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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO PUC/SP
Edílson Paiva de Souza
AS FUNÇÕES SENO E COSSENO: DIAGNÓSTICO DE
DIFICULDADES DE APRENDIZAGEM ATRAVÉS DE SEQUÊNCIAS
DIDÁTICAS COM DIFERENTES MÍDIAS
São Paulo
2010
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO PUC/SP
Edílson Paiva de Souza
AS FUNÇÕES SENO E COSSENO: DIAGNÓSTICO DE
DIFICULDADES DE APRENDIZAGEM ATRAVÉS DE SEQUÊNCIAS
DIDÁTICAS COM DIFERENTES MÍDIAS
Dissertação apresentada à Banca Examinadora da Pontifícia
Universidade Católica de São Paulo, como exigência parcial para
obtenção do título de MESTRE PROFISSIONAL EM ENSINO DE
MATEMÁTICA, sob a orientação do Prof. Dr. Gerson Pastre.
São Paulo
2010
Banca Examinadora
________________________________________
________________________________________
________________________________________
Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta
Dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.
Assinatura: _______________________________________ Local e Data: ______________
AGRADECIMENTOS
Primeiramente a Deus por ter me guiado, dado forças e sabedoria, estando comigo em todo este longo trajeto. A minha esposa, Adriana Ricci Duarte de Souza pela paciência, confiança e apoio nos piores momentos. Ao professor Doutor Gerson Pastre por sua experiência e conhecimento que ajudaram muito na elaboração desse trabalho. Aos professores Antonio Carlos Brolezzi e Silvania Netto pelas contribuições e comentários sobre o projeto desse trabalho durante o exame de qualificação. Aos professores do programa de Estudos Pós Graduados em Educação Matemática da PUC-SP, pela convivência e por todo aprendizado alcançado. A todos os amigos do curso em especial Claudia Vicente de Souza, pelas contribuições em diversos momentos que foram muito importantes para o fechamento desse trabalho. A professora Vilma A. Galhego que gentilmente realizou a revisão deste trabalho. Aos alunos da E.E. Jacob Salvador Zveibil, participantes desta pesquisa. A Rosana Duarte e a todos que contribuíram de forma direta ou indireta para realização deste trabalho A secretaria da Educação do Estado de São Paulo pela concessão da bolsa de estudos que permitiu realizar meu Mestrado, assim como seus representantes da Diretoria de Ensino Norte-1.
RESUMO
Esta pesquisa tem como objetivo diagnosticar as dificuldades de aprendizagem de
alunos do Ensino Médio em relação aos conceitos das funções trigonométricas seno
e cosseno. A investigação está fundamentada nos princípios da Engenharia Didática
e embasada na Teoria dos Registros de Representação Semiótica de Raymond
Duval. A sequência didática apresentada orienta-se nas análises de livros didáticos
do Ensino Médio e pesquisas que utilizaram o software gráfico no processo de
ensino aprendizagem para melhoria do conhecimento. As ferramentas utilizadas na
aplicação da sequência foram o lápis e o papel e o software Graphmatic. A
sequência foi aplicada com alunos do segundo ano do Ensino Médio, de uma escola
pública da capital de São Paulo. Foram analisados os protocolos de oito duplas que
participaram de quatro sessões. Os dados coletados foram analisados e levaram a
concluir que a utilização da tecnologia, através de um processo de ensino dinâmico
proporcionado pelo software gráfico Graphmatic, propiciou um aumento no
conhecimento sobre os conceitos das funções seno e cosseno.
Palavras-Chave: Funções Seno e Cosseno, Registros de Representação Semiótica,
Tecnologias na Educação Matemática
ABSTRACT
This research aims to diagnose the learning difficulties of high school students
about the concepts of the trigonometric functions sine and cosine. The research is
based on the principles of Didactic Engineering and on the theory of Semiotic
Representation Registers created by Raymond Duval. The didactic sequence
presented is oriented by analysis of high school textbooks and considers the
research works made using the graphical software in teaching and learning
process to improve knowledge. The tools used in the application of the sequence
were pencil and paper and software Graphmatic. The sequence was applied with
second year students of public high school in the capital of São Paulo. The
protocols produced by eight teams of students who participated in four sessions
allowed the analysis, and led to the conclusion that the use of technology through
a process of education provided by a dynamic graphics software provided an
increase in knowledge about the concepts of sine and cosine functions.
Keywords: Sine and Cosine Functions, Semiotic Representation Registers,
Technologies in Mathematics Education.
SUMÁRIO INTRODUÇÃO...........................................................................................................1
CAPÍTULO 1...............................................................................................................8
1.1 Justificativa...............................................................................................8
1.2 Levantamento bibliográfico ...................................................................11
CAPÍTULO 2.............................................................................................................14
2.1 Documentos Oficiais Nacionais............................................................14
2.1.1 Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio.....................14
2.1.2 Orientações Curriculares para o Ensino Médio...............................16
2.2 Documento Oficial do Estado de São Paulo............................18
2.2.1 Proposta Curricular do Estado de São Paulo.........................18
2.2.3 Análise de livros didáticos.......................................................21
2.2.4 Software Graphmátic................................................................27
CAPÍTULO 3.............................................................................................................29
3.1 Pressupostos teóricos...........................................................................29
3.1.1 Registros de representação semiótica..............................................29
3.1.2 Teoria das Situações Didáticas..........................................................32
3.2 Aspectos Metodológicos ..........................................................34
3.2.1 Engenharia Didática.................................................................34
3.2.2 Fases da metodologia da Engenharia Didática.....................35
CAPÍTULO 4.............................................................................................................38
4.1 Participantes da pesquisa.....................................................................38
4.2 Descrição da aplicação das atividades................................................38
4.3 Análise da sequência.............................................................................39
4.3.1 Objetivo das atividades propostas na pesquisa..............................40
4.5 Análise a priori das atividades realizadas em sala de aula.....41
4.5.1 Análise a priori da Atividade 1................................................43
4.5.2 Análise a posteriori da atividade 1, questão A......................44
4.5.3 Análise a posteriori da questão B da Atividade 1...................47
4.5.4 Análise a priori da Atividade 2.................................................50
4.5.5 Análise a posteriori da Atividade 2, questão C.......................51
4.5.6 Análise a posteriori da Atividade 2, questão D.......................53
4.5.7 Análise a priori da Atividade 3..................................................56
4.5.8 Análise a posteriori da Atividade 3, questão E.......................56
4.5.9 Análise a priori da Atividade 4..................................................59
4.5.10 Análise a posteriori da Atividade 4, questão F.....................60
4.5.11 Análise a posteriori da Atividade 4, questão G.....................61
4.5.12 Análise a priori da Atividade 5................................................65
4.5.13 Análise a posteriori da Atividade 5, questão H.....................66
4.5.14 Análise a posteriori da Atividade 5, questão I.......................68
4.5.15 Análise a priori da Atividade 6, questão J............................70
4.5.16 Análise a posteriori da Atividade 6, questão J......................71
4.6 Análises a priori das atividades realizadas na sala de
informática................................................................................74
4.6.1 Análise a priori da atividade 1 realizada na sala de
informática................................................................................76
4.6.2 Análise a posteriori da Atividade 1 realizada na sala
de informática...........................................................................79
4.6.3 Análise a priori da atividade 2 realizada na sala de
informática................................................................................80
4.6.4 Análise a posteriori da Atividade 2 realizada na sala
de informática...........................................................................81
4.6.5 Análise a priori da atividade 3 realizada na sala de
informática................................................................................82
4.6.6 Análise a posteriori da Atividade 3 realizada na sala
de informática...........................................................................83
4.6.7 Análise a priori da atividade 4 realizada na sala de
informática................................................................................85
4.6.8 Análise a posteriori da Atividade 4 realizada na sala
de informática...........................................................................86
4.6.9 Análise a priori da atividade 5 realizada na sala de
informática................................................................................88
4.6.10 Análise a posteriori da Atividade 5 realizada na sala
de informática...........................................................................89
4.6.11 Análise a priori da atividade 6 realizada na sala de
informática................................................................................90
4.6.12 Análise a posteriori da Atividade 6 realizada na sala
de informática...........................................................................91
4.6.13 Análise a priori da atividade 7 realizada na sala de
informática................................................................................91
4.6.14 Análise a posteriori da Atividade 7 realizada na sala
de informática...........................................................................92
4.6.15 Análise a priori da atividade 8 realizada na sala de
informática................................................................................95
4.6.16 Análise a posteriori da Atividade 8 realizada na sala
de informática...........................................................................95
4.6.17 Análise a priori da atividade 9 realizada na sala de
informática................................................................................99
4.6.18 Análise a posteriori da atividade 9 realizada na sala
de informática...........................................................................99
CAPÍTULO 5............................................................................................................103
CONSIDERAÇÕES FINAIS.....................................................................................103
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS........................................................................108
ANEXOS................................................................................................................112
LISTA DE QUADROS
QUADRO 1 – Atividade 1 do instrumento de pesquisa........................................43
QUADRO 2 – Atividade 2 do instrumento de pesquisa...........................................50
QUADRO 3 – Atividade 3 do instrumento de pesquisa........................................55
QUADRO 4 – Atividade 4 do instrumento de pesquisa........................................58
QUADRO 5 – Atividade 5 do instrumento de pesquisa........................................65
QUADRO 6 – Atividade 6 do instrumento de pesquisa...........................................70
QUADRO 7 – Atividade 1, utilizando o software Graphmatic..............................76
QUADRO 8 – Atividade 2, utilizando o software Graphmatic..............................80
QUADRO 9 – Atividade 3, utilizando o software Graphmatic..............................82
QUADRO 10 – Atividade 4, utilizando o software Graphmatic............................85
QUADRO 11 – Atividade 5, utilizando o software Graphmatic............................88
QUADRO 12 – Atividade 6, utilizando o software Graphmatic............................90
QUADRO 13 – Atividade 7, utilizando o software Graphmatic............................92
QUADRO 14 – Atividade 8, utilizando o software Graphmatic............................95
QUADRO 15 – Atividade 9, utilizando o software Graphmatic............................98
LISTA DE FIGURAS
FIGURA 1A – Dimensões do uso de tecnologias por professores – Fonte: Oliveira,
2009..............................................................................................................................8
FIGURA 1 – Questão do SARESP 2007- Período: Manhã..........................................8
FIGURA 2 – Questão do SARESP 2007- Período: Tarde...........................................9
FIGURA 3 – Questão do SARESP 2007- Período: Noite............................................9
FIGURA 4 – Conteúdos de Matemática por série e bimestre do E.M.......................20
FIGURA 5 – Representação utilizada no livro didático A..........................................22
FIGURA 6 – Representação utilizada no livro didático A..........................................23
FIGURA 7 – Representação utilizada no livro didático A..........................................24
FIGURA 8 – Representação utilizada no livro didático B..........................................26
FIGURA 9 – Representação utilizada no livro didático B..........................................26
FIGURA 10 – Esquema de organização semiótica e do funcionamento das
representações..........................................................................................................31
FIGURA 11 – Triângulo didático...............................................................................32
FIGURA 12 – Protocolo da Atividade1, questão A, realizado pela dupla H..............45
FIGURA 13 – Protocolo da Atividade1, questão A, realizado pela dupla H..............45
FIGURA 14 – Protocolo da Atividade1, questão A, realizado pela dupla D..............46
FIGURA 15 – Protocolo da Atividade1, questão A, realizado pela dupla A..............46
FIGURA 16 – Protocolo da Atividade1, questão B, realizado pela dupla A..............48
FIGURA 17– Protocolo da Atividade1, questão B, realizado pela dupla G..............48
FIGURA 18 – Protocolo da Atividade1, questão B, realizado pela dupla G..............49
FIGURA 19 – Protocolo da Atividade1, questão B, realizado pela dupla H..............49
FIGURA 20 – Protocolo da Atividade 2, questão C, realizado pela dupla A.............51
FIGURA 21 – Protocolo da Atividade 2, questão C, realizado pela dupla G............52
FIGURA 22 – Protocolo da Atividade 2, questão C, realizado pela dupla C..............52
FIGURA 23 – Protocolo da Atividade 2, questão C, realizado pela dupla C..............53
FIGURA 24 – Protocolo da Atividade 2, questão D, realizado pela dupla E..............54
FIGURA 25 – Protocolo da Atividade 2, questão D, realizado pela dupla E..............54
FIGURA 26 – Protocolo da Atividade 2, questão D, realizado pela dupla C..............55
FIGURA 27 – Protocolo da Atividade 3, realizado pela dupla A................................57
FIGURA 28 – Protocolo da Atividade 3, realizado pela dupla B................................57
FIGURA 29 – Protocolo da Atividade 3, realizado pela dupla E................................58
FIGURA 30 – Protocolo da Atividade 4, questão F, realizado pela dupla H..............60
FIGURA 31 – Protocolo da Atividade 4, questão F, realizado pela dupla G..............61
FIGURA 32 – Protocolo da Atividade 4, questão F, realizado pela dupla E..............61
FIGURA 33 – Protocolo da atividade 4, questão G, realizado pela dupla H.............62
FIGURA 34 – Protocolo da Atividade 4, questão G realizado pela dupla B..............63
FIGURA 35 – Protocolo da Atividade 4, questão G realizado pela dupla D..............63
FIGURA 36 – Protocolo da Atividade 4, questão G realizado pela dupla E..............64
FIGURA 37 – Protocolo da Atividade 5, questão H realizado pela dupla D..............67
FIGURA 38 – Protocolo da Atividade 5, questão H realizado pela dupla H..............67
FIGURA 39- Protocolo da Atividade 5, questão I realizado pela dupla E.................69
FIGURA 40 – Protocolo da Atividade 5, questão I realizado pela dupla A................69
FIGURA 41 – Protocolo da Atividade 6, questão J, realizado pela dupla F..............72
FIGURA 42 – Protocolo da Atividade 6, questão J, realizado pela dupla B..............72
FIGURA 43 – Protocolo da Atividade 6, questão J, realizado pela dupla G.............73
FIGURA 44 – Protocolo da atividade 2, dupla B, utilizando o software.....................81
FIGURA 45 – Protocolo da atividade 2, dupla G, utilizando o software.....................81
FIGURA 46– Protocolo da atividade 2, dupla A, utilizando o software......................81
FIGURA 47 – Protocolo da Atividade 3, dupla C, utilizando o software....................83
FIGURA 48 – Protocolo da Atividade 3, dupla F, utilizando o software.....................83
FIGURA 49 – Protocolo da Atividade 3,dupla G, utilizando o software.....................84
FIGURA 50 – Protocolo da Atividade 3,dupla E, utilizando o software......................84
FIGURA 51 – Protocolo da Atividade 3,dupla H, utilizando o software......................84
FIGURA 52 – Protocolo da Atividade 4,dupla C, utilizando o software......................87
FIGURA 53 – Protocolo da Atividade 4, dupla D, utilizando o software.....................87
FIGURA 54 – Protocolo da Atividade 4, dupla C, utilizando o software.....................87
FIGURA 55 – Protocolo da Atividade 4, dupla C, utilizando o software.....................89
FIGURA 56 – Protocolo da Atividade 4, dupla H, utilizando o software.....................90
FIGURA 57 – Protocolo da Atividade 7,dupla A, utilizando o software......................93
FIGURA 58 – Protocolo da Atividade 7, dupla B, utilizando o software.....................94
FIGURA 59 – Protocolo da Atividade 8, dupla B, utilizando o software.....................96
FIGURA 60 – Protocolo da Atividade 8 , dupla D, utilizando o software....................96
FIGURA 61 – Protocolo da Atividade 8 , dupla H, utilizando o software....................97
FIGURA 62 – Protocolo da Atividade 8 , dupla A, utilizando o software....................97
FIGURA 63 – Protocolo da Atividade 9 , dupla F, utilizando o software..................100
FIGURA 64 – Protocolo da Atividade 9 , dupla C, utilizando o software.................100
FIGURA 65 – Protocolo da Atividade 9, dupla A, utilizando o software...................101
LISTA DE TABELAS
TABELA 1- Desempenho relativo a atividade 1, questão A...................................47
TABELA 2- Desempenho relativo a atividade 1, questão B...................................50
TABELA 3- Desempenho relativo a atividade 2, questão C...................................53
TABELA 4- Desempenho relativo a atividade 2, questão D...................................55
TABELA 5- Desempenho relativo a Atividade 3, questão E...................................58
TABELA 6- Desempenho relativo a Atividade 4, questão F...................................62
TABELA 7- Desempenho relativo a Atividade 4, questão G..................................64
TABELA 8- Desempenho relativo a Atividade 5, questão H .................................68
TABELA 9- Desempenho relativo a Atividade 5, questão I ...................................70
TABELA 10 - Desempenho relativo a Atividade 6, questão J ................................73
TABELA 11 - Desempenho relativo a atividade 1 realizada com o software..........79
TABELA 12 - Desempenho relativo a Atividade 3 realizada com o software..........84
TABELA 13 - Desempenho relativo a Atividade 4 realizada com o software..........88
TABELA 14- Desempenho relativo a Atividade 7 realizada com o software.........94
TABELA 15 - Desempenho relativo a Atividade 8 realizada com software............98
TABELA 16 - Desempenho relativo a Atividade 9 realizada com o software........101
TABELA 17 - Quantidade de acertos das atividades realizados, sobre o conceito
de Amplitude, sem o uso do software......................................................................102
TABELA 18 - Quantidade de acertos das atividades sobre o conceito de amplitude,
com o uso do software Graphmatic..........................................................................103
TABELA 19 - Quantidade de acertos das atividades realizadas sem o uso do
software Graphmatic................................................................................................103
TABELA 20 - Quantidade de acertos nas atividades realizadas com o uso do
software Graphmatic................................................................................................104
TABELA 21 - Quantidade de acertos nas atividades realizadas com o uso do
software Graphmatic................................................................................................105
LISTA DE GRÁFICOS
GRÁFICO 01– Expectativa de resolução gráfica da questão A.................................44
GRÁFICO 02 - Expectativa de resolução gráfica da questão B.................................44
GRÁFICO 03– Expectativa de resolução gráfica da questão C.................................50
GRÁFICO 04– Expectativa de resolução gráfica da questão D.................................51
GRÁFICO 05– Expectativa de resolução gráfica da questão E.................................56
GRÁFICO 06– Expectativa de resolução gráfica da questão F.................................59
GRÁFICO 07– Expectativa de resolução gráfica da questão G................................59
GRÁFICO 08– Expectativa de resolução gráfica da questão H................................65
GRÁFICO 09– Expectativa de resolução gráfica da questão I..................................66
GRÁFICO 10– Expectativa de resolução gráfica da questão J.................................71
GRÁFICO 11– Resolução gráfica da função y=sen x................................................76
GRÁFICO 12– Resolução gráfica da função y=sen 4x..............................................77
GRÁFICO 13– Resolução gráfica da função y=-4sen 4x...........................................77
GRÁFICO 14– Resolução gráfica da função y=sen x\5.............................................78
GRÁFICO 15– Resolução gráfica da função y=5sen 5x............................................78
GRÁFICO 16 – Resolução gráfica das funções y = sen x, y = 2 sen x, y = 3 sen x,
y = 4 sen x..................................................................................................................80
GRÁFICO 17 – Resolução gráfica das funções y = cos x, y = 1,5 cos x, y = 3 cos x,
y=5 cos x....................................................................................................................82
GRÁFICO 18 – Resolução gráfica das funções y= sen x /2, y= sen x, y= sen 2x,
y= sen 5x....................................................................................................................85
GRÁFICO 19 – Resolução gráfica das funções y = cos x /3, y =cos x/2, y = cosx,
y =cos2x, y =cos3x.....................................................................................................86
GRÁFICO 20 – Resolução gráfica das funções y = -1 + sen 5x, y = sen 5x,
y = 1+ sen 5x..............................................................................................................89
GRÁFICO 21 – Resolução gráfica das funções y = 5sen 2x, y = sen x.....................90
1
INTRODUÇÃO
Esta pesquisa tem como objetivo diagnosticar as dificuldades que
alunos do Ensino Médio podem apresentar em relação aos conceitos das funções
trigonométricas seno e cosseno, empregando uma dupla abordagem: atividades
comuns à rotina escolar dos estudantes, realizadas em sala de aula, bem como
com a utilização de tecnologias através de um software gráfico, o Graphmatic.
