorrido foi que ela induziu 6 duplas a realizarem desenhos incorretos de

figuras simétricas, a partir da percepção global, por meio da visualização e

contagem dos quadrinhos.

Apenas uma dupla de alunos apresentou desenhos intuitivos de figura

simétrica, mas, infelizmente, não registrou com detalhes os procedimentos de

resolução, apenas argumentaram “reflexo, depois de medida da distância”

(Dupla K).

No item (g) observamos que a associação das variáveis didáticas,

distância da figura-objeto ao eixo de simetria (não conservada) e complexidade

da figura-objeto (triângulo), foram os principais motivos da alta taxa de

insucesso na execução da tarefa. Das 15 duplas de alunos, 14 desenharam de

forma incorreta a figura simétrica. Verificamos que 12 duplas adotaram como

método de resolução o desenho global da figura por meio apenas da

visualização; a régua foi utilizada apenas para executar os traços da figura, o

que resultou em desenhos de dimensões superior ou inferior às dimensões da

figura-objeto (ver Quadro 46, dupla B). Outras 2 duplas apresentaram

paralelismo entre a figura-objeto e a figura “simétrica” obtida e, como exemplo,

temos a dupla O, Quadro 46.

A dupla K apresentou como estratégia de resolução, a construção da

malha quadriculada para desenhar intuitivamente a figura simétrica (ver Quadro

46); além disso, a dupla ponderou que “foi utilizado o reflexo e a medida da

distância dos extremos opostos”. Aparentemente, foi feita a transferência dos

pontos “simétricos” aos pontos dos vértices da figura-objeto para o semiplano

oposto com relação ao eixo de simetria e, a seguir, foram traçados os

segmentos que compõem a “figura-imagem”.

Como apontamos em nossa análise, a priori, a associação das variáveis

didáticas, direção do eixo de simetria na folha e tipo do papel (quadriculado)

241

influenciaram no êxito das respostas apresentadas por 7 duplas de alunos para

o item (j). As outras 8 duplas desenharam de forma incorreta a figura simétrica,

sendo 4 registros marcados pelo paralelismo entre a figura-objeto e os

desenhos das “figuras-imagem” e 4 pela não conservação da distância entre

eixo de simetria e as “figuras-imagem” desenhadas.

Verificamos, para o item (n), que apenas 2 duplas de alunos

apresentaram o desenho da figura simétrica. Para esse item, observamos que

foram produzidos 14 desenhos incorretos de figura simétrica. Ressaltamos que,

dentre esses, tanto para os 10 desenhos nos quais as duplas de alunos

apresentaram paralelismos entre figura-objeto e a “figura-imagem” quanto nos

3 desenhos em que a “figura-imagem” obtida estava em direção vertical na

folha, os discentes não levaram em consideração o fato da posição do eixo de

simetria na folha, não ser a mesma direção da diagonal da folha. Essa variável

didática foi determinante para a alta taxa de insucesso das duplas de alunos na

atividade, como pode ser observado nos registros das duplas D, E e F no

Quadro 46.

Nesse caso, a malha quadriculada parece ter influenciado em menor

escala nas respostas das duplas de alunos. Para esse item, não observamos

nos registros das duplas, o que Grenier (1988) apontou em seu estudo, sobre o

fato de esse tipo de papel induzir os sujeitos a uma contagem sobre as linhas

verticais e horizontais com relação ao eixo de simetria.


ano do Ensino Fundamental à situação-problema 3

No geral, não foi observada a propriedade de conservação de

dimensões e da forma entre figura-objeto e os desenhos de figura “simétrica”,

apresentados pelas duplas de alunos, com é possível verificar nos exemplos

exibidos. Além disso, observamos que a malha quadriculada não favoreceu os

procedimentos de resolução das duplas de alunos; mas o que, possivelmente,

teve maior influência no insucesso dos alunos foi a posição do eixo de simetria

na folha, em especial, para o item (n). No Quadro 47, apresentamos uma

síntese de nossa análise, em que identificamos as principais variáveis didáticas

que influenciaram os procedimentos e respostas dos alunos em cada item da

situação-problema 3.

242

Quadro 47. Procedimentos de resolução identificados nos registros das duplas de alunos para a situação-problema 1.

Itens da situação-problema

Validação Os procedimentos de resolução identificados nos registros das duplas de alunos

Algumas variáveis didáticas que influenciaram diretamente nos procedimentos de resolução

(a) e (m)

Perceptiva, tendo como referencia o concreto, existe a necessidade de dobrar a folha ou utilizar o espelho para validar.

Utilização das técnicas, dobradura e espelhamento para visualizar e desenhar as figuras simétricas. .

- A direção (oblíqua) dos eixos de simetria sobre a folha. - O tipo de papel (branco) - Distância (não conservada) da figura-objeto (pontos) ao eixo de simetria. - A Posição do eixo de simetria na folha (não é a diagonal).

(b), (h), (i) e (l)

Perceptiva, tendo como referência o concreto, existe a necessidade de dobrar a folha ou utilizar o espelho para validar.

Utilização das técnicas, dobradura e espelhamento para visualizar a figura simétrica. Em alguns casos, a utilização da régua para efetuar medições e desenhar as figuras simétricas.

- A posição das figuras na folha. - Distância (não conservada) da figura-objeto (segmentos) ao eixo de simetria. - A Posição do eixo de simetria na folha (não é a diagonal), para os itens (b) e (i). - A direção (oblíqua, vertical, horizontal) dos eixos de simetria sobre a folha.

(c), (e) e (f)

Perceptiva, tendo como referência o concreto.

Noção de dobradura e espelhamento para visualizar a figura simétrica. Utilização da percepção global da desenhar a “figura-simétrica”.

- A interseção da figura-objeto com o eixo de simetria. - A complexidade da figura objeto. - A direção dos eixos de simetria.

(d), (g), (j) e (n)

Perceptiva, por meio da visualização.

Noção de dobradura e espelhamento para visualizar a figura simétrica. Utilização da percepção global da desenhar a “figura-simétrica”.

- A Posição do eixo de simetria na folha (não é a diagonal da folha, quando o número de quadrinhos em semiplanos opostos com relação ao eixo de simetria são diferentes). - Distância (não conservada) da figura-objeto ao eixo de simetria. - A complexidade da figura--objeto. - Tipo de papel.


Verificamos nos casos em que as duplas de alunos utilizaram o espelho

físico e de algumas duplas que dobraram o papel, para visualizar a figura

imagem, grande parte dos desenhos de figura “simétrica” foi feita à mão livre.

Além disso, observamos que, posteriormente, não foi feita nenhuma referência

às propriedades geométricas da simetria ortogonal, nem essas foram utilizadas

para adequar os traços visualizados, como fica evidenciado no Quadro 44,

pelos desenhos da dupla B no item (h) e da dupla C no item (b). A dupla B

afirma ter dobrado o papel para visualizar e traçar a figura-imagem e a dupla C

243

justifica sua resposta argumentando ter utilizado um espelho físico. Mesmo

quando se têm indícios de que as dimensões das figuras “simétricas”

desenhadas foram verificadas por meio da régua, por causa de não se levar

em consideração a ortogonalidade, as figuras desenhadas, ainda assim,

apresentam alterações relacionadas à direção de seus elementos em relação

ao eixo de simetria, como é possível no desenho da dupla F para o item (g),

Quadro 46.

Em nossa análise, a priori, apresentamos investigações precedentes que

sinalizaram para o grande índice de sujeitos que obtinham êxito na tarefa de

construção de figura simétrica, quando a direção dos eixos de simetria era

vertical ou horizontal. Porém, em nossa investigação, observamos que para os

itens (h) e (l) os registros das duplas de alunos mostraram paralelismo entre

figura-objeto e o desenho da figura “simétrica”, não conservação da distância

entre eixo de simetria e o desenho da figura “simétrica”, além da não

conservação das dimensões dos segmentos-objeto no desenho da figura

“simétrica”.

Sobre os registros das duplas de alunos, avaliamos que, em geral, foram

produzidos desenhos de figuras simétricas, levando-se em conta apenas a

visualização. As figuras foram concebidas perceptivamente e de forma global.

As propriedades inerentes à simetria ortogonal foram parcialmente levadas em

consideração para desenhar figuras “simétricas” e, por esse motivo, a distância

apareceu poucas vezes para explicar procedimentos. Em todos os desenhos

produzidos, a ortogonalidade parece ter sido ignorada como propriedade

inerente da simetria ortogonal.

Nos procedimentos escolhidos pelas duplas de alunos, identificamos

para a construção de figuras simétricas que o objeto matemático simetria

ortogonal é concebido, geralmente, como dobradura e/ou espelhamento

resultado de uma ação física, isto é, o ato de dobrar o papel em que a figura-

-objeto se encontra desenhada na direção do eixo de simetria ou o ato de

colocar um espelho plano físico sobre o eixo de simetria.

Por meio do Quadro 47, observamos que as validações, de cunho

perceptivo, foram feitas por meio da visualização da figura-imagem. Por esse

motivo, classificamos as respostas das duplas de alunos, sujeitos da pesquisa,

244

na geometria concreta G0, cujos objetos são realizações materiais, segundo

Parzysz (2001; 2006).

7.3.1.7 Algumas considerações sobre a experimentação 2 e a análise dos

registros das duplas de alunos, sujeitos da pesquisa

Em nossa análise sobre os registros dos alunos, utilizamos como

referência os estudos de Grenier (1988), principalmente com relação à

influência das variáveis didáticas e seus valores, escolhidos para nossa

investigação. Em geral, observamos para uma elevada taxa de duplas de

alunos que, independente da direção do eixo de simetria (horizontal, vertical ou

oblíqua) e tipo de papel (branco ou quadriculado) eles apresentaram

paralelismo entre a figura-objeto e “figura-imagem”. Portanto, a concepção de

que a imagem de um segmento (horizontal, vertical ou oblíquo) é um segmento

de mesma direção na folha, parece ser ampliada para o grupo de alunos

investigados.

Em nossos estudos, a interseção da figura-objeto com o eixo de simetria

também adicionou um nível maior de dificuldade, principalmente quando a

figura-objeto apresenta maior grau de complexidade. Nesse caso, para

algumas duplas de alunos a figura simétrica não ultrapassava o eixo de

simetria ou as figuras-objeto e “figuras-imagem” não se sobrepunham, o que

aponta para a concepção de que a simetria ortogonal é uma transformação de

um semiplano em outro semiplano, delimitado pelo eixo de simetria.

Nos registros de um alto índice de duplas de alunos, verificamos que,

independente do tipo de papel, a posição do eixo de simetria na folha (no caso

de oblíquo, quando não é a diagonal da folha) provocou erros na produção de

figuras simétricas. Nesse caso, como as figuras são desenhadas globalmente,

o que parece intervir é o local no qual a figura-objeto é colocada. Observamos

que, além do eixo de simetria, outros pontos da folha são tomados como

referência, por exemplo, as bordas superior, inferior ou lateral (esquerda ou

direita). Sendo assim, para o grupo de alunos investigado, observamos a

concepção de que a distância da figura-objeto às bordas (inferior, superior ou

lateral) será conservada, no caso de construção da figura simétrica.

Também observamos que, durante a atividade, os alunos foram

evoluindo nas tarefas. Porém, já passava da metade da experimentação

245

quando eles começaram a procurar estratégias de resolução para as

atividades, estratégias essas que contaram, principalmente, com as técnicas

dobradura e utilização de espelhos por parte das meninas.

Notamos, ainda, que a utilização dos instrumentos67 (jogo de esquadros

e régua), quando feita, teve como objetivo desenhar os eixos de simetria nas

figuras geométricas, e não de construir geometricamente os eixos de simetria

ou verificação de propriedades da simetria ortogonal por meio de medições.

A impressão que tivemos foi a de que os alunos não sabiam utilizar os

instrumentos para construir eixos de simetria e figura simétrica, além de não

possuírem conhecimentos suficientes sobre retas ortogonais, mediatriz de um

segmento e distância entre ponto e reta, para efetuar as tarefas em cada uma

das atividades da sequência didática. Por esse motivo, não conseguiram

observar, matematicamente, as propriedades da simetria ortogonal, o que

acarretou na não formulação matemática de conjecturas, necessárias para que

fossem propostas provas e demonstração. Suas respostas são validadas em

um campo limitado de validade. Em geral, as respostas fornecidas a cada uma

das atividades da sequência didática, permaneceram, mesmo após a aplicação

do experimento na geometria concreta G0, no sentido de Parzysz (2001; 2006).

Possivelmente, a forma como os conteúdos geométricos são ensinados,

de modo especial, o conceito de simetria ortogonal, tenha forte influência nos

procedimentos adotados pelos discentes e na forma como esses validaram

suas respostas. Em nosso estudo, observamos que os livros didáticos abordam

a simetria ortogonal, principalmente, por meio de observações em outros

objetos, geométricos ou não. Além disso, a forma superficial como são tratadas

as propriedades inerentes à simetria ortogonal, sem que o aluno seja instigado

a argumentar e a construir o conceito matemático desse objeto, prejudica a

evolução do alunado, no diz respeito à aprendizagem da simetria ortogonal

como objeto matemático. A aprendizagem fica restrita, portanto, à simetria no

objeto. Acreditamos que existe uma relação direta desse fato com o tipo de

validação aceita e institucionalizada pelo professor. Na seção 7.4, essa relação

será discutida e aprofundada.

67 Os professores solicitaram não entregar compasso para os alunos por medida de segurança.

246

7.4 Experimentação 3: as respostas de algumas duplas de alunos

do 8º ano à sequência didática sob o olhar de docentes,

sujeitos da pesquisa

Nesta seção, analisaremos, levando em conta a estruturação do milieu

segundo Margolinas (2002; 2004), a pós-análise realizada por professores de

Matemática, participantes da pesquisa, sobre os registros de quatro das duplas

de alunos referentes à sequência didática aplicada em uma das classes do 8º

ano. Nessa fase da pesquisa, contamos com a participação de três docentes68,

o professor Narciso e a professora Margarida que entregaram o material escrito

e participaram das discussões sobre os registros das duplas de alunos e com a

participação do professor Jacinto nas discussões que ocorreram nos debates

coletivos.

