Processamento Digital de Sinal.pdf

Francisco Jos de Oliveira Restivo Professor Associado Departamento de Engenharia Electrotcnica e de Computadores Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto

Processamento Digital de SinalTpicos Ano Lectivo 1998/99

Dezembro de 1998

Processamento Digital de Sinal

2

Indice1. Processamento Digital de Sinal 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 2. Sinais Sinais Contnuos e Discretos Sistemas Contnuos e Discretos Processamento Digital de Sinal Breve Histria do PDS Vantagens do PDS Microprocessadores de Sinal Bibliografia 5 5 5 5 6 7 8 8 8 10 10 10 13 14 14 14 14 15 16 17 18 20 22 22 22 23 25 26 26 29 29 29

Sinais e Sistemas Discretos 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 Sinais Discretos Convoluo Discreta Sistemas Discretos FIR e IIR Sistemas Discretos Recursivos e No Recursivos Operao em Tempo Real e Operao em Tempo Diferido Sistemas Discretos Causais Sistemas Discretos Estveis Frequncia de um Sinal Discreto 2.8.1 Fase 2.8.2 Gamas de frequncias 2.9 2.10 2.11 Resposta em Frequncia de um Sistema Discreto Transformada de Fourier de um Sinal Discreto Propriedades da Transformada de Fourier 2.11.1 Propriedade da Translaco 2.11.2 Propriedade da Convoluo 2.11.3 Propriedades de Simetria 2.12 Equao s Diferenas e Resposta em Frequncia

3.

Amostragem de Sinais Contnuos 3.1 3.1 3.2 Introduo Teorema da Amostragem Aliasing 3.2.1 Uma explicao simples

1998 F. J. Restivo


3

3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 4.

Reconstruo de um Sinal Amostrado Amostragem Real Reconstruo Real Interpolao Decimao Converso Fraccionria da Frequncia de Amostragem

31 32 33 35 37 38 39 39 40 41 42 42 43 43 43 45 45 45 46 48 51 51 51 52 55 56 59 61 62 62 64 64 65 69 71 72 74 75

Transformada em z 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 Definio Regio de Convergncia Relao com a Transformada de Fourier Algumas Propriedades da Transformada em z Propriedade da Convoluo Funo de Transferncia de um Sistema Discreto Estabilidade e Causalidade Avaliao Geomtrica da Transformada de Fourier Inverso da Transformada em z 4.9.1 Mtodo da Diviso 4.9.2 Mtodo da Decomposio em Fraces Simples 4.9.3 Integral de Linha 4.10 Propriedade da Convoluo Complexa

5.

DFT - Transformada de Fourier Discreta 5.1 Introduo 5.1.1 Amostragem nos Domnios do Tempo e da Frequncia 5.1.2 Sinais Peridicos nos Domnios do Tempo e da Frequncia 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 DFS - Srie de Fourier Discreta DFT - Transformada de Fourier Discreta Propriedades da DFT Relao com a Transformada em z Convoluo Linear Utilizando a DFT 5.6.1 Mtodo Overlap-Add 5.6.2 Mtodo Overlap-Save 5.7 FFT - Transformada Rpida de Fourier 5.7.1 Decimao no Tempo 5.7.2 Decimao na Frequncia 5.7.3 Raiz 4 5.7.4 Raiz Dupla 5.8 5.9 Transformada de Fourier Discreta Inversa Transformada de Fourier Discreta de Sinais Reais

1998 F. J. Restivo


4

5.10 6.

CZT - Chirp Z Transform.

76 79 79 79 80 82 83 89 89 91 96 96 98 101 101 102 102 104 104 104 105

Filtros Digitais 6.1 6.2 Introduo Projecto de Filtros Digitais do Tipo FIR. 6.2.1 Classificao. 6.2.2 Relaes entre os Zeros dos Filtros FIR com Fase Linear. 6.2.3 Mtodos de Projecto. 6.3 Projecto de Filtros Digitais do Tipo IIR. 6.3.1 Mtodo da Invarincia da Resposta Impulsional. 6.3.2 Transformao Bilinear. 6.4 Transformaes no Domnio das Frequncias. 6.4.1 Filtros Passa Tudo. 6.4.2 Transformaes no Domnio das Frequncias.

7.

Realizao de Sistemas Discretos 7.1 7.2 Grficos de Fluncia Formas Directas 7.2.1 Filtros FIR 7.2.2 Filtros IIR 7.3 Realizaes Srie e Paralelo 7.3.1 Filtros FIR 7.3.2 Filtros IIR

1998 F. J. Restivo


5

1. Processamento Digital de Sinal1.1 SinaisToda a nossa vida se baseia em sinais, que so medidos, processados, analisados, e do origem a decises. O som, a temperatura e a luz so exemplos de sinais que utilizamos no dia a dia. Os ouvidos convertem o som em sinais elctricos, que chegam ao crebro, e este capaz de analisar algumas das suas propriedades, tais como amplitude, frequncia e fase, determinar a direco em que se encontra a fonte de som, e reconhec-lo, como msica, fala, o rudo de um automvel, etc.. Os nervos colocados nas partes expostas da pele sentem a temperatura e enviam para o crebro sinais elctricos, que podem originar decises tais como ligar um aquecedor, abrir uma janela, etc.. Os olhos focam as imagens na retina, que converte essas imagens em sinais elctricos e os envia para o crebro, que, pela anlise da cor, da forma, da intensidade, etc., da luz capaz de reconhecer objectos, medir distncias, detectar o movimento, etc.. Um sistema de controlo baseia-se nestes mesmos princpios: um sinal representativo da grandeza a controlar comparado com uma referncia e o sinal de erro processado pelo controlador para determinar a aco correctiva adequada

1.2 Sinais Contnuos e DiscretosNos sistemas contnuos, os sinais de entrada e de sada so sinais contnuos, funes de uma varivel contnua, normalmente o tempo, t. Em certas condies, um sinal contnuo xc(t) pode ser representado univocamente por um sinal em tempo discreto, ou simplesmente, sinal discreto, x(n), uma funo de uma varivel discreta, n. O teorema da amostragem estabelece essas condies para o caso da amostragem peridica x(n) = xc(nT), em que T o perodo de amostragem.

1.3 Sistemas Contnuos e DiscretosSe os sinais contnuos entrada e sada de um sistema contnuo Hc podem ser representados por sinais discretos, ento o funcionamento do sistema contnuo Hc poder tambm ser representado por um conjunto de relaes entre entre esses sinais discretos, ou seja, por um sistema discreto H. Enquanto que a relao entrada/sada de um sistema contnuo (unidimensional) normalmente um equao diferencial, num sistema discreto essa relao normalmente uma equao s diferenas, o que facilita substancialmente o clculo da resposta do sistema a uma dada entrada.

1998 F. J. Restivo


6

Exemplo Consideremos o sistema definido pela equao s diferenas y(n) = 0.4x(n) + 0.6y(n-1) . Suponhamos que a este sistema aplicada a entrada x(n) = 0 se n < 0 ou (n > 0 e n mod 12 > 5) 1 se no , e que o sistema se encontra inicialmente relaxado (y(-1) = 0). A resposta y(n) do sistema obtem-se realizando apenas duas multiplicaes e uma adio para calcular cada termo de y(n). Em MATLAB, o programa seguinte permite calcular os primeiros termos de y(n), x=[0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1]; y(1)=0; for i=2:15, y(i)=x(i)+0.5*y(i-1); end t=-1:1:13; a=[-1 13 0 2]; clf, subplot(2,1,1), stem(t,x), axis(a) subplot(2,1,2), stem(t,y), axis(a) e a representao grfica de x(n) e y(n) j fornece uma ideia do que ser possvel realizar com operaes simples como estas.