Sobre o uso da tecnologia digital supramencionada, aliás, cabem alguns
esclarecimentos. As interfaces proporcionadas pelas tecnologias digitais usadas
nos processos educativos têm o potencial, sob o planejamento do professor, de
interferir de maneira positiva no processo de ensino-aprendizagem de conteúdos
matemáticos. Estes efeitos são obtidos, prioritariamente, quando as tecnologias são
mediadoras, usadas no contexto de uma estratégia didática que, apoiada no
conhecimento do professor acerca do tema de ensino e de diagnósticos referentes
às necessidades cognitivas dos estudantes, pode auxiliar os aprendizes através da
elaboração de problematizações, calcadas em situações que serão exploradas de
maneira dinâmica, com possibilidades abertas à experimentação e às interações
(Oliveira, 2009; Borba e Penteado, 2007).
Kenski (2008) afirma que a presença de uma determinada tecnologia pode
induzir profundas mudanças na maneira de organizar o ensino. Quando bem
utilizadas, as mediações através de softwares e similares provocam a alteração dos
comportamentos de professores e alunos, transformando a realidade da aula
tradicional, dinamizando o espaço de ensino-aprendizagem, levando os alunos à
possibilidade de aprender melhor e de obter maior aprofundamento do conteúdo
estudado. Neste aspecto, entende-se que as tecnologias ampliam as possibilidades
de ensino para além do curto e delimitado espaço de presença física de professores
e alunos na mesma sala de aula, redefinindo toda dinâmica da aula e criando novos
vínculos entre os participantes do processo educacional, através da possibilidade
de interações de caráter intensivo. A autora, então, indica ainda que
As novas tecnologias de comunicação (TICs), sobretudo a televisão e o computador movimentaram a educação e provocaram novas mediações entre a abordagem do professor, a compreensão do aluno e o conteúdo veiculado. (KENSKI, 2008, pg.45)
2
Estratégias pedagógicas com mídias
Os trabalhos de Oliveira (2009) e de Carvalho (2010), que utilizou o anterior
como base teórica, indicam que as maiores possibilidades estão ligadas às
estratégias pedagógicas com a mediação de tecnologias de informação e
comunicação – sem descartar as tecnologias vistas como tradicionais.
De fato, Oliveira (2009) reforça a idéia de que as tecnologias digitais de
aprendizagem não produzem, por elas mesmas, avanços no processo de ensino-
aprendizagem em Matemática. Entretanto, estes aparatos podem ampliar, no
âmbito da transposição em direção do saber a ensinar, as possibilidades de
construção do conhecimento por parte dos estudantes. Nesta perspectiva, Carvalho
(2010) indica:
O uso de tecnologias por parte de professores de Matemática tem sido objeto de estudos de diversos pesquisadores. Frota e Borges (2004) e Goos et al (2003) mencionam que esta prática está fundamentada em níveis distintos, alguns deles identificáveis nos documentos oficiais. Para estes autores, algumas dimensões da prática docente permeada por tecnologias incluem: consumir, incorporar e matematizar a tecnologia (CARVALHO, 2010, p.27)
Assim, o consumo da tecnologia está ligado aos aparatos que podem ajudar
no processo ensino-aprendizagem em Matemática. Os professores de Matemática
podem ver, neste contexto, que semelhantes recursos podem alterar a educação ou
os processos de ensino – apesar de isto não ocorrer através do uso descolado de
projetos de ensino e da dimensão crítica. De acordo com os autores mencionados
na argumentação de Carvalho (2010), este consumo “pode trazer eficiência para a
realização das tarefas antigas, mas também pode gerar dependência na
consecução da tarefa” (Frota e Borges, 2004). Tal efeito pode surgir se o docente
fica adstrito a esta dimensão, sem pensar no avanço das concepções e usos das
interfaces.
Na visão de Frota e Borges (2004), a incorporação das tecnologias habilita
uma nova maneira de fazer Matemática. No entanto, pede alterações nas tarefas
propostas aos estudantes: a tecnologia pode ser vista como um recurso que auxilia
as discussões matemáticas em sala de aula – ou seja, que media a
problematização de conteúdos. Na argumentação de OLIVEIRA (2009, p. 5):
3
a incorporação das tecnologias pelas pessoas pode conduzir à ampliação de estratégias usadas no fazer matemático, alterando-o substancialmente, o que conduz, a partir de tais mudanças, a novas maneiras de pensar e solucionar problemas, com o uso de elementos dinâmicos, heurísticas, ampliação de representações gráficas e outros recursos. Ocorre, assim, uma mudança no fazer matemático dos indivíduos, e podem ocorrer, por conseqüência, mudanças na maneira de pensar e resolver problemas, com as interfaces assumindo o papel de suportes do pensamento. As tecnologias, aqui, são vistas como parceiras e como extensões da pessoa.
Por fim, os Frota e Borges (2004) e Goos et al (2003) referem-se à
matematizar a tecnologia, de forma a aproximar o conhecimento matemático
existente nos elementos tecnológicos dos alunos, os quais, boa parte das vezes,
não percebem que existem elementos matemáticos subjacentes aos processos que
envolvem tecnologia. Em OLIVEIRA (2009, p. 5),
esta concepção consiste em considerar o valor da tecnologia por ela mesma como objeto curricular. Por um lado, segundo os autores, a matematização diz respeito à identificação dos elementos matemáticos que permeiam as ferramentas e interfaces de origem tecnológica, o que permitiria compreender a matemática como fator de efetivação das realidades cotidianas, acima das tecnologias e suas limitações, bem como fornecer elementos para o desenvolvimento de senso crítico em relação ao alcance e uso das mídias; por outro lado, a matematização das tecnologias permitiria trabalhar amplamente com a modelagem de objetos e processos, de modo a aliar tecnologia e matemática no trato de questões reais.
Destarte, para Oliveira (2009), a apropriação dos recursos de ordem
tecnológica – principalmente TICs – por parte dos professores envolve, além dos
níveis já mencionados, um quarto item, ligado à criação de estratégias pedagógicas
com a mediação de tecnologias, o que possibilita aos professores de Matemática
empregar os recursos e interfaces das diversas tecnologias de maneira crítica, na
presença de um planejamento consistente. Isto implica em convergência: não usar
apenas recursos digitais, mas selecionar os elementos mais adequados em relação
aos objetivos de ensino. Adicionalmente, para o autor, este processo de
aprimoramento é cíclico, o que permite que o professor de Matemática retome, em
4
relação a outro software ou interface, o papel de consumidor, para depois voltar a
incorporar o novo elemento em suas práticas, e assim por diante.
Figura 1A – Dimensões do uso de tecnologias por professores – Fonte: Oliveira, 2009
Fundamentação da questão de pesquisa
De acordo, então, com os pressupostos de Oliveira (2009), entende-se que
existe a possibilidade de elaborar estratégias que possam servir para colocar os
estudantes em situações através das quais seria possível diagnosticar suas
dificuldades acerca de certo tema, o que representaria uma possibilidade avaliativa
importante, à medida que ações que permitam conhecer as precariedades
apresentadas no aprendizado de um dado tema podem fomentar ações de
planejamento mais consistente, visando não apenas certificar os erros cometidos,
mas propor o uso reconstrutivo destas ocorrências, no sentido de obter meios que
permitam ao estudante, de fato, aprender (Oliveira, 2007; Luckesi, 2001; Perrenoud,
1999). Isto se daria através da elaboração de situações-problema que trabalhassem
as dificuldades cognitivas dos aprendizes, em um ambiente orientado pelo
professor, mediado pelas tecnologias necessárias, criticamente escolhidas entre as
tradicionais e as digitais e voltado às interações intensivas, de caráter colaborativo
(Oliveira, 2007).
Esta pesquisa, no entanto, precisava ser definida por um recorte, já que
estudo individual algum poderia dar conta de tantas inquietudes. Optou-se, aqui, por
trabalhar no aspecto diagnóstico das dificuldades, ou seja, no mapeamento dos
Consumir Incorporar
Matematizar Elaborar
estratégias
5
problemas de ordem cognitiva encontrados pelos alunos no processo de aprender
as funções trigonométricas seno e cosseno. Também por isso, as questões das
duas sequências didáticas utilizadas nesta pesquisa têm a mesma natureza:
exercícios conceituais, não problematizados. O cerne desta motivação, entretanto,
ocorre por outra causa: para diagnosticar, é necessário empregar elementos da
realidade vivida pelos sujeitos, ou seja, é preciso recriar uma forma de obter dados
que habilitem análises a partir de uma dada realidade existente, e não potencial
(Oliveira, 2007). Estudos sobre o tema desta investigação indicam, assim, que os
exercícios desconectados da realidade dos alunos representam a modalidade mais
empregada nas salas de aula. A este respeito, por exemplo, Silva (2005) inidica que
a abordagem da trigonometria, em particular no triângulo retângulo, que os livros
didáticos fazem não favorece a produção de sentido para o aluno. Sobre esta
afirmação, Costa (1997) indica que
...muitas vezes, para o aluno, as funções trigonométricas surgem como um conteúdo vazio de sentido, uma vez que geralmente são introduzidas sem nenhuma ligação com a vida cotidiana. Assim sendo, a trigonometria, que é uma das formas matemáticas do Homem compreender e interpretar a Natureza pode ser, para nossos alunos, um assunto abstrato e sem utilidade (COSTA, 1997, p.1).
Para a autora, os alunos apresentam intensas dificuldades em compreender
um conteúdo de tal forma desconectado. Segundo Costa (1997), de fato, alguns
deles chegam a mencionar que perderiam menos tempo se aprendessem sobre
juros, probabilidade, álgebra e porcentagens. Claro que uma visão apenas utilitária
do conhecimento matemático não é adequada, mas, por outro lado, não é possível
esquecer que há instâncias de transposição didática a percorrer, desde o saber
acadêmico e formal, até o saber a ensinar, e que semelhante trajetória implica em
transformações adaptativas que transformem o conteúdo, objeto formal de saber,
em objeto de ensino, com possibilidades de serem assimilados por não-cientistas,
ou seja, pelos estudantes (Chevallard, 1991; Oliveira, 2009b-livro).
Com base nestes pressupostos, pode-se, então, anunciar a questão
direcionadora desta pesquisa:
Em que medida uma estratégia didática com a utilização de mídias tradicionais
(lápis e papel) e digitais (computador e o software Graphmatic) pode contribuir para
6
diagnosticar as dificuldades de aprendizagem relativas ao tema “funções
trigonométricas seno e cosseno” entre estudantes do Ensino Médio?
Estrutura do trabalho
Este trabalho apresenta, como estrutura, os elementos que seguem nos
próximos parágrafos.
No Capitulo 1, é apresentado a problemática e a justificativa, assim como os
resultados das análises do SARESP ( Sistema de Avaliação do Rendimento escolar
de São Paulo) mostrando desempenho dos alunos do Ensino Médio no SARESP,
referentes a aprendizagem de conceitos de funções e o levantamento bibliográfico,
que estão inclusos pesquisas relacionadas a funções, que utilizaram a tecnologia
aliada a educação.
No Capítulo 2 são apresentados os Parâmetros Curriculares Nacionais do
Ensino Médio (PCNEM) e as Orientações Curriculares para o Ensino Médio
(OCEM), com o propósito de verificar as abordagens referentes a funções e o uso
de tecnologias aliada a construção do conhecimento. Fazendo parte deste capítulo,
a Proposta Curricular do Estado de São Paulo apresentando o currículo utilizado em
toda rede com seus objetivos principais. E ainda a análise dos livros didáticos do
Ensino Médio com o propósito de investigar os processos utilizados para obtenção
do saber relativos as funções seno e cosseno, e uma breve descrição do software
Graphmátic
No capitulo 3 é apresentada a Teoria dos Registros de Representação
Semiótica de Raymond Duval (2003), a Teoria das Situações Didáticas de Guy
Brousseau (1986), na qual foi fundamentada a pesquisa e os princípios da
Engenharia Didática, de Michele Artigue (1996), na qual foi elaborada uma
sequência didática realizando analise a priori, partindo para experimentação, para
então fazer analise a posteriori e validação da pesquisa realizada.
O capítulo 4 tem a finalidade de apresentar os participantes da pesquisa, a
descrição da aplicação das atividades com seus objetivos e a análise a priori e
posteriori das atividades realizadas, mostrando as dificuldades encontradas pelos
alunos durante a aprendizagem da função seno e cosseno e o desempenho
cognitivo relativo aos conceitos envolvidos das funções, durante a realização da
pesquisa.
7
No capítulo 5 encontra se as considerações finais dos resultados obtidos
durante a realização da pesquisa.
8
CAPÍTULO 1
1.1 JUSTIFICATIVA
Através do Sistema de Avaliação do Rendimento Escolar do Estado de São
Paulo – SARESP, que avalia o ensino regular em todas as escolas públicas do
estado de São Paulo, pode-se constatar que os alunos do Ensino Médio possuem
pouco conhecimento de conceitos relacionados à função seno e cosseno. Foram
apresentadas na avaliação de 2007 questões referentes à aprendizagem das
funções seno e cosseno.
Na figura 1 pode-se perceber que a questão tem o objetivo de analisar o
conhecimento dos alunos em relação à conceitos da função seno, avaliando sua
habilidade em uma representação gráfica e com outro tipo de tratamento dado com
relação aos valores do eixo das abscissas.
Figura 1 – Questão 11 do SARESP aplicado em 2007- Período: MANHÃ
Fonte: SARESP 2007
9
Nas figuras 2 e 3 pode-se perceber que a questão tem o objetivo de analisar
o conhecimento dos alunos em relação à conceitos da função cosseno, avaliando
sua habilidade em dois tipos de representação.
Na figura 2 o exercício explora o conteúdo através do registro algébrico.
Figura 2 – Questão 11 do SARESP aplicado em 2007- Período: TARDE
Fonte: SARESP 2007
Na figura 3 o exercício explora o conteúdo através do registro gráfico.
Figura 3 – Questão 11 do SARESP aplicado em 2007-Período: NOITE
Fonte: SARESP 2007
O objetivo do SARESP é subsidiar as ações pedagógicas, apresentando
formas possíveis de intervenção nas práticas escolares, para a construção de um
projeto que tenha por meta responder às necessidades educacionais da escola e
conduzir à melhoria do processo de ensino do professor e da aprendizagem dos
alunos.
10
Dados do SARESP de 2007 apontam que 71% dos alunos do terceiro ano do
ensino médio estão abaixo do básico e neste nível, demonstram domínio
insuficiente dos conteúdos, competências e habilidades desejáveis para a série
escolar em que se encontram 24,7% estão no nível denominado Básico nas quais
os alunos neste nível demonstram desenvolvimento parcial dos conteúdos,
competências e habilidades requeridos para a série em que se encontram; 3,7%
encontram-se no nível considerado Adequado, nesse nível os alunos demonstram
domínio dos conteúdos, competências e habilidades desejáveis para a série escolar
em que se encontram e 0,6% encontram-se no nível Avançado, nível em que
demonstram conhecimentos e domínios dos conteúdos, competências e habilidades
acima dos requeridos na serie escolar em que se encontram, conforme tabela de
distribuição dos alunos pelos níveis de proficiência descrito no relatório do Saresp
realizado em 2007.
O SARESP (2007) aponta ainda que as atividades relativas à números,
operações, relações e funções, apenas 10% e 20% dos alunos do terceiro ano do
Ensino Médio identificam o gráfico que representa uma reta, dada sua equação e
identificam um gráfico que representa uma função do segundo grau e que somente
40% interpretam o gráfico de uma função para analisar as suas propriedades
(crescimento, raiz e etc.).
Nos dados do SARESP (2007) pode se verificar que os alunos do Ensino
Médio demonstram em sua maioria um nível insuficiente nos conhecimentos e
domínios dos conteúdos, competências e habilidades e sentem também muitas
dificuldades quando se trata do tema funções.
Através dessa problemática, a pesquisa tem como objetivo diagnosticar as
concepções dos alunos em relação aos conceitos das funções trigonométricas,
utilizando as tecnologias que estão cada vez mais presentes no dia a dia dos
cidadãos, podendo estar também inserida na educação.
Relacionando o uso da tecnologia com a problemática apresentada, este
trabalho se propõe verificar o uso do Graphmatic nas atividades das funções seno e
cosseno e a aprendizagem de conceitos relacionados a estas funções.
As leituras utilizadas para a reflexão desta problemática partem de
estudiosos que utilizaram tecnologias em suas pesquisas sobre funções e sua
contribuição na Educação, revelando as dificuldades apresentadas pelos alunos.
11
1.2 LEVANTAMENTO BIBLIOGRÁFICO
Pesquisas realizadas abordando conhecimentos relacionados à função,
domínio, imagem e idéias de variáveis tem sido exploradas por alguns
pesquisadores que utilizaram como ferramenta a tecnologia na Educação para o
auxílio da aprendizagem.
Muitas investigações referem-se à conceitos de funções do primeiro e
segundo graus, havendo poucas sobre funções seno e cosseno, diante desse
quadro esta pesquisa procura contribuir com o propósito de ser útil para futuras
pesquisas sobre esses tipos de funções.
Santos (2002) estudando a aquisição de saberes relacionados aos
coeficientes da equação y=ax+b pela articulação dos registros gráfico e algébrico da
função afim realizou sua pesquisa com alunos do segundo ano do ensino médio
utilizando o software Funcplus, conclui que houve uma evolução em relação à
construção de significados dos coeficientes da representação algébrica da função
afim, associados à sua representação gráfica, ou seja, a reta correspondente e
afirma que a investigação evidenciou que o ambiente informático estabelecido
possibilitou uma nova forma de trabalhar com os alunos e de avaliar seus
desempenhos, possibilitando o desenvolvimento do processo de ensino
aprendizagem da função afim, mais especificamente da conversão do registro
gráfico para o algébrico.
Martins (2003) introduziu o conceito de seno e cosseno de forma
coordenada, partindo do triângulo retângulo, passando pelo ciclo trigonométrico e
finalizando com os gráficos das funções correspondentes, tentando propiciar aos
alunos condições para atribuir significado a tais conceitos. Através de uma
sequência de ensino com alunos do 2º ano do ensino médio concluiu que o
software gráfico utilizado mostrou se bastante eficaz, auxiliando os alunos a
associar os conceitos já estudados no triângulo retângulo e no ciclo trigonométrico
com as funções seno e cosseno.
Pelho (2003) introduziu o conceito de função por meio da compreensão das
variáveis dependentes e independentes e do relacionamento entre elas, utilizando
papel e lápis e o software gráfico Cabri Géometre II na aplicação da sequência,
como ferramentas de ensino.
12
A sequência didática utilizou exemplos de função afim e quadrática com
alunos do segundo ano do Ensino Médio de uma escola particular da cidade de
Araçatuba, interior de São Paulo, na qual já haviam estudado o conteúdo de função
em séries anteriores e chegou a conclusão de que houve uma evolução por parte
dos alunos na apreensão do conceito de função, propiciado pela compreensão e
relacionamento entre as variáveis e pelas devidas articulações entre os diferentes
registros de representação da função.
Maia (2007) abordou a questão da construção gráfica da função quadrática,
utilizando o procedimento de interpretação global das propriedades figurais e inseriu
uma dinâmica lúdica para introduzir as noções de intervalo e domínio da função.
Foi utilizado o software Winplot, como ferramenta computacional, e a
seqüência foi aplicada com os alunos da oitava serie do Ensino Fundamental de
uma escola particular de São Bernardo do Campo, no estado de São Paulo, e
concluiu que houve um avanço por parte dos alunos na apreensão do conceito de
função quadrática, propiciado pela compreensão e articulação entre as variáveis
visuais e as unidades simbólicas significativas.
Augusto (2008) investigou alunos de duas salas de 3º ano do Ensino Médio
de uma escola da rede pública estadual, do município de Cotia - SP, a possibilidade
da apropriação de conceitos relativos à função afim, a partir de uma intervenção de
ensino subsidiada por ferramentas tecnológicas, utilizando se do software gráfico
Graphmatic.
Através de análise tanto do ponto de vista quantitativo (relativo aos
instrumentos diagnósticos) como qualitativo (relativo à Intervenção de Ensino)
concluiu que o uso de um ambiente gráfico possibilitou ensaios dinâmicos e a
interação com o software trabalhado da pesquisa, facilitando a construção de novos
conceitos e a comparação com que havia sido aprendido, ampliando dessa forma o
campo conceitual constituído pela intersecção entre a leitura e a interpretação de
gráficos e expressões da função afim.
