Processamento de Sinais (2004/2005)

Instituto Superior Tecnico – Engenharia Aeroespacial

Serie de Problemas 1Sinais e Sistemas em Tempo Discreto, Transformada de Fourier

Problema 1.[Relacoes elementares entre sinais] Considere o sinal

0 1 2n

x[n]

Exprima cada um dos seguintes sinais a[n], b[n], c[n] e d[n] em funcao de x[n]:

0 0

00

a[n] b[n]

c[n] d[n]

Problema 2.[Tipo de sistemas] Indique, justificando, se cada um dosseguintes sistemas y[n] = F x[n] e linear, invariante no tempo, estavel ou

1

causal:(a) y[n] = 1

3 (x[n] + x[n − 1] + x[n − 2])(b) y[n] = 1

3 (x[n − 1] + x[n] + x[n+ 1])(c) y[n] = cos(x[n − 2])(d) y[n] = n2 x[n+ 1](e) y[n] = mediana(x[n − 1], x[n], x[n+ 1])(f) y[n] = x[4n].

Problema 3.[Convolucao de sinais] Calcule o sinal y[n] = (xh)[n] onde representa convolucao:

(a)

x[n] =

0 , n ≤ −31 , n = −2

−2 , n = −11 , n = 02 , n = 10 , n ≥ 2

h[n] =

0 , n ≤ −11 , n = 01 , n = 12 , n = 20 , n ≥ 3

(b)

x[n] = anu[n] (a ∈ C) h[n] =

0 , n ≤ −31 , −2 ≤ n ≤ 50 , n ≥ 6

Problema 4.[Transformada de Fourier] Calcule a transformada de Fouri-er dos seguintes sinais (onde a ∈ C):

(a)

x[n] =

an ; 0 ≤ n ≤ N − 10 ; caso contrario

(b) x[n] = anu[n − n0], com |a| < 1 e n0 ∈ Z

(c) x[n] = nanu[n], com |a| < 1.

Problema 5.[Transformada de Fourier] Use a igualdade

∞∑n=−∞

ejωn = 2π∞∑

k=−∞δ(ω − 2kπ)

2

para calcular a transformada de Fourier dos seguintes sinais:(a) x[n] = 1(b) x[n] = ejω0n

(c) x[n] = A cos(ω0n + φ0)(d) x[n] =

∑∞m=−∞ δ[n − mN ], onde N ∈ N.

Problema 6.[Transformada de Fourier inversa] Calcule a transformadade Fourier inversa dos seguintes sinais:

(a) X(ejω) = cos(Nω), onde N ∈ 0, 1, 2, . . .(b) [Filtro passa-baixo ideal]

X(ejω) =

1 , |ω| ≤ ωc

0 , ωc < |ω| ≤ π

(c) X(ejω) =

1− |ω|

ωc, |ω| ≤ ωc

0 , ωc < |ω| ≤ π

(d) X(ejω) = 1(1− ae−jω)m

, com |a| < 1 e m ∈ N

Problema 7.[Propriedades da Transformada de Fourier] Seja X(ejω)a transformada de Fourier do sinal

x[n] = −3δ[n+ 3] + δ[n+ 1]− δ[n] + 5δ[n − 2]− 3δ[n − 5].

Sem calcular X(ejω), determine:(a) X(ej0)(b) X(ejπ)(c)

∫ π−π X(ejω) dω

(d)∫ π−π |X(ejω)|2dω.

Problema 8.[Propriedades da Transformada de Fourier] Suponhaque as transformadas de Fourier dos sinais x[n] e y[n] satisfazem a igualdade:

Y (ejω) = X(ejω) +X(ej(ω−π)).

Mostre que, independentemente de x[n], tem-se y[n] = 0 para n ımpar.

Problema 9.[Aplicacao da Transformada Fourier] Considere um sis-tema em tempo discreto com entrada x[n] e saıda y[n] descrito pela equacaoas diferencas

y[n]− 14y[n − 1] = x[n],

3

com condicao inicial y[−1] = 0. Calcule a saıda do sistema para as seguintesentradas:

(a) x[n] = (12)

nu[n](b) x[n] = (1

4)nu[n].

Problema 10.[Aplicacao da Transformada Fourier] Considere os seguintessinais:

r[n] =

1 ; 0 ≤ n ≤ N − 10 ; caso contrario

, t[n] =

n ; 0 ≤ n ≤ N − 10 ; caso contrario

.

(a) Expresse o sinal r[n] em termos do sinal t[n].(b) Utilize a expressao encontrada na alınea anterior para provar que

N−1∑n=1

n =N(N − 1)

2.

Problema 11.[Supressor de interferencias] Suponha que observa umafonte que gera sinais x[n] da forma

x[n] =K∑

k=1

Mkejωkn, (1)

onde Mk ∈ C e |ωk| < π para k = 1, . . . , K, e ωk = ωl para k = l.Alem do sinal x[n], as frequencias ωk sao conhecidas por si, mas as

amplitudes Mk nao. Proponha um sistema linear e invariante no tempo queisole a l-esima (onde l ∈ 1, 2, . . . , K) contribuicao do sinal x[n] e canceletodas as outras. Isto e, a saıda do seu sistema devera ser y[n] = Mle

jωln

quando alimentado por sinais da forma (1).

4

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Serie de Problemas 2Transformada Z

Problema 1.[Transformada Z] Para cada um dos seguintes sinais x[n],calcule a sua transformada Z, indique a respectiva regiao de convergencia eassinale os seus zeros e polos no plano complexo.

