Area Interdepartamental de Matematica

Escola Superior de Tecnologia de Tomar

PROBABILIDADES

E

ESTATISTICA

COLECTANEA

DE

EXERCICIOS

Engenharia Informatica

Ano Lectivo 2006/2007

Os exercıcios nao resolvidos nas aulas praticas constituem elementos de trabalho com-plementar que os alunos devem realizar e esclarecer junto da docente, salvo indicacao emcontrario.

Nota: Os exercıcios assinalados com um asterisco (*) saıram em exames de anos lectivosanteriores.

Atendimento / Orientacao TutorialLıgia Henriques Rodrigues Gab. 106 5ª feira: 14h00 - 14h30 / 17h30 - 18h00

6ª feira: 14h00 - 14h30 / 16h00 - 18h30

1ª PARTE

Capıtulo 1

Nocoes Basicas de Probabilidades

1.1 Qual o numero de permutacoes possıveis com as letras A, B, C e D?

1.2 Qual o numero de combinacoes para as mesmas letras, A, B, C e D, tomadas 3 a 3 ?

1.3 Qual o numero total de chaves diferentes que e possıvel formar num jogo de totobola?

1.4 Qual o numero de permutacoes das letras da palavra ”estatıstica”?

1.5 As pecas que saem de uma linha de producao sao marcadas defeituosas (D) ou naodefeituosas (N). As pecas vao sendo inspeccionadas e registadas, procedendo-se a umaparagem quando se obtenham duas pecas defeituosas consecutivas ou quando se tenhamregistado quatro pecas.Descreva o espaco de resultados desta experiencia.

1.6 Lanca-se 3 vezes uma moeda equilibrada:

(a) Defina o espaco amostral desta experiencia.

(b) Calcule a probabilidade de obter:

i. duas caras;ii. pelo menos uma cara.

1.7 Um dado e lancado duas vezes. Seja A o acontecimento “soma das pintas obtidas nosdois lancamentos diferente de quatro”. Calcule P (A).

1.8 Considere a experiencia aleatoria do exercıcio anterior e os acontecimentos:A - “saıda de um numero de pintas, no primeiro lancamento nao superior a 2”;B - “saıda de um numero de pintas, no segundo lancamento, pelo menos igual a 5”.Qual a probabilidade de que se verifique A ou B.

1.9 Numa revista um economista afirmou que considerava a ”melhoria”da situacao finan-ceira tao provavel como a sua ”estagnacao”. No entanto encarava a ”melhoria”comoduas vezes mais provavel que a ”quebra”da actividade economica.

(a) Que espaco de resultados esta implıcito nestas observacoes?

(b) Qual a probabilidade associada a cada resultado deste espaco?

1

1.10 Tres atletas participam numa prova. A probabilidade de o atleta A ganhar e duas vezesmaior do que a do atleta B ganhar, e esta duas vezes maior que a do C ganhar. Qual aprobabilidade de cada um dos atletas ganhar a prova?

1.11 Mostre que, com P (A) = P (B) = 0.6, A nao pode ser mutuamente exclusivo com B.

1.12 Segundo certa empresa de estudos de mercado, a preferencia da populacao de certacidade pelas 3 marcas existentes (A, B e C) de um produto de grande consumo, e dadapelos seguintes valores (percentagens sobre o total da populacao):

Consumidores A B C A e B A e C B e C A, B e Cdas Marcas 51 62 40 28 21 24 10

Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso nessa cidade, seja consumidorade:

(a) Das marcas A ou B;

(b) Somente de A e C;

(c) Somente C;

(d) De pelo menos uma das marcas;

(e) De nenhuma delas.

1.13 Sejam A e B dois acontecimentos tais que:

P (A) + P (B) = x e P (A ∩B) = y.

Determine em funcao de x e y, a probabilidade de que:

(a) Nao se realize nenhum dos acontecimentos;

(b) Se realize um e um so dos acontecimentos;

(c) Se realize pelo menos um dos acontecimentos;

(d) Se realiza quanto muito um dos acontecimentos.

1.14 Suponha que A, B e C sao acontecimentos tais que:

P (A) = P (B) = P (C)=14 ;

P (A ∩ B)=P (C ∩ B) = 0;

P (A ∩ C)=18 .

Calcule a probabilidade de que, pelo menos um dos acontecimentos ocorra.

1.15 Sejam A e B dois acontecimentos quaisquer, tais que:

P (A ∪ B) =78

; P (A ∩ B) =14

; P (A) =58

Calcule:

(a) P (A).

2

(b) P (B).

(c) P (A ∩ B).

1.16 Se P (A ∩B) = 0.6, qual o maior valor para P (A|B).

1.17 Sendo P (A) = 0.5 e P (A ∪ B) = 0.7, determine:

(a) P (B) sendo A e B independentes.

(b) P (B) sendo A e B mutuamente exclusivos.

(c) P (B) sendo P (A|B) = 0.5.

(d) P (B) sendo P (A|B) = 0.4.

1.18 Considere tres acontecimentos A, B e C tais que:

P (C) = 0.3; P (B|C) = 0.4; P (B|C) = 0.8; P (A|(B ∩ C)) = P (A|(B ∩ C)) = 0.2.

(a) Calcule P (C|B).

(b) Calcule P [(B ∩ C)|A].

(c) Diga, justificando, se os tres acontecimentos sao ou nao independentes.

1.19 Sejam A, B e C tres acontecimentos aleatorios, com probabilidade nao nula, definidosnum espaco de resultados Ω. Mostre que:

P (A ∩ C|B ∩ C) = P (A|B ∩ C) =P (A ∩ B|C)

P (B|C).

1.20 Considere um espaco de resultados constituıdo por N elementos Ai e por M elementosBj . Os acontecimentos Ai sao equiprovaveis, o mesmo se passando com os aconteci-mentos Bj . Sabe-se, que P (Bj) = 2P (Ai). Considere o acontecimento A formado porn acontecimentos Ai e por m acontecimentos Bj e prove que:

P (A) =n + 2m

N + 2M.

1.21 Em certa escola 25% dos estudantes foram reprovados em matematica, 15% em quımicae 10% em matematica e quımica. Um estudante e seleccionado aleatoriamente:

(a) Se ele foi reprovado em quımica, qual a probabilidade de ter sido reprovado emmatematica?

(b) Se foi reprovado em matematica, qual a probabilidade de ter sido reprovado emquımica?

(c) Qual a probabilidade de ter sido reprovado em matematica ou em quımica?

1.22 Numa certa cidade 40% da populacao tem cabelos castanhos, 25% olhos castanhos e15% tem cabelos e olhos castanhos. Uma pessoa e seleccionada aleatoriamente:

(a) Se ela tem cabelos castanhos, qual a probabilidade de ter tambem olhos castanhos?

(b) Se ela tem olhos castanhos, qual a probabilidade de nao ter cabelos castanhos?

3

(c) Qual a probabilidade de nao ter nem olhos nem cabelos castanhos?

(d) Se ela nao tem olhos castanhos, qual a probabilidade de ter cabelos castanhos?

(e) Se ela nao tem cabelos castanhos, qual a probabilidade de nao ter olhos castanhos?

1.23 Numa fabrica trabalham 30 mulheres e 50 homens cuja distribuicao por classes e poridades e a seguinte:

Idades Homens Mulheresate 21 anos 5 3

de 21 ate 50 anos 30 18mais de 50 anos 15 9

(a) Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso ser mulher?

(b) Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso ser homem, sabendo-se quetem mais de 50 anos?

(c) Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso ser homem ou ter mais de50 anos?

(d) Os acontecimentos ”a pessoa escolhida ao acaso e homem”e ”a pessoa escolhida aoacaso tem mais de 50 anos”sao independentes? Justifique a resposta.

1.24 As probabilidades de tres atiradores A, B e C acertarem no alvo sao iguais a 0.75, 0.80e 0.90, respectivamente. Determine a probabilidade de:

(a) Os tres atiradores acertarem simultaneamente.

(b) Pelo menos um dos atiradores acertar.

1.25 O Rui entrou na universidade e foi informado que ha 30% de possibilidade de vir areceber uma bolsa de estudo. No caso de receber a bolsa de estudo a probabilidadede se licenciar e 0.85, enquanto que no caso de nao obter bolsa a probabilidade de selicenciar e 0.45.

(a) Qual a probabilidade de que o Rui se licencie.

(b) Se daqui a uns anos encontrar o Rui ja licenciado, qual a probabilidade de quetenha recebido bolsa de estudo?

1.26 Dos candidatos a um emprego 30% sao mulheres e 70% sao homens; 60% das mulherese 40% dos homens tem estudos superiores.Determine a probabilidade de que um candidato seleccionado aleatoriamente:

(a) Seja uma mulher, sabendo que tem estudos superiores.

(b) Seja um homem e nao tenha estudos superiores.

1.27 Uma empresa produz um bem a partir de 3 processos de fabrico. Sabe-se que 20% daproducao tem por base o 1º processo, 30% o 2º e 50% o 3º.Com base em estudos anteriores, chegou-se a conclusao que, do total de bens produ-zidos pela empresa, 7.5% sao defeituosos, sendo a percentagem de defeituosos entre osproduzidos pelo 1º processo de 10% e pelo 2º tambem de 10%.

4

(a) Determinado produto foi produzido pelo 3º processo de fabrico. Qual a probabili-dade de ser defeituoso?

(b) Determinado produto esta defeituoso. Qual a probabilidade de ter sido produzidopelo 3º processo de fabrico?

1.28 Uma loja de brinquedos emprega tres mulheres para tentar fazer embrulhos durante aepoca de Natal. Raquel embrulha 30% dos presentes e esquece-se de tirar o preco 3%das vezes; Helena embrulha 20% dos presentes e esquece-se de tirar o preco 8% dasvezes; Joana embrulha os restantes presentes e esquece-se de tirar o preco 5% das vezes.

