pre-calculo-para-leigos (1).pdf

Introduo

Bem-vindos ao Pr-Clculo para Leigos. Este um livro no discriminatrio, de oportunidades iguais. Voc convidado a participar se for um gnio ou se (como ns) precisa de receita at para fazer gelo. No deixe o ttulo afastar voc. Se chegou to longe em matemtica, de maneira alguma voc um leigo! Voc pode estar lendo este livro por algumas razes perfeitamente boas. Talvez voc precise de um livro de referncia que possa realmente entender (nunca encontramos um livro de pr-clculo de que gostssemos). Talvez seu tutor escolar tenha lhe dito que tomar aulas de pr-clculo seria bom para seu aproveitamento na faculdade, mas voc no se importa com a matria e apenas quer ter uma boa nota. Ou, talvez voc esteja apenas contemplando comprar este livro para checar se formamos uma boa equipe (assim como voc espia seu encontro s cegas antes de entrar no restaurante). Independente do motivo por voc ter aberto este livro, ele vai te ajudar a navegar pelo difcil caminho que o pr-clculo.

Voc tambm pode estar pensando, Quando eu vou usar pr-clculo? Voc no est sozinho. Alguns dos nossos alunos tambm se referem a ele como algo intil. Bem, rapidamente eles descobriram como estavam enganados. Os conceitos deste livro so usados em muitas aplicaes do mundo real.

Este livro tem somente um e nico objetivo te ensinar pr-clculo da maneira menos dolorosa possvel. Se voc pensava que nunca conseguiria entender este assunto e acabaria com uma nota apenas decente na sua aula, voc se importaria em nos enviar uma carta? E-mail tambm bom. Adoramos ouvir as histrias de sucesso dos nossos alunos!

Sobre Este LivroEste livro no necessariamente destinado a ser lido a partir do incio. Est estruturado de uma forma que voc pode pular para um captulo em particular e encontrar o que precisa (aquelas coisas que sempre queremos saber). s vezes, podemos te dizer para olhar em outro captulo para obter uma explicao mais aprofundada, mas tentamos deixar cada captulo independente dos outros.

2 Pr-Clculo para Leigos

Todo vocabulrio matematicamente correto e claro. Tomamos liberdades em alguns pontos deste livro para tornar a linguagem mais abordvel e provvel. mais divertido assim.

Pr-clculo seu prprio tpico especial de matemtica. Veja s, alguns estados, como a Califrnia, no possuem nenhum padro de conjunto que os alunos precisam aprender para oficialmente dominar o pr-clculo Como um resultado, o assunto de pr-clculo varia entre as cidades, escolas e professores individuais. Como no sabemos o que seu professor quer que voc absorva deste curso, abordamos quase todos os conceitos de pr-clculo. Abordamos reas que talvez voc nunca vai usar. Mas tudo bem. Apenas use este livro de acordo com suas necessidades individuais.

Se voc usar este livro apenas para apropriadamente abrir uma porta ou como um destruidor de bugs, voc no vai ter o que precisa. Sugerimos duas alternativas:

5 Procure apenas o que voc precisa saber quando voc precisar saber. Este livro til para isto. Use o ndice Remissivo, a Tabela de Contedos, ou, melhor ainda, o rpido ndice encontrado na frente deste livro para encontrar o que precisa.

5 Comece pelo incio e leia todo o livro, captulo por captulo. Esta uma boa maneira de lidar com este assunto porque os tpicos, s vezes, so baseados nos anteriores. Mesmo se voc for um gnio da matemtica e quiser detalhar uma seo que pensa que conhece, pode acabar lembrando de algo que esqueceu. Recomendamos comear pelo incio, e, lentamente, passar por todo o material. Quanto mais prtica voc tiver, melhor.

Convenes Usadas neste LivroPara que a leitura deste livro seja consistente e hbil, ele usa as seguintes convenes:

5 Termos matemticos so escritos em itlico para indicar sua introduo e para te ajudar a encontrar suas definies.

5 Variveis tambm so escritas em itlico para distingui-las das letras comuns.

5 O passo a passo dos problemas est sempre em negrito para te ajudar a identific-los mais facilmente.

5 O smbolo para nmeros imaginrios um i minsculo.

Introduo 3

Suposies TolasNo podemos supor que, apenas, porque absolutamente amamos matemtica, voc compartilha o mesmo entusiasmo pelo assunto. Podemos supor, porm, que voc abriu este livro por alguma razo: Voc precisa de uma lembrana sobre o assunto, precisa aprender pela primeira vez, est tentando reaprender para a faculdade, ou precisa ajudar seu filho em casa a entender. Tambm podemos supor que voc j foi exposto, pelo menos em parte, a muitos dos conceitos encontrados neste tpico porque pr-clculo realmente leva geometria e conceitos de lgebra II para o prximo nvel.

