ENTECA 2003 IV ENCONTRO TECNOLGICO DAENGENHARIA CIVIL
EARQUITETURA 540 RESOLUO DE PRTICOS PLANOS ATRAVS DA ANLISE
MATRICIAL DE ESTRUTURAS Marcio Leandro Michelim Acadmico Engenharia
Civil Universidade Estadual de Maring e-mail:
[email protected] Ismael Wilson Cadamuro Jr Prof. M.Sc. da
Universidade Estadual de Maring Doutorando em Engenharia de
Estruturas USP e-mail: [email protected] RESUMO
OpresentetrabalhoapresentaumestudosobreaaplicaodaAnliseMatricialdeEstruturasnaresoluode
prticos planos. Traz consideraes, formulrios eroteiro de clculo.
Este estudo, ainda, est inserido no mbito de uma Iniciao Cientfica
(PIC), em desenvolvimento.
1.
INTRODUOOmtododaAnliseMatricialdeEstruturasdespontacomouminstrumentomatemtico
adequadoparaumtratamentosistemtico,rigorosoesobretudo,geraldeanlisedeestruturas,
poisalmdepermitirageneralizaodesejada,tambmseadaptaaoempregoem
computadores.Pretende-seapresentaroclculodeestruturasreticuladas,emparticular
prticosplanos,desenvolvendoaformulaomatricialdoMtododosDeslocamentos,
aplicada aos prticos planos. 2. PREMISSAS BSICAS
SegundoCADAMUROJR(2002)aestruturapodeserdefinidacomoumconjuntode
elementos, ou barras, unidos entre si (Figura 1). Figura 1
ComoindicadonaFigura2,osnsdaestruturasoospontosdeligaoentreoselementos,
assim como os pontos de apoio e os de extremidade livre dos
elementos. Figura 2 ENTECA 2003 IV ENCONTRO TECNOLGICO DAENGENHARIA
CIVIL EARQUITETURA 541 3. SISTEMA DE COORDENADAS
ParaidentificareordenarforasedeslocamentosCADAMUROJR(2002)sugereaadoode
direes (ou coordenadas) devidamente numeradas, podendo ser locais
ou globais. 3.1 Coordenadas Locais
Soassociadassextremidadesdoelementoedevempermitirqueseassocieelasasforase
deslocamentos relevantes das extremidades dos elementos, como se
observa na Figura 3. Figura 3 Em relao s coordenada locais, tem-se:
{P} vetor dos esforos nas extremidades dos elementos
{e}vetordosdeslocamentosdasextremidadesdoselementossegundosuascoordenadas
locais [re] matriz de rigidez do elemento segundo suas coordenadas
locais. 3.2 Coordenadas Globais
Soassociadasaosnsdaestruturaedevempermitiraassociaodeforasedeslocamentos
relevantesdosns.ComoseobservanaFigura04,cadanpossuiseusistemade
coordenadas,sendo3coordenadasparacadan,deacordocomNumrodeGrausde
Liberdade (Ngl) da estrutura. Figura 4 Em relao s coordenadas
globais, tem-se: {F} vetor das foras nodais {U} vetor dos
deslocamentos nodais [rg] matriz de rigidez do elemento segundo
suas coordenadas globais [R] matriz de regidez da estrutura ENTECA
2003 IV ENCONTRO TECNOLGICO DAENGENHARIA CIVIL EARQUITETURA 542 4.
NUMERAES Emum problema de prtico plano deve-se: a)arbitrar: -a
numerao dos ns: (Figura 5 traz um exemplo) 234 Figura 5 -a numerao
dos elementos: (Figura 6) 213132ou Figura 6 -a incidncia dos
elementos: (Figura 7) N inicial = j N final = k J=1K=2K=4J=3J=2 K=3
Figura 7 b)Calcular:
-Anumeraodascoordenadasglobais,fazendoas3primeirascoordenadasglobaisparao
n 01, as prximas 3 para o n 02 e assim sucessivamente, como visto
na Figura 8. ENTECA 2003 IV ENCONTRO TECNOLGICO DAENGENHARIA CIVIL
EARQUITETURA 543 21354 6897101211 Figura 8
-Ascoordenadasglobaisdoselementos(Figura9):oninicial(j)deumelemento
qualquerterascoordenadasglobais(3j-2),(3j-1)e(3j),eoseunfinal(k)as
coordenadas globais (3k-2), (3k-1) e (3k).
