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“Criando Fractais através de softwares e materiais

concretos”

SEMAT

3 a 6 de Novembro de 2015

Profa. Dra. Tatiana Miguel Rodrigues (UNESP/Bauru)

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A – Conteúdo

I. Introdução 3

II. Desenvolvimento Histórico 4

III. Fractais Clássicos 4

IV. Softwares para construção de Fractais 17

V. Desenvolvendo atividades concretas para a construção de Fractais 54

VI. Bibliografia 58

3

Resumo:

Esta apostila trata de uma introdução à Geometria Fractal, a qual

oferece métodos para analisar e descrever objetos e formas naturais

superando as limitações da Geometria Euclidiana, sendo, por exemplo, a

criação de “objetos” com dimensão fracionária. Esses “objetos” foram

denominados Fractais por Benöit Mandelbrot, iniciador dos estudos dessa nova

Geometria.

I. Introdução:

A natureza em geral é constituída por diversas formas nas quais

predominam a irregularidade e o caos. Tentar simplificá-las usando figuras da

geometria clássica, como triângulos, círculos, esferas seria inadequado. Em

contrapartida, encontramos uma boa aproximação para estas formas na

geometria fractal, cujas estruturas fornecem certa ordem ao irregular. Por tal

motivo ela está intimamente ligada à ciência do Caos podendo até ser

considerada a linguagem do caos.

Este minicurso tem como objetivo fazer um estudo introdutório da Geometria

Fractal. Nesta nova geometria, diferente da Euclidiana aprendida no curso de

Matemática, é possível encontrar objetos com dimensão fracionária. Benöit

Mandelbrot foi quem primeiramente utilizou a palavra “fractal” baseando-se no

adjetivo fractus que vem do verbo frangere, em latim, cujo significado é

quebrar, fragmentar.

As principais características de um fractal são: a auto semelhança e a

complexidade infinita, pois os fractais são obtidos a partir de processos

recursivos, isto é, a aplicação de uma mesma regra de construção infinitamente

dentro de si mesmos. Assim, eles tornam-se figuras com grande beleza e

complexidade, as quais cada parte é semelhante ao todo.

O auxílio da informática também foi de extrema importância para o

desenvolvimento da geometria fractal.

Existem aplicações dessa geometria em diversas áreas: na biologia (lei

de crescimento), ciência da computação (Meio-tom digital) e na arte, por

exemplo.

Neste minicurso descreveremos alguns dos fractais considerados

clássicos, tais como Curva de Koch, Peano e Hilbert, Conjunto de Cantor,

Triângulo e Tapete de Sierpinski e Esponja de Menger, Fractal Dürer, Conjunto

de Mandelbrot e Conjunto de Julia. Tal estudo foi feito quanto à contagem,

4

perímetro, área e volume, além de verificar as características principais e

desenvolvimento histórico. Também pretendemos utilizar três softwares

“Nfract”, “Cabri-Geometry” e “Geometricks” para a construção de fractais

analisando seus pontos positivos e negativos.

II. Desenvolvimento Histórico da Geometria Fractal:

Muitos matemáticos, ao longo da história, como George Cantor, Giusepe

Peano, Helge Von Koch e Waclaw Sierpinski estudaram algumas figuras que

não se enquadravam nas definições da geometria euclidiana. Tais figuras

ficaram conhecidas como “monstros matemáticos”. Tempos depois, com os

estudos de Benoit Mandelbrot, considerado o pai da Geometria Fractal, esses

monstros matemáticos passaram a ser chamados de Fractais Clássicos.

Mandelbrot nasceu em 1924 na cidade de Varsóvia (Polônia), de uma

família judia da Lituânia. Em 1936, mudou-se para Paris. Após a Segunda

Guerra Mundial, ingressou na Escola Normal passando, pouco tempo depois, à

Escola Politécnica. Seu tio Szolem Mandelbrot juntamente com outros jovens

matemáticos participavam do grupo Bourbaki que na época buscava reconstruir

a matemática francesa deixando-a mais formal e rigorosa, ignorando o aspecto

geométrico. Porém, Benoit Mandelbrot não defendia essas ideias. Em 1948 foi

estudar Ciência Aeroespacial nos Estados Unidos e após isto conseguiu um

cargo na IBM – Centro de Pesquisas Thomas Watson, trabalhando com

problemas de economia. Lá ele soube pelos engenheiros que havia um ruído

nas linhas telefônicas que interferia nos sinais e eles não conseguiam eliminar

devido à irregularidade dos ruídos. Mandelbrot resolveu esse problema

utilizando um trabalho de Georg Cantor chamado Poeira de Cantor. Depois

disso, continuou procurando problemas de cientistas de qualquer área para

aplicar suas ideias.

A geometria fractal de Mandelbrot reflete a natureza cheia de

irregularidades e fragmentação. Uma de suas indagações foi “Que extensão

tem o litoral da Grã-Bretanha?” cuja possível resposta varia de acordo com a

escala de medição. Teve muitos de seus trabalhos publicados. Sua obra mais

famosa é The Fractal Geometry of Nature, New York, Freeman, 1977. Faleceu

em 14 de outubro de 2010, aos 85 anos.

O Fractal de Mandelbrot é o mais famoso fractal gerado através de uma

função interativa.

5

Figura 1: Fractal de Mandelbrot.

III. Fractais Clássicos:

Vamos apresentar alguns dos Fractais Clássicos. Nesses fractais iremos

calcular, após o processo iterativo, o perímetro, a área e até o volume em

alguns casos. Dessa forma podemos visualizar alguns resultados

interessantes.

III.1 Triângulo e Tapete de Sierpinski

Iniciamos o processo a partir de um triângulo equilátero de lado 1 cm.

Desse triângulo retira-se outro cujos vértices são os pontos médios do inicial

obtendo o nível 1 do fractal. Repetindo o mesmo processo para os três

triângulos restantes obteremos o nível 2 do fractal e assim por diante até o

nível n. O limite desse processo gera o Triângulo de Sierpinski.

Analisaremos seu perímetro e sua área.

Figura 2: Triângulo de Sierpinski.

III.1.1. Perímetro:

O triângulo inicial possui três lados de medida 1 cm, portanto, seu

perímetro é 3 cm. No nível 1, há três triângulos cujos lados medem 1/2 cm, isto

é, metade do anterior. Assim, o perímetro será 3/2 cm. Já no nível 2 serão nove

triângulos com lados medindo 1/4 cm, então o perímetro será 3 . 9/4 cm.

Concluímos que no nível n o perímetro será 3 . (3/2)n cm.

A tabela abaixo ilustra o cálculo do perímetro deste fractal.

Nível Nº de Medida do lado Perímetro (cm)

6

Triângulos (cm)

0 1 1 3

1 3 ½ 3 . (3/2)

2 32 = 9 (½)2 = ¼ 3 . (3/2)2

... ... ... ...

