Fenômenos de Transporte III - PAIVA

ADIMENSIONALIZAÇÃO

Expressão das equações de Fenômenos de Transporte

na forma adimensionalizada

Correlações semi-empíricas generalizadas

Analogia dos FT’s

Simplificação das equações (equações

aproximadas)

Resultados semi-quantitativos

Simplificação das equações (equações

aproximadas)

Elaboração de critérios e modelos

Números ADIMENSIONAIS

(Re, Pr, Sc, Pe, Gr, Sh, Nu etc..)

“SCALING”

Identificação das ordens de grandeza

CFD _Fluidodinâmica Computacional

1

PQI-5776 Fenômenos de Transporte I - AULA 4

ADIMENSIONALIZAÇÃO

1

t ˆ t t 0

=

2

2

2

0

0

2

0

0

0

0

0

2

2

0

0

0

0

x ˆ

f

x

f

x ˆ

f

x ˆ x

f

) x x ˆ (

) f f (

) x x ˆ ( x

f

x x

f

x ˆ

f

x

f

) x x ˆ (

) f f (

x

f

=

=

=

=

=

=

PARÂMETROS CARACTERÍSTICOS: L , v , , t 0 0 0 r

0 0 0 t

t t ˆ ;

L

r r ˆ ;

v

v v ˆ ;

ρ

ρ ρ ˆ = = = =

r r

r r

ADIMENSIONALIZAÇÃO DAS VARIÁVEIS:

t ˆ t t ; r ˆ L r ; v ˆ v v ; ρ ˆ ρ ρ 0 0 0 = = = = r r r r

ADIMENSIONALIZAÇÃO DOS OPERADORES:

) ( lap L ) ( d a ˆ gr v i ˆ d ) ( p a ˆ l ; ) ( div L ) ( v i d ; ) ( d a gr L ) ( d a ˆ gr 2 = = = =

r r r

2

Equação da Continuidade

vρvidt

ρ

vt

Lvρvid

L

vρ

t

ρ

t

ρ

00

00

0

0 rr==

vρdivt

ρ r=

L

vtSr 00=

vρvidt

ρ

Sr

1 r=

STROUHAL

3

t0 : tempo para o escoamento “atingir o regime permanente”

ou associado à frequência em processo oscilatório.

Balanço microscópico de : =

=

r

rrjdivvρdiv

t

ρ

tD

D

=

rrjvρdiv

t

ρ

r= dagrjrr

Φ

σgradΓvρdivt

ρ=

r

Equação constitutiva de difusão: Г Φ n / Г Φ

V ν 1

w A D AB Sc

c p T a Pr

4

Equação de Conservação Generalizada

Φ

σgradΓvρdivt

ρ =

r

0000 Δˆ ; ttt;rLr;vvv;ρρρ =====rrrr

=

rr

r

r0

0000

00

0

ˆdagrΓL

ˆvvρvidL

1

t

ˆρ

t

1

Reagrupando-se os termos:

Φ

σˆdagrLv

Γρvidˆvρvid

L

Δvρ

t

ˆρ

t

Δρvρvid

t

ρ

vt

L

L

vρ

0

00

0

0

decontinuida,0

00

000

=

=

r

r

5

Equação de Conservação Generalizada

=

Δvρ

Lσˆdagr

Lv

Γˆvρvid

t

ˆρ

tv

L

00000

Φ

r

00 v

Lˆdagr

Pe

1ˆvρdiv

t

ˆρ

Sr

1

r

=

r

n=

n

n=

= Re

LvLvPe 00

PECLET

n= RePe

Φ

σgradΓvρdivt

ρ =

r

6

Equação de Conservação

Generalizada

Cp

k

r=aPRANDTL

a

n=Pr SCHMIDT

ABD

νSc=

PECLET

n= RePe CONVECÇÃO / DIFUSÃO

PECLET

MÁSSICO ScRePe = PrRePe =PECLET

TÉRMICO

Г Φ n / Г Φ

V ν 1

w A D AB Sc

c p T a Pr 7

Equação de Conservação Generalizada ADIMENSIONAIS

Equação da Continuidade para espécie A:

0A0

AAA

A

v

Lrˆdagr

Pe

1ˆvρvdi

t

ˆρ

Sr

1

r=

r

= A fração mássica 0

0ˆˆAAS

AAA

==

=

s.m

Adekg3AT r

Reação química

Equação Cinética:

=

Δvρ

Lσˆdagr

Pe

1ˆvρvid

t

ˆρ

tv

L

0000

Φr

8

Equação da Continuidade para espécie A – Escalas de tempos:

0A0

AA

0

ABA

A

00 vΔωρ

Lrωdagr

Lv

Dωvρvdi

t

ωρ

vt

L=

r

9

0A0

AA

0

ABA

A

00 vΔωρ

Lrωpal

Lv

Dωvρvdi

t

ωρ

vt

L=

r

A0

AA2

ABA

0A

0 Δωρ

rωpal

L

Dωvρvdi

L

v

t

ωρ

t

1=

r

R

A

D

A

C

A

0 t

1ωpal

t

1ωvρvdi

t

1

t

ωρ

t

1=

r

0C

v

Lt =

Convecção

A

A0R

rt

r=

Reação Difusão

AB

2

DD

Lt =

Equação da Continuidade para espécie A:

0A0

AAA

A

v

Lrˆdagr

Pe

1ˆvρvdi

t

ˆρ

Sr

1

r=

r

10

D

C

2

AB

0 t

t

L

D

v

L

Pe

1== 1

R

C

0A0

A Dat

t

vΔωρ

Lr==

DAMKÖHLER 1

1AAA Daωdagr

Pe

1ωvρvdi

t

ωρ

Sr

1=

r

Equação da Continuidade para espécie A:

