Probab Il i Dade

Coordenadoria de Matemtica

Apostila de Probabilidade Oscar Luiz Teixeira de Rezende Rony Cludio de Oliveira Freitas

Vitria ES

Probabilidade Oscar Luiz Teixeira de Rezende Rony Cludio de Oliveira Freitas ______________________________________ _____________________________

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CAPTULO 03 1. INTRODUO Quando investigamos algum fenmeno, verificamos a necessidade de descrev-lo por um modelo matemtico que permite explicar, da melhor forma possvel, este fenmeno. Os fenmenos so classificados em dois tipos: Fenmenos determinsticos e Fenmenos aleatrios. 1.1. Fenmenos determinsticos: So aqueles que repetidos nas mesmas condies

iniciais conduzem sempre a um mesmo resultado. Exemplo: Deixar uma massa M cair em queda livre de uma altura de 1 metro sobre uma superfcie e anotar tempo t de queda livre. 1.2. Fenmenos aleatrios: So aqueles que repetidos sob as mesmas condies iniciais

podem conduzir a mais que um resultado. Exemplos: lanamento de uma moeda, lanamento de um dado, o tempo de vida til de uma lmpada, nmero de clientes que vo a um banco em um determinado dia, etc. O objetivo do estudo da teoria das probabilidades so fenmenos aleatrios, e vamos nos restringir nosso estudo a uma classe de fenmenos aleatrios chamados experimentos. 2. TEORIA DAS PROBABILIDADES Como o objetivo do nosso estudo so os experimentos e eles admitem mais do que um resultado, faz sentido definir o conjunto de todos os possveis resultados do experimento. 2.1. Espao amostral : o conjunto de todos os resultados possveis de um experimento, e ser denotado por S. Exemplos : Considere os experimentos a) Lanar uma moeda e anotar a face superior.

S= {ca, co} b) Lanar um dado e anotar o nmero de pontos da face superior.

S= { 1, 2, 3, 4, 5, 6}


3

c) Instalar uma lmpada em um soquete e anotar o tempo que a lmpada leva para

queimar. S= { }0| ntRt , n o tempo que a lmpada queima.

2.2. Evento: qualquer subconjunto do espao amostral do experimento. Exemplos: a) No lanamento de um dado o evento A representa o conjunto cujo nmero da face

superior par. A= { 2, 4, 6} b) No lanamento de uma moeda e um dado o evento B representa o conjunto cujo nmero

da face superior do dado maior que 4. B= {(ca, 5); (ca, 6); (co, 5); (co, 6)}

A seguir , apresentamos um modelo matemtico adequado representao da relao entre o espao amostral e o evento

3. DEFINIO DE PROBABILIDADE Existem trs formas de se definir a probabilidade, a escolha da forma depende da natureza da situao. 3.1. Probabilidade Clssica Aplicam-se a situaes em que os resultados que compe o espao amostral ocorrem com a mesma probabilidade. Nesta situao a probabilidade de um determinado evento definida coma sendo a razo entre o nmero de elementos do evento e o nmero de elementos do espao amostral.

S A


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)()()(

SnAnAP =

Desta definio podemos observar que: a) 1)(0 AP ; b) 1)( =SP ; c) Se =A , ento 0)( =AP d) 1)()( =+ APAP , sendo A a representao do conjunto No A Exemplo : No lanamento de um dado e observar a face superior deste dado, determine a probabilidade de ocorrer um nmero par. S= {1, 2, 3, 4, 5, 6} e A= {2, 4, 6} ento n(S) = 6 e n(A) = 3 P(A) = 3/6 =1/2 3.2. Probabilidade pela freqncia relativa Deve ser aplicada quando um experimento observado e a freqncia com que determinado evento ocorre nesta observao, esta probabilidade sempre estabelecida por uma criteriosa pesquisa onde as freqncias so estabelecidas. Exemplo Observa-se que dos 1000 clientes que vo a um supermercado e compram um produto, 500 deles compram o produto da marca A. Podemos estabelecer ento que aprobabilidade de um consumidor que compra o produto, comprar o produto da marca A e: P(A)= 500/1000 = 1/2 . 3.3. Probabilidade subjetiva Em situaes em que o experimento se repete com uma certa regularidade mas no h possibilidade de repeti-lo sucessivamente um nmero razovel de vezes e nem aplicar a forma clssica, ento se faz uma avaliao subjetiva da probabilidade. Exemplo: A probabilidade de uma pessoa engordar ao comer pizza regularmente durante um ano sem uma queima de calorias adequadas de 0,8 ou 80%. Esta probabilidade totalmente subjetiva e foi estabelecida sem nenhum critrio cientifico.