N 3n (½)n 3 . (3/2)n

Percebemos que a cada nível o perímetro será 3/2 do anterior. Como 3/2

> 1, concluímos que no nível n, quando n tende ao infinito, o perímetro será

infinito. De fato,

n

n2

3.3lim

III.1.2. Área:

Sendo o triângulo inicial equilátero com lados de 1 cm, sua área A = √3/4

cm2. No nível 1 é retirado do inicial, um triângulo de área 1/4 de A. Então,

restam 3 triângulos congruentes totalizando uma área de 3/4 de A. No nível 2

serão 9 triângulos de área 1/16 e assim por diante.

A tabela abaixo ilustra o cálculo da área do Triângulo de Sierpinski.

Nível Nº de

Triângulos Área de cada triângulo

(cm2) Área Total

(cm2)

0 1 A A

1 3 A/4 (3/4) . A

2 32 A/42 (3/4)2 . A

... ... ... ...

N 3n A/4n (3/4)n . A

Concluímos que a área fica 3/4 menor a cada nível. Assim, como 0 < 3/4

< 1 no limite desse processo a área será zero. De fato,

.0.4

3lim

A

n

n

Com o mesmo princípio usado no triângulo podemos partir de um

quadrado de lado 1 cm, dividi-lo em 9 quadrados congruentes e retirar o do

meio. Após isso, repetimos o mesmo procedimento nos 8 quadrados restantes.

Continuando com esse processo obteremos o fractal conhecido como Tapete

de Sierpinski.

7

Figura 3: Tapete de Sierpinski.

III.2 Curva de Koch

Iniciamos a construção desse fractal com um segmento de reta unitário.

Dividimos o segmento em três partes, e no terço médio substituímos por um

triângulo equilátero sem sua base. Na iteração seguinte repetimos o segundo

passo para cada um dos quatro segmentos restantes. E assim repetimos

infinitamente.

Figura 4: Curva de Koch.

Da mesma forma que a curva de Koch, pode-se construir a “ilha de

Koch” ou “Floco de Neve de Koch”, porém, ao invés de iniciar o processo com

apenas um segmento, inicia-se com três segmentos congruentes formando um

triângulo equilátero de lado unitário.

8

Figura 5: Ilha de Koch.

III.2.1. Perímetro:

Consideramos o triângulo inicial formado por três segmentos de medida

1 cm, seu perímetro será 3 cm. No nível 1 do fractal, cada lado do triângulo

divide-se em quatro segmentos de medida 1/3 cm. Assim, o perímetro será 3 .

4 . 1/3 cm. No nível 2, cada um dos quatro segmentos de cada lado formará

mais quatro segmentos de medida 1/9 resultando no perímetro de 3 . (4/3)2.

Nível Nº de segmentos Comprimentos de casa

segmento Perímetro

0 3 1 3

1 3 . 4 = 12 1/3 3 . 4/3 = 4

2 3 . 42 = 48 (1/3)2 = 1/9 3 . (4/3)2

... ... ... ...

n 3 . 4n (1/3)n 3 . (4/3)n

Observando a tabela acima pode-se verificar que o comprimento da

figura a cada nível é 4/3 do anterior. Logo, no nível n o comprimento será 3 .

(4/3)n. Como 4/3 > 1, quando n tende ao infinito o perímetro será infinito.

.3

4.3lim

n

n

III.2.2. Área:

O triangulo inicial é equilátero, portanto sua área é A = √3/4 cm2. No

nível 1 podemos perceber que são acrescentados à figura inicial três triângulos

de área ∆ = A/9. No nível 2 somam-se quatro triângulos cuja área é ∆/9 em

cada um dos três lados da figura. No nível 3 mais 42 triângulos de área (1/9)² .

∆ nos três lados e assim por diante.

Dessa maneira, a área total da figura será a soma (Sn) de uma

Progressão Geométrica (P.G.) infinita de razão 4/9 (0 < 4/9 < 1) adicionada à

área inicial A. Assim, temos:

Sn = 3.∆ + 3(4/9).∆ + 3(4/9)2.∆ + ... + 3(4/9)n.∆

Percebemos que o fator 3.∆ é comum em todas as parcelas da soma.

Então vamos colocar 3.∆ em evidência.

Sn = 3.∆ . [1+ 4/9 + (4/9)2 + ... + (4/9)n]

Agora, aplicaremos a fórmula da soma de uma P.G. infinita: Sn = a1/(1-

q), onde Sn é a soma, a1 é o primeiro termo e q é a razão da P.G.

9

Sn = 3.∆ . [ 1/(1 – 4/9) ]

Sn = 3.∆ . [ 1/(5/9) ]

Sn = 3.∆ . [9/5]

Sn = 27/5 . ∆

Com isso, a área total (AT) será:

AT = A + 27/5 . ∆

Como ∆ = A/9 e A = √3/4 cm2, temos:

AT = A + 27/5 . A/9

AT = A + 3/5 . A

AT = 8/5 . A

AT = 8/5 . √3/4 cm2 = 2√3/5 cm2 ≈ 0,7 cm2

Logo, a área da ilha de Koch é aproximadamente 0,7 cm2. Enquanto seu

perímetro é infinito, sua área é finita e menor que 1 cm2.

III.3 Esponja de Menger

Para a construção deste fractal consideramos um cubo de aresta 1 cm,

dividimos ele em 27 cubos (por planos secantes e ortogonais às faces) que

possuirão arestas de 1/3 cm. Agora retiramos o cubo central e os cubos

centrais de cada face. Repetindo esse processo indefinidamente em cada um

dos cubos restantes obtemos a Esponja de Menger.

Este será o único fractal tridimensional que descreveremos neste

relatório. Neste caso, foi feito o estudo de sua área, como nos outros e o

cálculo do seu volume.

Figura 6: Esponja de Menger.

10

III.3.1 Área:

Seja F a área da face do cubo inicial, assim a área total (A) deste é 6F.

No nível 1 do fractal são retirados de cada face um quadrado de área F/9,

sendo no total retirados 6F/9. Porém, na parte interna da figura serão

acrescentados a área de 4 quadrados de área F/9 em cada uma das 6 faces.

Então, a área restante (A1) será:

A1 = 6.F – 6.F/9 + 4.6.F/9 = 6.F + F.(24/9 – 6/9) = 6.F + 18.F/9 = 6.F +

2.F = 8.F

Logo, a área aumentou de 6F pra 8F, ou seja, teve um aumento de 8/6 =

4/3 em relação ao nível anterior. Dessa forma, em cada nível a área será 4/3

da área anterior. Como 4/3 > 1, quando o número de níveis para obter-se o

fractal tender ao infinito a área será infinita.

