Preparação para o Exame de Qualificação - PROFMAT Encontro 2: Geometria Espacial 1. Dado um plano e um ponto exterior, identifique o lugar geométrico dos pontos do plano que distam um comprimento do ponto dado. Discutir. 2. A r∈ e B s são os pés da perpendicular comum às retas ortogonais e r s . Marcam-se os pontos M r∈ e N s , tais que AM a=

e BN b= . Sabendo que AB d= , calcular a distância MN . 3. São dados dois planos secantes e α β , e um ponto P exterior a e α β . Pelo ponto P traçam-se as retas e r s , que interceptam e α β

no pontos: A r= ∩α , A' r= ∩β , B s= ∩α e B' s= ∩β . Prove que ocorre uma das duas condições:

a) As retas AB e A’B’ concorrem num ponto da interseção αβ .

b) As retas AB e A’B’ são ambas paralelas à interseção αβ .

4. Os triângulos equiláteros ABC e ABD pertencem às faces de um diedro de medida θ e aresta BC. Calcular a distância AD em função de θ e do lado a do triângulo ABC.

5. O ângulo formado por duas retas reversas é ψ e a distância entre elas é a . Tome-se numa delas um ponto B situado a uma distância

b da perpendicular comum às duas retas. Qual é a distância de B à outra reta. 6. Calcular a tangente trigonométrica do ângulo formado pelos planos e α β , sabendo que um triângulo equilátero pertence a α

projeta-se ortogonalmente sobre β segundo um triângulo isósceles com ângulo no vértice igual a 30º.

7. Considere dois planos perpendiculares e 'π π , bem como um plano γ oblíquo aos dois primeiros, mas paralelo a sua interseção 'ππ .

Considere ainda uma figura de área S pertencente a γ e, e designando por 1 2 e S S , respectivamente, as áreas das projeções ortogonais

daquela figura sobre e 'π π , prove que 2 2 21 2S S S= + .

8. Os vértices A e B de um triângulo distam e a b ( a b> ), respectivamente, de um plano α . Calcule a distância do vértice C a esse plano, sabendo que o baricentro do triângulo ABC pertence a α .

9. Considere o diedro PAQB, no qual o ângulo entre os planos P e Q vale 45º, sendo A e B pontos da aresta de interseção dos planos. Traça-se Ax e By perpendiculares a AB e sobre os semi-planos P e Q respectivamente; sobre Ax toma-se o ponto M, cuja projeção ortogonal sobre By é M’. Dados: AB d= e AM l= , determine os comprimentos BM’ e MM’. 10. Em um tetraedro de vértice tri-retângulo, provar que: a) Duas arestas opostas são ortogonais. b) O pé da altura traçada do vértice tri-retângulo é o ortocentro da face oposta.

c) Sendo , e a b c as arestas do vértice tri-retângulo e h a altura relativa a este vértice, então: 2 2 2 21 1 1 1h a b c

= + + .

d) A área de uma face é a média proporcional entre a área da face hipotenusa e a área de sua projeção sobre a face hipotenusa. e) A soma dos quadrados das áreas das faces do triedro tri-reto é igual ao quadrado da área da face da hipotenusa. 11. (Exame de Qualificação - PROFMAT) Seja ABC um triângulo equilátero de lado 6 e AD um segmento perpendicular ao plano desse triângulo de comprimento 8. (a) Localize o ponto P do espaço que é equidistante dos quatro pontos A, B, C e D e calcule a distância comum R PA PB PC PD= = = = . (b) Calcule o cosseno do ângulo entre as retas reversas AC e BD. 12. (Exame de Qualificação - PROFMAT) Na figura abaixo ABCDEFGH, é um cubo de aresta 1.AE, BF, CG e DH são arestas e a face ABCD está contida em um plano horizontal Π . Seja T o tetraedro BDEG. Seja X um ponto da aresta AE (diferente de A e de E) e 'Π o plano paralelo a Π que passa por X. A intersecção de 'Π com T é o quadrilátero MNPQ, como mostrado na figura. (a) (5pts) Mostre que MNPQ é um retângulo.

(b) (5pts) Mostre que o perímetro de MNPQ é igual a 2 2 , independentemente do ponto X.

13. (Exame de Qualificação - PROFMAT) No octaedro regular duas faces opostas são paralelas. Em um octaedro regular de aresta a, calcule a distância entre duas faces opostas. Obs: no seu cálculo, você pode afirmar as propriedades que está utilizando sem precisar demonstrá-las, mas deve descrevê-las detalhadamente.