(a) x[n] = (−3)nu[n]− 5nu[−n− 1](b) x[n] = δ[n− 1] + 2nu[n](c) x[n] = nu[n](d) x[n] = −nu[−n− 1](e) x[n] = a|n|, onde a ∈ C e |a| < 1(f) x[n] = A cos(ω0n)u[n], com A ∈ C e ω0 ∈ R

(g) x[n] = rN [n]

(h) x[n] =N − |N − n− 1| , 0 ≤ n ≤ 2(N − 1)

0 , caso contrario[Pista: Note que x[n] = (rN rN )[n].]

Problema 2.[Transformada Z: regioes de convergencia] A transfor-mada Z da resposta impulsiva h[n] de um SLIT e dada por

H(z) =(z − a)

(z − b)(z − c) ,

onde a, b, c ∈ C, a = b = c = 0 e |b| < |c|.(a) Suponha que h[n] e uma sequencia unilateral direita. Qual a condicao

sobre a, b, c que garante a estabilidade do SLIT ?(b) Repita a alınea anterior supondo agora que h[n] e uma sequencia

unilateral esquerda.(c) Qual a condicao sobre a, b, c para que o SLIT inverso H(z)−1 seja

estavel com resposta impulsiva unilateral direita ?(d) Qual a condicao sobre a, b, c para que ambos os SLITs H(z) e H(z)−1

sejam estaveis com respostas impulsivas unilaterais direitas ?(e) Suponha que h[n] e uma sequencia bilateral. Qual a condicao so-

bre a, b, c para que o SLIT H(z) seja estavel e o SLIT H(z)−1 seja estavel

1

com resposta impulsiva unilateral esquerda ?

Problema 3.[Transformada Z inversa] Determine os sinais x[n] que cor-respondem as seguintes transformadas Z:

(a) X(z) = −1−2z−1

2−7z−1+3z−2 , RC = z : 0 ≤ |z| < 1/2(b) X(z) = −1−2z−1

2−7z−1+3z−2 , RC = z : 1/2 < |z| < 3(c) X(z) = −1−2z−1

2−7z−1+3z−2 , RC = z : 3 < |z| ≤ ∞(d) X(z) = 2z3−5z2+2z+2

(z−1)(z−2) , RC = z : 2 < |z| <∞(e) X(z) = r sin θz−1

1−2r cos θ z−1+r2z−2 , RC = z : r < |z| ≤ ∞(f) X(z) = (z2 − z + 2)(π − z−1)(3 + 2z−2), RC = z : 0 < |z| <∞(g) X(z) = e1/z, RC = z : 0 < |z| ≤ ∞(h) X(z) = log(1− az−1), com a ∈ C e RC = z : |a| < |z| ≤ ∞[Pista: para w ∈ C com |w| < 1, tem-se log(1 − w) = −∑+∞

n=11nw

n.]

(i) X(z) = ez2

sin z , RC = z : 0 < |z| < π(j) X(z) = 1

ez−1 , RC = z : 0 < |z| < 2π

Problema 4.[Um sinal nao pode ser, simultaneamente, limitado notempo e na frequencia] Seja X(ejω) a transformada de Fourier de x[n].Suponha que x[n] e limitado na frequencia, isto e, existe 0 < ωc < π tal queX(ejω) = 0, para ωc ≤ |ω| < π. Mostre que x[n] nao pode ser limitado notempo, ou seja, nao pode existir N ≥ 0 tal que x[n] = 0 para |n| ≥ N .

Problema 5.[Resposta a SLITs] Considere um sistema descrito pelaequacao as diferencas lineares e de coeficientes constantes

y[n]− 12y[n− 1] = x[n].

Suponha que o sistema esta inicialmente em repouso.(a) Calcule a funcao de transferencia do SLIT e assinale os respectivos

zeros e polos no plano complexo(b) Calcule a resposta y[n] do sistema a entrada x[n] = δ[n](c) Calcule a resposta y[n] do sistema a entrada x[n] = u[n](d) Calcule a resposta y[n] do sistema a entrada x[n] =

(12

)nu[n]

(e) Calcule a resposta y[n] do sistema a entrada x[n] = nu[n]

Problema 6.[Teorema do valor inicial e final] Considere um SLIT comfuncao de transferencia

H(z) = κ(z − 2) (z − b)(z − 1

2

)(z − b∗) ,

2

onde |b| < 1.Sabe-se que h[0] = 2 e que a resposta do SLIT ao escalao unitario u[n]

converge para 2√

2(1 + j) quando n→ +∞. Determine κ e b.

Problema 7.[Aplicacao da transformada Z] Mostre que

∞∑n=1

rn sin(nθ) =r sin θ

1− 2r cos θ + r2,

onde 0 ≤ r < 1. [Pista: use a solucao do problema 3(e).]

Problema 8.[Passa-tudo] Consider um SLIT com funcao de transferencia

H(z) =z−1 − a∗1 − az−1 ,

onde a ∈ C.(a) Mostre que H(z)H

(1z∗

)∗ = 1(b) Mostre que |H(ejω)| = 1, para todo o ω(c) Seja X(z) = z − a. Assinale no plano complexo os zeros e polos de

X(z) e X(z)H(z) com a = 2 + j.

Problema 9.[Propriedades da correlacao] Sejam x[n] e y[n] sinais noespaco vectorial 2, ou seja, ‖x‖2 <∞ e ‖y‖2 <∞, onde

‖x‖p =

(+∞∑

n=−∞|x[n]|p

)1/p

, (p ≥ 1).

A correlacao cruzada do sinal x[n] com o sinal y[n] e definida como o sinal

rxy[n] =∞∑

k=−∞x[k]y[k − n]∗.