..3

4lim

A

n

n

III.3.2 Volume:

Primeiro consideramos um cubo de aresta 1 cm, sendo assim seu

volume é 1 cm3. No nível 1 divide-se ele em 27 cubos de volume 1/27 do total.

Desses são retirados 7, restando 20 cubos na figura. Assim, o volume restante

será 20/27 cm3. No nível 2, em cada um dos 20 cubos de volume 1/27 cm3 são

retirados 7 cubos de volume 1/27 do anterior, ou seja, (1/27)2 cm3. Assim,

restarão 20 cubos de volume (1/27)2 em cada um dos 20 iniciais. Logo, o

volume será (20/27)2. Dessa forma, no nível n o volume do fractal será (20/27)n.

Nível Nº de cubos Volume de cada cubo Volume total

0 1 1 1

1 20 1/27 20/27

2 202 (1/27)2 (20/27)2

... ... ... ...

n 20n (1/27)n (20/27)n

Observa-se na tabela acima que o volume em cada nível é 20/27 do

anterior.

Como 0 < 20/27 < 1, no limite desse processo o volume será nulo.

Então, o volume da Esponja de Menger é zero enquanto que sua área é

infinita, isto é,

11

.027

20lim

n

n

III. 4 Conjunto de Cantor

George Cantor (1845-1918) foi um importante matemático que focou

seus estudos na fundamentação da matemática e o primeiro a estudar a Teoria

dos Conjuntos no século XIX. Em 1883, publicou um trabalho sobre um

determinado conjunto conhecido hoje como “Conjunto de Cantor” ou “Poeira de

Cantor”.

Existem dois métodos para se obter esse fractal, o geométrico e o

numérico. Para a construção deste fractal pelo método geométrico iniciamos

com um segmento de reta de 1 cm. Dividimos esse segmento em três partes

iguais e retiramos a do meio, restando dois segmentos de medida 1/3 cm cada.

Dividindo novamente cada um dos segmentos restantes ficaremos com 4

segmentos de medida 1/9. Repetimos este processo em cada segmento

restante indefinidamente para obter o Conjunto de Cantor.

Figura 7: Conjunto de Cantor.

No método numérico, supomos que o segmento de reta inicial seja o

intervalo fechado C = [0, 1] dentro do conjunto dos números reais. Quando o

dividimos em três partes iguais e retiramos o terço médio ficaremos com o

intervalo C1 = [0, 1/3] U [2/3, 1]. Aplicando o mesmo processo nos intervalos [0,

1/3] e [2/3, 1] obteremos o intervalo C2 = [0, 1/9] U [2/9, 1/3] U [2/3, 7/9] U [8/9,

1]. Assim, no nível n obteremos o intervalo Cn que será a união disjunta de 2n

intervalos fechados de comprimento 1/3n cada.

O Conjunto de Cantor é o conjunto de todos os pontos que permanecem

após as infinitas etapas.

Nível Intervalo Número de segmentos

Comprimento de cada

segmento

Comprimento total

0 C = [0, 1] 1 1 1

1 C1 = [0, 1/3] U [2/3,

1] 2 1/3 1/3

2 C2 = [0, 1/9] U [2/9, 1/3] U [2/3, 7/9] U

4 1/9 4/9

12

[8/9, 1]

... ... ... ... ...

n Cn 2n 1/3n (2/3)n

Como 0 < 2/3 < 1, no limite deste processo, quando n tender ao infinito,

temos:

.03

2lim

n

n

Concluímos que o comprimento do Conjunto de Cantor é zero.

III. 5 Curva de Peano

Giusepe Peano (1858-1932), importante matemático italiano, em 1890

publica um trabalho aprofundando noções de continuidade e dimensão. Nesse

trabalho também publica sua famosa curva, também conhecida como “monstro

de Peano”, como uma proposta de curva para cobrir totalmente uma superfície

plana.

Para a construção dessa curva inicia-se com um segmento de reta. Em

seguida, substitui-se esse segmento por uma curva com nove segmentos de

medida 1/3 do inicial como na figura abaixo. Então, cada um dos novos

segmentos deve ser substituído pela curva da mesma forma e assim

sucessivamente.

Figura 8: Curva de Peano.

O comprimento dessa curva pode ser calculado da seguinte forma:

suponhamos que o segmento inicial tenha medida 1 cm. No próximo nível há 9

segmentos de medida 1/3 cm resultando em 9/3 = 3 cm de comprimento. No

nível seguinte cada um dos 9 segmentos formarão mais 9 resultando em 92 =

13

81 segmentos de medida 1/3 do anterior, ou seja, (1/3)2 = 1/9 cm, portanto, o

comprimento será de 81 x 1/9 = 9 = 32. Observamos que a cada nível o

comprimento é multiplicado por 3, tendendo assim ao infinito. Assim, no nível n

o comprimento será 3n cm. No limite deste processo, quando n tender ao

infinito, temos:

.3lim

n

n

Então, podemos afirmar que o comprimento da Curva de Peano é

infinito.

III. 6 Curva de Hilbert

David Hilbert (1862-1943), em 1891 publicou sua curva de cobertura da

superfície de um quadrado. A Curva de Hilbert pode ser construída da seguinte

forma: inicia-se com um quadrado de lado unitário. Divide-se este quadrado em

quatro quadrados semelhantes e ligam-se os pontos centrais de cada um deles

com três segmentos consecutivos. Após isto, substitui-se cada quadrado por

mais quatro com a mesma construção da curva inicial e os conectamos com

um segmento na mesma ordem dos anteriores. Assim, repete-se o processo

indefinidamente. A curva é formada pelos segmentos e não pelos quadrados.

Figura 9: Curva de Hilbert.

Inicialmente temos um quadrado de lado 1 cm. No nível 1 formamos 3 =

4 – 1 segmentos de medida 1/2 cm. No nível 2 teremos 15 = 42 – 1 segmentos

de medida 1/4 cm. No nível 3 serão 63 = 43 – 1 segmentos de medida 1/8 cm.

Concluímos que no nível n teremos 4n – 1 segmentos de medida 1/2n cm cada.

Nível Número de segmentos

Comprimento de cada segmento

Comprimento total

1 41 – 1 = 3 1/21 = 1/2 3/2

2 42 – 1 = 15 1/22 = 1/4 15/4

3 43 – 1 = 63 1/23 = 1/8 63/8

14

... ... ... ...

n 4n – 1 1/2n (4n – 1)/( 1/2n)

Observando a tabela acima percebemos que o comprimento da curva

vai aumentando a cada nível. No limite deste processo, quando n tender ao

infinito, temos:

nn

nnn

n

nn

n

n2/1

1

2/1

4lim

2/1

1

2/1

4lim

2/1

14lim

.7.2lim122lim22lim28lim 33

n

n

n

n

nn

n

nn

n

Assim, como a Curva de Peano, a Curva de Hilbert também possui

comprimento infinito.