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4. PROBABILIDADE DA UNIO DE DOIS EVENTOS

)(

)()()()()(

)()(

SNBANBNANBAP

SNBANBAP

IU

UU

+=

=

)()()()( BAPBPAPBAP IU += Quando =BAI , ,0)( =BAP I ento:

)()()( BPAPBAP +=U Exemplo: Retira-se uma carta de um baralho completo de 52 cartas. Qual a probabilidade de sair um rei ou uma carta de espadas? Seja A: sada de um rei B: sada de uma carta de espadas

524)(},,,{ == APRRRRA pceo

5213)(},,2,{ == BPRAB eee L

521)( =BAP I

logo: )()()()( BAPBPAPBAP IU +=

521

5213

424)( +=BAP U

5216)( =BAP U

5. PROBABILIDADE CONDICIONADA

Vamos analisar a diferena entre extrair uma pea de um lote, ao acaso, com ou sem

reposio. Suponha a seguinte situao: um lote de peas tem 80 peas defeituosas e 20 defeituosas. Suponha que escolhemos duas peas desse lote:

A B BAIS


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a) com reposio; b) sem reposio. A = {a primeira pea defeituosa}; B = {a segunda pea defeituosa}. Se estivermos extraindo com reposio , P(A)=P(B) = 20/100 = 1/5, porque cada vez que extrairmos do lote, existiro 20 peas defeituosas no total de 100. No entanto, se estivermos extraindo sem reposio, os resultados no sero to imediatos. ainda verdade, naturalmente, que P(A) = 1/5, mas para calcularmos P(B) devemos conhecer a composio do lote no momento de se extrair a segunda pea. Isto , deveremos saber se A ocorreu ou no. Este exemplo mostra a necessidade de se introduzir o seguinte importante conceito. Sejam A e B dois eventos associados ao experimento E. Denotaremos por P(B|A) a probabilidade condicionada do evento B quando A tiver ocorrido.

No exemplo acima P(B|A) = 19/99, porque se A tiver ocorrido, ento para a Segunda extrao restaro somente 99 peas, das quais 19 delas sero defeituosas.

Nota: Sempre que calcularmos P(B|A), estaremos essencialmente calculando P(B) em relao ao espao amostral reduzido A, em lugar de faz-lo em relao ao espao amostral original S.

A parte de B que esta contida em A representada por BAI . Conclumos que:

0)(;)()(

)()()(

)(

)()()/( === AP

APBAP

SNANSN

BAN

ANBANABP I

I

I

)()()/(

APBAPABP I=

B A


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Exemplo: considere 250 alunos que cursam o primeiro ciclo de uma faculdade. Destes alunos 100 so homens (H) e 150 so mulheres (M), 110 cursam fsica (F) e 140 cursam qumica (Q). A distribuio dos alunos a seguinte

Total H 40 60 100 M 70 80 150 Total 110 140 250 Um aluno sorteado ao acaso. Qual a probabilidade de que esteja cursando qumica, dado que mulher? Pelo quadro vemos que esta probabilidade de

15080 e representamos

15080)/( =MQP

Observamos, porm, que 25080)( =QMP I e

250150)( =MP . Para obtermos o resultado do

problema basta considerar que:

15080

25015025080

)()()/( ===

MPQMPMQP I

5.1. Teorema Da Multiplicao

Uma conseqncia importante da definio acima a seguinte:

)()()/(

APBAPABP = )/().()( ABPAPBAP =

)/().()()()()/( BAPBPBAP

BPBAPBAP ==

Em particular quando os eventos A e B so independentes, )()/( APBAP = ou

)()/( BPABP = temos:

)().()( BPAPBAP =I


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5.2. Teorema da Probabilidade Total

Dizemos que os eventos B1, B2, ...,Bk representam uma partio do espao amostral S, quando a) = ji BB para ji .

b) Uk

ii SB

1.

=

= (unio de todos os iB )

c) OBP i >)( para todo i. Vamos ilustrar a situao para um K = 5.

Considerando A um evento qualquer de S e B1, B2, B3, B4 e B5 uma partio de S temos:

)()()()()( 54321 BABABABABAA = como ))...(( 51 BABA so dois a dois mutuamente excludentes temos:

)()()()()()( 54321 BAPBAPBAPBAPBAPAP ++++= Generalizando temos:

)(...)()()( 21 kBAPBAPBAPAP +++= Este resultado conhecido como teorema da probabilidade total. Ele utilizado quando P(A) difcil de ser calculada diretamente, porm simples se for usada a relao acima. Exemplo: Uma urna contm 3 bolas brancas e 2 amaralas. Uma Segunda urna contm 4 bolas brancas e 2 amarelas. Escolhe-se, ao acaso, uma urna e dela retira-se, tambm ao acaso, uma bola. Qual a probabilidade:

AB2

B1 B3

B4

B5


9

a) da bola escolhida ser da da urna I e branca? b) da bola escolhida ser branca? c) Se a bola escolhida foi branca, qual a probabilidade que tenha sida escolhida uma bola da

urna I Para resolver este problema vamos usar um modelo matemtico conhecido como diagrma de rvore, que auxilia a resoluo dos problemas de probabilidade quando possvel fragumentar um experimento em outros experimentos sucessivos.

a)

103

53

21)/()()( === IBPIPBIP I

b) 3019

124

103

64

21

53

21)()()( =+=+=+= BIIPBIPBP II

c) 199

3019103

)()()/( ===

BPBIPBIP I

I II

3B 2A

4B 2A

P(I)=1/2 .

P(II)=1/2

II

I

P(B/I)=3/5 B

A

P(A/I)=2/5

B

A

P(B/II)=4/6

P(B/II)=2/6


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6. EXERCCIOS 1) Lance um dado e uma moeda

a) Construa o espao amostral b) Enumere os seguintes eventos

A = { coroa, marcada por um nmero par} B = { cara, marcado por um nmero impar} C = { mltiplo de 3 }

c) Expresse os eventos I) B II) A ou B ocorrem III) B e C ocorrem IV) BA

2) Se 41)(;

21)( == BPAp e A e B so mutuamente exclusivos, calcular:

a) )(AP b) )(BP c) )( BAP d) )( BAP e) )( BAP 3) Se

41)(

31)(;

21)( === BAPeBPAP , calcule:

a) )( BAP b) )( BAP c) )( BAP 4) Determine a probabilidade de cada evento:

a) Um nmero para aparecer no lanamento de um dado no viciado. b) Um rei aparecer ao extrair-se uma carta de um baralho. c) Pelo menos uma cara aparece no lanamento de 3 moedas. d) Pelo menos uma cara aparece no lanamento de n moedas. e) Duas copas aparecem ao retira-se duas cartas de um baralho. f) Uma carta de copas e uma de ouros aparecem ao extrarem-se duas cartas de um

baralho. 5) Um nmero inteiro escolhido aleatoriamente dentre os nmeros 1, 2, 3, ..., 50. Qual a

probabilidade de que: a) O nmero seja divisvel por 5. b) Terminar em 3. c) Ser primeiro; d) Ser divisvel por 6 ou por 8.

