Pre Calculo Para Leigos

5/9/2018 Pre Calculo Para Leigos - slidepdf.com

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Introdução

Bem-vindos ao Pré-Cálculo para Leigos. Este é um livro nãodiscriminatório, de oportunidades iguais. Você é convidado a

participar se or um gênio ou se (como nós) precisa de receita atépara azer gelo. Não deixe o título aastar você. Se chegou tão longeem matemática, de maneira alguma você é um leigo! Você pode estarlendo este livro por algumas razões pereitamente boas. Talvez vocêprecise de um livro de reerência que possa realmente entender (nuncaencontramos um livro de pré-cálculo de que gostássemos). Talvez seu

tutor escolar tenha lhe dito que tomar aulas de pré-cálculo seria bompara seu aproveitamento na aculdade, mas você não se importa com amatéria e apenas quer ter uma boa nota. Ou, talvez você esteja apenascontemplando comprar este livro para checar se ormamos uma boaequipe (assim como você espia seu encontro às cegas antes de entrarno restaurante). Independente do motivo por você ter aberto este livro,ele vai te ajudar a navegar pelo diícil caminho que é o pré-cálculo.

Você também pode estar pensando, “Quando eu vou usar pré-cálculo?” Você não está sozinho. Alguns dos nossos alunos tambémse reerem a ele como algo inútil. Bem, rapidamente eles descobriram

como estavam enganados. Os conceitos deste livro são usados emmuitas aplicações do mundo real.

Este livro tem somente um e único objetivo – te ensinar pré-cálculoda maneira menos dolorosa possível. Se você pensava que nuncaconseguiria entender este assunto e acabaria com uma nota apenasdecente na sua aula, você se importaria em nos enviar uma carta? E-mail também é bom. Adoramos ouvir as histórias de sucesso dosnossos alunos!

Sobre Este LivroEste livro não é necessariamente destinado a ser lido a partir do início.Está estruturado de uma orma que você pode pular para um capítuloem particular e encontrar o que precisa (aquelas coisas que semprequeremos saber). Às vezes, podemos te dizer para olhar em outrocapítulo para obter uma explicação mais aproundada, mas tentamosdeixar cada capítulo independente dos outros.



2 Pré-Cálculo para Leigos

Todo vocabulário é matematicamente correto e claro. Tomamosliberdades em alguns pontos deste livro para tornar a linguagem maisabordável e provável. É mais divertido assim.

Pré-cálculo é seu próprio tópico especial de matemática. Veja só,alguns estados, como a Caliórnia, não possuem nenhum padrão deconjunto que os alunos precisam aprender para ocialmente dominaro pré-cálculo Como um resultado, o assunto de pré-cálculo varia entreas cidades, escolas e proessores individuais. Como não sabemos o queseu proessor quer que você absorva deste curso, abordamos quasetodos os conceitos de pré-cálculo. Abordamos áreas que talvez vocênunca vai usar. Mas tudo bem. Apenas use este livro de acordo comsuas necessidades individuais.

Se você usar este livro apenas para apropriadamente abrir uma

porta ou como um destruidor de bugs, você não vai ter o que precisa.Sugerimos duas alternativas:

5 Procure apenas o que você precisa saber quando você precisarsaber. Este livro é útil para isto. Use o Índice Remissivo, a Tabelade Conteúdos, ou, melhor ainda, o rápido Índice encontrado narente deste livro para encontrar o que precisa.

5 Comece pelo início e leia todo o livro, capítulo por capítulo. Estaé uma boa maneira de lidar com este assunto porque os tópicos,às vezes, são baseados nos anteriores. Mesmo se você or umgênio da matemática e quiser detalhar uma seção que pensaque conhece, pode acabar lembrando de algo que esqueceu.Recomendamos começar pelo início, e, lentamente, passar portodo o material. Quanto mais prática você tiver, melhor.

Convenções Usadas neste LivroPara que a leitura deste livro seja consistente e hábil, ele usa asseguintes convenções:

5

Termos matemáticos são escritos em itálico para indicar suaintrodução e para te ajudar a encontrar suas denições.

5 Variáveis também são escritas em itálico para distingui-las dasletras comuns.

5 O passo a passo dos problemas está sempre em negrito para teajudar a identicá-los mais acilmente.

5 O símbolo para números imaginários é um i minúsculo.



Introdução 3

Suposições TolasNão podemos supor que, apenas, porque absolutamente amamos

matemática, você compartilha o mesmo entusiasmo pelo assunto.Podemos supor, porém, que você abriu este livro por alguma razão:Você precisa de uma lembrança sobre o assunto, precisa aprenderpela primeira vez, está tentando reaprender para a aculdade, ouprecisa ajudar seu flho em casa a entender. Também podemos suporque você já oi exposto, pelo menos em parte, a muitos dos conceitosencontrados neste tópico porque pré-cálculo realmente leva geometria econceitos de Álgebra II para o próximo nível.