Tambm supomos que voc est disposto a trabalhar. Embora pr-clculo no seja o nico objetivo dos cursos de matemtica por a, ainda um curso de matemtica de nvel mais alto. Voc vai ter de trabalhar um pouco, mas voc sabia disto, no sabia?

Tambm temos muita certeza de que voc uma alma aventureira e escolheu esta aula porque pr-clculo no necessariamente uma matria exigida no ensino mdio. Talvez porque voc ama matemtica como ns, ou porque no tem nada melhor para fazer da vida, novamente como ns, ou porque o curso vai melhorar sua performance na faculdade. Obviamente, voc conseguiu passar por alguns conceitos bem complexos em Geometria e lgebra II. Podemos supor que, se voc chegou to longe, vai chegar ainda mais. Ns vamos ajudar!

Como este Livro Est OrganizadoEste livro est dividido em quatro sees lidando com os conceitos mais frequentemente ensinados e estudados em pr-clculo.

Parte I: Configure, Resolva e Faa o GrficoOs captulos na Parte I comeam com uma reviso do material que voc j sabe de lgebra II. Ento, revisamos nmeros reais e como oper--los. A partir da abordamos funes, incluindo polinomiais, racionais, exponenciais e logartmicas, e fazemos grficos delas, resolvemos e executamos operaes nelas.

Parte II: Os Fundamentos da TrigonometriaOs captulos na Parte I comeam com uma reviso de ngulos, tringulos retos e propores trigonomtricas. Ento, criamos o glorioso crculo unitrio. Grfico de funes trigonomtricas pode ou no ser uma reviso, dependendo do curso de lgebra II que voc teve, ento, mostramos a voc como fazer o grfico pai das seis funes trigonomtricas bsicas e explicamos como transformar estes grficos para chegar aos mais complicados.


Esta parte tambm resolve as frmulas e identidades mais difceis para funes trigonomtricas, dividindo-as metodicamente para que voc possa internalizar cada identidade e realmente entend-las. Seguimos ento para a simplificao de expresses trigonomtricas e soluo de uma varivel desconhecida usando estas frmulas e identidades. E, finalmente, esta parte aborda como resolver tringulos que no so tringulos retos usando a Lei dos Senos e a Lei dos Cossenos.

Parte III: Geometria Analtica e Soluo de SistemaA Parte III aborda uma variedade de tpicos de pr-clculo. Comea com o entendimento de complexos nmeros e como realizar operaes com eles. A seguir, vm grficos de coordenadas polares e finalmente cnicas. Sistemas de equaes esto nesta parte, assim como sequncias e sries, e expanso binomial. Finalmente, esta parte conclui com clculo e o estudo de limites e continuidade de funes.

Parte IV: A Parte dos DezDepois de passar por tudo e chegar neste ponto do livro, voc deve estar observando o prximo grande desafio matemtico: clculo. (E se voc decidir parar com o pr-clculo, tudo bem tambm.) Mas antes de avanar para conceitos ainda mais complexos, voc precisa fazer duas coisas: pegar alguns bons hbitos matemticos para levar para o clculo, e destruir qualquer habito ruim que voc tenha desenvolvido ao longo do caminho. Esta parte te ajuda com estas tarefas. Ambas as pontas deste espectro so cruciais para o sucesso porque os problemas ficam maiores, e a pacincia dos professores para erros de lgebra fica menor.

cones Usados neste LivroAo longo deste livro voc vai encontrar pequenos desenhos (que chamamos de cones) que so destinados a chamar sua ateno para algo importante ou interessante a saber.

Este cone indica as regras bsicas do pr-clculo. Elas devem ser observadas sempre para que os problemas sejam resolvidos corretamente.

REG

RAS

DO PR

-CLCULO

Introduo 5

Este cone alerta voc para informaes que so teis, mas no exigidas para obter conhecimento total do conceito nesta seo.

Amamos Dicas! Quando voc vir este cone, sabe que ele direciona para uma maneira de tornar sua vida muito mais fcil. Mais fcil bom.

Voc ver este cone quando mencionarmos uma ideia antiga que voc nunca deve esquecer. Ele usado quando queremos que voc se recorde de um conceito previamente aprendido ou de um conceito de um curso de matemtica inferior.

Pense em Avisos como um grande sinal de pare. Sua presena alerta sobre erros comuns, ou aponta algo que pode ser uma armadilha.

