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COLÉGIO PEDRO II Concurso Público de Provas e Títulos para preenchimento de cargos vagos da Carreira de Magistério do Ensino Básico, Técnico e Tecnológico – Edital nº 37/2016 PROVA ESCRITA - MATEMÁTICA

PROVA ESCRITA DE MATEMÁTICA

PRIMEIRA PARTE – QUESTÕES OBJETIVAS (100 pontos)

1ª QUESTÃO

Em uma comunidade de pescadores, há duas cooperativas. Os membros da cooperativa

Tilápia só dizem a verdade e os da cooperativa Traíra, só mentira. Um dia, 200 pessoas da

comunidade se reuniram num círculo e um turista se dirigiu a cada uma delas, com a pergunta: “A

pessoa à sua direita fala a verdade?”. Terminada a consulta, verificou-se que 102 pessoas

responderam “não”.

A quantidade máxima de pessoas da comunidade Tilápia que poderia estar no círculo é

a) 102.

b) 119.

c) 132.

d) 149.

2ª QUESTÃO

Considere a função real 𝑓 que satisfaz a igualdade 𝑓(𝑥) = {3𝑥 − 2𝑓(𝑥), se 𝑥 ≥ 1

𝑥𝑓(𝑥) − 𝑥 + 1, se 𝑥 < 1.

O conjunto imagem de 𝑓 é

a) [−1;+∞[.

b) [+1;+∞[ .

c) [−1;−∞[.

d) [+1;−∞[.

3ª QUESTÃO

A equação (𝑥2 − 2𝑥 + 1)2 − 10(𝑥2 − 2𝑥) = 106 possui raízes reais. O módulo da soma

dessas raízes vale

a) 15.

b) 8.

c) 7.

d) 2.

2


4ª QUESTÃO

A transformação linear 𝑇: 𝐼𝑅2 → 𝐼𝑅2 é definida por

𝑇(𝑥; 𝑦) = (𝑎 𝑏𝑐 𝑑

) . (𝑥𝑦) = (𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 ; 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦), para dados a, b, c e d ∈ 𝐼𝑅.

Além disso, para toda região 𝐷 ⊂ 𝐼𝑅2, cuja área é 𝑆𝐷, tem-se que a área do conjunto imagem 𝑇(𝐷)

é igual ao dobro de 𝑆𝐷.

Então, o determinante da matriz (𝑎 𝑏𝑐 𝑑

) deve ser igual a

a) 2 ou −2.

b) √2 ou −√2 .

c) 2.

d) √2 .

5ª QUESTÃO

Considere o número 𝑛 = 333. O algarismo das unidades de 𝑛 é

a) 1.

b) 3.

c) 7.

d) 9.

6ª QUESTÃO

Seja 𝐴𝐵𝐶𝐷 um retângulo de dimensões 12 𝑐𝑚 e 16 𝑐𝑚 e os pontos 𝑀 e 𝑁, médios dos

lados 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ e 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ , respectivamente. No interior do pentágono 𝐵𝐶𝐷𝑁𝑀, é assinalado um ponto 𝑃, de

forma aleatória. A probabilidade de que o ângulo 𝑀𝑃�̂� seja obtuso vale

a) 5𝜋

168 .

b) 25𝜋

168 .

c) 5𝜋

336 .

d) 25𝜋

336 .

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7ª QUESTÃO

Considere a função real 𝑓 cujo gráfico é apresentado a seguir:

Sabe-se que as retas 𝑟 e 𝑠 são tangentes ao gráfico da função 𝑓 nos pontos de abscissas

𝑥 = −3 e 𝑥 = 1, respectivamente, e que 𝑓′(−3) = −2.

As equações das retas 𝑟 e 𝑠 são, respectivamente

a) 𝑦 = −2𝑥 − 4 e 𝑦 = 6𝑥 − 4.

b) 𝑦 = −4

3𝑥 − 4 e 𝑦 = 𝑥 − 4.

c) 𝑦 = −𝑥 − 4 e 𝑦 = 𝑥 − 4.

d) 𝑦 = −3𝑥 − 4 e 𝑦 = 6𝑥 − 4.