A autocorrelacao do sinal x[n] e dada por rxx[n]. Demonstre as seguintespropriedades:

(a) rxy[−n] = ryx[n]∗

(b) |rxy[n]|2 ≤ rxx[0] ryy[0], para qualquer n ∈ Z

[Pista: utilize a desigualdade de Cauchy-Schawrz para sinais em 2: sea[n] e b[n] pertencem a 2 entao∣∣∣∣∣

+∞∑n=−∞

a[n]b[n]∗∣∣∣∣∣ ≤ ‖a‖2 ‖b‖2 . ]

3

(c) Rxy(z) = X(z)Y(

1z∗

)∗, onde Rxy(z) e a transformada Z de rxy[n]

(d) Mostre que a correlacao cruzada rxy[n] nao se altera apos os sinaisx[n] e y[n] passarem ambos por um SLIT com funcao de transferencia

H(z) =z−1 − a∗1 − az−1 , a ∈ C.

Ou seja, se x[n] = (x h)[n] e y[n] = (y h)[n], entao rxy[n] = rxy[n][Pista: note o problema 8(a) ](e) rxy[n] e a nesima amostra da convolucao dos sinais x[n] e y[−n]∗(f) rxx[0] ≥ 0(g) Rxx(ejω) = |X(ejω)|2 ≥ 0.(h) Intuitivamente, a amostra rxy[n] mede a “semelhanca”entre o sinal

x[k] e o sinal y[k] atrasado de n unidades. Confirme esta interpretacao parasinais reais x[n] e y[n] (ou seja, x[n], y[n] ∈ R, para todo o n), mostrandoque

+∞∑k=−∞

|x[k]− y[k − n]|2 = rxx[0] + ryy[0]− 2rxy[n].

Problema 10.[Gerador de sinais] Suponha que dispoe de um geradorde sinais que lhe permite gerar combinacoes lineares de K sinais “basicos”b1[n], b2[n], . . ., bK [n] (bk[n] ∈ R, para todo o k e n), ou seja, sinais da forma

a1b1[n] + a2b2[n] + · · ·+ aKbK [n],

onde a1, a2, . . . , aK ∈ R sao escolhidos por si.Pretende-se gerar (aproximadamente) um sinal “desejado” d[n] a custa

desse gerador. O criterio para a escolha dos coeficientes a1, a2, . . . , aK e aminimizacao da norma-2 do sinal de erro

e[n] = d[n]︸︷︷︸sinal desejado

− (a1b1[n] + a2b2[n] + · · ·+ aKbK [n])︸ ︷︷ ︸sinal proveniente do gerador

.

Ou seja, pretende-se escolher a1, a2, . . . , aK de modo a minimizar o fun-cional

J(a1, a2, . . . , aK) =+∞∑

n=−∞|e[n]|2.

(a) Mostre que os coeficientes optimos (a1, a2, . . . , aK) que minimizam ofuncional J sao solucoes do sistema linear

rb1b1 [0] rb1b2 [0] · · · rb1bK

[0]rb2b1 [0] rb2b2 [0] · · · rb2bK

[0]...

... · · · ...rbKb1 [0] rbKb2 [0] · · · rbKbK

[0]

a1

a2...aK

=

rdb1 [0]rdb2 [0]

...rdbK

[0]

,

4

onde rxy[n] e a correlacao cruzada do sinal x[n] com o sinal y[n] (veja oproblema 9 para a sua definicao)

(b) Suponha que os sinais “basicos” b1[n], b2[n], . . . , bK [n] sao apenasversoes deslocadas no tempo de um sinal prototipo b[n]. Mais precisamente,suponha que

bk[n] = b[n− (k − 1)], k = 1, 2, . . . ,K.

Mostre que os coeficientes optimos (a1, a2, . . . , aK) que minimizam o fun-cional J sao solucoes do sistema linear

rbb[0] rbb[1] · · · rbb[K − 1]rbb[1] rbb[0] · · · rbb[K − 2]

......

. . ....

rbb[K − 1] rbb[K − 2] · · · rbb[0]

a1

a2...aK

=

rdb[0]rdb[1]

...rdb[K − 1]

.

5

Processamento de Sinais (2004/2005)

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Serie de Problemas 3Amostragem

Problema 1.[Ilustracao elementar do efeito de aliasing] Considere osinal em tempo-contınuo x(t) = cos(2πf0t) com f0 = 400 Hz.

(a) Calcule X(jΩ), a transformada de Fourier de x(t), e represente-agraficamente.

(b) Suponha que x(t) foi amostrado, com frequencia de amostragemfs = 2.4 KHz, tendo-se obtido o sinal em tempo discreto x[n] = x(n/fs).Determine X(ejω), a transformada de Fourier de x[n], e represente-a grafi-camente. Obtenha x[n] a partir de X(ejω).

(c) Repita a alınea anterior para a frequencia de amostragem fs = 480 Hz.

Problema 2.[Amostragem de sinais contınuos: amostrador ideal]Considere o amostrador ideal ilustrado na figura 1.

x(t)

T

y(t)

Figura 1: [Problema 1] Amostrador ideal

Portanto,

y(t) =+∞∑

n=−∞x(nT ) δ(t− nT ).

(a) Sejam X(jΩ) e Y (jΩ) as transformadas de Fourier de x(t) e y(t),respectivamente. Mostre que

Y (jΩ) =1T

+∞∑n=−∞

X

(j

(Ω− n2π

T

)).

(b) Para X(jΩ) representado na figura 2, represente graficamente Y (jΩ)para T = 1/200 s, T = 1/100 s e T = 1/75 s. Identifique os casos em que

1

−100π −50π 50π 100πΩ

12

1

X(jΩ)

Figura 2: [Problema 2] Sinal X(jΩ)

ocorre aliasing.

Problema 3.[Processamento discreto de sinais contınuos] Seja x(t) =a(t) + b(t), onde a(t) e b(t) sao dois sinais em tempo-contınuo cujas trans-formadas de Fourier A(jΩ) e B(jΩ) estao contidas nos intervalos IA =[−500π; 500π] e IB = [−750π;−600π] ∪ [600π; 750π], respectivamente. Vejaa figura 3 para um exemplo.

