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Introdução

Dentro de certas condições, é possível prever a que temperatura o leite ferve. Esse tipo de experimento, cujo resultado é previsível, recebe o nome de determinístico.

No entanto, ao lançarmos um dado uma ou mais vezes, não podemos saber com antecedência o número obtido; sabemos apenas que os possíveis resultados são 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Esse tipo de experimento, cujo resultado não pode ser previsto, é chamado aleatório.

São aleatórios os seguintes experimentos: O sorteio da Megassena. A escolha de um número de 1 a 50. O sorteio do 1º prêmio da loteria federal. A escolha de uma senha de acesso à conta bancária. O lançamento de uma moeda ou dado. O resultado do jogo 5 da loteria esportiva. Na teoria das probabilidades, estudamos os experimentos aleatórios equiprováveis, isto é, experimentos onde qualquer resultado pode ocorrer com a mesma chance. Exemplo:

No lançamento de uma moeda, a probabilidade de ocorrer cara ou coroa é a mesma.

Como se calcula a probabilidade de determinado evento?

A probabilidade P(x) da ocorrência de determinado evento x calcula-se utilizando o número de possibilidades que me interessam (eventos favoráveis) e o número total de possibilidades (eventos possíveis), dividindo-se o primeiro pelo segundo, assim: Exemplos:

01. Qual a probabilidade de obtermos “cara” ao atirarmos para cima uma moeda?

Solução:

A probabilidade é 1

2, ou seja, 0,5 = 50%, visto que uma moeda tem 2 faces.

Probabilidade

nº de eventos favoráveis

P(x)nº de eventos possíveis

nº de eventos favoráveis 1P(x)

nº de eventos possíveis 2

QUERO

P(x)TENHO

ou

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02. Qual a probabilidade de obtermos face 5 no arremesso de um dado? Solução: Visto que um dado tem 6 faces, a probabilidade é calculada dividindo o número de eventos

favoráveis (1) pelo número de eventos possíveis (6), ou seja, 1

6 ou 16,66%.

03. Jogando um dado duas vezes, qual a probabilidade de obter a soma dos pontos menor que 6? Solução: Temos 36 elementos (a, b) possíveis, onde a é a face do dado 1 e b a face do dado 2.

1 2 3 4 5 6

1 1 - 1 1 - 2 1 - 3 1 - 4 1 - 5 1 - 6

2 2 - 1 2 - 2 2 - 3 2 - 4 2 - 5 2 - 6

3 3 - 1 3 - 2 3 - 3 3 - 4 3 - 5 3 - 6

4 4 - 1 4 - 2 4 - 3 4 - 4 4 - 5 4 - 6

5 5 - 1 5 - 2 5 - 3 5 - 4 5 - 5 5 - 6

6 6 - 1 6 - 2 6 - 3 6 - 4 6 - 5 6 - 6

Dessas 36 possibilidades, temos 10 favoráveis (estão salientadas na tabela acima em verde).

Assim, nº de eventos favoráveis 10

P(x) 0,27 ou 27%nº de eventos possíveis 36

04. Escolhido ao acaso um elemento do conjunto dos divisores de 30, determinar a probabilidade de que ele seja primo.

Solução: Nº de eventos possíveis Divisores de 30 = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}

Nº de eventos favoráveis Primos = {2, 3, 5)

nº de eventos favoráveis 3

P(P) 0,375 ou 37,5%nº de eventos possíveis 8

05. Qual a probabilidade de retirar 1 bola vermelha de uma urna contendo 3 bolas brancas, 2 vermelhas e 5 verdes? E de retirar 1 branca?

Solução:

1 bola vermelha 10 possíveis

2 favoráveis

nº de eventos favoráveis 2 1P(V) 0,20 ou 20%

nº de eventos possíveis 10 5

1 bola branca 10 possíveis

3 favoráveis

nº de eventos favoráveis 3P(B) 0,30 ou 30%

nº de eventos possíveis 10

nº de eventos favoráveis 1P(x)

nº de eventos possíveis 6

Faces do dado 2 Faces do dado 1

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06. Qual é a probabilidade de sair um “dois”, ao retirar, ao acaso, uma carta de um baralho de 52 cartas?