Também supomos que você está disposto a trabalhar. Emborapré-cálculo não seja o único objetivo dos cursos de matemática por

aí, é ainda um curso de matemática de nível mais alto. Você vai ter detrabalhar um pouco, mas você sabia disto, não sabia?

Também temos muita certeza de que você é uma alma aventureirae escolheu esta aula porque pré-cálculo não é necessariamente umamatéria exigida no ensino médio. Talvez porque você ama matemáticacomo nós, ou porque não tem nada melhor para azer da vida,novamente como nós, ou porque o curso vai melhorar sua perormancena aculdade. Obviamente, você conseguiu passar por alguns conceitosbem complexos em Geometria e Álgebra II. Podemos supor que, se vocêchegou tão longe, vai chegar ainda mais. Nós vamos ajudar!

Como este Livro Está OrganizadoEste livro está dividido em quatro seções lidando com os conceitosmais requentemente ensinados e estudados em pré-cálculo.

Parte I: Confgure, Resolva e Faça o GráfcoOs capítulos na Parte I começam com uma revisão do material que você

já sabe de Álgebra II. Então, revisamos números reais e como operá--los. A partir daí abordamos unções, incluindo polinomiais, racionais,exponenciais e logarítmicas, e azemos grácos delas, resolvemos eexecutamos operações nelas.

Parte II: Os Fundamentos da TrigonometriaOs capítulos na Parte I começam com uma revisão de ângulos, triângulosretos e proporções trigonométricas. Então, criamos o glorioso círculo unitário.Gráco de unções trigonométricas pode ou não ser uma revisão, dependendo

do curso de Álgebra II que você teve, então, mostramos a você como azero gráco pai das seis unções trigonométricas básicas e explicamos comotransormar estes grácos para chegar aos mais complicados.




Esta parte também resolve as órmulas e identidades mais diíceis paraunções trigonométricas, dividindo-as metodicamente para que vocêpossa internalizar cada identidade e realmente entendê-las. Seguimosentão para a simplicação de expressões trigonométricas e solução

de uma variável desconhecida usando estas órmulas e identidades.E, nalmente, esta parte aborda como resolver triângulos que não sãotriângulos retos usando a Lei dos Senos e a Lei dos Cossenos.

Parte III: Geometria Analítica e Solução de Sistema

A Parte III aborda uma variedade de tópicos de pré-cálculo. Começacom o entendimento de complexos números e como realizar

operações com eles. A seguir, vêm grácos de coordenadas polarese nalmente cônicas. Sistemas de equações estão nesta parte, assimcomo sequências e séries, e expansão binomial. Finalmente, esta parteconclui com cálculo e o estudo de limites e continuidade de unções.

Parte IV: A Parte dos DezDepois de passar por tudo e chegar neste ponto do livro, você deveestar observando o próximo grande desao matemático: cálculo. (E sevocê decidir parar com o pré-cálculo, tudo bem também.) Mas antes de

avançar para conceitos ainda mais complexos, você precisa azer duascoisas: pegar alguns bons hábitos matemáticos para levar para o cálculo,e destruir qualquer habito ruim que você tenha desenvolvido ao longodo caminho. Esta parte te ajuda com estas tareas. Ambas as pontasdeste espectro são cruciais para o sucesso porque os problemas cammaiores, e a paciência dos proessores para erros de álgebra ca menor.

Ícones Usados neste LivroAo longo deste livro você vai encontrar pequenos desenhos (que

chamamos de ícones ) que são destinados a chamar sua atenção paraalgo importante ou interessante a saber.

Este ícone indica as regras básicas do pré-cálculo. Elas devem serobservadas sempre para que os problemas sejam resolvidos corretamente.

R E G R A S

D O

P R É -CÁL C U

L O



Introdução 5

Este ícone alerta você para inormações que são úteis, mas nãoexigidas para obter conhecimento total do conceito nesta seção.

Amamos Dicas! Quando você vir este ícone, sabe que ele direcionapara uma maneira de tornar sua vida muito mais ácil. Mais ácil é bom.

Você verá este ícone quando mencionarmos uma ideia antiga quevocê nunca deve esquecer. Ele é usado quando queremos que você serecorde de um conceito previamente aprendido ou de um conceito deum curso de matemática inerior.

Pense em Avisos como um grande sinal de pare. Sua presença alertasobre erros comuns, ou aponta algo que pode ser uma armadilha.