III.7 Fractal de Dürer

Para iniciar a construção deste fractal, consideremos um hexágono

regular ABCDEF de lado l = 1 cm. No lado AB, construímos dois hexágonos de

lado l/3 em cada um dos extremos A e B de tal forma que um de seus ângulos

coincida com o hexágono regular inicial e tenham um vértice em comum.

Repetimos essa ação em cada lado do hexágono inicial. No total,

construímos mais 6 hexágonos regulares menores, formando um ao centro um

hexágono regular estrelado. A seguir removemos os triângulos intermediários e

o hexágono regular estrelado central para obtermos o nível 1 da construção do

fractal.

Para obtermos o Fractal Hexagonal tipo Dürer, repetimos esse processo

em cada um dos novos hexágonos regulares, e assim iterativamente.

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Figura 9: Fractal Hexagonal tipo Dürer.

III.7.1. Perímetro

Inicialmente consideramos um hexágono regular de lado l = 1 cm, então

o perímetro deste hexágono será 6.l. No nível 1 temos 6 hexágonos regulares

de lado l/3, assim o perímetro será 62.l/3 = 6.2.l = 12.l. No nível 2 temos 62

hexágonos regulares de lado l/9, totalizando um perímetro de 63. l/9 = 24.l.

Nível Número de hexágonos

Perímetro de cada hexágono

Perímetro Total

0 1 6.l 6.l

1 6 6.l/3 62.l/3 = 12.l

2 62 6.l/9 63. l/9 = 24.l

... ... ... ...

n 6n 6. l/3n 6n+1.l/3n

Observamos na tabela acima que o perímetro no nível n é 6n+1.l/3n.

Simplificando esta expressão temos:

6n+1.l/3n = 6n.6.l/3n = 3n.2n.6. l/3n = 2n.6. l (1)

No limite desse processo, quando n tender ao infinito tem que o

perímetro do Fractal Hexagonal tipo Dürer é infinito. De fato, como 2 > 1,

temos: aplicado o limite já na expressão simplificada em (1), temos:

..6.2lim ln

n

16

III.7.2. Área

Para o cálculo da área, inicialmente temos um hexágono regular de lado

l = 1 cm, portanto sua área é A = 6. (L2√3/4). No nível 1 a área será dada pela

soma das áreas de 6 novos hexágonos semelhantes ao inicial, porém, de lado

L/3. No nível 2 a área será dada pela soma das áreas de 36 novos hexágonos,

semelhantes ao inicial, porém, de lado L/9.

Nível Número de hexágonos

Área de cada hexágono

Área Total

0 1 A = 6. (L2√3/4) 6. (L2√3/4)

1 6 6. [(L/3)2 . √3/4] 62 . [(L/3)2 . √3/4]

2 62 6. [(L/9)2 . √3/4] 63 . [(L/9)2 . √3/4]

... ... ... ...

n 6n 6. [(L/3n)2 . √3/4] 6n+1 . [(L/3n)2 . √3/4]

Observando a tabela acima podemos verificar que no nível n da

construção deste fractal a área será a soma das áreas de 6n novos hexágonos,

sendo a área de cada um desses: 6. [(L/3n)2 . √3/4] = 6. [L2/(32)n. √3/4]. (2)

Como L representa a medida do lado do hexágono, L é necessariamente

um número positivo, então 0 < L/3 < 1. Quando n tende a infinito, a área de

cada um dos novos hexágonos tende a zero. De fato, usando a expressão já

simplificada na equação (2), temos:

.04/3.)3/(.6lim 22

n

n l

III.8 Conclusões:

Em cada um dos “monstros matemáticos” citados acima podemos

perceber uma das características de um fractal: a auto semelhança ou auto

similaridade, pois cada pequena parte do fractal se assemelha ao todo, mas

está em uma escala diferente. Além disso, todos eles são gerados por

processos recursivos, isto é, a repetição de um mesmo processo

indefinidamente.

Nesta apostila conhecemos um pouco dos fractais clássicos, bem como

algumas de suas características (auto semelhança e complexidade infinita).

Além disso, com o cálculo do perímetro, área e volume verificamos que alguns

deles possuem um perímetro infinito, enquanto que sua área é nula. Em

contrapartida, na Geometria Euclidiana encontramos somente figuras com

perímetro, área e volume finitos e não nulos. Portanto, os fractais não estão

presentes na Geometria Euclidiana, e sim em uma nova geometria, a

Geometria Fractal.

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IV-Softwares para construção de Fractais

IV-1.1 Cabri-Geometry

O software “Cabri-Geometry II” foi desenvolvido por Jean-Marie Laborde

e Frank Bellemain da Université Joseph Fourrier de Genobre, França. O nome

Cabri vem das palavras da linguagem francesa Cahier de brouillon interactif,

que significa “Caderno de rascunho interativo”. O programa consiste em um

sistema gráfico para realizar construções da geometria clássica com régua e

compasso virtuais, possibilitando investigar suas características.

O Cabri possui um ambiente totalmente interativo que possibilita a

manipulação dos objetos construídos com ferramentas na tela do computador e

não com textos de programação. Além disso, no software, é possível realizar

macroconstruções, criando novas figuras a partir de outras já construídas o que

facilita a criação de alguns níveis de fractais. Entretanto, não tem uma

ferramenta específica para a criação de fractais.

Na figura acima, podemos visualizar a interface do programa com as 11

caixas de ferramentas que ele oferece. Essas ferramentas são

respectivamente:

1. Ponteiro: Ferramenta para movimentar os objetos e a tela com o

cursor.

18

2. Pontos: Ferramenta para marcar pontos quaisquer ou pontos de

interseção na figura.

3. Retas: Ferramenta para a criação de segmentos, retas, semirretas,

polígonos e vetores.

4. Curvas: Ferramenta para criar circunferências, arcos e cônicas.

5. Construir: Ferramenta que possibilita a construção de ratas

paralelas, perpendiculares, bissetriz, ponto médio e outros.

6. Transformar: Ferramenta para transformar as figuras, utilizando

simetrias, translação, rotação e outras.

7. Macro: Ferramenta para a criação de novas ferramentas baseadas

em objetos iniciais e finais marcados nas construções feitas.

8. Verificar propriedades: Ferramenta para verificar se pontos são

colineares, se retas são paralelas e outras propriedades geométricas.

9. Medir: Ferramenta que mostra a medida de comprimento, área,

ângulo e outras das figuras geométricas construídas.

10. Exibir: Ferramenta para colocar textos, animações, entre outras.

11. Desenhar: Ferramenta que permite mostrar ou esconder objetos,

colorir, entre outras opções.