−500π 500π

A(jΩ)

Ω

Ω

B(jΩ)

600π 750π−600π−750π

Figura 3: [Problema 3] Exemplo para A(jΩ) e B(jΩ)

Pretende-se processar o sinal x(t) de modo a isolar a contribuicao b(t) eatenua-la por um factor 1

3 , usando o esquema de processamento em tempo-discreto ilustrado na figura 4.

O SLIT H(ejω) na figura 4 e um filtro passa-banda ideal e esta repre-sentado na figura 5.

(a) Qual o perıodo de amostragem T maximo que evita aliasing no sinalx[n] ?

(b) Suponha que T = 1 ms. Represente graficamenteX(ejω). Dimensione

2

+

a(t)

b(t)

C/D D/C

TT

H(ejω)x(t)

13b(t)

x[n]

Figura 4: [Problema 3] Esquema de processamento para isolar e atenuar b(t)

G

−π πω1 ω2−ω1−ω2

H(ejω)

ω

Figura 5: [Problema 3] Resposta em frequencia do SLIT H(ejω)

o ganho G e as frequencias ω1 e ω2 do filtro H(ejω) de modo a realizar atarefa pretendida.

Problema 4.[Processamento discreto de sinais contınuos] Seja x(t)um sinal de banda limitada, com frequencia maxima fN = 3.5 KHz. Pretende-se efectuar o processamento indicado na figura 6, usando a estrutura emtempo-discreto da figura 7 com T = 0.1 ms.

H(jΩ)x(t) y(t)

Figura 6: [Problema 4] Processamento em tempo-contınuo

O filtro H(jΩ) da figura 6 esta representado na figura 8.Proponha uma resposta impulsiva h[n] que cumpra a tarefa desejada.

Problema 5.[Aplicacao do Teorema da Amostragem: integracao]Seja x(t) um sinal em tempo-contınuo tal que a sua transformada de Fourier

3

C/D D/C

TT

h[n] ↔ H(ejω)x(t) y(t)

Figura 7: [Problema 4] Processamento em tempo-discreto

1

H(jΩ)

−9000π −8000π −6000π 6000π 8000π 9000πΩ

Figura 8: [Problema 4] Filtro H(jΩ)

satisfaz X(jΩ) = 0 para |Ω| > ΩN . Mostre que

∫ +∞

−∞x(t)dt =

+∞∑n=−∞

x(nT )T,

para qualquer T que satisfaca TΩN < π. Interprete graficamente a igualdadeacima.

Problema 6.[Reconstrucao: ideal vs pratica] Seja x(t) um sinal debanda-limitada com frequencia maxima ΩN , isto e, X(jΩ) = 0 para |Ω| >ΩN . Seja x[n] = x(nT ) a sequencia resultante da amostragem de x(t), comperıodo de amostragem T .

(a) Seja h(t) um qualquer sinal em tempo contınuo, com transformadade Fourier H(jΩ). Mostre que o sinal y(t) =

∑+∞n=−∞ x[n]h(t−nT ) pode ser

obtido usando o esquema de processamento na figura 9, onde p(t) representaum pente de impulsos modulados por x[n] e equi-espacados de T segundos,isto e,

p(t) =+∞∑

n=−∞x[n] δ(t− nT ).

4

x[n] Conversao parapente de impulsos p(t)

T

y(t)H(jΩ)

Figura 9: [Problema 6] Reconstrucao de um sinal contınuo

(b) Sejam X(ejω) e P (jΩ) as transformadas de Fourier dos sinais x[n]e p(t), respectivamente. Mostre que, para o esquema de reconstrucao dafigura 9, se tem

P (jΩ) = X(ejΩT )

e

P (jΩ) =1T

+∞∑n=−∞

X

(j

(Ω− n2π

T

)).

(c) [Reconstrucao ideal] Considere X(jΩ) representado na figura 10.

−200π −100π 100π 200πΩ

12

1

X(jΩ)

Figura 10: [Problema 6] Sinal X(jΩ)

Para T = 1/100 s, T = 1/200 s, T = 1/400 s e T = 1/800 s: representegraficamente P (jΩ) e Y (jΩ), quando se usa o filtro de reconstrucao ideal,ou seja, H(jΩ) = Hideal(jΩ) onde

Hideal(jΩ) =T , |Ω| < π

T0 , caso contrario

.

Para que valores de T se verifica y(t) = x(t) ?(d) [Reconstrucao pratica: ZOH (Zero-Order Hold)] O filtro de

reconstrucao ideal e irrealista por causa da transicao abrupta para zero. Napratica, um dos filtros de reconstrucao usados e o filtro ZOH (Zero-OrderHold), com resposta impulsiva

hZOH(t) =

1 , 0 ≤ t ≤ T0 , caso contrario

.

5

Calcule HZOH(jΩ) e compare-a com a resposta em frequencia do filtro de re-construcao idealHideal(jΩ). Repita a alınea anterior comH(jΩ) = HZOH(jΩ).

(e) [Reconstrucao pratica: ZOH (Zero-Order Hold). Com-pensacao com pos-filtragem] Considere o esquema de reconstrucao nafigura 9 com H(jΩ) = HZOH(jΩ). Pretende-se compensar a distorcao dofiltro ZOH com uma pos-filtragem de y(t), como mostra a figura 11.

y(t) G(jΩ) r(t)

Figura 11: [Problema 6] Compensacao do ZOH com pos-filtragem por G(jΩ)

O filtro G(jΩ) esta representado na figura 12.