Para Onde Ir Daqui Se você tem um histórico realmente rme em álgebra básica, sinta-seà vontade para pular o Capítulo 1 e ir direto para o Capítulo 2. Sevocê quiser relembrar, sugerimos ler o Capítulo 1. De ato, tudo

no Capítulo 2 também é uma revisão, exceto notação de intervalo.Então, se você or realmente impaciente ou se or um gênio damatemática, ignore tudo até chegar à notação de intervalo noCapítulo 2. Conorme or seguindo o livro, tenha em mente quemuitos conceitos em pré-cálculo são retirados de Álgebra II, então,não cometa o erro de pular completamente os capítulos, apenasporque parecem amiliares. Eles podem soar amiliares, mas,provavelmente, incluem algum material novo. Também não sentamosao seu lado quando você aprendeu Álgebra II, logo, não podemos tercerteza do que o seu proessor abordou. Então, aqui está uma brevelista das seções que podem parecer amiliares, mas inclui conceitos

novos nos quais você deve prestar atenção:

5 Tradução de unções comuns

5 Solução de polinomiais

5 Toda inormação trigonométrica

5 Números complexos

5 Matrizes

Então, para onde ir a partir daqui? Vamos direto para o pré-cálculo! Boa

sorte.

T R U Q U E S

M A TEM Á T I C O

S

D I CA

L E M B R

E-S E

C U

I D A DO!






Parte I

Confgure, Resolvae Faça o Gráfco

David está usando álgebra para calcular agorgeta. Bárbara, você se importa em ser um

expoente fracional?

A 5a Onda Por Rich Tennant



Nesta parte...

Um objetivo principal do pré-cálculo é trazer à tona asgrandes ideias da álgebra e enatizar as habilidades

mais necessárias para o cálculo. Esta parte une e expandeestes conceitos de álgebra. E, talvez o mais importante, elaidentifca os erros mais comuns que os alunos cometemem álgebra para que você possa resolvê-los antes de seguiradiante em conceitos de nível mais alto.

Os capítulos na Parte I trazem uma revisão do trabalhocom números reais, incluindo os sempre evasivos radicais.A partir daí revisamos unções – desde como azer grácodelas, até transormar seus grácos pais, e como executaroperações nelas. Então seguimos para polinomiais e

revisamos como resolver polinomiais usando técnicascomuns, incluindo atoração, completar o quadrado ea órmula quadrática. Também explicamos como azergráco de complexas unções polinomiais e racionais. E,nalmente, mostramos a você como lidar com unçõesexponenciais e logarítmicas.



Capítulo 1

Pré-Pré-Cálculo Neste Capítulo

X Rerescando sua memória sobre números e variáveis

X Aceitando a importância dos grácos

X Preparando para pré-cálculo pegando uma calculadora gráca

P ré-cálculo é a ponte (ou purgatório?) entre Álgebra II e cálculo.No seu escopo, você vai revisar conceitos que viu anteriormente

em matemática, mas rapidamente trabalhou neles. Você verá algumasideias novas, mas também aquelas baseadas no material vistoanteriormente; a principal dierença é que os problemas cam muitomais diíceis (por exemplo, ir de sistemas para sistemas não lineares).Você continua construindo até chegar ao nal do curso, e o trabalhodobra no início do cálculo. Mas não tema! Estamos aqui para te ajudar acruzar a ponte (sem pedágio!)

Como provavelmente você já estudou álgebra, Álgebra II e geometria,supomos ao longo deste livro que há certas coisas que você já sabecomo azer. (Falamos sobre elas brevemente na Introdução deste livro).Porém, apenas para garantir, revisamos cada uma delas neste capítulocom um pouco mais de detalhes antes de seguir para o pré-cálculo.

Se abordarmos algum tópico neste capítulo com o qual você não éamiliar, não lembra como az ou não se sente conortável em azer,sugerimos que pegue outro livro de matemática Para Leigos e comecedaí. Não se sinta um racasso em matemática se precisar azer isto.Mesmo os prossionais precisam pesquisar estas coisas de vez em

quando. Estes livros podem ser como enciclopédias ou a Internet – sevocê não conhece o material, pesquise e comece daí.

Pré-Cálculo: Uma Descrição Geral Você não adora prévias de lmes e trailers? Algumas pessoas chegamcedo ao cinema apenas para ver o que está por vir no uturo. Bem,considere esta seção um trailer que você vê meses antes de o lme Pré-Cálculo para Leigos sair! (Quem será que vai azer nosso papelno cinema?) Na lista a seguir, apresentamos algum material que

D I CA



10 Parte I: Confgure, Resolva e Faça o Gráfco

você aprendeu anteriormente em matemática, e então damos algunsexemplos de para onde o pré-cálculo vai te levar a seguir:

5 Álgebra I e II: Lidar com números reais e resolver equações e

desigualdades.Pré-cálculo: Expressar desigualdades de uma nova maneirachamada notação de intervalo.

Antes, suas soluções para desigualdades eram dadas comonotação de conjunto. Por exemplo, uma solução pode ser x > 4.Em pré-cálculo, você expressa esta solução como um intervalo:(4, ∞ ). (Veja mais no Capítulo 2).

5 Geometria : Resolver triângulos retos, onde todos os lados sãopositivos.

Pré-cálculo: Resolver triângulos não-retos, onde os lados não sãonecessariamente sempre positivos.

Você aprendeu que um comprimento nunca pode ser negativo.Bem, em pré-cálculo você usa números negativos para ladosde triângulos para mostrar onde estes triângulos cam noplano coordenado (podem estar em qualquer lugar dos quatroquadrantes).

