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Previsão de Séries Temporais Financeiras com o Uso das Wavelets Autoria: Fabiano Guasti Lima, Fernando Carvalho de Almeida Resumo:Esta pesquisa apresenta o uso das wavelets na decomposição de séries temporais, em altas e baixas freqüências, em combinação com as já tradicionais técnicas de previsão de séries financeiras. Os modelos estudados foram ARIMA e Redes Neurais Artificiais. Os dados são secundários e optou-se por trabalhar com os retornos da Petrobrás PN (PETR4), por ser uma das ações de maior peso na composição do Índice Bovespa. O período de análise consta de dois sub-períodos: de janeiro do ano de 1995 até dezembro de 2000, totalizando 1499 observações, sendo um período de grandes oscilações no mercado brasileiro; e o período compreendido entre janeiro de 2001 a dezembro de 2003 que possui poucas oscilações. O objetivo consiste em explorar a possibilidade de usar uma metodologia capaz de decompor uma série temporal, via wavelets, conjuntamente com os modelos já existentes de previsão e comparar a qualidade de previsões obtidas. Os resultados mostram que, para períodos com grandes interferências no mercado de capitais, a inserção da metodologia de decomposição melhora razoavelmente a qualidade das previsões, ficando evidenciado que, para períodos de menor volatilidade no mercado, o desempenho preditivo é superior na combinação das redes neurais com as wavelets. Introdução Inúmeras técnicas de previsão auxiliam a tomada de decisões, por parte dos agentes envolvidos em atividades que necessitam de planejamento, avaliação de cenários e redução da incerteza nos negócios (ZOU;YANG,2004). Uma das alternativas para se reduzir a incerteza no processo de tomada de decisões econômicas é a utilização de modelos de previsão de séries temporais univariadas. Baseados na análise somente da variável em si, esses modelos são construídos a partir de processos estocásticos especiais, que buscam estimar o valor futuro de uma variável com base somente nos seus valores passados. Este tipo de análise se aplica aos casos em que há um padrão sistemático no comportamento da variável, que é possível captar através de uma representação paramétrica. (PINDYCK; RUBINFELD, 1998).

Inúmeros autores já pesquisaram sobre a adoção das previsões na área de finanças utilizando-se de diferentes técnicas e abordagens. Alguns autores como Keim e Stambaugh (1986), Hill, O’Connor, e Remus (1996), Leung, Daouk e Chen (2000), Bressan (2003) e Wong et al (2003) pesquisaram a adoção de métodos de previsão de ativos financeiros, desde previsibilidade de retornos de preços de ações até previsões de preços aplicados a contratos futuros na BM&F. Fizeram previsões através da modelagem de séries temporais, onde se tem como variável de entrada, os valores históricos da variável a ser prevista, utilizando a abordagen clássica, como os modelos de Box e Jenkins (1970), modelos de redes neurais e também modelagens com wavelets.

O princípio de decomposição de séries temporais via wavelets, cujo início de suas aplicações deu-se a partir de meados dos anos 80, vem desencadeando pesquisas nas mais diversas áreas do conhecimento. Tal técnica, consiste em fracionar a série original em duas sub-séries, sendo uma relativa às altas freqüências e a outra às baixas freqüências por meio de formas de ondas específicas (GENÇAY; SELÇUK; WHITCHER, 2002).

Lee (1998) utilizou ainda a decomposição via wavelets em diferentes freqüências para estudar a relação entre as altas freqüências das oscilações dos retornos dos índices das bolsas Dow Jones e KOSPI (Korea Composite Stock Price Index) onde detectou a existência de influências da alta volatilidade do mercado americano nos preços dos ativos no mercado

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coreano. Wong et al (2003) também realizou previsões com wavelets em conjunto com modelos ARIMA na série do dólar americano e identificou uma melhora no desempenho das previsões quando utiliza as wavelets para fracionar a série.

Em se tratando de aplicações ao mercado brasileiro, Homsy, Portugal e Araújo (2000) também utilizaram a decomposição das wavelets para tratar séries temporais de produção física industrial, exportações brasileiras e volume de pesca na Groelândia. Utilizaram as previsões dentro das sub-séries extraídas com modelos ARIMA e chegaram a conclusão de que a modelagem em separado de sub-séries de baixas e altas freqüências, contribui positivamente para a qualidade das previsões. Entretanto, os resultados apresentados pelos diversos autores não são definitivos, no sentido de que existe ainda um vasto campo de estudo acerca da comparação do desempenho de modelos de previsão, principalmente com a utilização das wavelets para ativos financeiros no mercado brasileiro. Esta constatação corrobora na determinação do problema de pesquisa a ser estudado. Problema de Pesquisa

O problema central da investigação deste trabalho pode ser concentrado na seguinte questão:

“comparando os métodos já tradicionais de previsão de séries de tempo para ativos financeiros, com a nova metodologia das wavelets, há melhora na qualidade preditiva no comportamento das ações no mercado brasileiro? Objetivo da Pesquisa

O objetivo geral desta pesquisa é o de explorar a possibilidade de usar uma metodologia capaz de decompor uma série temporal, via wavelets, conjuntamente com os modelos já existentes de previsão e comparar a qualidade de previsões obtidas, sobre o mercado de capitais brasileiro. Essas previsões deverão ser feitas para uma série temporal em um período de relativa estabilidade do mercado, em um período de turbulência e para a série toda, para que se possa comparar a efetiva aplicabilidade das previsões em períodos distintos. Revisão da Literatura O mercado de capitais é um sistema de distribuição de valores mobiliários que tem o propósito de proporcionar liquidez aos títulos de emissão de empresas e viabilizar seu processo de capitalização. É constituído pelas bolsas de valores, sociedades corretoras e outras instituições financeiras autorizadas (BOVESPA, 1999). Para Albuquerque (2003), os preços dos títulos são influenciados por vários tipos de informação como preços passados, lucros futuros, volatilidade, índices econômico-financeiros, variáveis macroeconômicas, fatores políticos etc, que provocam alterações maiores ou menores, dependendo do contexto do mercado, da relevância da informação e do timing que esta informação leva para ser incorporada pelo mercado.