2 1.5 1 0.5 0 0 2 4 6 8 10 12

2 1.5 1 0.5 0 0 2 4 6 8 10 12

Na realidade, estamos a realizar um sistema discreto de primeira ordem, que poderia ser utilizado, por exemplo, para estudar o fenmeno da carga/descarga de um condensador.

1.4 Processamento Digital de SinalOs fantsticos desenvolvimentos que nos ltimos anos se verificaram na microelectrnica, tornaram possvel pr em prtica esta ideia de uma forma efectiva, e esto na origem do Processamento Digital de Sinal (PDS), disciplina que hoje ocupa um papel preponderante nas telecomunicaes, no controlo, na instrumentao, na engenharia biomdica, etc..

1998 F. J. Restivo


7

A razo porque se diz processamento digital de sinal decorre do facto de a realizao de um sistema discreto implicar normalmente a digitalizao das amostras dos seus sinais de entrada e de sada.

Convm contudo referir que existem actualmente certas implementaes de sistemas discretos (por exemplo, com condensadores comutados) em que os valores das amostras desses sinais so armazenados de uma forma analgica, pelo que seria talvez mais correcto falar-se de Processamento Discreto de Sinal. Importa tambm realar que PDS no apenas a realizao discreta de sistemas contnuos. Por um lado, existem sinais discretos que no so uma amostragem de sinais contnuos, como , por exemplo, o sinal v(n) n - dia do ano v(n) - veculos que atravessaram a Ponte da Arrbida no dia n, que pode perfeitamente interessar processar. Por outro, nem sempre o resultado do processamento de um sinal discreto outro sinal discreto da mesma natureza, como acontece num sistema de reconhecimento de voz, por exemplo. Nesta disciplina, comearemos por estudar os sinais e sistemas discretos independentemente da sua relao com os sinais e sistemas contnuos, e s posteriormente estudaremos essa relao. Tambm estudaremos apenas os sinais e sistemas discretos unidimensionais, sendo contudo razoavelmente simples a extenso do estudo aos sinais multidimensionais (imagens, por exemplo).

1.5 Breve Histria do PDSOs modelos matemticos bsicos dos sinais e sistemas contnuos remontam ao sculo XIX, com as transformadas de Laplace e de Fourier. Jean Baptiste Joseph Fourier nasceu em Auxerre, Frana, em 1768 e morreu em Paris em 1830. Um dos maiores matemticos de todos os tempos, estudou a teoria matemtica da conduo do calor, tendo estabelecido, no monumental tratado Thorie Analytique de la Chaleur, que publicou em 1822, a equao s derivadas parciais que governa o fenmeno e obtido a sua soluo usando o desenvolvimentos em srie das funes trigonomtricas. Os seus trabalhos contribuiram para muitas reas da matemtica, cincia e engenharia. Pierre Simon, Marqus de Laplace, o maior astrnomo terico depois de Newton, nascido vinte anos antes de Fourier, aplicou os seus conhecimentos matemticos ao estudo dos movimentos planetrios, dando origem hoje designada transformada de Laplace, que cedo encontrou aplicao em muitas outras reas cientficas. Tambm De Moivre, que em 1730 introduziu a hoje chamada transformada em z, deve ser creditado como um dos precursores do Processamento Digital de Sinal. No entanto, ao advento dos computadores digitais, verificado nos anos 40, que se deve o nascimento do PDS como disciplina. Nos anos 50, engenheiros e cientistas como Shannon e Bode nos Bell Telephone Laboratories e Linville no MIT foram certamente dos primeiros a equacionar a utilizao de computadores de sinal em processamento de sinal. No incio dos anos 60, Kaiser, nos laboratrios Bell, apresentou importantes contribuies para a anlise e a sntese de filtros digitais, e a transformada rpida de Fourier (FFT) foi descoberta em 1965 por Cooley e Tukey, apesar de a sua origem poder ser atribuda aos matemticos alemes Runge e mesmo Gauss. A publicao, em 1975, dos livros referncia [5] e [6] marca verdadeiramente o nascimento de PDS como disciplina, e dos seus autores como os seus verdadeiros criadores.

1998 F. J. Restivo


8

Actualmente, o PDS emergiu das aplicaes militares onde nasceu e desempenha um papel chave em produtos de consumo, industriais e de telecomunicaes. Microprocessadores de sinal de baixo custo so componentes essenciais de jogos electrnicos, telefones celulares, brinquedos, leitores de CDs, discos de computadores, modems, impressoras, sistemas de reconhecimento de voz e de conferncia vdeo, e muitos outros produtos familiares. Cada vez mais aplicaes tradicionalmente do domnio dos sistemas analgicos esto a encontrar solues digitais mais baratas e mais fiveis.

1.6 Vantagens do PDSUtilizar um conversor AD, um microprocessador, e um conversor DA para a realizao discreta de um sistema equivalente a um filtro passa baixo do tipo RC elementar, no ser, em princpio, vantajoso do ponto de vista econmico, embora se pudesse conceber uma situao em fosse interessante, por exemplo, tirando partido do facto da soluo discreta ser programvel. Esta poderia mesmo no ser possvel, se a frequncia de amostragem requerida excedesse os limites da tecnologia dos conversores AD e DA. Frequncia de amostragem e custo, constituem as duas grandes limitaes utilizao do PDS. As solues discretas tm, no restante, grandes vantagens sobre as solues contnuas, pois so normalmente programveis, so fiveis, repetitivas e resistentes ao envelhecimento, permitem controlar com mais rigor a preciso dos resultados, etc., e so preferidas numa grande gama de aplicaes. Outras vantagens das solues discretas resultam da facilidade em resolver os problemas de instabilidade, de implementao de algoritmos adaptativos, de utilizao de cdigos de deteco e correco de erros, de transmisso e armazenamento e compresso de dados.

1.7 Microprocessadores de SinalTodos os grandes fabricantes de microelectrnica oferecem hoje microprocessadores de sinal (e de imagem, que um sinal bidimensional), adaptados aos algoritmos mais utilizados em PDS: convoluo, transformada de Fourier discreta, etc.. Nos primeiros dois anos dos anos 80, surgiram no mercado quatro microprocessadores de sinal, sendo normalmente aceite que o primeiro destes foi o S2811, da American Microsystems Inc.. Quasi ao mesmo tempo, surgiram o Intel 2920, com conversores AD e DA incorporados, e com o qual se podia realizar facilmente um modem, por exemplo, e o NEC PD7720. O ltimo, mas definitivamente mais avanado, foi o TMS32010, da Texas Instruments. Uma caracteristica comum a estes microprocessadores era a adopo da arquitectura de Harvard, com memria de programa e memria de dados distintas, o que permitia o acesso simultneo a uma instruo e a um dado. Actualmente, a Texas Instruments, com a famlia de microprocessadores TMS320Cxx, a Motorola, com os microprocessadores M56000 e M96000, a NEC, com o microprocessador PD77230, a AT&T, com os microprocessadores DSP16 e DSP32, a Oki, a Analog Devices, a Inmos, com os microprocessadores IMS A100, A110 e A121, a Plessey, a Zoran, etc., fornecem dispositivos que permitem realizar aplicaes de PDS altamente sofisticadas. Por outro lado, convm no esquecer o progresso que em paralelo se verificou nos componentes analgicos, e nomeadamente no amplificador operacional, bem como nos componentes que realizam a ligao entre o mundo analgico e o mundo digital, tais como os conversores A/D e D/A e os comparadores. Com o progresso das tecnologias VLSI, comeam tambm a ser vulgares implementaes mistas (analgicas e digitais) directamente no silcio.