(a) Qual a probabilidade de um presente comprado nessa loja ainda ter preco?

(b) Suponha que tinha ido a essa loja, verificando em casa que o seu presente aindatinha preco. Calcule a probabilidade de ter sido embrulhado pela Joana.

1.29 Parte dos acidentes escolares devem-se a acidentes laboratoriais; 25% dos estudantesnao leem as instrucoes que acompanham os produtos que manipulam, e entre os queas leem ainda ha 10% dos acidentes devido a falta de precaucao na utilizacao dessesprodutos.Qual a probabilidade de que um estudante que nao le as instrucoes venha a ter umacidente, se e de 0.7, a probabilidade de que um acidentado nao tenha lido as instrucoes?

1.30 Uma empresa de construcao civil produz telhas para o mercado nacional e internacional,sendo ambos os mercados equiprovaveis. Sabendo que 10% das telhas lancadas nomercado nacional apresentam deficiencias e que a proporcao e de 3.3% no mercadoexterno. Determine:

(a) A percentagem de telhas defeituosas na producao total da empresa.

(b) Sabendo que encontrou uma telha sem defeitos, qual a probabilidade de ter sidoproduzida para o mercado nacional?

1.31 Um fornecedor tem grande parte do seu stock constituıdo por martelos pneumaticos domesmo tipo provenientes de tres fabricas A, B e C. 60% dos aparelhos sao produzidos nafabrica A e os restantes em B e C na proporcao de 3 : 1. Sabe-se que, respectivamente,20%, 10% e 5% dos martelos provenientes de A, B e C tem defeitos.

(a) Determine a percentagem de aparelhos do stock que tem defeitos.

(b) Sabendo que foi encontrado um martelo pneumatico com defeito, indique qual afabrica que, com maior probabilidade, lhe tera dado origem?

1.32 (*) Uma fabrica de televisores compra 14 dos transıstores de que necessita ao fornecedor

A que garante uma fiabilidade (bom funcionamento) de 0.8 ao seu material. A aquisicaodo restante material e igualmente dividida por outras duas firmas, B e C, que garantem,respectivamente, uma fiabilidade de 0.9 e 0.7.

(a) Qual a fiabilidade de um transıstor seleccionado ao acaso?

(b) Qual a origem mais provavel de um transıstor que, escolhido ao acaso, se verificouter funcionado bem?

5

1.33 (*) Uma companhia que produz transıstores tem 3 linhas de montagem A, B e Cproduzindo respectivamente 15%, 35% e 50% da sua producao global. Suponha que asprobabilidades de um transıstor produzido por cada uma dessas linhas ser defeituososao, respectivamente de 0.01, 0.05 e 0.02.

(a) Se for escolhido ao acaso da producao global um transıstor, qual a probabilidadede ele nao ser defeituoso?

(b) Se ao seleccionarmos ao acaso um transıstor, verificarmos que nao tem defeitos,qual e a probabilidade de ter sido produzido na linha de montagem B?

1.34 (*) A execucao de um projecto de construcao de um edifıcio no tempo programado estarelacionada com os seguintes acontecimentos:E = ”escavacoes executadas a tempo”F = ”fundacoes executadas a tempo”S = ”superstrutura executada a tempo”supostos independentes e com probabilidades iguais a, respectivamente, 0.8, 0.7 e 0.9.Calcule a probabilidade de:

(a) O edifıcio ser terminado no tempo previsto, devido ao cumprimento dos prazos nastres actividades referidas.

(b) O prazo de execucao ser cumprido para a escavacao e nao ser cumprido em pelomenos uma das outras actividades.

1.35 (*) O Zeze vai tirar a carta de conducao. Antes de fazer os exames, com as novas regras,estima em 0.9 a probabilidade de passar no exame de codigo e como as no volante que e,em 0.95 a probabilidade de passar no exame de conducao se passou no exame de codigo.

(a) Determine a probabilidade de o Zeze tirar a carta de conducao.

(b) Se nao tirar a carta, qual a probabilidade de nao ter passado no exame de codigo.

6

Capıtulo 2

Variaveis Aleatorias

2.1 Considere-se o lancamento de tres moedas e a variavel aleatoria X=numero de faces.Determine a funcao de probabilidade e a funcao de distribuicao.

2.2 Numa caixa estao 5 bolas numeradas de 1 a 5. Duas bolas sao extraıdas aleatoria-mente e os seus numeros anotados. Determine a funcao de probabilidade e a funcao dedistribuicao de:

(a) X=maximo dos dois numeros seleccionados.(b) Y =soma dos dois numeros seleccionados.

2.3 Sendo a funcao de probabilidade de X indicada por:

X 0 1 2 3f(x) 1

1015 K 1

10

(a) Indique o valor de K.

(b) Deduza a funcao de distribuicao de X.

(c) Determine a de forma a ter P(X ≤ a) ≥ 0.5.

(d) Calcule P(X = 3|X ≥ 1).

2.4 A variavel discreta X apresenta a funcao de distribuicao a seguir tabelada.

F (x) =

0 , x < 10.1 , 1 ≤ x < 20.4 , 2 ≤ x < 30.9 , 3 ≤ x < 41 , x ≥ 4

(a) Calcule P(X ≤ 2) e P(X > 1).

(b) Deduza f(x) e represente graficamente as duas funcoes.

2.5 Verifique se as funcoes indicadas podem ser funcoes de probabilidade de alguma variavelaleatoria.

(a) f(x) =15, para x = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

7

(b) f(x) =x + 114

, para x = 1, 2, 3, 4.

2.6 Uma confeitaria estabeleceu um registo de vendas para um certo tipo de bolo. Determineo numero esperado de bolos encomendados.

N. de bolos/dia 0 1 2 3 4 5 6 7 8Probabilidade 0.02 0.07 0.12 0.20 0.20 0.18 0.10 0.10 0.01

2.7 Seja X a variavel aleatoria com a seguinte funcao de probabilidade:

X 2 3 4 5 6 7 8f(x) 0.10 0.35 0.20 0.10 0.10 0.08 0.07

(a) Calcule o valor medio, a moda e a mediana.

(b) Qual o valor da variancia e do desvio padrao.

(c) Verifique se a distribuicao e simetrica.

2.8 A funcao de probabilidade da variavel aleatoria que designa o numero de pecas defeitu-osas numa amostra e definida por,

f(x) =

0.512 , x = 00.384 , x = 10.096 , x = 20.008 , x = 30 , outros valores de x

(a) Represente-a graficamente.

(b) Calcule:

P(X ≥ 1); P(X < 2); P(1 < X ≤ 4).

2.9 Seja Y a variavel aleatoria com funcao de probabilidade:

f(y) =

y2 + 1k

, y = −2,−1, 0, 1, 2

0 , outros valores de y

(a) Determine k de forma a que f(y) seja uma funcao de probabilidade.

(b) Faca a representacao grafica de f(y).

2.10 Considere a variavel aleatoria discreta X, com a seguinte funcao de distribuicao:

F (x) =

0 , x < 01/6 , 0 ≤ x < 21/4 , 2 ≤ x < 41/2 , 4 ≤ x < 61 , x ≥ 6

8

(a) Determine a funcao de probabilidade.

(b) Calcule:

P(X ≤ 1); P(2 ≤ X < 6); P(0 < X ≤ 2); P (X > 5).

2.11 O numero de automoveis encomendados mensalmente num stand, e uma variavel aleatoriaX com a seguinte funcao de distribuicao:

F (x) =

0 , x < 00.3 , 0 ≤ x < 10.6 , 1 ≤ x < 20.8 , 2 ≤ x < 30.9 , 3 ≤ x < 41 , x ≥ 4

(a) Calcule a funcao de probabilidade.

(b) Quantos automoveis o stand deve ter num mes, para que a probabilidade de satis-fazer todas as encomendas nao seja inferior a 0.75?

2.12 Considere a seguinte funcao de probabilidade:

f(x) =

x2

14, x = 1, 2, 3

0 , outros valores de x

(a) Mostre que a funcao de probabilidade satisfaz as propriedades de qualquer funcaode probabilidade e represente-a graficamente.

(b) Deduza a funcao de distribuicao e represente-a graficamente.

(c) Calcule P(X = 1|X ≤ 2).

(d) Determine E(X) e V (X).

2.13 Determine E(X) e V (X) das distribuicoes dos exercıcios 2.1, 2.2 e 2.6.

2.14 Relativamente a distribuicao da variavel X, sabe-se que: E(X)=6 e E(X2)=62. Sendo

Y uma outra variavel aleatoria dada por Y =12X + 3, determine:

(a) E(Y ).

(b) V (Y ) e σY .

2.15 Sejam X e Y duas variaveis aleatorias tais que V (X) = 2, V (Y ) = 4 e COV (X, Y ) = −2.Determine V (3X − 4Y + 8).

2.16 Sejam X e Y duas variaveis aleatorias independentes tais que V (X) = 1, V (Y ) = 2.Determine V (5X − 2Y + 3).

9

2.17 Sejam X e Y = aX + b duas variaveis aleatorias tais que E(X) = 1, E(Y ) = 5,V (X) = 0.25 e V (Y ) = 4. Determine os valores de a e de b.

2.18 Considere a v.a. X, contınua, com funcao densidade de probabilidade (f.d.p.) dada por:

f(x) =

12x , 0 < x < 2

0 , outros valores de x

(a) Faca a sua representacao grafica e mostre que se trata de uma f.d.p..

(b) Calcule P(X ≤ 1), P(14 < X ≤ 1

2) e P(X > 32).

(c) Calcule P(X < 1|12 < X < 2).