De forma a obter objetividade na pós-análise realizada pelos professores

quanto às respostas de quatro duplas de alunos referentes ao conjunto de

atividades que compõem a sequência didática, organizamos os dados obtidos

na etapa 2 da experimentação 1 na forma de um quadro síntese e o utilizamos

nessa fase da pesquisa. O processo se deu do seguinte modo:

- escolhemos os registros de duas duplas de alunos para serem

analisados por cada professor. Utilizamos como critério para essa escolha

aqueles registros que apresentavam melhores condições para a análise, isto é,

aqueles em que as respostas apresentavam justificativas e explicações.

- entregamos uma cópia do quadro-síntese 40 a cada professor com o

objetivo de fazerem uma análise comparativa entre o que fora previsto por eles,

ao resolver e analisar a sequência didática e os dados fornecidos pelos

registros das duplas de alunos.

- disponibilizamos, ainda, uma cópia não preenchida do quadro-síntese

40 para os docentes preencherem com suas análises e uma síntese escrita do

áudio da reunião, em que se discutiu a análise da sequência didática pré-

-elaborada e suas modificações. Nessa síntese, lançamos questões aos

68 Uma professora entrou em licença maternidade deixando, portanto, de participar da pesquisa e o professor Jacinto que participou dessa fase, mas um funcionário da escola ao fazer a limpeza na sala dos professores descartou suas análises. Infelizmente, por causa do encerramento do ano letivo não conseguimos obter uma nova análise deste professor.

247

docentes, com a finalidade de obter mais informações. A síntese e as

questões, na íntegra, estão disponíveis no Anexo 7.

Nosso objetivo na entrega desse material era o de que os professores

verificassem se alguns dos elementos das discussões precedentes estavam ou

não presentes nos registros de algumas das duplas de alunos, e, também

observar as reações do professor ao lidar com erros e acertos dos alunos ao

confrontá-los com a pré-análise da sequência didática, levando em conta as

variáveis didáticas e seus valores; identificar como os professores validam as

repostas desses alunos. Corroboramos a posição de Margolinas (2002, p.5,

tradução nossa) quando pondera que, “o professor, como qualquer sujeito,

interage com um milieu, e ele aprende nesta interação, às vezes consumindo e

produzindo conhecimento.”

Analisaremos, a seguir, as respostas dos professores Narciso e

Margarida às questões lançadas na síntese e as declarações feitas pelos três

docentes no debate coletivo, após suas análises nos registros dos alunos das

duplas B, D, E e H.

Quanto ao reconhecimento e construção de eixo de simetria,

especificamente sobre o item (a) da situação–problema 1, perguntamos: As

observações feitas para os alunos do 6º e 9º anos do ensino Fundamental

aconteceram com alunos do 8º ano? Você consegue dar algum exemplo por

meio dos registros aqui analisados?

Quadro 48. Respostas fornecidas pelos docentes ao analisarem os registros de algumas duplas de alunos

Professores Respostas dos professores ao analisarem os registros dos alunos sobre reconhecimento e construção de eixo de simetria

Narciso

Margarida


248

No debate coletivo, os professores iniciaram uma discussão sobre os

procedimentos e as respostas previstos para o reconhecimento e construção

dos eixos de simetria para o item (a) e os procedimentos e respostas

fornecidos pelos registros das quatro duplas de alunos analisados por eles

sobre esse mesmo item. O professor Narciso confirmou e complementou sua

resposta no Quadro 48 “ocorreu, porque aqui eu falei sobre a questão de não

enxergar, por exemplo, todos os eixos de simetria na [circunferência]” 69. Nesse

momento a professora Margarida, lembrando-se da pré-análise da sequência

didática interveio: “pela sua resposta [anterior], eu entendi que eles [os alunos]

só iriam conseguir achar um [eixo de simetria] e considerar que todos eram um

só, que era tudo igual [...] e eles conseguiram encontrar mais de um, só não

todos” 70. Continuando, o outro professor rebateu: “sim, mas são infinitos eixos.

Na minha concepção, eles continuaram tendo uma visão limitada” 71 e concluiu

fazendo uma observação sobre o registro da dupla D: “na realidade eles não

conseguiram identificar que isto é eixo de simetria” 72. A professora Margarida

concluiu, ao referir–se aos registros das duplas H e B,

eu acho que esses dois aqui estavam meio que perdidos em todas as atividades, teve algumas que nem fizeram já esses aqui não conseguiram todos, mas, eles colocaram a reflexão de múltiplos lados (só errou lados), mas, ele percebeu que todo ponto que ele fosse, ia encontrar [os eixos de simetria].73

A discussão entre os dois professores no debate coletivo, sobre os

protocolos das duplas de alunos propõe uma reflexão sobre a forma como cada

um deles interpreta as respostas dos estudantes. A maneira como o professor

lida com as respostas dos alunos é importante para o processo de devolução e,

consequentemente, para a validação e institucionalização das respostas.

Margolinas (2004) pontua que a avaliação pode ocorrer sempre, porém a

validação existe somente no caso de existir um milieu que oferece condições

para que a mesma ocorra. Essa autora define como critérios de validade os

conhecimentos sobre os quais o professor se apoia para conduzir bem o

processo de devolução.

69 Em depoimento concedido em reunião – março de 2015. 70 Em depoimento concedido em reunião – março de 2015. 71 Professor Narciso em depoimento concedido em reunião – março de 2015. 72 Professor Narciso em depoimento concedido em reunião – março de 2015. 73 Em depoimento concedido em reunião - março de 2015.

249

No geral, os professores concordaram que as duplas de alunos não

conseguiram generalizar seus procedimentos, até traçavam na figura-objeto um

número fixo de eixos de simetria, mas não conseguiram identificar que são

infinitos os eixos de simetria da circunferência.

No Quadro 49 exibimos, para o item (a) da situação-problema 1, como

ficou a pós-análise dos professores nos registros das duplas B, D, E e H em

comparação com a pré-análise que fizeram da sequência didática.

Quadro 49. Comparativo entre o que foi previsto pelos docentes e a pós-análise nos registros das duplas de alunos B, D, E e H, quanto às dificuldades que os alunos poderiam encontrar no

item (a).

Previsto na pré-análise dos docentes

Duplas Docentes

B

D

E

H

O aluno pode traçar o primeiro eixo [de simetria], mas, ele não vai entender que de qualquer forma que ele traçar uma corda passando pelo centro [do circulo] ele vai traçar o eixo de simetria, porque não tem a noção de diâmetro.

Narciso

Os alunos conseguiram achar mais eixos de simetria que o esperado.

Aconteceu o que era esperado em partes. Alguns alunos traçaram mais eixos de simetria.

Margarida

Perceberam a existência de infinitos eixos de simetria, porém não souberam justificar.

Como previsto


Por meio do Quadro 49, temos indícios de que os professores foram

parcialmente surpreendidos pelas respostas dos alunos. Além disso, no geral,

observamos em nossa análise, a posteriori, nos registros das duplas de alunos,

a percepção de que, cada vez que se dobra a folha em que a figura se

encontra desenhada, é obtido um eixo de simetria diferente. Porém, esse fato

não foi suficiente para que respondessem corretamente o item (a) da situação-

problema 1. O que parece ser um problema para as duplas de alunos, apesar

de o conceito já ter sido trabalhado na classe (como a professora Margarida

argumentou em depoimento, ver p. 262), é não terem compreendido, de fato, a

definição de simetria ortogonal.

Outras possíveis dificuldades, assinaladas pelos professores na pré-

análise da sequência didática, com relação aos alunos, estão relacionadas a

250

conhecimentos inerentes à circunferência (diâmetro, corda, raio); avaliamos

que, para esse item, os critérios de validade (MARGOLINAS, 2004) estariam

limitados. Nesse sentido, existe a necessidade de o professor propor situações

fundamentais que ampliem o milieu material do aluno, de forma que este tenha

condições de fazer conjecturas e validá-las.

No Quadro 50, apresentamos as observações dos professores quanto

ao item (b), em comparação com a previsão deles na pré-análise da sequência

didática pré-elaborada.


item (b).

Previsto na pré-análise

dos docentes

Duplas

Docentes

B

D

E

H

Talvez ele [o aluno] não entenda a diagonal como eixo de simetria.

Narciso

Conseguiram visualizar a diagonal como eixo de simetria.

Eles conseguiram visualizar a diagonal como eixo de simetria.

Margarida

Foram além do esperado, pois atentaram ao ponto médio dos lados.

Como previsto


Os apontamentos feitos pelos professores na pré-análise da sequência

didática, de que provavelmente os alunos não tivessem problemas para

responder esse item, podem ser observados no Quadro 50. Além disso, sobre

a dúvida da visualização das diagonais do quadrado como eixos de simetria,

observamos que as explicações das duplas de alunos não deixaram claros os

procedimentos para a obtenção das respostas (ver citação retirada dos

protocolos dos alunos, p. 224).

No Quadro 51, expomos a comparação entre o previsto pelos

professores na pré-análise e suas observações nos registros das duplas de

alunos B, D E e H pra o item (c).

251


item (c). Previsto na pré-

análise dos docentes

Duplas

Docentes

B

D

E

H

Quanto à classificação dos triângulos (equilátero isósceles e escaleno). Especificamente traçariam apenas um eixo como se fosse um triângulo isósceles.

Narciso

Não se importaram com as propriedades dos triângulos.

Eles não se importaram com as propriedades dos triângulos

Margarida

Consideram o triângulo equilátero e encontraram 3 eixos [de simetria].

Como previsto


Como previsto pelos professores na pré-análise para o item (c), Quadro

61, a maioria das duplas de alunos traçou na figura (triângulo) apenas um eixo

de simetria (ver Tabela 5, p. 225). Ainda sobre o item (c), o professor Narciso,

no debate coletivo, complementou suas observações (Quadro 51) ao avaliar

que, nos registros das duplas de alunos por ele analisados, “eles [as duplas de

alunos] não identificaram as propriedades [da simetria ortogonal]” 74.

Continuando, ele leu uma das respostas dadas pelas duplas: “nessa figura só

há um eixo de simetria, que forma dois lados porque como [o triângulo] só tem

três vértices” (dupla D), e argumentou: “eles não conseguiram identificar as

relações, nenhuma delas” 75. O professor Jacinto complementou que:

“adotaram como se fosse, no mínimo, um triângulo isósceles.”76

A professora Margarida, ao observar o registro da dupla B, pontuou que

essa “considera [o triângulo] equilátero, ou seja, que [a medida dos] três lados

são iguais” 77. No geral, nenhuma das duplas de alunos apresentou justificativa

ou explicações que levassem em conta a classificação dos triângulos, de

acordo com o comprimento dos lados ou a medida dos ângulos, como

observaram os professores (ver Quadro 51). Implicitamente, eles fazem uma

opção, consideram o triângulo ou equilátero ou isósceles.

74 Professor Narciso em depoimento concedido em reunião – março de 2015 75 Professor Narciso em depoimento concedido em reunião – março de 2015 76 Professor Jacinto em depoimento concedido em reunião – março de 2015 77 Em depoimento concedido em reunião – março de 2015.

252

Para o item (d), a pré-análise dos professores também previa que os

alunos desenhariam na figura (paralelogramo) falsos eixos de simetria, como

expomos no Quadro 52.


item (d).

Previsto na pré-análise dos

docentes

Duplas

Docentes

B

D

E

H

Identificariam dois eixos de simetria, pois não atentariam ao espelhamento.

Narciso

Os alunos colocaram os eixos de simetria sem se preocupar com espelhamento.

Eles encontraram um eixo de simetria e não se preocuparam com o espelhamento.

Margarida Como previsto

Como previsto


Conforme observado pelos docentes (Quadro 52), a maioria das duplas

desenhou os falsos eixos de simetria nas direções das diagonais do

paralelogramo (ver Tabela 6). O professor Narciso ainda adicionou a

observação quanto a não utilização da técnica espelhamento pelos alunos. Ao

discutir presencialmente, no debate coletivo as respostas das duplas de alunos

D e E, respectivamente (ver Figura 59, p.226), os docentes argumentaram que:

“nesta figura só tem dois eixos de simetria (errado), só achou um eixo de

simetria (errado)” 78, em seguida os professores fizeram uma comparação com

as próprias respostas (Quadros 28 e 29, p. 193-194), apresentadas na etapa 2

da experimentação 1 “e que não era igual à gente” 79, “é, fez igual a gente” 80,

referindo-se ao fato de o paralelogramo não possuir eixos de simetria e eles

terem traçado os falsos eixos de simetria.

Avaliamos que, particularmente para este item, o conceito de reflexão

sobre a prática proposto por Schön (2000) pode ser observado de forma

explícita. Os docentes, no primeiro momento da experimentação, realizaram

um movimento de conhecimento-na-ação ao perceberem que o paralelogramo

não possui eixos de simetria. No segundo momento, quando analisaram

78 Professor Narciso em depoimento concedido em reunião – março de 2015. 79 Professora Margarida em depoimento concedido em reunião – março de 2015. 80 Professor Narciso em depoimento concedido em reunião – março de 2015.

253

didaticamente a atividade proposta no item (d) da situação-problema 1, com

vistas na aplicação da sequência didática a alunos do 8º ano do Ensino

Fundamental, estimamos que tenha ocorrido o segundo movimento, a reflexão-

na-ação. Pelas citações dos professores no parágrafo anterior, percebemos o

movimento de reflexão-sobre-a-ação, já que os professores refletem sobre as

respostas dos alunos e comparam com as suas próprias respostas.

No Quadro 53, exibimos as observações dos professores quanto ao item

(e) em comparação com a previsão na pré-análise da sequência didática pré-

-elaborada.


item (e). Previsto na pré-análise dos docentes

Duplas

Docentes

B

D

E

H

Não conseguiriam

[os alunos] encontrar todos

os eixos de simetria do octógono.

Narciso Não encontraram todos os eixos de

simetria

Realmente não encontraram

todos os eixos de simetria

Margarida Como

previsto

Como previsto


No caso do item (e), observamos, por meio de nossa análise nos

registros das duplas de alunos, que apenas uma dupla traçou corretamente os

8 eixos de simetria da figura, contrariando a expectativa dos professores de

que, por já terem traçado os eixos de simetria nos itens anteriores, esse item

pudesse ser dispensável da sequência didática pré-elaborada. Porém, a

previsão dos docentes de que os alunos não encontrariam todos os eixos de

simetria do octógono concretizou-se. A complexidade da figura-objeto foi uma

das variáveis didáticas que influenciaram os procedimentos das duplas de

alunos, de modo que eles não obtiveram sucesso nas respostas desse item.