Solução: Um baralho de 52 cartas possui uma carta 2 de naipe ouro, uma carta 2 de naipe paus, uma carta 2 de naipe copas e uma carta 2 de naipe espadas. Logo, o baralho possui 4 carta com o número 2. Assim:

nº de eventos favoráveis 4 1

P(2) 0,08 ou 8%nº de eventos possíveis 52 13

07. Em um jogo, dentre dez fichas numeradas com números de 1 a 10, duas fichas são distribuídas ao jogador, que ganhará um prêmio se tiver recebido fichas com dois números consecutivos. A probabilidade de ganhar o prêmio neste jogo é de a) 14% b) 16% c) 20% d) 25% e) 33%

Solução:

Como temos os inteiros de 1 a 10, existem nove pares de números consecutivos. Vejamos quais:

(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6), (6, 7), (7, 8), (8, 9), (9, 10).

No entanto, temos C10, 2 = ......

10!

8! 2! =

10.9

2.1 = 45 maneiras diferentes de serem distribuídas

2 fichas distintas (ordem não importa). Portanto, a probabilidade de ganhar o prêmio é:

P = 9 1

0,245 5

, ou seja, 20%.

08. Num grupo de 75 jovens, 16 gostam de música, esporte e leitura; 24 gostam de música e esporte; 30 gostam de música e leitura; 22 gostam de esporte e leitura; 6 gostam somente de música; 9 gostam somente de esporte; e 5 jovens gostam somente de leitura.

a) Qual é a probabilidade de, ao apontar, ao acaso, um desses jovens, ele gostar de música? b) Qual é a probabilidade de, ao apontar, ao acaso, um desses jovens, ele não gostar de

nenhuma dessas atividades? Solução: Vamos distribuir no diagrama de Venn, as informações do problema, sendo M o conjunto dos

jovens que gostam de música, E, os que gostam de esporte e L, de leitura. a) Gostam de música = 6 + 8 + 16 + 14 = 44

44P(M) 0,58 ou 58%

75

b) Não gostam de nenhuma atividade = 11

11P(N) 0,14 ou 14%

75

Paus, ouros,

copas e espadas

M E

L

6 9

5

14 6 16

8

11

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09. (UFRGS) Considere dois dados, cada um deles com seis faces, numeradas de 1 a 6. Se os dados são lançados ao acaso, a probabilidade de que a soma dos números sorteados seja 5 é

a) 1

15. b)

2

21. c)

1

12. d)

1

11. e)

1

9.

Solução: Vamos determinar o número total de possibilidades e o número total de eventos favoráveis, e

depois, aplicar a fórmula:

P(A) = nº de eventos favoráveis

nº total de possibilidades

( i ) Número total de possibilidades

1 2 3 4 5 6

1 1 - 1 1 - 2 1 - 3 1 - 4 1 - 5 1 - 6

2 2 - 1 2 - 2 2 - 3 2 - 4 2 - 5 2 - 6

3 3 - 1 3 - 2 3 - 3 3 - 4 3 - 5 3 - 6

4 4 - 1 4 - 2 4 - 3 4 - 4 4 - 5 4 - 6

5 5 - 1 5 - 2 5 - 3 5 - 4 5 - 5 5 - 6

6 6 - 1 6 - 2 6 - 3 6 - 4 6 - 5 6 - 6

Número total = 6 . 6 = 36 possibilidades.

( ii ) Número total de eventos favoráveis:

E = {(1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2)}

Nº total = 4

P(A) = 4 1

36 9

10. No lançamento simultâneo de dois tetraedros distinguíveis perfeitos, cujas faces estão numeradas de 1 a 4, qual é a probabilidade de que:

a) o mesmo número apareça em ambos os tetraedros? b) a soma dos números seja maior que 5? c) a soma dos números seja maior que 1? d) a soma dos números seja menor que 1? e) a soma dos números seja 7? f) a soma dos números seja divisível por 3? Solução: O tetraedro possui 4 faces, que são numeradas de 1 a 4. Número total de possibilidades, com 2 tetraedros distinguíveis é: 4 . 4 = 16.

1 2 3 4

1 1 - 1 1 - 2 1 - 3 1 - 4

2 2 - 1 2 - 2 2 - 3 2 - 4

3 3 - 1 3 - 2 3 - 3 3 - 4

4 4 - 1 4 - 2 4 - 3 4 - 4

Faces do dado 2 Faces do dado 1

Faces do tetraedro 1

Faces do tetraedro 2

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a) {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)} 4 favoráveis

4 1P 0,25 ou 25%

16 4 .

b) {(2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 3), (4, 4)} 5 favoráveis

5P 0,31 ou 31%

16 .

c) Todas as 16 possibilidades.