1.8 BibliografiaA bibliografia publicada na rea do PDS muito vasta. Recomenda-se qualquer um dos dois seguintes livros para o estudo desta disciplina

1998 F. J. Restivo


9

[1] [2]

A. V. Oppenheim, R. W. Schafer, Discrete-Time Signal Processing, Prentice-Hall, 1989, E. C. Ifeachor, B. W. Jervis, Digital Signal Processing - A Practical Approach, Addison-Wesley, 1993.

Outros livros tm sido utilizados, e continuam a servir como textos de apoio [3] [4] R. Kuc, Introduction to Digital Signal Processing, McGraw-Hill, 1988 D. J. DeFatta, J. G. Lucas, W. S. Hodgkiss, Digital Signal Processing: A System Design Approach, Wiley, 1988.

Os dois livros a seguir marcaram o estabelecimento de PDS como uma disciplina cientfica prpria, e so leitura obrigatria para o seu estudo mais aprofundado [5] [6] A. V. Oppenheim, R. W. Schafer, Digital Signal Processing, Prentice-Hall, 1975 L. R. Rabiner, B. Gold, Theory and Application of Digital Signal Processing, Prentice-Hall, 1975.

Outros livros cuja leitura se recomenda so [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14]!

E. O. Brigham, The Fast Fourier Transform, Prentice-Hall, 1974 H. J. Nussbaumer, Fast Fourier Transform and Convolution Algorithms, Springer-Verlag, 1981 D. F. Elliot, K. R. Rao, Fast Transforms: Algorithms, Analyses and Applications, Academic Press, 1982 Inmos, The Digital Signal Processing Databook, Inmos, 1989 I. Ahmed, ed., Digital Control Applications with the TMS320 Family, Texas Instruments, 1991 C. E. Reid, T. B. Passin, Signal Processing in C, Wiley, 1992 A. Antoniou, Digital Filters: Analysis, Design and Applications, 2nd edition, McGraw-Hill, 1993 C. Marven, G. Ewers, A Simple Approach to Digital Signal Processing, Texas Instruments, 19943 H @ E 8 P A F 8 # @ x U f f X X 3 E & & F e G B 4 G w Y v R ' @ ( # A x u f H a G f 9 $ A 3 3 Q X F W c & A V 0 E E D c 8 R r r U w T T 2 1 R D G 0 E e H S A b H t b R s E D ` G Q 3 P P G 9 U @ r 8 I H X H 9 E G @ F q 8 E H D H T G C F p B E A D 9 @ C @ 8 9 8 B H A 7 H G @ F 9 E 8 D H 7 8 C H 3 B ) B A ( A @ ' @ 6 9 8 5 T f 7 # f B X A 4 G P 3 P 8 3 0 H 9 0 2 8 c 1 7 ( i 0 3 3 " ) ' ( a ( ' e 6 e & e d % c 2 $ # c # b ' $ y h a # # # 5 " " ` ! !

No que respeita a livros orientados para a utilizao de aplicaes informticas como MatLab, MathCad, Maple, Mathematica e outras para a resoluo de problemas de Processamento de Sinal, , recomenda-se [17]x

Est disponvel na FEUPnet a verso 4.2 de MatLab, assim como a maior parte das suas toolbox, nomeadamente a de Processamento de Sinal. Finalmente, importa referir as revistas onde publicada a maioria dos trabalhos cientficos em Processamento de Sinal [19] [20] [21] [22] [23] IEEE Transactions on Signal Processing, IEEE IEEE Signal Processing Magazine, IEEE Signal Processing, Eurasip Circuits, Systems, and Signal Processing, Birkhauser-Boston, Inc. IEE Proceedings: Vision, Image and Signal Processing, IEE.

A disciplina de Processamento de Sinal da FEUP tem a sua homepage na Web http://www.fe.up.pt/~fjr/pds.html/ onde se encontram disponveis todas as informaes relevantes para o seu funcionamento.

1998 F. J. Restivo

g

C. S. Burrus et al., Computer-Based Exercises for Signal Processing Using MatLab, Prentice-Hall (1994)


10

2. Sinais e Sistemas Discretos2.1 Sinais DiscretosUm sinal discreto uma funo da varivel discreta n N. A soma de dois sinais discretos, a multiplicao de um sinal discreto por uma constante e o atraso (ou melhor, deslocamento, ou translaco) de um sinal discreto, so operaes elementares envolvendo sinais discretos que admitimos serem suficientemente bvias. Um sinal discreto importante o impulso unitrio (n) (n) = 1, se n = 0 0, se no , devendo notar-se que qualquer sinal discreto pode ser decomposto numa soma de impulsos unitrios, deslocados e multiplicados por uma constante

=

+

Outro sinal discreto importante o degrau unitrio u(n) u(n) = 1, se n 0 0, se no . Um sistema discreto um sistema que aceita na(s) sua(s) entrada(s) um sinal (sinais) discreto(s) e que fornece na(s) sua(s) sada(s) um sinal (sinais) discreto(s), sendo conhecida de algum modo a(s) relao (relaes) entre uma(s) e outra(s). Consideraremos neste estudo apenas os sistemas discretos lineares e invariantes (LI). Num sistema discreto linear, se aplicarmos uma entrada que uma combinao linear de duas outras, na sua sada encontramos a mesma combinao linear mas agora das sadas correspondentes a essas duas entradas, quando aplicadas separadamente. Um sistema linear obedece ao princpio da sobreposio. A resposta de um sistema discreto invariante a uma dada entrada independente do instante (ou ordem, ndice) em que essa entrada aplicada.

2.2 Convoluo DiscretaSe conhecermos a resposta h(n) de um sistema discreto LI entrada (n), podemos determinar a sua resposta y(n) a qualquer entrada x(n). Utilizando a decomposio atrs referida

1998 F. J. Restivo

.

=

=

+

,

=


11

e tendo em conta que o sistema invariante, pelo que a resposta do sistema entrada (n-k) h(n-k), e que linear, pelo que esta combinao linear respeitada,

=

+

Esta operao entre os sinais discretos x(n) e h(n) designa-se por convoluo discreta, e goza da propriedade comutativa, entre outras

Realmente,

Exemplo Suponhamos que ao sistema discreto linear e invariante com resposta impulsional h(n) = (n) + 0.75(n-1) + 0.5(n-2) + 0.25(n-3)

2 1 0 -1 aplicada a entrada x(n) = u(n) - u(n-4) ,

0

1

2

3

4

5

2 1 0 -1

0

1

2

3

4

5

e determinemos a resposta y(n) do sistema. A resposta y(n) dada pela convoluo discreta de x(n) com h(n)

=

Interpretando graficamente a primeira destas expresses como exprimindo que a resposta y(n) pode ser obtida somando os sinais discretos (os restantes sero nulos) x(0)h(n-0), x(1)h(n-1), x(2)h(n-2) e x(3)h(n-3)

1998 F. J. Restivo

+

=

=

+

.

=

+

=

=

+

=

.

=

=

+

+

.

=

=

=

+

=

=

+

.

=

6

7

6

7


12

1 0.5 0 -1

0

1

2

3

4

5

6

7

1 0.5 0 -1

0

1

2

3

4

5

6

7

1 0.5 0 -1

0

1

2

3

4

5

6

7

1 0.5 0 -1obtem-se o resultado

0

1

2

3

4

5

6

7

4 3 2 1 0 -1isto , y(n) = x(0)h(n) + x(1)h(n-1) + x(2)h(n-2) + x(3)h(n-3) y(n) = (n) + 1.75(n-1) + 2.25(n-2) + 2.5(n-3) + 1.5(n-4) + 0.75(n-5) + 0.25(n-6) . A mesma expresso pode tambm ser interpretada como exprimindo que cada elemento y(n) da resposta se pode obter multiplicando termo a termo os sinais dois discretos x(k) e h(n-k) e realizando a soma desses produtos. Exemplificando, para calcular y(2), ser n = 2, como x(k) e h(2-k) so

0

1

2

3

4

5

6

7

1998 F. J. Restivo


13

2 1 0 -1 2 1 0 -1

0

1

2

3

4

5

6

7

0

1

2

3

4

5

6

7

y(2) = x(0)h(2) + x(1)h(1) + x(2)h(0) = 0.5 + 0.75 + 1 = 2.25 . Para obter os outros elementos de y(n) seria necessrio deslocar h(n-k) relativamente a x(k), e repetir este clculo, numa interpretao geomtrica bem conhecida. De acordo com a propriedade comutativa da convoluo, idnticas interpretaes resultariam se os papis de x(n) e de h(n) se invertessem.