Para Onde Ir DaquiSe voc tem um histrico realmente firme em lgebra bsica, sinta-se vontade para pular o Captulo 1 e ir direto para o Captulo 2. Se voc quiser relembrar, sugerimos ler o Captulo 1. De fato, tudo no Captulo 2 tambm uma reviso, exceto notao de intervalo. Ento, se voc for realmente impaciente ou se for um gnio da matemtica, ignore tudo at chegar notao de intervalo no Captulo 2. Conforme for seguindo o livro, tenha em mente que muitos conceitos em pr-clculo so retirados de lgebra II, ento, no cometa o erro de pular completamente os captulos, apenas porque parecem familiares. Eles podem soar familiares, mas, provavelmente, incluem algum material novo. Tambm no sentamos ao seu lado quando voc aprendeu lgebra II, logo, no podemos ter certeza do que o seu professor abordou. Ento, aqui est uma breve lista das sees que podem parecer familiares, mas inclui conceitos novos nos quais voc deve prestar ateno:

5 Traduo de funes comuns

5 Soluo de polinomiais

5 Toda informao trigonomtrica

5 Nmeros complexos

5 Matrizes

Ento, para onde ir a partir daqui? Vamos direto para o pr-clculo! Boa sorte.

TRUQ

UES M

ATEMTICOS

DICA

LEMB

RE-SE

CUIDA

DO!

Parte I

Configure, Resolva e Faa o Grfico

David est usando lgebra para calcular a gorgeta. Brbara, voc se importa em ser um

expoente fracional?

A 5a Onda Por Rich Tennant

Nesta parte...

Um objetivo principal do pr-clculo trazer tona as grandes ideias da lgebra e enfatizar as habilidades mais necessrias para o clculo. Esta parte une e expande estes conceitos de lgebra. E, talvez o mais importante, ela identifica os erros mais comuns que os alunos cometem em lgebra para que voc possa resolv-los antes de seguir adiante em conceitos de nvel mais alto.

Os captulos na Parte I trazem uma reviso do trabalho com nmeros reais, incluindo os sempre evasivos radicais. A partir da revisamos funes desde como fazer grfico delas, at transformar seus grficos pais, e como executar operaes nelas. Ento seguimos para polinomiais e revisamos como resolver polinomiais usando tcnicas comuns, incluindo fatorao, completar o quadrado e a frmula quadrtica. Tambm explicamos como fazer grfico de complexas funes polinomiais e racionais. E, finalmente, mostramos a voc como lidar com funes exponenciais e logartmicas.

Captulo 1

Pr-Pr-ClculoNeste Captulo

X Refrescando sua memria sobre nmeros e variveis X Aceitando a importncia dos grficos X Preparando para pr-clculo pegando uma calculadora grfica

Pr-clculo a ponte (ou purgatrio?) entre lgebra II e clculo. No seu escopo, voc vai revisar conceitos que viu anteriormente em matemtica, mas rapidamente trabalhou neles. Voc ver algumas ideias novas, mas tambm aquelas baseadas no material visto anteriormente; a principal diferena que os problemas ficam muito mais difceis (por exemplo, ir de sistemas para sistemas no lineares). Voc continua construindo at chegar ao final do curso, e o trabalho dobra no incio do clculo. Mas no tema! Estamos aqui para te ajudar a cruzar a ponte (sem pedgio!)

Como provavelmente voc j estudou lgebra, lgebra II e geometria, supomos ao longo deste livro que h certas coisas que voc j sabe como fazer. (Falamos sobre elas brevemente na Introduo deste livro). Porm, apenas para garantir, revisamos cada uma delas neste captulo com um pouco mais de detalhes antes de seguir para o pr-clculo.

Se abordarmos algum tpico neste captulo com o qual voc no familiar, no lembra como faz ou no se sente confortvel em fazer, sugerimos que pegue outro livro de matemtica Para Leigos e comece da. No se sinta um fracasso em matemtica se precisar fazer isto. Mesmo os profissionais precisam pesquisar estas coisas de vez em quando. Estes livros podem ser como enciclopdias ou a Internet se voc no conhece o material, pesquise e comece da.

Pr-Clculo: Uma Descrio GeralVoc no adora prvias de filmes e trailers? Algumas pessoas chegam cedo ao cinema apenas para ver o que est por vir no futuro. Bem, considere esta seo um trailer que voc v meses antes de o filme Pr-Clculo para Leigos sair! (Quem ser que vai fazer nosso papel no cinema?) Na lista a seguir, apresentamos algum material que

DICA

10 Parte I: Configure, Resolva e Faa o Grfico

voc aprendeu anteriormente em matemtica, e ento damos alguns exemplos de para onde o pr-clculo vai te levar a seguir:

5 lgebra I e II: Lidar com nmeros reais e resolver equaes e desigualdades.

Pr-clculo: Expressar desigualdades de uma nova maneira chamada notao de intervalo.

Antes, suas solues para desigualdades eram dadas como notao de conjunto. Por exemplo, uma soluo pode ser x > 4. Em pr-clculo, voc expressa esta soluo como um intervalo: (4, ). (Veja mais no Captulo 2).

5 Geometria: Resolver tringulos retos, onde todos os lados so positivos.

Pr-clculo: Resolver tringulos no-retos, onde os lados no so necessariamente sempre positivos.

Voc aprendeu que um comprimento nunca pode ser negativo. Bem, em pr-clculo voc usa nmeros negativos para lados de tringulos para mostrar onde estes tringulos ficam no plano coordenado (podem estar em qualquer lugar dos quatro quadrantes).