Santos (2009) desenvolveu um ambiente informatizado voltado ao ensino,
para favorecer o aprofundamento dos conhecimentos relacionados à função
polinomial de segundo grau, realizada com alunos do 2º ano do Ensino Médio de
uma escola pública da grande São Paulo, situada na cidade de Carapicuíba, utilizou
as ferramentas computacionais GEOGEBRA e NVU.
13
Após a análise dos protocolos dos alunos que participaram ativamente de
todas as discussões no grupo de estudo, o autor concluiu que o ambiente
informatizado e as atividades nele contidas favorecem à compreensão da
articulação dos registros de representação algébrica e gráfica e o aprofundamento
dos conhecimentos relacionados à função polinomial do segundo grau.
14
CAPÍTULO 2
2.1 DOCUMENTOS OFICIAIS NACIONAIS
A seguir serão analisados os Parâmetros Curriculares do Ensino Médio
(PCNEM) e as Orientações Curriculares para o Ensino Médio (OCEM) com o
propósito de verificar as abordagens referentes a funções e o uso de tecnologias
aliadas a construção do conhecimento.
O PCNEM foi criado por especialistas da educação com o objetivo de
contribuir para a atualização profissional do professor, no planejamento de suas
aulas e na reflexão de sua prática diária orientando o a buscar novas abordagens e
metodologias significativas no processo de ensino aprendizagem dos alunos.
As Orientações Curriculares para o Ensino Médio foram elaboradas por
equipes técnicas dos Sistemas Estaduais de Educação, professores, alunos da rede
pública e representantes da comunidade acadêmica, com o objetivo de contribuir
para o diálogo entre professor e escola sobre a prática docente em busca da
melhoria do ensino.
2.1.1 PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS DO ENSINO
MÉDIO
Matemática
Segundo o PCNEM (1999), o aluno deve perceber a Matemática como um
sistema de códigos e regras que a tornam uma linguagem de comunicação de
idéias e permite modelar a realidade e interpretá-la e suas finalidades no ensino no
nível médio indicam como objetivos, levar o aluno a:
Compreender os conceitos, procedimentos e estratégias matemáticas que
permitam a ele desenvolver estudos posteriores e adquirir uma formação
científica geral;
Aplicar seus conhecimentos matemáticos a situações diversas, utilizando os
na interpretação da ciência, na atividade tecnológica e nas atividades
cotidianas;
15
Analisar e valorizar informações provenientes de diferentes fontes, utilizando
ferramentas matemáticas para formar uma opinião própria que lhe permita
expressar se criticamente sobre problemas da Matemática, das outras áreas
do conhecimento e da atualidade.
Desenvolver as capacidades de raciocínio e resolução de problemas de
comunicação bem como o espírito crítico e criativo;
Utilizar, com confiança, procedimentos de resolução de problemas para
desenvolver a compreensão dos conceitos matemáticos;
Expressar se oral, escrita e graficamente em situações matemáticas e
valorizar a precisão da linguagem e as demonstrações em Matemática;
Estabelecer conexões entre diferentes temas matemáticos e entre esses
temas e o conhecimento de outras áreas do currículo;
Reconhecer representações equivalentes de um mesmo conceito,
relacionando procedimentos associados às diferentes representações;
Promover a realização pessoal mediante o sentimento de segurança em
relação as suas capacidades matemáticas, o desenvolvimento de atitudes de
autonomia e cooperação.
O PCNEM (1999) afirma ainda que, além das conexões internas à própria
Matemática, o conceito de função desempenha também papel importante para
descrever e estudar através da leitura, interpretação e construção de gráficos, o
comportamento de certos fenômenos tanto do cotidiano, como de outras áreas do
conhecimento, como a Física, Geografia ou Economia e destaca:
Cabe, portanto, ao ensino de Matemática garantir que o aluno adquira certa flexibilidade para lidar com o conceito de função em situações diversas e, nesse sentido, através de uma variedade de situações problema de Matemática e de outras áreas, o aluno pode ser incentivado a buscar a solução, ajustando seus conhecimentos sobre funções para construir um modelo para interpretação e investigação em Matemática. (PCN, 1999, p.255)
O PCNEM (1999) aponta aspectos a serem considerados sobre a tecnologia
no ensino de matemática:
16
É preciso ainda uma rápida reflexão sobre a relação entre Matemática e tecnologia. Embora seja comum, quando nos referimos às tecnologias ligadas à Matemática, tomarmos por base a informática e o uso de calculadoras, estes instrumentos, não obstante sua importância, de maneira alguma constitui o centro da questão. ( 1999, p.252)
Esse impacto da tecnologia, cujo instrumento mais relevante é hoje o computador, exigirá do ensino de Matemática um redirecionamento sob uma perspectiva curricular que favoreça o desenvolvimento de habilidades e procedimentos com os quais o indivíduo possa se reconhecer e se orientar nesse mundo do conhecimento em constante movimento. ( 1999, p 252)
No ensino das Ciências, da Matemática e suas Tecnologias, o PCNEM
(1999) afirma que, quando a escola promove uma condição de aprendizado em que
há entusiasmo nos fazeres, paixão nos desafios, cooperação entre os participeis,
ética nos procedimentos está construindo a cidadania em sua prática, dando as
condições para a formação dos valores humanos fundamentais, que são centrais
entre os objetivos da educação, sendo assim, este trabalho pode contribuir, na
medida em que sugere uma maneira de abordar a tecnologia para aprendizagem
dos conceitos relacionados à função seno e cosseno.
2.1.2 ORIENTAÇÕES CURRICULARES PARA O ENSINO MEDIO
Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias.
As Orientações Curriculares para o Ensino Médio afirmam que a forma de
trabalhar os conteúdos deve sempre agregar um valor formativo no que diz respeito
ao desenvolvimento do pensamento matemático. Isso significa colocar os alunos
em um processo de aprendizagem que valorize o raciocínio matemático, nos
aspectos de formular questões, perguntar se sobre a existência de solução,
estabelecer hipóteses e tirar conclusões, apresentar exemplos e contra exemplos,
generalizar situações, abstrair regularidades, crias modelos, argumentar com
fundamentação lógico-dedutiva. Também significa um processo de ensino que
valorize tanto a apresentação de propriedades matemáticas acompanhadas de
explicação quanto a de fórmulas acompanhadas de dedução, e que valorize o uso
17
da Matemática para a resolução de problemas interessantes, quer sejam de
aplicação ou de natureza simplesmente teórica.
Com relação às funções trigonométricas é preciso atenção à transição do
seno e do cosseno no triângulo retângulo (em que a medida do ângulo é dada em
graus), para seno e o cosseno, definidos como as coordenadas de um ponto que
percorre um arco do círculo de raio unitário com medida em radianos. As funções
trigonométricas devem ser entendidas como extensões das razões trigonométricas
então definidas para ângulos com medida entre zero e cento e oitenta graus.
Afirmando ainda que, os alunos devem ter a oportunidade de traçar gráficos
referentes às funções trigonométricas, aqui se entendendo que, quando se escreve
f(x)=sen (x), usualmente a variável x corresponde à medida do arco de círculo
tomada em radianos.
As funções trigonométricas seno e cosseno também devem ser associados
aos fenômenos que apresentam comportamentos periódicos e que os estudos das
demais funções trigonométricas possam e deve ser colocadas em segundo plano.
No uso de tecnologia, as Orientações Curriculares do Ensino Médio declara
que não se pode negar o impacto provocado pela tecnologia de informação e
comunicação na configuração da sociedade atual, que por um lado, tem se a
inserção dessa tecnologia no dia a dia da sociedade a exigir indivíduos com
capacitação para subsidiar o processo de aprendizagem da Matemática e que é
importante contemplar uma formação escolar nesses dois sentidos, ou seja, a
Matemática como ferramenta para entender a tecnologia, e a tecnologia como
ferramenta para entender a Matemática e destaca:
“No uso de tecnologia para o aprendizado da
Matemática, a escolha de um programa torna se um
fator que determina a qualidade do aprendizado. É com
a utilização de programas que oferecem recursos para a
exploração de conceitos e idéias matemáticas que está
se fazendo um interessante uso de tecnologia para o
ensino da Matemática.” (OCEM, p.89-90).
Segundo a OCEM, os programas de expressão apresentam recursos que
provocam, de forma muito natural, o processo que caracteriza por “pensar
18
matematicamente”, ou seja, os alunos fazem experimentos, testam hipóteses,
esboçam conjecturas, criam estratégias para resolver problemas.
2.2 DOCUMENTO OFICIAL DO ESTADO DE SÃO PAULO
O documento oficial analisado será a Proposta Curricular do Estado de São
Paulo, criado em 2008, pela Secretaria de Educação do Estado, que teve por
objetivo organizar o sistema educacional de São Paulo, através de um currículo
apresentado em toda rede.
2.2.1 PROPOSTA CURRICULAR DO ESTADO DE SÃO PAULO
Ensino Fundamental – Ciclo II e Ensino Médio – Matemática
Segundo a proposta curricular, o objetivo principal curricular é mapear as
informações relevantes e organizá-las em narrativas significativas, em cada
território disciplinar.
Com relação à Matemática afirma que gostando ou não, as crianças a
estudam e os adultos a utilizam em suas ações como cidadãos, pessoas
conscientes e autônomas, consumidores ou não e todos lidam com números,
medidas, formas, operações; todos lêem e interpretam textos e gráficos, vivenciam
relações de ordem e de equivalência, argumentam e tiram conclusões validas a
partir de proposições verdadeiras, fazem inferências plausíveis a partir de
informações parciais ou incertas, ou seja, a ninguém é permitido dispensar o
conhecimento da Matemática sem abdicar de seu bem mais precioso: a consciência
nas ações, dessa maneira a Matemática é apresentada como um sistema simbólico
que se articula diretamente com a língua materna, na forma oral e escrita, bem
como com outras linguagens e recursos de representação.
Os conteúdos disciplinares de Matemática, tanto no Ensino Fundamental
quanto no Ensino Médio, abrangem quatro grandes eixos temáticos; números,
geometria, medidas e tratamento da informação.
No uso da tecnologia, a proposta deve estar especialmente atenta à
incorporação critica dos inúmeros recursos tecnológicos disponíveis para a
representação de dados e o tratamento das informações de dados e o tratamento
das informações, na busca da transformação de informação em conhecimento.
19
Segundo a proposta, os conteúdos sugeridos para a grade privilegiam
algumas idéias fundamentais, de natureza transdisciplinar, que servirão de
mediadores na mobilização dos temas para o desenvolvimento das competências
pessoais dos alunos, bem como para a construção dos significados dos conteúdos
estudados.
O estudo da trigonometria para o Ensino Médio deverá ser desenvolvido no
quarto bimestre do primeiro ano e no primeiro bimestre do segundo ano, afirmando
que possui importante característica de estabelecer ligação entre o eixo geometria e
medidas e o eixo número e funções.
No caso de geometria, a proposta afirma que o elemento norteador de todo o
trabalho é a proporcionalidade que está presente no estudo das relações métricas
entre lados do triângulo retângulo e a noção de semelhança, base para a aplicação
das razões trigonométricas seno, cosseno e tangente, enquanto que os conceitos
pertinentes ao segundo eixo, números e funções, possuem a idéia fundamental da
periodicidade de determinados fenômenos e a possibilidade de modelá-los, isto é,
representá-los por intermédio de uma equação matemática.
Os conteúdos referentes ao Ensino Médio são divididos por série e bimestre,
conforme a tabela 1 a seguir.
20
FIGURA 4 – Conteúdos de Matemática por serie e bimestre do Ensino Médio Fonte: Proposta Curricular do Estado de São Paulo
Os documentos oficiais orientam sobre o uso de tecnologias no processo de
ensino aprendizagem, mostrando sua importância para a construção do
conhecimento.
Nessa pesquisa será utilizado o software gráfico Graphmatic, para verificar
se há melhoria cognitiva ou não dos educandos, na abordagem de conceitos
relacionados à função seno e cosseno.
21
2.3 ANÁLISE DE LIVROS DIDÁTICOS
Nesta análise pode se verificar de que maneira os livros didáticos abordam
os conceitos de função seno e função cosseno e os tipos de exercícios propostos
para o ensino dessas funções aos alunos do nível médio
Os livros escolhidos como amostra são utilizados pelas escolas estaduais de
São Paulo e seguem o Programa Nacional do Livro Didático para o Ensino Médio
(PNLEM), Implantado em 2004, pela Resolução nº 38 do Fundo Nacional de
Desenvolvimento da Educação (FNDE) que prevê a universalização de livros
didáticos para os alunos do ensino médio público de todo o país
Para análise dos livros utilizou se os seguintes critérios:
Parte teórica
De que maneira ocorre a introdução dos conceitos?
São abordados todos os conceitos?
Conseguiram dar sentido a função seno e cosseno?
A abordagem foi realizada de forma correta sem dar margem a concepções
errôneas?
Exercícios
Há exercícios utilizados em vestibulares?
Possui uma quantidade suficiente para abordar os conceitos?
Há mudanças de representações?
Os livros escolhidos para análise foram:
Livro A: BIANCHINI, Edwaldo;PACCOLA,Herval,”Matemática”, 1. ed. São Paulo:
Editora Moderna, 2004.Coleção 2ª série Ensino Médio.
Livro B: GIOVANNI e BONJORNO, “Matemática Completa”, Volume 2, 2ª Ed.
São Paulo: Editora FTD,2005.
22
O livro A está de acordo com o PNLEM de 2006 e sua proposta sobre o
ensino de trigonometria no ensino médio concentra-se totalmente nesta coleção e
como sugestão deverá ser usada por alunos do 2º ano do Ensino Médio.
A sequência de apresentação do assunto nesta coleção é seguida por dois
capítulos. O primeiro capítulo é destinado a apresentação do ciclo trigonométrico e
o segundo à apresentação das funções trigonométricas.
No primeiro capítulo sobre o ciclo trigonométrico o autor começa no inicio do
tópico mostrando ao leitor ou aluno, como se deu a utilização do ciclo trigonométrico
na Historia antiga. Em seguida define circunferência, sua medida e seu
comprimento e introduz o radiano seguindo com medidas de arcos côngruos,
variação do valor do seno e do cosseno de um arco e seus arcos notáveis,
terminando o primeiro capítulo com tangente, cotangente, secante e cossecante no
ciclo trigonométrico.
Neste capítulo após a apresentação de cada tópico o autor deixa ao aluno
exercícios propostos, exercícios complementares, constando entre eles alguns
exercícios contextualizados para que sejam resolvidos.
No final do capítulo consta ainda uma atividade que pede ao aluno para que
reproduza e resolva perguntas relacionadas aos conceitos aprendidos neste
capitulo. Em seguida há alguns testes de vestibulares e questões para pensar, que
são exercícios contextualizados.
No capítulo posterior o autor apresenta ao aluno a utilização das funções
trigonométricas, o surgimento do termo trigonometria e as áreas de aplicações da
trigonometria e inicia então com uma definição da função seno (Figura 5).
A seguir pode se verificar a definição utilizada pelo livro:
Figura 5 – Definição utilizada para a função seno, no livro didático A
23
Após a definição da função seno o autor introduz o conceito de domínio,
imagem, periodicidade e imparidade da função seno, logo a seguir apresenta uma
construção gráfica utilizando uma tabela de valores para a função y=sen x e faz
algumas observações com relação ao intervalo gráfico do gráfico sobre máximo e
mínimo, intervalos crescentes ou decrescentes, período em que a função é positiva
e negativa.
Demonstra a função y = 3 sen (x/2) no plano cartesiano e faz comparações
com a função anterior y = sen x afirmando que “o fator 3 que aparece na função
dada puxou a curva para cima e para baixo. Já o fator ½ que apareceu,
multiplicando o arco- alterou o período de 2 π rad para 4 π rad”.
A figura 6 apresenta a demonstração utilizada pelo livro para explicar o
período de uma função.
Figura 6 – Demonstração utilizada para o período da função seno, do livro didático A.
Em seguida faz a representação gráfica da função y=-2+sen(x+ π) utilizando
a tabela de valores, identifica o domínio a imagem e o período e compara este
gráfico com o gráfico da função y=senx afirmando que “a parcela –2 que aparece na
função dada, deslocou a curva para baixo. Já a parcela π, que apareceu somada ao
arco deslocou a curva paralelamente ao eixo x. Isso nao produz alteração no
periodo da função, que é 2 π rad.”
No final desse tópico que trabalha com a função seno, o autor traz atividades
como exercícios propostos, na qual se trabalha com construção gráfica e
identificação da imagem e período de funções e uma atividade na qual pede se para
que determine o valor de p de modo que o período da função definida por y = sen
(px) seja a)π rad e b)2 π/3 rad , após essas atividades o livro traz a origem do nome
da função seno.
No segundo tópico o livro trabalha com a função cosseno trazendo sua
definição (Figura 7), apresentada a seguir :
24
Figura 7 – Definição utilizada para a função cosseno, no livro didático A
Após a definição da função cosseno, o livro traz o conceito de domínio e
imagem, periodicidade e paridade da função cosseno.
Demonstra os gráficos das funções y =cos x, y= 3 cos(x/2) e y =2 + cos(x+ π)
utilizando uma tabela para a construção gráfica e resolvendo as atividades de forma
análoga a função seno estudada anteriormente.
Traz uma atividade explicativa, ou seja, já resolvida na qual pede para que se
determine quais valores de k existe x tal que cosx= k/3 e em seguida traz exercícios
propostos para que o aluno realize a construção gráfica e identifique períodos.
Após a função seno e a função cosseno o livro traz ao aluno a função
tangente, outras funções trigonométricas, relações entre as funções
trigonométricas, redução ao 1º quadrante, relações entre as funções
trigonométricas de arcos complementares e funções trigonométricas da soma e da
diferença de dois arcos.
No terceiro capítulo o livro traz equações e inequações trigonométricas, leis
dos senos e cossenos.
Observa-se que as atividades realizadas com as funções seno e cosseno em
momento algum trazem o conceito de amplitude e suas atividades propostas não
trazem nenhuma contextualização.
Na construção gráfica das funções que o livro traz a tabela é abstrata e
descontextualizada e em nenhum momento o livro usa ângulos que necessitem
uma consulta a tabela trigonométrica.
25
As atividades são apresentadas de forma didática, na qual o livro tenta
transferir toda informação contida em seus tópicos não permitindo que o aluno
venha a descobrir por si só as alterações ocorridas entre os gráficos, as atividades
estão prontas e acabadas.
O livro B está de acordo com o PNLEM de 2009 e sua proposta sobre o
ensino de trigonometria no Ensino Médio concentra se totalmente nesta coleção e
como sugestão deverá ser usada por alunos do 2º ano do ensino médio.
A sequência de apresentação do assunto nesta coleção é seguida por um
capítulo e dividida em vinte e dois tópicos relacionados à trigonometria.
O primeiro assunto a ser tratado pelo livro sobre trigonometria é razões
trigonométricas no triângulo retângulo. O livro traz a tabela trigonométrica, em
seguida apresenta a calculadora científica, com instruções sobre transformações de
graus, minutos e segundos em graus mostrando sua utilização para o cálculo do
valor do seno, cosseno e tangente.
No tópico posterior, tráz uma tabela chamada, pelo livro, de “tabela de
valores importantes” com ângulos de 30, 45 e 60 graus e seus respectivos valores
para seno, cosseno e tangente, em seguida traz um exemplo de sua aplicação a ser
resolvido e exercícios para que sejam realizados pelos alunos.
A seguir o livro traz informações sobre seno e cosseno de ângulos
suplementares e lei dos cossenos, trazendo um exemplo de exercício a ser
realizado e outras atividades, continua com lei dos senos, área de um triângulo
qualquer circunferência: arco, ângulo central e comprimento, em seguida
apresentam unidade de medida de arcos e ângulos, circunferência trigonométrica
ou ciclo trigonométrico, seno e cosseno de um arco chegando ao tópico
Introduzindo o gráfico da função seno e função cosseno.
O livro inicia o estudo da função seno apresentando um gráfico da função
y = sen x e identificando o domínio e a imagem.
Na figura 8, pode se verificar a representação utilizada pelo livro para a
função seno.
26
Figura 8 – Representação da função seno, utilizada no livro didático B
No estudo do período da função, o livro traz a identificação através da
visualização gráfica e faz uma demonstração do período no ciclo trigonométrico.
O gráfico da função cosseno é apresentado e seus conceitos são
identificados da mesma forma da função seno.