2.19 A v.a. X e caracterizada pela seguinte funcao densidade de probabilidade:

f(x) =

x2 , −1 < x ≤ 0x , 0 < x ≤ 1112

, 1 < x < 3

0 , outros valores de x

(a) Verifique que se trata de uma funcao densidade de probabilidade.

(b) Calcule P(12 < X < 2).

(c) Deduza a funcao de distribuicao.

2.20 Uma variavel aleatoria contınua tem a seguinte funcao densidade de probabilidade:

f(x) =

0 , x < 0k , 0 ≤ x < 1k(2− x) , 1 ≤ x < 20 , x ≥ 2

(a) Calcule:

k. P(X < 1.5). E(X) e V (X).

(b) Obtenha a funcao de distribuicao.

2.21 A quantidade de pao que uma padaria vende diariamente (em quilogramas) e umavariavel aleatoria com distribuicao de probabilidade dada pela seguinte funcao densi-dade:

f(y) =

ky , 0 ≤ x ≤ 50k(100− y) , 50 ≤ y ≤ 1000 , c. c.

(a) Calcule o valor de k.

(b) Determine a quantidade media de pao vendida diariamente.

(c) Qual a probabilidade de um certo dia a venda de pao ser superior a 80 kg?

10

2.22 Uma v.a. X tem a seguinte funcao densidade de probabilidade:

f(x) =

x− 1 , 1 ≤ x < 23− x , 2 ≤ x < 30 , outros valores de x

(a) Obtenha a funcao de distribuicao.

(b) Calcule o valor medio e o desvio padrao.

(c) Calcule P(2 ≤ X ≤ 2.2).

2.23 As vendas semanais do produto A (em toneladas) comportam-se de forma aleatoria deacordo com a seguinte f.d.p.:

f(y) =

0.04y + 0.13 , 1 ≤ y ≤ 50 , outros valores de y

(a) Calcule E(Y ) e V (Y ).

(b) Calcule a mediana das vendas mensais.

(c) Para o produto A o lucro obtido em cada semana e uma variavel aleatoria definidapor: X = 200Y − 60. Calcule E(X) e V (X).

2.24 O tempo de espera entre chamadas (em minutos) numa central telefonica, pode serconsiderado como uma variavel aleatoria e e caracterizado pela seguinte f.d.p.,

f(x) =

(k − 2)e−x , x ≥ 00 , x < 0

(a) Determine o valor de k.

(b) Qual a probabilidade de que o tempo de espera entre duas chamadas, seja inferiora 3 minutos?

(c) Determine o tempo medio de espera e o tempo de espera mais frequente entre duaschamadas.

(d) Obtenha a funcao de distribuicao da v.a. X.

(e) Calcule a probabilidade P (4 ≤ X < 6|X > 2).

2.25 (*) O diametro de um cabo (em polegadas) supoe-se ser uma variavel aleatoria contınuaX, com funcao densidade de probabilidade,

f(x) =

2kx(1− x) , 0 ≤ x ≤ 10 , x < 0 ∨ x > 1

(a) Determine o valor de k.

(b) Obtenha a funcao de distribuicao de X.

(c) Qual a probabilidade de o diametro de um cabo ser superior a 0.80 polegadas?

(d) Calcule P(X ≤ 12 |13 ≤ X ≤ 2

3).

11

2.26 (*) A percentagem de alcool em determinado composto pode ser considerada umavariavel aleatoria X, com a seguinte f.d.p.:

f(x) =

20x3(1− x) , 0 < x < 10 , c. c.

(a) Determine a funcao de distribuicao de X.

(b) Calcule E(X), V (X) e σX .

2.27 (*) A funcao densidade de probabilidade da variavel aleatoria X tem a seguinte ex-pressao:

f(x) =

x3 + x , 0 ≤ x ≤ 13x2 + 2x− 39

4 , 1 < x ≤ 20 , c. c.

(a) Calcule o valor esperado e a variancia de X.

(b) Calcule as probabilidades:

i. P(X < −1).ii. P(X < 3).

2.28 (*) Seja X uma variavel aleatoria com a seguinte funcao densidade de probabilidade:

f(x) =

x

k−1 , 2 ≤ x ≤ 40 , c. c.

Determine:

(a) k.

(b) V (X).

(c) A correspondente funcao de distribuicao.

2.29 (*) Uma estacao de gasolina enche os reservatorios no princıpio de cada semana. Su-pondo o volume semanal X de vendas (em milhares de litros) de gasolina, uma variavelaleatoria contınua com a seguinte f.d.p.:

f(x) =

k(40− x) , 0 ≤ x ≤ 400 , c. c.

(a) Determine o valor de k.

(b) Determine a media e a variancia da variavel aleatoria Y = 2− 3X.

(c) Calcule a probabilidade de o volume de vendas numa semana ser superior a 30 (millitros) de gasolina.

2.30 (*) Admita que o numero de licenciados, em Engenharia Quımica Industrial, procuradosdiariamente pelas empresas e uma variavel aleatoria, distribuıda do seguinte modo:

12

X 0 1 2 3 4f(x) 0.1 k 0.3 k

4 0.1

(a) Deduza a funcao de distribuicao e calcule a de modo que P(0 < X ≤ a)=0.8.

(b) Determine o valor esperado do numero de licenciados procurados diariamente.

(c) Calcule E(3X2 + 1).

2.31 (*) A quantidade de bolos (expressa em kg) vendida diariamente no bar do IPT e umavariavel aleatoria com a seguinte f.d.p.,

f(x) =

5k2 , 0 ≤ x < 5k(10− x) , 5 ≤ x < 100 , c. c.

(a) Obtenha o valor da constante k.

(b) Calcule a quantidade media de bolos vendida diariamente no bar do IPT.

(c) Determine a quantidade de bolos que deve ser recebida diariamente de forma asatisfazer 80% dos pedidos.

13

Capıtulo 3

Distribuicoes Teoricas

3.1 Uma empresa comercializa garrafas de vinho do Porto de 1 litro. Supoe-se no entantoque 40% dessas garrafas contem realmente menor quantidade do que o volume indicadono rotulo. Tendo adquirido 6 garrafas, qual a probabilidade de:

(a) Duas delas conterem menos de 1 litro?

(b) No maximo 2 conterem menos de 1 litro?

(c) Pelo menos 2 conterem menos de 1 litro?

(d) Todas conterem menos de um litro?

(e) Todas conterem o volume indicado no rotulo?

3.2 Qual a probabilidade de, em 10 lancamentos de um dado perfeito:

(a) Se obterem 5 faces par?

(b) Se obterem 5 faces superiores a 4?

3.3 Admite-se ser 0.4 a probabilidade de que um cliente que entra num supermercado Mrealize despesa superior a 1.000$00.

(a) Qual a probabilidade de, em 3 clientes:

nenhum realizar despesa superior a 1.000$00? no mınimo 2 gastarem mais de 1.000$00?

(b) Qual a probabilidade de, em 15 clientes:

nenhum realizar despesa superior a 1.000$00? no mınimo 2 gastarem mais de 1.000$00?

3.4 Um estudante tem 3 exames. A probabilidade de ficar bem em cada um e de 12 . Calcule

a probabilidade de ficar bem:

(a) Em pelo menos 1 exame.

(b) Em exactamente 1 exame.

3.5 Se for estimada em 0.3 a probabilidade de uma pessoa contactada realizar uma compra,calcule a probabilidade de um vendedor que visite num dia 16 pessoas:

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(a) Realizar 5 vendas.

(b) Realizar entre 4 e 8 vendas.

(c) Realizar quando muito 2 vendas.

(d) Realizar no maximo 10 vendas.

(e) Realizar pelo menos 12 vendas.

(f) Realizar no mınimo 3 vendas.

(g) Se o vendedor visitar 16 pessoas diariamente, qual o numero medio diario de ven-das?

3.6 Um estudo encomendado pela empresa M permitiu apurar que aproximadamente 60%dos seus trabalhadores mantinham uma atitude cooperativa face a empresa, 30% umaatitude hostil e 10% uma atitude nao definida. Qual a probabilidade de num grupo de12 trabalhadores:

(a) Pelo menos 6 adoptarem uma atitude hostil face a empresa?

(b) No maximo 2 terem uma atitude bem definida?

(c) Qual o numero esperado de trabalhadores com atitude hostil?

3.7 Um aviao comercial tem 4 motores independentes e num voo a probabilidade de cadamotor funcionar sem avarias e de 99%. Qual a probabilidade do aviao fazer uma viagemsegura se, para isso, precisar de pelo menos 2 motores a funcionar correctamente.

3.8 A probabilidade de um automovel efectuar uma lavagem automatica, quando vai serabastecido de combustıvel numa bomba de gasolina, e 0.1. Determine:

(a) A probabilidade de nenhum dos proximos 6 carros ser lavado.

(b) A probabilidade de pelo menos um dos proximos 10 automoveis efectuar umalavagem.

(c) A probabilidade de pelo menos 2 dos proximos 10 automoveis efectuarem lavagensautomaticas.

(d) O numero medio de lavagens em cada grupo de 25 automoveis.

3.9 Suponha que X tem distribuicao binomial e que p=0.2 e E(X)=1. Calcule n e V (X).

3.10 Suponha que X tem distribuicao binomial, com parametros n e p. Sabendo que E(X)=5e V (X)=4, determine n e p.

3.11 O numero de chamadas que chegam num perıodo de 5 minutos a central telefonica deuma empresa, e uma v.a. com distribuicao Poisson, de parametro λ=10. Calcule aprobabilidade, de num perıodo de 5 minutos:

(a) Chegarem exactamente 8 chamadas.

(b) Chegarem menos de 5 chamadas.

(c) Chegarem, no mınimo, 3 chamadas.