5 Geometria/trigonometria: Usar o Teorema de Pitgoras para encontrar o comprimento dos lados de um tringulo.

Pr-clculo: Organizar as informaes em um pacote correto conhecido como crculo unitrio (veja a Parte II).

Neste livro, damos a voc um atalho para encontrar os lados dos tringulos, que um atalho ainda mais curto para encontrar os valores trigonomtricos para os ngulos nestes tringulos.

5 lgebra I e II: Fazer grfico de equaes em um plano coordenado.

Pr-clculo: Fazer grfico de uma maneira totalmente nova, com o sistema de coordenada polar (veja o Captulo 11).

Diga adeus aos bons e velhos tempos de grfico no plano Cartesiano. Voc tem uma nova maneira de fazer grfico, e ela envolve andar em crculos. No estamos tentando te enlouquecer; na verdade, coordenadas polares podem te trazer timas figuras.

5 lgebra II: Lidar com nmeros imaginrios.

Pr-clculo: Adicionar, subtrair, multiplicar e dividir nmeros complexos fica chato quando os nmeros complexos esto em formato retangular (A + Bi). Em pr-clculo, voc vai se familiarizar com algo novo chamado de forma polar e vai usar isto para encontrar solues de equaes que voc nem sabia que existiam.

Captulo 1: Pr-Pr-Clculo 11

Todos os Fundamentos dos Nmeros (No, no como cont-los!)

Ao entrar em pr-clculo, voc deve estar confortvel com conjuntos de nmeros (naturais, inteiros, racionais, e assim por diante). Neste ponto da sua carreira matemtica, voc tambm deve saber como realizar operaes com nmeros. Revisamos rapidamente estes conceitos nesta seo. Tambm, certas propriedades so verdadeiras para todos os conjuntos de nmeros; alguns professores de matemtica podem querer que voc as conhea por nome, ento revisamos nesta seo tambm:

A variedade de tipos de nmeros: Termos para conhecerMatemticos estpidos adoram dar nomes s coisas; faz com que eles se sintam especiais. Neste esprito, matemticos anexaram nomes a muitos conjuntos de nmeros para separ-los e fortificar seus lugares nas cabeas dos alunos para sempre:

5 O conjunto de nmeros naturais ou contveis: {1, 2, 3...}. Note que o conjunto de nmeros naturais no inclui 0.

5 O conjunto de nmeros inteiros: {0, 1, 2, 3...}. O conjunto de nmeros inteiros, porm, inclui o nmero 0.

5 O conjunto de integrais: {...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...}. O conjunto de integrais inclui positivos, negativos e 0.

Lidar com integrais como lidar com dinheiro: Pense nos positivos como tendo dinheiro e nos negativos como no tendo. Isto importante quando operamos em nmeros (veja a prxima seo).

5 O conjunto de nmeros racionais, que so os nmeros que podem ser expressos como uma frao onde o numerador e o denominador so ambos integrais. A palavra racional vem da ideia de uma proporo (frao ou diviso) de dois integrais.

Exemplos de nmeros racionais incluem (mas de forma alguma so limitados a) , 72 e 0.23. Se voc analisar qualquer nmero racional em formato decimal, vai perceber que o decimal para ou se repete.

Somar ou subtrair fraes se trata de encontrar um denominador comum, e razes devem ser como termos para ser possvel som-las e subtra-las.

DICA


5 O conjunto de nmeros irracionais, que so todos os nmeros que no podem ser expressos como fraes. Exemplos de nmeros irracionais incluem 2, 21 e .

5 O conjunto de todos os nmeros reais, que engloba todos os conjuntos de nmeros previamente discutidos. Para exemplos de um nmero real, pense em um nmero... qualquer nmero. Seja qual for, real. Qualquer nmero das listas anteriores serve como um exemplo. Os nmeros que no so reais so imaginrios.

Como atendentes de telemarketing e anncios pop-up da Internet, nmeros reais esto em todo lugar; voc no pode fugir deles nem mesmo no pr-clculo. Por qu? Porque eles incluem todos os nmeros, exceto os seguintes:

Uma frao com um zero como denominador: Tais nmeros no existem.

A raiz quadrada de um nmero negativo: Estes nmeros so chamados de nmeros complexos (veja o Captulo 11).

Infinito: Infinito um conceito, no um nmero real.

5 O conjunto de nmeros imaginrios, que so razes quadradas de nmeros negativos. Nmeros imaginrios possuem uma unidade imaginria, como i, 4i, e 2i. Nmeros imaginrios antigamente eram nmeros fictcios, mas matemticos logo perceberam que estes nmeros surgiam no mundo real. Ainda os chamamos de imaginrios porque eles so razes quadradas de nmeros negativos, mas eles realmente existem. A unidade imaginria definida como i = 1 . (Para mais informaes sobre estes nmeros, v para o Captulo 11).