IV - 1.2 Geometricks

O software “Geometricks” foi desenvolvido pelo dinamarquês Viggo

Sadolin e é representado no Brasil pelo Prof. Dr. Marcelo de Carvalho Borba da

UNESP/Rio Claro. Este programa vem incluso no livro “Geometricks” do próprio

autor do software.

Como o “Cabri-Geometry”, o “Geometricks” possui um ambiente

interativo para a construção de figuras da geometria plana na tela do

computador. Com ele é possível criar pontos, retas, calcular áreas de figuras

geometrias e muitas outras possibilidades. A interface do programa também é

semelhante a do Cabri como podemos visualizar na figura abaixo.

19

Uma de suas principais diferenças em relação ao “Cabri-Geometry” é

que ele não tem uma ferramenta para criar novas ferramentas a partir de

objetos iniciais e finais de construções anteriores. Porém, o programa possui

uma ferramenta específica para a criação de fractais com a interação de

formas. A partir de um conjunto de ternas, estabelecidas pelo usuário, o

programa é capaz de gerar um fractal e também pode mostrar os níveis de 1 a

10 do fractal separadamente.

IV – 1.3 NFract

O software “Nfract” foi produzido pelo professor Francesco A. Perrotti da

FATEC, Taquaritinga e acompanha o livro "Descobrindo a Geometria Fractal”

escrito por Ruy Madsen Barbosa em 2002. O programa gera fractais a partir de

um polinômio do 7º grau com variável complexa: Az7 + Bz6 + Cz5 + Dz4 + Ez3 +

Fz2 + Gz + H. Os coeficientes A, B, C, D, E, F, G e H podem ser escolhidos

pelo usuário, quando esses variam de -1 a 1 o fractal é gerado mais

rapidamente.

Na figura abaixo podemos

visualizar a interface deste software. Na

janela da esquerda são digitados os

coeficientes do polinômio e na janela da

direita é mostrada a figura do fractal

clicando em “fx Calcular”.

20

Construção do Conjunto de Cantor

no Cabri II:

Para construir alguns níveis do Conjunto de Cantor utilizando o software Cabri II podemos seguir os

passos abaixo:

1) Criar um segmento qualquer.

2) Construir uma semirreta com origem em um dos extremos do segmento formando um ângulo menor que 90º com o segmento.

3) Construir uma circunferência cujo centro é a origem da semirreta e raio qualquer. Em seguida construir mais duas circunferências de mesmo raio da anterior e com centros na intersecção da circunferência anterior com a semirreta.

21

4) Construir uma reta passando pelo ponto de intersecção da última circunferência e pelo outro extremo do segmento.

5) Construir duas retas paralelas à reta anterior e passando pelo centro das suas últimas circunferências construídas.

6) Marcar os pontos de intersecção dessas retas com o segmento inicial.

7) Utilizando a ferramenta “Esconder/Mostrar”, selecionar todos as figuras

menos o segmento inicial e os quatro pontos marcados nesse segmento.

8) Selecionar a ferramenta “Objetos iniciais” e em seguida selecionar o segmento inicial. Lembrando que este passo é muito importante para o Software fazer a construção de outros níveis do fractal corretamente.

22

9) Esconder o segmento inicial selecionando esse segmento com a ferramenta “Esconder/Mostrar”.

10) Criar um segmento unindo um dos extremos do segmento inicial com o ponto mais próximo marcado na figura. Em seguida criar outro segmento da mesma forma com o outro extremo do segmento inicial.

11)Selecionar a ferramenta “Objetos finais” e em seguida selecionar esses dois segmentos.

12)Utilizar a ferramenta “Definir macro...”, digitar, por exemplo, Conjunto de Cantor para o nome da construção.

13)Com a ferramenta “Conjunto de Cantor” que foi criada selecionar cada um dos segmentos na figura para criar o nível 2 do fractal.

14)Para criar os próximos níveis basta clicar em cada um dos novos segmentos formados com a mesma ferramenta.

23

IV- 2.1 Construção da Curva de Koch no Cabri II:

Para construir alguns níveis da Curva de Koch utilizando o software Cabri II podemos seguir os passos abaixo:

1) Criar um segmento qualquer.

2) Construir uma semirreta com origem em um dos extremos do segmento formando um ângulo menor que 90º com o segmento.

3) Construir uma circunferência cujo centro é a origem da semirreta e raio qualquer. Em seguida construir mais duas circunferências de mesmo raio da anterior e com centros na intersecção da circunferência anterior com a semirreta.

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4) Construir uma reta passando pelo ponto de intersecção da última circunferência e pelo outro extremo do segmento.

5) Construir duas retas paralelas à reta anterior e passando pelo centro das duas últimas circunferências construídas.

6) Marcar os pontos de intersecção dessas retas com o segmento inicial.

7) Utilizando a ferramenta “Esconder/Mostrar”, selecionar a semirreta, as três retas, as três circunferências e os pontos de intersecção destas com a semirreta. Assim, ficará aparecendo apenas o segmento de reta inicial e com dois pontos marcados nele que o dividem em três partes iguais.

25

8) Selecionar a ferramenta “Objetos iniciais” (no sétimo ícone do software) e em seguida selecionar o segmento inicial. Este passo é muito importante, pois os objetos iniciais precisam ser bem definidos para que o Software possa construir o fractal da maneira correta.

9) Construir uma circunferência clicando em um dos pontos que dividem o segmento em três partes e no extremo do segmento mais próximo deste ponto. Em seguida construir outra circunferência da mesma forma, mas a partir do outro ponto que divide o segmento em três partes.

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10) Marcar uma das intersecções das duas circunferências. Depois, com a ferramenta “Esconder/Mostrar” selecionar essas duas circunferências e o segmento inicial.

11) Construir quatro segmentos ligando os quatro pontos que restaram na figura.

12)Com a ferramenta “Esconder/Mostrar” clicar nos quatro pontos extremos dos segmentos da figura.

13) Selecionar a ferramenta “Objetos finais” (no sétimo ícone do software) e em seguida selecionar os quatro segmentos.

14) Selecionar a ferramenta “Definir macro...” (também no sétimo ícone do

software), em seguida escrever “Curva de Koch” para o nome da construção e clicar em “OK”. Assim, será criada uma ferramenta “Curva de Koch” abaixo da ferramenta “Definir macro...”.

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15) Selecionar a ferramenta “Curva de Koch” e clicar em cada um dos quatro segmentos na figura para criar o nível 2 do fractal.

16)Para criar os seguintes níveis, basta clicar em cada um dos novos segmentos formados utilizando a ferramenta “Curva de Koch” criada anteriormente.

28

IV- 2.2. Construção da Curva de Peano no Cabri II:

Para construir alguns níveis da Curva de Peano utilizando o software “Cabri-Geometry” podemos seguir os passos abaixo:

1) Crie um segmento qualquer.