A figura 9 apresenta a representação utilizada pelo livro didático para a
função cosseno.
Figura 9 – Representação da função cosseno utilizada no livro didático B
27
Define o conceito de paridade e traz exercícios sobre a função seno e a
função cosseno para serem resolvidos.
O capítulo destinado a trigonometria traz ainda tópicos sobre: tangente de um
arco, equações trigonométricas, cotangente de um arco, secante e cossecante de
um arco, relação trigonométrica fundamental, valor numérico de uma expressão
trigonométrica, propriedade dos arcos complementares, equações trigonométricas
que envolvem artifícios, fórmula da adição de arcos, fórmulas da multiplicação de
arcos, Identidades trigonométricas e inequações trigonométricas.
A função seno e a função cosseno são apresentadas por meio de uma
representação gráfica, sem trazer nenhuma definição das funções.
O livro não traz nenhuma informação sobre variáveis que interferem na
construção gráfica da função, não mencionando o conceito de amplitude, mudanças
de período e deslocamento vertical e horizontal do gráfico das funções.
Embora tenha tratado sobre valores de ângulos para função seno e cosseno
no tópico anterior, a construção gráfica utiliza valores dos ângulos das funções sem
relacionar com a tabela estudada.
No final das análises pode se destacar algumas observações que cabe aos
dois livros:
Não há atividades que explorem mudanças de representações, ou seja,
representação gráfica para representação algébrica, o livro não apresenta
mudanças de quadro cujos exercícios são formados em um único sentido.
Os exercícios de construção gráfica são realizados separadamente, ou seja,
cada gráfico no seu plano cartesiano não abordando de forma significativa os
conceitos das funções e em nenhum momento mencionam a utilidade das
tecnologias como os softwares gráficos, utilizados na aprendizagem de conceitos
relacionados às funções trigonométricas estudadas.
2.4 SOFTWARE GRAPHMATIC
O software Graphmatic é um programa de domínio público, criado por Keith
Hertzer, bacharel em Engenharia Elétrica e Ciência da Computação, traduzido em
diversas versões desde o original em inglês até traduções para o espanhol, francês,
28
coreano e português, podendo ser utilizado por professores e alunos no Ensino
Fundamental, Médio e Superior.
O Graphmatic é um aplicativo capaz de representar graficamente funções de
qualquer grau, funções exponenciais, logarítmicas, trigonométricas, hiperbólicas,
entre outras. Útil também no cálculo diferencial e integral: hachura áreas para
ilustrar integrais, cria gráficos de equações diferenciais ordinárias e desenha
gráficos de derivadas. Em trigonometria, o software trabalha com ângulo em graus
ou em radianos. Os gráficos podem ser representados com coordenadas
cartesianos ou em polares, facilitando a criação de figuras envolvendo funções
trigonométricas.
O software possui uma tela para formação dos gráficos, possui barra de
menus e barra de botões com os principais comandos usados e uma área para
editar as funções.
Através do menu Ver é possível introduzir o intervalo da Grelha da maneira
que achar mais conveniente, se precisar verificar os pontos da função utiliza-se a
Tabelas de Pontos.
Possui o Editor de Gráfico de Dados, na qual o usuário pode introduzir na
tabela alguns pontos que achar conveniente e se precisar inserir valores para as
variáveis utilizadas encontrará essa possibilidade no Painel de Variáveis.
No menu Opções, pode-se ajustar o papel do gráfico, alterar legendas,
etiquetas, cores, fontes e há possibilidade de utilizar opções logarítmicas alterando
base do logaritmo se for preciso.
O menu Ferramentas possui três funções distintas: calcular, intersecção e
funções, que fornece ao usuário a possibilidade de calcular valores de x ou y da
função trabalhada para algum número digitado, interseccionar duas equações e em
funções, o usuário poderá digitar várias funções como f(x), g(x), h(x) ou
parametrizada f(t).
Serão analisados dois livros didáticos que apresentam o conteúdo de função
seno e cosseno, observando suas características e investigando como se dá a
construção do conhecimento através desse material muito utilizado pelos alunos.
29
CAPÍTULO 3
3.1 PRESUPOSTOS TEÓRICOS
Neste capítulo será apresentado, a fundamentação teórica utilizada neste
trabalho, baseada na Teoria das Situações Didáticas de Guy Brousseau e a teoria
dos Registros de Representação Semiótica de Raymond Duval revelando sua
importância na construção do conhecimento em relação a função seno e cosseno.
3.1.1 REGISTRO DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA
Raymond Duval, pesquisador Francês, filósofo e psicólogo, desenvolveu a
Teoria dos Registros de Representação Semiótica, com a intenção de compreender
as dificuldades muitas vezes insuperáveis que muitos alunos têm na compreensão
da matemática, a natureza dessas dificuldades e onde se encontram, Duval (2003)
afirma que não podemos nos restringir ao campo matemático ou à sua historia. É
necessária uma abordagem cognitiva, pois o objetivo do ensino da matemática, em
formação inicial, não é nem formar futuros matemáticos, nem dar aos alunos
instrumentos que só lhes serão eventualmente úteis muito mais tarde e sim
contribuir para o desenvolvimento geral de suas capacidades de raciocínio, de
análise e de visualização”.
Para Duval (2003), a originalidade de uma abordagem cognitiva não esta em
partir dos erros para tentar determinar as “concepções” dos alunos e a origem de
suas dificuldades e sim procurar inicialmente descrever o funcionamento cognitivo
que faça com que o aluno compreenda, efetua e consiga controlar a diversidade
dos processos matemáticos em cada conceito apresentado durante sua
aprendizagem e afirma que a diferença entre a atividade cognitiva requerida pela
matemática ou em outros domínios do conhecimento não está nos conceitos e sim
na importância das representações semióticas, nas quais se devem a duas razões
fundamentais, como as possibilidades de tratamento matemático e fato dos objetos
matemáticos, como pelos números que não são perceptíveis ou observáveis com a
30
ajuda de instrumentos e na grande variedade de representações semióticas
utilizadas em matemática.
Para diferenciar os diversos tipos de representações semióticas utilizadas em
matemática, Duval (2003) utiliza o termo “registro”, que se divide em Registros
Multifuncionais e Registros Monofuncionais.
Nos Registros Multifuncionais, os tratamentos não são algoritmizáveis, a
representação discursiva é dividida em língua natural, associações verbais
(conceituais), forma de raciocinar, como argumentação a partir de observações,
crenças, por exemplo, e de dedução válida a partir de definição ou teoremas e a
representação não-discursiva dividida em figuras geométricas planas ou em
perspectiva, apreensão operatória e não somente perceptiva e construção com
instrumentos.
Nos Registros Monofuncionais, os tratamentos são principalmente
algoritmos, a representação discursiva é identificada por sistemas de escritas
numéricas, algébricas e simbólicas e a representação não discursiva, os gráficos
cartesianos, suas mudanças de sistema de coordenadas e interpolação e
extrapolação.
Segundo Duval (2003), em uma resolução de um problema, um registro pode
aparecer em evidência, mas deve existir sempre a possibilidade de passar de um
registro ao outro e a articulação desses diferentes registros é condição para a
compreensão em matemática.
A diversidade dos registros de representação semiótica, mobilizada
obrigatoriamente é uma das características importantes da atividade matemática.
Duval (2003) destaca, ainda, os dois tipos diferentes de transformação de
representações semióticas: os tratamentos e as conversões:
Os tratamentos são transformações de representações dentro de um mesmo
registro, por exemplo: efetuar um cálculo ficando estritamente no mesmo sistema de
escrita ou de representação dos números; resolver uma equação ou um sistema de
equações; completar uma figura sendo critérios de conexidade e de simetria.
As conversões são transformações de representações que consistem em
mudar de registro, conservando os mesmos objetos denotados: por exemplo,
passar da escrita algébrica de uma equação a sua representação gráfica. Como
pode ser visto a seguir, na figura 10:
31
Figura 10 – Esquema de organização semiótica e do funcionamento das representações gráficas
O objeto matemático nessa pesquisa é a aprendizagem do aluno com
relação ao conceito de amplitude, período e deslocamento vertical da função seno e
cosseno, as conversões utilizadas são da gráfica para algébrica e vice-versa, e o
tratamento utilizado é a representação algébrica dessas funções.
Segundo Duval (2003), do ponto de vista matemático, a conversão intervém
somente para escolher o registro nos quais os tratamentos a serem realizados são
mais significantes ou para obter um segundo registro que serve de suporte ou de
guia aos tratamentos que se efetivam em outro registro, e afirma que, há por trás da
aplicação de uma regra de codificação para passar uma equação a um gráfico
cartesiano, a necessária articulação entre as variáveis cognitivas que são
especificas do funcionamento de cada um dos dois registros”.
A conversão das representações, quaisquer que sejam os registros
considerados é irredutível a um tratamento.
Duval (2003) afirma que passar de um registro de representação a outro não
é somente mudar o modo de tratamento é também explicar as propriedades ou os
aspectos diferentes de um mesmo objeto, e essa articulação constitui uma condição
de acesso à compreensão em matemática.
Utilizaremos a Teoria dos Registros de Representações Semióticas para
compreender o funcionamento cognitivo da compreensão de funções
trigonométricas: função seno e função cosseno e suas propriedades.
32
3.1.2 TEORIA DAS SITUAÇÕES DIDATICAS
Essa teoria foi desenvolvida por Guy Brousseau (1986), pesquisador francês
da Universidade de Bourdeaux e tem por objetivo caracterizar um processo de
aprendizagem por situações.
Segundo Almouloud (2007) essa teoria busca criar um modelo de interação
entre o aprendiz, o saber e o meio em que será desenvolvido o processo de ensino
aprendizagem por uma série de situações reprodutíveis, levando a um conjunto de
modificações comportamentais dos alunos e tem por objeto central de estudo a
situação didática, identificadas nas relações estabelecidas entre professor, aluno e
saber e o sistema didático strictu sensu (Figura 11).
Figura 11 – Triângulo didático
Brousseau (1986) define situação adidática como um caminho percorrido
para se chegar a uma situação didática, na qual o aluno busca o conhecimento sem
nenhuma participação efetiva do professor, na qual a intenção didática deve estar
presente, mas não revelada, ou seja, não há interferência no processo de
construção do conhecimento.
33
O professor, nesse processo, é mediador da atividade e o responsável pela
construção do conhecimento através de atividades previamente elaboradas, que
criam condições para que o aluno aceite essa responsabilidade de desenvolver a
atividade construindo seu conhecimento.
Segundo Almouloud (2007) para analisar o processo de aprendizagem,
Brousseau divide a Teoria das Situações Didáticas em três fases adidáticas: ação,
formulação e validação.
Na fase de ação é permitido ao aluno julgar o resultado de sua ação e ajustá-
lo se achar necessário, adaptando sua aprendizagem sem intervenção do
professor.
Na fase de formulação ocorre a troca de informações com as pessoas
envolvidas na atividade, na qual o aluno utiliza uma linguagem compreensível a
todos, com o propósito de apresentar ferramentas para resolução da atividade.
Na fase de validação o aluno é levado a provar o modo de resolução da
atividade ou o caminho seguido, que foi decidido anteriormente na fase de ação.
Na fase da institucionalização, a situação passa a ser didática e de
responsabilidade do professor, que finaliza a atividade tornando o saber oficial e
seus alunos o incorporam em seus esquemas mentais e este saber estará
disponível para resolução de problemas matemáticos.
As estratégias e regras utilizadas durante a atividade são estabelecidas
através de um contrato didático.
Conforme Almouloud (2007), Guy Brousseau introduziu a noção de contrato
didático, com objetivo de analisar as relações estabelecidas explicitamente ou
implicitamente entre o professor e os alunos, suas influências sobre o ensino
aprendizagem de matemática e a aquisição de saberes pelos alunos.
Nesta pesquisa a Teoria das Situações Didáticas contribuirá para que os
alunos possam vivenciar suas fases de ação, formulação e validação e a fase
desenvolvida pelo professor de institucionalização por meio de atividades
desenvolvidas em sala de aula e na sala de informática.
As fases de ação, formulação e validação estão presentes no momento em
que os alunos realizam a leitura e a interpretação do enunciado, faz a construção
gráfica e através de análise e discussão da atividade com o parceiro da dupla,
valida ou não suas estratégias de resolução utilizadas, registrando suas
observações na folha de resposta da atividade.
34
A fase de Institucionalização ocorrerá no final das atividades, quando o
professor revelar a intenção didática através de atividades realizadas em sala de
aula e de informática, solucionando dúvidas referentes aos conceitos envolvidos na
função seno e cosseno, finalizando dessa maneira o processo de ensino
aprendizagem desse conteúdo.
Diante desse quadro, o próximo passo será a introdução de atividades
relacionadas à função seno e cosseno seguindo uma seqüência didática com o
objetivo de investigar a construção do conhecimento.
3.2 ASPECTOS METODOLOGICOS
Será apresentada a metodologia da pesquisa que aborda os conceitos da
Engenharia Didática, a apresentação dos sujeitos envolvidos e a descrição da
aplicação da atividade.
3.2.1 ENGENHARIA DIDÁTICA
Foi utilizada a Engenharia Didática de Michele Artigue (1996), na qual foi
constatada a investigação de produções realizadas em sala de aula, envolvendo o
conceito de função seno e função cosseno através do desenvolvimento de uma
sequência didática.
A engenharia didática surgiu no inicio da década de 1980, segundo Artigue,
caracterizava se por um esquema experimental baseado na concepção, na
realização, na observação e na análise de sequências de ensino, com o objetivo de
etiquetar uma forma de trabalho didático.
Artigue (1986) afirma que faz parte da engenharia didática outros tipos de
investigação baseados na experimentação na sala de aula e pelo registro no qual
se situa e pelos modos de validação que lhe estão associados.
Machado (2008) distingue dois níveis de engenharia didática: micro engenharia e a
macro engenharia.
35
A microengenharia é aquela que têm por objeto o estudo de um determinado
assunto levando em conta a complexidade dos fenômenos em sala de aula.
É caracterizada pelo registro dos estudos feitos sobre o caso em questão e
pela validação feita internamente, na qual se baseia na confrontação entre a análise
à priori apoiada no quadro teórico e a analise posteriori.
A macroengenharia permite compor a complexidade das pesquisas de micro
engenharia com os fenômenos ligados a duração nas relações de ensino
aprendizagem.
3.2.2 FASES DA METODOLOGIA DA ENGENHARIA DIDÁTICA
Artigue (1996) apresenta quatro fases da Metodologia de Engenharia:
Análises prévias;
Da concepção e da analise a priori das situações didáticas da engenharia;
Da experimentação;
Da análise a posteriori e da avaliação
As análises prévias
Esta fase, segundo Artigue (1996) consiste nas análises preliminares das
concepções, dificuldades, erros dos alunos pesquisados e a forma de provocar a
evolução dessas concepções.
Essas análises, segundo Machado, são feitas através de considerações
sobre o quadro teórico didático geral e sobre os conhecimentos didáticos já
adquiridos sobre o assunto em questão, da seguinte forma:
- a análise epistemológica dos conteúdos contemplados pelo ensino;
- a análise do ensino atual e de seus efeitos;
-a análise da concepção dos alunos, das dificuldades e dos obstáculos que
determinam sua evolução,
- a análise do campo dos entraves no qual vai se situar e efetiva realização
didática.
36
As dificuldades encontradas pelos alunos em compreender o conceito de
amplitude, período e deslocamento vertical e a fundamentação teórica utilizada na
pesquisa define a análise prévia utilizada.
Concepção e análise a priori
Nesta fase o investigador elabora uma sequência didática que deverá ser
aplicada, apoiando-se no referencial teórico e nas análises prévias.
Segundo Artigue (1996), o investigador toma a decisão de agir sobre um
determinado número de variáveis de sistema, que supõe serem pertinentes ao
problema estudado.
Essas variáveis de sistema são conhecidas, segundo Artigue (1996), como
variáveis de comando, podendo ser divididas em dois tipos.
- Variáveis macrodidáticas ou globais que dizem respeito à organização global da
engenharia
- Variáveis microdidáticas ou locais, que dizem respeito à organização local da
engenharia
Artigue (1996) afirma que o objetivo da análise a priori, tem por finalidade
determinar de que forma permitem as escolhas efetivadas controlar os
comportamentos dos alunos e o sentido desses comportamentos.
Nesta pesquisa a análise a priori é formada por uma sequência didática,
pelas resoluções das atividades e suas respectivas respostas e pela descrição do
comportamento dos alunos durante a realização das atividades.
Experimentação
Artigue (1996) considera esta fase como clássica. É seguida da análise
posteriori, sendo apoiada em observações realizadas nas sessões de ensino e
pelas produções dos alunos em sala de aula e fora dela, obtidas através de
questionários, testes individuais ou em grupos, realizados em vários momentos do
ensino ou no final.
Machado (2008) afirma que esta fase inicia se no momento em que se dá o
contato pesquisador / professor / observador (es) e com a população de alunos
que é o objeto da investigação.
37
Os dados nessa pesquisa serão coletados a partir de produções dos alunos,
escritas através de questionários e anotações do professor.
Análise a posteriori e validação
Segundo Machado (2008), esta fase apóia-se sobre os dados coletados
durante a experimentação constante das observações realizadas durante cada
sessão de ensino, bem como das produções dos alunos em classe ou fora dela.
Nesta fase há o confronto das duas análises, a priori e a posteriori, buscando
investigar o levantamento das hipóteses e a sua validação ocorrida durante a
análise a priori.
As considerações finais apresentadas estão baseadas na realização desta
análise.
38
CAPÍTULO 4
COLETA E ANÁLISE DOS DADOS
4.1 PARTICIPANTES DA PESQUISA
A pesquisa de campo foi realizada em uma escola da rede estadual de São
Paulo, situada na Zona Oeste da capital, no bairro de Parada de Taipas,
pertencente ao subdistrito de Pirituba.
Foi solicitada autorização (por escrito) à direção da escola e aos pais dos
alunos/ responsáveis para realização da pesquisa com os alunos do 2º ano do
Ensino Médio.
4.2 DESCRIÇÃO DA APLICAÇÃO DAS ATIVIDADES
Aos alunos foram esclarecidos os objetivos da pesquisa e foram convidados
para participar dessa experiência. A pesquisa foi realizada com 16 alunos que se
prontificaram, voluntariamente, a participar em horário especial, ou seja, realizariam
as atividades no horário das aulas de Educação Física de outras salas que
permaneceriam vazias, dessa maneira não haveria necessidade de vir em outro
horário.
Foram realizadas quatro sessões de aproximadamente 50 minutos cada
uma, separadas uma da outra por no mínimo três dias e no máximo uma semana
As atividades foram realizadas com oito duplas, na intenção de provocar a
interação entre os alunos. A discussão das atividades ficava limitada apenas as
duplas e foram orientados para que não apagassem as tentativas de resolução,
mesmo aquelas que julgassem erradas, para que durante a análise dessas
atividades fosse possível entender através da estratégia utilizada de resolução a
maneira de pensar dos participantes.
39
Algumas das atividades propostas foram retiradas do Caderno do Aluno do
ensino médio da 2ª série do volume um de 2009, que se refere à construção de
gráficos de funções trigonométricas dadas a equação que as representam,
identificando alguns parâmetros importantes do modelo ondulatório para a
descrição matemática de fenômenos periódicos e determinando a equação da
função representada por um gráfico dado. As sessões ocorreram nas dependências
da escola, no período da manhã, em salas de aula organizadas com carteiras em
duplas e na sala de informática os alunos sentavam juntos para realização das
atividades, conforme as duplas formadas realizando as atividades sem nenhuma
intervenção do professor que foi mediador das atividades e recolheu as mesmas
sem fazer nenhuma correção ou observação sobre o trabalho realizado.
Com a intenção de preservar o anonimato dos participantes deste trabalho,
os alunos foram divididos em duplas, sem mencionar seus nomes.
Após obter todos os dados e realizar as análises, foram produzidas as
considerações finais, levantadas através de estudos preliminares e das análises a
priori e posteriori.
4.3 ANÁLISE DA SEQUÊNCIA
Com o objetivo de investigar as concepções dos alunos do segundo ano do
Ensino Médio sobre os conceitos envolvidos nas funções seno e cosseno, uma
sequência de ensino foi elaborada e aplicada para análise dos resultados obtidos.
A sequência foi elaborada com base na Teoria dos Registros de
Representação Semiótica de Raymond Duval (2003).