6) Qual a probabilidade de sair um rei ou uma carta de copas, quando retiramos uma carta de


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um baralho. 7) Dois dados so lanados simultaneamente. Qual a probabilidade de:

a) A soma ser menor que 4. b) A soma ser 9. c) O primeiro resultado ser maior do que o segundo.

8) Numa urna so misturadas dez bolas numeradas de 1 a 10. Duas bolas so retiradas sem reposio. Qual a probabilidade de a + b = 10?

9) Um lote formado por 10 peas boas, 4 com defeitos e duas com defeitos graves. Uma

pea escolhida ao acaso. Calcular a probabilidade de que: a) ela no tenha defeitos graves; b) ela no tenha defeitos; c) ela seja boa ou tenha defeitos graves.

10) Considere os mesmos lotes do problema anterior. Retiram-se duas peas so acaso. Qual a probabilidade de que : a) ambas sejam perfeitas; b) pelo menos uma seja perfeita; c) nenhuma tenha defeito grave; d) nenhuma seja perfeita.

11) Uma urna contm 5 bolas brancas e 6 pretas. Trs bolas so retiradas. Calcular a probabilidade de : a) Todas pretas; b) Exatamente uma branca; c) Ao menos uma preta.

12) numa classe existem 5 alunos do 4 anos, 4 do 2 e 3 do 3 ano. Qual a probabilidade de serem sorteados 2 alunos do 2 ano, 3 do 4 e 2 do 3 ?

13) Em um grupo de 500 estudantes, 80 estudam Economia, 150 estudam Cincias Contbeis

e 10 estudam Economia e Cincias Contbeis. Se um aluno escolhido ao acaso. Qual a probabilidade de que: a) Ele estude somente Economia? b) Ele no estude Economia, nem Cincias Contbeis? c) Ele estude Economia ou Cincias Contbeis?


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d) Ele no estude Economia ou estude Cincias Contbeis? 14) Dado

41)(

31)(;

21)( === BAPeBPAP , calcular:

a) )/( BAP b) )/( ABP c) )/( BBAP 15) Faam A e B serem dois eventos com

41)(

31)(;

21)( === BAPeBPAP . Encontre

)/()/( ABPeBAP . 16) As probabilidades de 3 jogadores marcarem um penalty so respectivamente

107

64

,

32

e . Se cada um cobrar uma nica vez, qual a probabilidade de: a) todos acertarem; b) apenas um acertar c) todos errarem.

17) Uma urna contm 12 bolas: 5 brancas, 4 vermelhas, e 3 pretas. Outra contm 18 bolas: 5

brancas, 6 vermelhas e 7 pretas. Uma bola retirada de cada urna. Qual a probabilidade de que as duas bolas sejam da mesma cor?

18) Numa bolsa temos 5 moedas de R$ 1,00 e 4 de R$ 0,5.

Qual a probabilidade de, ao retirarmos duas moedas, obtermos R$ 1,50? 19) Uma urna contm 1 bolas pretas e 5 vermelhas. So feitas retiradas aleatrias. Cada bola

retirada resposta, juntamente com 5 bolas da mesma cor. Qual a probabilidade de sarem nessa ordem: 1 preta, 1 preta, 1 vermelha, 1 vermelha? E neta ordem 1 preta, 1 vermelha, 1 preta, 1 vermelha? Dado que a primeira bola preta, qual a probabilidade de que a Segunda seja preta?

20) A probabilidade de uma mulher estar viva daqui a 30 anos 43 e de seu marido

53 .

Calcular a probabilidade de: a) apenas o homem estar vivo; b) somente a mulher estar viva; c) pelo menos um estar vivo; d) ambos estarem vivos.