2.3 Sistemas Discretos FIR e IIROs sistemas discretos podem ser classificados em tipo FIR - com resposta impulsional finita, tipo IIR - com resposta impulsional infinita, conforme a sua resposta impulsional h(n) tem ou no um nmero finito de elementos no nulos. Os sistemas discretos do tipo FIR gozam da propriedade de poderem ser implementados directamente a partir da sua resposta impulsional, uma vez que a soma

=

+

tem nesse caso um nmero finito de termos. Exemplo O sistema com resposta impulsional finita h(n) = (3-n)(u(n) - u(n-3))

pode ser implementado pela equao s diferenas y(n) = 3x(n) + 2x(n-1) + x(n-2) .

Os coeficientes da equao s diferenas so os termos da resposta impulsional do sistema.

1998 F. J. Restivo

=

4 2 0 -1

0

1

2

3

4

5

6

7


14

2.4 Sistemas Discretos Recursivos e No RecursivosO sistema discreto y(n) = 3x(n) + 2x(n-1) + x(n-2) do tipo no recursivo, uma vez a resposta y(n) do sistema se pode calcular exclusivamente a partir da sua entrada x(n). Um sistema discreto do tipo FIR pode sempre ser implementado no recursivamente, como bvio. O sistema discreto y(n) = x(n) + 0.5y(n-1) do tipo recursivo, uma vez que a sua resposta y(n) depende de respostas anteriores. A resposta impulsional de um sistema do tipo recursivo normalmente de comprimento infinito. Supondo que o sistema anterior se encontra inicialmente relaxado, isto , que y(-1) = 0, obtem-se facilmente y(n) = 0.5nu(n), o que quer dizer que o sistema do tipo IIR. Quando utilizadas para realizar a mesma especificao, as solues no recursivas so normalmente mais complexas do ponto de vista aritmtico, porque no clculo de cada elemento da sua resposta no se utiliza o trabalho j realizado para o clculo de outros elementos dessa resposta. Num sistema do tipo no recursivo, , por outro lado, possvel calcular isoladamente um qualquer termo da sua resposta a uma determinada entrada, o que pode ser vantajoso em determinadas situaes.

2.5 Operao em Tempo Real e Operao em Tempo DiferidoUm sistema opera em tempo real quando recebe os elementos do sinal de entrada medida que vo sendo produzidos e calcula os elementos do sinal de sada a esse ritmo. Na equao s diferenas que rege o funcionamento de um sistema em tempo real no podem figurar nem elementos ainda no recebidos do sinal de entrada nem elementos ainda no calculados do sinal de sada. Em muitas situaes, os sistemas operam em tempo diferido, com sinais de entrada previamente armazenados.

2.6 Sistemas Discretos CausaisUm sistema que opere em tempo real necessariamente causal, uma vez que no de admitir neste caso um comportamento antecipatrio relativamente ao sinal de entrada. De um modo geral, pode dizer-se que um sistema causal se, e s se, para quaisquer duas entradas x1(n) e x2(n) tais que x1(n) = x2(n) , n < n0 as respectivas respostas y1(n) e y2(n) forem tais que y1(n) = y2(n) , n < n0 . Em termos da sua resposta impulsional h(n), pode demonstrar-se que a condio necessria e suficiente de causalidade h(n) = 0 , n < 0 .

2.7 Sistemas Discretos EstveisEm termos gerais, num sistema estvel a uma entrada limitada corresponde sempre uma sada limitada. Os efeitos de uma situao de instabilidade num sistema discreto e num sistema contnuo so contudo de natureza diferente.

1998 F. J. Restivo


15

Naqueles, a instabilidade poder eventualmente provocar uma situao de overflow, mas mesmo este pode muitas vezes ser "evitado" mediante uma representao adequada dos sinais. Em termos da sua resposta impulsional h(n), pode demonstrar-se que a condio necessria e suficiente de estabilidade S=

k =

h (k ) < .

+

A condio suficiente: na realidade, se esta condio se verificar e se

x (n ) < Mento y( n ) =

k =

h (k ) x (n k ) M h (k ) < h (k ) < .k = k =

+

+

+

E a condio necessria: entrada x(n)= h (n ) h (n ) 0 se h(n) 0 se h(n) = 0

corresponde a sada para n = 0 y (0 ) =

k =

+

h (k ) x (k ) =

k =

+

h (k )

+ h ( k ) + h (k ) = = h (k ) = S , h (k ) k = h (k ) k =

2

que ilimitada se S = .

2.8 Frequncia de um Sinal DiscretoA importncia do estudo do comportamento dos sistemas LI no domnio das frequncias conhecida. No caso dos sistemas discretos, o conceito de frequncia difere ligeiramente daquele a que estamos mais habituados, pelo que o vamos analisar com algum detalhe. Um sinal contnuo sinusoidal com frequncia f Hz, ou frequncia angular radianos por segundo (reservamos o smbolo para frequncia angular de um sinal discreto), tem a expresso geral xc(t) = sin(2ft+) = sin(t+) , = 2f , em que a fase da sinuside, e corresponde a uma simples translaco. O inverso da frequncia o perodo T = 1/f . Por exemplo, o sinal contnuo sinusoidal com frequncia angular /2 radianos por segundo xc(t) = sin(t/2) , tem um perodo T igual a 4 s e uma representao grfica perfeitamente clara

1998 F. J. Restivo


16

1 0.5 0 -0.5 -1 0 2 4 6 8 10

Um sinal discreto sinusoidal com frequncia angular radianos tem a expresso geral x(n) = sin(n+) . A relao entre o sinal discreto e o sinal contnuo reside no facto de o sinal discreto sinusoidal com frequncia angular se poder obter por amostragem unitria (perodo 1 s) do sinal contnuo com essa frequncia. H, no entanto, uma diferena fundamental, que resulta de no existir a noo de tempo associada ao sinal discreto sinusoidal, e evidenciada pelo facto de se medir em radianos por segundo e se medir em radianos. Enquanto que a frequncia angular do sinal contnuo sinusoidal o ngulo que a sinuside avana por unidade de tempo, a frequncia angular do sinal discreto sinusoidal o ngulo que a sinuside avana entre dois termos consecutivos do sinal. O sinal discreto sinusoidal com frequncia angular /2 radianos ser x(n) = sin(0.5n) = ..., 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, ... , e pode obter-se por amostragem unitria do sinal contnuo com essa frequncia representado anteriormente.

1 0.5 0 -0.5 -1 0 2 4 6 8 10

2.8.1 FaseA noo de fase de um sinal discreto no obvia, como se pode concluir comparando dois sinais discretos sinusoidais com a mesma frequncia e fases diferentes.

1998 F. J. Restivo


17

1 0.5 0 -0.5 -1 0 1 0.5 0 -0.5 -1 0 2 4 6 8 10 2 4 6 8 10

A fase corresponde, na realidade, a uma translaco da sinuside contnua associada ao sinal discreto sinusoidal, que no se pode confundir com uma translaco do sinal discreto propriamente dito.