2) Construa uma semirreta com origem em um dos extremos do segmento formando um ângulo menor que 90º com o segmento.

3) Com a ferramenta “Circunferência” selecione a origem da semirreta e outro ponto qualquer da semirreta.

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4) Construa mais duas circunferências de mesmo raio da anterior e com centros na intersecção da circunferência anterior com a semirreta. Para isso, com a ferramenta “circunferência”, basta selecionar o ponto de intersecção da última circunferência construída com a semirreta e, em seguida, selecionar o centro da mesma circunferência.

5) Em cada circunferência marque os pontos de intersecção com a semirreta.

6) Construa um segmento passando pelo ponto de intersecção da última circunferência com a semirreta e pelo outro extremo do segmento.

7) Construa duas retas paralelas a esse segmento passando pelos centros das duas últimas circunferências construídas.

30

8) Marque os pontos de intersecção dessas retas com o segmento inicial.

9) Utilizando a ferramenta “Esconder/Mostrar”, selecione a semirreta, as três circunferências e os pontos de intersecção destas com a semirreta, o último segmento construído e as duas retas paralelas a este. Assim, ficará aparecendo apenas o segmento de reta inicial e com dois pontos que o dividem em três partes iguais.

10)Selecione a ferramenta “Objetos iniciais” e em seguida selecione o segmento inicial. Este passo é muito importante, pois os objetos iniciais precisam ser bem definidos para que o Software possa construir o fractal da maneira correta.

11) Com a ferramenta “Reta perpendicular” selecione o segmento inicial e um dos dois pontos marcados entre os extremos do segmento para construir uma reta perpendicular ao segmento passando por este ponto. Em seguida, faça o mesmo para o outro ponto entre os extremos do segmento.

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12) Com a ferramenta “Circunferência” selecione um dos pontos que marcados entre os extremos do segmento e, em seguida, selecione o outro para construir uma circunferência com centro neste ponto e raio um terço do comprimento do segmento inicial. Repita o mesmo processo para o outro ponto marcado entre os extremos do segmento.

13) Marque os pontos de intersecção destas circunferências com as retas perpendiculares ao segmento inicial.

14) Utilizando a ferramenta “Esconder/Mostrar” selecione o segmento inicial, as retas perpendiculares a ela e as duas circunferências. Assim, ficarão aparecendo apenas os oito pontos na figura.

32

15) Construa nove segmentos ligando cada um desses oito pontos.

16) Com a ferramenta “Esconder/Mostrar” selecione os oito pontos que são os extremos de cada segmento construído.

17) Com a ferramenta “Objetos finais” selecione cada um dos nove segmentos.

18) Selecione a ferramenta “Definir macro” e escreva “Curva de Peano” para o nome da construção. Neste caso, o nome pode ser qualquer outro, mas utilizaremos este para melhor visualização.

33

19) Utilizando a ferramenta “Curva de Peano”, que acabamos de criar,

selecione cada um dos nove segmentos da figura para obter o nível 2

deste fractal.

20) Para construir os próximos níveis deste fractal basta selecionar os

novos segmentos criados utilizando a mesma ferramenta “Curva de

Peano”.

34

IV- 2.3 Construção do Triângulo de Sierpinski no Cabri II:

Para construir alguns níveis do Triângulo de Sierpinski utilizando o software “Cabri-Geometry” podemos seguir os passos abaixo:

1) Criar um segmento qualquer.

2) Construir uma circunferência com centro em um dos extremos do segmento e raio igual à medida do segmento. Criar outra circunferência de mesmo raio, mas com centro no outro extremo do segmento.

3) Marcar um dos pontos de intersecção das duas circunferências anteriores. Em seguida, construir mais dois segmentos unindo cada um dos extremos do segmento inicial com esse ponto de intersecção.

4) Esconder as duas circunferências com a ferramenta “Esconder/Mostrar”.

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5) Com a ferramenta “Ponto médio” selecionar cada um dos três segmentos para marcar o ponto médio de cada um deles.

6) Com a ferramenta “Esconder/Mostrar” selecionar os três segmentos.

7) Com a ferramenta “Polígono” criar um triângulo selecionando os três pontos que eram os extremos dos segmentos iniciais.

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8) Utilizando a ferramenta “Objetos iniciais” selecionar esse triângulo.

9) Com a ferramenta “Esconder/Mostrar” selecionar esse triângulo.

10) Novamente com a ferramenta “Polígono” construir mais três triângulos menores unindo casa um dos vértices do triângulo maior com os dois pontos médios mais próximos a esse vértice.

11)Utilizando a ferramenta “Preencher”, pintar cada um dos triângulos três triângulos menores de qualquer cor.

12) Com a ferramenta “Objetos finais” selecionar cada um dos três triângulos menores.

37

13)Selecionar a ferramenta “Definir macro...”. Digitar “Triângulo de Sierpinski” para o nome da construção (o nome pode ser qualquer outro, como exemplo utilizaremos “Triangulo de Sierpinski”).

14) Com a ferramenta “Triangulo de Sierpinski” que foi criada, selecionar cada um dos triângulos (coloridos) menores para criar o nível 2 do fractal.

15) Para criar os seguintes níveis basta selecionar cada um dos novos triângulos coloridos formados com a ferramenta “Triângulo de Sierpinski”.

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IV- 3.GeomeTricks

IV-3.1 Construção do Triangulo de Sierpinski no GeomeTricks:

Para construir o Triângulo de Sierpinski utilizando o software Geometricks podemos seguir os passos abaixo:

1) Com a ferramenta ponto livre ou ponto na malha, marque três pontos quaisquer, não alinhados, A, B e C para formar o triângulo inicial.

2) Utilizando a ferramenta ponto médio, selecione os pontos A e B para marcar o ponto médio D do lado AB. Repita o mesmo processo para os lados AC e BC, formando os pontos E e F, respectivamente.

3) Clique em Fractais/Definir fractal e digite 4 para o número de ternas. Após isso, selecione os pontos, de três em três, na seguinte ordem:

ABC AED EBF DFC

39

4) Clique em Fractais/Desenhar fractal e o software começará a formar o Triângulo de Sierpinski. Para pausar a construção basta clicar no

seguinte ícone: .

5) Para visualizar os níveis de 1 a 10 do fractal, primeiramente clique em Fractais/Apagar desenho do fractal e depois clique em Fractais/Níveis e digite o número do nível desejado.

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IV-3.2 Construção da Ilha de Koch no GeomeTricks:

Para construir a Ilha de Koch ou Floco de Neve de Koch utilizando o software Geometricks podemos seguir os passos abaixo:

1) Construa um triângulo equilátero ABC. 2) Marque um ponto qualquer P no exterior do triângulo ABC e

próximo ao ponto A. Em seguida, construa uma semirreta com origem em A e passando por P.