5 Geometria/trigonometria: Usar o Teorema de Pitágoras paraencontrar o comprimento dos lados de um triângulo.

Pré-cálculo: Organizar as inormações em um pacote corretoconhecido como círculo unitário (veja a Parte II).

Neste livro, damos a você um atalho para encontrar os lados dostriângulos, que é um atalho ainda mais curto para encontrar osvalores trigonométricos para os ângulos nestes triângulos.

5 Álgebra I e II: Fazer gráco de equações em um plano coordenado.

Pré-cálculo: Fazer gráco de uma maneira totalmente nova, com osistema de coordenada polar (veja o Capítulo 11).

Diga adeus aos bons e velhos tempos de gráco no plano

Cartesiano. Você tem uma nova maneira de azer gráco, e elaenvolve andar em círculos. Não estamos tentando te enlouquecer;na verdade, coordenadas polares podem te trazer ótimas guras.

5 Álgebra II: Lidar com números imaginários.

Pré-cálculo: Adicionar, subtrair, multiplicar e dividir númeroscomplexos ca chato quando os números complexos estãoem ormato retangular (A + Bi ). Em pré-cálculo, você vai seamiliarizar com algo novo chamado de forma polar e vai usar istopara encontrar soluções de equações que você nem sabia queexistiam.



Capítulo 1: Pré-Pré-Cálculo 11

Todos os Fundamentos dos Números(Não, não é como contá-los!)

Ao entrar em pré-cálculo, você deve estar conortável com conjuntosde números (naturais, inteiros, racionais, e assim por diante). Nesteponto da sua carreira matemática, você também deve saber comorealizar operações com números. Revisamos rapidamente estesconceitos nesta seção. Também, certas propriedades são verdadeiraspara todos os conjuntos de números; alguns proessores de matemáticapodem querer que você as conheça por nome, então revisamos nestaseção também:

A variedade de tipos de números: Termos para conhecer

Matemáticos estúpidos adoram dar nomes às coisas; az com que elesse sintam especiais. Neste espírito, matemáticos anexaram nomes amuitos conjuntos de números para separá-los e orticar seus lugaresnas cabeças dos alunos para sempre:

5 O conjunto de números naturais ou contáveis: {1, 2, 3...}. Noteque o conjunto de números naturais não inclui 0.

5 O conjunto de números inteiros: {0, 1, 2, 3...}. O conjunto denúmeros inteiros, porém, inclui o número 0.

5 O conjunto de integrais: {...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...}. O conjunto deintegrais inclui positivos, negativos e 0.

Lidar com integrais é como lidar com dinheiro: Pense nospositivos como tendo dinheiro e nos negativos como não tendo.Isto é importante quando operamos em números (veja a próximaseção).

5 O conjunto de números racionais, que são os números quepodem ser expressos como uma ração onde o numerador e odenominador são ambos integrais. A palavra racional vem daideia de uma proporção (ração ou divisão) de dois integrais.

Exemplos de números racionais incluem (mas de orma algumasão limitados a) ⅕, –7 ⁄ 2 e 0.23. Se você analisar qualquer númeroracional em ormato decimal, vai perceber que o decimal para ouse repete.

Somar ou subtrair rações se trata de encontrar um denominadorcomum, e raízes devem ser como termos para ser possívelsomá-las e subtraí-las.

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5 O conjunto de números irracionais, que são todos os númerosque não podem ser expressos como rações. Exemplos denúmeros irracionais incluem 2, 21 e π.

5 O conjunto de todos os números reais, que engloba todos osconjuntos de números previamente discutidos. Para exemplosde um número real, pense em um número... qualquer número. Sejaqual or, é real. Qualquer número das listas anteriores serve comoum exemplo. Os números que não são reais são imaginários.

Como atendentes de telemarketing e anúncios pop-up da Internet,números reais estão em todo lugar; você não pode ugir deles –nem mesmo no pré-cálculo. Por quê? Porque eles incluem todos osnúmeros, exceto os seguintes:

• Uma ração com um zero como denominador: Tais

números não existem.• A raiz quadrada de um número negativo: Estes números

são chamados de números complexos (veja o Capítulo 11).

• Innito: Innito é um conceito, não um número real.

5 O conjunto de números imaginários, que são raízes quadradasde números negativos. Números imaginários possuem umaunidade imaginária, como i, 4i, e –2i. Números imagináriosantigamente eram números ctícios, mas matemáticos logoperceberam que estes números surgiam no mundo real. Aindaos chamamos de imaginários porque eles são raízes quadradas

de números negativos, mas eles realmente existem. A unidadeimaginária é denida como i = 1− . (Para mais inormações sobreestes números, vá para o Capítulo 11).

5 O conjunto de números complexos, que são a soma e dierença de um número real e um número imaginário. Números complexosaparecem como estes exemplos: 3 +2i, , e 4 – 2 ⁄ 3i. Porém, elestambém cobrem todas as listas anteriores, incluindo os númerosreais (3 é a mesma coisa que 3 + 0i ) e os números imaginários (2i é amesma coisa que 0 + 2i ).