Durante a pós-análise dos professores, nas duas primeiras situações-

problema, observamos que eles detectaram erros e acertos nos procedimentos

e respostas das duplas de alunos e os compararam àqueles previstos por eles

na pré-análise. Porém, ressaltamos que, às vezes, a análise que os docentes

produziram sobre os registros dos alunos tem uma conotação avaliativa, de

acordo com Margolinas (2004).

254

as fases de avaliação não permitem, na maioria dos casos, tornar vivo um problema por um tempo suficiente para que os alunos mais fracos se apropriem dele. Porém, a fase de avaliação se define apenas como o julgamento do professor sobre as respostas dos alunos. É, por conseguinte possível, a priori, deixar o problema ainda em aberto, retornando-o para cada aluno individualmente para o seu trabalho. Esta forma de realização das fases de avaliação demora muito e raramente se observa. (p. 39, tradução nossa)

A nosso ver, abreviar as fases da aprendizagem (no sentido de

Brousseau), omitindo a devolução, impossibilita o aluno de formular

conjecturas, validar ou descartar procedimentos e respostas. O aluno fica

esperando a validação a ser proposta pelo professor, no momento da

institucionalização.

Com relação à utilização da malha quadriculada, perguntamos: Qual

papel desempenhou a malha quadriculada nos registros dos alunos? Ajudou os

alunos a identificarem propriedades da simetria ortogonal? Favoreceu as

percepções global e/ou pontual81 de figura simétrica?

Quadro 54. Respostas dos professores ao analisarem os registros das duplas de alunos

quanto à utilização da malha quadriculada

Professores Respostas dos professores ao analisarem os registros das duplas de alunos quanto à utilização da malha quadriculada

Narciso

Margarida


Sobre a malha quadriculada, o professor Narciso (no debate coletivo)

acrescentou que ela “favoreceu, porém, se não tiver o domínio do conceito de

simetria, ele [o aluno] também não faz, é por isso que eu falei a questão da

motivação, a malha quadriculada ajudou” 82. Sobre a motivação, é uma

justificativa que o docente vê para o fato de a dupla H ter respondido

81Segundo Miyakawa (2005) a perspectiva global de figuras simétricas refere-se àquelas adquiridas a partir de várias experiências ou atividades sobre reconhecimento de objetos simétricos dentro e fora da classe. Segundo Jahn (1998), a noção de aplicação pontual é pressuposta pela hipótese implícita de que uma figura é um conjunto de pontos e, portanto, sua imagem é um conjunto de pontos. 82 Em depoimento, março de 2015.

255

erroneamente o item (n) da situação-problema 3 e não ter respondido o item (b)

da mesma situação-problema, como pode ser visto na Figura 63.

Figura 63. Item (b) não respondido pela dupla H e item (n) respondido erroneamente pela

dupla H.


Apesar da argumentação do professor Narciso sobre a malha

quadriculada facilitar nos procedimentos de resolução das duplas de alunos,

em nossa análise nos registros delas (Tabela 9, p.233-234) observamos que,

no geral, a malha quadriculada não favoreceu positivamente as respostas das

duplas. O índice de insucesso para o item (n), cujo papel é do tipo

quadriculado, chega a ser maior que o do item (b), sobre o papel branco.

Ainda sobre papel do tipo quadriculado, as observações da professora

Margarida, quanto à posição do eixo de simetria na folha, o que implica uma

diferença na quantidade de quadrinhos nos semiplanos delimitados pelo eixo

de simetria, foram condizentes, em geral, por meio de nossa análise, a

posteriori, nos registros das duplas de alunos. Essa variável didática pareceu-

nos determinante na alta taxa de insucesso das respostas fornecidas pelas

duplas. Nossas análises apontaram, ainda, nos registros das duplas de alunos,

fortes indícios de dificuldades relacionadas ao conceito de simetria ortogonal e

as suas propriedades, principalmente quanto à ortogonalidade.

Com relação à construção de figura simétrica, inquirimos os docentes:

Com relação aos itens (c) e (f) nos quais as figuras cortam o eixo de simetria,

os professores acreditavam que, em todos os anos do Ensino Fundamental II,

os alunos teriam dificuldades. Essa observação se confirmou? O que você

observou nos registros dos alunos com relação às propriedades de simetria

ortogonal?

256

Quadro 55. Respostas dos professores ao analisarem os registros dos alunos com relação à construção de figura simétrica

Professores Respostas dos professores ao analisarem os registros dos alunos com relação à construção de figura simétrica

Narciso

Margarida


Para a professora Margarida, a dupla B conseguiu fazer a atividade e

mostrou entender o conceito de simetria. Complementando sua resposta, a

docente, no debate coletivo, fez a seguinte observação sobre os registros

dessa mesma dupla, “ela fez, fez torto, mas fez, só não usaram a régua para

fazer [a figura imagem], mas tiveram a ideia do que seria” (ver Quadro 45, p.

237-238) 83. Quanto aos registros da dupla H (Figura 64), a docente avaliou

que os alunos não demonstraram conhecer o conceito de simetria ortogonal e

argumentou que “eles não fizeram nada, então eu acho que ficaram meio que

perdidos ou estavam com preguiça” 84.

Figura 64. Resposta da dupla H para os itens (c) e (f) da situação-problema 3.


Observamos que essa dupla de alunos ficou totalmente confusa por

causa da interseção (em um e dois pontos) das figuras-objeto com o eixo de

simetria. Ao contrário do que argumentou a professora, eles chegaram a

desenhar erroneamente as “figuras-imagem” (Figura 64), porém essas não

83 Em depoimento, março de 2015. 84 Em depoimento, março de 2015.

257

ultrapassam o eixo de simetria. Observamos, ainda, o cuidado da dupla para

que não houvesse sobreposição entre as figuras no caso do item (f).

O professor Narciso fez a seguinte observação nos registros (Figura 65)

das duplas D e E, para os itens (c) e (f): “aqui eles conseguiram identificar, mas

quando corta o eixo [de simetria] não, aqui eles não fizeram”.85

Figura 65. Resposta das duplas D e E para os itens (c) e (f), respectivamente, da situação-problema 3.


Notamos que, ao observar os registros das duplas de alunos, o docente

comparou outro item, cuja figura-objeto não intercepta o eixo de simetria, com

os itens (c) e (f). Ele ainda chamou a atenção para o fato de os alunos da dupla

D não responderem o item (c).

Segundo esse mesmo professor, os alunos não conseguiram localizar e,

consequentemente, não construíram os pontos simétricos aos da figura-objeto

no semiplano oposto ao eixo de simetria, mesmo quando o eixo de simetria era

vertical (ver Quadro 55). Esse fato remete à concepção de que, ao localizar e

traçar os pontos simétricos aos da figura-objeto, o alunos conseguirão construir

a figura-imagem.

Quanto às variáveis didáticas, perguntamos aos professores: a partir dos

registros dos alunos quais daquelas variáveis didáticas identificadas no

momento da análise das situações realmente fizeram diferença quanto ao nível

de dificuldade das situações? Foi possível identificar outras variáveis didáticas?

85 Em depoimento, março de 2015.

258

Quadro 56. Respostas dos professores ao analisarem os registros dos alunos sobre a influência das variáveis didáticas.

Professores Respostas dos professores ao analisarem os registros dos alunos sobre a influência das variáveis didáticas

Narciso

Margarida


Notamos que, apesar de ambos os professores citarem a malha

quadriculada como uma variável de didática que influenciou nas respostas das

duplas de alunos, cujos registros foram por eles analisados, somente a

professora Margarida detalhou que influência foi essa.

O Quadro 57 versa sobre as observações dos docentes a respeito da

influência das variáveis didáticas nas respostas das duplas de alunos B, D, E e

H.

Quadro 57. Pós-análise nos registros das duplas de alunos B, D, E e H quanto à influência das

variáveis didáticas.

Situações

Duplas

Docentes

B

D

E

H

1-(a)

Narciso

Própria figura As propriedades da figura.

1-(b) Nenhuma Nenhuma

1-(c) Propriedades das figuras

As propriedades do triângulo (falta de conhecimento)

1-(d) Natureza da figura

Natureza da figura.

1-(e) Complexidade da Figura

Complexidade da Figura.

2 A disposição das figuras

Nenhuma

3 Não identifiquei Não identifiquei

1-(a)

Margarida

Como previsto

Como previsto

1-(b) Como previsto

Como previsto

1-(c) Como previsto

Como previsto

1-(d) Como previsto

1-(e) Como previsto

Como previsto

2 Como previsto

Leitura

3 Como dobraram

Não realizaram

259

a variável prevista não foi problema.

a atividade toda


Em geral, observamos, por meio do Quadro 57, que para a maioria dos

itens das situações-problema os professores não detalharam como as variáveis

didáticas identificadas e estudadas anteriormente, influenciaram nas respostas

dessas duplas de alunos. Contudo, algumas vezes, limitaram-se a utilizar

“como previsto”, referindo-se à pré-analise realizada (ver Quadro 40, p. 218).

Finalmente, sobre a utilização de instrumentos de desenho geométrico

perguntamos aos docentes: Durante a aplicação das situações-problema foram

disponibilizados aos alunos régua e esquadro, mas aparentemente eles não

utilizaram o esquadro. A que você atribui esta não utilização? Vocês acreditam

que, se os instrumentos de desenho tivessem sido utilizados corretamente,

durante a execução das tarefas, as propriedades inerentes à simetria ortogonal

seriam observadas? Por quê?

Quadro 58. Respostas dos professores ao analisarem os registros dos alunos sobre a

utilização dos instrumentos de desenho geométrico

Professores Respostas dos professores ao analisarem os registros dos alunos sobre a utilização dos instrumentos de desenho geométrico

Narciso

Margarida


Por meio do Quadro 58, verificamos que ambos os professores

justificaram a não utilização dos instrumentos de desenho geométrico para a

construção de figuras simétricas, pelo fato de as duplas de alunos não saberem

utilizá-los.

Ainda sobre a não utilização dos instrumentos no desenvolvimento das

tarefas, o professor Jacinto ponderou que, “a gente trabalha mais com a parte

de geometria do que desenho geométrico, porque essa parte da utilização do

material se dá mais para quem trabalha com desenho geométrico, a

260

construção”86. Ilustrando essa observação o professor Narciso ofereceu o

seguinte exemplo,

Se a gente der um jogo de esquadros [aos alunos], traçarmos uma reta e pedimos para traçar um feixe de retas paralelas a ela, eu tenho certeza que eles [os alunos] vão pegar um esquadro só e “vai no” olho. Ele não vai fazer aquele jogo com os esquadros, um fixo e outro móvel para um deslizar um sob outro para traçar as retas paralelas. Ele não vai fazer isso, por que, ele não tem essa cultura. Ele não foi ensinado a isso.87

Esse mesmo professor pontuou “o que acontece no que diz respeito ao

[uso do] instrumento é isso, a falta da associação da construção dos objetos

com a questão das propriedades e definições88”. Questionamos,

presencialmente, os professores para saber por que não os alunos não eram

ensinados a utilizar instrumentos para a construção geométrica. Para o

professor Narciso, os motivos de não se ensinar a geometria por meio das

construções geométricas está na formação de professores, como havia já

citado anteriormente e no currículo para o Ensino Fundamental. Com relação

ao currículo ele pondera,

o mais imprescindível dessa história toda, eu acho é o currículo. Porque, por mais que o professor ali não saiba [o conteúdo], se ele foi delegado para ministrar uma disciplina de desenho geométrico, ele correria atrás, ele buscaria, aprenderia e ensinaria os alunos. Mas eu acho que é mais o currículo, aqui nós temos [a disciplina] geometria que no currículo, é o estudo da parte algébrica na geometria, isto é, aplicar conceitos e propriedades da geometria de forma algébrica. Inclusive a geometria hoje é aquela parte do livro de matemática. Na melhor das hipóteses é trabalhado o reconhecimento de figuras planas e não planas no 6º ano e só. Mas ele [o aluno] não sabe como é que se constrói um quadrado, uma figura plana. A parte de construção [geométrica] fica sem ser vista, fica sem saber. 89

Na resposta dada pela professora Margarida (Quadro 58), ela admite

que, se os alunos tivessem utilizado os instrumentos para construir as figuras

simétricas, possivelmente teriam tido maior facilidade em verificar as

propriedades da simetria ortogonal.

86 Em depoimento, março de 2015. 87 Professor Narciso em depoimento concedido em reunião - maio de 2015. 88 Professor Narciso em depoimento concedido em reunião - maio de 2015. 89 Professor Narciso em depoimento concedido em reunião - maio de 2015.

261

No Quadro 59, reunimos as observações dos docentes na pós-análise

nos registros das duplas de alunos B, D, E e H, sobre os conhecimentos que os

alunos mobilizaram para responder cada item proposto nas situações-problema

da sequência didática aplicada a eles.

Quadro 59. Pós-análise nos registros das duplas de alunos B, D, E e H quanto aos

conhecimentos que mobilizaram para responder o conjunto de atividades que compõem a sequência didática.

Situações

Duplas

Docentes

B

D

E

H

1-(a)

Narciso

Diâmetro, ângulo central

Diâmetro, ângulo central

1-(b) Mesmo Mesmo

1-(c) Nenhum Nenhum

1-(d) Nenhum Nenhum

1-(e) As propriedades do polígono

As propriedades do polígono

2 Nenhum Equidistância

3 Nenhum Construção da mediatriz (parcial)

1-(a)

Margarida

Noção de diâmetro

Não demonstraram possuir domínio sobre o conceito de diâmetro.

1-(b) Como previsto

Não demonstraram conhecer todas as propriedades do quadrado.

1-(c) Como previsto

Não demonstraram conhecer todas as propriedades do triângulo.

1-(d) Diagonais do paralelogramo

Diagonais de um paralelogramo

1-(e) Como previsto

2 Como previsto

3

Usaram apenas a questão do espelhamento dobrando [o papel onde se encontrava] a figura.

Não demonstraram os conceitos previstos.