0A0

AAA

A

vΔωρ

Lrωdagr

Pe

1ωvρvdi

t

ωρ

Sr

1=

r

x Pe:

ABA0

2

AAA

A

DΔωρ

LrωdagrωvPeρvid

t

ωρ

Sr

Pe=

r

A

A0R

rt

r=Tempo de

Reação:

Tempo de

Difusão: AB

2

DD

Lt =

11

2

R

D

A0

2

A Dat

t

DΔωρ

Lr==

AB

DAMKÖHLER 2

2AAA DaˆdagrˆvPeρvid

t

ˆρ

Sr

Pe=

r

Reação/difusão em poros de catalisador sólido –

Módulo de Thiele = Th = (Da2)0,5

Coeficientes Convectivos ADIMENSIONALIZAÇÃO

00 vΔρ

Lσˆdagr

Pe

1ˆvρdiv

t

ˆρ

Sr

1Φ

=

r

ESCOAMENTO + DIFUSÃO

COEFICIENTE DE CONVECÇÃO

INTERFACE / PAREDE

0, = Sparede COjr

12

0

W

x

y

grad φ

Coeficientes Convectivos ADIMENSIONAIS

CALOR k

LhTdagrNu

0r==

=

rNUSSELT

0rvdagrRe

1f ==

rQUANTIDADE DE

MOVIMENTO

FATOR DE

ATRITO

AB

0riD

LkwdagrSh ==

=

rMASSA SHERWOOD

00

0v

vΔρ

Lσˆdagr

Pe

1ˆvρdiv

t

ˆρ

Sr

1Φ

=

=

r

rPAREDENA

13 13

0

W

x

y

grad φ

CALOR Vρc

h

PrRe

Nu

Pe

NuSt

P

===

MASSA

V

k

ScRe

Sh

Pe

ShSt ===

ADIMENSIONAIS –ANALOGIA de REYNOLDS

NÚMERO DE STANTON

QUANTIDADE DE

MOVIMENTO

FATOR DE

FANNING 2

fSt =

St = NÚMERO DE STANTON

14

CALOR 1/3HPrRe

Nuj =

MASSA 1/3M

ScRe

Shj =

ADIMENSIONAIS –ANALOGIA DE COLBURN

QUANTIDADE DE

MOVIMENTO

FATOR DE

FANNING MH jj2

f==

FATOR j

15

Modelo do filme

0dy

ρdD

2

A

2

AB =

condições de contorno:

==

==

A0A

ASA

ρρ,

ρρ,0

y

y

perfil de concentrações: ASASA0

A ρyρρ

ρ

=

No caso diluído:

=

=

=

ASA0

0

AAA

ρρ

dy

ρjn AB

y

AB Dd

D

ASA0A ρρn = rk δ

Dk ABρ =

0Ar

ASr

An y

modelo

real

-FILME ESTAGNADO, PRÓXIMO À

INTERFACE/SUPERFÍCIE

-TRANSPORTE DE MASSA (NO

FILME) POR DIFUSÃO.

LEWIS E WHITMAN (1929)

16

Modelo de Higbie

PEQUENAS PORÇÕES DO LÍQUIDO SÃO

TRANSPORTADAS CONTINUAMENTE DO SEIO DO

LÍQUIDO PARA A INTERFACE,

PERMANECENDO EM CONTATO COM A FASE GÁS,

DURANTE UM TEMPO, Θ, NO QUAL OCORRE A

TRANSFERÊNCIA DE MASSA POR DIFUSÃO,

E DEPOIS SÃO TRANSPORTADOS PARA O SEIO DO

LÍQUIDO.

HIGBIE (1935)

0Ar

ASr

y

Ar

GÁS LÍQUIDO

17

Modelo de Higbie

0Ar

ASr

y

Ar

GÁS LÍQUIDO

2

A

2

ABA

dy

ρdD

Dt

Dρ= observação lagrangeana

Condições de contorno

==

==

==

A0A

ASA

A0A

ρρ,

ρρ,00

ρρ,0

y

yt

t

ABA0AS

AAS

Dt 2

yerf

ρρ

ρρ=

=

AB2

Dt 2

y

0AB

2

Dt 2

yerf dne n

Fluxo de transporte de massa instantâneo, no caso diluído:

tπ

Dρρ

dy

dρDjn AB

A0AS

0y

AAB0yA,0y A, =

=

=

==

Fluxo de transporte de massa médio é (tempo de contato θ)

π

Dρρ2

t

dt

π

Dρρnn AB

A0AS0

ABA0AS0A

A

=

== dt

πθ

D2k AB

ρ = 18

Subcamada viscosa

zona de amortecimento

região turbulenta

y

x

y+= 30

y+= 5

subcamada viscosa = yu 50 y

zona de amortecimento 05,3ln5 = yu 305 y

região turbulenta 5,5ln5,2 = yu 30y

ANALOGIAS – Escoamento turbulento

yd

ρdεDn A

DABA =

n

yuy 0=

0u

vu x=

r

00 =u

19

ANALOGIAS

20

)1251

ScRe2fSh

=

Scf

651ln1251

ScRe2fSh

ScScf =

ANALOGIA de Prandtl-Taylor

ANALOGIA de Von-Karman

Efeito de

Entrada

21

22

Shx – local – Tubo - laminar

ShLN e Sha – Tubo - Laminar

23

24

K – esferas

K – esferas

25

kC bolha – fase contínua

26