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Proposta de Resolução do Exame-Tipo 3 Página 1
Preparar o Exame 2014 – 2016 – Matemática A
P R O P O S T A D E R E S O L U Ç Ã O D O E X A M E – T I P O 3
GRUPO I – ITENS DE ESCOLHA MÚLTIPLA
1. O vetor ( ) é um vetor normal ao plano e o vetor ( ) é um vetor normal ao plano
. Os planos e são perpendiculares se e só se os vetores e forem perpendiculares, ou seja,
. Assim,
( ) ( ) ( ) ( )
Como e são números reais não nulos, então , ou seja, e são simétricos e portanto, tendo em conta as
opções apresentadas, e .
Resposta: B
2. O número de casos possíveis é . Como se pretende que o número seja par, então para o algarismo das unidades
existem três hipóteses possíveis ( , ou ). Para cada uma destas hipóteses existem
maneiras de escolher o
restantes quatro algarismos (dos restantes seis escolhem-se ordenadamente quatro). Assim o número de casos
favoráveis é
e portanto, pela lei de Laplace, a probabilidade pedida é
.
Resposta: A
3. Seja o valor médio da variável aleatória . A curva de Gauss associada à variável aleatória é simétrica em
relação à reta de equação . Observa a figura seguinte.
Assim, como ( ) ( ) e
tem-se que e que | | | |.
Portanto,
.
Resposta: D
4. Por observação da figura verifica-se que ( ( )), ( ( )), ( ( )) e ( ( )). Tem-se:
( ) ( ) e ( ) ( )
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Assim:
[ ] ( ) ( ( ) ( )) ( ) (
)
( )
Resposta: C
5. Como ( ) é uma progressão geométrica, então
é constante para todo o natural (é igual à razão). Assim,
como , e são três termos consecutivos de ( ), tem-se:
( )
Logo, a razão da progressão é
e portanto o seu termo geral é:
(
)
(
)
(
)
A soma dos seus primeiros termos é dada por (
)
(
)
( (
) ). Logo:
( )
[
( (
) )]
( )
Portanto, as opções IAI , ICI e IDI são verdadeiras.
A opção IBI é falsa pois ( ) ( ) (
) (
) (
) ,
ou seja, ( ) é uma progressão aritmética de razão .
Resposta: B
6. Fazendo um quadro de variação do sinal da função , vem:
( ) n.d. n.d.
( ) Ponto
anguloso
Ponto
anguloso
O gráfico da opção IB não é o correto porque tem ponto de inflexão em e em e portanto nesses
pontos a segunda derivada é nula. Portanto o gráfico correto é o da opção ID .
Resposta: D
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7. Tem-se
( )
(
)
( )
(
)
(
). O número complexo
é um número real negativo seu
argumento for da forma . Assim:
Fazendo , vem
.
Resposta: C
8. Seja . Tem-se:
( ) ( ) ( ) ( ( ))
( ) ( ) ( )
Portanto a condição ( ) ( ) define uma circunferência de raio centrada na origem do
referencial.
Resposta: B
GRUPO II – ITENS DE RESPOSTA ABERTA
1. Tem-se:
( )
(
)
(
)
( )⏞
é raiz cúbica de se ( ) . Assim, ( )
(
)
(
)
e portanto é
raiz cúbica de . As restantes raízes cúbicas de são (
)
e (
)
.
2. Os pontos e são as imagens geométricas, respetivamente, dos números complexos e
, com , portanto ( ) e ( ). Como o ponto pertence ao eixo real e tem a
mesma abcissa que o ponto , então ( ). O ponto é a imagem geométrica do número complexo
( )
, logo (
). Na figura pode-se ver o quadrilátero [ ] representado no
plano complexo, para um certo número real .
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Seja o ponto de interseção do segmento de reta [ ] com a reta
de equação
, assim
e
,
portanto:
[ ] [ ] [ ]
√ √
Como vem √ e portanto √ √ )
.
i) Cálculo auxiliar: Para escrever √ √ na forma trigonométrica, vem: | | √( √ ) ( √ )
√ . Sendo
um argumento de , tem-se √
√ e quadrante, pelo que
. Assim,
.