8ª QUESTÃO

A figura a seguir representa o semicírculo de diâmetro 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ inscrito no trapézio retângulo

𝐴𝐵𝐶𝐷, com lados paralelos 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ e 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , sendo 𝑇 ponto de tangência. Considere o tronco de cone

obtido pela rotação completa desse trapézio em torno do eixo 𝑒, suporte do diâmetro 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ .

Sendo 𝐶𝐷 = 𝑘, a área lateral do tronco é igual a

a) 0,5𝜋𝑘2.

b) 1,0𝜋𝑘2.

c) 1,5𝜋𝑘2.

d) 2,0𝜋𝑘2.

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9ª QUESTÃO

Na figura a seguir, o segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ é suporte para os diâmetros dos semicírculos de

centros 𝐶1 e 𝐶2, de áreas 𝑆1 e 𝑆2, respectivamente, e com ponto 𝐷 em comum. A semirreta 𝐵𝑇̅̅ ̅̅

tangencia o semicírculo de área 𝑆1 no ponto 𝑇 e é suporte para o diâmetro do semicírculo de

centro 𝐶3, de área 𝑆3.

A área 𝑆3 é igual a

a) 𝑆1+𝑆2

2 .

b) 2𝑆1+2𝑆2

3 .

c) √𝑆1 ∙ 𝑆2 + 𝑆2.

d) √𝑆1∙𝑆2

2 .

10ª QUESTÃO

Seja t um número real positivo.

Representando as raízes do polinômio 𝑃(𝑥) = 𝑥3 − 𝑡𝑥 + 20 = 0 por 𝑎, 𝑏 e 𝑐, o valor de

𝑎3 + 𝑏3 + 𝑐3 é

a) – 120.

b) – 60.

c) 120.

d) 300.

11ª QUESTÃO

Dado um conjunto finito 𝑪, define-se 𝑷𝑪, 𝒄𝒐𝒏𝒋𝒖𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒂𝒔 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝑪 (notação: 𝑷𝑪) por:

𝑷𝑪 = {𝑿 ∕ 𝑿 ⊂ 𝑪}.

Sejam 𝐴 e 𝐵 dois conjuntos disjuntos, ambos finitos e não vazios, tais que

𝑛(𝑃𝐴 ∪ 𝑃𝐵) + 1 = 𝑛(𝑃(𝐴∪𝐵)).

O valor da diferença 𝑛(𝐴) − 𝑛(𝐵) é

a) 0.

b) 1.

c) 2.

d) 3.

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12ª QUESTÃO

Observe a figura a seguir:

O sistema de desigualdades que representa a região sombreada na figura acima é

a) {(𝑥 − 2)2 + (𝑦 + 1)2 ≤ 4

𝑦 ≥ 𝑥 − 1𝑦 ≤ 𝑥 + 3

.

b) {(𝑥 + 2)2 + (𝑦 − 1)2 ≤ 4

𝑦 ≤ − 𝑥 − 1𝑦 ≤ 𝑥 + 3

.

c) {(𝑥 + 2)2 + (𝑦 − 1)2 ≤ 4

|𝑦 − 1| ≥ |𝑥 + 2| .

d) {(𝑥 + 2)2 + (𝑦 − 1)2 ≤ 4

|𝑦 − 1| ≤ |𝑥 + 2|.

13ª QUESTÃO

Considere 𝑎 = 3,1023522… e 𝑏 = 3,10235228… .

Dentre as alternativas a seguir, está correta

a) 𝑎 < 𝑏 .

b) 𝑎 − 𝑏 ≥ 10−8 .

c) |𝑎 − 𝑏| < 10−5 .

d) 𝑎 + 𝑏 = 6,20470448… .

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14ª QUESTÃO

A nota mediana obtida na prova de Matemática em cada uma das três turmas do Ensino

Médio – 3101, 3102, 3103 – foi igual a 6,0. As médias foram, respectivamente, 5,2; 6,0 e 7,0.

Os histogramas das turmas são dados a seguir.

A correspondência correta entre os histogramas e as turmas é

HISTOGRAMA I HISTOGRAMA II HISTOGRAMA III

a) 3101 3102 3103

b) 3101 3103 3102

c) 3102 3103 3101

d) 3102 3101 3103

HISTOGRAMA III

HISTOGRAMA I HISTOGRAMA II

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15ª QUESTÃO

Dada uma matriz 𝐴, escreve-se 𝑎𝑑𝑗(𝐴) para representar a matriz adjunta de 𝑨.