(d) Chegarem pelo menos 20 chamadas.

15

(e) Nao chegar nenhuma.

(f) Calcule a probabilidade de num perıodo de 2 minutos chegarem exactamente 3chamadas.

3.12 Numa fabrica o numero de acidentes por semana segue uma lei de Poisson, de parametroigual a 2. Calcule a probabilidade de que:

(a) Numa semana haja menos de um acidente.

(b) Se verifiquem 4 acidentes.

3.13 Um retalhista vende um produto cuja procura se tem comportado segundo uma distri-buicao Poisson de parametro 5. Nos ultimos 300 dias seguiu uma polıtica de adquirir8 artigos por dia, tendo verificado que em 21 desses dias, o seu stock nao chegou parasatisfazer as encomendas.Quantos produtos (no mınimo) devera ele passar a adquirir por dia se quiser fazer bai-xar para 0.03 a probabilidade da ruptura de stock?Nota: Os produtos nao vendidos no proprio dia sao inutilizados.

3.14 Durante 40 minutos consecutivos foi registado o numero de partıculas cosmicas que,por minuto, incidem num dado aparelho detector. Os resultados foram compilados natabela que se encontra abaixo. Na suposicao de que as partıculas atingem o detector deum modo aleatorio e a um ritmo constante, qual sera a probabilidade de cinco partıculasserem detectadas no minuto seguinte?

3 0 0 1 0 2 1 0 1 10 3 4 1 2 0 2 0 3 11 0 1 2 0 2 1 0 1 23 1 0 0 2 1 0 3 1 2

3.15 Um material radioactivo emite partıculas α a uma taxa de duas por milisegundo. De-termine a probabilidade de:

(a) Serem emitidas duas partıculas num milisegundo.

(b) Serem emitidas quatro partıculas em dois milisegundos.

(c) Serem emitidas pelo menos tres partıculas em dois milisegundos.

(d) Serem emitidas pelo menos cinco partıculas em dois milisegundos sabendo que jaforam emitidas pelo menos duas partıculas.

3.16 Admite-se que 5% da producao de certa fabrica seja defeituosa. Numa encomenda de100 unidades, qual a probabilidade de se encontrarem:

(a) 2 defeituosas.

(b) no maximo 2 defeituosas.

3.17 Se a probabilidade de um carro furar um pneu durante a passagem pela ponte sobreo Tejo for de 0.0004, qual a probabilidade de que em 10000 carros haja menos de 3 asofrer tal percalco?

16

3.18 A procura diaria para certo tipo de artigo na loja A segue uma distribuicao Poisson.Sabendo que que a procura a media diaria e de 3 produtos e que o stock diario e mantidoem 6 unidades, calcule:

(a) A probabilidade de num dia serem procurados pelo menos 2 produtos.

(b) A probabilidade de se registar uma ruptura de stock.

(c) O numero esperado de clientes que ficam por satisfazer.

(d) O novo stock diario a assegurar de maneira que a probabilidade de ruptura seja nomaximo de 0.004.

(e) Em media quantos produtos sao vendidos por dia, na hipotese:

de a loja poder satisfazer todo e qualquer pedido. estar limitada ao stock diario de 6 unidades.

(f) Qual a probabilidade de numa semana (6 dias) se terem verificado no maximo 3dias com vendas inferiores a 2 produtos.

(g) Durante o ano, qual o numero esperado de dias com procura superior a 2 produtos(admitir que o ano tem 365 dias uteis).

3.19 Uma pessoa tem no bolso 5 chaves do mesmo tipo, mas so uma abre a porta. Considereo seguinte metodo:

Experimentar uma chave apos a outra, sem as repor no bolso apos cada tentativa.

Seja X a variavel aleatoria que corresponde ao numero de chaves experimentadas (in-cluindo a que abre a porta).

(a) Determine a lei de probabilidade da variavel X.

(b) Qual o numero medio de chaves experimentadas pelo metodo considerado?

3.20 Considere o caso de uma fila de clientes, num estabelecimento comercial e suponhaque em cada unidade de tempo (30 segundos, por exemplo) chega ao estabelecimento,no maximo, 1 cliente. Suponha ainda que a probabilidade de chegar um cliente e pe a probabilidade de nao chegar nenhum e 1 − p. Seja T uma variavel aleatoria querepresenta o tempo ate a chegada do proximo cliente.

(a) Qual a distribuicao de T?

(b) Qual a probabilidade de nao chegar nenhum cliente nas proximas t unidades detempo?

(c) Qual o tempo medio ate a chegada do proximo cliente?

3.21 Uma caixa tem doze ampolas, das quais quatro estao estragadas. Dela extrai-se umaamostra de tres ampolas, sem reposicao. Determine a funcao de probabilidade e a funcaode distribuicao da v.a. que representa o numero de ampolas estragadas.

3.22 De uma lista de 80 candidatos a um emprego sabe-se que apenas 20 tem menos de25 anos. Se escolher 10 candidatos de uma forma aleatoria e sem reposicao, qual aprobabilidade de 5 terem menos de 25 anos?

17

3.23 Uma remessa de 20 barras de aco e aceite pelo comprador se, numa amostra de 5barras, tiradas ao acaso e sem reposicao, nao houver mais do que uma defeituosa. Quala probabilidade de ser aceite um lote contendo 4 barras defeituosas?

3.24 Um determinado armazem de produtos alimentares possui em stock 4500 latas de con-serva, entre as quais existem 225 cujo prazo de validade termina brevemente. Umsupermercado esta interessado em comprar as 4500 latas. No entanto a gerencia do su-permercado decidiu nao efectuar a compra se numa amostra de 30 latas, recolhidas aoacaso e sem reposicao, forem encontradas pelo menos 3 cujo prazo de validade terminebrevemente.Qual a probabilidade de a compra nao se efectuar?

3.25 Sabendo que a duracao (em minutos) de uma conversa telefonica e uma v.a. T comfuncao densidade,

f(t) =

ke−

t3 , t > 0

0 , t ≤ 0

(a) Calcule:

k. A probabilidade de uma conversa durar mais de 3 minutos. A probabilidade de uma conversa durar mais de 3 minutos mas menos de 5. A probabilidade de uma conversa durar mais de 3 minutos dado que a conversa

ja dura a 2 minutos. A duracao media de uma conversa deste tipo.

(b) Obtenha a funcao de distribuicao.

3.26 Muitos programas de computador possuem um utilitario chamado gerador de numerosaleatorios. Este utilitario permite obter um (pseudo) numero aleatorio distribuıdo, emgeral, uniformemente em ]0, 1].

(a) Determine a funcao densidade de probabilidade deste tipo de geradores.

(b) Qual a probabilidade de o numero gerado estar entre 0.3 e 0.5? E entre 0.2 e 0.4?

3.27 O gasto diario para a manutencao de um laboratorio e um numero uniformementedistribuıdo entre 10 euros e 50 euros.

(a) Determine a media e a variancia desta distribuicao uniforme.

(b) Calcule a probabilidade de, num dia, o gasto ser superior a 40 euros. E qual seraa probabilidade de o gasto ser exactamente 20 euros?

3.28 A variavel T representa o tempo de funcionamento sem avarias, expresso em dias, deum determinado equipamento. A f.d.p. da v.a. T e definida pela expressao seguinte:

f(t) =

0.5e−0.5t , t > 00 , t ≤ 0

(a) Calcule a probabilidade de o equipamento funcionar sem avarias durante um perıodocompreendido entre 1 e 3 dias.

18

(b) Determine o valor esperado e a variancia da variavel T .

3.29 Considere uma variavel aleatoria X cuja funcao densidade de probabilidade e (b, c > 0):

f(x) =

0 , x ≤ ac

be−

xb , x ≥ a

(a) Faca um esboco de f(x).

(b) Determine c em funcao d a e de b.

(c) Determine o E(X) e V (X).

3.30 Um departamento de reparacao de maquinas recebe, em media, 5 chamadas por hora.Qual a probabilidade de que a primeira chamada chegue dentro de meia hora?

3.31 Em media, atraca um navio em certo porto a cada dois dias. Qual a probabilidade deque, a partir da partida de um navio, se passem 4 dias antes da chegada do proximonavio?

3.32 Suponha que T, tempo (em horas) de trabalho sem falhas de um dispositivo, segue umalei exponencial com λ = 0,03.

(a) Determine a probabilidade de o dispositivo trabalhar sem falhas nas primeiras 100horas de funcionamento.

(b) Sabendo que o dispositivo nao falhou nas primeiras 100 horas, qual a probabilidadede nao falhar nas 200 horas seguintes?

(c) Que distribuicao segue o numero de falhas por unidade de tempo?

3.33 O tempo de funcionamento T entre avarias consecutivas, de uma determinada maquina,e uma variavel aleatoria exponencial com media de 1 hora.

(a) Considere umas da maquinas. Qual a probabilidade de estar a funcionar ao fim de1 hora? E de 2 hora? E de 3 horas?

(b) Considere um sistema de montagem composto por 4 destas maquinas. Qual aprobabilidade de 2 maquinas estarem ainda a funcionar (sem avarias) ao fim de 1hora? E de 2 horas?

3.34 Seja X ∼ N (µ, σ2) e Z =X − µ

σ.

(a) Mostre que: E(Z)=0 e V(Z)=1.

(b) Calcule as seguintes probabilidades: P (µ−σ < X < µ+σ), P (µ−2σ < X < µ+2σ)e P (µ− 3σ < X < µ + 3σ).

3.35 A v.a. X segue uma distribuicao Normal de parametros µ=20 e σ2=9.

(a) Determine as seguintes probabilidades:

P(X ≤ 23). P(X ≤ 40). P(X > 21).