213546897101211546101112123 Figura 9 -As coordenadas locais dos
elementos: (Figura 10) 213546546a = 90a = 90321123564a = 135 Figura
10 5.MATRIZDERIGIDEZDOELEMENTOSEGUNDOSUASCOORDENADAS LOCAIS [re]
MOREIRA(1977)informaqueomaissimplesdossistemaselsticoscompostoporuma
mola linear de constante K, Figura 11 3N-23N3N-1N N 5312a +46KJ
ENTECA 2003 IV ENCONTRO TECNOLGICO DAENGENHARIA CIVIL EARQUITETURA
544 AAA(a)(b)(c)BBr1 = 11f11B K11R1=1 Figura 11
Aplicando-seaforaF=1aosistema(Figura11),surgeodeslocamentou.Poroutrolado,se
forpossvelestruturaodeslocamentou=1,amanutenodaconfiguraodeformadaexigir
que se aplique a fora F=r. Tem-se ento que: - coeficiente de
rigidez K a ao mecnica associada configurao deformada r=1.
CADAMUROJR(2002)tambmdefinerigidezcomosendoarelaoentreumaforaeum
deslocamentocorrespondente,oucomoaforanecessriaparaprovocarumdeslocamento
unitrio em sua direo e sentido, como mostrado na Figura 12. f
Figura 12
SegundoCADAMUROJR(2002)aMatrizdeRigidezarelaoentreumvetordeforase
umvetordedeslocamentos(Figura13).Seessesvetoresforemreferenciadosscoordenadas
locaisdoelemento,comonaFigura14,ondeseverificaascoordenadaslocaisparaum
elemento de prtico plano, temos a Matriz de Rigidez [re] que
definidaa seguir. u 1f 1f 2f 3u 2u 3 Figura13 5312a +46 KJ Figura
14 ENTECA 2003 IV ENCONTRO TECNOLGICO DAENGENHARIA CIVIL
EARQUITETURA 545 [ ]11111111111111]1
lEJlEJlEJlEJlEJlEJlEJlEJlEAlEAlEJlEJlEJlEJlEJlEJlEJlEJlEAlEAre4
602 606 1206 1200 0 0 02 604 606 1206 1200 0 0 02 22 3 2 32 22 3 2
3 6.MATRIZDERIGIDEZDOELEMENTOSEGUNDOSUASCOORDENADAS GLOBAIS [rg]
AAnaliseMatricialdeEstruturasrequeroconhecimentodasmatrizesderigidezdos
elementos segundo suas coordenadas globais [rg]. Sendo conhecidas a
[re], calcula-se a [rg] com:
onde:[e]=matrizdeincidnciacinemtica,oumatrizderotaodosistemadecoordenadaslocais
parao sistema de coordenadas globais. Para prtico plano: onde:
=nguloapartirdonj(inicial),entreahorizontaleoeixodoelemento,considerando
positivo se o sentido for anti-horrio Assim, tem-se [rg]6x6, com 4
quadrantes 7. MATRIZ DE RIGIDEZ DA ESTRUTURA [R]
AMatrizdeRigidezdaEstrutura[R]const
itudapelasomaadequadadasmatrizes[rg]de
todososelementos.Aordemdessamatrizdeacordocomosnmerosdegrausdeliberdade
decadan,ouseja,deacordocomosdeslocamentosdetranslaovertical,translao
horizontal e giro.Logo, [ ]11111111]1
1 0 00 cos sen0 sen cos1 0 00 cos sen0 sen cos e[ ] [ ] [ ]6 6 6
6 6 6 6 6. . ] [x xTx xe re e rg (02) (03) (01) ENTECA 2003 IV
ENCONTRO TECNOLGICO DAENGENHARIA CIVIL EARQUITETURA 546 [rg]6x6=Q1
Q2Q3 Q4j1j2j3k1k2k3j1 j2 j3 k1 k2 k3 onde: m = nmero de elementos
[rg*]ngl x ngl=Q3Q4Q1 Q21 2 ... j1 j2 j3 ...k1 k2
k312.j1j2j3k1k2k3... ... ... ... ... ngl..............ngl0 0 0 00
00 00 0 0 00 0 0 000 00 8. VETORES DE FORAS NODAIS {F}
OVetordeForasNodais{F}ligadoscoordenadasglobaisecompostode2parcelas,a