16P 1 ou 100%

16 .

d) Nenhuma possibilidade.

0P 0 ou 0%

16 .

e) {(3, 4), (4, 3)} 2 favoráveis

2 1P 0,125 ou 12,5%

16 8 .

f) {(1, 2), (2, 1), (2, 4), (3, 3), (4, 2)} 5 favoráveis

5P 0,31 ou 31%

16

11. No lançamento simultâneo de 3 moedas perfeitamente distinguíveis, qual é a probabilidade de serem obtidas: a) pelo menos 2 caras b) exatamente 2 caras

Solução:

Moeda 1 cara ou coroa 2 possibilidades

Moeda 2 cara ou coroa 2 possibilidades

Moeda 3 cara ou coroa 2 possibilidades Pelo principio fundamental da contagem, temos: 2.2.2 = 8 possibilidades. a) C = cara

C = coroa

Temos: (C, C, C), (C, C, C ), (C, C , C), ( C , C, C) 4 favoráveis.

4 1P 0,5 ou 50%

8 2

b) (C, C, C ), (C, C , C), ( C , C, C) 3 favoráveis.

3P 0,375 ou 37,5%

8

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Regra da Multiplicação (ou regra do “e”)

Usa-se essa regra para calcular a probabilidade da ocorrência de eventos independentes, isto é, a ocorrência de evento A não afeta a ocorrência do evento B.

Para isso, multiplicam-se as probabilidades da ocorrência dos eventos em questão.

Exemplos:

01. Uma moeda é lançada 2 vezes. Qual a probabilidade de que apareça coroa nas 2 vezes?

Solução:

Espaço amostral U = {cara, coroa} situações possíveis

1º lançamento: 1

P(A)2

probabilidade do evento A (sair coroa)

2º lançamento: 1

P(B)2

probabilidade do evento B (sair coroa)

1 1 1

P(A B) P(A).P(B) . 0,25 ou 25%2 2 4

02. Dois dados são lançados sobre uma mesa. A probabilidade de ambos os dados mostrarem na face superior números ímpares é: a) 1/3 b) 1/2 c) 1/4 d) 2/5 e) 3/5

Solução:

Dado A dever ser ímpar e o dado B também.

3 1P(A)

6 2

3 1P(B)

6 2

1 1 1P(I) P(A).P(B) .

2 2 4

P(A B) = P(A).P(B)

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03. Uma família planeja ter 3 crianças. Qual a probabilidade de que a família tenha 3 rapazes, dado que a primeira criança que nasceu é rapaz?

Solução: O primeiro filho é um rapaz. Portanto, devemos considerar a probabilidade dos demais filhos

serem rapazes. Como a probabilidade de nascer menino ou menina é ½ e, deve nascer rapaz e rapaz, temos:

1 1 1P(R).P(R) . 0,25 ou 25%

2 2 4

04. Uma família planeja ter 3 crianças. Qual a probabilidade de os 3 serem a) do sexo feminino? b) do mesmo sexo?

Solução:

a) 1 1 1 1

P . . 0,125 ou 12,5%2 2 2 8

b) 1 1 1 1 1 1 1 1 1

P . . . . 0,25 ou 25%2 2 2 2 2 2 8 8 4

05. João e sua esposa Maria têm pigmentação normal. João é filho de um homem normal e mulher albina; Maria é filha de uma mulher normal e pai albino. Qual é a probabilidade de João e Maria terem uma criança albina e que seja do sexo masculino?

Solução:

Quadro de possibilidades com suas respectivas probabilidades:

A a

A AA 1

4 Aa

1

4

a Aa 1

4 aa

1

4

aa albino 1

4

AA, Aa, Aa ser normal 3

4

Probabilidade de ser albina 1

P(A)4

Probabilidade de ser masculino 1

P(M)2

Ser albina é um “evento” independente de ser masculino. Logo:

1 1 1P .

4 2 8

meninos meninas

João Maria

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06. A queratose (anomalia na pele) é devida a um gene dominante Q. Uma mulher com queratose, cujo pai era normal, casa-se com um homem com queratose, cuja mãe era normal. Se esse casal tiver filhos, qual é a probabilidade de os dois apresentarem queratose?