O conjunto de números complexos é o conjunto mais completo de

números no vocabulário matemático, porque ele inclui númerosreais (qualquer número que você puder imaginar), númerosimaginários ( i ), ou qualquer combinação dos dois.

As operações undamentais quevocê pode realizar em númerosDe positivos a negativos até rações, decimais e raízes quadradas,você deve saber como realizar todas as operações básicas em todos osnúmeros reais. Isto signica somar, subtrair, multiplicar, dividir, extrairo expoente e a raiz quadrada de números. A ordem de operações é aorma como você executa estas operações.

L E M

B R E-S E




O artiício mnemônico mais requentemente usado para lembrar aordem é PEMDAS, que signica:

1. Parênteses (e outros símbolos de agrupamento)

2. Expoentes

3. Multiplicação e Divisão, qual or o primeiro, da esquerda para adireita

4. Adição e Subtração, qual or o primeiro, da esquerda para adireita

Um tipo de operação que a maioria dos seus alunos negligencia ouesquece de incluir na lista anterior: o valor absoluto. Valor absoluto é adistância de 0 na linha de número. Valor absoluto deveria ser incluídocom o passo dos parênteses, porque você tem de considerar primeiro oque está dentro das barras de valor absoluto (porque as barras são umsímbolo de agrupamento). Não esqueça que valor absoluto é semprepositivo. Ei, mesmo se você estiver andando para trás, ainda assim estáandando!

As propriedades dos números:Verdades a serem lembradasÉ importante lembrar as propriedades dos números porque você vai

usá-las consistentemente em pré-cálculo. Porém, requentemente vocênão as verá usadas pelo nome em pré-cálculo, mas é assumido que vocêsaiba quando precisa utilizá-las. A lista a seguir mostra as propriedadesdos números:

5 Propriedade refexiva : a = a. Por exemplo, 10=10.

5 Propriedade simétrica : Se a = b, então b = a. Por exemplo, se5 + 3 = 8, então 8 = 5 + 3.

5 Propriedade transitiva : Se a = b e b = c, então a = c. Porexemplo, se 5 + 3 = 8 e 8 = 4 · 2, então 5 + 3 = 4 · 2.

5 Propriedade comutativa de adição: a + b = b + a. Por exemplo,2 + 3 = 3 + 2.

5 Propriedade comutativa de multiplicação: a · b = b . a. Porexemplo, 2 · 3 = 3 · 2.

5 Propriedade associativa de adição: (a + b) + c = a + (b + c). Porexemplo, (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4).

5 Propriedade associativa de multiplicação: (a · b) · c = a · (b · c). Por exemplo, (2 · 3) · 4 = 2 · (3 · 4).

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5 Identidade Aditiva: a + 0 = a. Por exemplo, 0 + –3 = –3.

5 Identidade Multiplicativa: a · 1 = a. Por exemplo, 4 ·1 = 4.

5 Propriedade Inversa Aditiva: a + ( –a ) = 0. Por exemplo,2 + –2 = 0.

5 Propriedade inversa multiplicativa: a · ( 1 ⁄ a ) = 1. Por exemplo, 2 . ½ = 1.

5 Propriedade distributiva: a(b + c) = a · b + a · c . Por exemplo,10(2 + 3) = 10 · 2 + 10 · 3 = 50.

5 Propriedade multiplicativa de zero: a · 0 = 0. Por exemplo,5 . 0 = 0.

5 Propriedade de produto zero: Se a . b = 0 , a = 0 ou b = 0. Porexemplo, se x ( x + 2) = 0, então x = 0 ou x + 2 = 0.

Se você estiver tentando executar uma operação que não está na listaanterior, então a operação provavelmente não está correta. Afnal,álgebra existe desde 1600 a.C., e se uma propriedade existe, alguém,provavelmente, já a descobriu. Por exemplo, pode parecer convidativodizer que 10(2 + 3) = 10 · 2 + 3 = 23, mas está incorreto. A resposta corretaé 10 · 2 + 10 · 3 =20 + 30 = 50. Saber o que você não pode azer é tãoimportante quanto saber o que você pode fazer.

Colocando Expressões Matemáticas em

Formato Visual: Diversão com GráfcosGrácos são ótimas erramentas visuais. Elas são usadas para exibir oque está acontecendo em problemas matemáticos, em empresas e emexperimentos cientícos. Por exemplo, grácos podem ser usados paramostrar como algo (como preços do mercado imobiliário) muda como tempo. Pesquisas podem ser eitas para obter atos ou opiniões, e osresultados delas podem ser exibidos em um gráco. Abra o jornal emqualquer dia e você pode encontrar um gráco em algum lugar.