−200π−700π 200π 700πΩ

1

G(jΩ)

Figura 12: [Problema 6] Filtro G(jΩ)

Para T = 1/100 s, T = 1/200 s, T = 1/400 s e T = 1/800 s: determinese existe aliasing em r(t) e se r(t) = x(t).

Problema 7.[Reconstrucao de sinais contınuos] Seja x[n] um sinalqualquer em tempo-discreto.

(a) Proponha um sinal x(t) de banda-limitada com frequencia maximafN = 1000 Hz, tal que

x (nT ) = x[n], para n = 0,

onde T = 0.5 ms.(b) A solucao que deu na alınea anterior e unica ?

Problema 8.[Processamento discreto de sinais contınuos/Aumentodo ritmo de amostragem] Considere o esquema de processamento dafigura 13.

Os 2 filtros G(ejω) e H(ejω) sao dados por

G(ejω) = jω

T, para |ω| < π, H(ejω) =

L , para |ω| < π

L0 , para πL < |ω| < π .

6

C/Dx(t)

T

x[n]G(ejω)

w[n]↑ L

r[n]H(ejω) y[n]

Figura 13: [Problema 8] Esquema de processamento

Aqui, L e um inteiro positivo.(a) Para x(t) = cos(t), T = π/2, e L = 2, determine os sinais x[n], w[n],

r[n], y[n] e as respectivas transformadas de Fourier.(b) Seja x(t) um sinal em tempo-contınuo de banda limitada, ou seja,

X(jΩ) = 0 para |Ω| > ΩN , para um certo ΩN . Se T verificar ΩNT < π,mostre que, para o esquema da figura 13, se tem

y[n] =d

dtx(t)

∣∣∣∣t=nT/L

.

(c) Proponha um esquema de processamento equivalente ao da figura 13,mas que utiliza apenas 1 filtro.

Problema 9.[Recuperacao de sinais] Seja x(t) um sinal de banda lim-itada com frequencia maxima fN = ΩN/(2π) = 4 KHz. Um exemploencontra-se representado na figura 14.

−ΩN ΩN

1

X(jΩ)

Ω

Figura 14: [Problema 9] Exemplo de transformada de Fourier de x(t)

O sinal x(t) foi amostrado tendo-se obtido o sinal em tempo-discretox[n] = x(n/fs). A frequencia de amostragem adoptada foi fs = 32 kHz.

(a) Represente graficamente X(ejω), a transformada de Fourier de x[n],quando X(jΩ) e dado pela figura 14.

(b) O sinal x[n] foi posteriormente corrompido: perderam-se todas asamostras com n multiplo de 4, tendo sido substituıdas por 0. Ou seja,designando por y[n] o sinal x[n] apos a danificacao, temos

y[n] =

0 , n = 0,±4,±8,±16, . . .x[n] , caso contrario

7

Seja Y (ejω) a transformada de Fourier de y[n]. Determine Y (ejω) emfuncao de X(ejω). Represente graficamente Y (ejω), quando X(jΩ) e dadopela figura 14.

(c) Proponha um esquema de processamento em tempo-discreto que per-mita recuperar x[n] a partir de y[n], ver figura 15.

Danificacao ?x[n] y[n]

x[n]x(t) C/D

T

Figura 15: [Problema 9] Regeneracao de x[n] a partir de y[n]

8

Processamento de Sinais (2004/2005)

Instituto Superior Tecnico – Engenharia Aeroespacial

Serie de Problemas 4Resposta em Frequencia

Problema 1.[Resposta em Amplitude e Fase] Considere o SLIT de-scrito por

y[n] =13

(x[n] + x[n − 1] + x[n − 2]) .

(a) Determine a resposta impulsiva h[n] do SLIT.(b) Determine H(z) e desenhe o respectivo mapa de zeros e polos no

plano complexo.(c) Determine a resposta em frequencia H(ejω).(d) Determine a resposta em amplitude |H(ejω)| e a resposta em fase

∠H(ejω). Represente-as graficamente para |ω| < π. (i) Trata-se de umfiltro de fase linear ? (ii) Trata-se de um filtro de fase linear generalizada ?Caso afirmativo, determine o respectivo atraso de grupo.

(e) Repita as alıneas (a)-(d) para o SLIT

y[n] = x[n] + x[n − 1] − x[n − 2] − x[n − 3].

(f) Repita as alıneas (a)-(d) para o SLIT

y[n] = x[n] + 3x[n − 1] + x[n − 2].

Problema 2.[Transformacao Passa-Baixo em Passa-Alto] Seja h[n] aresposta impulsiva de um SLIT e H(ejω) a respectiva resposta em frequencia.

(a) Seja g[n] = (−1)nh[n]. Relacione G(ejω) com H(ejω).(b) Para

h[n] =sin(ωcn)

πn

represente graficamente H(ejω) e G(ejω).

Problema 3.[Transformacao de Filtros] Seja h[n] a resposta impulsivade um filtro passa-baixo ideal com ganho A e frequencia de corte ωc.

(a) Seja g[n] = h[Mn], onde M e um inteiro positivo. Supondo ωc < π/Mdetermine G(ejω) e faca uma representacao grafica. Qual a selectividade

1

na frequencia (passa-baixo, passa-alto, passa-banda, etc) exibida pelo filtroG(ejω) ?

(b) Seja

g[n] =

h[n/L] , para n multiplo de L0, caso contrario

onde L e um inteiro positivo. Determine G(ejω) e faca uma representacaografica para o caso L = 2. Para L = 2, qual a selectividade na frequencia(passa-baixo, passa-alto, passa-banda, etc) exibida pelo filtro G(ejω) ?