Solução: Quadro de possibilidades com suas respectivas probabilidades

Q q

Q QQ 1

4 Qq

1

4

q Qq 1

4 qq

1

4

qq ser normal 1

4

QQ, Qq, Qq com queratose 3

4

A probabilidade de ter dois filhos com queratose é:

3 3 9P . 0,56 ou 56%

4 4 16

07. Uma urna contém três bolas amarelas e duas brancas. Retirando sucessivamente duas bolas, sem reposição, qual a probabilidade de saírem as duas brancas?

Solução:

Há 2 bolas brancas no total de 5 bolas 2

P(A)5

Supondo que a 1ª bola retirada é branca, para a 2ª extração ficaram na urna 4 bolas, sendo

apenas 1 branca 1

P(B)4

.

Assim: 2 1 1

P . 0,1 ou 10%5 4 10

08. De uma classe onde há 15 rapazes e 15 moças serão escolhidos dois alunos ao acaso. Qual a probabilidade de serem escolhidas duas moças?

Solução:

a) Há 30 pessoas, sendo 15 moças. A probabilidade da 1ª escolhida ser moça é: 15

P30

.

Como a 1ª escolhida é moça, sobram 29 pessoas, sendo 14 moças. A probabilidade da 2ª

escolhida ser também moça é: 14

P29

. Assim:

15 14 7P . 0,24 ou 24%

30 29 29 .

Homem Mulher

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09. Uma fábrica produz três produtos A, B e C. Qual é a probabilidade de se selecionar, ao acaso, um produto defeituoso A, se é sabido que 30% dos produtos produzidos pela fábrica são produtos A e 5% dos produtos são defeituosos?

Solução:

30P(A) 30%

100 30% do total fabricado é do produto A.

5P(D) 5%

100 5% dos produtos A são defeituosos.

30 5 3P . 0,015 ou 1,5%

100 100 200

10. (UFRGS) Um painel é formado por dois conjuntos de sete lâmpadas cada um, dispostos como na figura 1 abaixo. Cada conjunto de lâmpadas pode ser aceso independentemente do outro, bem como as lâmpadas de um mesmo conjunto podem ser acesas independentemente umas das outras, formando ou não números. Estando todas as lâmpadas apagadas, acendem-se, ao acaso e simultaneamente, cinco lâmpadas no primeiro conjunto e quatro lâmpadas no segundo conjunto. A probabilidade de que apareça no painel o número 24, como na figura 2, é

a) 1

735

b)1

700

c) 1

500

d) 1

250

e) 1

200

Solução: No primeiro conjunto de 7 lâmpadas, 5 podem ser acesas. Para saber as possibilidades de

acender 5 de um total de 7, usamos a Combinação Simples.

1º conjunto de lâmpadas 7,5

7!C 21

2!.5!

No segundo conjunto de 7 lâmpadas, 4 podem ser acesas. Para saber as possibilidades

de acender 4 de um total de 7, usamos também a Combinação Simples.

2º conjunto de lâmpadas 7,4

7!C 35

4!.3!

Assim:

1 1 1P .

21 35 735

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Regra da Adição (ou regra do “ou”)

Usa-se essa regra para calcular a probabilidade de ocorrências de eventos mutuamente exclusivos.

Para isso, somam-se as probabilidades da ocorrência dos eventos em questão. Exemplos:

01. Retirando-se uma carta de um baralho de 52 cartas, qual a probabilidade de ocorrer um rei ou um valete?

Solução: O baralho possui 4 reis e 4 valete (paus, ouro, espada e copa).

Veja que devemos retirar um ou um valete. Assim:

4 4 8 2P 0,15 ou 15%

52 52 52 13

02. Em um auditório, estão 35 pessoas loiras e morenas. Vinte delas são homens, dos quais 4 são loiros. Entre as mulheres, há 8 loiras. Sorteando-se ao acaso uma pessoa desse auditório, qual a probabilidade de ela ser uma mulher morena ou um homem?

Solução: Neste auditório temos 35 pessoas, assim discriminadas:

São 7 mulheres morenas de um total de 35 pessoas. Logo: 7

P35

.

São 20 homens de um total de 35 pessoas. Logo: 20

P35

Queremos a probabilidade de ela ser uma mulher morena ou um homem. Assim:

7 20 27

P 0,77 ou 77%35 35 35

Homens (20)

4 homens loiros 16 homens morenos

Mulheres (15)

8 mulheres loiras 7 mulheres morenas

P(A B) = P(A) + P(B)

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03. Num cruzamento Aa x Aa, as combinações AA, Aa, aA e aa são igualmente prováveis, cada uma

com probabilidade de 1

4. Sabemos que Aa e aA não podem ser distinguidas biologicamente. Qual é a

probabilidade de ocorrer Aa ou aA?