Complementando os dados fornecidos no Quadro 59, sobre os

conhecimentos mobilizados pelas duplas de alunos, os professores fizeram a

262

seguinte reflexão ao observar os registros da dupla B (ver Figura 61, p.231)

sobre a situação-problema 2, e sobre os termos translação e rotação utilizados:

aqui eles colocaram o eixo [de simetria], aqui eles colocaram que não tinha e disseram que era movimento de translação, aqui foi rotação, rotação e não se atentou para o uso90. Olha um detalhe interessante você utiliza no 8º ano, esses termos, rotação e translação?91Esse ano a gente trabalhou, por isso eu sei que essa dupla aqui estava totalmente perdida92.

O professor Narciso ponderou, ainda, que esses termos eram utilizados

por ele no Ensino Médio, quando estava trabalhando conteúdos referentes à

geometria analítica. De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais

(BRASIL, 1998) é uma finalidade do ensino de Matemática levar o aluno a

“comunicar-se matematicamente, ou seja, descrever, representar e apresentar

com precisão e argumentar sobre suas conjecturas, fazendo uso da linguagem

oral e estabelecendo relações entre ela e diferentes representações

matemáticas”. (BRASIL, 1998, p.48)

Uma discussão sobre a utilização de termos matemáticos no ensino da

simetria ortogonal, também ocorreu na etapa 2 da experimentação 1, quando

os professores realizaram a pré-análise da sequência didática. Naquele

contexto, argumentamos sobre a necessidade de os discentes entrarem em

contato com a linguagem matemática.

As últimas reuniões realizadas com os professores, sujeitos da pesquisa,

tiveram como objetivo a avaliação desses docentes sobre o processo de

investigação. Durante esses encontros, os professores realizaram o último

movimento no modelo de reflexão sobre a prática proposto por Schön (1995;

2000). Essa avaliação é o tema tratado na seção 7.5.

90 Professora Margarida em depoimento concedido em reunião - março de 2015. 91 Professor Narciso em depoimento concedido em reunião - março de 2015. 92 Professora Margarida em depoimento concedido em reunião - março de 2015.

263

7.5 A visão dos professores, sujeitos da pesquisa, durante e após

a investigação sobre o ensino e aprendizagem da simetria

ortogonal

Com o intuito de obter mais informações sobre o ensino e a

aprendizagem da simetria ortogonal, durante o debate coletivo, questionamos

os professores: “Com relação às propriedades, por exemplo, distância do eixo

de simetria à figura simétrica e ortogonalidade, os alunos têm, ao que parece,

uma noção perceptiva, vocês perceberam isso? Os professores responderam

que sim e justificaram suas respostas.

Isso é uma coisa tão normal (mas, tão normal), eu vou dar só uma ideia, eles [os aluno] chegam no 3º ano e a gente vai trabalhar em Geometria Analítica, distância entre ponto e reta, que existe a necessidade dessa noção. Eles não conseguem compreender que a distância entre uma reta e um ponto, que a distância não é essa PA ,

que a distância não é essa PB , que a distância menor [entre o

ponto e a reta], aí tem que ser ortogonal. Aí a gente define que a

distância entre o ponto P à reta r é o comprimento de PQ , de modo

que o segmento PQ pertence à reta s é perpendicular à reta r. Isso

depois de a gente já ter visto perpendicularidade, mas mesmo assim eles não conseguem entender o porquê da distância entre ponto P e a reta r ser a menor, isso no 3º ano. 93

Reproduzimos a figura descrita na citação acima e construída pelo

professor para explicar as dificuldades dos alunos em mobilizar conhecimentos

referentes à perpendicularidade.

Figura 66. Reprodução da figura construída pelo professor Narciso em depoimento


93 Professor Narciso em depoimento concedido em reunião - março de 2015.

264

Os professores justificam a dificuldade que os alunos tiveram em

mobilizar os conhecimentos geométricos ao responder as situações-problema

propostas na sequência didática, complementando: “a maioria dos alunos do 8º

ano, nem a régua sabe usar, eles começam a medir do 1, eu descobri naquela

atividade que eu passei para casa para construir triângulos usando régua e

compasso. A maioria colocou 4 cm, onde não era 4, era 3” 94. E continuam a

explicar de onde vêm as dificuldades: “outro problema eles não discutem, só

aceitam como verdade quando a gente dá”. 95 Sobre esse fato, o professor

ainda acrescentou: “então é perceptível, mas para gente, para a experiência

docente isso é uma coisa normal.” 96

Continuando nossos questionamentos, perguntamos: “Será que se

começar a trabalhar mais cedo, com relação aos anos escolares, a simetria

ortogonal, a noção de ortogonalidade, os alunos vão acompanhando?” “Vão,

com certeza vão” 97. Voltamos a questionar: “Então, seria uma falha no

processo?” Os professores responderam,

sim, uma falha no processo98, tem que ser lá de baixo [anos iniciais]99. Não é querendo defender nosso peixe, e já defendendo, a gente tinha condições de fazer isso aqui [na escola] e a partir do momento que ficamos com geometria só no 8º ano, a gente queira ou não queira, quebrou uma sequência de construção do conhecimento geométrico na cabeça do aluno. Com exceção da professora Rosa, e posso falar ai tranquilamente, que destina no planejamento dela três aulas para aritmética e álgebra e duas aulas para geometria, todos nós, eu e Margarida no 6ºano, nós priorizamos a aritmética. Nós priorizamos porque, nós estamos pegando alunos analfabetos, então nós temos que alfabetizar matematicamente esses alunos, para depois [ensinar] as outras coisas. 100

Fazendo um comparativo entre os conhecimentos que os docentes

esperavam que os alunos mobilizassem na pré-análise (Quadro 40, p.218), e

as observações apontadas por eles na pós-análise nos registros de algumas

duplas de alunos (Quadro 59), observamos que, aparentemente, nem todos os

conteúdos foram disponibilizados pelos alunos ao responder as atividades da

sequência didática. Nesse caso, citamos como exemplos principais, os

94 Professora Margarida em depoimento concedido em reunião - março de 2015. 95 Professor Narciso em depoimento concedido em reunião - março de 2015. 96 Professor Narciso em depoimento concedido em reunião - março de 2015. 97 Professor Narciso em depoimento concedido em reunião - março de 2015. 98 Professor Narciso em depoimento concedido em reunião - março de 2015. 99 Professora Margarida em depoimento concedido em reunião - março de 2015. 100 Professor Narciso em depoimento concedido em reunião - março de 2015.

265

conteúdos: noção de diâmetro de uma circunferência, ângulos e ângulo reto,

construção de mediatriz, construção de reta perpendicular, as propriedades dos

polígonos. Sobre esses conteúdos, os professores seguiam, justificando as

dificuldades apresentadas pelos alunos, quando necessitaram acioná-los no

momento de responder o conjunto de atividades que compunham a sequência

didática.

Este ano, o que foi que a gente deu de geometria? Aquela questão de noção de figura plana e figura espacial. Na figura espacial, a identificação de vértices, arestas e faces. Na figura plana, a gente chegou a ver paralelismo e retas concorrentes e foi só isso. A gente não trabalhou, por exemplo, retas perpendiculares. Por que?, Por que não deu tempo de dar a noção de ângulo. Então, que sentido tem a gente falar que duas retas são perpendiculares, quando são concorrentes, quando forma um ângulo de 90º, se ele [o aluno] não sabe o que é ângulo? Então está muito complicado. 101

Vale lembrar, conforme apresentado nos mapas conceituais (Figura 19,

p. 90 e Figura 20, p.91) que esses conteúdos estão intimamente relacionados à

simetria ortogonal e que, portanto, servem de suporte para a sua

aprendizagem. Observamos que os professores ponderaram sobre os

conteúdos de geometria, que necessitavam ser mobilizados para que os alunos

avançassem em conhecimentos sobre a simetria ortogonal. Nesse momento,

os professores investigados avaliaram seu curso, por meio de uma análise

sobre a prática. A atividade do professor pode ser descrita como: o professor

P(+2) avalia quais são os conhecimentos necessários para os alunos

apreenderem o conceito de simetria ortogonal e quais são os entraves no

ensino de geometria que são empecilhos à aprendizagem desse conceito.

Perguntamos, ainda, aos professores, a que eles atribuíam as

dificuldades de argumentação que os discentes apresentaram no momento da

aplicação da sequência didática. Sobre essa dificuldade, para sermos claros,

explicamos que, mesmo de forma coloquial, sem utilizar termos matemáticos,

os alunos não conseguiam justificar como e por que estavam escolhendo os

procedimentos para responder às atividades. Ao responder este

questionamento, o professor Narciso explicou utilizando a regra de soma de

frações como exemplo.

101 Professor Narciso em depoimento concedido em reunião - março de 2015.

266

Mas, entre aspas, eu julgo que a maior culpa desta história toda, é do professor. Porque, hoje em dia o ensino da matemática está voltado mais para as coisas [regras] e não pelo o porquê das coisas [regras]. Eu só sei que para somar duas frações, eu tiro o MMC, divido pelo de baixo e multiplico pelo de cima, depois somo os numeradores e repete o denominador. Isso ai, muitos alunos sabem fazer. Agora saber que aquilo ali significa, igualar as frações aos mesmos denominadores, encontrar frações equivalentes e nós falamos isso sequencialmente, mas automaticamente a gente quando vai falar de soma de frações, por exemplo, (quando eu falo a gente estou me referindo a gente professor, no geral) “vai tão no” automático. [...] agora o porquê isso, fazer a pergunta dos porquês para os alunos, a gente não faz, como a gente não faz, ele [o aluno] não pergunta e ficam bitolados em aprender somente a regra e não o porquê da regra. 102

Finalizando sua fala e referindo-se à sequência didática aplicada aos

alunos, resolvida e analisada por eles, o docente complementou: “quando

chegam trabalhos desse tipo, que precisa puxar deles um poder de

argumentação eles não têm, porque eles não foram treinados para isso”103.

Ainda sobre a argumentação os professores avançam um pouquinho mais

longe, citando que “quando eles [alunos] chegam ao Ensino Médio, a coisa é

pior ainda, porque existe o pensamento de que a Matemática que ele aprende

na escola é uma matemática irrelevante para a vida dele, já que ele vai ser

advogado, médico, etc.”104

Questionamos os docentes: “Quais ações eles acreditavam que

poderiam ser tomadas para que esse quadro melhorasse, isto é, para que a

aprendizagem dos alunos nos conteúdos relacionados à geometria, em

especial à simetria ortogonal, fosse realmente efetiva?” Os docentes

responderam

primeiramente a gente teria que mudar a cabeça do aluno, que entra na Ensino Fundamental I, Educação Infantil, amando matemática, por que lá ele trabalha o tempo todo com o concreto e chega aqui no Ensino Fundamental II, quando a gente começa a abstrair, generalizar ele tem aversão à Matemática. Então quais seriam as ações? Trabalhar o concreto o cotidiano. Fazer uma transição mais suave. 105

102 Em depoimento concedido em reunião - março de 2015. 103 Professor Narciso em depoimento concedido em reunião - março de 2015. 104 Professor Narciso em depoimento concedido em reunião-maio de 2015. 105 Professor Narciso em depoimento concedido em reunião-maio de 2015.

267

O professor Jacinto complementou essa resposta ponderando, “uma

ação que demandaria tempo é que toda escola tivesse um laboratório de

Matemática. Com o laboratório a gente poderia tentar colocar um pouco de

prática em nossas aulas. A gente tem o quê? A gente tem um quadro, um piloto

e quiçá uma régua de madeira. A gente fica limitado.”106

Pelos depoimentos dos docentes, avaliamos que são várias as variáveis

que interferem no ensino e na aprendizagem dos alunos com relação aos

conteúdos relacionados à geometria e, de forma especial, à simetria ortogonal.

Entre elas identificamos: a formação deficiente de professores, a falta de

estrutura adequada para a realização do trabalho docente (entre elas falta de

laboratórios), a ausência de uma transição suave do pensamento concreto para

dedutivo.

7.5.1 O papel do currículo e a influência do livro didático no ensino da

simetria ortogonal sob o olhar dos docentes investigados

Durante as reuniões, em vários momentos os professores fizeram

observações sobre o papel do currículo e consequentemente do livro didático

no ensino de geometria. Em uma delas citaram:

Eu não sei do [ensino] fundamental I, mas no [ensino] fundamental II, o currículo (pode ser culpa até do próprio currículo), isso eu estou falando até pelos livros didáticos, a geometria no sexto ano está mais para reconhecimento de figuras planas e espaciais. Esse ano a gente vai trabalhar ângulo, não é isso? No livro do 6º ano, mas nos anos anteriores, ângulo só vinha no livro do 7º ano. Então, ele (o aluno) só ia ter noção de ângulo no 7ºano107.

Ainda sobre os conteúdos a serem trabalhados, em função do livro

didático, os professores pontuaram: “a gente vai trabalhar a parte de figuras

planas, não planas (vértice, arestas)” 108, para o sétimo ano; outro professor

citou: “agora a gente está iniciando polígonos na 3ª unidade por que antes eu

trabalhei com figuras espaciais” 109. Os docentes observaram que a coleção

dos livros didáticos utilizado pela escola no triênio 2011-2013 (Coleção 1, ver

seção 3.4.1, p.97) não abordava o conteúdo simetria ortogonal. Eles ainda 106 Em depoimento concedido em reunião - março de 2015. 107 Professor Narciso em depoimento concedido em reunião-maio de 2015. 108 Professora Margarida em depoimento concedido em reunião-julho de 2014. 109 Professora Rosa em depoimento concedido em reunião-julho de 2014.

268

avaliam que, por outro lado, a coleção de livros didáticos adotada atualmente

PNLD - triênio 2014-2016 (Coleção 2, ver seção 3.4.1, p.97) apresenta o

referido conteúdo relacionado a outros conteúdos de geometria, e um dos

professores ponderou que “essa foi uma boa escolha, a mudança [na seleção

do livro didático]” 110.

Como pontuamos anteriormente, os professores não levaram em conta

que a simetria ortogonal fora apresentada em um projeto sobre mosaicos nas

últimas páginas do livro didático do 7º ano na Coleção 1, já que citam que essa

não apresentava o conteúdo simetria ortogonal. As afirmações dos

professores vêm ao encontro das declarações de Silva (2010) de que o livro

didático não é só um guia que organiza o currículo, mas também é a principal

fonte de conhecimento que subsidia o professor, no momento de preparar o

seu curso.