Problema 4.[Aproximacao de Filtros] Deseja-se aproximar um filtrocom resposta impulsiva infinita h[n] por um filtro com resposta impulsivafinita g[n] com g[n] = 0 para n < 0 e n > N . O criterio de aproximacaoadoptado e o erro quadratico das respectivas respostas em frequencia

ε(g) =∫ π

−π|H(ejω) − G(ejω)|2 dω.

Mostre que, para este criterio, o filtro optimo e dado por g[n] = h[n]para 0 ≤ n ≤ N .

Problema 5.[Decomposicao de filtros: fase-mınima e passa-tudo]Para cada uma das seguintes funcoes de transferencia H(z) exiba uma fac-torizacao H(z) = Hmin(z)Hap(z) onde Hmin(z) e um sistema de fase-mınimae Hap(z) e um sistema passa-tudo.

(a)

H(z) =1 − 3z−1

(1 + 0.5z−1)(1 + 2z−1)

(b)

H(z) =(1 + 0.5z−1)

(1 − 4z−2)z−3

(c)

H(z) =1 − 5z−1

(1 − 0.5z−1)(1 − 2z−1)

Problema 6.[Propriedades dos filtros do tipo 1,2,3,4] Considere umfiltro de fase linear generalizada com resposta em frequencia

H(ejω) = A(ejω)e−jωα+jβ.

2

(a) Mostre que, para filtros do tipo 1 e 3, A(ejω) e uma funcao periodicade ω com perıodo 2π.

(b) Mostre que, para filtros do tipo 2 e 4, A(ejω) e uma funcao periodicade ω com perıodo 4π.

(c) Mostre que, para filtros do tipo 1, o numero de zeros em z = 1 ez = −1 e par.

(d) Mostre que, para filtros do tipo 2, o numero de zeros em z = 1 e pare o numero de zeros em z = −1 e ımpar.

(e) Mostre que, para filtros do tipo 3, o numero de zeros em z = 1 ez = −1 e ımpar.

(f) Mostre que, para filtros do tipo 4, o numero de zeros em z = 1 eımpar e o numero de zeros em z = −1 e par.

Problema 7.[Funcao de transferencia: filtros do tipo 1,2](a) Seja h[n] um filtro do tipo 1 (com coeficientes em R) de comprimento

M = 10. Sabe-se que H(z) tem zeros em z = 0.5j, z = 0.5 e z = 0.3 + 0.5j.Determine H(z).

(b) Seja h[n] um filtro do tipo 2 (com coeficientes em R) de comprimentoM = 7. Sabe-se que H(z) tem zeros em z = (−1 + j

√3)/2, z = j e z = 4.

Determine H(z).

Problema 8.[Aproximacao de filtros: programacao linear] Pretende-se usar um filtro do tipo 1 (com coeficientes em R) para aproximar um filtrodo tipo passa-banda, com ganho unitario na banda passante [ω1, ω2] onde0 < ω1 < ω2 < π. Formule este problema de desenho de filtro como umproblema de optimizacao linear.

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Serie de Problemas 5Estruturas de Sistemas Discretos

Problema 1.[Estruturas diversas para implementacao de SLITs]Considere o SLIT causal com funcao de transferencia

H(z) =1− 1

5z−1(1− 1

2 z−1 + 13 z−2

) (1 + 1

4 z−1) .

Determine os grafos de fluxo que correspondem a realizacao deste sis-temas nas seguinte formas:

(a) Forma directa I(b) Forma directa II(c) Cascata de sistemas de 1a e 2a ordem(d) Paralelo de sistemas de 1a e 2a ordem(e) Forma directa II transposta.

Problema 2.[SLIT desconhecido] Considere o SLIT cujo grafo de fluxose encontra na figura 1.

x[n]

y[n]

−12

38

2

−78

z−1

z−1

z−1z−1

z−1

Figura 1: SLIT [Problema 2]

1

(a) Determine a funcao de transferencia do sistema.(b) Escreva a EDLCC correspondente.(c) Apresente uma realizacao alternativa para este sistema que utilize

menos elementos de atraso (em comparacao com a estrutura da figura 1).

Problema 3.[Implementacoes recursivas] Considere o SLIT dado por

y[n] = x[n] + αx[n − 1] + α2x[n − 2] + · · ·+ αN−1x[n − N + 1],

onde α e um numero real nao-nulo.(a) Determine o grafo de fluxo do SLIT para uma realizacao na forma

directa.(b) Para a realizacao da alınea anterior, quantas adicoes e multiplicacoes

sao executadas por amostra da saıda ?(c) Apresente uma realizacao alternativa que utilize apenas 2 adicoes e 2

multiplicacoes por amostra da saıda (independentemente de N).

Problema 4.[Realizacao de polos conjugados: precisao finita] Esteproblema considera uma estrutura distinta da forma directa II para imple-mentacao de polos conjugados com aritmetica de precisao finita.

(a) Obtenha a funcao de transferencia que corresponde ao grafo de fluxoda figura 2.

x[n] y[n]

−r2

2r cos θ

z−1

z−1

Figura 2: SLIT [Problema 4 (a)]

(b) Obtenha a funcao de transferencia que corresponde ao grafo de fluxoda figura 3.(c) Comente as vantagens e desvantagens de ambas as estruturas tendo em

conta: numero de multiplicacoes por amostra de saıda, localizacoes possıveis

2

x[n]

y[n]

r sin θ−r sin θ

r cos θ

r cos θ

z−1

z−1

Figura 3: SLIT [Problema 4 (b)]

para os polos do sistema, etc.

Problema 5.[Sensibilidade dos zeros face a erros de quantizacao decoeficientes] Deseja-se implementar o SLIT com funcao de transferencia

H(z) = 1−N∑

n=1

anz−n,

ou, em termos dos zeros,

H(z) =N∏

n=1

(1− znz−1).