Solução:

Quadro de possibilidades com suas respectivas probabilidades:

A a

A AA 1

4 Aa

1

4

a aA 1

4 aa

1

4

Queremos a probabilidade de ocorrer Aa ou aA. Assim:

1 1 1P 0,50 ou 50%

4 4 2

04. Considere duas caixas, I e II. Na caixa I há 4 bolas pretas e 6 azuis e na caixa II há 8 bolas pretas e 2 azuis. Escolhi ao acaso uma caixa e, em seguida, tirei uma bola. Qual a probabilidade desta bola ser: a) preta? b) azul?

Solução:

a) Probabilidade de escolher uma das caixas 1

P(C)2

.

Supondo escolhida a caixa I, a probabilidade de retirar uma preta é I

4P(P)

10 .

Supondo escolhida a caixa II, a probabilidade de retirar uma preta é II

8P(P )

10 .

Assim: 1 4 1 8 6

P(P) . . 0,60 ou 60%2 10 2 10 10

.

b) Probabilidade de escolher uma das caixas 1

P(C)2

.

Supondo escolhida a caixa I, a probabilidade de retirar uma azul é I

6P(A )

10 .

Supondo escolhida a caixa II, a probabilidade de retirar uma azul é II

2P(A )

10 .

Assim: 1 6 1 2 4

P(A) . . 0,40 ou 40%2 10 2 10 10

.

Caixa I Caixa II

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05. Qual a probabilidade de um casal com pele normal, portador de gene para o albinismo ter dois filhos, de qualquer sexo, sendo o primeiro com pele normal e o outro albino ou ambos normais?

Solução:

3 1 3 3 3 9 12 3P . . 0,75 ou 75%

4 4 4 4 16 16 16 4

06. (UFRGS) Numa maternidade, aguarda-se o nascimento de três bebês. Se a probabilidade de que cada bebê seja menino é igual à probabilidade de que cada bebê seja menina, a probabilidade de que os três bebês sejam do mesmo sexo é a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4 d) 1/6 e) 1/8

Solução:

1 1 1 1 1 1 1 1 1P . . . . 0,25 ou 25%

2 2 2 2 2 2 8 8 4

07. Os esportistas João e Pedro vão disputar a corrida de São Silvestre. Se a chance de João ser campeão é de 0,25 e a de Pedro é de 0,20, qual a probabilidade de João ou Pedro ganharem a corrida?

Solução: P = 0,25 + 0,20 = 0,45 ou 45%

Normal Albino Normal Normal

meninos meninas

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União de dois eventos

Considerando A e B dois eventos contidos em um mesmo espaço amostral S, o número de elementos da reunião de A com B é igual ao número de elementos do evento A somado ao número de elementos do evento B, subtraído do número de elementos da intersecção de A com B.

n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B)

Sendo n(S) o número de elementos do espaço amostral, vamos dividir os dois membros da

equação por n(S) a fim de obter a probabilidade P(A B).

n(A B) n(A) n(B) n(A B)

n(S) n(S) n(S) n(S)

OBS.: Para eventos mutuamente exclusivos – regra do “ou” – (A B = ), a equação obtida fica:

P(A B) = P(A) + P(B) Exemplos: 01. Em uma urna existem 10 bolas, numeradas de 1 a 10. Retira-se 1 bola ao acaso. Qual a probabilidade de ser par ou maior que 4?

Solução:

Elementos disponíveis E = {1, 2, 3, ..., 10} n(E) = 10 elementos

Evento A ser par A = {2, 4, 6, 8, 10} n(A) = 5 elementos 5

P(A)10

Evento B ser maior que 4 B = {5, 6, 7, 8, 9, 10} n(B) = 6 elementos 6

P(B)10

A B = {6, 8, 10} n(A B) = 3 elementos 3

P(A B)10

P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B) = 5 6 3 8

0,80 ou 80%10 10 10 10

.

02. Considerando a mesma situação anterior, qual a probabilidade da bola retirada ter um número primo ou maior que 8.

Solução:

Elementos disponíveis E = {1, 2, 3, ..., 10} n(E) = 10 elementos

Evento A ser primo A = {2, 3, 5, 7} n(A) = 4 elementos 4

P(A)10

Evento B ser maior que 8 B = {9, 10} n(B) = 2 elementos 2

P(B)10

A B = n(A B) = 0 elementos 0

P(A B)10

P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B) = 4 2 0 6

0,60 ou 60%10 10 10 10

.