Considere a matriz 𝐴 =

(

1 1 1 1 12 3 4 5 64 9 16 25 368 27 64 125 21616 81 256 625 1296)

.

O produto 𝐴 ∙ 𝑎𝑑𝑗(𝐴) é uma matriz cuja soma dos elementos é

a) 289.

b) 288.

c) 1 441.

d) 1 440.

16ª QUESTÃO

Segundo os documentos oficiais do MEC sobre o ensino e a aprendizagem de Matemática,

essa disciplina pode ser vista como uma fonte de modelos para os fenômenos que nos cercam.

Esses modelos compreendem relações entre

a) conceitos, procedimentos e representações de diversas ordens.

b) conhecimentos, atitudes e representações de diversas ordens.

c) conceitos, atitudes e representações de ordem digital.

d) conhecimentos, procedimentos e representações de ordem digital.

17ª QUESTÃO

Em um concurso público, 7501 candidatos fizeram uma prova de 25 questões de múltipla

escolha, com 4 alternativas por questão. Admita que todos os candidatos responderam a todas as

questões. Considere a afirmação: “Pelo menos 6 candidatos responderam de modo idêntico às 𝑘

primeiras questões da prova”.

O maior valor de 𝑘 para o qual a afirmação é verdadeira é igual a

a) 7.

b) 6.

c) 5.

d) 4.

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18ª QUESTÃO

Seja 𝐴𝐵𝐶𝐷 um losango com diagonais de medidas 𝐴𝐶 = 300 𝑐𝑚 e 𝐵𝐷 = 160 𝑐𝑚. Dos

pontos 𝐴 e 𝐶, traçamos os segmentos 𝐴𝐸̅̅ ̅̅ e 𝐶𝐹̅̅̅̅ , de medidas 𝐴𝐸 = 200 𝑐𝑚 e 𝐶𝐹 = 150 𝑐𝑚,

perpendiculares ao plano que contém o losango e contidos em um mesmo semiespaço

determinado por este plano.

O volume do sólido 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹, em metros cúbicos, é

a) 2,8.

b) 28.

c) 2 800.

d) 2 800 000.

19ª QUESTÃO

Considere os números 𝑚 ∈ 𝐼𝑁 e 𝑛 ∈ 𝐼𝑅+∗ , com 𝑚 ≥ 10 e 𝑥 ∈ 𝐼𝑅. O 6º termo do

desenvolvimento de (𝑥𝑛 + 𝑥𝑛2)𝑚

, segundo potências decrescentes de 𝑥𝑛2 é independente de 𝑥.

Além disso, no desenvolvimento de (𝑥 + 𝑥1

𝑛)𝑚

, o 8º termo é também independente de 𝑥.

O valor de 𝑚 é

a) 10.

b) 12.

c) 14.

d) 16.

20ª QUESTÃO

Seja 𝑎 um número racional. Denotamos por ⌈𝑎⌉ o maior inteiro que não supera 𝑎, ou seja:

⌈𝑎⌉ = 𝑚á𝑥{𝑛 ∈ ℤ ∕ 𝑛 ≤ 𝑎} . Particularmente, se 𝑎 = ⌈𝑚

𝑛⌉ com 𝑚 e 𝑛 inteiros, 𝑛 > 0 e 𝑞 for o

quociente da divisão de 𝑚 por 𝑛, então 𝑞 = ⌈𝑎⌉.

Se 𝑎 e 𝑏 forem naturais, com 1 < 𝑎 < 𝑏, então o valor da expressão

⌈𝑎

𝑏⌉ + ⌈

𝑎

𝑏+1

𝑏⌉ + ⌈

𝑎

𝑏+2

𝑏⌉ + ⋯+ ⌈

𝑎

𝑏+𝑏−1

𝑏⌉ é

a) 1 .

b) 𝑏.

c) 𝑎.

d) ⌈𝑎⌉ + ⌈𝑏⌉.

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21ª QUESTÃO

Sejam uma circunferência de centro O e raio R e A, B e C três pontos pertencentes a .

Considere a circunferência centrada no ponto C, que passa pelos pontos A e B e tem raio

.

