Principio Fundamental Decontagem

7/26/2019 Principio Fundamental Decontagem

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Unidade 10 Anlise

combinatria

Introduo

Princpio Fundamentalda contagemFatorial


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Introduo

A escolha do presente que voc deseja ganhar em seuaniversrio, a deciso de uma grande empresa quando salternativas de investimento em certo ano e a seleo do timeque tcnico de futebol deve fazer para o prximo jogo so

decises que, na maioria das vezes, esto relacionadas a umaquantidade muito grande possibilidades. Como encontrar essas quantidades e escolher a melhor

opo? Com o auxlio de Anlise Combinatria, impossvel organizar

as informaes objetivando a contagem rpida das escolhas,sem a necessidade de cont-las uma a uma. Em alguns casos, inclusive, alm de ser inconveniente, isso

praticamente impossvel.


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Introduo

Vejamos, inicialmente, uma situao em que a quantidade depossibilidades no representada por um nmero muitogrande.

Suponha, por exemplo, que uma empresa multinacionalpretenda aumentar o lucro no prximo ano e, para alcanar ameta, necessita tomar trs decises importantes:

1 deciso: aumentar ou diminuir: aumentar ou diminuir onmero de funcionrios;

2 deciso: realizar um emprstimo junto a um de trs bancosfinanceiros; 3 deciso: estabelecer uma nova poltica de investimentos ou

manter a atual.


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Introduo

Cada deciso tem uma quantidadeespecfica de possibilidade de escolha.

Tomando as trs decises, de quantasmaneiras ela poder tentar alcanar a metaestabelecida?

Vamos auxiliar a empresa na metaestabelecida, respondendo s seguintesquestes:


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Introduo Para voc fazer p. 31

a) De quantas maneiras a empresa poder tomar a 1deciso?

R.: De duas maneiras: aumentando ou diminuindo a

quantidade de funcionrios.b) De quantas maneiras a empresa poder tomar a 2

deciso?R.: De trs maneiras: banco 1, banco 2 ou banco 3, por

exemplo.c) De quantas maneiras a empresa poder tomar a 3

deciso?

R,: De duas maneiras: alterando ou mantendo apoltica de investimentos.


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d) Represente as opes de escolha em uma rvores de possibilidades edescubra de quantas maneiras a empresa poder tomar as trsdecises.


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e) Mostre uma maneira mais rpida de obter a quantidade total depossibilidade, sem construir a rvore.

Resposta: Vamos supor que os clientes designados por A, B, C, D e E.

Assim, o cliente A poder receber uma das cinco cartas. Escolhidas a carta de A, o cliente B poder receber quatro cartas. Escolhidas as duas cartas para A e B, o cliente C poder receber trs

cartas. Escolhidas as quatro cartas para A, B, C, o cliente D poder receber

duas cartas. Escolhidas as quatro cartas para A, B, C e D, o cliente E poder

receber uma nica carta. Logo, pelo Princpio Multiplicativo, existem 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120

maneiras.


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Introduo

As rvores de possibilidade so instrumentoseficientes na contagem dos agrupamentos quepodemos realizar em uma determinada situao,

pois elas organizam as informaes. Porm, se a quantidade de escolhas aumentar

muito, ficar impraticvel constru-las. Nesses casos, necessitamos de mtodos que nos

permitam solucionar problemas de contagem commaior rapidez.

Estudaremos a seguir mtodos rpidos e eficientes,destinados resoluo de problemas relacionados contagem.


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Princpio Fundamental de Contagem

O Princpio Fundamental de Contagem uma das mais importante ferramentas em

Anlise Combinatria, estabelecendo osprincipais raciocnios utilizados na resoluode problemas de contagem.

Nele, existem dois raciocnios (ou princpios)que podem ser empregados:

Princpio aditivo e multiplicativo.


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Princpio Fundamental de ContagemPrincpio Aditivo

Suponhamos que, na cantina do seu colgio,existam cinco tipos de suco de frutasdisponveis para a venda: laranja, pssego,ma, abacaxi e caju. Alm disso, existemdois tipos de gua mineral: com ou sem gs.Voc deseja, para matar sua sede, pedir um

nico tipo de bebida entre as anteriores, semrepeties. Quantas opes de escolhaexistem?


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Como voc escolherapenas uma delas, umdos sucos ou uma das

guas minerais, entoter 7 (5 + 2) opesde escolha.

Existem cinco opesde suco e duas opesde gua.


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Repare que as opes da bebida soindependentes, ou seja, escolhida uma delas, asdemais so eliminadas, sem a necessidade de nova

escolha. Conceito

Se existem m1 maneiras de tomar a deciso D1 e m2

maneiras de tomar a deciso D2, sendo D1 e D2independentes, ento o nmero de maneiras de

optar pela deciso D1 ou pela deciso D2 m1 + m2.


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Princpio AditivoPara voc fazer p. 32

Jos escolher apenas uma delas, ou seja, 10 + 2 =12 possibilidades


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Princpio Multiplicativo

Em outra situao, imagine que, na cantinade sua escola, existam cinco opes de sucode frutas: pssego, ma, morango, caju e

mamo. Voc deseja escolher apenas umdesses sucos, mas dever decidir tambmse o suco ser produzido com gua ou leite.

Escolhendo apenas uma das frutas e apenasum dos acompanhamentos, de quantasmaneiras poder pedir o suco?