A decisão de onde investir está intrinsecamente ligada ao nível de risco que se deseja assumir, frente ao retorno esperado, motivo pelo qual a moderna teoria de finanças dedica atenção especial a esses parâmetros. Seja para o especulador, seja para o pequeno investidor, a garantia de preservação ou evolução do patrimônio dependerá do trade-off entre risco e retorno (McALEER; OXLEY, 2002). O risco que acompanha um investimento é tipicamente caracterizado pela distribuição estatística dos possíveis retornos. Estes são usados nas séries financeiras e podem ser interpretados como o ganho, ou prejuízo, de um investimento feito em um determinado período MORETTIN (2002). O autor explica ainda que na prática é preferível trabalhar com retornos, que são livres de escala, do que com os preços dos ativos, pois os primeiros têm

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propriedades estatísticas mais interessantes (como estacionariedade e ergodicidade). Afirma ainda que os retornos financeiros raramente apresentam tendências ou sazonalidades, com exceção eventualmente dos retornos intradiários. Throstensen (1976) também resume a preferência por trabalhar com retornos calculados pela diferença dos logaritmos dos ativos, pois a variação no logaritmo do preço pode ser considerada como rendimento produzido pelo ativo em uma capitalização contínua, ao se manter o ativo por um dia; o uso do logaritmo anula o efeito dos níveis de preço, além de produzir uma distribuição estacionária e, para variações menores do que 15%± , a variação dos logaritmos dos preços está muito próxima da variação percentual dos preços.

Estas características levam então ao objetivo de modelar retornos de séries temporais financeiras. Diversas classes de modelos podem ser utilizadas para esse fim. Técnicas sofisticadas ligadas às ciências exatas como a matemática e a física descritas para análise de séries temporais têm ajudado a alcançar esse objetivo. Séries temporais

Uma série temporal é qualquer conjunto de observações ordenadas no tempo. Em outras palavras, um sinal que depende do tempo e é medido em pontos particulares no tempo, é um sinônimo de uma série temporal (KLEIN, 1997). Para Morettin (2002), o que se chama de série temporal é uma parte de uma trajetória, dentre muitas que poderiam ter sido observadas.

Enders (1995), destaca que utilização da análise de séries temporais com dados passados, representa um auxílio à previsão, além de fornecer explicações a respeito de fenômenos efetivos já ocorridos. Na prática, os estudiosos e os pesquisadores de séries temporais de dados econômicos têm uma longa história de previsões. Uma de suas principais tarefas é a elaboração de previsões em séries macro e microeconômicas para governos, negócios e indústrias. Com o desenvolvimento de técnicas cada vez mais sofisticadas de previsão, aliado ao desenvolvimento tecnológico da informática, novas metodologias têm surgido especificamente para o auxílio na determinação de funções de previsão.

Para Souza (1989), as diversas metodologias existentes na literatura, independente do tipo de estatística na qual se baseiam a análise de séries temporais, isto é, clássica (que levam em consideração apenas as informações contidas na própria série temporal histórica) ou bayesiana (que permitem a inclusão de outras informações relevantes não contida na série histórica), podem ser agrupadas em três macrocategorias, a saber: univariadas, função de transferência e multivariada. Esta classificação é baseada no número de séries temporais envolvidas na modelagem.

Os modelos univariados compreendem todos os métodos que se baseiam em uma única série histórica. Nos modelos de transferência, encontram-se as metodologias nas quais a série de interesse é explicada não só pelo seu passado histórico, mas também por outras séries temporais não correlatas entre si, com a ressalva de que a direção de causalidade é perfeitamente conhecida. Para as multivariadas, enquadram-se as metodologias que envolvem mais de uma série temporal, sem qualquer imposição com relação à direção de causalidade entre elas (HAMILTON, 1994). Séries temporais financeiras

A grande maioria das já tradicionais técnicas de análise de séries temporais é aplicável em diversas áreas como economia, astronomia, meteorologia etc. Porém, há uma característica fundamental que distingue análise de séries temporais financeira de outra análise de séries temporais: a teoria financeira e suas séries temporais empíricas contêm um elemento de incerteza. A esse elemento convencionou-se chamar de volatilidade, que pode ser definida de diversas maneiras, mas que não é claramente observada, já que a volatilidade de

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um ativo financeiro é o potencial de variação dos retornos e, em geral, é quantificada através do desvio padrão ou variância da série (TSAY, 2002). Uma vez determinadas essas características, um modelo matemático pode ser proposto para representar a previsão da série. As ferramentas empregadas para análise, modelagem e previsão de uma série temporal constituem as chamadas técnicas de previsão (HAMILTON, 1994). Técnicas de previsão

Segundo Diniz (1999), até o início da década de 70, havia poucas alternativas metodológicas para análise e previsões de séries temporais, como por exemplo os métodos de decomposição clássica e os métodos de caixa preta (regressão linear simples e múltipla etc).

Foi a partir dos trabalhos de Box e Jenkins (1970) que a área de previsão começou a despertar grande interesse. Quase que simultaneamente, surge, em 1971, o lado bayesiano dos modelos de previsão propostos por Harrison e Stevens (1971). Assim, tanto o lado conhecido, também chamado clássico, como o lado bayesiano, durante toda a década de 70, houve dedicação à implementação prática dos modelos propostos e às conseqüentes melhorias metodológicas sugeridas pela aplicação real das técnicas quantitativas.