A área da região interna à e externa à é

a) .

b) .

c) .

d) .

22ª QUESTÃO

Observe a figura a seguir:

A área da região sombreada ilustrada na figura anterior é mais bem aproximada por

a) 0,89.

b) 0,10.

c) 0,35.

d) 0,60.

1 1

2

3R

1 2

2

6R

22 R

2

2

3

6

7R

2

62

3R

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23ª QUESTÃO

De modo geral, quando representamos poliedros no plano algumas faces estão ocultas,

sendo as arestas destas representadas por linhas tracejadas. Formalmente, sejam 𝜕 a face de um

poliedro que está contida num plano 𝛼; 𝑃 um ponto do interior do poliedro e 𝑂 o ponto onde está

situado o olho do observador. A condição necessária e suficiente para que 𝜕 seja visível é que 𝑃 e

𝑂 estejam cada um num dos semiespaços determinados pelo plano 𝛼.

Considere, então, uma pirâmide quadrangular em que o vértice é o ponto 𝑉 (0; 0; 1) e cuja base é

o quadrado de vértices 𝐴 (√3; 1; −1), 𝐵 (−1; √3; −1), 𝐶 (−√3;−1; −1) e 𝐷 (1; −√3; −1).

A face, de vértices 𝐴, 𝐵 e 𝑉 , será visível se o olho for colocado no ponto de coordenadas

a) (0; −6; 0).

b) (−1; 1; −1).

c) (2; −2; 𝜋).

d) (√3; −√3; 𝑒).

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24ª QUESTÃO

Claudia adquiriu uma máquina de fazer café, cujo preço à vista era R$ 800,00. Ela optou

por um sistema de pagamento no qual deu uma entrada de R$ 200,00 e o restante pagaria em

quatro prestações mensais e iguais, com cobrança de juros à taxa de 5% ao mês sobre o saldo

devedor.

Porém, em virtude do pagamento do 13º salário, resolveu quitar a dívida na terceira

prestação. Sabendo que, nesses casos de antecipação de financiamento, a loja dá um desconto

de 10%, o valor, em reais, do último pagamento que ela efetuou era mais bem aproximado por

(se necessário, utilize 1,052 ≈ 1,1.)

a) 260.

b) 290.

c) 300.

d) 320.

25ª QUESTÃO

Considere uma hipérbole equilátera de focos 𝐹1 e 𝐹2, de centro 𝑂 e que passa pelo ponto

𝑃.

As medidas dos segmentos 𝑃𝐹1̅̅ ̅̅ ̅ , 𝑃𝑂̅̅ ̅̅ e 𝑃𝐹2̅̅ ̅̅ ̅ formam, nessa ordem uma

a) progressão aritmética.

b) progressão aritmética de 2ª ordem.

c) progressão geométrica.

d) progressão harmônica.

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PROVA ESCRITA DE MATEMÁTICA

SEGUNDA PARTE – QUESTÕES DISCURSIVAS (100 pontos)

1ª QUESTÃO

Valor da questão: 25 pontos

Jhosy viaja com sua esposa Paty, sua filha e filho para curtir o feriadão na Região dos

Lagos.

a) No trajeto decidem parar num restaurante e fazer uma refeição. Todos possuem o mesmo

modelo de aparelho celular e no restaurante deixam todos guardados na bolsa de Paty.

Terminada a refeição, cada um pega ao acaso um aparelho celular na bolsa de Paty. De quantas

maneiras isso pode ser feito, de modo que ninguém pegue o próprio aparelho?

b) Seguindo com a viagem, a probabilidade de congestionamento na estrada é de 60%. Havendo

congestionamento, a probabilidade de os filhos do casal brigarem no carro é de 80% e, sem

congestionamento, a briga pode aparecer com probabilidade de 40%.

Quando há briga, com ou sem congestionamento, a probabilidade de Jhosy perder a paciência

com os filhos é de 70%. Naturalmente, havendo congestionamento, Jhosy pode perder a

paciência com os filhos mesmo sem brigas, o que aconteceria com probabilidade de 50%.

Quando não há nem congestionamento nem briga, Jhosy dirige tranquilo e não perde a paciência.

Qual é a probabilidade de ter havido briga no trecho considerado, dado que Jhosy perdeu a

paciência?