1 0.5 0 -0.5 -1 0 1 0.5 0 -0.5 -1 0 2 4 6 8 10 2 4 6 8 10

2.8.2 Gamas de frequnciasUma vez que as funes sinusoidais so peridicas, com perodo 2, sin(n+) = sin(( + 2k)n+) , k inteiro , e haver uma infinidade de sinais discretos sinusoidais, com frequncias diferindo de um mltiplo de 2, que so na realidade o mesmo sinal discreto, como a figura a seguir, em que se representa o sinal discreto sinusoidal x(n) = sin(2.5n) ,

1998 F. J. Restivo


18

ilustra.

1 0.5 0 -0.5 -1 0 2 4 6 8 10

Este sinal discreto sinusoidal ..., 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, ... pode ser obtido por amostragem unitria de uma infinidade de sinais sinusoidais contnuos. De facto, no intervalo [, [, ou no intervalo [0, 2[, por exemplo, podem encontrar-se todas as frequncias digitais distintas! Esta ambiguidade da amostragem ser estudada no captulo 3. Por agora, pense-se apenas no seguinte. Numa imagem muito utilizada, pode gerar-se um sinal sinusoidal contnuo com frequncia angular imaginando a projeco de um ponto sobre uma circunferncia rodando a radianos por segundo sobre um eixo que passe pelo seu centro. Se um observador s puder observar a circunferncia, ou medir o sinal, em instantes discretos nt, e detectar que entre dois desses instantes a sua posio variou de , no tem meios para saber se realmente a circunferncia rodou de ou de +2k, k inteiro.

2.9 Resposta em Frequncia de um Sistema Discreto semelhana do que acontece com os sistemas contnuos, a resposta em frequncia de um sistema discreto com resposta impulsional h(n) pode obter-se aplicando sua entrada o sinal discreto exponencial complexo x(n) = ejn , sinal a partir da qual se podem definir todos os sinais discretos sinusoidais com frequncia . Recordam-se aqui algumas relaes importantesd d

= =d

Como vimos anteriormente, a resposta de um sistema discreto com resposta impulsional h(n) ao sinal discreto exponencial complexo a convoluo discreta destes dois sinais, e valee e e e j i e

=

com e

e

=

=

A resposta do sistema a sua entrada multiplicada por H(ej), e esta funo de a resposta em frequncia do sistema discreto.

1998 F. J. Restivo

d

+

.

=

=

d

d

h

d

d

d

+

=

+

=

f

f

+ =

e

e

2d g

e

e

+ 2

d

f f

h

+

.


19

H(ej) uma funo peridica de , com perodo 2 e e j i e

Esta propriedade est obviamente relacionada com a ambiguidade na representao de uma sinuside atravs de uma sua amostragem, que atrs vimos. Pode-se dizer que, como um sistema discreto no "distingue" aquelas diferentes frequncias, apresenta o mesmo comportamento a todas elas. Exemplo Vamos determinar a resposta em frequncia do sistema discreto =

+2

1 + 4

2

.

Como evidente, o sistema discreto dado tem resposta impulsional h(n) = 0.25(n) + 0.5(n-1) + 0.25(n-2)

e portanto resposta em frequncia H(ej) = 0.25 + 0.5e-j + 0.25e-2j = (0.5 + 0.5cos())e-j. Na figura a seguir, representa-se H(ej) em mdulo e fase. Os grficos foram obtidos em MATLAB, utilizando o seguinte programa (fft quer dizer Fast Fourier Transform) h=fft([0.25 0.5 0.25],128); w=-pi:pi/64:pi-pi/64; h=fftshift(h); a=[-pi,pi,0,1]; f=[-pi,pi,-pi,pi]; clf, subplot(2,1,1), plot(w,abs(h)), axis(a), grid on subplot(2,1,2), plot(w,angle(h)), axis(f), grid on

1

0.5

0

-3

-2

-1

2 0 -2 -3 -2 -1 0 1 2 3

A resposta impulsional de um sistema discreto pode ser obtida a partir sua resposta em frequncia, tirando partido da periodicidade desta funo. Como

1998 F. J. Restivo

=

=

0

1

d

=

=

=h

e

d

d

d

j

+2i

+

+2

+

2

e d h

.

2

3


20

=

uma funo peridica de , com perodo 2, ento, H(ej) pode ser desenvolvida em srie de Fourier, por exemplo na forma e

e

=

=

em que os coeficientes Ck so dados por e e

e bvio, por comparao das expresses anteriores, que e

2.10 Transformada de Fourier de um Sinal DiscretoA relao biunvoca entre h(n) e H(ej) a transformada de Fourier, como seria de esperar. Um sinal discreto x(n) ter transformada de Fourier desde que a somae

e

=

=

exista, sendo a transformada de Fourier inversa dada por e m

Exemplo Pretende-se determinar a resposta impulsional h(n) do filtro digital passa baixo ideal, com frequncia de corte c. A resposta em frequncia H(ej) deste sistema naturalmente peridica, de perodo 2, e tem a seguinte forma no intervalo [, [ H(ej) = 1, se ||c 0, se no , Utilizando a transformada de Fourier inversa, obtem-se o f e e e

que uma amostragem da funo seno cardinal. Representa a seguir h(n) para c = /6 e e para c = /3, respectivamente.

1998 F. J. Restivo

n

l

d

l

d

d

h

1 = 2

1 = 2

=

o

n

l

d

=

e

d

1 2

d

+

l

d

=

e

d

h

1 2

l

d

d

h

1 = 2

d

k

+

e

d

e

=

+

d

d

d

h h k m

,

,

.

.

,


21

0.3 0.2 0.1 0 -0.1 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

0.3 0.2 0.1 0 -0.1 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

Os sistemas obtidos so do tipo IIR, pelo que no podem ser realizados directamente a partir da sua resposta impulsional (nem por qualquer outro processo - so sistemas ideais). Na prtica, pode-se contudo realizar aproximaes, por exemplo do tipo ha(n) = h(n)(u(n+n0) - u(n-n0-1)) , que sero, em princpio, tanto melhores quanto maior for n0. Representam-se a seguir as respostas em frequncia correspondentes aos dois valores de c atrs indicados, para n0 = 20.

1.5 1 0.5 0

-3

-2

-1

0

1

2

3

1.5 1 0.5 0

-3

-2

-1

0

1

2

3

O programa utilizado para obter estas representaes am MATLAB foi (note-se que, em MATLAB, ) = n=-20:1:20; f f

1998 F. J. Restivo


22

h6=sinc(n/6)/6; h3=sinc(n/3)/3; a=[-20,20,-0.1,0.4]; clf, subplot(2,1,1), stem(n,h6), axis(a), grid on subplot(2,1,2), stem(n,h3), axis(a), grid on pause w=-pi:pi/64:pi-pi/64; x6=fftshift(fft(h6,128)); x3=fftshift(fft(h3,128)); a=[-pi,pi,0,1.5]; subplot(2,1,1), plot(w,abs(x6)), axis(a), grid on subplot(2,1,2), plot(w,abs(x3)), axis(a), grid on Note-se que estes sistemas no so causais, pelo que, em tempo real, seria ainda necessrio deslocar ha(n) de n0, introduzindo-se assim um atraso n0 no clculo da resposta do sistema.

2.11 Propriedades da Transformada de FourierA transformada de Fourier uma transformada linear, tendo as propriedades da decorrentes: a transformada de Fourier da soma de dois sinais discretos a soma das suas transformadas de Fourier, e a transformada de Fourier de um sinal discreto multiplicado por uma constante a sua transformada de Fourier multiplicada por essa constante.