19

P(X > 17). P(21.5 < X < 25). P(16.2 < X < 18.8). P(17 < X < 29.3).

(b) Determine os valores da variavel X tais que:

P(X ≤ a)= 0.9332. P(X ≤ b)= 0.1788. P(X ≥ a)= 0.9989. P(X > b)= 0.0062.

3.36 O tempo requerido para executar certa tarefa e uma v.a. com distribuicao Normal commedia 72 minutos e desvio padrao 12 minutos.

(a) Calcule a probabilidade de que:

A tarefa leve mais de 93 minutos. Nao leve mais de 95 minutos. Leve entre 63 e 78 minutos.

(b) Determine os valores de a e b tais que:

P(X > a)=0.2546. P(X < b)=0.0054.

3.37 Sabe-se que a v.a. X tem distribuicao Normal com parametros µ=3 e σ=2. Calcule:

(a) P(X < 4) ; P(X < 5) ; P(X > 15).

(b) P(X < 1); P(X < −1); P(X > 2); P(X > 3).

(c) P(4 < X < 5); P(−1 ≤ X ≤ 2); P(2 < X < 5).

3.38 O tempo (em minutos) que um operario leva a executa certa tarefa e uma v.a. comdistribuicao Normal. Sabe-se que a probabilidade de o operario demorar mais de 13minutos e de 0.0668 e a de demorar menos de 8 minutos e de 0.1587.

(a) Calcule o tempo medio requerido para executar a tarefa e o respectivo desviopadrao.

(b) Calcule a probabilidade de o operario demorar entre 9 e 12 minutos a executa-la.

3.39 Calcule a media e o desvio padrao da variavel X ∼ N (µ, σ2), sabendo que:P(X ≥ 3)=0.8413 e P(X ≥ 9)=0.0228.

3.40 As variaveis independentes X e Y especificam os desvios (erros elementares) introdu-zidos por duas componentes de um aparelho electrico e tem distribuicoes normais demedias 2 e 4 e variancias 4 e 5, respectivamente. Sabendo que o erro a saıda do aparelhoesta associado aos erros destas duas componentes pela relacao U = −X +3Y , determinea probabilidade deste erro final ser superior a 15.

3.41 O conteudo de certo tipo de garrafas e aleatorio e com distribuicao Normal de media1 e desvio padrao 0.020. Se 3 garrafas forem despejadas para um recipiente, qual aprobabilidade de este ficar com um volume de lıquido superior a 3.1 litros?

20

3.42 As pontuacoes obtidas com um teste psicotecnico distribuem-se de uma forma apro-ximadamente Normal, sendo a pontuacao media de 50p. e o desvio padrao de 10p..Qual a probabilidade de, em 20 pessoas submetidas a esse teste, se registarem 5 compontuacoes inferiores a 41.6 pontos?

3.43 A distribuicao dos rendimentos familiares de certo bairro de 5000 famılias (em u.m.) esatisfatoriamente representada por uma lei Normal com parametros 180u.m. e 25u.m..

(a) Qual o numero esperado de famılias nesse bairro auferindo entre 175u.m. e 188u.m.?

(b) Qual a percentagem de famılias que ganham menos de 163u.m?

(c) Qual o rendimento maximo auferido pelo grupo das 500 famılias de menores pro-veitos?

3.44 A despesa (euros) de um cliente num supermercado e uma variavel aleatoria X ∼ N (µ =125, σ2 = 400). Determine:

(a) A fraccao de clientes que gastam mais de 150euros.

(b) O valor do consumo abaixo do qual estao os 10% de clientes menos gastadores.

(c) Considere o numero de clientes que gastam uma importancia entre 115euros e135euros. Determine:

O numero esperado destes clientes entre os proximos 50. A probabilidade de entre os proximos 3 clientes estarem 2 destes clientes.

3.45 A despesa (euros) de um cliente num supermercado e uma variavel aleatoria X ∼ N (µ =125, σ2 = 400). Determine:

(a) A fraccao de clientes que gastam mais de 150e.

(b) O valor do consumo abaixo do qual estao os 10% de clientes menos gastadores.

(c) Considere o numero de clientes que gastam uma importancia entre 115e e 135e.Determine:

O numero esperado destes clientes entre os proximos 50. A probabilidade de entre os proximos 3 clientes estarem 2 destes clientes.

3.46 Uma empresa comercializa garrafas de vinho do Porto de 1 litro. Supoe-se no entantoque 40% dessas garrafas contem realmente menor quantidade do que o volume indicadono rotulo. Em 100 garrafas existentes na loja, qual a probabilidade de:

(a) Haver 30 com menos de 1 litro?

(b) Haver nao mais de 30 com menos de 1 litro?

(c) Haver mais de 45 com menos de litro?

(d) Haver entre 44 e 50 com menos de 1 litro?

3.47 O numero de chamadas que chegam num perıodo de 5 minutos a central telefonica deuma empresa e uma v.a. com distribuicao Poisson de parametro 10.Calcule a probabilidade de:

21

(a) Em 12 hora, chegarem:

65 chamadas. Pelo menos 70 chamadas.

(b) Num dia (8 horas) chegarem:

Menos de 900 chamadas. Entre 900 e 1000 (inclusive) chamadas.

3.48 O numero de avarias que uma maquina tem por dia e aleatorio e segue uma distribuicaode Poisson de media 0.2. Qual a probabilidade de num ano (365 dias), se registarem:

(a) 76 avarias.

(b) Entre 70 e 75 avarias.

(c) Mais de 77 avarias.

(d) No maximo 70.

Nota: Considere que a maquina funciona nos 365 dias do ano.

3.49 (*) Suponha-se gestor de uma empresa, de componentes electronicas, cujos lucros men-sais (em milhares de escudos) se comportam de forma aleatoria e tem a seguinte f.d.p.,

f(x) =

k(2x + 10) , −5 ≤ x < 5k(22.5− x

2 ) , 5 ≤ x < 450 , c. c.

(a) Determine o valor da constante k.

(b) Calcule a probabilidade de a empresa:

ter prejuızos (lucros negativos) num mes; ter prejuızos quando muito num mes de um trimestre; ter prejuızos em 3 meses de oito trimestres.

3.50 (*) O comprimento das pecas produzidas por uma maquina e uma v.a. normal com valoresperado µ e variancia σ2. Uma peca e defeituosa se o comprimento diferir do valoresperado mais do que σ. Sabe-se que 50% das pecas produzidas tem um comprimentoinferior a 2.5mm e 47.5%, das pecas produzidas, tem um comprimento entre 2.5mm e3.42mm.

(a) Calcule µ e σ.

(b) Determine a probabilidade de que uma peca, escolhida ao acaso, nao seja defeitu-osa.

3.51 (*) Um sistema complexo e constituıdo por 100 componentes que funcionam indepen-dentemente. A probabilidade de que qualquer das componentes venha a falhar duranteo perıodo de operacao e igual a 0.1. Sabendo que o funcionamento do sistema exigeque estejam operacionais pelo menos 85 componentes, calcule a probabilidade de que osistema funcione.

22

3.52 (*) Suponha que o desvio da medida das pecas produzidas por uma maquina em relacaoa norma especificada no mercado e uma variavel aleatoria X com a seguinte funcaodensidade de probabilidade:

f(x) =

1 + k + x , −1 ≤ x < 01 + k − x , 0 ≤ x < 10 , c. c.

(a) Calcule o valor de k.

(b) Calcule a mediana de X.

(c) Calcule a probabilidade de que em duas pecas extraıdas ao acaso, e com reposicao,da producao da maquina apareca uma com um desvio positivo em relacao a norma.

3.53 (*) Um processo de fabrico de placas de vidro produz, em media, 4 bolhas de ar espalha-das aleatoriamente por 10m2 de placa. Sabendo que a distribuicao do numero de bolhasde ar pode ser modelada por uma distribuicao de Poisson, calcule a probabilidade de:

(a) Uma placa de 2.5m×2m ter mais de 2 bolhas de ar.

(b) Obter, num lote de 10 placas de vidro com 1m×2.5m, 6 placas perfeitas.

(c) Obter, num lote de 225 placas de vidro com 2.5m×5m, 45 placas com 4 bolhas dear.

23

2ª PARTE

Capıtulo 4

Distribuicoes por Amostragem

4.1 Consultando a tabela da distribuicao t de Student, determine:

(a) t(10;0.99) e t(10;0.01);

(b) t(18;0.025);

(c) O numero real a tal que P(−a < t < a)=0.99 para 23 g.l..

4.2 Consultando a tabela da distribuicao χ2, determine:

(a) χ2(9;0.99);

(b) χ2(15;0.975);

(c) χ2(18;0.01);

(d) χ2(28;0.9);

(e) Os numeros reais positivos a e b tais que P(a < χ2 < b)=0.9 para 19 g.l. e tais queP(χ2 < a)= P(χ2 > b).

4.3 Consultando a tabela da distribuicao F de Snedecor e usando as suas propriedades,determine:

(a) O valor de F(5,10;0.995) e F(5,10;0.005);,

(b) O valor de F(7,5;0.975) e F(7,5;0.025);

(c) O valor da probabilidade p, sabendo que, F(9,15;p)=2.09 e o valor de F(9,15;1−p).

4.4 Uma amostra de dimensao n = 100 e seleccionada de uma populacao cujo valor medioe µ = 50 e o desvio padrao e σ = 10.

(a) Determine o valor medio e o desvio padrao de X.

(b) Qual a distribuicao de probabilidade aproximada de X.

(c) Calcule P(X > 52) e P(47.5 < X < 52.5).

4.5 Em determinada cidade, os resultados de um exame oficial acusaram media 72 e desviopadrao 8. Qual a percentagem de amostras de dimensao 100 onde se encontra umamedia amostral inferior a 70?