O objeto matemático utilizado na pesquisa é a aprendizagem do aluno com
relação a conceitos da função seno e cosseno, com o auxílio do software
Graphmatic.
Segundo Duval (2003), quanto maior a articulação entre os diferentes tipos
de registro, maior será a possibilidade de apreensão desse objeto. Dessa maneira
pretende-se, favorecer a conversão de registros de representação algébrica para
registros de representação gráfica e vice versa, trabalhar com registro numérico de
tabela e de linguagem natural e com tratamentos, utilizando algoritmos de
40
operações aritméticas com escrita decimal ou com escrita fracionária. Pretende se
fazer com que os alunos compreendam os tipos de representações que uma função
pode ter.
Durante a realização da atividade, os alunos usaram o registro na língua
natural para registrar as alterações ocorridas nas representações gráficas e
algébricas da função seno e cosseno.
Para resolução das atividades, a mobilização de conhecimentos matemáticos
dos estudantes deveria seguir a lógica pertinente aos registros de representação
semiótica, apresentados anteriormente, os quais, segundo Duval (2003), constituem
uma condição de acesso à compreensão em Matemática. A construção de
atividades que permitam esta mobilização passa por uma situação adidática,
desenvolvida através de elementos de ação, formulação e validação por parte do
aluno, de modo a permitir que o professor, em um momento seguinte, estabeleça
uma situação de institucionalização (Brousseau, 1986).
Nesta pesquisa as atividades sobre o estudo de conceitos relacionados à
função seno e cosseno seguirão esse contexto teórico.
4.3.1 Objetivo das atividades propostas na pesquisa
O objetivo das atividades realizadas é de identificar mudanças ocorridas que
as constantes A, B e C de uma função f(x) = A + B sen Cx ou f(x) = A + B cos Cx
acarretam na representação gráfica, através de um processo de ação, formulação e
validação conforme a Teoria das Situações Didáticas de Brousseau (1986) e aplicar
os conceitos adquiridos para resolver atividades que envolvam passagens de
registros de representação conforme Teoria dos Registros de Representação
Semiótica de Raymond Duval (2003).
A atividade será realizada em dois momentos, primeiramente com lápis e
papel e posteriormente com o uso do software Graphmatic, que permite a interação
do aluno com o meio material de forma dinâmica, no momento de representar a
função apresentada no registro algébrico para representação gráfica.
41
4.5 Análises a priori das atividades realizadas em sala de
aula
Para determinação das atividades temos o meio material do aluno, que são:
o lápis, papel sulfite, papel quadriculado e as representações gráficas construídas
por ele, disponíveis para realização das atividades.
As atividades estão compostas no registro de partida da língua natural e os
alunos deverão mudar do registro algébrico para o registro gráfico e registrar, na
folha de repostas, as mudanças ocorridas entre os gráficos construídos, durante a
realização dessas atividades o papel do professor será de mediador, não havendo
nenhuma intervenção de sua parte.
Através de conhecimentos prévios, espera se que as duplas, após a
construção gráfica das funções, façam conjecturas à respeito do coeficiente a,
passando para a fase de formulação obtida através da resolução e análise dos
resultados de suas atividades.
As duplas mobilizarão conhecimentos prévios de plano cartesiano, conjuntos
numéricos, coordenadas cartesianas, função seno e função cosseno,
representações gráficas, coeficiente e amplitude do gráfico sejam utilizados pelo
aluno como ferramentas para resolução das atividades.
Espera-se que os alunos visualizem os gráficos das funções observe sua
formação e compreenda os conceitos envolvidos nas atividades propostas.
De acordo com esta análise, os procedimentos seguintes seriam os
esperados, quando um determinado sujeito resolvesse corretamente a questão:
O aluno preenche a tabela de ângulos corretamente;
O aluno preenche os valores dos ângulos corretamente;
O aluno calcula o ângulo da segunda função para inserir no eixo x;
O aluno calcula corretamente os valores dos ângulos nas funções;
O aluno orienta os eixos cartesianos e seus respectivos valores;
O aluno orienta no eixo cartesiano os pares ordenados;
O aluno faz a conversão de registro algébrico para o registro gráfico e
constrói o gráfico utilizando a tabela preenchida,
O aluno visualiza o gráfico construído e percebe as modificações ocorridas
entre as funções construídas.
42
Além disso, devem ser consideradas as variáveis didáticas pertinentes a
essa questão, que seriam:
a) Tipos de função e a representação gráfica
f(x) = sen x
f(x) = cos x
b) Conjunto dos números utilizados para valores do coeficiente a:
Números Inteiros
Números Racionais
c) Quantidade de valores de coeficientes das funções:
Na atividade, apresentam-se valores distintos para utilização do coeficiente a,
para que seja feita a representação gráfica em um mesmo eixo cartesiano.
O instrumento utilizado para a recolha e posterior análise de dados trazia
uma parte de suas questões que deveriam ser resolvidas com ferramentas
tradicionais (lápis e papel quadriculado/papel simples) e outra parte para ser
trabalhada com o auxílio do software Graphmatic. De acordo com Oliveira (2009),
uma estratégia pedagógica que ofereça suporte ao desenvolvimento da construção
do conhecimento matemático utiliza-se de variadas interfaces e instrumentos,
considerando tecnologias digitais, bem como aquelas outras de aplicação clássica,
como, por exemplo, lápis e papel, esquadro, compasso, etc. Isto porque não são as
tecnologias, sofisticadas ou simples, que farão o trabalho pedagógico, mas a
orientação do professor, pensada na forma de estratégia para abordagem de
determinado conteúdo, bem como o trabalho dos estudantes diante de situações-
problema em relação às quais vivenciam situações adidáticas, nas quais podem,
sobre determinado contexto matemático, agir, formular e validar suas conjecturas,
sob orientação do professor (Brousseau, 1987). Assim, a diversificação dos
suportes para o trabalho das duplas com as questões do instrumento baseia-se em
uma estratégia de ensino que considera múltiplas possibilidades de mobilização dos
conhecimentos prévios, bem como de avanço em direção a novos ganhos
cognitivos. Para Oliveira (2009, p. 6):
43
A amplitude desta estratégia permite compreender as chamadas tecnologias “tradicionais” (uso de sólidos, giz e lousa, lápis e papel, régua e compasso, etc) como outras abordagens, igualmente válidas, e que podem, em dados momentos, apresentar maior pertinência, de acordo com o cenário, os sujeitos, as disponibilidades de infra-estrutura tecnológica, entre outros elementos. (...) O termo software didático é meramente relativo, no máximo, a uma intenção, mas que sua efetividade didática depende de estratégia, planejamento, crítica, debate e significação. Não há software didático, por si, assim como não há tecnologias que educam.
Desta forma, a primeira questão do instrumento assumiu a forma exibida no
próximo quadro, dividida em duas partes distintas.
Atividade 1
1 - Complete as tabelas e construa os gráficos utilizando um sistema de eixos cartesianos para os
dois tipos de funções.
Questão A: y = senx e y = 2,5sen x
Questão B: y = cosx e y = 2,5cos x
1A - Analisando os gráficos, responda:
a) Comparando os gráficos da questão A, houve alguma diferença na representação dos
mesmos? Se houve diferença, indique e explique quais foram.
b) Comparando os gráficos da questão B, houve alguma diferença na representação dos
mesmos? Explique, caso tenham existido, as diferenças encontradas.
Quadro 01 – Atividade 1 do instrumento de pesquisa
4.5.1 Análise a priori da Atividade 1
Em função dos enunciados acima, a expectativa era a de que, em
caso de acerto as duplas obtivessem como resultados os gráficos semelhantes aos
expostos.
44
Gráfico 01 – Expectativa de resolução gráfica da questão A
Gráfico 02 – Expectativa de resolução gráfica da questão B
A atividade tem como propósito explorar a mudança de amplitude entre os
gráficos das funções seno e os gráficos das funções cosseno, utilizando números
decimais para o coeficiente a.
As possíveis dificuldades nesta atividade poderão ocorrer no momento de
representar os valores obtidos da tabela nos eixos cartesianos para a realização da
construção gráfica.
45
4.5.2 Análise a posteriori da atividade 1, questão A
Durante a realização da atividade, as duplas não tiveram dúvidas em fazer os
cálculos para o preenchimento da tabela, com exceção da dupla H, que na segunda
função não conseguiu efetuar o cálculo de maneira correta para a função y = 2,5
senx. Com isso, pode-se entender que a maioria dos sujeitos estava apta a transitar
entre os registros algébricos para outro, em forma de tabela, bem como deste último
para o algébrico, conforme as asserções teóricas de Duval (2003). Quanto ao erro
cometido, percebe-se que é de natureza aritmética, o que geralmente é chamado,
de forma corriqueira, como “erro de conta”.
Figura 12 – Protocolo da Atividade1, questão A, realizado pela dupla H
Na realização dos gráficos das funções, as duplas B, F e G representaram de
maneira incorreta os pares ordenados no eixo cartesiano, não utilizaram uma escala
adequada, apresentando dificuldades ao fazer a conversão do registro na forma de
tabela para o registro gráfico.
Figura 13 – Protocolo da Atividade1, questão A, realizado pela dupla H
46
A dupla D construiu o gráfico parcialmente, mas de maneira incorreta, ligando
de forma linear os pontos através de segmentos. Esta característica parece indicar
uma dificuldade de superar a visão relativa a uma abordagem de funções em geral
baseada na construção de gráficos muito parecidos como exemplo de sala de aula
– os alunos podem ter relacionado a existência dos pontos com a idéia de função
afim, o que caracteriza um obstáculo epistemológico (Almouloud, 2004). A dupla H
fez somente um gráfico correto, devido ao erro de cálculo mencionado
anteriormente, enquanto que as duplas A, C, E conseguiram realizar a construção
gráfica de maneira correta.
Figura 14 – Protocolo da Atividade1, questão A, realizado pela dupla D
No momento de analisar e identificar e registrar as mudanças ocorridas entre
os dois gráficos da função somente as duplas A, C e E conseguiram visualizar as
diferenças ocorridas nas representações gráficas, pois preencheram a tabela
corretamente, não encontrando dificuldades em representar adequadamente a
função solicitada. As duplas B, D, F, G e H não conseguiram visualizar e identificar
as diferenças entre os gráficos, pois não ocorreu a conversão do registro de tabela
para o registro gráfico corretamente, errando na construção gráfica.
Figura 15 – Protocolo da Atividade1, questão A, realizado pela dupla A
47
Pode se notar que as duplas que conseguiram realizar corretamente o
preenchimento da tabela e a construção gráfica das funções também conseguiram
analisar e identificar as mudanças ocorridas entre os dois gráficos, demonstrando
possuir conhecimento sobre o conceito envolvido na atividade. É possível perceber
que nessa atividade que envolve número decimal utilizado no coeficiente que altera
a amplitude do gráfico das funções, as duplas não tiveram muitas dúvidas no
preenchimento da tabela, o que não ocorreu no momento de realizar as construções
gráficas, houve muitos erros o que de certa forma contribuiu para um mau
desempenho no momento de realizar a análise dos gráficos
Nas atividades haverá uma tabela para demonstrar o desempenho das
duplas, na qual será utilizada esse mesmo critério para todas as análises: acertos
representados por SIM, erros por NÃO, resolução parcialmente correta por P1 e
quando não a dupla não fizer o exercício por NF.
DUPLAS TABELA GRÁFICO ANÁLISE
A SIM SIM SIM
B SIM NÃO NÃO
C SIM SIM SIM
D SIM P NÃO
E SIM SIM SIM
F SIM NÃO NÃO
G SIM NÃO NÃO
H NÃO P NÃO
Tabela 01 – Desempenho relativo a atividade 1, questão A, do instrumento de pesquisa.
4.5.3 Análise a posteriori da questão B da Atividade 1
No momento de preencher a tabela, as duplas realizaram seus cálculos
corretamente, com exceção da dupla A, que atribuiu por engano, os valores dos
ângulos da função cosseno errados, semelhantes ao da função seno.
1 Entende-se, nesta análise, por “parcialmente correta” a resolução que traz elementos corretos até certo ponto
(por exemplo, preenchimento correto da tabela de valores ou cálculos feitos acertadamente), mas que apresentas
erros ou concepções equivocadas em algum momento (transposição inadequada dos pontos para o gráfico, por
exemplo, ou traçar incorretamente a curva da função).
48
Figura 16 – Protocolo da Atividade1, questão B, realizado pela dupla A
Na construção gráfica, as duplas A, B, F e G não realizaram adequadamente
a correspondência entre os pares ordenados e não utilizam uma escala correta,
representando o gráfico de maneira incorreta, a dupla D construiu o gráfico
parcialmente, semelhante aos gráficos da questão anterior, ligando linearmente os
pontos através de segmento de retas, método utilizado semelhante à construção
gráfica da função afim, a dupla A não representou corretamente devido ao erro no
preenchimento da tabela e as duplas C, E, H conseguiram realizar a construção
gráfica, realizando a conversão do registro de tabela para o registro gráfico
corretamente.
Figura 17 – Protocolo da Atividade1, questão B, realizado pela dupla G
49
Figura 18 – Protocolo da Atividade1, questão B, realizado pela dupla F
Na análise e registro das mudanças ocorridas entre os dois gráficos da
função, as duplas C, D e G conseguiram visualizar e identificar corretamente as
diferenças ocorridas, registrando em sua folha de resposta. Embora as duplas D e
G tenham construído seus gráficos de maneira incorreta conseguiram identificar as
diferenças. O gráfico da dupla G, visto na figura 15, não está correto, mas a dupla
conseguiu identificar as diferenças por que ambos os gráficos terminam no mesmo
período, demonstrando ter conhecimento sobre o conceito. A dupla E acertou
parcialmente, pois identificou a mudança na amplitude, mas registrou também que a
imagem permanecia a mesma, respondendo erroneamente e demonstrando
desconhecer o conceito de imagem. A dupla H construiu os gráficos das funções
corretamente, mas não conseguiu visualizar e identificar corretamente as
diferenças, demonstrando desconhecer os conceitos, conforme figura abaixo.
Figura 19 – Protocolo da Atividade1, questão B, realizado pela dupla H
Nesta atividade com a função cosseno utilizando o mesmo número para o
coeficiente a, utilizado anteriormente na atividade da função seno, percebe se que o
resultado no desempenho das duplas são semelhantes.
50
DUPLAS TABELA GRÁFICO ANÁLISE
A NÃO NÃO NÃO
B SIM NÃO NÃO
C SIM SIM SIM
D SIM P SIM
E SIM SIM P
F SIM NÃO NÃO
G SIM NÃO SIM
H SIM SIM NÃO
Tabela 02 - Desempenho relativo à atividade 1, questão B, do instrumento de pesquisa
ATIVIDADE 2
2 - Complete as tabelas e construa os gráficos utilizando um sistema de eixos cartesianos para os
dois tipos de funções.
Questão C: y = senx e y = sen (x/2)
Questão D: y = cosx e y = cos (x/4)
2A - Analisando os gráficos, responda:
a) Comparando os gráficos da questão E, houve alguma diferença na representação dos
mesmos? Se houve diferença, indique e expliquem quais foram.
b) Comparando os gráficos da questão F, houve alguma diferença na representação dos
mesmos? Explique, caso tenham existido, as diferenças encontradas.
Quadro 02 – Atividade 2 do instrumento de pesquisa
4.5.4 Análise a priori da Atividade 2
Em função dos enunciados acima, a expectativa era a de que, em caso de
acerto as duplas obtivessem como resultados os gráficos semelhantes aos
expostos.
Gráfico 03 – Expectativa de resolução gráfica da questão C
51
Gráfico 04 – Expectativa de resolução gráfica da questão D
A atividade tem como propósito explorar a mudança de período entre os
gráficos das funções seno e os gráficos das funções cosseno, utilizando números
fracionários.
As possíveis dificuldades nesta atividade poderão ocorrer no momento de
representar os valores dos ângulos no eixo do x.
4.5.5 Análise a posteriori da Atividade 2, questão C
As duplas A e C calcularam erroneamente os ângulos correspondentes,
cometendo erros aritméticos e nos valores referentes à segunda função, calcularam
substituindo o valor de x na função, método semelhante ao utilizado para outros
tipos de funções, demonstrando não compreender o preenchimento da tabela para
esta atividade, a dupla D não conseguiu realizar essa atividade, as demais duplas
preencheram a tabela corretamente.
Figura 20 – Protocolo da Atividade 2, questão C, realizado pela dupla A
Na realização da construção dos gráficos das funções, as duplas A, B e H
representaram de forma incorreta os pares ordenados não realizando sua
correspondência adequadamente no eixo cartesiano, não conseguindo fazer os
gráficos corretamente, a dupla D não conseguiu realizar a construção dos gráficos,
52
as duplas E e G construíram os gráficos da função y=senx corretamente, no gráfico
da função y= sen(x/2), realizaram sua construção errando na representação dos
ângulos do eixo x, a dupla C errou o segundo gráfico, pois registrou de maneira
incorreta seus valores na tabela, mencionado anteriormente e a dupla F realizou a
conversão do registro de tabela para o registro gráfico, no entanto não os fez no
mesmo eixo, pois sentiram dificuldades.
Figura 21 – Protocolo da Atividade 2, questão C, realizado pela dupla G
Figura 22 – Protocolo da Atividade 2, questão C, realizado pela dupla C
No momento de analisar, identificar e registrar as mudanças ocorridas entre
os dois gráficos da função, somente as duplas C, E e G mesmo não fazendo os
gráficos corretamente, conseguiram identificar as diferenças ocorridas, pois
visualizaram somente a mudança do período, demonstrando compreender o
conceito, as duplas A, B e F erraram em suas respostas não identificando
53
corretamente as mudanças ocorridas, pois erraram em suas construções gráficas, e
as duplas D e H não registraram nenhuma análise, pois sentiram dificuldades em
realizar o registro de tabela corretamente o que comprometeu toda atividade.
Figura 23 – Protocolo da Atividade 2, questão C, realizado pela dupla C
As duplas sentiram bastantes dificuldades no preenchimento da tabela
cometendo erros aritméticos. Comparando com a atividade 1, parte A, que
trabalhou com o conceito de amplitude, percebe-se que as duplas sentem mais
dificuldades nas atividades que envolvem o conceito de período da função.
DUPLAS TABELA GRÁFICO ANÁLISE
A NÃO NÃO NAO
B SIM NÃO NAO
C NÃO P SIM
D NF NF NF
E SIM P SIM
F SIM P NAO
G SIM P SIM
H NAO NAO NF
Tabela 03 – Desempenho relativo a atividade 2, questão C, do instrumento de pesquisa
4.5.6 Análise a posteriori da Atividade 2, questão D
A dupla B realizou o preenchimento da tabela corretamente, a dupla D não
realizou a atividade, alegando sentir dificuldades, as demais duplas preencheram
corretamente os valores para a primeira função, na segunda função cometeram
erros aritméticos no momento de calcular os ângulos correspondentes e no
preenchimento do valor da segunda função, calcularam substituindo o valor de x na
54
função, método semelhante ao utilizado para outros tipos de funções,
demonstrando não compreender o preenchimento dessa tabela.
Figura 24 – Protocolo da Atividade 2, questão D, realizado pela dupla E
Figura 25 – Protocolo da Atividade 2, questão D, realizado pela dupla E
A dupla B fez somente o gráfico referente a primeira função, as duplas D e H
não realizaram a construção gráfica, a dupla F fez seus gráficos separados fazendo
corretamente somente o referente a função y=cos x, as duplas A, C, E e G
construíram seus gráficos em um mesmo eixo cartesiano mas realizaram a
construção gráfica corretamente na função y=cosx, Na segunda função nenhuma
dupla realizou corretamente, devido a erros no preenchimento da tabela.
Na análise referente a alterações surgidas entre os gráficos, as duplas C e E
registraram corretamente as diferenças ocorridas. Como esse exercício foi realizado
no mesmo momento ao da função seno, acredito que devem ter se baseado por
essa atividade para registrar corretamente suas respostas.
55
Figura 26 – Protocolo da Atividade 2, questão D, realizado pela dupla C
Na atividade 1, parte B, que alterava o coeficiente da função responsável
pela alteração da amplitude, as duplas cometeram menos erros, percebe se que
essa atividade que trabalhou com alteração do período, as duplas sentiram mais
dificuldades. Comparando com a atividade anterior, questão C, atividade 2,
semelhantes a essa, que utiliza números fracionários na função seno, percebe-se,
cometem mais erros ao preencher a tabela e fazer a análise .