2.11.1 Propriedade da TranslacoConsideremos um sinal discreto x(n) e a sua transformada de Fourier X(ej). A transformada de Fourier do sinal discreto x(n-k) m j i e e

=

=

Uma vez que

n =

+

e jn x (n ) e jn =

n =

x (n) e j( )n = X(e j( ) ) ,

+

o sinal discreto cuja transformada de Fourier X(ej()) ejnx(n).

2.11.2 Propriedade da ConvoluoA expresso da transformada de Fourier inversa e m

mostra-nos como um sinal discreto x(n) pode ser decomposto numa combinao linear (integral) de sinais discretos elementares, as exponenciais complexas ejn. Se este sinal for aplicado entrada de um sistema discreto com resposta em frequncia H(ej), como a resposta do sistema a cada uma daquelas exponenciais H(ej)ejn, a sua resposta entrada x(n) contm a mesma combinao linear e

1998 F. J. Restivo

l

d

=

e

d

1 2

d

d

=

e

e

d

d

+

+

+

=

.


23

cuja transformada de Fourier X(ej)H(ej). A transformada de Fourier da convoluo de dois sinais discretos assim o produto das suas transformadas de Fourier. altura de colocar em paralelo duas expresses j conhecidas, que nos ensinam a decompor um sinal discreto em sinais discretos elementares, a primeira no domnio dos tempos, em que o sinal elementar o impulso unitrio

=

+

=

e a segunda no domnio das frequncias, em que o sinal elementar a sinuside complexa e m

A resposta de um sistema discreto LI a um destes sinais elementares, a resposta impulsional h(n) ou a resposta em frequncia H(ej), caracteriza completamente um sistema H.q t q

A transformada de Fourier estabelece a ligao entre estas duas caracterizaes.

2.11.3 Propriedades de SimetriaSe a transformada de Fourier de um sinal discreto x(n) X(ej), a transformada de Fourier do sinal discreto conjugado x(n) m e

=

=

Daqui se deduzem algumas propriedades de simetria importantes. Se um sinal discreto x(n) for puramente real, x(n) = x(n) , a sua transformada de Fourier verifica a igualdade X(e-j) = X(ej) , pelo que a transformada de Fourier de um sinal discreto puramente real tem parte real par e parte imaginria mpar, isto , XR(e-j) = XR(ej) , XI(e-j) = -XI(ej) . Se um sinal discreto x(n) for puramente imaginrio, x(n) = -x(n) , e a sua transformada de Fourier verifica a igualdade X(e-j) = -X(ej) ,

1998 F. J. Restivo

d

=

=

e

d

e

d

+

+

.

s

r

q

r

p

u

s r

p

u

p

l

d

=

e

d

1 2

.

l

d

e

d

h

e

d

m

=

e

1 2

,


24

pelo que a transformada de Fourier de um sinal discreto imaginrio puro tem parte real mpar e parte imaginria par. Se a transformada de Fourier X(ej) de um sinal discreto for puramente real, X(ej) = X(ej) , e o sinal discreto x(n) verifica a igualdade x(-n) = x(n) , pelo que um sinal discreto com transformada de Fourier puramente real tem parte real par e parte imaginria mpar. Se a transformada de Fourier X(ej) de um sinal discreto for puramente imaginria, X(ej) = -X(ej) , e o sinal discreto x(n) verifica a igualdade x(-n) = -x(n) , pelo que um sinal discreto com transformada de Fourier puramente imaginria tem parte real mpar e parte imaginria par. Um sinal discreto x(n) real e par tem transformada de Fourier X(ej) real e par. As correspondncias sinal puramente real puramente imaginrio parte real par, parte imaginria mpar parte real mpar, parte imaginria par transformada de Fourier parte real par, parte imaginria mpar parte real mpar, parte imaginria par puramente real puramente imaginria

podem ser condensadas a partir das noes de parte simtrica conjugada e parte anti-simtrica conjugada de um sinal discreto x(n) ou da sua transformada de Fourier X(ej), = = e e e d d

+ 2 2m d

respectivamente. Estas definies permitem identificar as correspondncias sinal / transformada de Fourier parte real parte imaginria entre o sinal e a sua transformada e reciprocamente. transformada de Fourier / sinal parte simtrica conjugada parte anti-simtrica conjugada

1998 F. J. Restivo

e

=

m

e

d

=m

e

m

d d v w v w m m

,

,

+ 2

,

, 2


25

2.12 Equao s Diferenas e Resposta em FrequnciaUm sistema discreto LI rege-se por uma equao s diferenas y x z

com os coeficientes bk nulos se o sistema for no recursivo. Esta equao, tal como uma equao diferencial, admite uma soluo constituda por dois termos, um correspondente resposta natural do sistema e outro correspondente sua resposta forada, e dependente das condies iniciais, que sero nulas se o sistema for causal. A resposta natural do sistema tende normalmente para zero num sistema estvel. No cabe nesta disciplina o estudo das equaes s diferenas, contudo. A transformada em z, que estudaremos no captulo seguinte, normalmente utilizada nesse estudo. Calculando a transformada de Fourier dos dois membros da equao anterior } y m x

pelo que a resposta em frequncia do sistema dada por e x

Exemplo Vamos determinar a equao s diferenas que rege o sistema discreto com resposta impulsional h(n) = 0.3(0.7)nu(n) . A resposta em frequncia do sistema discreto e e

e

e a equao s diferenas respectiva y(n) = 0.3x(n) + 0.7y(n-1) .

1998 F. J. Restivo

d

|

=

=

e

=

d

=

d

=

+

+

e

d

y

{ ~

z

e

{

|

d

d

m

e

=

=

=

d

~

=0

.

d

d

{

{

d

z

d

=

+

e

e

e

e

e

z

1

{

e

}

|

=

=

{

=

+

{

{ z z d d d h h }

,

.


26

3. Amostragem de Sinais Contnuos3.1 IntroduoEm muitas situaes, os sinais discretos resultam da amostragem de sinais contnuos. No caso da amostragem ser peridica, tem-se x(n) = xc(nT) , em que x(n) o sinal discreto, xc(t) o sinal contnuo, e o perodo de amostragem. A frequncia angular de amostragem a = 2/T. Entre as transformadas de Fourier Xc(j), do sinal contnuo, e X(ej), do sinal discreto, existe necessariamente uma relao, que vamos estabelecer. Consideremos, por um lado, a transformada de Fourier inversa do sinal contnuo xc(t)

donde x (n ) = 1 2

X c ( j)e e d m

jnT

e, por outro lado, a transformada de Fourier inversa do sinal discreto x(n)

Realizando na primeira das duas ltimas expresses a mudana de varivel , obtem-se x (n ) = 1 2T

Xc (

j jn )e d , T

que se pode escrever, subdividindo o domnio de integrao em intervalos de comprimento 2, x (n ) = 1 + 2T r =

( 2r +1)

Xc (

( 2r 1)

e, reduzindo todos os integrais ao mesmo domnio de integrao [-, [,

1998 F. J. Restivo

l

d

=

e

1 2

l

d

g

e

o

m

1 2

,

o

d ,

.

j jn )e d , T


27

x (n ) =

1 + 2T r = 1 2T

Xc (

j( + 2r) j(+ 2 r) n )e d , T

x (n ) =

+

r = -

Xc (

j( + 2r) jn )e d , T

donde, por simples comparao com a segunda daquels expresses, X (e j ) = 1 + j( + 2r) Xc ( ) . T r = - T

A transformada de Fourier do sinal discreto x(n) uma soma de uma infinidade de parcelas, cada uma das quais resultante, a menos do factor 1/T, da transformada de Fourier do sinal contnuo xc(t) atravs da mudana de varivel linear + 2r . T

