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Objetivos
o Calcular transformadas de Laplace y transformadas inversas de Laplace, utilizando cálculo simbólico.
o Comprobar propiedades de la transformada de Laplace.
Comandos de Matlab
1.‐ Obtener la transformada de Laplace de una función utilizando cálculo simbólico laplace(f)
Obtiene la transformada de Laplace de la función f(t), utilizando cálculo simbólico. La función transformada, por defecto, depende de la variable s, es F(s).
Ejemplo: f=sym('t^3'); F=laplace(f)
o también
syms t; F=laplace(t^3)
2.‐ Obtener la transformada inversa de Laplace de una función utilizando cálculo simbólico ilaplace(F)
Obtiene la transformada inversa de Laplace de la función F(s), utilizando cálculo simbólico. La función transformada inversa, por defecto, depende de la variable t.
Ejemplo: syms s; f=ilaplace(1/(s^2+1)/(s+1))
3.‐ Calcula el límite de una expresión utilizando cálculo simbólico limit(f,x,a) Obtiene el límite de la expresión f cuando la variable x tiende hacia a. Ejemplo:
syms x; L=limit(sqrt(x^4+1)/(x^2+1),x,inf)
Prácticas Matlab
PRÁCTICA TRANSFORMADA DE LAPLACE CURSO 2014-2015
CÁLCULO I I
Práctica 11 (19/05/2015)
PÁGINA 2 MATLAB: TRANSFORMADA DE LAPLACE
Ejercicios
Definición (Transformada de Laplace).‐ Sea f t una función definida para 0t y tal
que 0f t para 0t . Se llama transformada de Laplace de la función f t a la
función:
0
( ) ( ) ( ) stf t F s f t e dt
L
siempre que la integral anterior sea convergente.
Definición (Función de orden exponencial).‐ Una función f t , se denomina de tipo
exponencial “ ” si existen M y 0t tales que
0( ) tf t Me t t
Si una función f t es de tipo exponencial , también será exponencial de tipo 1 para todo
1 (ver figura). El conjunto de todos los valores que satisfacen dicha condición está
acotado inferiormente, y su ínfimo 0 se denomina abscisa de convergencia de f t .
10( ) , 0ttf t Me Me t t
TEOREMA (de existencia de la transformada de Laplace).- Sea f t una función
definida para 0t y tal que 0f t para 0t . Si f t es continua a trozos y además
f t es de tipo exponencial, entonces existe la transformada de Laplace para valores de
s tales que 0Re( )s , siendo 0 la abscisa de convergencia de f t .
TEOREMA.- Si f t verifica las condiciones del teorema de existencia anterior,
entonces la función transformada F s tiende a cero a medida que s tiende a infinito,
es decir ( ) 0slím F s
PÁGINA 3 MATLAB: PRÁCTICA 10
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
-1( ) ( )f t F s L ( ) ( )F s f t L
1. 1 1
, 0ss
2. nt 1
!, 0, 0
n
ns n
s
3. t 3 2 , 02
s s
4. 1
t 1 2 , 0s s
5. ate 1
, s as a
6. n att e 1
!, , 0
( ) n
ns a n
s a
7. sen a t 2 2
, 0a
ss a
8. cos a t 2 2
, 0s
ss a
9. sent a t 2 2 2
2, 0
( )
a ss
s a
10. cost a t 2 2
2 2 2, 0
( )
s as
s a
11. senbte a t 2 2,
( )
as b
s b a
12. cosbte a t 2 2,
( )
s bs b
s b a
1 Cálculo de transformadas de Laplace
Comprueba que para las funciones de la tabla se obtiene la transformada que se indica.
Indicaciones
A modo de ejemplo se muestra cómo obtener la transformada de la función de la filas 1 a 3. Código Matlab:
PÁGINA 4 MATLAB: TRANSFORMADA DE LAPLACE
syms t disp('fila 1') F=laplace(heaviside(t)) %heaviside(t) es la función escalón unidad disp('fila 2 para n=2') F=laplace(t^2) disp('fila 3') F=laplace(sqrt(t))
2
Propiedad (Multiplicación por la exponencial).‐ Si a es un número real cualquiera,
( ) ( ) ,ate f t s f t s a F s a s a L L
siendo la abscisa de convergencia de f t .