3.
3.1.
▪ ( |( )) ( ( ))
( )
(( ) ( ))
( ) ( ) ( )
)
( ( ))
( ) ( ) ( ( ) ( ))
( )
( ) ( ) ( ) ( )
)
( ) ( )
( ) ( ) ( )
.
( )
𝑂 e(𝑧)
(𝑧)
𝑎
𝑎
𝑎
𝑎
𝑎
𝐷
𝐴 𝐵
𝐶
𝐸
( ) ( ) ( )
i)
ii) e são independentes ( ) ( ) ( ).
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▪ Tem-se que ( ) ( ) ( ) ( ) e que ( ) ( ) ( ) .
Assim:
( )
( ) ( ) ( )
Como , vem
e
.
Portanto, ( |( ))
( )
(
)
(
)
.
3.2. Considere-se os acontecimentos :«o trabalhador tem menos de 25 anos» e : «o trabalhador é solteiro». Os
acontecimentos e são independentes, portanto pode-se aplicar a igualdade enunciada em 3.1.. Do enunciado vem
( )
e ( | )
. Como e são independentes, tem-se ( ) ( | )
.
Pretende-se determinar ( |( )). Assim:
( |( ))
(
)
(
)
Portanto a probabilidade pedida é
.
4. Para solucionar este problema, comecemos por separá-lo em dois casos: os números naturais entre e
que se iniciam por e os que se iniciam por :
1.º Caso (os que se iniciam por ): pretende-se que a soma dos cinco algarismos seja um número ímpar. Como o
primeiro algarismo é ímpar, a soma dos restantes quatro terá de ser par. Portanto temos de considerar três casos: os
restantes quatro algarismos são ímpares, ou os restantes quatro algarismos são pares, ou entre os restantes quatro
algarismos, dois são pares e os outros dois ímpares.
Os restantes quatro algarismos são ímpares:
O total de números nestas condições é .
Os restantes quatro algarismos são pares:
O total de números nestas condições é:
ímpar ímpar ímpar ímpar
par par par par
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Entre os restantes quatro algarismos, dois são pares e dois são ímpares, por exemplo:
Começa-se por escolher as posições que os números ímpares (ou os pares) podem ocupar, o número de maneiras de
o fazer é
(entre as quatro posições escolhem-se duas, as restantes duas ficam para os pares). O total de números
nestas condições é:
2.º Caso (os que se iniciam por ): pretende-se que a soma dos cinco algarismos seja um número ímpar. Como o
primeiro é par, a soma dos restantes quatro terá de ser ímpar. Portanto temos de considerar dois casos: entre os
restantes quatro algarismos, três são ímpares e um é par, ou entre os restantes quatro algarismos, três são pares e um
é ímpar.
Entre os restantes quatro algarismos, três são
ímpares e um é par, por exemplo:
Começa-se por escolher as posições que os números
ímpares (ou o par) podem ocupar, o número de maneiras
de o fazer é
(ou
) (entre as quatro posições
escolhem-se três, a restante fica para o par). O total de
números nestas condições é:
Entre os restantes quatro algarismos, três são pares e
um é ímpar, por exemplo:
Começa-se por escolher as posições que os números
pares (ou o ímpar) podem ocupar, o número de maneiras
de o fazer é
(ou
) (entre as quatro posições
escolhem-se três, a restante fica para o ímpar). O total de
números nestas condições é:
Logo o total de números nas condições do enunciado é:
5.
5.1. Como corresponde às h da manhã, então corresponde às h min e corresponde às
h min. A função é contínua em [ ] pois é composição e diferença entre funções contínuas em [ ]. Logo,
é contínua em [ ] [ ]. Tem-se:
▪ ( ) ( ) ( )
▪ ( ) ( ) ( )
par ímpar ímpar ímpar
ímpar par par par
ímpar ímpar par par
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Assim, como ( ) ( ), pelo teorema de Bolzano ] [: ( ) , ou seja, existe um
instante entre as h min e as h min em que o parapente do Manuel esteve a metros de altura.