Segundo Winklhofer et al (1996), existem duas grandes famílias de técnicas quantitativas: a análise de séries temporais e os modelos causais e os modelos estruturais. Os autores citam ainda que, os modelos causais assumem um relacionamento de causa e efeito entre as entradas e saídas do sistema. O sistema pode ser visto como a economia nacional, o mercado de uma empresa, e assim por diante.

Esta definição é coerente com a discutida por Pindyck e Rubinfeld (1998). Estes autores enfatizam que as técnicas de previsão causais buscam descrever matematicamente as relações de causa e efeito entre a variável que está sendo medida e seus valores constituintes. Como exemplos de modelos causais, os autores citam os modelos de regressão.

Para Yim(2001) os modelos estruturais propostos por Harvey (1989) são aqueles que pressupõem que uma série de tempo resulta da combinação dos seguintes componentes: tendência, cíclica, sazonal e irregular.

A análise de séries temporais é o processo de avaliar os relacionamentos históricos entre uma variável e o tempo. O propósito básico é identificar comportamentos periódicos e utilizá-los para prever séries futuras (CAMPBELL; LO; MACKINLAY, 1997).

Quanto ao horizonte de tempo das previsões Em relação ao horizonte de tempo das previsões feitas, há pouco consenso entre os autores, tanto no que se refere ao desempenho das técnicas quanto às próprias definições de curto, médio e longo prazos. Estudos já foram conduzidos para previsões com horizonte de tempo desde um dia até 25 anos (SAKAI et al, 1999). Após a geração de um modelo de previsão, deve-se verificar se ele representa, ou não, corretamente os dados conhecidos, através de medidas estatísticas convenientes para estabelecer a eficiência do modelo.

Estatísticas para averiguar a acurácia dos modelos de previsão

Para Makridakis et al (1983) a acurácia é vista como o critério primordial na análise de seleção do melhor modelo de previsão. A palavra acurácia refere-se a “o quão bem ajustado” é o modelo, isto é, “quanto” o modelo é capaz de reproduzir os dados já conhecidos.

A escolha do critério a ser utilizado para medir a acurácia dos modelos não é arbitrária e deve ser feita baseada nas características do problema e das medidas citadas (HARDIE; FADER; WISNIEWSKI, 1998).

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No caso das series temporais, diversos autores como Toloi (1980), Winklofer, Witt Diamatopoulos (1996), Diniz(1999) e Yim(2001), utilizaram o MAPE e MAE, indicando preferencialmente este último por ser computado por medidas absolutas (e não quadradas).

Dentre as diversas ferramentas possíveis para analisar a eficiência de um modelo, sita-se abaixo as principais medidas de desempenho admitindo o uso de sentenças matemáticas (MAKRIDAKIS et all. 1983).

Considerando io um ponto real da base de dados – um ponto observado – no tempo i e

seja ip o ponto previsto pelo modelo – valor ajustado no tempo i – então o erro é definido

como:

i i ie o p= − (1)

Como se tem uma série temporal com n períodos de tempo logo ter-se-á n valores de erros, e então se pode calcular:

• Erro Absoluto Médio (Mean Absolute Error): (MAE) que é o erro médio tomado em valores absolutos, evitando anulação dos erros, quanto menor for o seu valor, melhor será o ajuste do modelo.

1

n

ii

e

MAEn

==∑

(2)

• Erro Percentual Absoluto Médio: (Mean Absolute Percentage Error): (MAPE) é um valor absoluto médio em percentual, para se verificar a margem de acerto em comparação com o valor previsto. Quanto menor for o seu valor, melhor é o ajuste do modelo.

1 100

ni i

i i

o p

oMAPE

n=

−

= ×∑

(3)

• R-quadrado: ( 2R ). Também chamado de coeficiente de determinação, refere-se à proporção de variações na série temporal consideradas pelo modelo. Varia entre 0 e 1. O valor 0 indica não haver nenhuma relação linear entre o modelo de previsão e a série, enquanto que o valor 1 indica que a série é perfeitamente previsível pelo modelo. Quanto mais próximo de 1 estiver, melhor o desempenho do modelo.

A seguir, é apresentado algum dos mais recentes estudos sobre a questão da previsibilidade no mercado de capitais. Estudos empíricos sobre previsão no mercado de capitais

Segundo Harrison e Stevens (1976), uma previsão adequada deve dar suporte a uma decisão minimizadora de risco por parte dos agentes tomadores de decisões. O futuro é sempre desconhecido e até certo ponto imprevisível e uma previsão é sempre imperfeita, mas não inútil (SHALIZI et al, 2002). Kutsurelis (1998) ao explicar o porque de se fazer previsão, afirma que toda previsão é uma tentativa de prognosticar o futuro através do exame do passado. Consiste em gerar previsões não enviesadas da magnitude de alguma variável, como um retorno de uma ação, com base no conhecimento presente e passado acumulado em bases de dados e na experiência dos gestores e outros profissionais envolvidos.

A análise de séries temporais para efeitos de previsão é o enfoque deste trabalho, por isso é dada maior ênfase a estas técnicas. Uma visão destes modelos é apresentada a seguir, com a discussão dos trabalhos encontrados na literatura sobre previsão.

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Modelos ARIMA São modelos que são aplicados no caso específico de séries não estacionárias ou estacionarizadas e são compostos pelos três filtros: auto-regressivo, média móvel e diferenciação. Para se montar um modelo ARIMA, para uma série temporal financeira, há três estágios a se considerar: identificação, estimação e verificação (diagnóstico), descritos brevemente a seguir (MORETTIN, 2002).