3) Utilizando a ferramenta Circunferência (po,po) selecione os pontos A e P, nesta ordem. Em seguida, utilizando a ferramenta Interseção (re,ci) marque o ponto de interseção Q da circunferência com a semirreta. Construa outra circunferência selecionando os pontos Q e P e marque o pontos de interseção R desta com a semirreta.

4) Utilizando a ferramenta Segmento (po,po) selecione os pontos R e B.

5) Com a ferramenta Paralela (po,re) clique no ponto Q e no segmento RB. Com a ferramenta Interseção (re,re) marque o ponto de interseção desta reta com o lado AB. Faça o mesmo para o ponto P.

41

6) Clique em Editar/Esconder um objeto e selecione a semirreta, as circunferências, as retas, o segmento RB e os pontos P, Q e R.

7) Faça o mesmo nos passos 3 a 6 para os outros vértices B e C do triângulo para dividir cada lado em três partes iguais. Na figura deverão ficar apenas o triângulo ABC e os pontos D, F, H, I, J e L como na figura abaixo.

8) Utilizando a ferramenta Circunferência (po,po) clique nos pontos

D e F nesta ordem e depois construa outra circunferência clicando nos pontos F e D nesta ordem. Com a ferramenta Interseção (ci,ci) selecione as duas circunferências e marque como ponto E o ponto de interseção destas que está no exterior do triângulo ABC.

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9) Faça o mesmo para os pontos H e I, marcando o ponto G e para os pontos L e J marcando o ponto K como na figura abaixo. Podemos esconder os segmentos AB, AC e BC para visualizar melhor o fractal no próximo passo.

10)Clique em Fractais/Definir fractal e digite 7 para o número de ternas. Em seguida, clique nos pontos na seguinte ordem (eles serão agrupados de três em três para formar as ternas): ABC ADH DEF GHI FBL IJC JLK Após isso, clique em Fractais/Desenhar fractal.

43

11)Para visualizar os níveis de 1 a 10 do fractal, primeiramente clique em Fractais/Apagar desenho do fractal e depois clique em Fractais/Níveis e digite o número do nível desejado.

IV-3.3 Construção da Calda de Dragão no GeomeTricks:

Para construir o fractal conhecido como Calda de Dragão utilizando o software Geometricks podemos seguir os passos abaixo:

1) Clique no ícone a grade de pontos (em azul) e os eixos cartesianos. Seguindo o sistema de coordenadas cartesianas marque os seguintes pontos:

A(0,0); B(10,0); C(0,10); D(5,5); E(15,5); F(10,5); G(15,10); H(5,0); I(5,-5) e J(0,-5).

Após isto, clique novamente no ícone para remover a grade de pontos e os eixos cartesianos.

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2) Clique em Fractais/Definir fractais e digite 3

para o número de ternas. Em seguida, selecione os pontos, formando ternas, na seguinte ordem:

BED EGF IHJ

IV-3.4 Construção a Samambaia fractal no GeomeTricks:

Para construir o fractal conhecido como Samambaia utilizando o software Geometricks podemos seguir os passos abaixo:

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1) Construa um triângulo isósceles ABC.

2) Marcando pontos livres, construa mais três triângulos DEF, GHI e JKL, como na figura abaixo.

3) Clique em Fractais/Definir fractal e digite 4 para o número de ternas. Em seguida, selecione os pontos, formando ternas, na seguinte ordem:

ABC DEF GHI JKL

4) Clique em Fractais/Desenhar fractal e o fractal estará pronto. Para visualizar melhor, podemos clicar em Editar/Esconder um objeto e selecionar os segmentos e pontos na figura, antes de desenhar o fractal.

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IV-3.5 Construção de outros fractais no GeomeTricks:

Podemos construir muitos outros fractais no Geometricks a partir de um conjunto de ternas. Por exemplo, para construir o fractal da próxima figura seguimos os passos abaixo:

1) Construa um triângulo equilátero ABC. 2) Divida cada um dos lados do triângulo ABC em três partes iguais

com o mesmo procedimento feito para a Ilha ou Floco de Neve de Koch.

3) Utilizando a ferramenta Mediatriz (po,po) selecione os pontos extremos do lado AB. Repita esse mesmo procedimento para os lados AC e BC.

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4) Com a ferramenta Interseção(re,re) selecione duas das retas (mediatrizes) formadas para marcar o ponto G que é o circuncentro e também baricentro do triângulo ABC.

5) Clique em Fractais/Definir fractal e digite 7 para o número de ternas. Em seguida selecione os pontos, na seguinte ordem:

ABC ADI DGI JGL JLC GEK EBK

6) Clique em Fractais/Desenhar fractal e o fractal estará pronto. Para visualizar melhor, podemos clicar em Editar/Esconder um objeto e selecionar os segmentos e pontos na figura, antes de desenhar o fractal.

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IV- 4. NFract

IV-4.1 Construção de Fractais no NFract:

Como foi fito anteriormente, o software NFract gera fractais a partir de um polinômio de 7° grau com variável complexa: Az7 + Bz6 + Cz5 + Dz4 + Ez3 + Fz2 + Gz + H. Na janela “Gerador de Fractais” podem ser alterados os coeficientes A, B, C, D, E, F, G e H pelo usuário.

Por exemplo, para gerarmos o Fractal de Mandelbrot basta digitar, na janela “Gerador de Fractais”, F = 1 e deixarmos todos os outros coeficientes com valor zero e clicar em “Calcular”.

Em seguida, aparecerá outra janela. Ao clicar em “fx Calcular” nesta janela aparecerá a figura do fractal.

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Da mesma forma como feito para o fractal de Mandelbrot, pode-se gerar outras figuras fractais alterando os coeficientes do polinômio de 7° grau. Abaixo estão alguns exemplos de fractais gerados no NFract. Os valores dos coeficientes estão variando de -1 a 1, pois assim o software faz o cálculo com maior velocidade.

Exemplo 1:

Exemplo 2:

50

Exemplo 3:

Nesses três primeiros exemplos pode-se perceber que conforme o grau da variável que acompanha o coeficiente com valor 1 vai diminuindo o número de divisões simétricas da figura também diminui. Na primeira (A=1) visualiza-se 6 divisões simétricas, na segunda (B=1) 5 divisões e na terceira (D=1) 3 divisões.

Exemplo 4:

51

Exemplo 5:

Exemplo 6:

52

Exemplo 7:

Exemplo 8:

53

Exemplo 9:

Nos exemplos 4, 5, 8 e 9 pode-se perceber que ao invertermos o sinal dos coeficientes que acompanham as variáveis com expoente de grau par obtêm-se a mesma figura, porém invertida horizontalmente. Já nos exemplos 6 e 7 percebe-se que invertendo o sinal também dos coeficientes que acompanham as variáveis de grau ímpar isso não ocorre.