Segundo o professor Narciso, o fato de existir uma desconexão entre as

construções geométricas e o estudo das definições e propriedades também

estão relacionadas ao livro didático. O professor esclarece que:

a gente segue uma didática imposta por uma bibliografia, em que nós temos livros [didáticos], por exemplo que, pegam um triângulo em que nesse triângulo não nenhum ângulo reto visível por construção mas, em compensação ele [o autor] bota aquele quadradinho com um pontinho, então a gente ensina para o aluno que independente de visivelmente ele não ter um ângulo reto mesmo assim o triângulo é retângulo.111

Sobre o currículo, os professores ponderam “a nossa grade [curricular] é

muito densa, muitos conteúdos. Isso acaba muitas vezes não dando a

possibilidade de a gente fazer intervenções112” A professora Margarida

concorda “A relação quantidade de aulas por conteúdos não dá. 113”

Ressaltamos que, após a análise nos registros das duplas de alunos, os

docentes voltaram ao nível noosferiano, em que a situação do ponto de vista

do professor é a seguinte: o professor P(+3) avalia como o currículo e o livro

didático, afetam as escolhas feitas no planejamento do seu curso.

110 Professor Narciso em depoimento concedido em reunião-novembro de 2014. 111 Professor Narciso em depoimento concedido em reunião - maio de 2015. 112 Professor Jacinto em depoimento concedido em reunião - maio de 2015. 113 Professora Margarida em depoimento concedido em reunião - maio de 2015.

269

7.5.2 As atividades propostas pelos docentes e a dificuldade de

implementar mudanças

Continuando a avaliar o experimento realizado com os alunos,

argumentamos que, num primeiro momento os alunos apresentaram

dificuldades com o conceito de eixo de simetria, sobretudo na primeira

situação-problema. Entretanto, com a evolução do experimento, foi possível

notar que os alunos procuravam estratégias para responder as atividades.

Essa busca por estratégias para desenvolver as atividades também foi

observada pelo professor Jacinto, que estava presente, aplicando a

experimentação. Esse docente comentou que, “no final [do experimento]

começaram a fazer espelhamento, começaram a botar o espelho [sobre a

figura], a partir da segunda situação-problema eles começaram a dobrar”114.

Sobre esse argumento o professor Narciso avaliou que

a minha preocupação nesse caso aí, eles não tinham a definição de eixo de simetria, depois eles encontraram a figura simétrica, isso leva a duas coisas: primeiro será que realmente foi uma construção intuitiva; segundo, eles entenderam que os espelhos dariam a oportunidade de encontrar a figura simétrica, mas eles continuaram não sabendo o que é eixo de simetria.115

Sobre essa citação, a professora Margarida informou que ela já havia

trabalhado na turma do 8° ano, o conteúdo simetria. A informação levou o

professor Narciso a concluir que uma parte dos alunos apenas se lembrou do

que já havia visto. Observamos que as propostas de atividades (ver Anexos 12

e 13) lançadas pelos professores, referiam-se, principalmente, à motivação

para entrar no conteúdo. Sobre esse processo, pontuamos que a motivação é

imensamente importante, pois existe a necessidade de o sujeito ter uma noção

inicial do objeto a ser estudado. Nesse momento, perguntamos sobre o que os

professores quiseram dizer com sistematização na proposta de atividade

fornecida por eles (ver Anexos 5 e 6).

Depois que a gente trabalhou toda essa parte lúdica, motivacional, agora é trabalhar definição, propriedades, exercícios, isso que a

114 Professor Jacinto em depoimento concedido em reunião - maio de 2015. 115 Professor Narciso em depoimento concedido em reunião - maio de 2015.

270

gente chama de sistematização. Por exemplo, simetria é isso, propriedades da simetria, exercícios sobre simetria. 116

Ponderamos que, quando solicitamos aos docentes que propusessem

atividades para trabalhar com a simetria ortogonal estávamos interessados

justamente nessa parte que eles chamaram de sistematização. Por isso,

indagamos: “Que tipo de atividades/exercícios vocês proporiam para as turmas

de vocês, levando em conta todas essas dificuldades que foram percebidas na

análise dos registros das duplas de alunos?”

Geralmente ocorre assim, quando a gente trabalha com uma atividade dentro de um conteúdo, a gente tem uma história dessa atividade. Como eu coloquei aqui primeiro passo visitar alguns lugares observar a simetria. Suponha que visitamos uma igreja e aí a gente volta lá na atividade considerando que e a igreja tem uma torre e esta torre tem um desenho. Imagine uma linha vertical que divide o desenho ao meio cuja distância entre o ponto tal para tal, como seria para calcular a outra distância. Pensaria em utilizar os dados provenientes da motivação como fonte para construção dos problemas. 117

Sobre os problemas a serem construídos, perguntamos se seriam

levadas em consideração as construções geométricas, como é que eles fariam

–, já que foi uma discussão que apareceu durante o processo de investigação –

a importância das construções geométricas.

Não, nesse ponto aí, a gente não trabalharia com as construções, por exemplo, a imagem já estaria pronta, os dados já estariam prontos. É por isso que a gente fala da sistematização, o aluno trabalha mais com a propriedade e não com a construção. Não sei se está certo, não sei se esse é o caminho correto, mas a gente geralmente trabalha assim. O aluno entende pela propriedade e não pela semelhança da figura com o real. Falando por exemplo de triângulo retângulo, eu faço este desenho aqui e digo que este triângulo é retângulo, mas a gente sabe que este ângulo não é de 90º, mas está o símbolo que indica que este ângulo é reto, logo pronto, isto aqui é hipotenusa e isto é cateto, e aqui cateto e daí ele [o aluno] vai calcular [o comprimento de um dos lados] pelo teorema de Pitágoras. Outro exemplo, sabendo que tal reta é a mediatriz do segmento calcule tais coisas. Não interessa se aqui está inclinadinho se eu digo que é mediatriz então é mediatriz. A gente não trabalha essa parte de construção [geométrica]. 118

116 Professor Narciso em depoimento concedido em reunião - maio de 2015. 117 Professor Narciso em depoimento concedido em reunião - maio de 2015. 118 Professor Narciso em depoimento concedido em reunião - maio de 2015.

271

O professor ainda reafirma que esse fato remete ao problema já citado

anteriormente, isto é, o aluno não tem a cultura de construir, segundo os

princípios geométricos. Ambos os professores citam que a falta da disciplina

desenho geométrico nos cursos de licenciatura é um entrave para o ensino de

geometria, ou seja, “a maioria dos professores de matemática hoje saem [das

instituições de ensino superior] sem a noção de construções geométricas” 119.

Os docentes concluíram que esse é, também, um problema no ensino da

geometria na formação dos professores de matemática.

Outro motivo citado pelos professores para esta falha no ensino de

geometria foi o fator tempo. Eles explicaram que, “quando tínhamos a disciplina

desenho geométrico, a geometria como é ensinada hoje (na verdade uma

aplicação da álgebra na geometria) era vista junto com os outros conteúdos de

matemática. E o desenho geométrico tinha carga horária separada”.

Finalizando, observamos que, na maioria das vezes, os alunos

validavam seus procedimentos e respostas por meio da percepção e

visualização. Ainda chamamos a atenção dos docentes para o fato de que,

apesar de a professora Margarida afirmar que já havia trabalhado com esses

alunos, o conceito de simetria ortogonal, os discentes não conseguiram

apreender do ponto de vista matemático. Os professores afirmaram acreditar

que isto aconteceu pela falta de estudar a simetria ortogonal como objeto

matemático.

Ao discutirem as situações de ensino que proporiam aos seus discentes

sobre a simetria ortogonal, a atividade do professor pode ser descrita por: o

professor P(+1) apesar de reconhecer a importância das construções

geométricas no ensino dessa noção, essas não são incluídas em seu

planejamento. São propostas situações com apelo ao real, cuja validação é de

cunho perceptivo.

Na subseção 7.5.3, apresentamos exemplos de atividades que são

utilizadas em uma avaliação de larga escala. Acreditamos que, possivelmente,

este tipo de atividades muitas vezes é usada como referência pelos

professores na preparação e avaliação de seus cursos.

119 Professor Narciso em depoimento concedido em reunião - maio de 2015.

272

7.5.3 Dois exemplos de atividades sobre a simetria ortogonal

apresentados numa avaliação de larga escala no contexto estadual

Na reunião do dia 11 de novembro de 2014, os professores sujeitos da

pesquisa, citaram uma das avaliações externas aplicadas aos alunos da

escola. Ao ser solicitada a cópia de tal avaliação, a professora Margarida

forneceu um conjunto de atividades propostas por ela e uma cópia da avaliação

complementar aplicada pela Secretaria de Educação do Estado da Bahia. As

atividades propostas pela docente tinham como finalidade a preparação dos

discentes do 7º ano do Ensino Fundamental II para a avaliação complementar.

Apresentamos, na Figura 67, a única atividade sobre a simetria ortogonal que a

referida professora propõe dentre um conjunto de 15 atividades, cujo objetivo

era revisar conteúdos para a avaliação complementar, que, segundo os

professores, para a simetria ortogonal, tem como proposta apenas identificação

e reconhecimento.

Figura 67. Atividade preparatória, em vista da Avaliação Complementar, proposta pela professora Margarida


A atividade apresentada pela professora, na Figura 67, também é de

reconhecimento de figura simétrica e eixo de simetria, mobilizando,

principalmente, conhecimentos que levam em conta a percepção (por meio de

apelo à realidade) e a visualização de figuras geométricas planas.

O Caderno da Avaliação Complementar do Estado da Bahia para alunos

do 7º ano do Ensino Fundamental II cedido pelos professores é composto de

20 questões de Língua Portuguesa e 20 questões de Matemática. Os alunos

273

dispunham de 90 minutos para responder cada conjunto de questões e

transcrever as repostas para um gabarito. Na Figura 68, apresentada a seguir,

exibimos uma das questões sobre a simetria ortogonal aplicadas na avaliação

complementar.

Figura 68. Questão 26 proposto na Avaliação Complementar da Secretaria de Educação do Estado da Bahia para alunos do 7º ano.

Fonte: Avaliação Complementar 3º bimestre de 2014.

Observa-se, na Figura 68, que a atividade (do tipo objetiva) proposta na

avaliação complementar, cuja finalidade é a identificação do movimento

reflexão, não leva o aluno a refletir sobre a definição e as propriedades da

simetria ortogonal. Numa tentativa tornar perceptíveis propriedades como

equidistância entre o eixo de simetria e as figuras (objeto e imagem),

ortogonalidade e conservação de dimensões dos elementos que compõem as

figuras, são feitas de linhas de construção entre as figuras e colocados rótulos

nos pontos representativos dos vértices e em seus respectivos pontos

simétricos.

A Figura 69 expõe outro exemplo, proveniente da avaliação

complementar, este de reconhecimento de figura simétrica.

274

Figura 69. Questão 31 proposta na Avaliação Complementar da Secretaria de Educação do Estado da Bahia para alunos do 7º ano.

Fonte: Avaliação Complementar 3º bimestre de 2014.

Observa-se que essa atividade também exige do aluno conhecimentos

superficiais sobre a simetria ortogonal, ligados diretamente à visualização.

As questões sobre a simetria ortogonal presentes na avaliação

complementar deixam transparecer a ideia de que atividades, cuja tarefa se

resume em reconhecimento e identificação de figuras simétricas e eixos de

simetria, são suficientes para avaliar se alunos do 7º ano de Ensino

Fundamental têm conhecimentos sobre o conceito de simetria ortogonal. Ao

longo dessa investigação observamos que, na prática, o que está se avaliando

são conhecimentos superficiais desconectados de outros conteúdos, e que

pouco sentido fazem para os alunos.

7.5.4 Algumas considerações sobre a experimentação 3

Consideramos que a experimentação 3 cumpriu apenas alguns dos

nossos objetivos, o de estimular os professores a refletirem sobre a

aprendizagem de alunos do 8º ano do Ensino Fundamental II, a respeito da

simetria ortogonal e os conteúdos a ela relacionados, a refletirem sobre a

própria prática no ensino desses conteúdos,e também refletirem sobre os

papéis do currículo e do livro didático.

Ao planejarmos a experimentação 3, tínhamos por hipótese que, ao

conhecer as dificuldades apresentadas pelos alunos quanto à mobilização de

conhecimentos na resolução do conjunto de atividades que compõem a

sequência didática, os professores, levando em conta essas dificuldades,

retornariam à situação S+2. Na fase de construção, o professor P+2, levando

em consideração a influência das variáveis didáticas e seus valores sobre os

275

procedimentos e respostas das duplas de alunos, teria condições de construir

ou escolher um sequência de situações fundamentais, com o intuito de auxiliar

os alunos na evolução sobre o conceito de simetria ortogonal.

Esperávamos, ainda, que os docentes construíssem uma sequência de

situações, cuja intenção seria minimizar as dificuldades encontradas nos

registros das quatro duplas de alunos analisados por eles, momento que

poderíamos descrever como situação S+1, de planejamento.

Contudo, apesar de constar no quadro síntese, preenchido pelos

docentes com a pós-análise sobre os registros das quatro duplas de alunos,

uma coluna onde eles deveriam sugerir propostas de situações que pudessem

minimizar as dificuldades observadas nos registros daquelas duplas, um

professor não sugeriu nenhum tipo de situação e o outro apenas escreveu

“como previsto”, sem fornecer maiores detalhes (ver Anexos 1, 2, 3 e 4).

Uma das finalidades dessa última experimentação era instigar o

professor a pensar em situações adidáticas, nas quais a devolução tivesse a

possibilidade de ocorrer, estimulando o aluno a retroagir, refletindo sobre as

respostas fornecidas no experimento 2, descartando-as ou validando-as.

Sobre essas situações, solicitamos presencialmente, que os professores

construíssem um conjunto de atividades para que fossem analisadas também

presencialmente. As atividades apresentadas pelos docentes estão disponíveis

nos anexos 5 e 6 e foram discutidas na seção 7.5.2. Porém, observamos que

as atividades foram criadas com o objetivo de explorar a percepção dos

discentes por meio da visualização. Ambas as atividades apresentadas não

tinham como objetivo um processo de aprendizagem de forma construtiva da

definição de simetria ortogonal e suas propriedades. Segundo os professores,

sujeitos da pesquisa, o próximo passo seria o que eles chamaram de

sistematização, que, pelos depoimentos fornecidos, é realizado de forma

tradicional, isto é, a exposição da definição de simetria e suas propriedades,

seguida da proposta de exercícios de fixação.