1) Identificação: consiste em descobrir qual, entre as várias versões possíveis de um modelo ARIMA, descreve o comportamento da série. O objetivo desta etapa é encontrar os filtros que irão compor o modelo, estabelecendo os valores de p, d e q. A escolha é feita, principalmente, com base no gráfico das funções de autocorrelações (FAC) e na função autocorrelações parciais (FACP) proposta por Box, Jenkins e Reinsel (1994), das quais se espera que representem adequadamente as respectivas quantidades teóricas, que são desconhecidas no modelo. Séries temporais não estacionárias apresentam fortes correlações seriais, ou seja, os valores dos coeficientes de autocorrelação declinam lentamente à medida que o valor da defasagem aumenta. Assim sendo, o gráfico de uma FAC com valores muito altos inicialmente e que declinam lentamente para um valor estatisticamente igual a zero, à medida que o valor da defasagem aumenta, é um indicativo de que a série é não-estacionaria e precisa ser diferenciada (VASCONCELLOS; ALVES, 2000). Caso contrário, a série será estacionária, o valor de d será zero e passa-se para a identificação dos demais filtros AR e MA. Cabe ressaltar, que nem sempre a diferenciação é suficiente para estacionarizar a série, sendo que se esta tiver tendência determinística, deverá ser removida antes ou se usar outro modelo. Se a não estacionariedade estiver associada à variância da série, pode-se optar por usar transformações como logaritmo neperiano ou raiz-quadrada. (VASCONCELLOS e ALVES, 2000).

2) Estimação:o segundo passo consiste em estimar os parâmetros p, d e q do modelo e a variância do ruído branco 2σ , observando sempre a minimização dos critérios AIC e BIC. 3) Verificação: consiste em verificar a eficácia da estimação dos parâmetros do modelo. Caso falhe na eficácia dos parâmetros, o processo é refeito desde a identificação para se obter o ajuste ótimo do modelo.

Segundo Box, Jenkins e Reinsel (1994), a parte auto-regressiva dos modelos ARIMA usa variáveis independentes para predizer a variável dependente. O termo auto-regressivo indica que as séries de valores a serem previstos provem dos valores passados para predizer o valor futuro quando há autocorrelação entre as observações. Quando se cita ordem do modelo faz-se referência à diferença entre o valor a ser previsto e o número de defasagens usadas como preditores. Se a série de valores utilizar 2 valores passados para prever o valor atual, tem-se um modelo auto-regressivo de segunda ordem, indicado por AR(2), isto é, o valor

ty da série dependerá dos valores 1ty − e 2ty − .

A equação de previsão para um modelo AR(2) fica:

1 1 2 2t t t ty y y eφ φ− −= + + (4)

os valores de 1φ e 2φ são os coeficientes (parâmetros) a serem estimados pelo modelo bem

como a componente do erro te com 2~ (0, )te N σ que indica o erro ou termo aleatório com

não correlacionado com média aritmética zero e variância constante. Respeitadas aqui as condições de estacionariedade do modelo. Brito e Manazes (1981) realizaram testes de autocorrelação serial com dados diários de ações no período de 1973 a 1980. Os autores encontraram predominância de reversão à média nos retornos de ações, nos testes realizados aos níveis de 1% e 5% em uma fração significativa das ações testadas. Cabe observar que a reversão à média encontrada, neste caso,

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pode ser fruto de um problema de liquidez, pois a amostra do estudo considerou relevante qualquer ação que possuísse, ao menos, 45 observações de retorno (30 pares de observações para autocorrelações de décima quinta ordem).

Diniz (1999) utilizou modelos ARIMA na modelagem da série dos retornos diários dos preços mínimo e máximo da Telebrás no período de 01/08/94 a 13/03/97. Obteve melhores resultados nas previsões um passo-a-frente. Estudou as funções FAC para identificação dos modelos e chegou em ARIMA(1,1,0) para a série dos preços mínimo e ARIMA(2,1,0) para os valores máximo. Mediu a acurácia dos modelos pelo MAPE que forneceu 2,29% para os valores mínimos e 1,97% para os valores máximos.

Soncin e Corrente (2003), analisou a série de fechamento da Embraer durante 24 meses, num total de 128 dados. Após ajustes indicados pelas funções de autocorrelação, gráficos dos resíduos e verificações das pressuposições para o ajuste bem como uma análise de diagnóstico, o modelo adotado e que melhor explicou os dados foi o modelo ARIMA(2,1,1). Cabe ressaltar aqui que, o objetivo dos autores era apenas a modelagem da série. Redes neurais

Redes neurais artificiais são sistemas de processamento de informações distribuídos. São compostas por muitos elementos computacionais simples que interagem através de conexões com pesos distintos. Inspiradas na arquitetura do cérebro humano, elas exibem características como a habilidade de “aprender” padrões complexos de informação e generalizar a informação aprendida (ZHANG; PATUWO; HU, 1998).

Cada elemento computacional não linear é chamado de nó, e é densamente interconectado através de conexões diretas. Os nós operam em passos discretos, de forma análoga a uma função de dois estágios: o primeiro estágio calcula a soma dos sinais de entrada, atribuindo pesos aos sinais; o segundo estágio consiste da aplicação de uma função de saída, chamada de função de ativação (HAYKIN, 2001). Segundo Hill, O’Connor e Remus (1996), a modelagem através de redes neurais artificiais é uma das técnicas de que são defendidas como alternativas às já tradicionais técnicas de previsões estatísticas. Kutsurelis (1998) trabalhou com o desenvolvimento de redes neurais para previsão no mercado de capitais e chegou a um nível de eficiência em sua rede de 88,07% na previsão do S&P 500, com redes MLP e conclui que as redes neurais são bons previsores para séries financeiras.