A frequncia angular mede-se em radianos por segundo, e a frequncia angular digital mede-se em radianos. A parcela correspondente a r = 0, 1 j Xc ( ) , T T regista, em termos da amplitude, uma alterao de escala resultante da multiplicao por 1/T e, em termos da varivel independente, uma alterao de escala resultante da mudana de varivel /T . Se a transformada de Fourier Xc(j) do sinal analgico for, por exemplo,

1

0

a

M

0

M

a

em que a a frequncia angular de amostragem, ento a parcela de X(ej) correspondente a r = 0

T-1

0

-2

- MT

0

MT

2

frequncia angular de amostragem a = 2/T "corresponde" a frequncia "digital" 2. A frequncia de amostragem estabelece a relao entre as frequncias "analgica" e "digital". Cada uma das restantes parcelas,

1998 F. J. Restivo


28

1 j( + 2r) Xc ( ) , T T uma translaco de um mltiplo de 2 da parcela correspondente a r = 0

T-1

0Exemplo O sinal contnuo xc(t) = e-tu(t)

-2

- MT

0

MT

2

tem transformada de Fourierg

= g

1 . 1+

O sinal discreto que se obtem de xc(t) atravs de uma amostragem frequncia angular a = 40 radianos/s , = 0.05 s x(n) = xc(0.05n) , tem transformada de Fourier = {

e

Graficamente, |Xc(j)| pode obter-se com o seguinte programa em MATLAB w=-60:1:60; h=1./(1+j.*w); clf, subplot(2,1,1), plot(w,abs(h)), axis([-60,60,0,1]), grid on (note-se como simples tratar nmeros complexos em MATLAB) e

1

0.5

0 -60

-40

-20

enquanto que em |X(ej)|, que a seguir tambm se representa, so visveis as mudanas de escala e a sobreposio das diferentes parcelas presentes.

1998 F. J. Restivo

g

g

=

d m m

o

+

1

.

0

20

40

60


29

8 6 4 2 0 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12

De notar que poderamos facilmente obter uma expresso compacta para X(ej), pois, como x(n) = e-0.05nu(n) ,e | |

e

e desenhar o ltimo grfico a partir desta expresso.

3.1 Teorema da AmostragemA sobreposio das diferentes parcelas de X(ej) inconveniente do ponto de vista da representao de um sinal contnuo por uma sua amostragem, uma vez que da transformada de Fourier do sinal discreto no possvel recuperar novamente a transformada de Fourier do sinal contnuo. A recuperao apenas ser possvel se as diferentes parcelas de X(e j ) = 1 + j( + 2r) Xc ( ) T r = - T

no se sobrepuserem, isto , se ocuparem regies diferentes de . Uma condio a que Xc(j) tem de obedecer ocupar uma regio limitada de , isto , xc(t) tem de ser um sinal com espectro (transformada de Fourier) de banda limitada. Outra condio a frequncia angular de amostragem 2/T ser tal que as contribuies das diferentes parcelas de X(ej) no se sobreponham, isto , 2/T > 2M, em que M a frequncia limite superior de banda do sinal, em radianos por segundo. Um sinal contnuo com espectro de banda limitada ao intervalo [-M , M] deve ser amostrado a uma frequncia angular igual ou superior a 2M, para ser possvel a sua reconstruo exacta a partir do sinal discreto resultante.

3.2 AliasingO fenmeno do aliasing ocorre quando no se verificam as condies do teorema da amostragem, e resulta da sobreposio das diferentes parcelas de X(ej). Quando M > /T, tudo se passa como se as partes do espectro de Xc(j) exteriores ao intervalo [-/T, /T] se fossem dobrando sucessivamente em torno destas frequncias.

3.2.1 Uma explicao simplesQuando estamos a olhar para as imagens na TV de uma corrida de Frmula 1, por exemplo, apercebemo-nos por vezes que as rodas dos carros parecem ter movimentos estranhos, parecendo mesmo que se imobilizam, ou que giram em sentido contrrio ao esperado. Este fenmeno um efeito tpico do aliasing.

1998 F. J. Restivo

d

d d m

,


30

Na TV, a realidade amostrada cinquenta vezes por segundo, e a reproduo dessa sequncia de imagens que chega a nossas casas. Se duas imagens consecutivas de uma roda de um carro em movimento estiveram na situao que a figura representa, ns automaticamente as interpretamos (aliasing) como se entre as duas imagens a roda tivesse girado 45 no sentido retrgrado.

No entanto, nada nos garante que tal tenha acontecido. Pode ter girado qualquer nmero inteiro de voltas mais 45, no sentido retrgrado, ou pode ter girado qualquer nmero inteiro de voltas mais 315, no sentido directo, ou pode ter realizado os movimentos mais extravagantes. No possvel saber! A amostragem , por natureza, uma operao que conduz perda irremedivel de quase a totalidade da informao contida no sinal amostrado. Agora, se se souber, por exemplo, que a cadncia de imagens tal que entre duas imagens consecutivas a roda gira, no mximo, 180, ento, j possvel ter alguma certeza sobre o que se est a passar. Se a roda girar a f voltas/s, realiza meia volta em 1/2f s, e a cadncia mnima de imagens que permite recuperar o movimento 2f imagens/s, o dobro da velocidade a que a roda gira. O teorema da amostragem, ou de Nyquist, diz exactamente isto! Exemplo O sinal contnuo xc(t) = sinc2(10t) a seguir representado

1

0.5

0 -1

-0.5

0

0.5

1

tem transformada de Fourier Xc(j) de banda limitada a -20 < < 20 radianos por segundo. Na realidade, a transformada de Fourier de sinc(10t) um pedestal entre 10 e 10 radianos por segundo, como se pode confirmar calculando a tansformada de Fourier inversa de um pedestal no domnio das frequncias X(j) = 1, se || M 0, se no , que o f g m

1998 F. J. Restivo

n

l

d

l

d

=

=

e

e

1 2

1 2

=

o

n

+

.


31

Atendendo a que ao produto de dois sinais corresponde a convoluo das suas transformadas de Fourier ento a transformada de Fourier de sinc2(10t) a convoluo deste pedestal com ele prprio, ou seja, um sinal triangular entre 20 e 20 radianos por segundo. Se procedermos a uma amostragem daquele sinal frequncia angular de 40 radianos por segundo, isto , obedecendo ao teorema da amostragem, no se verificar a ocorrncia de aliasing. 2 1.5 1 0.5 0 -3 -2 -1 0 1 2 3

Se realizarmos essa amostragem frequncia angular de, por exemplo, 30 radianos por segundo, isto , no obedecendo ao teorema da amostragem, verificar-se- a ocorrncia de aliasing. 2 1.5 1 0.5 0 -3 -2 -1 0 1 2 3

O programa em MATLAB seguinte serviu para calcular as transformadas de Fourier dos dois sinais amostrados, no intervalo [-, ]: n=-64:1:63; x40=sinc(2*n/4).*sinc(2*n/4); x30=sinc(2*n/3).*sinc(2*n/3); h40=fftshift(fft(x40)); h30=fftshift(fft(x30)); w=-pi:pi/64:pi-pi/64; a=[-pi,pi,0,2]; clf, subplot(2,1,1), plot(w,abs(h40)), axis(a), grid on subplot(2,1,2), plot(w,abs(h30)), axis(a), grid on

3.3 Reconstruo de um Sinal AmostradoA reconstruo de um sinal amostrado faz-se calculando Xc(j) a partir de X(ej), o que s possvel se no tiver ocorrido aliasing. Esta operao implica por um lado eliminar as bandas de X(ej) fora do intervalo [-, ] e por outro realizar a mudana de varivel ,e

e

=

Xc(j) =

TX(ejT), se -/T < < /T 0, se no .