DUPLAS TABELA GRÁFICO ANÁLISE
A P P NAO
B SIM P NAO
C P P SIM
D P NF NAO
E P P SIM
F P P NAO
G P P NAO
H P P NÃO
Tabela 04 - Desempenho relativo a atividade 2, questão D, do instrumento de pesquisa.
Atividade 3
3 - Complete as tabelas e construa os gráficos utilizando um sistema de eixos cartesianos para os
dois tipos de funções.
Questão E: y = sen3x, y = 2sen3x, y = 2+2sen3x
3A - Analisando os gráficos, responda:
a) Comparando os gráficos da questão I, houve alguma diferença na representação dos
mesmos? Se houve diferença, indique e explique quais foram.
Quadro 03 – Atividade 3 do instrumento de pesquisa
56
4.5.7 Análise a priori da Atividade 3
Em função dos enunciados acima, a expectativa era a de que, em caso de
acerto as duplas obtivessem como resultados os gráficos semelhantes aos
expostos a seguir.
Gráfico 05 – Expectativa de resolução gráfica da Atividade 3, questão E
A atividade tem como propósito explorar a mudança de amplitude entre os
gráficos y = sen3x e y = 2sen3x, e o deslocamento vertical ocorrido entre as
funções y = 2sen3x e y = 2+2sen3x.
As possíveis dificuldades nesta atividade poderão estar no momento de
interpretar as mudanças ocorridas entre os gráficos.
4.5.8 Análise a posteriori da Atividade 3, questão E
As duplas sentiram dificuldades em preencher corretamente a tabela, as
duplas C e D preencheram parcialmente a tabela errando no cálculo referente ao
valor negativo, utilizado na última função da tabela. As duplas A, F e G erraram no
momento de calcular os ângulos correspondentes das funções, efetuando cálculos
aritméticos incorretos, e no cálculo referente a última função, a dupla H, não
preencheu corretamente a tabela, somente as duplas B e E não cometeram erros,
57
Figura 27 – Protocolo da Atividade 3, realizado pela dupla A
Na realização dos gráficos das funções, as duplas B e E conseguiram
realizar a conversão do registro de tabela para o registro gráfico parcialmente, pois
não identificaram a orientação e os ângulos corretos no eixo do x e realizou a
correspondência entre os pares ordenados de forma parcialmente correta, a dupla
C não fez a construção gráfica, sentindo dificuldades em realizar a atividade, a
duplas A e G fizeram somente um gráfico, pois não preencheram corretamente a
tabela referente as outras funções e as duplas D, F e H erraram na construção
gráfica das funções, devido aos erros cometidos no preenchimento da tabela,
conforme mencionado anteriormente. Devo ressaltar que devido o preenchimento
errado da tabela, nenhuma das duplas realizaram a conversão do registro de tabela
para o registro gráfico da última função, na qual aconteceria o deslocamento
vertical.
Figura 28 – Protocolo da Atividade 3, realizado pela dupla B
No momento de analisar, identificar e registrar as mudanças ocorridas entre
os gráficos da função, as duplas A, B, F e G erraram nas respostas, registrando em
58
suas folhas de respostas mudanças que não ocorreram demonstrando não ter
conhecimento sobre os conceitos ou por não compreender suas construções
gráficas. As duplas C, D e H não registraram nenhuma resposta, pois erraram no
momento de preencher e construir seus gráficos, a dupla E embora não realizando
a conversão do registro de tabela para o registro gráfico corretamente, conseguiu
responder parcialmente a pergunta da questão, conforme figura abaixo.
Figura 29 – Protocolo da Atividade 3, realizado pela dupla E
Nota se que os alunos sentiram dificuldades em preencher a tabela, errando
em cálculos aritméticos e na conversão do registro de tabela para o registro gráfico,
o que comprometeu a análise dos gráficos.
DUPLAS TABELA GRÁFICO ANÁLISE
A P NÃO NAO
B SIM P NAO
C P NF NF
D P NAO NF
E SIM P P
F P NAO NAO
G P NÃO NAO
H NAO NAO NF
Tabela 05 - Desempenho relativo a Atividade 3, questão E, do instrumento de pesquisa
Atividade 4
4 - Complete as tabelas e construa os gráficos utilizando um sistema de eixos cartesianos para os
dois tipos de funções.
Questão F: y = cosx e y = 5 cosx
Questão G: y = senx e y = 5 senx
4A - Analisando os gráficos, responda:
a) Comparando os gráficos da questão C, houve alguma diferença na representação dos
mesmos? Se houve diferença, indique e explique quais foram.
b) Comparando os gráficos da questão D, houve alguma diferença na representação dos
mesmos? Explique, caso tenham existido, as diferenças encontradas.
Quadro 04 – Atividade 4 do instrumento de pesquisa
59
4.5.9 Análise a priori da Atividade 4
Em função dos enunciados acima, a expectativa era a de que, em caso de
acerto as duplas obtivessem como resultados os gráficos semelhantes aos
expostos a seguir.
Gráfico 06 – Expectativa de resolução gráfica da Atividade 4, questão F
Gráfico 07 – Expectativa de resolução gráfica da Atividade 4, questão G
60
A atividade explora a mudança de amplitude entre os gráficos das funções
seno e os gráficos das funções cosseno, utilizando números inteiros.
Os alunos deverão utilizar papel quadriculado para representar os gráficos e
suas possíveis dificuldades poderão estar no momento de preencher a tabela.
4.5.10 Análise a posteriori da Atividade 4, questão F
No preenchimento da tabela, as duplas calcularam corretamente a tabela,
com exceção da dupla A, que atribuiu os valores dos ângulos da função cosseno
errados, semelhantes ao da função seno, acredito que devido à falta de atenção no
momento de realizar a atividade e a dupla H registrou errado os valores dos ângulos
para a segunda função, devido a erros aritméticos cometidos pela dupla
Figura 30 – Protocolo da Atividade 4, questão F, realizado pela dupla H
Na realização dos gráficos das funções, as duplas B, C e E realizaram a
conversão do registro de tabela para o registro gráfico corretamente, demonstrando
não terem dificuldades nesta parte da atividade, a dupla A e H não realizaram a
construção gráfica, pois preencheram a tabela de forma incorreta. A dupla D errou
somente no momento de ligar os pares ordenados, construindo seu gráfico através
de segmento de retas, método utilizado para a construção da função afim, a dupla F
e G não realizaram adequadamente a correspondência entre os pares ordenados,
não representando corretamente o gráfico da função.
61
Figura 31 – Protocolo da Atividade 4, questão F, realizado pela dupla G
No momento de analisar, identificar e registrar as mudanças ocorridas entre
os dois gráficos da função, somente as duplas C, D e F conseguiram visualizar e
identificar as diferenças ocorridas. Embora os gráficos das duplas D e F não
estivessem totalmente corretos, foi possível identificar suas mudanças, pois ambos
os gráficos terminavam no mesmo período. As duplas B e G não conseguiram
identificar as diferenças, registrando em suas folhas de respostas várias mudanças
que não ocorreram, demonstrando não ter conhecimento dos conceitos trabalhados.
A dupla E respondeu parcialmente correto, pois registrou que a imagem não havia
mudado, demonstrando desconhecer esse conceito, e as duplas A e H não
realizaram a construção gráfica.
Figura 32 – Protocolo da Atividade 4, questão F, realizado pela dupla E
Nota-se que os alunos conseguem localizar os pontos nos eixos x e y
corretamente, utilizando o papel quadriculado, mas não conseguem representar os
pares ordenados de maneira correta para fazer os gráficos. Os alunos sentem
dificuldades na conversão do registro de tabela para o registro gráfico. Ao
compararmos com a atividade 1, questão B, que utilizava números decimais,
62
percebe se que o desempenho das duplas nessa atividade melhorou com relação a
construção gráfica.
DUPLAS TABELA GRÁFICO ANÁLISE
A NÃO NF NF
B SIM SIM NÃO
C SIM SIM SIM
D SIM P SIM
E SIM SIM P
F SIM P SIM
G SIM P NÃO
H P NF NF
Tabela 06 - Desempenho relativo a Atividade 4, questão F, do instrumento de pesquisa
4.5.11 Análise a posteriori da Atividade 4, questão G
No preenchimento da tabela, a única dupla que não conseguiu realizar a
atividade foi a dupla H, que calculou de maneira incorreta o valor dos ângulos para
a função y = 5senx, causado por erros aritméticos.
Figura 33 – Protocolo da atividade 4, questão G, realizado pela dupla H
Na realização dos gráficos das funções, a dupla H não fez a atividade e as
duplas B e D fizeram a representação gráfica parcialmente correta, pois não
orientaram corretamente os valores do eixo y e não fizeram a ligação dos pares
ordenados representados no eixo cartesiano corretamente, ligando os com
segmento de retas, utilizando um método parecido ao da construção gráfica da
função Afim. As duplas A, C, E, F e G realizaram a construção gráfica corretamente.
63
Figura 34 – Protocolo da Atividade 4, questão G, realizado pela dupla B
Figura 35 – Protocolo da Atividade 4, questão G, realizado pela dupla D
No momento de analisar, identificar e registrar as mudanças ocorridas entre
os dois gráficos da função, as duplas A, C, D e F conseguiram visualizar e
identificar as diferenças ocorridas, demonstrando ter conhecimento sobre os
conceitos. A dupla D mesmo errando sua construção gráfica identificou as
diferenças, pois o erro cometido foi ter ligado os pares ordenados com segmentos
de retas, semelhante à construção gráfica da função afim, o que não atrapalhou na
sua visualização. As duplas B e G não conseguiram identificar as diferenças,
demonstrando desconhecer os conceitos envolvidos nas funções, a dupla E
64
respondeu parcialmente correto a pergunta, conforme figura 39 abaixo, e a dupla H
não fez o exercício, pois não fez a tabela corretamente, sentindo dificuldades em
realizar a atividade.
Figura 36 – Protocolo da Atividade 4, questão G, realizado pela dupla E
As duplas conseguiram localizar os pontos nos eixo x e y corretamente,
utilizando o papel quadriculado, mas não realizam a ligação dos pares ordenados
corretamente. Se compararmos esta atividade com a anterior, atividade 4, parte G,
na qual utilizaram os mesmos coeficientes de alteração da amplitude, percebe se
que na função cosseno as duplas encontraram mais dificuldades na realização da
atividade. Seus desempenhos relacionados com a primeira função trabalhada,
atividade 1, questão A, que utilizava números decimais melhorou, mostrando que
sentiram mais dificuldades com os números decimais no momento de representar
os gráficos, o que prejudicou a análise.
DUPLAS TABELA GRÁFICO ANÁLISE
A SIM SIM SIM
B SIM P NÃO
C SIM SIM SIM
D SIM P SIM
E SIM SIM P
F SIM SIM SIM
G SIM SIM NAO
H P NF NF
Tabela 07- Desempenho relativo a Atividade 4, questão G, do instrumento de pesquisa
65
Atividade 5
5 - Complete as tabelas e construa os gráficos utilizando um sistema de eixos cartesianos para os
dois tipos de funções.
Questão H: y = cos 2x e y = 3 cos 2x
Questão I: y = sen 4x e y = 2 sen 4x
5A - Analisando os gráficos, responda:
a) Comparando os gráficos da questão G, houve alguma diferença na representação dos
mesmos? Se houve diferença, indique e explique quais foram.
b) Comparando os gráficos da questão H, houve alguma diferença na representação dos
mesmos? Explique, caso tenham existido, as diferenças encontradas.
Quadro 05 – Atividade 5 do instrumento de pesquisa
4.5.12 Análise a priori da Atividade 5
Em função dos enunciados acima, a expectativa era a de que, em caso de
acerto as duplas obtivessem como resultados os gráficos semelhantes aos
expostos a seguir.
Gráfico 08 – Expectativa de resolução gráfica da Atividade 5, questão H
66
Gráfico 09 – Expectativa de resolução gráfica da Atividade 5, questão I
A atividade explora a alteração de amplitude entre os gráficos das funções
seno e os gráficos das funções cosseno, utilizando funções que alteram seus
períodos se comparada com a função y=sen x, semelhantes as atividades
anteriores.
Os alunos deverão utilizar papel quadriculado, para representar os gráficos e
suas possíveis dificuldades poderão estar no momento de preencher a tabela.
4.5.13 Análise a posteriori da Atividade 5, questão H
No preenchimento da tabela as duplas C, D, E e G não tiveram dúvidas
quanto ao preenchimento da tabela, a dupla A errou somente nos valores dos
ângulos correspondentes, as duplas B,Fe H não preencheram corretamente.
Na realização dos gráficos das funções, a dupla A conseguiu realizar a
atividade corretamente, a dupla E acertou parcialmente o gráfico, não ligando
corretamente os pares ordenados, as duplas B, C, D e G representaram de maneira
incorreta os ângulos no eixo x, as duplas F e H não fizeram a atividade, por
sentirem dificuldades em fazer a conversão do registro de tabela para o registro
gráfico.
67
Figura 37 – Protocolo da Atividade 5, questão H, realizado pela dupla D
Figura 38 – Protocolo da Atividade 5, questão H, realizado pela dupla H
No momento de analisar, identificar e registrar as mudanças ocorridas entre
os dois gráficos da função, a dupla E conseguiu visualizar as diferenças ocorridas
entre os gráficos, a dupla D, mesmo errando seu gráfico conseguiu responder a
questão, demonstrando ter conhecimento sobre a alteração que o coeficiente causa
nos gráficos, a dupla A acertou parcialmente, respondendo que alterava a amplitude
e o período, a duplas B, C, F, G e H por não conseguir realizar corretamente a
conversão do registro de tabela para o registro gráfico erraram em suas respostas.
Nesta atividade os alunos não sentiram dificuldades em preencher a tabela,
mas no momento de realizar a conversão do registro de tabela para o registro
gráfico cometeram erros que comprometem sua construção, prejudicando dessa
maneira, a análise das mudanças ocorridas entre os gráficos.
68
Em comparação com as outras atividades da função cosseno realizadas
anteriormente que envolvia alteração do mesmo coeficiente, as duplas tiveram mais
dúvidas nessa atividade, isso ocorreu devido a alteração dos ângulos da função,
utilizados para construção gráfica.
DUPLAS TABELA GRÁFICO ANÁLISE
A P SIM P
B NÃO NÃO NÃO
C SIM NAO NÃO
D SIM NAO SIM
E SIM P SIM
F NÃO NF NÃO
G SIM NÃO NÃO
H NÃO NF NÃO
Tabela 08 - Desempenho relativo a Atividade 5, questão H, do instrumento de pesquisa
4.5.14 Análise a posteriori da Atividade 5, questão I
Nesta atividade todos os alunos realizaram o preenchimento da tabela
corretamente. Durante a construção gráfica das funções, a dupla F e H realizaram a
conversão do registro de tabela para o registro gráfico corretamente, a dupla B
mesmo utilizando o papel quadriculado não fez adequadamente a correspondências
entre os pares ordenados, comprometendo a construção gráfica, as duplas C, D, E
e G erraram, pois utilizaram todos os ângulos que preencheram na tabela,
demonstrando não saber qual valor deveria ser usado para a construção dos
gráficos, a dupla A fez o gráfico parcialmente correto, pois ligou os pares ordenados
com segmentos de reta, semelhantes aos gráficos da função afim.
69
Figura 39 – Protocolo da Atividade 5, questão I, realizado pela dupla E
No momento de analisar, identificar e registrar as mudanças ocorridas entre
os dois gráficos da função, a dupla F registrou corretamente a alteração que
ocorreu entre os gráficos, as duplas D, E e G, também conseguiram registrar
corretamente suas respostas, seus gráficos embora construídos de maneira errada
acabavam terminando no mesmo período o que facilitou sua análise, as duplas B e
C não conseguiram identificar as diferenças, pois não realizaram a construção
gráfica de forma correta, a dupla H mesmo acertando o gráfico não respondeu
corretamente, registrando que havia ocorrido todas as mudanças possíveis entre os
gráficos, o que demonstra não ter conhecimento sobre os conceitos das funções
trabalhadas, a dupla A respondeu parcialmente correto, registrando que havia
ocorrido mudança somente na imagem.
Figura 40 – Protocolo da Atividade 5, questão I, realizado pela dupla A
Na realização desta atividade a maioria dos alunos não conseguiu anotar os
ângulos nos eixo x corretamente, erraram no momento de realizar a
correspondência dos pares ordenados para fazer a representação gráfica, pois
utilizaram todos os ângulos da tabela fazendo duas representações com ângulos
distintos, demonstrando desconhecer qual o ângulo que deveria ser utilizado para
construção gráfica. Comparando com atividades realizadas anteriormente, na qual
70
envolvia alteração da amplitude na função seno, percebe-se que os alunos sentiram
mais dificuldades no momento de realizar a construção gráfica nesta atividade,
devido a representação dos ângulos no eixo do x. E com relação a atividade
anterior, da função cosseno, atividade 5, questão H, as duplas cometeram erros
semelhantes.
DUPLAS TABELA GRÁFICO ANÁLISE
A SIM P P
B SIM NÃO NÃO
C SIM NÃO NÃO
D SIM NÃO SIM
E SIM NAO SIM
F SIM SIM SIM
G SIM NÃO SIM
H SIM SIM NÃO
Tabela 09 - Desempenho relativo a Atividade 5, questão I, do instrumento de pesquisa
ATIVIDADE 6
6) Complete as tabelas e construa os gráficos utilizando um sistema de eixos cartesianos para os
dois tipos de funções.
Questão J: y = sen3x, y = 2sen3x, y = -2 + 2sen3x
(6A) Analisando os gráficos, responda:
a) Comparando os gráficos da questão L, houve alguma diferença na representação dos
mesmos? Se houve diferença, indique e expliquem quais foram.
Quadro 06 – Atividade 6 do instrumento de pesquisa
4.5.15 Análise a priori da Atividade 6, questão J
Em função dos enunciados acima, a expectativa era a de que, em caso de
acerto as duplas obtivessem como resultados os gráficos semelhantes aos
expostos a seguir.
71
Gráfico 10 – Expectativa de resolução gráfica da Atividade 6, questão J
A atividade tem como propósito explorar a mudança de amplitude entre os
gráficos y= sen3x e y= 2sen3x, e o deslocamento vertical ocorrido entre as funções
y = 2sen3x e y =- 2+2sen3x.
Os alunos deverão utilizar papel quadriculado para representar os gráficos e
suas possíveis dificuldades poderão estar no momento de interpretar as mudanças
ocorridas entre os gráficos.
4.5.16 Análise a posteriori da Atividade 6, questão J
As duplas B, C e D conseguiram preencher a tabela, sem cometer erros, as
duplas A e E preencheram parcialmente a tabela errando no cálculo da ultima
função da tabela, a dupla F errou no cálculo dos ângulos correspondentes do eixo
do x e no cálculo dos valores da última função, conforme figura abaixo e as duplas
G e H não preencheram corretamente as ângulos correspondentes, errando em
seus cálculos. As duplas cometem erros aritméticos no momento de preencher a
tabela.
72
Figura 41 – Protocolo da Atividade 6, questão J, realizado pela dupla F
As duplas F e G não realizaram corretamente a construção gráfica, pois
utilizaram os valores dos ângulos do eixo x erroneamente, a dupla D errou a
atividade, pois utilizou todos os ângulos que estavam na tabela, a dupla E não
representou corretamente de forma adequada os pares ordenados e errou também
no cálculo dos valores para última função, a dupla B utilizou os ângulos do eixo x
erroneamente e realizou de maneira incorreta a correspondência dos pares
ordenados, ocasionando erros na construção gráfica, as duplas A, C e H não
fizeram a construção gráfica, por sentirem dificuldades na realização da atividade.
Figura 42 – Protocolo da Atividade 6, questão J, realizado pela dupla B
73
Figura 43 – Protocolo da Atividade 6, questão J, realizado pela dupla G
No momento de analisar, identificar e registrar as mudanças ocorridas entre
os gráficos da função, as duplas A, B, E, F e G erraram em suas respostas, as
duplas C, D e H não registraram nenhuma resposta, pois nenhuma das duplas
conseguiu realizar a conversão do registro de tabela para o registro gráfico, o que
prejudicou na visualização das mudanças ocorridas entre os gráficos das funções
construídos.