Zaneti Jr. e Almeida(1998) exploraram o uso de redes neurais na modelagem do comportamento de ativos financeiros no período de 01/07/94 a 17/03/98. Utilizaram dados diários por um período de três anos e meio, onde buscaram avaliar a capacidade das redes neurais em prever os retornos um dia antes. Dividiram os dados em três subconjuntos de pontos: treinamento, validação e teste. Com o objetivo de prever o valor da variação da Telebrás no dia seguinte, foram utilizadas como variáveis explicativas o valor da variação de cada indicador (Ibovespa, CDI, dólar comercial, bem como as cotações da Telebrás) um dia, 3 dias e 10 dias antes. Trabalharam com dados normalizados e o método de Backpropagation numa rede com 15 neurônios na primeira camada e um na última. Para averiguar a acurácia do modelos foi utilizado o MAE e obteve como resultado para a melhor rede 0,00331447 para os dados de treinamento, 0,002277781 para os de validação e 0,00603721 para os de teste, evidenciando que a rede não foi capaz de acompanhar as variações da ação. Os autores justificam o resultado pelo período muito curto entre as observações e a intensidade de ruído existente.

Diniz (1999), também usou as redes neurais para efeitos de previsão um passo-a-frente das ações dos preços mínimo e máximo conforme especificado acima. Testou diversas combinações de atrasos das camadas intermediária e de saída, e a melhor rede MLP

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selecionada possuía dois neurônios na camada de entrada e apenas um neurônio tanto na camada de entrada quanto na de saída. Os erros medidos pelo MAPE indicaram para os a série dos valores mínimos 1,09% e para os valores máximo 1,83%.

Yim(2001) encontrou resultados que mostram os modelos ARIMA são melhores no curto prazo (um passo à frente) do que os modelos de redes neurais, chegando a conclusão de que embora as redes neurais tenham acompanhado melhor a direção dos valores reais observados nos retornos do IBOVESPA, para todas as freqüências, a hipótese de que os modelos de redes neurais é superior aos modelos econométricos tradicionais não pode ser verificada, pois os resultados das estatísticas de previsão medidos pelo MAPE ficaram muito próximos aos obtidos nos modelos de séries temporais.

Outros autores como Kutsurelis (1998), Leung, Daouk e Chen (2000) utilizaram outras técnicas de modelagem de séries temporais, tomando como base os modelos ARIMA sugeridos por Box e Jenkins (1970) e com uso de redes neurais voltados para o índice S&P 500, indicando significativa performance para as redes neurais e modelos ARIMA em detrimento de outras técnicas tradicionais como alisamento exponencial.

Wavelets

As wavelets são funções matemáticas que ampliam intervalos de dados, separando-os em diferentes componentes de freqüência, permitindo a análise de cada componente em sua escala correspondente. Elas empregam a idéia de aproximação, mediante a superposição de funções. Esta idéia tem sua origem no trabalho de Joseph Fourier que, no século XIX descobriu que poderia utilizar senos e cossenos para representar outras funções (MISITI et al, 1997).

A novidade em relação a Fourier, é que a base das funções de Fourier são dependentes da freqüência mas não do tempo, ou seja, pequenas alterações no domínio da freqüência produzem alterações em todo o domínio do tempo. As wavelets são dependentes de ambos os domínios, da freqüência (via dilatação) e do tempo (via translação) o que é uma vantagem em diversos casos. Por muitas décadas, os cientistas procuraram funções mais apropriadas do que senos e cossenos para análise de sinais. As bases das funções de Fourier são impróprias para o tratamento local de dados, pois são séries infinitas e não se adaptam as análises de dados descontínuas(TORRENCE e COMPO,1998).

O objetivo é obter uma freqüência crítica λ ,de maneira que os componentes da série original relacionados a freqüências menores ou iguais a λ formem uma sub-série

{ } 2

1

n

tA

=relativa a baixas freqüências, que também recebe o nome de série aproximada

(aproximation part) e os demais componentes formem outra sub-série relativa à altas

freqüências, denotada { } 2

1

n

tD

=, também chamada de série detalhe (detail part) (HOMSY;

PORTUGAL; ARAÚJO, 2000). Para estes autores, nas séries financeiras pode-se obter uma forma de se escolher λ , baseada na observação do comportamento cíclico das oscilações no curto prazo, podendo ser caracterizado como sendo de baixo período e, conseqüentemente, de alta freqüência, e oscilações no longo prazo, que pode ser classificado como sendo de alto período e, portanto, de baixa freqüência. Para Misiti et al (1997), este processo de decomposição, que a partir de uma série S passando por um filtro de uma wavelet, dá origem a duas novas séries, uma chamada aproximação (baixas freqüências) e outra detalhe (altas freqüências).O autor cita ainda que o processo de decomposição da série pode ser iterativo, com sucessivas decomposições, formando uma árvore de decomposição com 2n caminhos diferentes para a codificação da série. A árvore de decomposição fica da seguinte forma:

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Figura 1: Árvore de decomposição em 3 níveis de uma série temporal via decomposição por wavelet.

