3 .Conceitos de probabilidade

3.1 Definição clássica

Seja S o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento,

também chamado de espaço amostral e N o número de elementos desse conjunto.

Supondo que cada elemento desse conjunto é equiprovável e mutuamente excludente,

e sendo A um evento ou um subconjunto de N, então a probabilidade do evento A

ocorrer é definida por :

P(A) = n/N, (3.1)

onde n é o número de elementos de A .

Eventos equiprováveis são eventos que tem a mesma chance de ocorrer.

Dois eventos são ditos excludentes quando a ocorrência de um exclui a possibilidade

da ocorrência do outro.

Exemplo 3.1

Seja um lançamento de um dado. Qual a probabilidade de em um lançamento sair o

número 5 ?

O número de elementos possíveis no experimento é N = 6, isto é, {1,2,3,4,5,ou 6}.

O evento A é sair o número 5, isto é, {5}

Nesse caso n = 1, pois n é o número de elementos de A e N=6 , logo P(A) = 1/6

Observa-se que os eventos são equiprováveis pois tem a mesma probabilidade de

ocorrência, e são excludentes já que saindo o número 3 exclui a possibilidade de ter

saído o 2 ou qualquer outro valor diferente do 3.

Exemplo 3.2

Qual a probabilidade de sair um número par no lançamento do dado?

1

O número de elementos possíveis é N = 6, isto é, {1,2,3,4,5,ou 6}.

O evento A é sair um número par no lançamento, que pode ser {2,4,ou 6}, logo n = 3.

P(A) = 3/6=0.5

3.2 Definição freqüencialista

Seja M o número máximo de vezes que um experimento ocorreu. Seja k o número de

vezes que um evento A ocorreu durante os M experimentos, então

P(A)= k/M (3.2)

Exemplo3.3

Se um dado foi lançado 120 vezes e o número 5 foi obtido 30 vezes, então a

probabilidade frequencialista é:

P(A)=30/120 =0.25

Pela definição clássica P(A)= 1/6 ~ 0.167

Exemplo 3.4

Os dados históricos de um processo produtivo indicam que de 8600 itens produzidos

214 estavam defeituosos. Qual a probabilidade de se produzir um item defeituoso?

No exemplo M = 8600 e k = 214, e a é o evento produzir um item defeituoso, logo

P( A ) = 214/8600

3.3 Definição axiomática

Seja A um evento em um espaço amostral S, então :

0 P(A) 1

2

P(A) =1 A é um evento certo

P(A) =0 A é um evento improvável.

3.4 Operação com eventos

Eventos excludentes

Se os eventos A e B são eventos mutuamente excludentes, a probabilidade de ocorrer

A ou B , isto é a probabilidade da união ,é dada por:

P( A ou B) = P(A U B) = P(A) +P(B)

Exemplo 3.5

No exemplo 2 a probabilidade de se obter um número par pode ser calculada da

seguinte forma:

P(número par) = P{2ou 4 ou 6}=P{2U4U6}

P{2U4U6} = P(2)+P(4)+P(6) = 1/6 +1/6 +1/6 = 3/6

3

S

AB

Eventos não excludentes

Se os eventos A e B não são mutuamente excludentes então eles podem ocorrer

simultaneamente, logo:

P(AUB) = P(A) + P(B) – P(AB)

Exemplo 3.6

Numa fábrica a probabilidade de uma máquina falhar por causa de um defeito

mecânico é 0.3 e de falhar por um defeito elétrico é 0.25. A probabilidade de falhar

por causa de defeitos elétrico e mecânico é 0.04.

Qual a probabilidade da máquina falhar por causa de defeito mecânico ou elétrico ?

Seja o evento A: { Falhar por defeito elétrico} e B:{ falhar por defeito mecânico}

P(A U B)= P(A)+P(B)-P(AB)= 0.25+0.3-0.04 = 0.51

Eventos independentes.

Os eventos A e B são ditos independentes se a probabilidade de ocorrência de A não é

afetada pela ocorrência ou não de B. Desse modo a probabilidade de ambos os

eventos ocorrerem é dada por:

P(A e B) = P(A B)= P(A).P(B)

4

S

A B

Exemplo 3.7

Em 1000 h de operação de um equipamento eletrônico a probabilidade de haver falha

devida a um resistor é 0.04 e de haver falha devida a um capacitor é 0.06.

a) Qual a probabilidade do equipamento falhar devido ao resistor e ao capacitor

simultaneamente?

a) P(AB) = P(A).P(B)= 0,04 x 0,06 = 0,0024

Evento complementar.