21) Uma urna contm 5 bolas vermelhas e 3 brancas. Uma bola selecionada aleatoriamente

da urna e abandonada, e duas de outra cor so colocadas na urna. Uma Segunda bola ento selecionada da urna. Encontre a probabilidade de que:


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a) a Segunda bola seja vermelha; b) ambas as bolas sejam da mesma cor. c) Se a segunda bola vermelha, qual a probabilidade de que a primeira bola seja

vermelha; d) Se ambas so da mesma cor, qual a probabilidade de que sejam brancas.

22) Jogando um dado duas vezes, qual a probabilidade de obter a soma dos pontos menor que

6? 23) Um casal pretende Ter dois filhos. Admitindo probabilidades iguais para ambos os sexos,

qual a probabilidade de que venha Ter dois filhos de sexos diferentes? 24) Numa classe de 22 alunos, 12 tm olhos castanhos, 4 tm olhos negros, 3 tm olhos

cinzas, 2 tm olhos verdes e um tem olhos azuis. Qual a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso: a) no Ter olhos castanhos? b) Ter olhos verdes ou azuis?

25) Numa certa populao 15% das pessoas tm sangue tipo A, 88% no tm sangue tipo B e

96% no tm sangue tipo AB. Escolhida ao acaso uma pessoa desta populao, determine as probabilidades de: a) no ater sangue do tipo A; b) Ter sangue tipo B; c) Ter sangue tipo AB; d) Ter sangue tipo A ou B ou AB; e) Ter sangue tipo O

26) Uma caixa contm 11 bolas numeradas de 1 a 11. Retirando-se uma delas ao acaso,

observa-se que a mesma traz um nmero impar. Determine a probabilidade de que esse nmero seja menor que 5.

27) De uma urna contendo quatro bolas verdes e duas amarelas sero extradas

sucessivamente, sem reposio, duas bolas. a) Se a primeira bola sorteada for amarela, qual a probabilidade de a Segunda ser

tambm amarela? b) Qual a probabilidade de ambas as bolas sorteadas serem amarelas? c) Qual a probabilidade de ambas as bolas sorteadas serem verdes?


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d) Qual a probabilidade de a primeira bola sorteada ser verde e a Segunda amarela? e) Qual a probabilidade de ser uma bola de cada cor?

28) Uma urna I tem 3 bolas vermelhas e 4 brancas, a urna II tem 6 bolas vermelhas e 2

brancas. Uma urna escolhida ao acaso e dela escolhida uma bola, tambm ao acaso. a) Qual a probabilidade de observarmos urna I e bola vermelha? b) Qual a probabilidade de observarmos bola vermelha? c) Se a bola observada foi vermelha, qual a probabilidade que tenha vindo da urna I?

29) O ms de outubro tem 31 dias. Numa certa localidade, chove 5 dias, no ms de outubro.

Qual a probabilidade de chover nos dias 1 e 2 de outubro? 30) Uma clnica especializada trata de 3 tipos de molstias; X, Y e Z. 50% dos que procuram a

clnica so portadores de X, 40% so portadores de Y e 10% de Z. As probabilidades de cura, nesta clnica, so: Molstia X : 0,8 Molstia Y : 0,9 Molstia Z: 0,95 Um enfermo saiu curado da clnica. Qual a probabilidade de que ele tenha sofrido a molstia Y?

31) Um lote contm 50 peas boas (B) e 10 peas defeituosas (D). Uma pea escolhida ao acaso e, sem reposio desta, outra pea escolhida ao acaso. Qual a probabilidade de ambas serem defeituosas?

32) Em um lote da fbrica A existem 18 peas boas e 2 defeituosas. Em outro lote da fbrica B,

existem 24 peas boas e 6 defeituosas, e em outro lote da fbrica C, existem 38 peas boas e 2 defeituosas. Um dos trs lotes sorteado ao acaso e dele extrada uma pea ao acaso. Qual a probabilidade da pea ser:

a) boa? B) defeituosa?