7.6 Algumas considerações acerca das experimentações

Margolinas (2002; 2004) faz um estudo da atividade do professor (níveis

+3 até +1), da atividade do aluno e professor (nível 0, de interação) e da

276

atividade do aluno (nível -3 até -1). Seguindo seu modelo, realizamos a

experimentação que foi processada em etapas; nos procedimentos iniciais de

experimentação e primeira etapa, foram feitos o estudo da atividade do

professor por meio de tarefas a partir das quais buscamos incentivar

discussões que permearam os três primeiros níveis. Observamos, como

pondera a autora, que eles interagem entre si. Para o nível 0, que dispõe sobre

a atividade do professor e aluno, observamos durante a experimentação,

imensa dificuldade dos alunos em expor ideias e argumentar sobre as

atividades, mesmo quando o professor regente da turma os colocava numa

situação em que eles necessitavam retroagir. Já para a atividade do aluno,

observamos por meio dos registros desses mesmos alunos, que a maioria se

apoia em experiências concretas, visualizando a figura de forma global,

fazendo validações perceptivas. Por esse motivo, classificamos seus

procedimentos e respostas na geometria concreta (G0), segundo Parzysz.

Além disso, por não conseguirem mobilizar os conhecimentos que lhes

permitiriam formular conjecturas e argumentar sobre elas, acreditamos não ter

sido possível [aos alunos] que seus procedimentos e respostas avançassem

para o nível seguinte espaço-gráfica (G1). Entre os conhecimentos não

mobilizados pelos discentes, porém, necessários para a construção de figuras

simétricas, identificamos: o domínio de instrumentos de desenho geométrico na

construção de retas perpendiculares dados um ponto e uma reta, construção

de pontos simétricos, as propriedades relativas à simetria ortogonal e à

construção da mediatriz de um segmento.

Para os conhecimentos necessários no reconhecimento e construção de

eixos de simetria em figuras geométricas planas e não mobilizados pela

maioria dos estudantes apontamos: a noção de diâmetro, a classificação de

triângulo de acordo com o comprimento dos lados e ângulos, a definição de

polígonos regulares e suas propriedades.

Margolinas (2002) afirma que, em todos os níveis de sua atividade, o

professor reflete e aprende durante sua atividade profissional. Na

experimentação 3, os docentes voltaram a refletir sobre todos os níveis da

atividade do professor, segundo Margolinas (2002), porém, essa reflexão

recaiu sobre a própria prática. Nesse sentido, o fato de os alunos não utilizarem

instrumentos para construir as figuras simétricas, as dificuldades de

277

argumentação que os discentes apresentaram, as dificuldades em alguns

conteúdos que serviriam como recursos nos procedimentos, tudo isso foi

analisado pelos docentes. Em nosso estudo, confirmamos que esses níveis

são cíclicos.

Durante esta investigação, avaliamos que, ao analisar uma sequência

didática, aplicar e em seguida analisar os registros de seus alunos, os

professores sujeitos da investigação, por meio da reflexão-sobre-a-ação (no

sentido de Schön), tiveram a possibilidade de avaliar seus cursos. Acreditamos

que, após essa avaliação poderá ocorrer ou não uma reestruturação desses

cursos.

Essa reestruturação depende de fatores como sua formação inicial, sua

avaliação sobre a viabilidade de mudanças no curso, e do quão apegado esse

docente está aos preceitos curriculares vigentes na instituição de ensino. Em

nossa pesquisa, corroboramos a ideia de Tardif (2011, p. 48) ao afirmar em

seus estudos que

para os professores, os saberes adquiridos através de sua experiência profissional constituem os fundamentos de sua competência. É a partir deles que os professores julgam sua formação anterior ou sua formação ao longo de sua carreira. É igualmente a partir deles que julgam a pertinência ou o realismo das reformas introduzidas nos programas ou nos métodos.

Em nossa análise, observamos que, apesar de muitas vezes os

professores engajados na pesquisa acreditarem que, a partir de situações

didáticas com experiências concretas, baseadas em visualização e

manipulação, o aluno construirá o conceito de simetria ortogonal e poderá

acessá-lo de acordo com suas necessidades, essa construção não ocorre. O

que parece ocorrer, é que, por vezes, os discentes, quando colocados em uma

situação de ação perante o conteúdo simetria ortogonal, procuram explicar

seus procedimentos por meio de algum outro conceito matemático conhecido,

ou utilizam de forma distorcida o conceito de simetria ortogonal.

278

279

CONSIDERAÇÕES E PERSPECTIVAS

A percepção das dificuldades apresentadas por alunos de Licenciatura

em Matemática (tanto para alunos ingressantes quanto em professores de

Matemática em formação), em conteúdos referentes à geometria, somada ao

fato de que as transformações geométricas no plano, especificamente a

simetria ortogonal, ainda é um conteúdo pouco ensinado nas escolas,

motivaram a realização dessa investigação.

Nesta pesquisa, utilizamos como referência as pesquisas de Grenier

(1988) e Lima (2006). As principais contribuições de ambos os trabalhos estão

relacionadas, principalmente, ao estudo da influência das variáveis didáticas e

seus valores, nos procedimentos e respostas de alunos e professores de

Matemática do Ensino Fundamental II, a uma sequência didática a eles

aplicada.

Portanto, este trabalho teve como objetivo investigar como um ambiente

de ação e reflexão, que envolve professores de Matemática do Ensino

Fundamental II, interfere nos saberes docentes desses profissionais quando

realizam a pré-análise e a pós-análise, reflexões sobre a pré-análise e a pós-

-análise de uma sequência didática pré-elaborada, aplicada a alunos desses

professores.

Nestas considerações e perspectivas, discorremos sobre os aspectos

que foram importantes para a pesquisa tais como: a metodologia de pesquisa

utilizada, os procedimentos metodológicos utilizados, o estudo ecológico sobre

a simetria ortogonal, o quadro teórico, as dificuldades incontornáveis pelas

quais a pesquisa passou, os principais resultados e as perspectivas futuras de

nosso estudo.

280

A metodologia de pesquisa utilizada

A escolha da Engenharia Didática como metodologia de pesquisa para

nosso estudo auxiliou na formatação geral da pesquisa. Os estudos

preliminares, realizados na primeira fase, possibilitaram-nos conhecer melhor o

objeto matemático simetria ortogonal. À luz da ecologia do didático pudemos

ter noção da realidade que cerca o ensino desse objeto. Além disso, o estudo

de outras pesquisas nos disponibilizou o acesso às investigações já realizadas

sobre os processos de ensino e de aprendizagem da simetria ortogonal.

Na segunda fase da Engenharia Didática, a construção e a análise, a

priori, da sequência didática sobre a simetria ortogonal nos auxiliaram, por

meio do quadro teórico escolhido, na previsão de possíveis procedimentos de

resolução e respostas a serem apresentadas por professores e alunos, sujeitos

da pesquisa, e as dificuldades que poderiam surgir nesses procedimentos.

As quatro etapas de experimentação foram pautadas na terceira fase da

Engenharia Didática. Na primeira, a aplicação de uma sequência didática aos

professores sujeitos da pesquisa, na segunda etapa a análise e propostas de

alteração feitas por estes à sequência didática pré-elaborada já citada e, na

terceira, a aplicação dessa sequência analisada e com algumas alterações

propostas pelos docentes para uma classe de alunos do 8º ano do Ensino

Fundamental II. Na última etapa, a análise dos professores sobre os registros

dos alunos. Nessa fase, apoiamo-nos, também, no conceito de reflexão sobre a

prática, proposto por Schön (2000).

Na quarta fase da Engenharia Didática, a análise, a posteriori, também

foi processada em quatro etapas. Na primeira, a análise, a posteriori das

respostas procedentes das resoluções dos docentes à sequência didática pré-

elaborada; na segunda etapa a análise, a posteriori, das respostas dos

professores ao questionário discursivo e aos depoimentos fornecidos nos

debates coletivos realizados na escola no horário de atividades

complementares (A.C.). A análise, a posteriori, dos registros dos alunos foi

realizada na terceira etapa e na quarta e última etapa foi feita a análise, a

posteriori, da pós-análise dos professores sobre os registros dos alunos.

281

A utilização da Engenharia didática como metodologia de pesquisa

influenciou diretamente nos procedimentos metodológicos adotados.

Os procedimentos metodológicos utilizados

Sobre os procedimentos metodológicos, adotamos, desde o início, a

coleta de dados por meio da aplicação de questionários, seguida de reuniões

quinzenais na forma de debates coletivos, nos quais, parte dos dados era

coletada por meio da gravação de áudio. O áudio gravado nessas reuniões era

transcrito, analisado e, posteriormente, utilizado sob forma de questionários

nos próximos instrumentos de coleta de dados nos encontros seguintes, num

processo de conhecimento-na-ação, reflexão-sobre-a-ação e ação-sobre-a-

reflexão (SCHÖN, 2000).

A importância de as reuniões serem quinzenais foi a possibilidade dada

aos professores de um retorno imediato sobre o andamento da pesquisa, o que

tornou o processo de investigação dinâmico e contínuo. Além disso, o curto

espaço de tempo entre as reuniões nos possibilitou obter respostas a algumas

questões que, num primeiro momento, não haviam sido respondidas pelos

professores nos questionários aplicados. A realização das reuniões sob a

forma de debate coletivo foi essencial para a investigação, pelo fato de os

docentes terem a oportunidade de expor, cada um, seu ponto de vista nas

discussões.

A percepção da construção do processo de investigação passo a passo,

dos avanços alcançados com o trabalho e a transparência que adotamos com

relação aos textos produzidos/escritos, em especial com nossas transcrições e

análises dos áudios produzidos nas reuniões e das respostas aos questionários

aplicados, foram de suma importância para motivar os docentes a continuarem

participando da pesquisa.

A escolha de propor aos docentes a construção de mapas conceituais foi

um procedimento importante para a pesquisa, uma vez que possibilitou ao

grupo de professores conhecerem-se melhor, o que facilitou a interação entre

eles nos encontros seguintes. Além disso, a ação de construir – de forma

coletiva – os mapas conceituais, instigou os docentes a refletirem sobre a rede

282

de objetos que cercam a simetria e as relações que podem ser estabelecidas

entre eles.

Ainda com relação aos procedimentos metodológicos adotados,

acreditamos que nossa pesquisa foi realizada como um processo de

investigação que aconteceu em conjunto com os professores e não apenas um

estudo sobre as práticas docentes adotadas por eles. Nesse sentido, avaliamos

ter alcançado, em parte, nossos objetivos, um dos quais era estimular os

professores a refletirem sobre a própria prática, com o intuito de que lançassem

mão de ações que os possibilitassem a enxergar novas formas de criar

ambientes propícios à aprendizagem por meio de situações de ensino

adequadas.

A escolha desses procedimentos metodológicos, também trouxe uma

série de dificuldades e incertezas sobre a pesquisa, pois uma fase só podia ser

planejada completamente quando finalizada a fase anterior, por causa da

dependência e da forma como estavam relacionadas. Porém, o compromisso

com que os docentes se dedicaram à investigação foi essencial para que tais

procedimentos transcorressem sem maiores problemas.

O estudo ecológico sobre a simetria ortogonal

O estudo da simetria ortogonal à luz da Ecologia do Didático e a análise

em documentos curriculares oficiais (Parâmetros Curriculares Nacionais,

Diretrizes Curriculares de Matemática para o Ensino Fundamental do Estado

da Bahia) e em algumas coleções de livros didáticos de Matemática para o

Ensino Fundamental II, serviram para fomentar nossa pesquisa. Em nossa

análise nos Parâmetros curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental,

refletimos sobre as sugestões de progressão proposta de um ciclo para o outro

em termo de ensino para o conteúdo de transformações geométricas.

Em especial, para a simetria ortogonal, observamos que várias relações

podem ser propostas entre esse e outros objetos geométricos. Dependendo da

forma como eles se relacionam a simetria ortogonal será vista como um objeto

matemático que deve ser estudado a partir de sua definição e suas

propriedades. Por outro lado, essas propriedades possuem relações

intrínsecas com outros objetos geométricos, caso em que a simetria ortogonal

283

serve para alimentar de seu estudo. Neste estudo, percebemos que a maneira

como o professor lida com cada relação é determinante para a aprendizagem

dos alunos, no sentido de a simetria ortogonal não servir apenas de ilustração

para determinadas situações de ensino, sem que seu conceito seja realmente

ensinado.

Conhecer, em parte, a realidade que cerca o ensino e a aprendizagem

da simetria ortogonal foi fundamental para planejarmos as fases de

experimentação da pesquisa.

O quadro teórico

Adotamos como quadro teórico, a Teoria das Situações Didáticas

Brousseau (1997; 2008) e Margolinas (2002; 2004) associado ao quadro dos

Paradigmas Geométricos segundo Parzysz (2001; 2006). Esse quadro foi

desenvolvido do ponto de vista teórico e por meio de simulações sobre os

processos de ensino e de aprendizagem do objeto matemático simetria

ortogonal. Essas simulações nos levaram a propor uma articulação entre o

quadro dos Paradigmas Geométricos e a Teoria das Situações Didáticas.

A Teoria das Situações Didáticas orientou-nos, em nossa análise, a

priori, na construção da estruturação do milieu para cada uma das situações-

-problema propostas na sequência didática. Além disso, foi essencialmente

importante no estudo da atividade do professor, por meio da estruturação

descendente do milieu. Por outro, lado os Paradigmas Geométricos propostos

por Parzysz (2001; 2006) permitiram realizar um estudo, do ponto de vista

geométrico, sobre os procedimentos e respostas de professores e alunos,

sujeitos da pesquisa, à sequência didática a eles aplicada.

Nossa articulação entre os dois quadros teóricos tornou mais simples

nossa análise, pois, por um lado, a Teoria das Situações Didáticas nos

permitia fazer relações entre os papéis do professor e do aluno, em cada uma

das situações nas fases de aprendizagem, segundo Brousseau (1997) e, por

outro lado os Paradigmas Geométricos nos proporcionavam um estudo sobre

os registros dos sujeitos sob uma visão geométrica.