As duplas sentiram dificuldades no momento de preencher a tabela, o que
prejudicou todo o trabalho a ser desenvolvido. Ao comparar com a atividade 3
semelhante a esta, pode-se observar que as duplas cometem os mesmos erros.
DUPLAS TABELA GRÁFICO ANÁLISE
A P NF NAO
B SIM NAO NAO
C SIM NF NF
D SIM NÃO NF
E P NAO NAO
F P NÃO NAO
G P NÃO NAO
H P NF NF
Tabela 10 - Desempenho relativo a Atividade 6, questão J, do instrumento de pesquisa
74
4.6 Análises a priori das atividades realizadas na sala de
informática
A escolha da tecnologia aplicada ao ensino das funções seno e cosseno,
deve-se às dificuldades encontradas pelos alunos no momento de construir seus
gráficos, o que pode ter dificultado a compreensão dos conceitos envolvidos.
Os conhecimentos sobre a utilização do software Graphmatic permitem que o
aluno possa interagir de forma dinâmica com o meio material, no momento de
representar a função apresentada no registro algébrico para registro gráfico e
representar a função apresentada no registro gráfico para o registro algébrico.
Através de conhecimentos prévios, esperamos que a dupla após a
construção gráfica da função utilizando o software Graphmatic, faça conjecturas a
respeito dos coeficientes a, b e c, passando para a fase de formulação obtida
através da análise e registro dos resultados de suas atividades.
As fases de ação, formulação e validação, estão presentes no momento em
que os alunos realizam a leitura e a interpretação do enunciado, faz a construção
gráfica e através de análise e discussão da atividade com o parceiro da dupla,
validando ou não suas estratégias de resolução utilizadas, registrando suas
observações na folha de resposta. A fase de Institucionalização ocorrerá no final
das atividades, quando o professor revelar a intenção didática através de atividades
realizadas em sala de aula e na sala de informática, solucionando dúvidas
referentes aos conceitos envolvidos na função seno e cosseno, finalizando dessa
maneira a aprendizagem desse conteúdo, conforme a Teoria das Situações
Didáticas de Brousseau (1986)
Nesta atividade, a dupla mobilizará conhecimentos do software gráfico
Graphmatic e conhecimentos prévios de plano cartesiano, conjuntos numéricos,
coordenadas cartesianas, função seno e função cosseno, representações gráficas,
coeficiente, domínio, imagem, período e amplitude do gráfico sejam utilizados pelo
aluno como ferramentas para resolução das atividades.
As duplas foram orientadas a construírem seus gráficos de forma dinâmica,
utilizando recursos do software, podendo alterar a ordem da construção gráfica para
atividades que envolvam mais de uma função, com o propósito de facilitar sua
75
visualização, e proporcionar melhores condições de observação e compreensão de
conceitos envolvidos nas atividades propostas.
Além disso, devem ser consideradas as variáveis didáticas pertinentes a esta
questão, que seriam:
a) Tipos de função
f(x) = senx
f(x)= cosx
b) Conjunto dos números utilizados para valores dos coeficientes envolvidos na
atividade:
Números Inteiros
Números Racionais
Nas atividades, são apresentadas várias funções, utilizando valores distintos
de coeficientes para que seja visualizada a construção gráfica, e analisados os
conceitos envolvidos nas funções em decorrência das variações de coeficientes.
De acordo com esta análise, os procedimentos seguintes seriam os esperados,
quando um determinado sujeito resolvesse corretamente a questão:
O aluno conhece e utiliza de forma dinâmica os recursos que o software
Graphmatic oferece;
O aluno constrói os gráficos utilizando o software;
O aluno observa e identifica as propriedades envolvidas no gráfico
construído;
O aluno generaliza padrões e responde as perguntas elaboradas na
atividade,
O aluno faz a conversão de registro algébrico para o registro gráfico e vice
versa para responder o enunciado das questões.
76
A primeira questão do instrumento utilizando o software Graphmatic assumiu a
forma exibida no próximo quadro
ATIVIDADE 1 – Sala de Informática
1) Usando o software, indique o domínio, a imagem, o período e a amplitude das funções da tabela
abaixo:
DOMINIO IMAGEM PERÍODO AMPLITUDE
y = sen x
y = sen 4x
y = -4 sen 4x
y = sen x/5
y = 5 sen 5x
Quadro 07 – Atividade 1 do instrumento de pesquisa utilizando o software Graphmatic
4.6.1 Análise a priori da atividade 1 realizada na sala de
informática
Em função do enunciado acima a apresentação dos gráficos utilizados para
esta análise, seriam iguais aos expostos a seguir.
Gráfico 11 – Resolução gráfica da função y=sen x
77
Gráfico 12 – Resolução gráfica da função y=sen 4x
Gráfico 13 – Resolução gráfica da função y=-4sen 4x
78
Gráfico 14 – Resolução gráfica da função y=sen x\5
Gráfico 15 – Resolução gráfica da função y=5sen 5x
A apresentação da atividade está composta na conversão do registro
algébrico para o registro de tabela, tendo como propósito analisar o conhecimento
79
do aluno referente à conceitos relacionados à funções seno, através da visualização
de gráficos construídos pelo software Graphmatic.
Os alunos deverão construir os gráficos, analisar e registrar suas
observações na folha de respostas.
As possíveis dificuldades nesta atividade poderão estar no momento de
interpretar os conceitos envolvidos nos gráficos das funções.
4.6.2 Análise a posteriori da Atividade 1 realizada na sala
de informática
Todas as duplas registraram o domínio e a imagem corretamente, apenas
não colocaram a notação correta da imagem, as duplas D, G e H acertaram toda a
atividade. Na atividade que envolvia o conceito de amplitude somente a dupla c não
conseguiu identificar uma das questões, na atividade que envolvia o período
da função, nas funções y = sen x/5 e y = 5sen 5x os alunos sentiram mais
dificuldades em analisar o conceito de período envolvido na atividade, errando suas
respostas. Nesta atividade os alunos devem manusear o recurso de ampliação e
diminuição das representações gráficas das funções para conseguir visualizar e
identificar o período acredita-se que isso tornou a análise mais complicada, pois
exigia mais das duplas com relação ao manuseio das ferramentas do programa,
abaixo estão relacionadas com x as respostas erradas dos alunos.
DUPLA DOMINIO IMAGEM PERIODO AMPLITUDE
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
A X X X
B X X
C X X
D
E X X
F X X
G
H
Tabela 11 - Desempenho relativo a atividade 1 realizada com o auxilio do software
Graphmatic
80
ATIVIDADE 2 – Sala de Informática
(2) Desenhe os gráficos das seguintes funções em um único sistema de eixos:
a) y = sen x b) y = 3 sen x c) y = 4 sen x d) y = 2 sen x
Observando todos os gráficos desenhados, responda:
A) Qual é a alteração produzida no gráfico de y=senx quando multiplicamos toda a função por um
valor constante A diferente de zero (y = Asenx) __________________________________________
B) Qual o domínio, a imagem e o período de uma função do tipo y = A senx ___________________
Quadro 08 – Atividade 2 do instrumento de pesquisa utilizando o software Graphmatic
4.6.3 Análise a priori da atividade 2 realizada na sala de
informática
Em função do enunciado acima a apresentação dos gráficos utilizados para
esta análise, seriam iguais aos expostos a seguir.
Gráfico 16 – Resolução gráfica das funções y = sen x, y = 2 sen x, y = 3 sen x, y = 4 sen x,
A atividade utiliza números inteiros e explora o conceito de amplitude da
função seno através da visualização de gráficos produzidos pelas duplas através
software Graphmatic.
As possíveis dificuldades nesta atividade poderão estar no momento de
registrar suas respostas, generalizando o conceito de imagem da função seno.
81
4.6.4 Análise a posteriori da Atividade 2, realizada na sala
de informática
Na resolução do item A, os alunos não tiveram dúvidas com exceção da
dupla B que não visualizou e identificou corretamente as mudanças que ocorrem na
representação gráfica, demonstrando desconhecer os conceitos das funções
trabalhadas.
Figura 44 – Protocolo da atividade 2 realizado pela dupla B, utilizando o software Graphmatic
Na resolução do item B, os alunos sentiram mais dúvidas, pois a atividade
exigia dos alunos a generalização de padrões para a resposta sobre o valor da
imagem.
As duplas D, F e H responderam corretamente, demonstrando ter
conhecimento sobre os conceitos das funções trabalhadas, conseguindo generalizar
em suas respostas, as duplas B, E e G atribuíram valores para as respostas
referentes a imagem e o período conforme a funções que trabalharam as duplas A e
C responderam parcialmente a questão. Percebe se que os alunos sentem
dificuldades em generalizar a resposta da questão.
Figura 45 – Protocolo da atividade 2 realizado pela dupla G, utilizando o software Graphmatic
Figura 46 – Protocolo da atividade 2 realizado pela dupla A, utilizando o software Graphmatic
82
ATIVIDADE 3 – Sala de Informática
3) Desenhe os gráficos das seguintes funções em um único sistema de eixos:
a)y = cos x b) y = 1,5 cos x c) y = 3 cos x d) y = 5 cos
Observando todos os gráficos desenhados, responda:
A) Qual é a alteração produzida no gráfico de y=cosx quando multiplicamos toda a função por um
valor constante A diferente de zero ( y = Acos ) _______________________________________
B) Qual o domínio, a imagem e o período de uma função do tipo y = A cosx ___________________
Quadro 09 – Atividade 3 do instrumento de pesquisa utilizando o software Graphmatic
4.6.5 Análise a priori da atividade 3 realizada na sala de
informática
Em função do enunciado acima a apresentação dos gráficos utilizados para
esta análise, seriam iguais aos expostos a seguir.
Gráfico 17 – Resolução gráfica das funções y= cos x, y = 1,5 cos x, y = 3 cos x, y = 5 cos x
A atividade utiliza números inteiros em três funções apresentadas e uma com
número decimal na representação algébrica e explora o conceito de amplitude da
função cosseno através da visualização de gráficos produzidos pelas duplas,
através do software gráfico.
83
As possíveis dificuldades nesta atividade poderão estar no momento de
generalizar os conceitos de imagem da função seno para registrar suas respostas
na folha.
4.6.6 Análise a posteriori da Atividade 3 realizada na sala
de informática
Na resolução do item A, os alunos não tiveram duvidas em responder, a
única exceção foi da dupla C que não respondeu corretamente. A dupla pode não
ter compreendido a questão, pois no exercício anterior, semelhante a este, fez
corretamente.
Figura 47 – Protocolo da Atividade 3 realizado pela dupla C, utilizando o software Graphmatic
Na resolução do item B, os alunos tiveram mais dúvidas, pois a atividade
exigia dos alunos a generalização para responder sobre o valor da imagem.
As duplas D, F e H responderam corretamente, conseguindo generalizar em
suas respostas a identificação do conceito envolvido, as duplas A, B, C, E e G
responderam parcialmente a questão, errando na respostas da imagem, atribuindo
valores para suas respostas não conseguindo generalizá-las.
Com relação ao período das funções, as duplas E e F registraram
corretamente suas respostas e as duplas A, B, C, D, G, e H não identificaram
corretamente os períodos das funções.
Figura 48 – Protocolo da Atividade 3 realizado pela dupla F, utilizando o software Graphmatic
84
Figura 49 – Protocolo da Atividade 3 realizado pela dupla G, utilizando o software Graphmatic
Figura 50 – Protocolo da Atividade 3 realizado pela dupla E, utilizando o software Graphmatic
Figura 51 – Protocolo da Atividade 3 realizado pela dupla H, utilizando o software Graphmatic
Percebe se que os alunos não compreendem a função escrita na forma
algébrica, ou seja, não conseguem através da representação algébrica, identificar
seus conceitos e generalizar-los.
DUPLAS DOMINIO IMAGEM PERIODO
A SIM NÃO NÃO
B SIM NÃO NÃO
C SIM NÃO NAO
D SIM SIM NAO
E SIM NAO SIM
F SIM SIM SIM
G SIM NÃO NAO
H SIM SIM NÃO
Tabela 12 – Desempenho relativo a Atividade 3, realizada com o auxilio do software
Graphmatic
85
ATIVIDADE 4 – Sala de Informática
4) Desenhe os gráficos das seguintes funções em um único sistema de eixos:
a) y = cos x b) y = cos2x c) y = cos 3x d) y = cos x/2 e) y = cos x /3
Observando todos os gráficos desenhados, responda:
a) Qual o domínio, a imagem e o período de uma função do tipo y = cos Ax ___________________
4A) Desenhe os gráficos das seguintes funções em um único sistema de eixos:
a) y = sen x b) y = sen 2x c) y = sen 5x e) y = sen x /2
Observando todos os gráficos desenhados, responda
a) Qual é a alteração produzida no gráfico de y=senx quando y=senAx. Explique a diferença
______________________________________________________________
Quadro 10 – Atividade 4 do instrumento de pesquisa, utilizando o software Graphmatic
4.6.7 Análise a priori da atividade 4, realizada na sala de
informática
Em função do enunciado acima, a apresentação dos gráficos utilizados para
análise seriam iguais aos expostos a seguir.
Gráfico 18 – Resolução gráfica das funções y = sen x /2, y = sen x, y = sen 2x, y = sen 5x
86
Gráfico 19 - Resolução gráfica das funções y = cos x /3, y =cos x/2, y = cosx, y =cos2x, y =cos3x
A atividade utiliza escrita fracionária na representação algébrica e explora o
conceito de período das funções seno e cosseno através da visualização de
gráficos produzido pelos alunos através do software gráfico.
As possíveis dificuldades nesta atividade poderão estar no momento de
generalizar o conceito de período da função seno para registrar suas respostas na
folha.
4.6.8 Análise a posteriori da Atividade 4 realizada na sala
de informática
Na resposta da questão 4, sobre o domínio, a imagem e o período de uma
função do tipo y = cos Ax, a dupla E respondeu parcialmente a questão, errando no
registro do período e na imagem das funções, as duplas A, B e G erraram no
período da função, pois registraram um valor, as duplas D, F e H erraram, pois
atribuíram valores para a imagem e para o período, não conseguiram generalizar a
resposta sobre o valor do período das funções e ou não entenderam a questão e a
dupla C respondeu parcialmente a questão, registrando que o período poderia
variar dependendo do coeficiente da função. Percebe se que a dupla compreende o
87
significado do coeficiente A, mas sentem dificuldades no momento de generalizar
em suas respostas.
Figura 52 – Protocolo da Atividade 4 realizado pela dupla C, utilizando o software Graphmatic
Figura 53 – Protocolo da Atividade 4 realizado pela dupla D, utilizando o software Graphmatic
Figura 54 – Protocolo da Atividade 4 realizado pela dupla C, utilizando o software Graphmatic
Na resposta da pergunta sobre a alteração provocada pelo coeficiente a, da
questão 4A, as duplas A, D, E, G e H responderam corretamente a questão,
respondendo que a mudança ocorre somente no período da função, as duplas B, C
e F não identificaram corretamente as mudanças ocorridas nas representações
gráficas das funções, respondendo que as alterações ocorriam tanto no período
como na amplitude, demonstrando não entender esses conceitos.
Esta atividade exigia dos alunos a generalização do conceito de período da
função. Percebe se que os alunos sentem dificuldades em reconhecer os conceitos
envolvidos na atividade e generalizá-los no momento de registrar suas respostas.
88
DUPLA DOMINIO IMAGEM PERIODO
A SIM SIM NAO
B SIM SIM NAO
C SIM SIM P
D SIM SIM P
E SIM P NAO
F SIM SIM NAO
G SIM SIM NAO
H SIM SIM SIM
Tabela 13 – Desempenho relativo a Atividade 4, realizada com o software Graphmatic
ATIVIDADE 5 – Sala de Informática
5)) Desenhe os gráficos das seguintes funções em um único sistema de eixos:
a) y = -1 + sen 5x b) y = sen 5x c) y = 1+ sen 5x
Observando todos os gráficos desenhados, responda:
a) Qual é a alteração produzida no gráfico de y=senx quando y= A+senx. Explique a diferença
______________________________________________________________
Quadro 11 – Atividade 5 do instrumento de pesquisa, utilizando o software Graphmatic
4.6.9 Análise a priori da atividade 5, realizada na sala de
informática
Em função do enunciado acima a apresentação dos gráficos seriam iguais
aos expostos a seguir.
89
Gráfico 20 – Resolução gráfica das funções y = -1 + sen 5x, y = sen 5x, y = 1+ sen 5x
A atividade explora conceitos de deslocamento vertical da função seno
através da visualização de gráficos produzidos pelas duplas, utilizando o software
gráfico, no qual deverão registrar suas análises na folha de respostas.
As possíveis dificuldades nesta atividade poderão estar na compreensão do
deslocamento vertical ocorrido entre as funções.
4.6.10 Análise a posteriori da Atividade 5 realizada na sala
de informática
Na resposta da pergunta relacionada a alteração produzida entre os gráficos
de y = senx e y = A+senx, as duplas erraram nas respostas, visualizam e
compreendem que houve alterações na posição dos gráficos, mas possuem
dificuldades para explicar as mudanças ocorridas, demonstrando desconhecer o
conceito de deslocamento vertical.
Figura 55 – Protocolo da Atividade 4 realizado pela dupla C, utilizando o software Graphmatic
90
Figura 56 – Protocolo da Atividade 4 realizado pela dupla H, utilizando o software Graphmatic
ATIVIDADE 6 – Sala de Informática
6) Desenhe os gráficos das seguintes funções em um único sistema de eixos:
a) y = 5 sen 2x b) y = sen x
Observando todos os gráficos desenhados, responda:
a) Qual é a alteração produzida no gráfico?____________________________________________
Quadro 12 – Atividade 6 do instrumento de pesquisa utilizando o software Graphmatic
4.6.11 Análise a priori da atividade 6 realizada na sala de
informática
Em função do enunciado acima a apresentação dos gráficos seriam iguais
aos expostos a seguir.
Gráfico 21 – Resolução gráfica das funções y = 5sen 2x, y = sen x
91
A atividade explora conceitos da função cosseno através da visualização de
gráficos produzido pelo software gráfico.
As duplas construirão seus gráficos e após a análise deverão registrar suas
respostas na folha da atividade e suas possíveis dificuldades poderá estar no
momento de visualizar as mudanças entre os gráficos.
4.6.12 Análise a posteriori da Atividade 6 realizada na sala
de informática
Na resposta da pergunta I sobre a alteração produzida no gráfico, todas as
duplas identificaram e responderam corretamente a questão.
4.6.13 Análise a priori da atividade 7 realizada na sala de
informática
A sétima questão do instrumento utilizando o software Graphmatic assumiu a
forma exibida no próximo quadro, dividida em três partes. Essa atividade foi
desenvolvida para analisar o conhecimento sobre os conceitos envolvidos nas
funções seno e cosseno através da análise do registro gráfico das funções, pois
segundo Duval (1986) passar de um registro de representação a outro não é
somente mudar de modo de tratamento, é também explicar as propriedades ou os
aspectos diferentes de um mesmo objeto e a articulação desses diferentes registros
é condição para a compreensão em matemática.
92
Identifique a função através do gráfico dado:
__________________
____________________
______________________
Quadro 13 – Atividade 7 do instrumento de pesquisa utilizando o software Graphmatic
93
A atividade explora conceitos de amplitude e período da função seno, através
da visualização dos gráficos. De forma dinâmica e mobilizando conhecimentos
relacionados aos coeficientes da função, as duplas deverão resolver a atividade e
suas possíveis dificuldades poderão estar no momento da conversão para o registro
algébrico.
4.6.14 Análise a posteriori da Atividade 7, realizada na sala
de informática
Nesta atividade a dupla A embora tenha compreendido a posição do
coeficiente que altera o período não representou corretamente a função referente
ao gráfico e não fez as demais, a dupla B visualizando o terceiro gráfico, errou na
resposta, mas identificou o tipo de função que compreendia o gráfico, a dupla F
errou a atividade e as demais duplas conseguiram realizar a atividade.
Figura 57 – Protocolo da Atividade 7 realizado pela dupla A, utilizando o software Graphmatic
94
Figura 58 – Protocolo da Atividade 7 realizado pela dupla B, utilizando o software Graphmatic
Nesta atividade os alunos demonstraram ter conhecimento do coeficiente que
altera o período e a amplitude dos gráficos das funções, ao analisar a tabela abaixo
pode se perceber que as duplas tiveram um bom desempenho, conseguindo
realizar a conversão do registro gráfico para o registro algébrico.