Torrence e Compo (1998) citam diferentes tipos de wavelets que podem ser aplicadas

nestas decomposições: Haar, Daubechies (que possui 9 formas distintas), Biorthogonal (com 14 formas distintas), Coifles (com 5 formas distintas), Symlets (com 7 formas distintas), Morlet, Mexican Hat e Meyer. Ambas as formas de wavelets citadas são usadas tanto na decomposição como na reconstrução da série. Os autores destacam ainda que, estudos comparativos mostraram que a mudança na escolha da função wavelet gera apenas pequenos efeitos nos resultados. Aplicações de previsões baseado na decomposição de wavelets Ariño(1995) analisou a previsão de vendas de carro no mercado espanhol, no período de janeiro de 1974 a dezembro de 1994. Utilizando as primeiras 240 observações e testando para as últimas 12, referentes a ano de 1994, ou seja, fez a previsão para doze passos à frente. Utilizando os modelos ARIMA, na série original, obteve erros medidos pelo MAPE de 16,964%. Com a decomposição, via wavelets pela ondaleta DAUB8 (Ondaleta de Daubechies), o erro caiu para 12,895%, fazendo as previsões em ambas as sub-séries pelos mesmos modelos e reconstruindo pela mesma onda.

Homsy, Portugal e Araújo (2000) compara, sob forma de estudo de casos, previsões relativas à três diferentes métodos de modelagem de séries de tempo, os quais consistem na aplicação da metodologia ARIMA, tanto da forma usual, quanto amparada por dois procedimentos auxiliares, baseados na análise de wavelets para as séries da produção industrial, exportações brasileiras, volume de pesca na Groelândia. Utilizou também o procedimento de alisamento exponencial das séries. Com base na medida MAPE de desempenho, o autor mostrou que o procedimento de decomposição via wavelets mostrou-se superior em 3,25% contra 6,88% para a série da produção industrial; para a série das exportações, indicou 9,9% contra 15,52% e para a série da produção de pesca, indicou 17,47% contra 27,35% a favor, em todos os casos, da decomposição via wavelets. A forma de wavelet utilizada foi a ondaleta de Haar. Isto indica, segundo o autor, ser um indício de que a modelagem sem separado (wavelets) de sub-série de baixas e altas freqüências contribui positivamente para a qualidade das previsões. Incorporando dados mais recentes, Wong et al (2003) trabalhou com a taxa de câmbio para previsões de dez passos a frente e na construção dos modelos de tendência, utilizando uma amostra de 512 observações de 1º de agosto de 1989 a 31 de julho de 1991. Utilizou a ondaleta de Daubechies (DAUB7), e comparando com os modelos ARIMA, o menor erro,

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0,95% ficou com a decomposição via wavelets, contra 2,2% para os modelos ARIMA, também medidos pelo MAE. Como visto, recentemente, o desenvolvimento da teoria das wavelets vem rapidamente se confirmando nos vários campos da ciência devido à aplicação de suas ferramentas matemáticas de suporte a análise de séries temporais. Esta metodologia representa um vasto campo na pesquisa quantitativa (WONG et al, 2003).

Estas conclusões fortalecem a carência latente dos segmentos ligados à previsão de séries financeiras em desenvolver melhor esta metodologia das wavelets, aplicadas ao mercado brasileiro. Também corroboram para a idéia de que se pretende diagnosticar a qualidade das previsões, provendo a alta administração de investimentos com análises de suporte a decisões acionáveis no mercado. Metodologia

No referencial teórico, foram apresentadas e discutidas as abordagens sobre previsão de séries financeiras e seus principais resultados, visando fundamentar a importância de se explorar o uso desta nova metodologia capaz de decompor uma série temporal via wavelets, conjuntamente com os modelos já existentes de previsão e comparar a qualidade de previsões obtidas para assessorar as decisões de investimentos no mercado de capitais brasileiro.

Para as análises, escolheu-se trabalhar com os dados da Petrobrás PN (PETR4), por ser uma das ações de maior peso na composição do Índice Bovespa. A série de dados considerada é composta por preços de fechamento diário, ajustados por dividendos e bonificações, expressos em moeda local, e foram obtidos junto a base Economática. A primeira série foi tomada a partir de janeiro do ano de 1995 até dezembro de 2000, totalizando 1499 observações, por se tratar de um período de grandes oscilações no mercado brasileiro como, a crise do México, em março de 1995, o período final da crise da Ásia, em outubro de 1997, a moratória da Rússia, em setembro de 1996 e a desvalorização do Real, em janeiro de 1999. Foram usadas 1490 observações para geração dos modelos e as 9 últimas para validação, seguindo o trabalho de Wong et al (2003). Estudou-se também o período compreendido entre janeiro de 2001 a dezembro de 2003 onde há poucas instabilidades no mercado, num total de 736 observações, sendo 728 para geração dos modelos e 8 para validação. A metodologia utilizada fundamenta-se na construção de modelos univariados de previsão de retornos com base em dados de série temporal, conjuntamente com a decomposição de wavelets. Há uma grande variedade de modelos aplicáveis a estudos dessa natureza. Para fins desta pesquisa, optou-se por selecionar os modelos ARIMA e de Redes Neurais.

Aplicaram-se para as séries nos períodos indicados, primeiramente a previsão nas séries originais pelos modelos citados acima. Posteriormente fez-se a decomposição da série via wavelets de Haar, em primeiro nível apenas, seguindo os passos de Homsy, Portugal e Araújo (2000). Após a realização das previsões nas sub-séries pelos modelos correspondentes, foi feita a reconstrução da série obtendo as previsões. A acurácia das estimativas foram medidas pelo MAE, identificado como uma medida adequada pelos mesmos autores. O uso da ondaleta de Haar, foi dado por ser considerada a mais simples em vários trabalhos como, Torrence e Compo (1998), Homsy, Portugal e Araújo (2000) e Wong et al (2003).