54

V-Desenvolvendo atividades concretas para a construção

de fractais.

As atividades a seguir são propostas com o objetivo de construir fractais

com materiais manipuláveis para que o aluno da escola possa relacionar as

propriedades dos fractais com conceitos matemáticos já aprendidos.

Atividade 1: Construindo Fractais

1. Usando o papel quadriculado, construa um triângulo eqüilátero.

2. Marque o ponto médio em cada um de seus lados.

3. Construa segmentos unindo esses pontos médios.

4. Quantos triângulos você possui agora?

5. Pinte os três triângulos (do exterior) de uma mesma cor e não pinte o

triângulo central.

6. Para cada triângulo colorido, marque o ponto médio em cada um de seus

lados e construa segmentos unindo esses pontos médios.

7. E agora, quantos triângulos você possui?

8. Qual o nome do fractal que você acabou de construir?

9. Registre na tabela abaixo o número de triângulos em cada etapa da

construção.

Etapa Número de Triângulos

0

1

2

3

4

5

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A construção do triângulo de Sierpinski aborda conceitos sobre triângulos

equiláteros, mediatriz, ponto médio de um segmento, potenciação, área e perímetro.

Durante a realização dessa atividade, analisamos, com os alunos o que acontece a

medida que as iterações da construção do triângulo de Sierpinski são realizadas,

chegando a conclusão de que esse processo se repete indefinidamente, sendo que a

cada nova iteração teremos uma figura com triângulos cada vez menores.

Atividade 2- Fractal Triminó

Para a construção primeiro:

1. Considere o triminó não-reto, construído por 3 quadrados, que serão fractal

em nível 1.

2. O aluno deverá substituir cada peça quadrada por um triminó L, teremos

assim o Fractal em nível 2.

3. Novamente o aluno deverá trocar cada quadrado por um triminó, obtendo

assim o Fractal ao nível 3.

Construção:

4. Construa o Fractal Triminó ao Nível 4.

5. Quantas peças foram usadas?

6. Para construir um Fractal Triminó ao Nível 5, quantas peças serão

necessárias?

7. E para construir um Fractal Triminó ao Nível n?

8. Agora você e capaz de descobrir que conteúdo da matemática está

relacionado com esta atividade?

9. Qual o perímetro em cada nível? Considere cada peça quadrada com 2,5 cm

de lado.

A construção do fractal triminó prioriza alguns objetivos como: reconhecer uma

sequência numérica, estimar a quantidade de peças em cada iteração, organizar

dados em tabelas, calcular perímetro, etc. Com a realização desta atividade é possível

perceber se alguns alunos já têm bem definido o conceito de potenciação, enquanto

outros apresentam certa dificuldade em relacionar cada nível com a potenciação e

também apresentam dificuldade em encontrar o perímetro.

56

Atividade 3- Construindo o Cartão Degraus Centrais.

Construção:

1. Pegue uma folha de tamanho A4.

2. Dobre a folha ao meio, ao longo de sua altura.

3. Com a folha dobrada ao meio, faça dois cortes verticais simétricos a uma

distância 4

xdas extremidades da folha, de altura

2

a. Observe que : a = 2 x

4

xx

2

x

4. Dobre o retângulo formado para cima, fazendo um vinco na dobra.

5. Volte o retângulo dobrado para a posição inicial e puxe o centro da figura em

relevo. Pode-se dizer que esta é a primeira geração do cartão fractal.

6. Dobre a folha novamente, pois as gerações serão obtidas seguindo os

mesmos passos de 3 a 5, porém em uma escala menor, apenas na região dobrada.

7. Dobre o retângulo para cima, fazendo um vinco na dobra.

8. Volte o retângulo dobrado para a posição inicial e puxe a figura em relevo.

Neste momento, tem a primeira e a segunda geração do cartão fractal.

9. Para obter mais gerações, repita esse processo enquanto for possível

realizar os cortes e as dobraduras no papel, sempre usando a regra de corte

estabelecida no passo 3. Por fim, desdobre todos os recortes e puxe as figuras em

relevo.

A atividade de construção de cartões fractais tridimensionais é uma forma

interessante e motivadora de apresentar a geometria dos fractais para os alunos de

Ensino Fundamental, pois é uma atividade que envolve o raciocínio e a concentração

do aluno.

Na realização dessa atividade esta previsto que o aluno consiga visualizar uma

das propriedades dos fractais, a auto similaridade, ou seja, ele mantém a mesma

forma e estrutura sob uma transformação de escala e complexidade infinita. Também

é possível observar que as formas geométricas resultantes dos cortes e dobraduras

são paralelepípedos.

Por meio dessa atividade é possível explorar a quantidade de paralelepípedos

que surge a cada iteração. É interessante que o aluno complete a tabela abaixo

relacionando a iteração com o número de paralelepípedos novos que surja a cada

nova iteração.

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Iteração Número de paralelepípedos novos

0

1

2

3

4

...

n

Após completar a tabela observa-se que a cada iteração, o número de novos

paralelepípedos dobra, porém, em escala menor. E olhando o cartão fractal já

construído é possível identificar que a cada nova iteração tem um paralelepípedo

cercado por dois novos paralelepípedos. Com isso pode-se concluir que o processo de

construção dos paralelepípedos em cada iteração é formado pela lei da potência 2ⁿ ,

onde n representa o número de iterações. Nessa atividade também pode ser

explorado o volume de cada paralelepípedo gerado em diferentes iterações. Porém,

caso a atividade seja desenvolvida em uma turma de 8ª série (9º ano) do ensino

fundamental, eles calculariam apenas o volume da primeira geração, usando a fórmula

V= .422

3

aaaa

58

VI-Bibliografia:

1. Alves, C., “Fractais: Conceitos Básicos, Representações Gráficas e

Aplicações ao Ensino não Universitário”, dissertação apresentada na

Universidade de Lisboa, em pdf, (2007)

2. Barbosa, R., “Descobrindo a Geometria Fractal”, Coleção Tendências

Em Educação Matemática, Autêntica, (2002).

3. Carvalho, M.C., “Fractais: uma breve Introdução”, Edição Própria,

1986.

4. Gomes, A. S., “Motivação do estudo de áreas e perímetros de figuras

geométricas através de fractais”, dissertação monografia apresentada à

Universidade Federal do Paraná – UFPR, em pdf, (2007).

5. Janos, M., “Geometria Fractal”, Editora Ciência Moderna Ltda., Rio de

Janeiro, (2008).

6. Nunes, R., “Geometria Fractal e Aplicações”, dissertação apresentada

na Universidade de Porto, em pdf, (2006).