DUPLA 1ª FUNÇÃO 2ª FUNÇÃO 3ª FUNÇÃO
A P NF NF
B SIM SIM NÃO
C SIM SIM SIM
D SIM SIM SIM
E SIM SIM SIM
F SIM SIM NAO
G SIM SIM SIM
H SIM P SIM
Tabela 14 - Desempenho relativo à Atividade 7 do instrumento de pesquisa que utilizou o
software Graphmatic.
95
ATIVIDADE 8 – Sala de Informática
Alterando os valores do coeficiente a nas funções dadas na tabela, o que acontece com o gráfico?
Valores “grandes” "Valores pequenos”
y= a senx ou y = a cosx
y = sen ax ou y = cos ax
y = a + sen x ou y = a+ cos x
Quadro 14 – Atividade 8 do instrumento de pesquisa utilizando o software Graphmatic
4.6.15 Análise a priori da atividade 8 realizada na sala de
informática
A apresentação da atividade está composta no registro de partida da língua
natural e algébrico, através de uma tabela a ser preenchida pelas duplas, sendo
explorados conceitos da função seno e cosseno, através da visualização de gráficos
produzidos pelo software.
As duplas atribuirão valores aleatórios nas funções para resolver a atividade,
e suas possíveis dificuldades poderão estar no momento de registrar as mudanças
ocorridas para os dois valores.
4.6.16 Análise a posteriori da Atividade 8 realizada na sala
de informática
O termo “valores grandes” foi usado para que os alunos atribuíssem valores
maiores ou iguais a dois, e no termo ”valores pequenos” para valores menores que
dois no coeficiente a, de acordo com a função utilizada para construção dos gráficos
a serem investigados.
Na atividade que pedia para identificar a mudança dos gráficos alterando o
coeficiente a das funções y= a senx ou y = a cosx, todos registraram corretamente
suas analises na folha de respostas.
Na segunda parte desta tabela, que pedia para identificar as mudanças
ocorridas na representação quando se altera o coeficiente a da função y= sen Ax ou
y = cos Ax, a dupla F respondeu parcialmente correta, alegando que mudaria o
96
período e a amplitude, as demais duplas conseguiram responder corretamente
registrando suas análises na folha de respostas.
Figura 59– Protocolo da Atividade 8 realizado pela dupla B, utilizando o software Graphmatic
Na terceira parte desta tabela, que pedia para identificar a mudança dos
gráficos quando se altera o coeficiente a da função y = a + sen x ou y = a+ cos x.
As duplas A e G responderam parcialmente, alegando que só houve
mudanças em suas imagens sem mencionar o deslocamento vertical, a dupla C e H
responderam corretamente, utilizando a língua materna para registrar suas
respostas, a dupla D analisou o gráfico e não a relação entre eles, afirmando que
não houve mudança entre um gráfico e outro, mas não explicou o que aconteceu de
fato, as demais duplas B, E e F perceberam as alterações em suas posições, mas
não souberam explicar de forma correta, alegando que os gráficos mudavam suas
amplitudes.
Figura 60 – Protocolo da Atividade 8 realizado pela dupla D, utilizando o software Graphmatic
97
Figura 61 – Protocolo da Atividade 8 realizado pela dupla H, utilizando o software Graphmatic
Figura 62 – Protocolo da Atividade 8 realizado pela dupla A, utilizando o software Graphmatic
Conforme o desempenho demonstrado na tabela abaixo, as duplas sentiram
mais dificuldades em responder de forma correta as atividades que utilizavam o
conceito de deslocamento vertical.
98
DUPLA
y= a senx
ou y = a cosx
y = sen ax
ou y = cos ax
y = a + sen x
ou y = a+ cos x
A SIM SIM P
B SIM SIM NAO
C SIM SIM SIM
D SIM SIM P
E SIM SIM NAO
F SIM NAO NAO
G SIM SIM P
H SIM SIM SIM
Tabela 15 - Desempenho relativo a Atividade 8 do instrumento de pesquisa, realizada com
software Graphmatic
ATIVIDADE 9 – Sala de Informática
Identifique as funções dos gráficos abaixo:
Quadro 15 – Atividade 9 do instrumento de pesquisa que utilizou o software Graphmatic
99
4.6.17 Análise a priori da atividade 9, realizada na sala de
informática
A atividade explora os conceitos da função seno e cosseno através da
visualização dos gráficos. As duplas deverão utilizar o software gráfico de maneira
dinâmica e com os conhecimentos sobre os coeficientes de alteração dos gráficos,
realizarão a atividade.
A apresentação da atividade está composta no registro gráfico e as possíveis
dificuldades desta atividade poderão estar no momento da conversão para o
registro algébrico.
Na primeira função o seu registro algébrico deverá ser y=2+sen x, a segunda
y= cos x, a terceira y=-cos x e quarta função y =-2-senx
4.6.18 Análise a posteriori da atividade 9, realizada na sala
de informática
Na primeira representação gráfica desta atividade, a dupla D registrou a
função parcialmente correta, deixando de colocar o sinal positivo entre o coeficiente
e a função, talvez por falta de atenção, a dupla F identificou parcialmente a função
correspondente ao gráfico, errando no coeficiente que desloca a função, acredita se
que a dupla não conseguiu visualizar corretamente a função impressa, as demais
duplas realizaram a atividade corretamente.
Na segunda representação gráfica a dupla F respondeu parcialmente a
questão, cometendo o mesmo erro da primeira representação, a dupla C não
identificou corretamente a função, as demais duplas realizaram a atividade
corretamente.
Na terceira representação gráfica da função, a dupla C não conseguiu
identificar a função correspondente ao gráfico e as duplas A e F conseguiram
resolver parcialmente a questão. A dupla A registrou somente o tipo de função que
correspondia a representação gráfica as demais duplas conseguiram realizar a
atividade, a dupla F identificou o tipo de função corretamente, mas colocou valores
100
decimais de maneira incorreta para o coeficiente da função, cometendo o mesmo
erro das atividades anteriores.
Na quarta representação gráfica da função, as duplas B, C e D não
conseguiram identificar a função correspondente ao gráfico, as duplas E, G e H
identificaram as funções corretamente, as duplas A e F identificaram parcialmente
as funções. A dupla A identificou somente o tipo de função e a dupla F cometeu o
mesmo erro que as funções anteriores, atribuindo valores decimais para o
coeficiente da função.
Figura 63 – Protocolo da Atividade 9 realizado pela dupla F, utilizando o software Graphmatic
Figura 64 – Protocolo da Atividade 9 realizado pela dupla C, utilizando o software Graphmatic
101
Figura 65 – Protocolo da Atividade 9 realizado pela dupla A, utilizando o software Graphmatic
As duplas não tiveram atividades que envolvia a inversão dos gráficos
conforme a terceira e a quarta representação. As duplas na terceira representação
conseguiram em sua maioria representá-la, na quarta representação houve mais
erros.
DUPLA
1ª
FUNÇÃO
2ª
FUNÇÃO
3ª
FUNÇÃO
4ª
FUNÇÃO
A SIM SIM P P
B SIM SIM SIM NAO
C SIM NÃO NAO NAO
D P SIM SIM NAO
E SIM SIM SIM SIM
F P P P P
G SIM SIM SIM SIM
H SIM SIM SIM SIM
Tabela 16 - Desempenho relativo à Atividade 9, realizada com o software Graphmatic
102
CAPÍTULO 5
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Foram realizadas atividades utilizando lápis e papel e com o uso do software
Graphmatic, as atividades envolviam visualização e registro de alterações
provocadas pelo coeficiente nos gráficos da função seno e cosseno, havendo ainda
uma atividade que explorava a generalização do conceito de período.
Utilizando o lápis e o papel, as duplas realizaram oito exercícios inclusos nas
atividades (atividade 1,3,4,5,6), que envolviam alterações nas amplitudes dos
gráficos das funções e tiveram o seguinte desempenho, conforme tabela 17.
DUPLA AMPLITUDE
A 1
B 0
C 4
D 5
E 3 corretos e 2 parciais
F 2
G 1
H 0
Tabela 17 – Quantidade de acertos das atividades realizados, sobre o conceito de Amplitude, sem o
uso do software
Com o uso do software realizaram cinco exercícios que envolviam
visualização e identificação de alteração entre as amplitudes dos gráficos inclusos
nas atividades (2,3,6 e 8) e uma atividade (atividade 1) contendo cinco exercícios
para registro da amplitude das funções e tiveram o seguinte desempenho, conforme
tabela 18.
103
Tabela 18 – Quantidade de acertos das atividades, sobre o conceito de Amplitude, com o uso do
software Graphmatic
Nas atividades que envolveram a visualização e registro de alterações
provocadas nas amplitudes dos gráficos das funções com o uso do software, pode
se notar que todas as duplas tiveram melhor desempenho se comparado com a
atividade realizada com lápis e papel. O uso do software contribuiu na
aprendizagem do conceito estudado, fazendo com que os alunos conseguissem
realizar a atividade.
Com relação ao conceito de período, utilizando lápis e papel, as duplas
realizaram seis exercícios inseridos nas atividades (2,3,5 e 6) e tiveram o seguinte
desempenho, conforme tabela 19.
DUPLA VISUALIZAÇÃO
A 0
B 0
C 2
D 2
E 4
F 0
G 1
H 0
Tabela 19 – Quantidade de acertos das atividades realizadas sem o uso do software Graphmatic
DUPLA VISUALIZAÇÃO E IDENTIFICAÇÃO REGISTRO
A 5 5
B 4 5
C 4 4
D 5 5
E 5 5
F 5 5
G 5 5
H 5 5
104
Com o uso do software, três atividades (4A, 6 e 8) envolviam a visualização
de gráficos que alteravam seus períodos, três atividades (1, 2, 3) envolviam registro
do período do gráfico, sendo que a atividade 1 possui cinco exercícios, totalizando
sete e uma atividade que utilizava a generalização do conceito de período,
(atividade 4). As duplas tiveram os seguintes desempenhos:
DUPLA VISUALIZAÇÃO REGISTRO GENERALIZAÇÃO
A 3 2 0
B 2 3 0
C 2 5 PARCIAL
D 3 6 0
E 3 4 PARCIAL
F 1 5 0
G 3 5 0
H 3 6 0
Tabela 20 – Quantidade de acertos nas atividades realizadas com o uso do software Graphmatic
Comparando as atividades que envolveram a visualização sobre alterações
provocadas no período dos gráficos, pode se notar que o desempenho das duplas
foi superior com o uso do software. Nas atividades relacionadas ao registro das
alterações, a dupla A e B não tiveram um bom desempenho na generalização desse
mesmo conceito, somente as duplas C e E resolveram parcialmente. As duplas
sentiram dificuldades e mesmo utilizando o software não conseguiram responde-las
corretamente.
Referente ao conceito de deslocamento vertical, em atividades que utilizaram
lápis e o papel para visualizar as alterações gráficas, as duplas realizaram duas
atividades (atividade 3 e 6) e com o uso do software realizaram dois exercícios
inclusos na atividade 8. Comparando as atividades, percebe-se que com o uso do
lápis e papel somente uma dupla conseguiu responder parcialmente a atividade e
com o uso do software duas duplas conseguiram responder corretamente e três
duplas responderam parcialmente a questão. O número de acertos com o uso do
software ainda é pequeno, mas se comparar com os resultados pode-se perceber
que houve um aumento no número de acertos.
105
No momento de realizar a conversão do registro gráfico para o registro
algébrico, as duplas realizaram sete exercícios divididos em: atividade 7 ( três
exercícios) e atividade 9 ( quatro exercícios). Cinco exercícios exploravam conceitos
de período e amplitude e dois exercícios exploravam também o conceito de
deslocamento vertical. Lembrando que nos dois grupos há um exercício que ocorre
a inversão do gráfico, atividade que houve maior numero de erros pois realizaram
esta atividade somente nesse momento.
A seguir, o desempenho das duplas.
Tabela 21 – Quantidade de acertos nas atividades realizadas com o uso do software Graphmatic
Analisando os resultados pode se concluir que as duplas demonstraram ter
conhecimentos sobre os coeficientes de alterações dos gráficos referentes ao
período, amplitude e deslocamento vertical dos gráficos das funções.
Nas atividades realizadas com lápis e papel, pode-se observar que as duplas
cometeram erros aritméticos no momento de realizar os cálculos para o
preenchimento da tabela e em alguns momentos efetuaram cálculos substituindo o
valor do ângulo x na função estudada, característica que parece indicar uma
dificuldade de superar a visão relativa a uma abordagem de funções em geral
baseada na construção de gráficos muito parecidos como exemplo de sala de aula
– os alunos podem ter relacionado o preenchimento da tabela com o de outras
funções que utilizam esse método, o que caracteriza um obstáculo epistemológico
(Almouloud, 2004)
Na construção gráfica utilizando papel, as duplas encontraram dificuldades
em representar o gráfico corretamente, tiveram dificuldade em utilizar uma escala
DUPLA AMPLITUDE E PERÍODO TODOS OS CONCEITOS
A 1correto, 2 parciais e 2 não fez 1 correto e 1 parcial
B 4 1
C 3 1
D 5 1
E 5 2
F 2 corretos e 2 parciais 2 parciais
G 5 2
H 4 corretos e 1 parcial 2
106
correta nos eixos cartesianos, conseguindo somente com a utilização do papel
quadriculado. Possuem dificuldades no momento de representar os ângulos
pertencentes ao eixo do x, quando há variação do período da função e não realizam
de forma correta a correspondência dos pares ordenados. Esses erros realizados
durante a execução das atividades acabaram prejudicando a análise.
O uso do computador neste trabalho despertou o interesse e a motivação no
momento de realizar e explorar as atividades, proporcionando aos alunos uma
oportunidade de aumentar de maneira dinâmica seus conhecimentos referentes aos
conceitos de amplitude, período e deslocamento vertical da função seno e cosseno.
Durante a realização das atividades, o grupo mostrou empenho e sentiu-se
empolgado para resolver os exercícios, que segundo os alunos as aulas tornaram
se mais interessantes e proporcionou maior facilidade de compreender os conceitos
envolvidos nas funções, conforme questionário no anexo.
O uso do software Graphmatic propiciou ao aluno condições de simular
várias construções gráficas, ajudando-o a entender e suprir algumas dificuldades
nos conceitos abordados, que durante as atividades realizadas com lápis e papel
não foram possíveis.
Constatamos que o conceito de deslocamento vertical foi pouco abordado
durante as aulas em sala de aula, pois os alunos visualizavam e identificavam as
mudanças ocorridas, mas tinham dificuldades em explicá-las. Em atividades
realizadas na sala de informática com atividades que envolviam a mudança de
registro gráfico para registro algébrico, os alunos demonstraram ter conhecimento
sobre o coeficiente responsável pelo deslocamento vertical e que algumas dessas
dificuldades foram supridas.
A teoria dos registros de representação de Duval esta totalmente ligada aos
resultados positivos das atividades, na qual observamos as conseqüências que os
coeficientes causam em suas representações gráficas.
A teoria das situações de Guy Brousseau foi um instrumento muito utilizado
na aplicação e análise das atividades, pois a sequência didática envolveu os
processos de ação, formulação e validações durante a realização das atividades e
a institucionalização por parte do professor no final da pesquisa.
Com os resultados obtidos na análise das atividades pode se concluir que o
uso do computador aliado ao software gráfico contribui para a evolução da
107
aprendizagem e proporcionou um aumento cognitivo de conceitos relacionados a
função seno e cosseno, através de um processo dinâmico, que permitiu a
articulação entre as representações algébricas e gráficas.
.
108
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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109
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111
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__________. Secretaria de Educação, Saresp 2007: Relatório Pedagógico :
Matemática , Coordenação geral, Maria Inês Fini , São Paulo: SEE, 2008b.
112
ANEXO I
Questionário respondido pelos alunos participantes da pesquisa.
1) Você já havia feito alguma atividade de matemática utilizando esse software ou outro parecido?
( ) Sim ( ) Não
2) O software te ajudou a compreender melhor os gráficos das funções feitas em sala de aula?
( ) Sim ( ) Não
3) Antes de utilizar o software o seu conhecimento relativo às funções era o mesmo?
( ) Sim ( ) Não
4) O que mudou no seu conhecimento sobre gráficos das funções dadas, após a utilização do
software?_________________________________________________________________________
5) Você acredita que a utilização do software em aulas pode melhorar a aprendizagem do aluno?
( )Sim ( ) Não
6) Foi difícil manusear o software para responder as questões dadas?
( ) Sim ( ) Não
7) Em sua opinião, quais foram as vantagens de utilizar softwares em aulas de matemática?
_____________________________________________________________________________
Quadro 33 – Questionário de pesquisa sobre o uso do software Graphmatic
1)Você já havia feito alguma atividade de matemática utilizando esse software ou outro
parecido?
Na resposta desta pergunta 100% dos alunos, ou seja, os 16 alunos que
participaram da pesquisa nunca utilizaram um software ou um programa
educacional no processo de ensino aprendizagem.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Sim Não
Gráfico 22 – Representação gráfica das respostas dos alunos referente à primeira pergunta do
questionário
113
2) O software te ajudou a compreender melhor os gráficos das funções feitas em sala de
aula?
Nos gráficos realizados pelo software Graphmatic, os 16 alunos que
participaram da pesquisa, afirmaram que tiveram melhor compreensão.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
SIM Não
Gráfico 23 – Representação gráfica das respostas dos alunos referente à segunda pergunta
do questionário
3) Antes de utilizar o software o seu conhecimento relativo às funções era o mesmo?
Os 16 alunos que participaram da pesquisa, afirmaram que com o uso do
software, houve alteração no conhecimento relativo à função.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Sim Não
Gráfico 24 – Representação gráfica das respostas dos alunos referente à terceira pergunta do
questionário
114
4) O que mudou no seu conhecimento sobre gráficos das funções dadas, após a utilização do
software?
Somente uma dupla não respondeu a pergunta que tratava das mudanças
ocorridas no conhecimento após a utilização do software, os demais afirmaram que
houve mudanças no conhecimento e que com o seu uso a aprendizagem é
facilitada, conforme veremos abaixo.
DUPLA A
“Eu consegui entender o que é período, imagem e amplitude, que eu não tinha entendido”
DUPLA B
“Ele é mais fácil de entender, pois ele poupa muito tempo e assim se entende melhor o gráfico em si”
DUPLA C
“ A coisa esta melhor para nos alunos”
DUPLA D
“ Pude compreender o que é amplitude, período e etc.”
DUPLA E
“Não respondeu”
DUPLA F
“Ficou mais fácil de resolver os gráficos”
DUPLA G
“Eu comecei a entender melhor os gráficos”
DUPLA H
“Mudou, que antes não compreendia, era como se antes eu só soubesse na teoria e agora na
pratica”
Quadro 34 – Respostas referentes a pergunta 4, sobre o uso do software Graphmatic
115
5) Você acredita que a utilização do software em aulas pode melhorar a aprendizagem do
aluno?
As oito duplas, ou seja, os 16 alunos da pesquisa acreditam que a utilização do
software em aulas pode melhorar a aprendizagem do aluno.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Sim Não
Gráfico 25 – Representação gráfica das respostas dos alunos referente à quinta pergunta do
questionário
6) Foi difícil manusear o software para responder as questões dadas?
Quatro alunos, ou seja, duas duplas sentiram dificuldades de manusear o software,
enquanto que 12 alunos, ou seja, seis duplas não sentiram dificuldades.
0
1
2
3
4
5
6
Sim Não
Gráfico 26 – Representação gráfica das respostas dos alunos referente à sexta pergunta do
questionário
116
7) Em sua opinião, quais foram as vantagens de utilizar softwares em aulas de matemática?
As 16 duplas afirmaram que houve vantagens em ter utilizado os gráficos,
tornando as aulas mais interessante, facilitando dessa maneira a compreensão.
DUPLA A
“As vantagens são que o gráfico já esta pronta e só precisa atribuir os valores”
DUPLA B
“ Aprende mais e em menor tempo”
DUPLA C
“ Para a melhoria da matéria ”
DUPLA D
“ Foi uma aula prática, aonde os alunos aprendem mais”
DUPLA E
“ Ficou mais fácil de entender a matéria “
DUPLA F
“As vantagens foram que é só jogar a conta que aparece o gráfico”
DUPLA G
“É mais interessante”
DUPLA H
“Nós compreendemos melhor”
Quadro 35 – Respostas referentes a pergunta 7, sobre o uso do software Graphmatic