Para as análises usou-se os softwares MATLAB para tratamento das decomposições e reconstruções via wavelets. As previsões dentro das sub-séries foram feitas no EVIEWS para os modelos econométricos e com o STATISTICA NEURAL NETWORK para os modelos de redes neurais. Resultados Obtidos

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Antes de proceder à análise dos dados, primeiramente, verificou-se a existência de raízes unitárias, já que, se essa existência for detectada, tem-se a presença de movimento browniano, ou seja, não estacionariedade da série pelo teste de Dickey-Fuller (DF) (ENDERS, 1995). Na Tabela 1, apresentam-se os respectivos valores para as séries observadas pelo teste DF, onde a hipótese nula é de presença de raízes unitárias, ou seja, a série é não estacionária, contra a hipótese alternativa de que a série é estacionária (HAMILTON, 1994).

Tabela 1: Teste de presença de raízes unitárias Série Estatística

teste DF Nível de confiança Valor crítico

para o intervalo 1% Valor Crítico -3.4377 5% Valor Crítico -2.8639

Série da PETR4 de jan/95 a dez/00

-19.01254

10% Valor Crítico -2.5681 1% Valor Crítico -3.4419 5% Valor Crítico -2.8659

Série da PETR4 de

jan/01 a dez/03

-12.73658

10% Valor Crítico -2.5691 Como pode ser observado, para ambos os casos rejeitou-se a hipótese nula em todos os níveis de significância, 1%, 5% e 10%, indicando que a série é estacionária nos períodos analisados, o que torna viável a aplicação dos métodos de modelagem ARIMA e estudos de função de previsão (THROSTENSEN, 1976). Observa-se pela Tabela 2, que, o primeiro período de jan/95 a dez/00 é mais instável do que o segundo de jan/01 a dez/03, pelas diversas crises enfrentadas ao longo das 1490 observações diárias da Petrobrás PN (PETR4). Isto fica evidenciado pelas grandes oscilações dos retornos, que variaram de –0,21158 a 0,21309, que também pode ser verificado pela variância dos retornos (0,001193). Já no período de jan/01 a dez/03, observa-se menores oscilações, que variaram de –0,09811 a 0,084404, e por apresentar uma variância menor (0,000462). Ambas as séries são platicúrticas, com base na análise da curtose, e apresentam assimetria. Esses fatos estilizados corroboram as afirmações de Correia e Pereira (1997).

Tabela 2: Estatísticas descritivas para a série dos retornos da PETR4

Período de jan/95 a dez/00 Período de jan/01 a dez/03

Estatísticas Valores Estatísticas Valores

Média 0,001094 Média 0,000929 Mediana 0 Mediana 0,000958 Modo 0 Modo 0 Desvio padrão 0,03454 Desvio padrão 0,021497 Variância da amostra 0,001193 Variância da amostra 0,000462 Curtose 6,429587 Curtose 1,703447 Assimetria 0,046893 Assimetria -0,20972 Mínimo -0,21158 Mínimo -0,09811 Máximo 0,211309 Máximo 0,084404

Deram-se então as previsões com os modelos ARIMA e de Redes Neurais para as

séries originais. Para a previsão no primeiro período de jan/95 a dez/00, a metodologia dos modelos ARIMA gerou um modelo AR(9), isto é, um modelo que se utiliza de 9 valores passados para prever o valor atual, com 2 0,01737R = .

Essa identificação foi também detectada nas funções de autocorrelações, que indicaram que ambas as séries são autocorrelacionadas e que um modelo auto-regressivo é apropriado, confirmando o teste DF anterior. Para a série do segundo período, o modelo

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detectado foi um modelo autoregressivo de ordem 4 com 2 0,03423R = . Ambos os modelos podem ser ilustrados pela equação (4).

Ainda no primeiro período, o modelo neural apresentou uma rede MLP (Multilayer Perceptron) - MLP cuja arquitetura, identificação e seleção foram feitas automaticamente pelo software, que indicou como a melhor rede, a MLP 1:5-1-1:1, com um neurônio na camada de entrada, nas camadas ocultas cinco e um, e um neurônio na camada de saída. Obteve-se a mesma rede neural do período anterior, e, ambas as redes utilizaram o algoritmo de Backpropagation para treinamento, conforme sugere Portugal(1995).

Posteriormente, fez-se as sub-divisões via wavelet de Haar. As Tabelas 3 e 4, apresentam os erros de predição medidos pelo MAE. Os períodos indicados nas tabelas a seguir, significam que, para a série original de 1499 pontos, foram feitas as previsões para 9 períodos à frente, isto é, do período 1491 ao 1499. O mesmo procedimento para os dados do período seguinte, com previsões feitas 8 dias a frente, do período 737 ao 744. Estes períodos correspondem aos dias úteis finais da série que tiveram cotação na bolsa. A referência W nos nomes das colunas indicam que a série foi prevista com a metodologia da decomposição de wavelets em combinação dos as demais técnicas de previsão.

Tabela 3: MAE das observações para os modelos propostos para o período de janeiro do ano de 1995 até dezembro de 2000.

ARIMA Redes Neurais Observações PETRO_ARIMA W_ARIMA PETRO_RN W_RN

1491 0,006369 0,006215 0,014238 0,013743 1492 0,004671 0,004169 0,005408 0,003855 1493 0,014216 0,013089 0,012175 0,011713 1494 0,002122 0,002197 0,008279 0,008489 1495 0,020378 0,014002 0,020111 0,020819 1496 0,015830 0,016325 0,016349 0,016779 1497 0,007143 0,005883 0,006374 0,005958 1498 0,006366 0,006296 0,007087 0,007376 1499 0,007172 0,011706 0,010790 0,010523

MAE 0,009363 0,008876 0,009090 0,007654

Tabela 4: MAE das observações para os modelos propostos para o período de janeiro do ano de 2001 até dezembro de 2003.