Seja A’ o evento complementar de A

P( A’) = 1 – P(A) ou P(A) + P(A’) =1

Exemplo 3.8

Em 1000 h de operação de um equipamento eletrônico a probabilidade de haver falha

devida a um resistor é 0.04 e de haver falha devida a um capacitor é 0.06.

Qual a probabilidade do equipamento não falhar por causa do resistor ou por causa do

capacitor?

A = { Equipamento falhar por causa do resistor}

B = { Equipamento falhar por causa do capacitor}

C = { Equipamento não falhar por causa do resistor ou capacitor}

C´= { Equipamento falhar por causa do resistor ou capacitor}

5

P(C´) = P(A) + P(B) – P(AB) = 0,04+ 0,06 – 0,0024 = 0,0976

P( C ) = 1-P( C´) = 0,9024

Porque seria errado aplicar 1- 0,0024, isto é 1- P(AB) ?

3.5. Probabilidade condicional

Dados dois eventos A e B denota-se por P(A/B) a probabilidade de ocorrer A dado que

B ocorreu, então

P(A/B) = P(AB)/P(B)

6

4. Distribuição de probabilidades

Distribuição de probabilidades servem para descrever a probabilidades de eventos

4.1 Variáveis aleatórias discretas

As principais distribuição de probabilidades discretas são: Binomial, Poisson,

Hipergeométrica, Geométrica

São variáveis que podem assumir alguns valores dentro de uma escala.

Exemplos :

número de pessoas numa sala de aula ( assume apenas valores inteiros e positivos

ou zero)

número de peças defeituosas

número de defeitos observados

4.1.1 Distribuição Binomial

Sejam n provas ou experimentos independentes com reposição. Cada prova

pode assumir um de dois resultados possíveis por exemplo : bom - ruím, ligado –

desligado, sucesso ou insucesso, bom ou defeituoso, etc. O resultado de cada prova é

um binômio. Seja p a probabilidade de sucesso em cada prova. Chamando de X a

variável aleatória correspondente ao número de sucessos em n provas então a

probabilidade de ocorrer k sucessos é dada por :

P( X = k) = C n,,k pk ( 1-p )n-k (4.1)

onde, C n,,k = n ! / [ p! ( n-p)!] , e n! = n ( n-1)(n-2)(n-3).....1

n!: fatorial de n, e por definição fatorial de 0 é 1, isto é,

0 ! =1

7

A palavra sucesso neste contexto não é necessariamente sinônimo de algo

bom, a palavra é em relação a ocorrência de um evento de interesse. Sucesso pode ser

a produção de um item defeituoso, ocorrência de um acidente, ou até mesmo eventos

bons como ganhar na loteria. Assim sucesso é a ocorrência de um evento de interesse.

Os valores esperados e a variância desta distribuição são:

E( X) = np

V(X) = np(1-p)

Exemplo 4.1.

Sabe-se que um processo produz 15% de peças defeituosas. Se retirarmos 5 peças ao

acaso, qual a probabilidade de encontrarmos 2 peças defeituosas?

No exemplo sucesso é encontrar 2 peças defeituosas então :

k= 2

p=0,15

n=5

P(X=2) = C5,2 0,.152x(1-0,15)3 = 0,1382

Qual a probabilidade de encontrarmos mais que uma peça defeituosa ?

P(X1) = 1- [P(X=0) + P(X=1)]

P(X=0) = C5,0 0.150 0.855 = 0,4437

P(X=1) = C5,0 0.151 0.854 = 0,.3915

P(X1) = 1- [P(X=0) + P(X=1)] = 1-[ 0,4437+0,.3915] = 0,1648

8

4.1.2. Distribuição Hipergeométrica

Seja X o número de o número de peças defeituosas numa amostra retirada sem

reposição de uma população finita de tamanho N.

Seja D o número de peças defeituosas na população .

n é o tamanho da amostra.

A probabilidade de encontrar k peças defeituosas na amostra de tamanho n é dada

por:

C D,k C(N-D),(n-k)

P(X=k) = _________________________

C N,n

E(X) = np, onde p = D/N

V(X) = np ( 1-p) ( N-n)/(N-1)

4.1.3 .Distribuição de Poisson

Seja X o número de sucessos no intervalo contínuo t que pode ser tempo, área,

volume, etc. Os sucessos são independentes uns dos outros. A taxa de acontecimento

de sucessos é e é constante em todo intervalo t. A probabilidade de encontrar k

sucessos é dada por:

e-t ( t)k

P( X = k ) = _____________________

k !