284

As variáveis de difícil contorno

Quando decidimos realizar a pesquisa na modalidade de campo,

tínhamos consciência de que algumas dificuldades seriam de difícil contorno;

citaremos, aqui, algumas delas. O fato de escolhemos uma escola da rede

estadual de educação da Bahia, trouxe entraves que podem ter interferido no

processo de pesquisa. Esses entraves foram desde problemas de pessoal a

problemas estruturais. Há nas escolas um reduzido número de professores

efetivos de Matemática, e os professores em regime de REDA (Regime

Especial de Direito Administrativo) ou PST (Prestação de Serviço Temporário)

muitas vezes não têm interesse em participar de pesquisas, ou permanecem

na escola por um curto período de tempo, fato que diminuiu o número de

sujeitos participantes da pesquisa. Por outro lado, a falta de um espaço

adequado para que as reuniões com os professores ocorressem, também

trouxe dificuldades ao processo de investigação, pois as reuniões ocorriam na

sala de professores e, por vezes, eram interrompidas por outros docentes que

não faziam parte da pesquisa.

Os professores tinham atividades em outras escolas públicas ou

particulares, o que impossibilitava que dedicassem um tempo maior para a

nossa pesquisa. Outra dificuldade foi manter o mesmo grupo de docentes ativo

até o final da investigação, pois uma professora entrou em licença-

maternidade e foi preciso que ela deixasse a pesquisa; outro professor, por

estar cursando o mestrado em Matemática, também teve que diminuir sua

participação nos trabalhos de pesquisa.

Atividades corriqueiras da escola, como aplicações de provas da

OBMEP (Olimpíada Brasileira de Matemática das escolas públicas), período de

provas trimestrais e finais, semana de ciências e outros projetos promovidos

pela escola, também foram um fator de dificuldade. Nessas ocasiões, os

professores se desdobram nessas atividades e não podiam participar da

investigação.

Acreditamos que essas dificuldades interferiram no processo de

investigação. Contudo, a maioria dessas interferências ocorreu em menor

285

escala, quando levamos em consideração o longo tempo de realização da

pesquisa.

Principais resultados

Por meio desta investigação, confirmamos alguns dos resultados obtidos

por Grenier (1988), referentes às concepções de alunos do Ensino

Fundamental II, quanto à simetria ortogonal, e identificamos outras que

parecem ser especificas do grupo de alunos investigados. Para esse grupo de

alunos, observamos as seguintes concepções:

– a imagem de um segmento (horizontal, vertical ou oblíquo) é um

segmento de mesma direção na folha, independente da direção do eixo de

simetria;

– a simetria ortogonal é uma transformação de um semiplano em outro

semiplano, delimitado pelo eixo de simetria, causada pela associação de duas

variáveis didáticas, a interseção da figura-objeto com o eixo de simetria e pela

complexidade da figura-objeto.

– a distância da figura-objeto às bordas da folha (inferior, superior ou

lateral) será conservada para o traço da figura simétrica, independente da

direção do eixo de simetria na folha, motivada pela posição do eixo de simetria

na folha (quando o mesmo não divide o plano em dois semiplanos de mesmas

dimensões).

Ressaltamos que o fato de os alunos ignorarem a ortogonalidade e, às

vezes, a conservação da distância como propriedades da simetria ortogonal,

levou-os a fortalecer as concepções relacionadas, uma vez que o domínio de

validade desses sujeitos se restringe à percepção por meio da visualização.

Quanto aos professores, estes acionaram seus conhecimentos prévios

para resolver as situações-problemas propostas. Porém, isso não os eximiu de

também utilizar a percepção nos procedimentos e respostas ao conjunto de

atividades propostas na sequência didática, o que acarretou a construção de

eixos de simetria e figuras simétricas errôneas, possivelmente por ignorar a

ortogonalidade, uma vez que os registros dos professores apontam indícios da

286

não utilização de instrumentos geométricos no momento da construção de

eixos de simetria e figura simétrica.

A nossa investigação, relacionada ao ensino da simetria ortogonal,

parece apontar também para a identificação de três concepções nos registros e

áudios fornecidos pelos professores, sujeitos da pesquisa:

– a utilização de termos como espelhamento, reflexão podem facilitar a

compreensão dos discentes ao resolverem atividades sobre a simetria

ortogonal.

– se o aluno sabe traçar o simétrico de um ponto, ele está apto a traçar o

simétrico de uma figura qualquer.

– o papel quadriculado é um agente facilitador para a construção de

figura simétrica.

Sobre as relações estabelecidas no estudo das concepções de alunos e

professores, observamos que, ao analisar a sequência didática, os docentes

identificaram algumas das variáveis didáticas que poderiam influenciar nos

procedimentos e respostas dos alunos e, ao analisar os registros das duplas de

alunos, esses docentes confirmaram algumas de suas hipóteses. Neste estudo,

ressaltamos que o confronto entre a pré-análise da sequência didática e a pós-

análise nos registros de algumas duplas realizadas pelos docentes

proporcionou a eles reflexões sobre a importância de levar em conta as

variáveis didáticas e seus valores na construção de situações de ensino e de

avaliar a influência delas nos procedimentos e nas respostas de seus alunos.

Observamos que pelo número reduzido de sujeitos que participaram da

pesquisa e pelo próprio tempo de duração dela, seriam necessários outros

estudos para confrontar com os resultados obtidos nesta investigação,

principalmente com relação aos professores. O estudo das concepções de

alunos e professores, sujeitos da pesquisa, foi fundamental para entendermos

em parte, as dificuldades desses professores de Matemática no processo de

ensino e de alguns dos seus alunos do 8º ano do Ensino Fundamental no

processo de aprendizagem da simetria ortogonal.

Quanto à nossa questão de pesquisa:

287

Como um ambiente de ação e reflexão constituído nos horários

destinado as Atividades complementares (AC) pode influenciar nos saberes

docentes de professores de Matemática do Ensino Fundamental II sobre a

simetria ortogonal, podemos inferir que nosso estudo forneceu condições de

responder a esta questão, parcialmente. É possível sim, por meio de um

ambiente de reflexão e ação influenciar nos saberes docente de professores de

matemática do Ensino Fundamental II.

Acreditamos que em nossa investigação essa influência ocorreu em

etapas: é necessário instigar o professor a refletir sobre seus conhecimentos

matemáticos, sua prática de ensino, o modo como ele valida as próprias

respostas e as respostas de seus alunos levando em consideração situações-

problema específicas. Numa avaliação mais ampla, estimular o docente a

ponderar se seus métodos de ensino estão realmente surtindo efeito sobre a

aprendizagem de seus alunos. Porém, para que essa influência possa refletir

na prática dos docentes são necessárias outras ações que estão fora do

alcance deste estudo.

Para a primeira etapa, acreditamos que o fato de proporcionar aos

docentes a construção de mapas conceituais, em que eles mesmos

observaram a rede de conteúdos relacionados à simetria ortogonal, e de esses

docentes solucionarem o conjunto de atividades proposto em uma sequência

didática pré-elaborada tornou possível a reflexão sobre a diferença entre o

objeto matemático simetria ortogonal e a simetria ortogonal no objeto.

Observamos que esta diferença pode influenciar no modo como o professor vai

ensinar a simetria ortogonal, uma vez que o objeto matemático simetria

ortogonal é visto por meio de sua definição e propriedades específicas. No

caso da simetria no objeto, o objeto de estudo não é a simetria ortogonal;

sendo assim, ela aparece como “alimento” para outros conteúdos, algumas de

suas propriedades podem, às vezes, nem ser percebidas pelos alunos.

Na segunda etapa, ocorreu a reflexão dos professores sobre as

situações-problema propostas, do ponto de vista didático. Eles avaliaram como

a escolha das variáveis didáticas (e de seus valores) pode influenciar nos

procedimentos e repostas de alunos do 8º ano Ensino Fundamental, o que

esperar nesses procedimentos e respostas e, talvez, o mais importante dessa

288

análise, fosse a reflexão sobre o porquê dessas respostas. Nesse momento, os

docentes avaliaram a sua própria prática, ponderando sobre o livro didático

utilizado e sobre a forma como a geometria é ensinada, levando em

consideração apenas aspectos algébricos.

A terceira etapa foi o momento em que os professores, ao analisarem as

respostas dos alunos, tiveram a oportunidade de refletir também sobre as suas

próprias respostas. No momento em que a validação sobre as respostas

aparece nas reflexões, as discussões sobre como fazer para alterar o quadro

existente surgem com maior força.

Acreditamos que nossa investigação validou a primeira hipótese

levantada para este trabalho, isto é, que por meio de um processo que

envolveu professores de Matemática na resolução, pré-análise, aplicação e

discussão de resultados da aplicação de um conjunto de situações, cujo

objetivo é o ensino e a aprendizagem de simetria ortogonal, permitiu, àqueles

docentes refletir e avaliar sua prática em sala de aula. Essa avaliação levou em

consideração saberes docentes como: conhecimentos sobre os objetos

matemáticos e suas relações com outros objetos (internos e externos à

matemática), conhecimentos sobre o currículo e o papel dos objetos

matemáticos contidos nele, conhecimentos sobre as potencialidades de seus

alunos, seus conhecimentos didáticos dos objetos.

Refletir, expor os problemas e as dificuldades é apenas uma parte do

processo que pode levar à mudança. Para ir além, ponderamos, levando em

consideração as falas dos próprios professores na avaliação da pesquisa, ser

preciso levar em conta o currículo para eles representado, principalmente, por

meio do livro didático; a formação de professores, o tempo didático (carga

horária equivalente à quantidade de conteúdos a serem ensinados), espaços

adequados para o ensino de geometria (laboratórios de matemática e

informática equipados) e, por último, mas não menos importante, a vontade do

professor em mudar.

Não foi possível confirmar nossa segunda hipótese, isto é, que esse

processo reflexivo sobre a prática pode, além de influenciar nos saberes

docentes de professores de Matemática do Ensino Fundamental II, ser capaz,

também, de provocar alterações sobre a sua prática docente. Acreditamos que

289

essa hipótese depende dos itens citados pelos professores durante a pesquisa

e descritos no parágrafo anterior, sobre os quais não temos domínio. Além

disso, a falta de acompanhamento da prática docente desses profissionais por

certo período de tempo no impede de validar ou não esta hipótese.

Sobre a pesquisa em si, avaliamos que programas de formação

continuada de professores são, de fato, muito importantes para um processo

educativo de qualidade, mas se esses programas formativos não forem

acompanhados de outras medidas de igual importância, perdem-se no

comodismo do sistema educacional como um todo. Entre essas medidas

podemos citar:

– uma formação inicial de professores de qualidade. Acreditamos que

existe maior possibilidade de novas propostas/mudanças serem aceitas e

compartilhadas com maior facilidade por um corpo docente com uma formação

inicial sólida.

– um currículo mínimo obrigatório. A subjetividade provoca escolhas que

nem sempre oferecem aos discentes a possibilidade de aprendizagem de

vários conteúdos, em especial, os geométricos.

– um material didático (livros, cartilhas, etc) que realmente seja capaz de

refletir esse currículo, já que ele é a principal fonte de pesquisa utilizada pelo

professor, quando este planeja seu curso.

Concluímos que a criação de um ambiente de ação e reflexão, nos

momentos destinados ao A. C., proporcionou aos docentes, a reflexão sobre a

diferença entre ensinar a simetria ortogonal como objeto matemático e a

simetria ortogonal no objeto. Contribuiu, ainda, para tornar perceptível aos

docentes, a importância de se construírem situações de ensino, observando as

variáveis didáticas e seus valores, para os processos de ensino e de

aprendizagem. Enfim, estimulou os docentes, sujeitos de nossa investigação a

avaliar sua prática docente e refletir sobre a aprendizagem de seus alunos.

Contudo, isso não foi suficiente para levá-los a propor alterações em sua

prática. Ao solicitarmos aos docentes que sugerissem situações para ensinar o

objeto matemático simetria ortogonal, estes voltaram às suas antigas práticas e

propuseram atividades que enfatizavam o ensino da simetria no objeto.

290

As perspectivas futuras de nosso estudo

Uma questão que não foi investigada por não ser alvo do foco escolhido

para esta pesquisa é: “Até que ponto o trabalho com construções geométricas

através de instrumentos de desenho e/ou softwares geométricos como Cabri II,

GeoGebra podem auxiliar de forma a minimizar as dificuldades encontradas

por professores e alunos, quando levamos em consideração a construção de

figuras simétricas?”

Uma proposta inicial de nosso estudo era a de que os professores, numa

segunda investigação construíssem, analisassem e aplicassem uma sequência

didática sobre a simetria ortogonal aos seus alunos. Nesse caso, todo o

processo seria deixado a cargo dos professores, com o mínimo de interferência

da pesquisadora. Infelizmente, por falta de tempo, essa investigação foi

deixada para futuros estudos.

Outra questão deixada para ser pesquisada futuramente é: “Por que,

mesmo sabendo que algumas das práticas de ensino adotadas não são

eficientes, quando levamos em conta a aprendizagem de alunos sobre a

simetria ortogonal, alguns professores voltam a insistir nessas mesmas

práticas? Em que medida o sistema de ensino (Instituição, currículo, condições

de trabalho) influencia na decisão por mudança na prática docente?”.

291

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298

299

APÊNDICE 1

TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO – PROFESSOR

Resolução Nº. 196/96 do CNS

O presente termo em atendimento à Resolução 196/96, destina-se a esclarecer

ao participante da pesquisa intitulada A prática docente e sua influência na

construção de conceitos geométricos: um estudo sobre o ensino e a

aprendizagem da simetria ortogonal sob responsabilidade da Pós-graduanda

Cleusiane Vieira Silva, do Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação

Matemática da PUC/SP, os seguintes aspectos:

Objetivos: fazer um estudo das concepções dos professores sobre o conteúdo

transformações geométricas no plano e criar um ambiente de reflexão e ação,

na qual possíveis mudanças nestas concepções possam ocorrer e por fim

observar como essas mudanças influenciam na prática de ensino de

professores da Educação Básica..

Participação: ao concordar com a participação na pesquisa, deverei estar à

disposição para responder um questionário com questões referentes à minha

vida profissional.