25

4.6 Com base numa populacao normal, qual devera ser a dimensao da amostra para queseja de pelo menos 0.95 a probabilidade de que a media amostral nao se afaste da mediada populacao mais do que 0.5σ?

4.7 O conteudo (em litros) de garrafas de azeite Azeitoninha segue uma distribuicao Normalde media µ = 0.99 e desvio padrao σ = 0.02.

(a) Seleccionaram-se aleatoriamente 16 garrafas deste azeite para inspeccao. Qual aprobabilidade de o conteudo medio das garrafas ser superior a 1 litro?

(b) Considerando uma amostra de 100 garrafas:

Calcule a probabilidade do conteudo medio ser inferior a 9.85dl. Determine a e b tais que P(a ≤ X ≤ b)=0.95.

4.8 Em 1000 amostras de 200 criancas cada, considerando que os dois sexos sao equi-provaveis, em quantas se esperaria encontrar:

(a) Menos de 40% do sexo masculino?

(b) Entre 40% e 60% do sexo feminino?

4.9 Admita que a vida de certo farmaco segue uma distribuicao normal com vida mediade 2000 dias e desvio padrao σ = 60 dias. Num lote de 10 medicamentos, qual aprobabilidade de que o desvio padrao amostral nao exceda os 50 dias?

4.10 Admitindo que o peso do conteudo de embalagens de acucar tem distribuicao Nor-mal com σ2 = 1, seleccionou-se uma amostra aleatoria de 10 embalagens e pesou-seo conteudo de cada embalagem. Determine b1 e b2, tal que P(b1 ≤ S′2 ≤ b2)=0.9 eP(S′2 ≤ b1)=P(S′2 ≥ b2).

4.11 As vendas diarias de dois estabelecimentos sao aleatorias. As vendas diarias de Apossuem valor medio µA = 1400 contos e desvio padrao σA = 200 contos, enquanto quepara B tem-se µB = 1200 contos e σB = 100 contos.Nestas condicoes, qual a probabilidade de, em dois meses de actividade (60 dias), amedia diaria de vendas no estabelecimento A ser superior a media diaria de vendas noestabelecimento B, em pelo menos 150 contos?

4.12 Os resultados de uma eleicao acusam 65% de votos a favor de determinado candidato.Determine a probabilidade de duas amostras aleatorias independentes, cada uma com200 eleitores, acusarem, em modulo, uma diferenca superior a 10% nas proporcoes dosvotos a favor do candidato?

26

Capıtulo 5

Estimacao

5.1 Considere um modelo normal e a estatıstica T definida da seguinte forma:

T =X1 + 2X2

2

para amostras aleatorias de dimensao n = 2.

(a) Determine a distribuicao amostral de T e os respectivos parametros.

(b) T e um estimador centrado para µ?

(c) Obtenha uma estimativa para T com base na amostra (7,8; 6,7).

5.2 Para o parametro θ de certa populacao, foram indicados dois estimadores: θ1 e θ2. Qualo estimador que escolheria, sabendo que:

E(θ1) =n + 1

nθ V (θ1) =

k

n

E(θ2) =n + 1

nθ V (θ2) =

k

n + 3

, onde k e uma constante.

5.3 Considere uma amostra aleatoria de dimensao n proveniente de uma populacao, X,normal com media µ e variancia σ2.Prove que X e um estimador nao enviesado e consistente de µ.

5.4 Considere uma amostra aleatoria de dimensao n proveniente de uma populacao, X,normal com media µ e variancia σ2:

(a) Mostre que a variancia amostral corrigida, S′2 =∑n

i=1(Xi −X)2

n− 1, e um estimador

nao enviesado da variancia populacional σ2.

(b) Tendo em conta a relacao existente entre a variancia amostral, S2 =∑n

i=1(Xi −X)2

n,

e a variancia amostral corrigida, S′2, o que podera dizer sobre a propriedade denao enviesamento de S2

(c) Calcule as estimativas fornecidas por cada estimador com base na seguinte amostra:(32; 27; 32; 28; 31; 37; 25; 26; 30).

27

5.5 O peso de componentes electronicas produzidas por determinada empresa e uma v.a.que se supoe ter distribuicao normal. Pretendendo-se estudar a variabilidade do pesodas referidas componentes, recolheu-se uma amostra de 60 elementos e, obtiveram-se osseguintes valores, em gramas:

60∑

i=1

xi = 6528gr ;60∑

i=1

x2i = 1003296gr2

(a) Apresente uma estimativa para a media do peso das componentes.

(b) Apresente uma estimativa para a variancia do peso das componentes.

(c) Construa um intervalo de confianca para a media do peso com um grau de confiancade 95%.

5.6 Sabe-se que o tempo de vida util de um componente electronico tem desvio padraoσ = 500 horas, mas o tempo medio de vida util e desconhecido. Supoe-se que o tempo devida util dos componentes electronicos tem uma distribuicao aproximadamente normal.Numa amostra de n = 15, o tempo medio de vida util e x = 8900 horas. Pretende-se queconstrua intervalos de confianca para a media da populacao com um grau de confiancade:

(a) 95%.

(b) 90%.

5.7 Certo equipamento de empacotamento automatico encontra-se regulado para encherembalagens de um quilo de certo produto e o seu deficiente funcionamento originaprejuızo para a empresa. Aceita-se, da experiencia passada, que o peso das embalagensse comporta normalmente com uma dispersao dada por σ = 12gr. Para verificar aafinacao do equipamento, seleccionaram-se em certo perıodo nove embalagens cujospesos exactos foram anotados (em gramas):

983 992 1011 976 997 1000 1004 983 998

(a) Construa intervalos de confianca para a media, com os seguintes graus de confianca:90%, 95% e 99%.

(b) Suponha que, em vez de uma amostra de nove embalagens , tinha sido obtido umaoutra de 100 embalagens que, apos os necessarios calculos tinha fornecido um pesomedio x = 994gr. Construa um novo intervalo de confianca, a 95%, com base nestasegunda amostra. Que ilacao retira do aumento do tamanho da amostra

(c) Qual devera ser o tamanho da amostra a recolher, de tal forma que a amplitudedo intervalo, a 95%, seja 2?

5.8 O tempo de resolucao de determinado tipo de teste e uma variavel que segue umadistribuicao normal, com σ = 14 minutos. Uma amostra de 12 alunos aleatoriamenteescolhidos resolveram o teste no tempo medio de 148.3 minutos.

(a) Determine o intervalo de confianca a 99% para µ.

(b) Caso pudesse aumentar a dimensao da amostra, o que esperaria obter em termosde amplitude do novo intervalo comparativamente com o anterior.

28

(c) Qual devera ser o novo n para que o erro da estimativa nao ultrapasse os 5 minutos,com um grau de confianca de 99%.

(d) Supondo que σ e desconhecido e que o desvio padrao da amostra e igual a 12minutos, determine o intervalo de confianca a 90% para µ.

5.9 (a) Determine o intervalo de confianca a 90% para o valor medio de uma distribuicaonormal com desvio padrao 3, a partir da amostra: 3.3; -0.3 ; -0.6 ; -0.9.

(b) Calcule o intervalo de confianca a 90% para o valor medio admitindo que o desviopadrao da populacao e desconhecido.

5.10 Uma amostra de 144 observacoes possui media igual a 160 e variancia igual a 100.

(a) Determine o intervalo de confianca para a media da populacao com um grau designificancia de 5%.

(b) Se pretendermos que este intervalo tenha semi-amplitude de 1.2, quantas ob-servacoes sera necessario efectuar, supondo que a variancia populacional e iguala variancia amostral?

5.11 Num exame de Electronica foram avaliados 31 alunos. Considerando estes alunos comouma amostra representativa da populacao dos alunos matriculados na disciplina e tendoem conta que, para essa amostra , se obtiveram os seguintes resultados:

31∑

i=1

xi = 299 ;31∑

i=1

(xi − x)2 = 120

Determine um intervalo de confianca, com α = 10%, para a variancia dos resultados emElectronica dos alunos matriculados na disciplina.

5.12 Uma grande cidade dos E.U.A. pretende construir um complexo desportivo . Antes detomar a decisao foi feito um estudo no ambito do qual 400 pessoas foram entrevistadas.Destas, 310 indicaram poder vir a utilizar o complexo regularmente.Encontre um intervalo de confianca a 95% para a proporcao de pessoas que podera sercliente habitual do complexo.

5.13 Num estudo de mercado, quantas pessoas devem ser inquiridas de modo a, com 95%de confianca, se cometer um erro inferior a 3% (para mais ou menos) na estimacao daproporcao de potenciais clientes do novo servico de televisao por cabo? E se pretenderuma estimativa a menos de 1%.

5.14 Duas v.a.’s X1 e X2 seguem uma distribuicao normal com variancias σ21 = 3.64 e

σ22 = 4.03, respectivamente. Construa um intervalo de confianca a 90% para a diferenca

entre as suas medias, sabendo que em amostras recolhidas se obtiveram os seguintesresultados:

Amostra 1: n1 = 32 x1 = 16.20Amostra 2: n2 = 40 x2 = 14.85

5.15 Pretende-se investigar o nıvel de remuneracoes de certa categoria profissional.

29

(a) Construa um intervalo de confianca a 99% para a diferenca de medias com basenos seguintes resultados (em u.m.):

Amostra de 250 Homens: x = 33.8 s2 = 5.7Amostra de 150 Mulheres: x = 31 s2 = 10.3

(b) Construa um intervalo de confianca a 95% para o quociente das variancias dos

nıveis de remuneracao dos homens e das mulheres (σ2

1

σ22

) com base nos seguintes

resultados (em u.m.):

Amostra de 31 Homens: s′2 = 5.0Amostra de 16 Mulheres: s′2 = 9.0

5.16 Uma empresa encomendou um estudo sobre as preferencias das senhoras entre doisdetergentes para a loica: A e B (sendo o detergente B pertencente a uma empresa con-corrente). Verificou-se que, numa amostra de 100 senhoras de uma cidade do Norte, 40%das senhoras preferem o detergente A. Numa cidade do Sul do Paıs, das 200 senhorasinquiridas, 60 revelaram que tambem preferem o mesmo detergente.Determine um intervalo de confianca a 90%, para a diferenca entre proporcoes de se-nhoras das duas cidades que preferem o detergente A.