5 O conjunto de nmeros complexos, que so a soma e diferena de um nmero real e um nmero imaginrio. Nmeros complexos aparecem como estes exemplos: 3 +2i, , e 4 2 3i. Porm, eles tambm cobrem todas as listas anteriores, incluindo os nmeros reais (3 a mesma coisa que 3 + 0i) e os nmeros imaginrios (2i a mesma coisa que 0 + 2i).

O conjunto de nmeros complexos o conjunto mais completo de nmeros no vocabulrio matemtico, porque ele inclui nmeros reais (qualquer nmero que voc puder imaginar), nmeros imaginrios (i), ou qualquer combinao dos dois.

As operaes fundamentais que voc pode realizar em nmerosDe positivos a negativos at fraes, decimais e razes quadradas, voc deve saber como realizar todas as operaes bsicas em todos os nmeros reais. Isto significa somar, subtrair, multiplicar, dividir, extrair o expoente e a raiz quadrada de nmeros. A ordem de operaes a forma como voc executa estas operaes.

LEMB

RE-SE


O artifcio mnemnico mais frequentemente usado para lembrar a ordem PEMDAS, que significa:

1. Parnteses (e outros smbolos de agrupamento)

2. Expoentes

3. Multiplicao e Diviso, qual for o primeiro, da esquerda para a direita

4. Adio e Subtrao, qual for o primeiro, da esquerda para a direita

Um tipo de operao que a maioria dos seus alunos negligencia ou esquece de incluir na lista anterior: o valor absoluto. Valor absoluto a distncia de 0 na linha de nmero. Valor absoluto deveria ser includo com o passo dos parnteses, porque voc tem de considerar primeiro o que est dentro das barras de valor absoluto (porque as barras so um smbolo de agrupamento). No esquea que valor absoluto sempre positivo. Ei, mesmo se voc estiver andando para trs, ainda assim est andando!

As propriedades dos nmeros: Verdades a serem lembradas importante lembrar as propriedades dos nmeros porque voc vai us-las consistentemente em pr-clculo. Porm, frequentemente voc no as ver usadas pelo nome em pr-clculo, mas assumido que voc saiba quando precisa utiliz-las. A lista a seguir mostra as propriedades dos nmeros:

5 Propriedade reflexiva: a = a. Por exemplo, 10=10.

5 Propriedade simtrica: Se a = b, ento b = a. Por exemplo, se 5 + 3 = 8, ento 8 = 5 + 3.

5 Propriedade transitiva: Se a = b e b = c, ento a = c. Por exemplo, se 5 + 3 = 8 e 8 = 4 2, ento 5 + 3 = 4 2.

5 Propriedade comutativa de adio: a + b = b + a. Por exemplo, 2 + 3 = 3 + 2.

5 Propriedade comutativa de multiplicao: a b = b . a. Por exemplo, 2 3 = 3 2.

5 Propriedade associativa de adio: (a + b) + c = a + (b + c). Por exemplo, (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4).

5 Propriedade associativa de multiplicao: (a b) c = a (b c). Por exemplo, (2 3) 4 = 2 (3 4).

DICA

LEMB

RE-SE


5 Identidade Aditiva: a + 0 = a. Por exemplo, 0 + 3 = 3.

5 Identidade Multiplicativa: a 1 = a. Por exemplo, 4 1 = 4.

5 Propriedade Inversa Aditiva: a + (a) = 0. Por exemplo, 2 + 2 = 0.

5 Propriedade inversa multiplicativa: a (1 a) = 1. Por exemplo, 2 . = 1.

5 Propriedade distributiva: a(b + c) = a b + a c. Por exemplo, 10(2 + 3) = 10 2 + 10 3 = 50.

5 Propriedade multiplicativa de zero: a 0 = 0. Por exemplo, 5 . 0 = 0.

5 Propriedade de produto zero: Se a . b = 0, a = 0 ou b = 0. Por exemplo, se x(x + 2) = 0, ento x = 0 ou x + 2 = 0.

Se voc estiver tentando executar uma operao que no est na lista anterior, ento a operao provavelmente no est correta. Afinal, lgebra existe desde 1600 a.C., e se uma propriedade existe, algum, provavelmente, j a descobriu. Por exemplo, pode parecer convidativo dizer que 10(2 + 3) = 10 2 + 3 = 23, mas est incorreto. A resposta correta 10 2 + 10 3 =20 + 30 = 50. Saber o que voc no pode fazer to importante quanto saber o que voc pode fazer.

Colocando Expresses Matemticas em Formato Visual: Diverso com Grficos

Grficos so timas ferramentas visuais. Elas so usadas para exibir o que est acontecendo em problemas matemticos, em empresas e em experimentos cientficos. Por exemplo, grficos podem ser usados para mostrar como algo (como preos do mercado imobilirio) muda com o tempo. Pesquisas podem ser feitas para obter fatos ou opinies, e os resultados delas podem ser exibidos em um grfico. Abra o jornal em qualquer dia e voc pode encontrar um grfico em algum lugar.