Assuma que os zeros sao todos distintos: zn = zm para n = m. Quandoos coeficientes an de H(z) sao quantizados, o SLIT que e de facto imple-mentado corresponde a

H(z) = 1−N∑

n=1

anz−n

ou, em termos dos zeros,

H(z) =N∏

n=1

(1− znz−1).

3

O objectivo deste problema e aferir como se repercute nos zeros a quan-tizacao an → an.

(a) Mostre que

zn zn +N∑

k=1

zN−kn∏

j =n(zn − zj)(ak − ak).

(b) Como aplicacao do resultado da alınea anterior, considere que se pre-tende implementar um sistema H(z) com um padrao de zeros (conjugados)ilustrado na figura 4. (Nota: este padrao e tıpico dos sistemas FIR com faselinear generalizada).

Figura 4: Zeros de H(z) [Problema 5]

Tendo em vista uma implementacao de H(z) com coeficientes com pre-cisao finita, qual das configuracoes e mais vantajosa: (i) forma directa ou(ii) cascata de 2 sistemas de 2a ordem (quais?) ?

4

Processamento de Sinais (2004/2005)

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Serie de Problemas 6Serie de Fourier Discreta (DFS) e Transformada de Fourier Discreta (DFT)

Problema 1.[Sinais periodicos: DFS] Para cada um dos seguintes sinaisperiodicos, determine o seu perıodo e a respectiva representacao em serie deFourier discreta:

(a) x[n] = cos(

π4 n

)(b) x[n] = cos

(π4 n

)+ 2 sin

(π3 n

)(c) x[n] = cos2

(π5 n

).

Problema 2.[Sinais duracao finita: DFT] Calcule a DFT de N pontosdos seguintes sinais:

(a) x[n] = δ[n − n0] onde 0 ≤ n0 ≤ N − 1

(b) x[n] =

1, para n par0, caso contrario

. Assuma que N e par

(c) x[n] = cos(

π4 n

). Assuma que N = 8

(d) x[n] = an.

Problema 3.[Propriedades da DFT] Seja x[n] uma sequencia de com-primento N e X[k] a respectiva DFT de N pontos. Definam-se as sequenciasde comprimento N xep[n] e xop[n] dadas por

xep[0] = Re x[0]

xep[n] =12

(x[n] + x∗[N − n]) 1 ≤ n ≤ N − 1

xop[0] = jIm x[0],

xop[n] =12

(x[n] − x∗[N − n]) 1 ≤ n ≤ N − 1

e sejam Xep[k] e Xop[k] as respectivas DFTs de N pontos. Note que x[n] =xep[n] + xop[n].

(a) Mostre que Xep[k] e uma sequencia real e Xop[k] e uma sequenciaimaginaria.

(b) Mostre que ReX[k] = Xep[k] e que jImX[k] = Xop[k](c) Para as seguintes sequencias de comprimento N = 8 indique, sem

calcular as DFTs, aquelas que possuem DFTs reais e aquelas que possuem

1

DFTs imaginarias:

x1[n] = 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1x2[n] = 1, 1, 0, 0, 0, 0,−1,−1x3[n] = 0, 1, 1, 0, 0, 0,−1,−1x4[n] = 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1.

Problema 4.[Propriedades da DFT] Seja x[n] uma sequencia de compri-mento N e X[k] a respectiva DFT de N pontos. Assuma que N e par. Paracada uma das seguintes sequencias de comprimento N , expresse a respectivaDFT em funcao de X[k]:

(a) a[n] = α1x[〈n − n1〉N ] + α2x[〈x − n2〉N ]

(b) b[n] =

x[n], para n par0, caso contrario

(c) c[n] =∑N−1

m=0 x[m]x[〈n − m〉N ](d) d[n] = x[n] − x[〈n − N

2 〉N ](e) e[n] = x[n] + x[〈n − N

2 〉N ](f) f [n] = (−1)nx[n].

Problema 5.[Propriedades de simetria da DFT para sinais reais]Seja x[n] uma sequencia de comprimento N real. Prove as seguintes pro-priedades de simetria para a sua DFT:

(a) X[k] = X∗[〈−k〉N ](b) Re X[k] = Re X[〈−k〉N ](c) ImX[k] = −Im X[〈−k〉N ](d) |X[k]| = |X[〈−k〉N ]|(e) ∠X[k] = −∠X[〈−k〉N ]

Problema 6.[DFT de sinais reais] Seja x[n] o sinal de comprimentoN = 12 dado por

x[n] = 3,−1, 2, 4,−3,−2, 0, 1,−4, 6, 2, 5

2

e seja X[k] a sua DFT de comprimento N . Sem calcular X[k] determine:(a) X[0](b) X[6](c)

∑11k=0 X[k]

(d)∑11

k=0 e−j2πk/3X[k](e)

∑11k=0 |X[k]|2.

Problema 7.[Obtencao da TF a partir da DFT] Seja x[n] uma sequenciade comprimento N e X[k] a respectiva DFT de N pontos. Mostre que atransformada de Fourier (TF) de x[n] pode ser obtida a partir da DFT pelaformula

X(ejω) =1N

N−1∑k=0

X[k]sin

(ωN−2πk

2

)sin

(ωN−2πk

2N

) e−j N−12 (ω− 2πk

N ).

Problema 8.[Convolucao circular] Considere duas sequencias de com-primento N = 4 dadas por

x[n] = cos(π

2n)

h[n] =(

12

)n

n = 0, 1, 2, 3.

(a) Calcule y[n] = (x4h)[n] efectuando a convolucao circular no domıniodo tempo.

(b) Calcule y[n] atraves das DFTs de x[n] e h[n].