ARIMA Redes Neurais

Observações PETRO_ARIMA W_ ARIMA PETRO_RN W_ RN

737 0,026712 0,019941 0,023370 0,020713 738 0,016595 0,015435 0,015579 0,015317 739 0,003175 0,001923 0,002267 0,000071 740 0,023371 0,023050 0,023101 0,016903 741 0,020732 0,021519 0,011002 0,010872 742 0,012996 0,012782 0,013075 0,013210 743 0,020085 0,019299 0,019818 0,019897 744 0,000523 0,001310 0,000653 0,000507

MAE 0,015524 0,014157 0,013485 0,012161

A Figura 2 mostra a decomposição em primeiro nível nas séries de baixa e alta freqüência, onde os modelos gerados foram: no primeiro período, de jan/95 a dez/00, para a parte de aproximação foi um modelo AR(5) e uma rede neural MLP s5 1:5-1-1:1. Na sub-serie detalhe, um modelo ARIMA(1,0,1) e quando usado rede neural obteve-se o mesmo

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modelo da parte de aproximação. No segundo período, de jan/01 a dez/03, gerou-se um modelo AR(1) para parte aproximação (baixa freqüência) e um modelo AR(2) para parte detalhe (alta freqüência), enquanto que as redes foram as mesmas geradas para o primeiro período e com as mesmas características da série original.

Figura 2: Decomposição em primeiro nível via wavelet de Haar, para a série da PETR4.

Série jan/95 a dez/00 Série jan/01 a dez/03

A Tabela 5 mostra os testes de Dickey-Fuller (DF), em todas as sub-séries, onde

rejeitou-se a hipótese nula em todos os níveis de significância, 1%, 5% e 10%, o que justifica a aplicação dos métodos de modelagem ARIMA nas séries decompostas pelas wavelets, e conseqüentemente, de previsão (THROSTENSEN, 1976).

Tabela 5: Teste de presença de raízes unitárias nas séries decompostas

Série Sub-série Estatística DF Nível de confiança* Valor crítico para o intervalo

Série da PETR4 de jan/95 a dez/00 Série Aproximação -11.42894 5% Valor Crítico -2.8658 Série Detalhe -12.62303 5% Valor Crítico -2.8658

Série da PETR4 de jan/95 a dez/00 Série Aproximação -9.405361 5% Valor Crítico -2.8697 Série Detalhe -9.662347 5% Valor Crítico -2.8697

* Como houve rejeição em todos os níveis, optou-se por mostrar apenas o nível de 5% de significância. As Figura 3 e 4 apresentam os valores para a série original e as previsões ajustadas

pelos respectivos modelos para ambas as séries completas. Os erros absolutos médios são: no período, de jan/95 a dez/00, o MAE para os modelos ARIMA foi 0,02378 e para as redes neurais 0,0234; no período de jan/01 a dez/03 o MAE para o uso dos modelos ARIMA foi 0,016770 enquanto para as redes neurais 0,016121.

Figura 3: Previsões dos Retornos da PETR4 e as séries originais no período de maior instabilidade referente a jan/95 a dez/00.

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Figura 4: Previsões dos Retornos da PETR4 e as séries originais no período de jan/01 a dez/03

Conclusões Com base nos resultados obtidos, a principal conclusão que se obtém é que, para

períodos com grandes interferências no mercado de capitais, como crises econômicas de diversos países e mesmo crises internas, as oscilações ficam evidenciadas e as previsões prejudicadas. Com a inserção da metodologia de decomposição de séries temporais de altas e baixas freqüências via wavelets, a qualidade das previsões melhora, conforme se pode observar pelo MAE. Para períodos de grande instabilidade, a acurácia é pequena na série original,de apenas 0,000273 pela diferença absoluta, e com uso das wavelets em um nível apenas, o desempenho melhora 0,001222 apenas, nas previsões de até nove passos a frente.

Para períodos de menor instabilidade no mercado, a melhora na qualidade das previsões é de 0,002038 quando não se usa wavelets e 0,001996, em variações absolutas, quando se combinam os modelos de previsão de redes neurais via decomposição de wavelets. Verifica-se, então, que as wavelets são mais adequadas para representar sinais de curtas explosões de alta freqüência ou sinais de grandes durações com curtas variações.

Deve-se ressaltar que os resultados obtidos, nesta pesquisa fornecem um indicativo do potencial de aplicação dos modelos estudados em operações no mercado financeiro, não devendo ser ainda interpretados como uma resposta final, mesmo porque o processo de geração dos modelos pode variar, de acordo com os objetivos e critérios do gestor.

Neste sentido, a pesquisa atinge seu objetivo, pois, o uso combinado das wavelets com as já tradicionais técnicas de previsão contribui positivamente para a qualidade das previsões de séries de tempo. REFERÊNCIAS ALBUQUERQUE, J. R. Previsibilidade de retorno de ações no mercado brasileiro. Instituto de Ciências Sociais, 2003. 57 f. Dissertação (Mestrado em Economia) – Instituto de Ciências Sociais. Brasília: Universidade de Brasília, 2003. ARIÑO, M. A. Time series forecasts via wavelets: an application to car sales in the spanish market. Discussion Paper 95-30, ISDS, Duke University. BOVESPA. Mercado de capitais. 1999. Disponível em: <http://www.bovespa.com.br>. Acesso em 22 mar. de 2003. BOX, G. E. P., JENKINS, G. M. Time series analysis: forecasting and control. Holden Day: San Francisco, 1970. BOX, G. E. P.; JENKINS, G. M.; REINSEL, G. C. Time series analysis: forecasting and Control. 3. ed. Prentice Hall: New York, 1994.

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