Felizmente isto responde a pergunta de por que você precisa entender

como se constroem gráfcos. Mesmo que na vida real você não andepor aí com gráfcos e papel para anotar as decisões que encontra, azergráfco é vital em matemática e em outras partes da vida. Independenteda ausência de papel para gráfco, gráfcos estão realmente em todo lugar.

Por exemplo, quando um cientista sai e coleta dados ou mede coisas,ele organiza os dados como valores x e y . Tipicamente, o cientista estáprocurando por algum tipo de relação geral entre estes dois valorespara suportar sua hipótese. Estes valores podem ser então graadosem um plano de coordenada para mostrar direções em dados. Um bomcientista pode mostrar que, quanto mais você ler este livro, mais você

vai entender pré-cálculo! (Outro cientista pode mostrar que pessoascom braços mais longos possuem pés maiores. Chato!).

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Digerindo termos básicos e conceitosGrácos de equações são uma grande parte de pré-cálculo, eeventualmente cálculo, então queremos revisar os undamentosde gráco antes de entrarmos em grácos mais complicados e nãoamiliares que você verá adiante neste livro.

Embora alguns dos grácos em pré-cálculo pareçam muito amiliares,alguns serão novos — e possivelmente intimidantes. Estamos aquipara amiliarizá-lo com estes grácos para que você possa estudá-losem detalhes em cálculo. Porém, as inormações neste capítulo sãoprincipalmente inormações que seu proessor de pré-cálculo ou olivro irão supor que você lembra-se de Álgebra II. Então você prestouatenção, certo?

Cada ponto no plano de coordenadas no qual você constrói grácos —composto pelo eixo horizontal ou x , e vertical, ou y , criando um planode quatro quadrantes — é chamado de par coordenado (x, y), que érequentemente reerenciado como um par de coordenadas Cartesianas.

O nome coordenadas Cartesianas vem do lósoo e matemático rancêsque inventou toda esta coisa de grácos, René Descartes. Descartestrabalhou para unir álgebra e geometria Euclidiana (geometria plana),e seu trabalho infuenciou no desenvolvimento da geometria analítica,cálculo e cartograa.

Uma relação é um conjunto (que signica um ou mais) de paresordenados que podem ser graados em um plano coordenado. Cadarelação é como um computador que expressa x como entrada e y como saída. Você sabe que está lidando com uma relação quandoestá entre chaves (como estas: { }) e tem um ou mais pontos dentro.Por exemplo, R= {(2, –1), (3, 0), (–4, 5)} é uma relação com três paresordenados. Pense em cada ponto como (entrada, saída) assim como nocomputador.

O domínio de uma relação é o conjunto de todos os valores de entradado menor para o maior. O domínio do conjunto R é {–4, 2, 3}. O intervalo é o conjunto de todos os valores de saída, também do menor para

o maior. O intervalo de R é {–1, 0, 5}. Se algum valor no domínio ouintervalo or repetido, você não precisa listá-lo duas vezes. Na verdade,o domínio é a variável x e o intervalo é y.

Se variáveis dierentes aparecerem, como m e n, entrada (domínio)e saída (intervalo) geralmente vão alabeticamente, a menos que lhedigam outra coisa. Neste caso, m seria sua entrada/domínio e n seriasua saída/intervalo. Mas quando escrita como um ponto, uma relação ésempre (entrada, saída).

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Gráfcos de igualdades versus desigualdadesQuando você entendeu como azer gráco de uma linha em um planocoordenado, você aprendeu a pegar valores domínio ( x ) e plugá-losna equação para resolver para o intervalo ( y ). E então você passoupelo processo múltiplas vezes, expressou cada par como um pontocoordenado, e conectou os pontos para ormar uma linha. Algunsmatemáticos chamam isso de método plug and chug.

Depois de um tempo neste trabalho tedioso, alguém disse, “Espera umpouco! Existe um atalho”. Este atalho é chamado de formato inclinação- interseção — y = mx + b. A variável m signifca a inclinação (slope) dalinha (veja a próxima seção), e b signifca a interseção y (intercept – ouonde a linha cruza o eixo y ). Você pode mudar equações que não estãoescritas no ormato inclinação-interseção resolvendo por y . Por exemplo,

azer gráfco de 2 x – 3 y = 12 exige que você subtraia 2 x de ambos oslados primeiro para obter –3 y = –2 x + 12. Então você divide todos ostermos por –3 para obter . Este gráfco inicia em –4 no eixo

y ; para encontrar o próximo ponto, você move para cima dois e para adireita três (usando a inclinação). Inclinação é sempre a ração porque éinclinada — neste caso ⅔.

Desigualdades são usadas para comparações, que são uma grande parte dopré-cálculo. Elas mostram uma relação entre duas expressões (estamos alandode maior do que, menor do que ou igual a). Fazer gráfco de desigualdadescomeça exatamente da mesma maneira que azer gráfco de igualdades, mas,no fnal do processo de gráfco (você ainda coloca a equação no ormatoinclinação-interseção e gráfco), você tem duas decisões a tomar:

5 A linha está sombreada – y <ou y > – ou a linha está sólida – y ≤ ou y ≥?

5 Você sombreia abaixo da linha — y < ou y ≤ — ou você sombreia acimada linha — y > ou y ≥? Simples desigualdades (como x < 3) expressamtodas as respostas. Para desigualdades, você mostra todas as respostaspossíveis sombreando o lado da linha que unciona na equação original.