seguir: {F}= Ngl . 1onde,
{FNs}aparceladevidoscargasconcentradas(forasoumomentos)aplicadas
diretamente nos ns da Estrutura. { } { } { }BARRAS NSF F F + {
};'eeeNSMzFyFxF[ ] [ ] [ ] [ ]NglxNgl m NglxNgl NglxNgl NglxNglrg
rg rg R * * *2 1+ + + K(04) (05) (06) (07) (08) (09) ENTECA 2003 IV
ENCONTRO TECNOLGICO DAENGENHARIA CIVIL EARQUITETURA 547
{FBarras}aparceladevidaascargasaplicadasnoselementos.formadapelacontribuio
das cargas de todas as barras.
AscargasatuantesnasbarrasgeramoVetordeEngastamentoPerfeitonasCoordenadas
Locais {Poe} e o Vetor de Engastamento Perfeito nas Coordenadas
Globais {Pog}. 8.1 Vetor de Engastamento Perfeito nas Coordenadas
Globais {Pog}
ParaabarraplanadaFigura13sujeitaaumcarregamentoP,uniformementedistribudoao
longo de toda a barra de comprimentol, temos
Ovetor{FBarras}formadopelacontribuiodosvetores{Pog}doselementosquepossuem
cargas {Pog}=j1j2j3k2k1k3Q1Q2 { };'12 /2 /012 /2 /022PlPlPlPlPoe{ }
[ ] { } Poe e PogT { } { } { } { }Ngl m Ngl Ngl Ngl BarrasPog Pog
Pog F * * *2 1+ + + K(10) (11) (12) ENTECA 2003 IV ENCONTRO
TECNOLGICO DAENGENHARIA CIVIL EARQUITETURA 548 Q2k2k3Q1
j2{Pog*}=k1j3j100000000..................ngl1 9. VETOR DOS
DESLOCAMENTOS NODAIS {U}
Depoisdemontadaamatriz[R]eovetor{F}possvelcalcularovetordosdeslocamentos
nodais {U} utilizando da seguinte equao:
Deve-seantes,porm,aplicarascondiesdecontornoquesoascoordenadasglobaiscom
deslocamentos impedidos por vnculos. Assim, se a coordenada global
i estiver impedida por vnculo, deve-se: Zerar o termo i de {F}
Zerar toda a linha i de {R} Zerar toda a coluna i de {R} Fazer
R(i,i)=1
Feitoissoparatodasascoordenadascomvnculospode-secalcularoVetordos
Deslocamentos Nodais {U}: onde: {U} = vetor dos deslocamentos
nodais = (ngl x 1), segundo as coordenadas globais
10.VETORDOSDESLOCAMENTOSNAEXTREMIDADESDOSELEMENTOS SEGUNDO SUAS
COORDENADAS LOCAIS {de}
Depoisdecalculado{U},monta-seagoraoVetordosDeslocamentosdasExtremidadesdos
Elementos {dg},de acordo com suas Coordenadas Globais. {g} 6 x 1
Com {g} calcula-se o Vetor {e} atravs de: { } [ ]{ } U R F { } [ ]
{ } F R U1 { } [ ] { }1 6 6 6 1 6 x x xg e e (14) (15) (16) (17)
(13) ENTECA 2003 IV ENCONTRO TECNOLGICO DAENGENHARIA CIVIL
EARQUITETURA 549 11. VETOR DOS ESFOROS NAS EXTREMIDADES DO ELEMENTO
{Pe}
Tendoosdeslocamentosnodaiscalcula-seosesforosinternossolicitantes(M,N,V)dos
elementos,utilizando-sedascoordenadaslocais.Essesesforosinternossolicitantesiro
compor o Vetor {Pe} atravs da seguinte equao:
Comosresultadosobtidos,pode-setraarosdiagramasdeM,NeVdaestrutura,lembrando-se
que os resultados saem com a conveno adotada para as coordenadas
locais. 12. VETOR DE REAES DE APOIO {Fr} Transforma-se {Pe} para
coordenadas globais {Pg} fazendo: Calcula-se as reaes de apoio do
elemento {Fr} fazendo: {Fr*} = {Pg1*} + {Pg2*} + {Pg3*}+...