Felizmente isto responde a pergunta de por que voc precisa entender como se constroem grficos. Mesmo que na vida real voc no ande por a com grficos e papel para anotar as decises que encontra, fazer grfico vital em matemtica e em outras partes da vida. Independente da ausncia de papel para grfico, grficos esto realmente em todo lugar.

Por exemplo, quando um cientista sai e coleta dados ou mede coisas, ele organiza os dados como valores x e y. Tipicamente, o cientista est procurando por algum tipo de relao geral entre estes dois valores para suportar sua hiptese. Estes valores podem ser ento grafados em um plano de coordenada para mostrar direes em dados. Um bom cientista pode mostrar que, quanto mais voc ler este livro, mais voc vai entender pr-clculo! (Outro cientista pode mostrar que pessoas com braos mais longos possuem ps maiores. Chato!).

LEMB

RE-SE


Digerindo termos bsicos e conceitosGrficos de equaes so uma grande parte de pr-clculo, e eventualmente clculo, ento queremos revisar os fundamentos de grfico antes de entrarmos em grficos mais complicados e no familiares que voc ver adiante neste livro.

Embora alguns dos grficos em pr-clculo paream muito familiares, alguns sero novos e possivelmente intimidantes. Estamos aqui para familiariz-lo com estes grficos para que voc possa estud-los em detalhes em clculo. Porm, as informaes neste captulo so principalmente informaes que seu professor de pr-clculo ou o livro iro supor que voc lembra-se de lgebra II. Ento voc prestou ateno, certo?

Cada ponto no plano de coordenadas no qual voc constri grficos composto pelo eixo horizontal ou x, e vertical, ou y, criando um plano de quatro quadrantes chamado de par coordenado (x, y), que frequentemente referenciado como um par de coordenadas Cartesianas.

O nome coordenadas Cartesianas vem do filsofo e matemtico francs que inventou toda esta coisa de grficos, Ren Descartes. Descartes trabalhou para unir lgebra e geometria Euclidiana (geometria plana), e seu trabalho influenciou no desenvolvimento da geometria analtica, clculo e cartografia.

Uma relao um conjunto (que significa um ou mais) de pares ordenados que podem ser grafados em um plano coordenado. Cada relao como um computador que expressa x como entrada e y como sada. Voc sabe que est lidando com uma relao quando est entre chaves (como estas: { }) e tem um ou mais pontos dentro. Por exemplo, R= {(2, 1), (3, 0), (4, 5)} uma relao com trs pares ordenados. Pense em cada ponto como (entrada, sada) assim como no computador.

O domnio de uma relao o conjunto de todos os valores de entrada do menor para o maior. O domnio do conjunto R {4, 2, 3}. O intervalo o conjunto de todos os valores de sada, tambm do menor para o maior. O intervalo de R {1, 0, 5}. Se algum valor no domnio ou intervalo for repetido, voc no precisa list-lo duas vezes. Na verdade, o domnio a varivel x e o intervalo y.

Se variveis diferentes aparecerem, como m e n, entrada (domnio) e sada (intervalo) geralmente vo alfabeticamente, a menos que lhe digam outra coisa. Neste caso, m seria sua entrada/domnio e n seria sua sada/intervalo. Mas quando escrita como um ponto, uma relao sempre (entrada, sada).

TRUQ

UES M

ATEMTICOS

LEMB

RE-SE


Grficos de igualdades versus desigualdadesQuando voc entendeu como fazer grfico de uma linha em um plano coordenado, voc aprendeu a pegar valores domnio (x) e plug-los na equao para resolver para o intervalo (y). E ento voc passou pelo processo mltiplas vezes, expressou cada par como um ponto coordenado, e conectou os pontos para formar uma linha. Alguns matemticos chamam isso de mtodo plug and chug.

Depois de um tempo neste trabalho tedioso, algum disse, Espera um pouco! Existe um atalho. Este atalho chamado de formato inclinao-interseo y = mx + b. A varivel m significa a inclinao (slope) da linha (veja a prxima seo), e b significa a interseo y (intercept ou onde a linha cruza o eixo y). Voc pode mudar equaes que no esto escritas no formato inclinao-interseo resolvendo por y. Por exemplo, fazer grfico de 2x 3y = 12 exige que voc subtraia 2x de ambos os lados primeiro para obter 3y = 2x + 12. Ento voc divide todos os termos por 3 para obter . Este grfico inicia em 4 no eixo y; para encontrar o prximo ponto, voc move para cima dois e para a direita trs (usando a inclinao). Inclinao sempre a frao porque inclinada neste caso .