Por exemplo, ao azer gráco de y < 2 x – 5, você segue estes passos:

1. Inicie em –5 no eixo y e marque um ponto.2. Mova para cima dois e para a direita um para encontrar umsegundo ponto.

3. Ao conectar os pontos, você produz uma linha reta que serásombreada.

4. Sombreie a metade inerior do gráco para mostrar todosos pontos possíveis na solução.

Obtendo inormações de gráfcosDepois de se acostumar com pontos de coordenada e grácos deequação de linhas no plano coordenado, típicos livros de matemática e




proessores vão começar a te azer perguntas sobre os pontos e linhasque você está graando. As três coisas que serão solicitadas que vocêencontre são: a distância entre dois pontos, o centro do segmentoconectando dois pontos e a inclinação exata de uma linha que passa

entre dois pontos. Falaremos mais sobre isto nas próximas seções!

Calculando distânciaSaber como calcular distância usando as inormações de um grácoé muito útil para pré-cálculo, pois nos permite revisar algumas coisasprimeiro. Distância é o espaço entre dois objetos, ou dois pontos. Paraencontrar a distância, d , entre dois pontos ( x 1, y 1 ) e ( x 2, y 2 ) em um planocoordenado, por exemplo, use a órmula seguinte:

d = ( x 2

– x 1 )2 + ( y

2– y

1 )

Você pode usar esta equação para encontrar o comprimento dosegmento entre dois pontos em um plano coordenado sempre quesurgir a necessidade. Por exemplo, para encontrar a distância entreA(–6, 4) e B(2, 1), primeiro identique as partes: x

1= –6 e y

1= 4;

x 2 = 2 e y

2 = 1. Coloque estes valores na órmula de distância:

d = (2 – 6)2 + (1 – 4)2 . Isto é simplicado em 73.

Encontrando o ponto do meio Encontrar o ponto do meio de um segmento vai trazer à tona alguns

tópicos de pré-cálculo como cônicos (Capítulo 12). Para encontrar o pontodo meio do segmento conectando dois pontos, você apenas calcula a médiados seus valores x e y e expressa a resposta como um par ordenado:

, M x x y y

2 21 2 1 2

=+ +

Você pode usar esta órmula para encontrar o centro de váriosgrácos em um plano coordenado, mas por enquanto você está apenasencontrando o ponto central. Você encontra o ponto do meio dosegmento conectando os dois pontos AB (veja a seção anterior) usandoa órmula anterior. Isto deverá te dar , ou .

Desenhando a inclinação de uma linhaQuando você az o gráco de uma equação linear, a inclinação tem o seupapel. A inclinação de uma linha diz quão íngreme a linha está no planocoordenado. Quando você tem dois pontos ( x 1, y 1 ) e ( x 2, y 2 ) e precisaencontrar a inclinação da linha entre eles, usa a seguinte órmula:

m = x x

y y

2 1

2 1

–

–

Se você usar os mesmos dois pontos A e B das seções anteriores e

anexar os valores na órmula, a inclinação é de -⅜.

R E G R A S

D O

P R É -CÁL C U

L O

R E G R A S D O

P R É -CÁL C U

L O

R E G R A S

D O

P R É -CÁL C U

L O




Inclinações positivas sempre movem para cima e para a direita noplano. Inclinações negativas movem para baixo ou para a esquerda.(Note que se você moveu a inclinação para cima e para a esquerda,ela será -/- , que é na verdade positivo). Linhas horizontais possuem

inclinação zero, e linhas verticais possuem inclinação indenida. Se algum dia se conundir com os dierentes tipos de inclinação,

lembre-se do esquiador na pista de patinação:

5 Quando está subindo o morro, está azendo muito trabalho (+ inclinação).

5 Quando está descendo o morro, o morro está azendo o trabalhopor ele (– inclinação).

5 Quando está parado no plano, não está azendo trabalho nenhum(inclinação 0).

5 Quando chega ao topo (a linha vertical), está morto e não podeesquiar mais (inclinação indenida)!

Obtendo um Grip em uma CalculadoraGráfca

É altamente recomendado que você compre uma calculadora de gráfco parao trabalho de pré-cálculo. Desde a invenção da calculadora de gráfco, asaulas de matemática começaram a mudar seu escopo. Alguns proessores

sentem que a maior parte do trabalho deveria ser eita usando a calculadora.Proessores de matemática mais conservadores, porém, não permitem nemque você use. Seu instrutor deve esclarecer suas ideias desde o primeiro diade aula. Uma calculadora de gráfco az tantas coisas para você, e mesmo seum proessor não permitir que você use uma em um teste, você sempre podeusar uma para checar seu trabalho nas tareas de casa.