Riscos: este estudo não trará riscos para a sua integridade física, mental ou

moral. Todos os dados que obtivermos serão utilizados somente para fins

científicos com garantia de anonimato.

Confidencialidade do Estudo: os registros da sua participação nesse estudo

serão mantidos em sigilo. Serão guardados esses registros e somente os

pesquisadores responsáveis terão acesso a essas informações. Se alguma

publicação resultar deste trabalho, a identificação do participante não será

revelada e os resultados serão relatados de forma sumariada preservando o

anonimato da pessoa.

Benefícios: a importância desta pesquisa reside na perspectiva de melhorar a

aprendizagem de matemática principalmente oferecer subsídios para que

tornar o processo ensino e aprendizagem de transformação geométrica mais

eficaz.

Participação voluntária: toda participação é voluntária, não há penalidades

para aqueles que decidam não participar desse estudo. Ninguém será

penalizado se decidir desistir de participar do estudo em qualquer época.

Podendo retirar-se da participação da pesquisa, sem correr riscos e sem

prejuízo pessoal.

Depois de conhecer e entender os objetivos, bem como estar ciente da necessidade

do uso de minha imagem e/ou depoimentos para fins científicos e de estudos (livros,

300

artigos, slides e transparências), AUTORIZO, através do presente termo a

pesquisadora Cleusiane Vieira Silva a realizar as fotos que se façam necessárias

e/ou colher meu depoimento sem quaisquer ônus financeiros a nenhuma da partes.

Ao mesmo tempo libero a utilização destas fotos e/ou depoimentos para fins científicos

e de estudos (livros, artigos, slides e transparências) em favor dos pesquisadores da

pesquisa, acima especificados, obedecendo ao que está previsto nas leis que

resguardam os direitos das crianças e dos adolescentes (Estatuto da criança e do

adolescente – ECA, lei Nº. 8.069/1990), dos idosos (Estatuto do Idoso, lei Nº.

10.741/2003) e das pessoas com deficiência (Decreto Nº. 3298/1999, alterado pelo

decreto Nº. 5.296/2004).

Jequié, _______de _______ de ____.

_____________________________________

Assinatura

301

APÊNDICE 2

Jequié, 25 de agosto de 2014.

Prezado pai ou responsável, Sou aluna do doutorado em Educação Matemática da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo. No momento estou realizando uma pesquisa na escola em que seu filho (a) estuda. Por isso, preciso de sua autorização para que ele(a) participe da investigação. As intervenções junto aos alunos prevêem a aplicação de atividades que envolvem conteúdos de geometria em que a finalidade é a aprendizagem do aluno. É importante salientar que os dados coletados a partir dessas atividades serão utilizados unicamente para fins de pesquisa sendo garantida a confidencialidade da identidade dos participantes. Abaixo segue o termo de autorização com algumas informações sobre a pesquisa.

Autorização de participação

Eu,_________________________________________________________, autorizo meu filho, ___________________________________________________estudante do 8º ano do Ensino Fundamental II a participar da pesquisa A PRÁTICA DOCENTE E SUA INFLUÊNCIA NA CONSTRUÇÃO DE CONCEITOS GEOMÉTRICOS: UM ESTUDO SOBRE O ENSINO E A APRENDIZAGEM DA SIMETRIA ORTOGONAL, sob a responsabilidade de Cleusiane Vieira Silva, aluna do doutorado em Educação Matemática, em que as intervenções com os alunos prevêem seções com resolução de situações-problemas as quais serão gravadas em áudio e acontecerão nos horários de aula.

Jequié, ____de setembro de 2014.

_________________________________________________________ Assinatura do pai ou responsável pelo estudante

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APÊNDICE 3

Questionário 1 - Professor

Nome: ______________________________________________ sexo: _________

1- Atualmente sou professor do(s): ( ) Anos iniciais do Ensino Fundamental ( ) Anos finais do Ensino Fundamental ( ) Ensino Médio 2- Você tem ____anos de experiência como professor. E como professor

de Matemática?

3- Qual a sua formação profissional? Graduação _______________________________________________ Especialização ___________________________________________ Outros______________________________________________________________ 4- Você possui uma segunda formação a nível universitário?

Qual_________________________________________________

5- Quais são as disciplinas relacionadas à geometria que você cursou na graduação? ___________________________________________________

6- Durante sua vida profissional você já fez algum curso de capacitação para formação de professores, por conta própria ou por intermédio da secretaria de Educação? Quais? O que você lembra dessas discussões?

7- O que você entende por geometria?

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APÊNDICE 4

Questionário 2 - Professor

Pesquisa: A prática docente e sua influência na construção de conceitos geométricos: um estudo sobre o ensino e a aprendizagem da simetria ortogonal Doutoranda: Cleusiane Vieira Silva Orientador: Saddo Ag Almouloud

Nome:_________________________________________________________________

1- Para cada item a seguir marque com um x a alternativa que melhor representa sua prática na elaboração de suas aulas. Para planejar as aulas você utiliza:

a) O livro didático adotado; ( ) sempre ( ) as vezes ( ) esporadicamente b) Outros livros que consegui por minha conta; ( ) sempre ( ) as vezes ( ) esporadicamente c) Consulta a atividades por meio da internet; ( ) sempre ( ) as vezes ( ) esporadicamente d) Livros e apostilhas de cursos que participei; ( ) sempre ( ) as vezes ( ) esporadicamente e) Atividades elaboradas por mim; ( ) sempre ( ) as vezes ( ) esporadicamente f) Outros materiais ______________________________.

2- Você considera que um aluno aprendeu um determinado conteúdo matemático, quando ele:

a) ( ) Sabe escrever a definição do conteúdo; b) ( ) Sabe aplicar as fórmulas corretamente; c) ( ) Sabe aplicar o conteúdo matemático em situações não matemáticas; d) ( ) Utiliza a linguagem e simbologia matemática de forma correta; e) ( ) Sabe resolver corretamente os exercícios relacionados ao assunto estudado; f) ( ) Tem condições de argumentar sobre o procedimento de resolução adotado por ele diante de uma situação de aprendizagem;

3- Quais são os conhecimentos que os alunos do ensino fundamental II

precisam aprender em geometria?

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____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 4- Quando seu aluno apresenta dificuldades nos conceitos geométricos

como você trabalha com a dificuldade do aluno? ________________________________________________________________________________________________________________________________________

5- Qual é a carga horária semanal que você destina ao ensino de

geometria?

a) ( ) Uma aula por semana b) ( ) Mais de uma aula por semana c) ( ) Os conteúdos são integrados por isso não sei precisar. d) ( ) Nenhuma aula

6- Quais recursos didáticos você utiliza durante as aulas destinadas ao ensino de geometria?

a) ( ) Apenas o livro didático b) ( ) Utilização de softwares educacionais. Quais? _________________________ c) ( ) Quadro negro e giz c) ( ) Jogos. Quais?___________________________________________. d)( ) Instrumentos para construções geométricas (compasso, régua graduada, esquadros)

7- Você conhece as propostas dos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) para os 3º e 4º ciclos do Ensino Fundamental?

_______________________________________ 8- Você conhece as abordagens que os PCN trazem em relação ao ensino

dos conteúdos de geometria para o 3º e 4º ciclos do Ensino Fundamental? Se sim, cite algumas. ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

9- Você utiliza as recomendações dos PCN na preparação de suas aulas?

a) ( ) sim, frequentemente; b) ( ) sim de vez em quando; c) ( ) sim mais esporadicamente; d) ( ) não Se sim, descreva um pouco como você os utiliza. ____________________________________________________________________________________________________________________

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_______________________________________________________________________________

10- Os professores da escola que você trabalha, discutem os PCN nas reuniões pedagógicas ou em outros momentos escolares?

a) ( ) sim, frequentemente; b) ( ) sim, de vez em quando; c) ( ) sim, mas esporadicamente; d) ( ) não.

11- Tem conhecimento sobre as diretrizes curriculares para o ensino de Matemática do estado da Bahia? Se sim como obteve tais conhecimentos?

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

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APÊNDICE 5

QUESTIONÁRIO 3 – PROFESSOR TEMA DA PESQUISA: A prática docente e sua influência na construção de conceitos geométricos: um estudo sobre o ensino e a aprendizagem da simetria ortogonal Doutoranda: Cleusiane Vieira Silva Orientador: Saddo Ag Almouloud Caros Professores, O seguinte questionário tem por objetivo analisar algumas variáveis didáticas relacionadas à simetria ortogonal, já estudada em outros contextos com alunos. Porém essa etapa da pesquisa é necessária para dar prosseguimento à próxima. Contando com sua participação agradecemos.

Nome (facultativo):

Turmas que leciona:

Data:

SUA TAREFA

As situações apresentadas nas páginas 4 a 6 foram propostas a alunos de oitava série. Solicitamos que as analise e responda as seguintes questões. É extremamente importante para nossa pesquisa que você responda, pois de sua análise depende nossa pesquisa.

1) Faça uma análise matemática e didática de cada situação proposta aos alunos, destacando os seguintes aspectos: a) A resposta correta, esperada pelo professor; b) As dificuldades, que os alunos podem encontrar, na resolução do problema; c) Quais conhecimentos mobilizariam para resolver cada item de cada uma das situações proposta? d) A importância didática de situações desse tipo, na formação dos alunos em relação à simetria axial.

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2) Especifique quais dificuldades você acredita que os alunos

apresentariam na compreensão e resolução das diferentes situações? Responda analisando cada item de cada situação proposta.

3) Quais situações proporia que permitissem aos alunos superar as dificuldades e obtivessem êxito na solução?

4) Você identifica alguma variável didática que pode dificultar ou facilitar a resolução dos problemas propostos? Quais? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

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____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

309

APÊNDICE 6

TAREFAS PROPOSTAS AOS PROFESSORES PARA SEREM APLICADAS

AOS ALUNOS DO OITAVO ANO

1) Em cada caso indique se a figura admite um ou mais eixos de simetria. Justifique sua resposta.

a) b) c)

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ d) e)

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2) (Adaptada do NPMATEB120) Diga em quais casos a figura formada pelos peixes A e B admite um eixo de simetria, justifique sua resposta. Trace os eixos com instrumentos de geometria.

120 Novo Programa de Matemática do Ensino Básico

310

3) Trace em cada situação a figura simétrica com relação à reta dada.

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

i) j)

311

l) m)

n)

Explique os procedimentos utilizados para solucionar as situações. ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

312

APÊNDICE 7

AVALIAÇÃO DOS PROFESSORES QUANTO AOS ITENS REFERENTES ÀS

SITUAÇÕES-PROBLEMA

Dupla de alunos: ___________

Quanto ao reconhecimento e construção de eixo de simetria - Professor Narciso: com relação ao item (a) para os alunos do 6º ano, segundo o professor “com a experiência que agente tem, a experiência de sala, ele [o aluno] vai dobrar aqui e vai dizer que só existe um eixo de simetria, ai a gente perguntar e se a gente dobrar aqui? Sabe o que ele vai responder? Mas professor é a mesma coisa. E se a gente dobrar assim? Não professor, é a mesma coisa. Então ele [o aluno] não vai entender que quando a gente muda à posição da dobradura a gente muda o eixo de simetria, isto é, a gente tem outro eixo de simetria”. - Professora Margarida: com relação aos alunos 9º ano, a professora acredita que eles já entenderiam que, cada vez que dobra, essa dobra representa um eixo de simetria diferente, isso por que a simetria ortogonal é trabalhada no 8º ano. As observações feitas para o os alunos do 6º e 9º anos aconteceram com alunos do 8º ano? Você consegue dar algum exemplo por meio dos registros aqui analisados? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Com relação à utilização da malha quadriculada Professor Narciso: “A malha quadriculada auxilia ao aluno visualizar a figura simétrica sem o auxilio de material [instrumento de desenho geométrico] por que, por exemplo, em todas essas aqui eu usei régua e esquadro [...] para conseguir visualizar medindo direitinho, nessa daqui eu não precisei tanto de régua e esquadro por que eu consegui visualizar, então é aquela questão da

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visualização da figura. Quando eu tenho a malha quadriculada ela auxilia ao aluno e me auxiliou também a enxergar a figura a figura simétrica sem precisar de material de desenho”. Professora Margarida: “Mas se o aluno não se atentar, olhar a malha e não se atentar, à quantidade de quadrinhos de um lado e do outro [do eixo de simetria]. Exemplo: Aqui tem três colunas de quadrinhos, aqui têm quatro, eles podem se equivocar”. Qual papel desempenhou a malha quadriculada nos registros dos alunos? Ajudou aos alunos a identificarem propriedades da simetria ortogonal? Favoreceu as percepções global e pontual de figura simétrica? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Com relação à construção de figura simétrica Com relação aos itens (c) e (f) nos quais as figuras cortam o eixo de simetria os professores acreditam que em todos os anos do Ensino Fundamental II, os alunos teriam dificuldades. Essa observação se confirmou? O que você observou nos registros dos alunos com relação às propriedades de simetria ortogonal? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

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Quanto as variáveis didáticas A partir dos registros dos alunos, quais variáveis didáticas, aquelas identificadas no momento da análise das situações, realmente fizeram diferença quanto ao nível de dificuldade das situações? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Quanto a utilização de instrumentos de desenho Durante a aplicação das situações – problema, foram disponibilizados aos alunos régua e esquadro, mas aparentemente eles não utilizaram o esquadro, a que você atribui esta não utilização? Vocês acreditam que se os instrumentos de desenho tivessem sido utilizados corretamente durante a execução das tarefas, as propriedades inerentes à simetria ortogonal seriam observadas? Por quê? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

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ANEXO 1

Quadro síntese da análise do professor Narciso para os alunos da dupla D


316

ANEXO 2

Quadro síntese da análise do professor Narciso para os alunos da dupla E


317

ANEXO 3

Quadro síntese da análise da professora Margarida para a resolução dos alunos da dupla B


318

ANEXO 4

Quadro síntese da análise da professora Margarida para a resolução dos alunos da dupla H


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ANEXO 5

Atividade proposta pelo professor narciso para o ensino da simetria ortogonal


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ANEXO 6

Atividade proposta pelos professores Jacinto e Margarida para o ensino da simetria ortogonal


Documents

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO PUC/SP · (2002; 2004), para realizar a análise da atividade do professor no sentido de compreender como esse profissional desenvolve