P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)

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03. De uma urna com 20 bolinhas numeradas de 1 a 20, retira-se ao acaso uma bolinha. Qual a probabilidade dessa bolinha ter um número divisível por 2 ou por 3?

Solução:

Elementos disponíveis E = {1, 2, 3, ..., 20} n(E) = 20 elementos

Evento A ser divisível por 2 A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20} n(A) = 10 elementos

10P(A)

20

Evento B ser divisível por 3 B = {3, 6, 9, 12, 15, 18} n(B) = 6 elementos

6P(B)

20

A B = {6, 12, 18} n(A B) = 3 elementos 3

P(A B)20

P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B) = 10 6 3 13

0,65 ou 65%20 20 20 20

.

04. Ao retirar uma carta de um baralho de 52 cartas, qual é a probabilidade de que essa carta seja vermelha ou um ás?

Solução:

Elementos disponíveis n(E) = 52 cartas

Evento V n(V) = 26 cartas vermelhas 26

P(V)52

Evento A n(A) = 4 cartas “Ás” 4

P(A)52

A B = {6, 12, 18} n(A B) = 2 cartas vermelhas e “Ás” (naipe ouro e copa)

2P(A B)

52

P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B) = 26 4 2 28

0,53 ou 53%52 52 52 52

.

05. (Técnico de finanças e controle – TFC/CGU) Quando Paulo vai ao futebol, a probabilidade de ele encontrar Ricardo é 0,40; a probabilidade de ele encontrar Fernando é igual a 0,10; a probabilidade de ele encontrar ambos, Ricardo e Fernando, é igual a 0,05. Assim, a probabilidade de Paulo encontrar Ricardo ou Fernando é igual a: a) 0,04 b) 0,40 c) 0,50 d) 0,45 e) 0,95

Solução:

P(R F) = P(R) + P(F) – P(R F) = 0,40 + 0,10 + 0,05 = 0,45.

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06. De uma reunião participam 200 profissionais, sendo 60 médicos, 50 dentistas, 32 enfermeiras e os demais nutricionistas. Escolhido ao acaso um elemento do grupo, qual é a probabilidade de ele ser médico ou dentista?

Solução:

Elementos disponíveis n(E) = 200 profissionais

Evento M n(M) = 60 médicos 60

P(M)200

Evento D n(D) = 50 dentistas 50

P(D)200

n(A B) = 0 0

P(A B)200

P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B) = 60 50 0 110 11

0,55 ou 55%200 200 200 200 20

.

07. Em uma reunião, há 16 homens e 20 mulheres, sendo que apenas metade dos homens e metade das mulheres usam óculos. Ao escolher uma dessas pessoas ao acaso, qual é a probabilidade de ele ser homem ou usar óculos?

Solução:

Elementos disponíveis n(E) = 36 pessoas

Evento H n(H) = 16 homens 16

P(H)36

Evento O n(O) = 18 pessoas usam óculos 18

P(O)36

n(A B) = 8 homens com óculos 8

P(A B)36

P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B) = 16 18 8 26 13

0,72 ou 72%36 36 36 36 18

.

08. Uma moeda e um dado são lançados simultaneamente. Qual a probabilidade de se obter “cara” ou o número 6 no dado? a) 8/12 b) 7/12 c) 1/12 d) 5/12 e) 2/3

Solução:

1P(C)

2 Probabilidade de obter “cara”.

1P(D)

6 Probabilidade de obter 6 num dado.

1P(C D)

12 Probabilidade de obter “cara” e 6 (em algum momento teremos uma cara e

um 6, de um total de 12 possibilidades possíveis).

P(C D) = P(C) + P(D) – P(C D) = 1 1 1 7

0,58 ou 58%2 6 12 12 .

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09. Numa cidade de 1000 habitantes, 400 são sócios de um clube A, 300 de um clube B e 200 de ambos os clubes. Calcule a probabilidade de uma pessoa, escolhida ao acaso, ser sócia do clube A ou do B? a) 3/4 b) 3/7 c) 4/5 d) 1/4 e) 1/2

Solução:

Elementos disponíveis n(E) = 1000 habitantes

Evento A n(A) = 400 sócios do clube A 400

P(A)1000

Evento B n(B) = 300 sócios do clube B 300

P(B)1000

n(A B) = 200 sócios do clube A e B 200

P(A B)1000

P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B) = 400 300 200 500 1

1000 1000 1000 1000 2 .