Há muitos tipos dierentes de calculadora de gráco, e seusuncionamentos internos são todos dierentes. Em relação a qualcomprar, peça conselhos para alguém que já teve aulas de pré-cálculo,e então busque na Internet pelo melhor negócio.1

Apenas uma dica: se você encontrar alguma do modelo exato/aproximado, vai nos agradecer mais tarde porque ela lhe dará osvalores exatos (ao invés de aproximações decimais), que é o quegeralmente os proessores esperam.

Recomendamos que se, por acaso, você tiver permissão de usar calculadorade gráfco, ainda assim aça o trabalho à mão. E depois use a calculadora parachecar seu trabalho. Desta orma, você não vai fcar dependente da tecnologiaazer o trabalho por você; algum dia, você pode não ter permissão de usaruma (um teste de colocação em uma aculdade de matemática, por exemplo).

1 Na nossa opinião, a TI-89 ou TI-89 Titanium é a melhor calculadora de todas, mas claro, se vocêsouber como usá-la (nós ainda estamos aprendendo!).

D I CA

D I CA




Muitos dos conceitos mais teóricos neste livro, e em pré-cálculo emgeral, são perdidos quando você usa sua calculadora de gráco. Tudoo que lhe é dito é “coloque os números e obtenha a resposta”. Claro,você obtém a resposta, mas realmente sabe o que a calculadora ez

para obter a resposta? Não. Para este objetivo, este livro passeia entreo uso da calculadora e azer à mão complicados e longos problemas.Mas mesmo que você esteja autorizado a usar a calculadora de gráco,use com inteligência. Se planeja seguir para cálculo depois deste curso,você precisa saber a teoria e os conceitos por trás de cada tópico.

Não podemos nem começar a ensiná-lo como usar sua exclusiva calculadorade gráfco, mas os caras legais de Para Leigos da Wiley ornecem a você livrosinteiros sobre o uso delas, dependendo do tipo que você possui. Podemos,no entanto, dar a você algumas “dicas” gerais de como usá-las. Aqui está umalista de dicas que devem ajudar com sua calculadora de gráfco.

5 Sempre certique-se de que o modo na sua calculadora está congurado de acordo com o problema em que vocêestá trabalhando. Procure por um botão em algum lugarna calculadora que diz “mode”. Dependendo da marca dacalculadora, ela vai permitir que você altere coisas como grausou raios, ou f(x) ou r( θ ), que discutiremos no Capítulo 11. Porexemplo, se você estiver trabalhando em graus, deve ter certezade que a calculadora sabe disso antes de pedir a ela para resolverum problema. O mesmo unciona ao trabalhar com raios. Algumascalculadoras possuem mais de 10 tipos dierentes de modos para

escolher. Cuidado! 5 Tenha certeza de que pode resolver por y antes de tentar construir um

gráfco. Você pode azer gráfco de qualquer coisa na sua calculadora,desde que consiga resolver por y . As calculadoras são confguradas paraaceitar somente equações que oram resolvidas por y .

Equações que você tem de resolver por x geralmente não sãounções verdadeiras e não são estudadas em pré-cálculo — excetoseções cônicas, e os alunos normalmente não possuem permissãode usar calculadoras de gráco para este material porque estáinteiramente baseado em grácos (veja o Capítulo 12).

5 Conheça todos os menus de atalho disponíveis para você e use quantasunções da calculadora conseguir. Tipicamente, abaixo do menu de gráfcoda sua calculadora você pode encontrar atalhos para outros conceitosmatemáticos (como alterar um decimal para uma ração, encontrar raízesde números, ou inserir matrizes, e então realizar operações com elas). Cadamarca de calculadora de gráfco é exclusiva, então leia o manual. Atalhosoerecem caminhos para checar suas respostas!

5 Digite uma expressão exatamente da maneira como ela aparece e a calculadora vai azer o trabalho e simplifcar a expressão. Todas ascalculadoras de gráfco azem ordem de operações para você, então você

não vai precisar se preocupar com a ordem. Apenas saiba que algunsatalhos matemáticos embutidos automaticamente iniciam com parênteses.

L E M B R

E-S E

T R U Q U E S

M A TEM Á T I C O

S




Por exemplo, a calculadora que usamos inicia uma raiz quadradacomo (então todas as inormações que digitarmos depoisdisto estão automaticamente dentro do sinal de raiz quadrada atéecharmos os parênteses. Por exemplo, (4 + 5) e

(4) + 5 representam dois cálculos dierentes e, logo, doisvalores dierentes (3 e 7, respectivamente). Algumas calculadorasinteligentes até resolvem a equação para você. Num uturopróximo, você provavelmente nem terá de assistir aulas depré-cálculo; a calculadora vai assistir no seu lugar!

Ok, agora você está pronto para pegar o voo do pré-cálculo. Boa sortepara você e curta a viagem!

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Pre Calculo Para Leigos