5.17 Presume-se que certo projecto governamental tem aceitacao muito diferente consoantese trate de meios urbanos ou rurais. Informacao recolhida a proposito forneceu os se-guintes resultados:• Nos meios urbanos, das 200 pessoas inquiridas, 78 afirmaram concordar com o pro-jecto;• Nos meios rurais, em 300 pessoas, 153 mostraram-se favoraveis.

(a) Apresente uma estimativa para a diferenca entre proporcoes de pessoas que favo-recem o projecto nos dois meios.

(b) Construa um intervalo de confianca a 99%.

5.18 (*) A capacidade (em amperes-hora) de um tipo de bateria varia segundo uma dis-tribuicao normal. Seleccionadas aleatoriamente 10 baterias registaram-se as seguintescapacidades:

140 136 150 144 148 152 138 141 143 151

10∑

i=1

xi = 1443 ;10∑

i=1

(xi − x)2 = 290.1

(a) Determine um intervalo de confianca a 99% para o valor esperado e para o desviopadrao da capacidade da bateria, indicando, para cada caso, a variavel aleatoriafulcral.

(b) Qual o numero aproximado de baterias que deveriam ser seleccionadas se se quiserestimar o valor esperado da capacidade com um grau de confianca de 99% dentrode uma margem de erro de ±1.5 amperes-hora?Nota: Suponha que a variancia amostral e igual a variancia populacional.

30

5.19 (*) Considere uma populacao X com distribuicao N(µ, σ2) e seja (X1, . . . , Xn) umaamostra aleatoria dessa populacao.

(a) Calcule a probabilidade de o intervalo aleatorio(X − σ√

n, X + σ√

n

)conter µ.

(b) Admitindo que σ = 2, determine a menor dimensao da amostra correspondente aum intervalo de amplitude menor do que 0.3.

(c) Considerando 50 amostras, independentes, de dimensao n, obtidas da populacaoX, determine qual o numero medio de intervalos de confianca, construıdos combase naquelas amostras, que contem µ.

5.20 (*) Uma amostra de 100 pecas de uma linha de producao revelou 17 pecas defeituosas.

(a) Determine um intervalo de confianca a 95% para a verdadeira proporcao p de pecasdefeituosas produzidas indicando a variavel aleatoria fulcral utilizada.

(b) Quantas pecas adicionais devemos recolher para estarmos confiantes a 99% que oerro de estimacao de p seja menor que 2%?

31

Capıtulo 6

Testes de Hipoteses

6.1 Um gestor de producao observou uma certa caracterıstica X que segue uma distribuicaoN(µ, 22). Para estabelecer uma inferencia sobre µ fez 5 observacoes:

108 109 107.4 109.6 112

(a) Teste ao nıvel de significancia α = 5% a hipotese: H0 : µ = 109 versus H1 : µ 6= 109.

(b) Explique, sucintamente, a relacao entre α, β e n (respectivamente, erros de 1ª e2ª especie e dimensao da amostra).

(c) Calcule o p-valor associado a este teste.

6.2 Num exame de Estatıstica foram avaliados 31 alunos. Considerando estes como amostrarepresentativa da populacao dos alunos matriculados na cadeira de estatıstica e tendoem conta que, para essa amostra, se obtiveram os seguintes resultados:

31∑

i=1

xi = 299 ;31∑

i=1

(xi − x)2 = 120

(a) Com base num ensaio de hipoteses, com α = 0.05, comente a afirmacao:”A media dos resultados nao difere significativamente de 10.”

(b) Calcule o p-valor para este teste.

(c) Se a media dos resultados de todos os alunos matriculados na cadeira for na reali-dade de 11, qual a probabilidade de estar a tomar a decisao incorrecta?

6.3 O departamento de Controlo de Qualidade de uma firma produtora de conservas dealimentos, especifica que o peso lıquido medio por embalagem de certo produto deve serde 500 gramas.Experiencia passada indica que os pesos sao normalmente distribuıdos com desvio-padrao σ = 15 gramas.Se numa amostra de 20 embalagens for encontrado um peso lıquido medio de 495 gramas,constitui isso prova suficiente de que o verdadeiro peso medio e inferior ao estabelecido?(α = 5%).

6.4 Um trabalhador leva em media 7 minutos (=420 segundos) para executar certa tarefa.Um tecnico sugere uma maneira ligeiramente diferente de execucao e decide recolher

32

uma amostra para se certificar se ha realmente algum ganho de tempo.Os dados recolhidos sao os seguintes:

16∑

i=1

xi = 6528seg. ;16∑

i=1

x2i = 2673296seg2.

Pressupondo que se esta perante uma populacao normal e para o nıvel de significanciade 10%, comente a sugestao do tecnico.

6.5 Suponha que, de entre todos os alunos que frequentam um dos cursos de Engenharia doIPT foram seleccionados, ao acaso, 6 alunos e registadas as suas idades:

27 29 26 26 23 25

Admitindo que a variavel em estudo tem distribuicao normal, responda as questoesseguintes:

(a) Com base num teste de hipoteses com α = 5%, comente a afirmacao:”A media das idades nao difere significativamente de 24 anos.”

(b) Calcule o p-valor associado a este teste.

(c) Teste para um nıvel de confianca de 99% a hipotese H0 : σ = 1 versus H1 : σ > 1.

(d) Calcule o p-valor para este teste.

6.6 Admita que o trafego de informacao gerido diariamente por uma empresa de telecomu-nicacoes tem distribuicao N(µ, σ2). Para avaliar o trafego medio diario observou-se aquantidade de informacao processada em 26 dias, tendo-se constatado um volume detrafego total de 260 unidades de informacao nos 26 dias, com um desvio padrao corrigidode 2.5. Teste para α = 5% a hipotese H0 : σ = 7 versus H1 : σ 6= 7.

6.7 No fabrico de certo tipo de pecas admite-se uma variabilidade maxima nos respectivosdiametros traduzida por σ = 0.5 milımetros.Perante uma amostra de 20 pecas em que se calculou s′2 = 0.3, e de concluir que oprocesso de fabrico esta fora de controle? (isto e, que a especificacao nao esta sendorespeitada). Use α = 1%.Pressupoe-se que os diametros das pecas obedecem a uma lei normal.

6.8 Uma estacao de radio de uma vila pretende efectuar, no mesmo dia em que se realizamas Eleicoes Europeias, uma previsao da votacao num dos candidatos. As intencoes devoto serao recolhidas ”a boca da urna”, ou seja, imediatamente apos os eleitores teremvotado. A radio tem divulgado que o candidato devera ter 50% dos votos.

(a) Dos 100 inquiridos, 45 revelaram ter votado no referido candidato. Teste, para umnıvel de significancia de 5%, as expectativas da radio.

(b) Considerando que o verdadeiro valor e de 40%, calcule a probabilidade de estar aaceitar indevidamente H0.

(c) Calcule o p-valor associado a este teste.

33

6.9 O departamento de Recursos Humanos de uma grande empresa portuguesa, afirma queo numero de empregados que trabalha com uma taxa de alcoolemia superior ao permi-tido e de, apenas, 6%. Feito o teste a 100 indivıduos, este revelou-se positivo em 9.Poder-se-a concluir-se que a afirmacao do departamento de R.H. esta correcta? (consi-dere α = 1%)

6.10 Numa amostra de 100 homens de certa cidade, 38 afirmaram preferir as laminas ”Dural”.Teste a hipotese de a percentagem de homens que prefere a referida marca ser de 40%contra a alternativa de ser inferior. Utilize α = 10%.

6.11 Uma empresa de estudos de mercado esta a estudar se ha diferenca entre os salarios dostrabalhadores indiferenciados numa certa industria, em duas regioes do paıs (A e B).Os resultados obtidos foram:

Regiao A: nA=100; xA=1000; sA=26,7Regiao B: nB=200; xB= 980; sB=30,4

Se se pretender limitar a 1% o risco de rejeitar incorrectamente a hipotese de as mediasdas duas populacoes em causa sao iguais, que conclusao se podera extrair dos dados?

6.12 Para estudar dois tipos de gasolina foram recolhidas duas amostras aleatorias de 15carros do mesmo modelo e observada a distancia media (por litro) percorrida por carro.Os resultados obtidos foram:

Gasolina 1: x1=17,93; s′21=4,38Gasolina 2: x2=19,47; s′22=2,41

Com um nıvel de significancia de 5%, poder-se-a concluir que ha uma diferenca signifi-cativa entre as duas medias?

6.13 Foram usados dois tipos de adubo em dois campos experimentais, em tudo equivalentes,com o objectivo de analisar a producao de um certo tipo de plantas:

Adubo 1: n1=31; x1=12,9; s′1=2,1Adubo 2: n2=21; x2= 14,7; s′2=1,8

Sera de admitir uma variancia na producao de um certo tipo de plantas significativa-mente diferente quando se utiliza o adubo 1 ou o adubo 2? (considere α = 5%)

6.14 Foi efectuado um estudo em duas empresas do mesmo ramo de actividade sobre a pre-ferencia dos trabalhadores por dois tipos de aumentos salariais: um pacote de benefıciosextra ou um determinado aumento no salario base.Dos 150 trabalhadores da empresa 1, 75 preferiram um aumento no salario base; dos200 trabalhadores da empresa 2, 103 tambem preferiram esse aumento.Comente a seguinte afirmacao:

”A diferenca de uma empresa para a outra na proporcao de trabalhadores que preferemo acrescimo no salario base (e nao os benefıcios extra) nao difere significativamente dezero. (considere α = 1%)”.