5.2. Tem-se:
▪ ( ) ( )
▪ ( )
Fazendo um quadro de variação do sinal da função , vem:
( )
( ) min. máx. min.
A função tem máximo em
. Conservando três casas decimais,
, que corresponde a minutos e a
minutos, isto é, o parapente do Manuel atingiu a altura máxima minutos e segundos após o
salto se ter iniciado. O valor dessa altura é dada por (
)
(
)
(
) metros.
6.
6.1.
▪ Assíntotas verticais
( )
√
√
( )
( e ) e e .
A reta de equação é assíntota vertical do gráfico da função . Como a função é contínua em { }, o seu
gráfico não tem mais assíntotas verticais.
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▪ Assíntotas não verticais
Quando :
( )
√
√ (
)
(
)
√ (
)
√ (
)
√ (
)
√ ( )
√
( ( ) )
√ (
)
(
)
√ (
)
(
)
√ ⏟
√
(
)
√
√
√
Nota: √ | | { e
e . Como pode assumir-se que é negativo, logo √ | | -
A reta de equação é assíntota horizontal do gráfico de , quando .
Quando :
( )
(
)
( ( ) )
( )
A reta de equação é assíntota oblíqua do gráfico de , quando .
6.2.
▪ Para [ [, tem-se que:
( ) ( ) e ( ) ( ) ( )
Como o ponto pertence ao gráfico de e o ponto pertence ao gráfico de , então:
( ( )) ( ) e ( ( )) ( ( ))
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▪ O triângulo [ ] é rectângulo em se . Assim:
( ) ( ( )) ( )
▪ Utilizando o editor de funções da calculadora, define-se ( ) na janela de visualização
[ ] [ ].
Logo:
( )
As coordenadas do ponto são ( ) ( ), e
do ponto são ( ( )) ( ).
Portanto:
[ ] ⏟
√( ) ( ) √ ⏟ √
√
7.
7.1. Tem-se:
▪
(
)
▪ e e
e
e
Portanto, para e , vem:
( ) e
7.2.
▪ Tem-se:
( ) e ( )
( )
( )
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Assim:
,
( )
( )
( )
Como o contradomínio da função é [ ], vem e ( )
▪ Sejam a reta da reta perpendicular à reta tangente ao gráfico da função no ponto de abcissa
e a reta tangente
gráfico da função no ponto de abcissa
. Como o vetor ( ) é um vetor diretor de , então
e portanto
. Logo, (
) .
Assim:
( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( e )
( ) e ( ) e ( ) ( ) e ( )
Portanto:
(
) ( ) e (
) ( ) e (
)⏟
( )
Com as equações de ( ) e de ( ) podemos formar um sistema que permitirá determinar os valores de , e :
{
{
( )
{
{
{
{
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8.
▪ Duas retas definem um plano se forem estritamente paralelas ou se forem concorrentes:
Tem-se
, portanto um vetor diretor da reta é ( ).
Um vetor diretor da reta é ( ), assim as retas e não são paralelas pois os vetores e não são
colineares.
Tem-se:
{
( ) ( ) ( )
{
{
{
{
Logo as retas e são concorrentes no ponto de coordenadas ( ) e portanto definem um plano.
▪ Sejam o plano definido pelas retas e , ( ) um vetor normal a e a reta perpendicular a que
contém o ponto ( ). Como a reta é perpendicular a , então um vetor diretor de pode ser .
O plano é definido pelas reta e , portanto e (ver figura). Assim vem:
{
{
( ) ( )
( ) ( ) {
{
{
{
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Concluímos então que as coordenadas do vetor são da forma (
), sendo um número real não nulo.
Fazendo, por exemplo, vem que ( ) é um vetor normal ao plano e consequentemente um vetor
diretor da reta . Assim as equações cartesianas da reta são
.