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Método binomial Considerando-se um experimento aleatório, observa-se a probabilidade de ocorrer um evento E

(sucesso), assim como o seu complementar E (insucesso), em n tentativas independentes. A probabilidade de ocorrerem k sucessos e n – k fracassos é dada pelo termo geral do Binômio de Newton (p + q)n.

OBS.:

“Sucesso” e “fracasso” aqui apenas representam ocorrências que se excluem e se

complementam:

Se ocorre um sucesso, não ocorre um fracasso, e vice-versa.

Sucesso e fracasso cobrem todas as possibilidades, não há ocorrência diferentes dessas.

Exemplos: 01. Qual a probabilidade de sair o número 3 quatro vezes, num dado que é jogado 5 vezes?

Solução:

Probabilidade de sair o número 3 em cada jogada 1

p6

Probabilidade de não sair o número 3 em cada jogada 1 5

q 1 p 16 6

Dados: n = 5 tentativas k = 4 sucessos, ou seja, 4 vezes que deve sair o número 3

1p

6

5q

6

Probabilidade de sair o número 3 em 4 das 5 jogadas:

k n kn

P p .qk

4 5 45 1 5

P . .4 6 6

4 15 1 5

P . .4 6 6

5! 1 5 25P . . 0,003 ou 0,3%

4!.1! 1296 6 7776

k n kn

P p .qk

p é a possibilidade de sucesso em cada tentativa

q = 1 – p é a probabilidade de fracasso

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02. Uma moeda é lançada 8 vezes. Qual a probabilidade de sair “cara” 5 vezes?

Solução:

Probabilidade de sair “cara” em cada lançamento 1

p2

Probabilidade de não sair “cara” em cada lançamento 1 1

q 1 p 12 2

Dados: n = 8 lançamentos da moeda k = 5 sucessos, ou seja, sair “cara” 5 vezes

1p

2

1q

2

Probabilidade de sair “cara” 5 vezes em 8 lançamentos:

k n kn

P p .qk

5 38 1 1

P . .5 2 2

8! 1 1 1P . . 56. 0,22 ou 22%

5!.3! 32 8 256

03. Uma prova é constituída de 10 exercícios em forma de teste com 5 alternativas em cada teste. Se um aluno “chutar” todas as respostas, qual é a probabilidade de ele acertar 6 exercícios?

Solução:

Probabilidade de acertar cada exercício 1

p5

Probabilidade de não acertar cada exercício 4

q5

Dados: n = 10 exercícios k = 6 sucessos, ou seja, acertar 6 exercícios.

1p

5

4q

5

k n kn

P p .qk

6 410 1 4

P . .6 5 5

10! 1 256 256P . . 210. 0,005 ou 0,5%

6!.4! 15625 625 9765625

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04. (Técnico de finanças e controle – TFC/CGU) Em um hospital, 20% dos enfermos estão acometidos de algum tipo de infecção hospitalar. Para dar continuidade às pesquisas que estão sendo realizadas para controlar o avanço deste tipo de infecção, cinco enfermos desse hospital são selecionados, ao acaso e com reposição. A probabilidade de que exatamente três dos enfermos selecionados não estejam acometidos de algum tipo de infecção hospitalar é igual a: a) (0,8)3(0,2)2 b) 10(0,8)2(0,2)3

c) (0,8)2(0,2)3 d) 10(0,8)3(0,2)2 e) (0,8)3(0,2)0

Solução:

Probabilidade de ter infecção hospitalar p = 20% = 0,20

Probabilidade de não ter infecção hospitalar q = 80% = 0,80 Dados:

n = 5 enfermos k = 2 enfermos possuir infecção hospitalar. p = 0,20 q = 0,80

k n kn

P p .qk

2 3

2 35

P . 0,20 . 0,80 10.(0,2) .(0,8)3

05. Sabendo-se que a probabilidade de uma pessoa acertar um tiro no alvo é 1/4, qual a probabilidade de acertar pelo menos um tiro em 4 tentativas?