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Observe que existem cincoopes de frutas e duas deacompanhamento para cadafruta possvel de serescolhida.

Como voc escolher umadas frutas e, em seguida umdos acompanhamentos,

ento poder pedir seu sucode 10 (5 . 2) maneiraspossveis.


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Para generalizar o raciocnio exposto, a seguir temos adefinio de Princpio Multiplicativo:

Se existem m1 maneiras de tomar a deciso D1 e, para cada

uma dessas maneiras, existem m2maneiras de tomar adeciso D2, ento o nmero de maneiras de tomar sucessivasdecises D1 e D2 D2 m1 . m2.

Embora o enunciado anterior contemple apenas duasdecises, importante destacar que o princpio pode serestendido para mais escolhas.


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Princpio MultiplicativoPara voc fazer p. 33

Mauro escolher apenas um dos 10 provedores. Para cada um deles, existem ainda duas opes de escolha de

conexo. Logo, existem 10 . 2 = 20 opes de acesso


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Para estudarmos melhor os princpios edesenvolver ainda mais o raciocnio, acompanha aresoluo do prximo exerccio:

Quantos nmeros de trs algarismos podemosformar com os algarismos 1, 2, 3, 5 8 e 9 de modoque?

a) Os algarismos possam ser repetidos?b) Os algarismos sejam distintos?


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Preste Ateno

Existem algumas recomendaes importantes na resoluo deproblemas de contagem.

Entre elas, destacam-se:

1) Sempre que possvel, divida as decises a serem tomadas emdecises mais simples, portanto de fcil soluo.

2) Os detalhes de um problema so importantes. Leia comateno o enunciado e verifique se o problema permite ou no

a repetio de elementos, por exemplo.3) imprescindvel no adiar dificuldades. Se uma das decisesfor mais especfica ou mais restritiva que outra, esta dever sertomada em primeiro lugar.


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Resoluo de Atividades

Pgina 33 e 34


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Fatorial

Na resoluo de problemas de AnliseCombinatria frequente a ocorrncia demultiplicaes cujos fatores so nmerosque formam uma sequncia decrescente, emque cada fator uma unidade menor do queo anterior.


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Fatorial

Para exemplificar, considere asequncia formada pelos seisprimeiros corredores de umaprova de 100 metros rasos.

Considerando-se todasas sequncias possveisdesses seis corredores,

quantos resultadosexistem?


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Fatorial

A quantidade de maneiras de formar asequncia depender do nmero deescolhas que poderemos fazer para cadacolocao.

Analisando, inicialmente, o nmero de

escolhas da 1 colocao da prova e assimpor diante at ltima, temos:


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Fatorial


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Fatorial

Para facilitar a representao dessasmultiplicaes, a partir de agora, utilizaremoso smbolo ! para represent-las, ou seja:

6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1L-se : fatorial de 6 ou o fatorial


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FatorialPara voc fazer p. 35

a) 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24b) 5! 3! = (5 . 4 . 3 . 2 . 1) (3 . 2 . 1) = 120 6 =

114c) 3! . 2! = (3 . 2 . 1) . (2 . 1) = 6 . 2 = 12 (3 . 2)! = 6!

= 6 . 5. 4 . 3 . 2 . 1 = 720Logo, 3! . 2! (3 . 2)!d) n! = n(n 1).(n 2). ...3 . 2 . 1


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Fatorial

Para generalizar a definio de fatorial de nmerosnaturais, observe:

Conceito

O fatorial de um nmero natural n, n 2,representado por n!, definido como sendo oproduto de n por tos que o antecedem at o nmero1, ou seja:

n! = n(n-1).(n-2). ... .3 . 2. 1

Para que todos os problemas de contagem possamser resolvidos adequadamente, ainda faz parte dadefinio: 1! = 1 e 0! = 1


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Fatorial

O conceito fatorial est intimamente ligadoa formao de filas e sequncias, no sentidode que, se uma fila tem n pessoas, existemn! maneiras possveis de ordenar essapessoas.

Sendo assim, vamos refletir um pouco sobreduas questes importantes: os valores de 1!e 0!.


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Fatorial Preste Ateno

De quantas maneiras poderemos ordenaruma fila de uma nica pessoa?

Com uma s pessoa, existe apenas uma fila. Isso explica por que definimos 1! = 1 Adiante, estudaremos algumas frmulas em

Anlise Combinatria e veremos que o nicovalor possvel para 0!, que torna todas asfrmulas vlidas, 0! = 1.


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Fatorial

Organizando os princpios resultados defatoriais de nmeros naturais de 0 a 10,podemos escrever:


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Fatorial

Como existem fatoriais apenas de nmerosnaturais, para citar alguns exemplos, noesto definidos os seguintes fatoriais:

( ) ( )!!5

4;!3


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FatorialPara voc fazer

Os nmeros de resultados dado por:

11. 10 . 9 . ... . 3 . 2 . 1 = 11 . 10! =

11 . 3 628 800 = 39 916 800 A inteno principal aqui mostrar que podemos

calcular o fatorial de um nmero maior em funo de

um nmero menor.


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Fatorial

Em muitos casos, aquantidade depossibilidades presentes emproblemas de contagem

relativamente grande. Por isso, o estudo da

operao fatorial apresenta-se como uma ferramenta

importante, minimizando asoperaes aritmticas.

Por exemplo:

?

684018.19.20

!17!17.18.19.20

==

==


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Resoluo de Atividades

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