RESOLUÇÃO

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2ª QUESTÃO


No sólido representado na figura a seguir, 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑎 , 𝑂𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = �⃗� , 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑐 :

𝑀 é o ponto médio de 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ ,

a face 𝑂𝐵𝐷𝐶 é um paralelogramo,

o ângulo formado por 𝑎 e �⃗� mede 60º,

𝑐 é ortogonal a 𝑎 e também a �⃗� ,

|𝑎 | = 2, |�⃗� | = 1 e |𝑐 | = 4.

a) Escreva 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ e 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ em função de 𝑎 , �⃗� e 𝑐 .

b) Calcule o ângulo formado por 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ e 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .

RESOLUÇÃO

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3ª QUESTÃO


A sequência de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ... possui diversas propriedades

interessantes e, em consequência disso, a encontramos em muitas aplicações.

Podemos defini-la pela seguinte relação de recorrência linear de segunda ordem com

coeficientes constantes:

𝐹𝑛+2 = 𝐹𝑛+1 + 𝐹𝑛, para todo natural 𝑛 ≥ 0, com 𝐹0 = 𝐹1 = 1.

a) A cada recorrência linear de segunda ordem com coeficientes constantes, da forma

𝑥𝑛+2 + 𝑝 ∙ 𝑥𝑛+1 + 𝑞 ∙ 𝑥𝑛 = 0, 𝑞 ≠ 0, associamos uma equação polinomial do segundo grau

𝑟2 + 𝑝 ∙ 𝑟 + 𝑞 = 0, chamada de equação característica. Considere que, se 𝑟1 e 𝑟2 são as

raízes da equação característica, então, 𝑎𝑛 = 𝐶1 ∙ 𝑟1𝑛 + 𝐶2 ∙ 𝑟2

𝑛 é solução da recorrência

𝑥𝑛+2 + 𝑝 ∙ 𝑥𝑛+1 + 𝑞 ∙ 𝑥𝑛 = 0, quaisquer que sejam os valores das constantes 𝐶1 e 𝐶2.

Com base nessas informações, determine o número de Fibonacci 𝐹𝑛.

b) Usando o Princípio da Indução Finita, mostre que, para a sequência definida por 𝑏1 = 1,

𝑏2 = 2 e 𝑏𝑛 = 𝑏𝑛−1 + 𝑏𝑛−2 , para 𝑛 ≥ 3, vale 𝑏𝑛 < (7

4)𝑛

para 𝑛 ≥ 1.

RESOLUÇÃO

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4ª QUESTÃO


Sejam 𝑓 e 𝑔 as funções reais de variável real definidas por

𝑓(𝑡) =1−𝑡2

1+𝑡2 𝑒 𝑔(𝑡) =

2𝑡

1+𝑡2 .

Considere a aplicação 𝐹: 𝐼𝑅 𝜕 = {(𝑥; 𝑦) 𝐼𝑅2/ 𝑥2 + 𝑦2 = 1 𝑒 (𝑥; 𝑦) ≠ (−1; 0)},

definida por, 𝐹(𝑡) = (𝑓(𝑡); 𝑔(𝑡)), bijetora para todo 𝑡 real.

a) Considere o ponto 𝑄(−1; 0) e um ponto genérico 𝑃(𝑥; 𝑦) ∈ 𝜕. Chame de 𝜃 o ângulo que o vetor

𝑄𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ faz com o eixo das abscissas (𝜃 será considerado negativo quando P estiver no semiplano

inferior definido pela reta 𝑦 = 0). Sendo 𝑡 = 𝑡𝑔(𝜃), escreva 𝑥 e 𝑦 em função de 𝑡.

b) Sendo 𝛼 o ângulo trigonométrico que o vetor 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ faz com o eixo das abscissas, mostre que

𝑐𝑜𝑠(𝛼) e 𝑠𝑒𝑛(𝛼) são racionais sempre que 𝑡 for racional e que

𝑐𝑜𝑠(2𝜃) =1−𝑡𝑔2(𝜃)

1+𝑡𝑔2(𝜃) 𝑒 𝑠𝑒𝑛(2𝜃) =

2𝑡𝑔(𝜃)

𝑡𝑔2(𝜃)+1 .

RESOLUÇÃO

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