E(X) = t

9

V(X) = t

Exemplo 8.

Em uma inspeção de chapa de aço, foram retirados para inspeção 2m2. Se a média do

processo de fabricação for de 0,75 imperfeições / m2, qual a probabilidade de uma

chapa ser rejeitada , sbendo que o critério para rejeição é 2 ou mais imperfeições na

amostra.

= 0.75 imp/m2

t = 2m2

P( X2) = 1 – [ P(X=0) + P(X=1)]

e-1.5 ( 1.5)0

P( X = 0 ) = _____________________ = 0.2231

0 !

e-1.5 ( 1.5)1

P( X = 1 ) = _____________________ = 0.3347

1 !

P( X2) = 0.4422

5.Estimativas e testes de hipóteses

10

1.1 TESTE DE HIPÓTESE COM RESPEITO À MÉDIA

H0 : = 0

H1 : , > 0 , < 0

: verdadeira média

0 : valor suspeito para a verdadeira média

Caso 1 - Desvio Padrão Conhecido ( )

PROCEDIMENTO :

1. Coleta - se uma amostra de tamanho n

__

2. Calcula-se X

3. Estabelece-se o nível de significância

___

4. Calcula-se X - 0

Zcalc = ------------

/ n

5.Rejeita-se a hipótese H0 , se

Hipóteses alternativas Condição de Rejeição

< 0 Zcalc < - Z

> 0 Zcalc > Z

0 Z calc < - Z /2 ou Zcalc > Z /2

11

Onde Z é o valor tirado da tabela normal

Caso 2 - Desvio Padrão desconhecido

PROCEDIMENTO :

1. Coleta - se uma amostra de tamanho n

_

2. Calcula-se X e S

3. Estabelece-se o nível de significância

__

4. Calcula-se X - 0

t calc = ------------

S / n

5.Rejeita-se a hipótese H0 se;

Hipóteses alternativas Condição de Rejeição

< 0 tcalc < - t , n-1

> 0 tcalc > t , n-1

0 tcalc > t /2 , n-1 ou

- tcalc < - t /2 , n-1

Onde t é proveniente da tabela t-Student com n-1 graus de liberdade.( anexo 4)

5.2 TESTE DE HIPÓTESE COM RESPEITO A VARIÂNCIA.

12

H0 : 2 = 20

H1 : 2 20 , 2 > 2

0 , 2 < 20

2 : Verdadeira Variância

20 : Valor suspeito para a verdadeira variância

PROCEDIMENTO :

1. Coleta - se uma amostra de tamanho n

2. Calcula-se S

3. Estabelece-se o nível de significância

( n-1 ) S2

4.Calcula-se 2calc = -------------

20

5.Rejeita-se a hipótese H0 se;

hipóteses Condições de rejeição

2 < 20 2

calc < 21-, n-1

2 > 20 2

calc > 2 , n-1

2 20 2

calc > 2 /2 ,n-1 OU 2

calc < 21-/2, n-1

2n-1, é proveniente da distribuição Qui-quadrado com n-1 graus de liberdade e

probabilidade . ( anexo 5)

5.3. Estimativas

5.3.1 ESTIMATIVA DA VERDADEIRA MÉDIA

13

Caso 1 - Desvio Padrão Conhecido ( )

PROCEDIMENTO :

1. Coleta - se uma amostra de tamanho n

__

2. Calcula-se X

3.Estabelece-se o nível de significância

4.A verdadeira média ficará compreendida entre :

__ __

X - Z /2 / n < < X + Z /2 / n

CASO 2 - DESCONHECIDO

1. Coleta-se uma amostra de tamanho n

__

2. Calcula-se X

3. Calcula-se S

4. Estabelece-se o nível de confiança

5. A verdadeira média ficará compreendida entre :

__ __

X - t n-1, /2 S / n < < X + t n-1, /2 S/ n

14

5.3.2 ESTIMATIVA DA VERDADEIRA VARIÂNCIA

PROCEDIMENTO

1. Coleta-se uma amostra de tamanho n

2. Calcula-se S2

3. Estabelece-se o nível de confiança

4. A verdadeira variância ficará compreendida entre :

(n-1) S 2 (n-1) S2

------------------- < 2 < ----------------

2 /2, n-1 2 1- /2 , n-1

15