Problema 9.[Deslocamento circular] Considere a sequencia de compri-mento N = 8 dada por

x[n] = −4, 5, 2,−3, 0,−2, 3, 4.Sem calcular a IDFT, determine a sequencia y[n] de comprimento N cujaDFT de comprimento N e dada por:

(a) Y [k] = W 2k8 X[k]

(b) Y [k] = W−k8 X[k]

(c) Y [k] = W 3k4 X[k].

Problema 10.[TF e DFT] Seja x[n] um sinal de comprimento N = 20(x[n] = 0 fora do intervalo 0 ≤ n ≤ N −1) e seja X(ejω) a sua transformadade Fourier.

(a) Pretende-se calcular X(ejω0) com ω0 = 4π5 calculando uma DFT de

M pontos. Determine o menor valor de M possıvel e indique como obter

3

X(ejω0) a partir dessa DFT.(b) Pretende-se calcular X(ejω0) com ω0 = 10π

27 calculando uma DFT deM pontos. Determine o menor valor de M possıvel e indique como obterX(ejω0) a partir dessa DFT.

Problema 11.[Convolucao linear atraves da DFT] Seja h[n] um sinalde comprimento P = 55 e x[n] um sinal de comprimento N = 1100.Pretende-se calcular a convolucao linear y[n] = (h x)[n] usando DFTsde comprimento M = 64.

(a) Determine o numero mınimo de DFTs e IDFTs necessarias paracalcular y[n] usando a metodologia overlap-add

(b) Determine o numero mınimo de DFTs e IDFTs necessarias paracalcular y[n] usando a metodologia overlap-save.

4

Problemas de Processamento de SinaisFFT – Realizacao Eficiente da DFT

1. Considere uma DFT de 9 pontos.

(a) Desenhe o diagram de fluxo com decimacao no tempo usando uma decomposicao

.

(b) Quantas multiplicacoes complexas por potencias de sao necessarias?

(c) E possıvel realizar os calculos inplace?

2. O calculo da DFT exige geralmente a realizacao de produtos de numeros complexos. Considere o produto: !"#$%Nesta forma a multiplicacao complexa requer 4 multiplicacoes reais e 2 somas reais. Verifique que amultiplicacao complexa pode tambem ser efectuada com 3 multiplicacoes e 5 somas reais:&'()*+,-*/.#&'0)*+123.

3. Considere as seguintes sequencias de comprimento 8:46587 :9<;:9>=?9@;A98BC9@;A9 =?9@;:DEF587 =?9<;:9GBC9@;A9@=?9@;A9 BC9@;:DResolva as alıneas seguintes usando o menor numero de operacoes possıvel.

(a) Determine a DFT de 4 IH" usando o algoritmo FFT.

(b) Determine a DFT de E IH" usando o algoritmo FFT.

(c) Determine a sequencia J IH" resultante da convolucao circular de ordem 8 de 4 H" com E IH" .4. Construa o grafico de fluxo do algoritmo FFT de base 2 com 16 pontos e decimacao no tempo. Indicar os

factores multiplicativos diferentes de 1. Indicar as amostras da sequencia de entrada e de saıda. Determinaro numero de multiplicacoes e somas reais necessarias.

5. Considere a sequencia complexa 4 H" de comprimento K que satisfaz a condicao de simetria:4 IH"L 4 M2IHF KON = M*PQ 9;SR H R K Bem que K e par.

(a) Mostre que a DFT de 4 IH" vale T VU: ; paraU

par.

(b) Indique como calcular os termos ımpares da DFT de 4 IH" usando apenas uma DFT de KON = pontoscom alguns calculos adicionais.

6. Considere uma sequencia 4 H" de comprimento K com DFT T VU: paraULWX& ;:9 K B .

. O algoritmoseguinte calcula as amostras pares da DFT, para K par, usando uma unica DFT de KON = pontos.Y Criar a sequencia: E H"[Z 4 H"" 4 IHF K\N = ;R H R K\N = B;

no caso contrario

1

Y Calcular a DFT de KON = pontos de E IH" : paraSW!& ;:9 KON = B .Y As amostras pares de T VU: sao T U: U N = paraU W)& ;A9 K B .

.

(a) Mostre que o algoritmo apresentado produz os resultados pretendidos.

(b) Considere agora que a sequencia E IH" e criada a partir de 4 IH" por:

E IH" Z 4 IHF ;SR H R B;

no caso contrario

Determine a relacao entre a DFT de

pontos UA e a transformada de Fourier de 4 IH" . Mostrar quea alınea anterior e um caso particular desta.

(c) Desenvolva um algoritmo semelhante ao exposto para calcular as amostras ımpares de T VU: usandoapenas uma DFT de K\N = pontos.

7. Considere as sequencias 4 H" de comprimento e H" de comprimento . Pretende-se calcular a convolucaolinear destas duas sequencias: E IH" 4 H" H" .

(a) Qual e o comprimento de E H" ?(b) Quantas multiplicacoes reais sao necessarias para calcular directamente E IH" ?(c) Defina um procedimento para usar uma DFT na determinacao das amostras de E IH" . Determine a

menor dimensao das transformadas directa e inversa em termos de L e P.

(d) Assuma que KON = em que K e uma potencia de 2 e e a dimensao da DFT. Determine umaexpressao para o numero de multiplicacoes reais necessarias para calcular E IH" usando o metodo daalınea anterior com FFT de base 2. Com base nessa expressao qual o menor valor de K para o qual ometodo da FFT requer menos multiplicacoes reais que o calculo directo da convolucao.

8. A entrada e a saıda de um sistema linear e invariante no tempo satisfazem a equacao as diferencas:

E IH" P

E IH !UA

4 IH)U:Suponha de que dispoe de um programa para calcular DFT de sequencias de comprimento K =

. Descrevaum procedimento que utilize esse programa e que permita calcular:

"! paraU W-& ;:9$#?B/B .

2