Considerar para verificar la propiedad anterior las funciones
1 (5 )f t tsen t 32 (5 )tf t e tsen t
Indicaciones
Código Matlab:
syms s t F=laplace(t*sin(5*t)) F1=laplace(exp(-3*t)*t*sin(5*t)) F2=subs(F,s,s+3)
Para comprobar la propiedad hay que observar que:
1 22
10 33
6 34
sF s F s
s s
PÁGINA 5 MATLAB: PRÁCTICA 10
3
Propiedad (Trasformada de la integral).‐ Si existe ( )f tL
para 0s ,
0
1( ) ,
t
f x dx F s ss
L
Considerar para verificar la propiedad las funciones
31 2f t x sen x 3
20
( 2 )t
f t x sen x dx
Indicaciones
Código Matlab: syms s t x F=laplace(t^3+sin(2*t)) F1=laplace(int(x^3+sin(2*x),x,0,t)) F2=1/s*F
Para comprobar la propiedad hay que observar que: 1
1F s F s
s
4
Propiedad (Traslación en el tiempo).‐ Si c es cualquier número real positivo,
( ) ( ) ,c s c sU t c f t c e f t e F s s L L
a) Obtener la transformada inversa de Laplace de las siguientes funciones,
utilizando código Matlab:
2
( 3)1
( 1)
sF s
s s
2
( 3)2
( 1)
ss eF s
s s
2
2
( 3)3
( 1)
ss eF s
s s
Observa que las transformadas 2F s y 3F s se obtienen a partir
de 1F s , multiplicando por una exponencial sce , con 0c .
b) Representar gráficamente sobre la misma figura las transformadas
inversas obtenidas, 1 , 2 , 3f f f , en el intervalo 0,14t .
c) ¿Qué relación observas entre las tres gráficas? ¿En qué propiedad de la transformada de Laplace se basa este resultado?
PÁGINA 6 MATLAB: TRANSFORMADA DE LAPLACE
Indicaciones
Código Matlab
%Aplicación de la propiedad traslación en el tiempo syms s % Define la transformada inicial, F1(s) F1=(s+3)/(s*(s^2+1)); % Calcula la transformada inversa de F1, la función f1(t) f1=ilaplace(F1) figure(1) % Dibuja la función f1(t) en el intervalo [0,14] con plot f1num=subs(f1,0:0.01:14); hold on plot(0:0.01:14,f1num,'b') % Define la transformada F2(s)=F1(s)*exp(-s*pi) F2=exp(-s*pi)*(s+3)/(s*(s^2+1)); % Calcula la transformada inversa de F2 f2=ilaplace(F2) % Dibuja la función f2(t) sobre la misma figura 1 f2num=subs(f2,0:0.01:14); plot(0:0.01:14,f2num,'r') % Define la transformada F3(s)=F1(s)*exp(-s*2) F3=exp(-s*2)*(s+3)/(s*(s^2+1)); % Calcula la transformada inversa de F3 f3=ilaplace(F3) % Dibuja la función f3(t) sobre la misma figura 1 f3num=subs(f3,0:0.01:14); plot(0:0.01:14,f3num,'g') title('transformadas inversas') legend('f(t)','f(t-pi)*U(t-pi)','f(t-2)*U(t-2)')
La solución obtenida es
1 2
3
( ) 3 3cos t sen t ; 3 3cos t- +sen t- ;
2 3 3cos t-2 sen t-2
f t U t f t U t
f t U t
Resumen de comandos
Se recogen aquí los comandos utilizados en esta práctica que se darán por conocidos en las prácticas siguientes y que conviene retener porque se podrán preguntar en las distintas pruebas
0 2 4 6 8 10 12 14-1
0
1
2
3
4
5
6
7transformadas inversas f(t)
f(t-pi)*U(t-pi)f(t-2)*U(t-2)
PÁGINA 7 MATLAB: PRÁCTICA 10
de evaluación. También se supondrán conocidos los comandos que fueron utilizados en prácticas anteriores y en las prácticas de Cálculo I.
Función escalón unidad: heaviside
Obtener la transformada de Laplace de una función simbólicamente: laplace
Obtener la transformada inversa de Laplace de una función: ilaplace
Calcular el límite de una expresión simbólica: limit