33) As probabilidades de que duas pessoas A e B resolvam um problema so P(A) = 1/3 e P(B) = 3/5. Qual a probabilidade de que:

a) Ambos resolvam o problema? b) Ao menos um resolva o problema?

Probabilidade Oscar Luiz Teixeira de Rezende ___________________________________________________________________

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c) Nenhum resolva o problema? d) A resolva o problema ma B no? e) B resolva o problema mas A no?

34) Numa urna h trs bolas azuis, duas brancas e uma marrom. Extraindo-se 3 bolas sucessivamente, com reposio, qual a probabilidade de sarem trs bolas da mesma cor?

35) Uma prova consta de 5 testes, cada um com quatro alternativas das quais apenas uma

correta. Para algum que esteja respondendo aleatoriamente uma alternativa em cada teste, qual a probabilidade de

a) acertar os 5 testes? b) errar os 5 testes? c) acertar apenas o primeiro teste? d) acertar apenas um dos testes?

36) Em uma loteria com 30 bilhetes, 4 so premiados. Comparando-se 3 bilhetes, qual a probabilidade de:

a) nenhum ser premiado? b) Apenas um ser premiado?

37) Um grupo de 50 moas classificado de acordo com a cor dos cabelos, e dos olhos de cada moa, segundo a tabela

Azuis Castanhos

Loira 17 9 Morena 4 14 Ruiva 3 3

a) Se voc marca um encontro com uma dessas garotas, escolhida ao acaso, qual a

probabilidade dela ser 1) morena de olhos azuis 2) morena ou Ter olhos azuis?

b) Est chovendo quando voc encontra a garota. Seus cabelos esto cobertos, mas voc percebe que ela tem olhos castanhos. Qual a probabilidade de que ela seja morena?


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7-RESPOSTAS

5) a. 1/5 b. 1/10 c. 3/10 d. 6/25 6) 4/3 7) a. 1/12 b. 1/9 c. 5/12 8) 4/45 9) a. 7/8 b.5/8 c.3/4 10) a. 3/8 b. 7/8 c. 91/120 d. 1/8 11) a. 4/33 b. 5/11 c. 31/33 12) 5/22 13) a. 7/50 b.14/25 c.11/25 d. 43/50 14) a.3/4 b. 1/2 c. 1 15) 5/8 e 5/6 16) a. 56/180 b. 38/180 c. 1/30 17) 35/108 18) 5/9 19) 25/1848 25/1848 6/11 20) a. 3/20 b. 3/10 c. 18/20 d. 9/20 21) a. 35/72 b.13/36 c. 4/7 d. 3/13 22) 5/18 23) 1/2 24) a. 5/11 b. 3/22 25) a. 17/20 b. 3/25 c. 1/25 d. 31/100 e. 69/100 26) 1/3 27) a. 1/5 b. 1/15 c. 2/25 d. 4/15 e. 8/15 28) a. 3/14 b. 33/56 c. 4/11 29) 2/93 30) 0,42 31) 3/118 32) a. 53/60 b. 7/60 33) a. 1/5 b. 11/15 c.4/15 d. 2/15 d. 2/5 34) 1/6 35) a. 1/1024 b. 243/1024 c. 81/1024 d. 405/1024 36) a. 130/203 b. 65/203


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37) a. 1. 2/25 a.2. 19/25 b. 7/13 8-BIBLIOGRAFIA TRIOLA, Mario F. Introduo a Estatstica. 7 ed Rio de janeiro: LTC , 1999. STEVENSON, William J. Estatstica aplicada administrao. So Paulo: Editora Harbra LTDA, 1988. CRESPO, Antnio Armont. Estatstica fcil. So Paulo: Editora Saraiva, 1996. SILVA, Medeiros da Silva, SILVA, Elio Medeiros, GONALVES, Valter, MUROLO, Antnio Carlos. Estatstica Para os Cursos de Economia, Administrao e Cincias Contbeis. 2a ed, Vol 1 e 2. So Paulo: Editora Atlas S.A, 1997.

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