ondeonmerodeelementosdovetor{Pge*}definidodeacordocomonmerode
coordenadasglobaisdaestrutura,acrescentando-se0(zeros)atonmerodecoordenadas
globais definido. {Fr} = {Fr*}- (FNS} Para o clculo de {Fr}
precisa-se dos vetores {Pg} (um {Pg} para cada elemento). Tendo
{Pg} monta-se o vetor {Pg*} (um {Pg*} para cada elemento). { } { }
[ ][ ] e re Poe Pe + { } [ ]{ } Pe e PgT ;'MkQkNkMjQjNjPe} {onde: N
= Esforo NormalQ = Esforo Cortante M = Momento Fletor {
};'NNNrRMzRFyRFxF{ } [ ]{ } Pe e PgT (18) (19) (20) (21) (22) (23)
(24) ENTECA 2003 IV ENCONTRO TECNOLGICO DAENGENHARIA CIVIL
EARQUITETURA 550 Q2k2k3Q1 j2{Pg}=k1j3j1
.0Q2000.ngl.....k2k3k1Q1{Pg*}=0000j2.....j3..j1....1 13. ROTEIRO DE
CLCULO 1-Arbitrar a numerao do ns; 2-Arbitrar a numerao dos
elementos; 3-Arbitrar a incidncia dos elementos; 4-Calcula a
numerao das coordenadas globais; 5-Calcular as coordenadas globais
dos ns j e k de cada elemento 6-Calcular as coordenadas locais de
cada elemento 7-Calcular [re] de cada elemento; 8-Calcular [e] de
cada elemento; 9-Calcular [rg] de cada elemento; 10- Montar [R] 11-
Montar {FNs} 12- Calcular {Poe} de cada elemento; 13- Calcular
{Pog} de cada elemento; 14- Montar {FBarras} 15- Calcular {F} 16-
Aplicar as condies de contorno sobre [R] e {F} 17- Calcular {U}
(25) (25) ENTECA 2003 IV ENCONTRO TECNOLGICO DAENGENHARIA CIVIL
EARQUITETURA 551 18- Montar {g}de cada elemento 19- Calcular {e} de
cada elemento 20- Calcular {Pe} de cada elemento 21- Calcular {Pg}
de cada elemento 22- Calcular {Fr} 23- Analisar resultados {U}
deslocamentos nodais segundo as coordenadas globais {Fr} reaes de
apoio segundo as coordenadas globais {Pe} esforos internos segundo
as coordenadas locais de cada elemento 14. CONCLUSO
Apresentou-seumestudosobreaaplicaodaAnliseMatricialdeEstruturasnaresoluode
PrticosPlanos.Todasasetapasdetalanliseforamexplicitadas.Conclue-se,portanto,que
hsubsdiossuficientesparaqueseprocedaaprximaetapadaIniciaoCientficadoautor,
queaautomatizaodoprocedimentoexpostoatravsdalinguagemcomputacional
FORTRAN POWERSTATION 4. 15. REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS
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Universidade Federal de Minas Gerais. Belo Horizonte.
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Universidade Estadual de Maring. Maring.
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MOREIRA,DomincioFalco(1977).Anlisematricialdasestruturas.RiodeJaneiro,LivrosTcnicose
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Carlos.