34

Capıtulo 7

Introducao a Regressao LinearSimples

7.1 Considere os 5 pontos observados, dados na tabela:

x -2 -1 0 1 2y 0 0 1 1 3

(a) Represente graficamente os dados.

(b) Use o metodo dos mınimos quadrados para ajustar uma recta aos pontos observadose represente-a graficamente.

(c) Apresente uma estimativa da variancia do erro.

7.2 Use os valores dados abaixo para estimar as equacoes de regressao:

(a)n∑

i=1

xi=200 ;n∑

i=1

yi=300 ;n∑

i=1

xiyi=6200 ;n∑

i=1

x2i =3600 ; n=20.

(b)n∑

i=1

xi=700 ;n∑

i=1

yi=-250 ;n∑

i=1

xiyi=-1400 ;n∑

i=1

x2i =21000 ; n=30.

(c)n∑

i=1

xi=33 ;n∑

i=1

yi=207 ;n∑

i=1

xiyi=525 ;n∑

i=1

x2i =750 ; n=40.

7.3 Use os valores dados em baixo para determinar o valor de:

(a)∑

si sabendo que n = 10; s = 6.44;∑

s2i = 439.22;

∑siri = 880.66;∑

r2i = 1792.44; SQsr = 26.716;

(b)∑

xi sabendo que n = 10 ; y = 5.21 ;∑

x2i = 1560 ;

∑xiyi = 637.1 ;∑

y2i = 275.13 ; SQxx = 22.4;

(c) n sabendo que∑

xi = 64.2 ;∑

yi = 62 ;∑

x2i = 345.54 ;

∑xiyi = 341.5 ;∑

y2i = 390 ; SQxx = 2.07.

7.4 Mostre que: SQE =n∑

i=1

(yi − yi)2 = SQyy − β1SQxy. (Nota: yi = β0 + β1xi.)

35

7.5 A altura de sabao numa bacia e importante para os fabricantes de sabao. Foi efectuadauma experiencia fazendo variar a quantidade de sabao e medindo a altura da espumanuma bacia standard, depois de uma certa agitacao da agua. Os resultados obtidosforam:

gramas de sabao x 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5 7,0altura de espuma y 33 42 45 51 53 61 62

(a) Admitindo que o modelo Y = β0 + β1x + ε e satisfatorio, determine a melhorequacao da recta ajustada.

(b) Calcule s2.

(c) Pretende-se saber qual a altura da espuma de sabao quando a quantidade de sabaoe igual a 6,3 gramas.

7.6 Os dados da tabela abaixo dao a distribuicao no mercado de um produto e os gastoscom anuncios de televisao:

Mes Distribuicao no mercado Gastos com anuncios na TV(trimestre) y (%) x (milhares de contos)

Janeiro 15 230Marco 17 250Maio 13 210Julho 14 240

Setembro 16 260

(a) Determine a equacao da recta de mınimos quadrados que da a relacao entre adistribuicao no mercado e os gastos publicitarios na TV.

(b) Construa o quadro ANOVA.

(c) Estime a variancia do erro.

(d) Qual a distribuicao no mercado quando forem despendidos em publicidade 250 milcontos? E se forem dispendidos 230 mil contos?

7.7 A seguinte tabela fornece os dados de uma amostra referente ao numero de horas deestudo fora da sala de aula para um curso de estatıstica com duracao de 3 semanas,bem como as classificacoes obtidas no final do curso.

Estudante 1 2 3 4 5 6 7 8Horas de estudo x 20 16 34 23 27 32 18 22

Classificacao no exame y 64 61 84 70 88 92 72 77

(a) Calcule a equacao de regressao e interprete as estimativas de β0 e β1.

(b) Utilize a equacao de regressao para estimar a classificacao obtida por um estudanteque dedicou 30 horas de estudo fora da sala de aula.

(c) Construa o quadro ANOVA e calcule s2.

(d) Teste a adequabilidade do modelo (α = 1%).

36

7.8 Como resultado do aumento de centros comerciais suburbanos, muitos armazens do cen-tro da cidade estao a sofrer financeiramente. Um departamento de um destes armazensacha que o aumento de publicidade poderia ajudar a atrair mais compradores. Paraestudar o efeito da publicidade nas vendas obtiveram-se registos para meses de meadosdo ano durante os quais o armazem diversificou os gastos na publicidade. Esses registosencontram-se na tabela:

Despesas Publicitarias x Vendas y(milhares de escudos) (milhares de escudos)

9 3011 348 3212 377 31

(a) Estime o coeficiente de correlacao entre as vendas e os gastos publicitarios.

(b) Determine a equacao de regressao linear para estes dados.

(c) Calcule o coeficiente de determinacao. Interprete o seu significado.

(d) Teste a hipotese: H0 : β1 = 0 versus H1 : β1 6= 0 (α = 5%)

7.9 Seja Y uma variavel que representa o valor do frete rodoviario de determinada merca-doria e x a variavel distancia (em km) ao destino da mercadoria. Uma amostra de 10observacoes das variaveis apresentou os seguintes resultados:

n=10 ;n∑

i=1

xi=1200 ;n∑

i=1

yi=6480,5 ;n∑

i=1

xiyi=842060 ;n∑

i=1

x2i =186400 ;

n∑

i=1

y2i =4713304,03.

(a) Determine a recta de regressao dos mınimos quadrados.

(b) Interprete os valores estimados para β0 e β1.

(c) Calcule o coeficiente de determinacao e interprete o seu significado.

7.10 Os seguintes dados referem-se a uma amostra de vendas versus area de mostruario, paralivros num supermercado:

Livros / Dia 40 25 30 32 17 38 44 27 30 30Area de Mostruario 7.0 4.0 4.4 5.0 3.2 6.0 8.0 4.2 4.8 3.4

(a) Calcule β0 e β1 para a recta de regressao de mınimos quadrados.

(b) Construa o quadro ANOVA.

(c) Apresente uma estimativa para a variancia do erro.

(d) Estime o coeficiente de correlacao entre as vendas e a area de mostruario.

(e) Calcule o coeficiente de correlacao.

37

7.11 Uma unidade industrial ao destilar ar lıquido ”produz”oxigenio, nitrogenio e argao.Pensa-se que a percentagem de impurezas encontradas esta relacionada linearmentecom as impurezas existentes na atmosfera. Com o fim de investigar essa relacao linearregistaram-se 15 medicoes da poluicao atmosferica, em partes por milhao (ppm). Osresultados encontram-se no quadro a seguir:

x Impureza (%) y Poluicao (ppm) x2 y2 xy

6.70 1.108.00 1.457.60 1.368.30 1.596.00 1.085.40 0.756.40 1.206.90 0.996.80 0.837.10 1.227.80 1.478.70 1.819.90 2.038.40 1.758.10 1.68

Soma 112.100 20.310 856.63 29.459 157.48

(a) Ajuste o modelo, Y = β0 + β1x + ε, as observacoes.

(b) Determine o valor do coeficiente de determinacao e interprete-o.

(c) Faca uma previsao para o nıvel de poluicao na atmosfera quando a percentagemde impurezas e de 7.5.

(d) Construa o quadro ANOVA.

7.12 (*) Da analise do consumo medio de energia por agregado familiar durante 10 dias deum mes de Inverno numa cidade obtiveram-se os seguintes resultados:

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10xi 15 14 12 14 12 11 11 10 12 13yi 4.3 4.4 5.3 4.6 5.5 5.9 5.7 6.2 5.2 5.0

Admita que o modelo de regressao linear simples foi usado para estudar a relacao entreo consumo medio de energia por agregado familiar e a temperatura media diaria.

(a) Determine a recta de mınimos quadrados.

(b) Interprete as estimativas de β0 e β1.

(c) Construa a tabela ANOVA.

7.13 (*) Numa fabrica deseja-se estimar o valor esperado do custo total para produzir umitem, E(Y ), como funcao do numero de unidades produzidas (x). Apos um certo perıodo

38

de observacao, foi possıvel obter:

7∑

i=1

xi=1084 ;7∑

i=1

yi=1331 ;7∑

i=1

xiyi=251519 ;7∑

i=1

x2i =205096 ;

7∑

i=1

y2i =313513.

Admitindo que as variaveis em causa estao relacionadas de acordo com o modelo deregressao linear simples:

(a) Escreva a equacao da recta de regressao estimada e interprete as estimativas β0 eβ1.

(b) Acha que a variabilidade registada no custo total de producao do item e bemexplicada pelo numero de unidades produzidas? Justifique.

7.14 (*) Dez varas de aco de diametro 0.5mm e de comprimento 2.5m foram submetidasa umm teste laboratorial para analise do alongamento quando submetidas a forcasverticais dee varias intensidades. Os resultados obtidos foram:

Forca (f - kg) 15 19 25 35 42 48 53 56 62 65Aumento no comprimento (c - mm) 1.7 2.1 2.5 3.4 3.9 4.9 5.4 5.7 6.6 7.2

10∑

1

f=420 ;10∑

1

c=43.4 ;10∑

1

f ∗ c=2128.5 ;10∑

1

f2=20518 ;10∑

1

c2=221.38

(a) Utilizando o metodo dos mınimos quadrados, escreva a equacao da recta de re-gressao estimada.

(b) Construa a tabela ANOVA.

(c) Analise o grau de associacao linear entre as duas variaveis.

39