Desigualdades so usadas para comparaes, que so uma grande parte do pr-clculo. Elas mostram uma relao entre duas expresses (estamos falando de maior do que, menor do que ou igual a). Fazer grfico de desigualdades comea exatamente da mesma maneira que fazer grfico de igualdades, mas, no final do processo de grfico (voc ainda coloca a equao no formato inclinao-interseo e grfico), voc tem duas decises a tomar:

5 A linha est sombreada y ou a linha est slida y ou y ?

5 Voc sombreia abaixo da linha y < ou y ou voc sombreia acima da linha y > ou y ? Simples desigualdades (como x < 3) expressam todas as respostas. Para desigualdades, voc mostra todas as respostas possveis sombreando o lado da linha que funciona na equao original.

Por exemplo, ao fazer grfico de y < 2x 5, voc segue estes passos:1. Inicie em 5 no eixo y e marque um ponto.2. Mova para cima dois e para a direita um para encontrar um

segundo ponto.3. Ao conectar os pontos, voc produz uma linha reta que ser

sombreada.4. Sombreie a metade inferior do grfico para mostrar todos

os pontos possveis na soluo.

Obtendo informaes de grficosDepois de se acostumar com pontos de coordenada e grficos de equao de linhas no plano coordenado, tpicos livros de matemtica e


professores vo comear a te fazer perguntas sobre os pontos e linhas que voc est grafando. As trs coisas que sero solicitadas que voc encontre so: a distncia entre dois pontos, o centro do segmento conectando dois pontos e a inclinao exata de uma linha que passa entre dois pontos. Falaremos mais sobre isto nas prximas sees!

Calculando distncia Saber como calcular distncia usando as informaes de um grfico

muito til para pr-clculo, pois nos permite revisar algumas coisas primeiro. Distncia o espao entre dois objetos, ou dois pontos. Para encontrar a distncia, d, entre dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) em um plano coordenado, por exemplo, use a frmula seguinte:

d = (x2 x1)2 + (y2 y1)

Voc pode usar esta equao para encontrar o comprimento do segmento entre dois pontos em um plano coordenado sempre que surgir a necessidade. Por exemplo, para encontrar a distncia entre A(6, 4) e B(2, 1), primeiro identifique as partes: x1 = 6 e y1 = 4;

x2 = 2 e y2 = 1. Coloque estes valores na frmula de distncia:

d = (2 6)2 + (1 4)2 . Isto simplificado em 73.

Encontrando o ponto do meio Encontrar o ponto do meio de um segmento vai trazer tona alguns

tpicos de pr-clculo como cnicos (Captulo 12). Para encontrar o ponto do meio do segmento conectando dois pontos, voc apenas calcula a mdia dos seus valores x e y e expressa a resposta como um par ordenado:

,Mx x y y

2 21 2 1 2=+ +

Voc pode usar esta frmula para encontrar o centro de vrios grficos em um plano coordenado, mas por enquanto voc est apenas encontrando o ponto central. Voc encontra o ponto do meio do segmento conectando os dois pontos AB (veja a seo anterior) usando a frmula anterior. Isto dever te dar , ou .

Desenhando a inclinao de uma linha Quando voc faz o grfico de uma equao linear, a inclinao tem o seu

papel. A inclinao de uma linha diz quo ngreme a linha est no plano coordenado. Quando voc tem dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) e precisa encontrar a inclinao da linha entre eles, usa a seguinte frmula:

m = x xy y

2 1

2 1

Se voc usar os mesmos dois pontos A e B das sees anteriores e anexar os valores na frmula, a inclinao de -.

REG

RAS

DO PR

-CLCULO

REG

RAS

DO PR

-CLCULO

REG

RAS

DO PR

-CLCULO


Inclinaes positivas sempre movem para cima e para a direita no plano. Inclinaes negativas movem para baixo ou para a esquerda. (Note que se voc moveu a inclinao para cima e para a esquerda, ela ser -/- , que na verdade positivo). Linhas horizontais possuem inclinao zero, e linhas verticais possuem inclinao indefinida.

Se algum dia se confundir com os diferentes tipos de inclinao, lembre-se do esquiador na pista de patinao:

5 Quando est subindo o morro, est fazendo muito trabalho (+ inclinao). 5 Quando est descendo o morro, o morro est fazendo o trabalho por ele ( inclinao).

5 Quando est parado no plano, no est fazendo trabalho nenhum (inclinao 0).

5 Quando chega ao topo (a linha vertical), est morto e no pode esquiar mais (inclinao indefinida)!

Obtendo um Grip em uma Calculadora Grfica

altamente recomendado que voc compre uma calculadora de grfico para o trabalho de pr-clculo. Desde a inveno da calculadora de grfico, as aulas de matemtica comearam a mudar seu escopo. Alguns professores sentem que a maior parte do trabalho deveria ser feita usando a calculadora. Professores de matemtica mais conservadores, porm, no permitem nem que voc use. Seu instrutor deve esclarecer suas ideias desde o primeiro dia de aula. Uma calculadora de grfico faz tantas coisas para voc, e mesmo se um professor no permitir que voc use uma em um teste, voc sempre pode usar uma para checar seu trabalho nas tarefas de casa.