Solução:

k = 1

1 34 1 3 108

. .1 4 4 256

k = 2

2 24 1 3 54

. .2 4 4 256

k = 3

3 14 1 3 12

. .3 4 4 256

k = 4

4 04 1 3 1

. .4 4 4 256

108 54 12 1 175

P 0,68 ou 68%256 256 256 256 256

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06. Um jogador de xadrez tem 2/5 de probabilidade de vitória quando joga. Na realização de cinco partidas, determinar a probabilidade de esse jogador vencer: a) duas partidas b) mais da metade das partidas

Solução: a) Dados:

n = 5 partidas k = 2 sucessos, ou seja, vencer 2 partidas

2p

5

3q

5

k n kn

P p .qk

2 35 2 2 216

P . . 0,34 ou 34%2 5 5 625

b) total vencer3 vencer 4 vencer5P P P P

3 2 4 1 5 0

total

5 5 52 3 2 3 2 3P . . . . . .

3 4 55 5 5 5 5 5

total

720 240 32 992P 0,32 ou 32%

3125 3125 3125 3125

07. Uma escola tem 46% de seus alunos do sexo feminino. Num sorteio de quatro alunos, qual é a probabilidade de saírem: a) duas pessoas do sexo feminino? b) quatro pessoas do sexo feminino?

Solução:

a) 2 24

P . 0,46 . 0,54 0,37 ou 37%2

b) 4 04

P . 0,46 . 0,54 0,045 ou 4,5%4

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Testes 01. (Osec-SP) A probabilidade de uma bola branca aparecer, ao se retirar uma única bola de uma urna contento 4 bolas brancas, 3 vermelhas e 5 azuis, é: a) 1/3 b) 1/2 c) 1/4 d) 1/12 e) n.d.a 02. (Cescea-SP) Uma urna contém 20 bolas numeradas de 1 a 20. Seja o experimento: retirada de uma bola. Considere os eventos: A = {a bola retirada possui um número múltiplo de 2}. B = {a bola retirada possui um número múltiplo de 5}.

Então, a probabilidade do evento A B é: a) 13/20 b) 4/5 c) 7/10 d) 3/5 e) 11/20 03. (Unesp) Dois dados perfeitos e distinguíveis são lançados ao acaso. A probabilidade de que a soma dos resultados obtidos seja 3 ou 6 é: a) 7/18 b) 1/18 c) 7/36 d) 7/12 e) 4/9 04. (Osec-SP) Foram preparadas noventa empadinhas de camarão, sendo que, a pedido, sessenta delas deveriam ser bem mais apimentadas. Por pressa e confusão de última hora, foram todas colocadas ao acaso, numa mesma travessa, para serem servidas. A probabilidade de alguém retirar uma empadinha mais apimentada é: a) 1/3 b) 1/2 c) 1/60 d) 2/3 e) 1/90 05. UMC-SP) Uma roleta tem 37 posições numeradas (0, 1, 2, ..., 36). Suponhamos que a bola caia em cada posição com probabilidades iguais. A probabilidade de a bola cair em um número menor que 5 e um número maior que 30 são

a) 32/37 e 6/37 b) 5/37 e 31/37 c) 1/5 e 1/6 d) 6/37 e 5/37 e) 5/37 e 6/37 06. (FGV) Numa sala existem seis casais. Entre estas 12 pessoas, duas são selecionadas ao acaso. A probabilidade de selecionarmos um homem e sua esposa é

a) 1/12 b) 1/11 c) 1/8 d) 3/4 e) 11/12

07. Um casal tem 3 meninos e espera sua quarta criança. Qual é a probabilidade de essa criança ser um menino? a) 3/4 b) 1/4 c) 1/2 d) 33% e) 12,5% 08. (FEI-SP) Em uma gaveta há 12 lâmpadas, das quais 4 estão queimadas. Se três lâmpadas são escolhidas ao acaso e sem reposição, qual a probabilidade de apenas uma das escolhidas estar queimada? a) 1/3 b) 2/3 c) 28/55 d) 12/55 e) 1/110 09. O casal Deolindo e Elvira quer ter 4 filhos. A probabilidade de esses filhos serem dois homens e duas muheres e 4 homens são, respectivamente

a) 3/8 e 1/16 b) 3/16 e 1/2 c) 1/16 e 3/16 d) 1/2 e 1/16 e) 1/16 e 1/2

10. A probabilidade atual de uma pessoa viver além dos 70 anos é de 30% ou 0,3. De um grupo de 5 amigos, todos com 60 anos, qual é a chance de 4 deles ultrapassarem os 70 anos? a) 0,28% b) 2,8% c) 28% d) 70% e) 30%

GABARITO

01 A 04 D 07 C 10 B

02 D 05 E 08 C

03 C 06 B 09 A