H muitos tipos diferentes de calculadora de grfico, e seus funcionamentos internos so todos diferentes. Em relao a qual comprar, pea conselhos para algum que j teve aulas de pr-clculo, e ento busque na Internet pelo melhor negcio.1

Apenas uma dica: se voc encontrar alguma do modelo exato/aproximado, vai nos agradecer mais tarde porque ela lhe dar os valores exatos (ao invs de aproximaes decimais), que o que geralmente os professores esperam.

Recomendamos que se, por acaso, voc tiver permisso de usar calculadora de grfico, ainda assim faa o trabalho mo. E depois use a calculadora para checar seu trabalho. Desta forma, voc no vai ficar dependente da tecnologia fazer o trabalho por voc; algum dia, voc pode no ter permisso de usar uma (um teste de colocao em uma faculdade de matemtica, por exemplo).

1 Na nossa opinio, a TI-89 ou TI-89 Titanium a melhor calculadora de todas, mas claro, se voc souber como us-la (ns ainda estamos aprendendo!).

DICA

DICA


Muitos dos conceitos mais tericos neste livro, e em pr-clculo em geral, so perdidos quando voc usa sua calculadora de grfico. Tudo o que lhe dito coloque os nmeros e obtenha a resposta. Claro, voc obtm a resposta, mas realmente sabe o que a calculadora fez para obter a resposta? No. Para este objetivo, este livro passeia entre o uso da calculadora e fazer mo complicados e longos problemas. Mas mesmo que voc esteja autorizado a usar a calculadora de grfico, use com inteligncia. Se planeja seguir para clculo depois deste curso, voc precisa saber a teoria e os conceitos por trs de cada tpico.

No podemos nem comear a ensin-lo como usar sua exclusiva calculadora de grfico, mas os caras legais de Para Leigos da Wiley fornecem a voc livros inteiros sobre o uso delas, dependendo do tipo que voc possui. Podemos, no entanto, dar a voc algumas dicas gerais de como us-las. Aqui est uma lista de dicas que devem ajudar com sua calculadora de grfico.

5 Sempre certifique-se de que o modo na sua calculadora est configurado de acordo com o problema em que voc est trabalhando. Procure por um boto em algum lugar na calculadora que diz mode. Dependendo da marca da calculadora, ela vai permitir que voc altere coisas como graus ou raios, ou f(x) ou r(), que discutiremos no Captulo 11. Por exemplo, se voc estiver trabalhando em graus, deve ter certeza de que a calculadora sabe disso antes de pedir a ela para resolver um problema. O mesmo funciona ao trabalhar com raios. Algumas calculadoras possuem mais de 10 tipos diferentes de modos para escolher. Cuidado!

5 Tenha certeza de que pode resolver por y antes de tentar construir um grfico. Voc pode fazer grfico de qualquer coisa na sua calculadora, desde que consiga resolver por y. As calculadoras so configuradas para aceitar somente equaes que foram resolvidas por y.

Equaes que voc tem de resolver por x geralmente no so funes verdadeiras e no so estudadas em pr-clculo exceto sees cnicas, e os alunos normalmente no possuem permisso de usar calculadoras de grfico para este material porque est inteiramente baseado em grficos (veja o Captulo 12).

5 Conhea todos os menus de atalho disponveis para voc e use quantas funes da calculadora conseguir. Tipicamente, abaixo do menu de grfico da sua calculadora voc pode encontrar atalhos para outros conceitos matemticos (como alterar um decimal para uma frao, encontrar razes de nmeros, ou inserir matrizes, e ento realizar operaes com elas). Cada marca de calculadora de grfico exclusiva, ento leia o manual. Atalhos oferecem caminhos para checar suas respostas!

5 Digite uma expresso exatamente da maneira como ela aparece e a calculadora vai fazer o trabalho e simplificar a expresso. Todas as calculadoras de grfico fazem ordem de operaes para voc, ento voc no vai precisar se preocupar com a ordem. Apenas saiba que alguns atalhos matemticos embutidos automaticamente iniciam com parnteses.

LEMB

RE-SE

TRUQ

UES M

ATEMTICOS


Por exemplo, a calculadora que usamos inicia uma raiz quadrada como (ento todas as informaes que digitarmos depois disto esto automaticamente dentro do sinal de raiz quadrada at fecharmos os parnteses. Por exemplo, (4 + 5) e

(4) + 5 representam dois clculos diferentes e, logo, dois valores diferentes (3 e 7, respectivamente). Algumas calculadoras inteligentes at resolvem a equao para voc. Num futuro prximo, voc provavelmente nem ter de assistir aulas de pr-clculo; a calculadora vai assistir no seu lugar!

Ok, agora voc est pronto para pegar o voo do pr-clculo. Boa sorte para voc e curta a viagem!

Documents

pre-calculo-para-leigos (1).pdf