1998 F. J. Restivo

d

+

d m


32

Calculando em seguida a transformada de Fourier inversa x c (t) = T 2 / T +

/ T n = -

x(n)e- jTn e jt d =

n = -

+

x(n)

T 2

/T

/ T

e

j( t nT )

d

x c (t) =

n = -

+

x(n)

+ /T T 1 (t - nT ) e j ( t nT ) / T = x(n)sinc( ) . 2 j( t nT) T n = -

[

]

obtem-se um sinal de banda limitada nas condies pretendidas. Realmente, cada componente x(n)sinc((t-nT)/T) de banda limitada, e toma o valor zero em todos os pontos de amostragem, excepto no ponto t = n, onde toma o valor x(n), como se mostra no exemplo seguinte.

2 1 0 0O resultado

2

4

6

8

10

2 1 0 0 2 4 6 8 10

3.4 Amostragem RealA amostragem ideal que estudamos x(n) = xc(n) no realizvel na prtica. Uma amostragem real pode contudo em muitos casos ser expressa em termos de uma amostragem ideal, ficando desse modo completamente caracterizada, para todos os efeitos prticos, e nomeadamente para a sua compensao. Exemplo Um modelo para muitas situaes de amostragem real o do valor mdio

1998 F. J. Restivo


33

x(n) =

1

nT

nT

x c (t)dt

,

que se pode exprimir como a amostragem ideal da convoluo xc(t) (u(t) - u(t-))/ , ou seja, do sinal contnuo xc(t) filtrado por um filtro passa baixo com resposta impulsional h(t) = (u(t) - u(t-))/ . A resposta em frequncia respectiva H(j) = sinc(/2)e-0.5j e, como seria de esperar, quanto menor for , maior a largura de banda do filtro e mais prxima da ideal esta amostragem real.

1 0.5 0 -0.5 -4/ -2/ 0 2/ 4/

Como, normalmente, muito menor que , ento 2/ >> /T e o efeito deste filtro passa-baixo , nesses casos, muito pequeno. Por outro lado, esse efeito pode sempre ser compensado noutro ponto da cadeia de processamento, nomeadamente no processador de sinal.

3.5 Reconstruo RealA reconstruo do sinal contnuo a partir da expresso x c (t) =+

n = -

x(n)sinc(

(t - nT) ) T

normalmente problemtica, e mesmo impossvel em tempo real, por ser uma operao no causal. Em muitos casos, a reconstruo que realmente se faz da forma x c (t) =+

n = -

x(n)(t - nT)

,

em que (t) uma determinada funo de reconstruo, que se pode facilmente obter reconstruindo o sinal discreto (n). Calculando a transformada de Fourier

1998 F. J. Restivo

q

p

q

p q p


34

X c (j) =

n = -

x(n)(j)e- jnT

+

= (j)X(e jT ) ,

em que (j) a transformada de Fourier de (t). Comparando esta expresso com a expresso da reconstruo ideal Xc(j) = TX(ejT), se -/T < < /T 0, se no , pode dizer-se que Xc(j) se obtem de X(ej), no atravs de um filtro passa-baixo ideal, cujo efeito eliminar as bandas de X(ej) fora do intervalo [, ], mas sim atravs de um filtro, (j), que, para alm de no ter ganho constante neste intervalo, eventualmente apenas atenua aquelas bandas. Exemplos Na reconstruo de ordem 0,

1.5 1 0.5 0 -0.5 -2 2 1.5 1 0.5 0 -2(t) = u(t) - u(t-T) , (j) = Tsinc(0.5T)e-0.5j , como se sabe, e na reconstruo de ordem 1 (interpolao linear),

0

2

4

6

8

10

0

2

4

6

8

10

1.5 1 0.5 0 -0.5 -2 0 2 4 6 8 10

1998 F. J. Restivo


35

2 1.5 1 0.5 0 -2(t) =

0

2

4

6

8

10

(u(t + 0.5T) - u(t - 0.5T)) (u(t + 0.5T) - u(t - 0.5T)) , T

(j) = Tsinc2(0.5T) .

3.6 InterpolaoA interpolao corresponde ao aumento da frequncia de amostragem do sinal contnuo, e s , naturalmente, possvel se este tiver j sido amostrado a uma frequncia satisfazendo o teorema da amostragem. Sejam x(n) um sinal discreto com transformada de Fourier X(ej) e x0(n) o sinal discreto que se obtem do anterior intercalando M-1 zeros entre cada dois valores de x(n) x0(n) = x(n/M), se n mltiplo de M 0, se no . A transformada de Fourier de x0(n) evidentemente X0(ej) = X(ejM) , isto , a transformada de Fourier X(ej) como que comprimida no intervalo [-/M, /M] e depois repetida periodicamente com perodo 2/M Se se notar, a partir da expresso o m

e

que amostrar a uma frequncia M vezes maior um sinal contnuo tem exactamente por efeito comprimir M vezes a transformada de Fourier do sinal discreto resultante e multiplicar por M a sua amplitude, pode-se concluir que a interpolao se consegue realizando uma filtragem passa baixo de x0(n) com frequncia de corte /M e ganho M.

1998 F. J. Restivo

~

1

g

+2

d m

,


36

A interpolao uma situao em que os filtros digitais do tipo no recursivo so muitas vezes utilizados, tirando partido do facto de apenas 1 em M elementos do sinal discreto x0(n), no mximo, serem no nulos. Assim, na equao0

1

=0

apenas L/M coeficientes h(k) intervm no clculo de um elemento de xi(n), como se o filtro fosse realmente de comprimento L/M. Estes L/M coeficientes variam contudo com a ordem do elemento de xi(n). Se L for um mltiplo de M, os L coeficientes h(k) podem ser arranjados em M conjuntos conjunto 0 1 ... M-1 h(0) h(1) ... h(M-1) h(M) h(M+1) ... h(2M-1) ... ... ... ... h(L-M) h(L-M+1) ... h(L-1)

sendo utilizado o conjunto n mod M para o clculo do elemento xi(n), e tudo se passando como se fosse utilizado um filtro no recursivo de comprimento L/M e coeficientes variveis (no invariante). Em MATLAB, a funo interp realiza a interpolao. O programa a seguir mostra-o: t=0:1:10; x=exp(-t/5).*sin(t); xi=interp(x,8); ti=0:0.125:10.875; subplot(2,1,1), fplot('exp(-x/5)*sin(x)',[0 10 -1 1]) hold on, subplot(2,1,1), stairs(t,x), axis([0 10 -1 1]), grid on subplot(2,1,2), fplot('exp(-x/5)*sin(x)',[0 10 -1 1]) hold on, subplot(2,1,2), stairs(ti,xi), axis([0 10 -1 1]), grid on

1998 F. J. Restivo


37

1 0.5 0 -0.5 -1 0 1 0.5 0 -0.5 -1 0 2 4 6 8 10 2 4 6 8 10

3.7 DecimaoA decimao a operao correspondente reduo da frequncia de amostragem do sinal contnuo. Na realizao desta operao, a nica dificuldade a possvel ocorrncia de aliasing. Sejam x(n) um sinal discreto com transformada de Fourier X(ej) e xd(n) o sinal discreto que se obtem do anterior atravs de uma decimao de M:1 xd(n) = x(Mn) , M inteiro . Comoe e m

e e m

e, realizando a mudana de varivel M , 2 e e m

1

integral que possvel reduzir ao domnio de integrao [, ] 2 e e

+

donde, por simples comparao,

1998 F. J. Restivo

|

~

l

d

e

d

m

1

1

2

l

d

d

l

d

d

1 2

l

d

d

1 2


38

A decimao ser uma operao reversvel, isto , realizada sem perda de informao, se X(ej) for zero fora do intervalo [-/M, /M], ou seja, se for de banda limitada. A decimao assim habitualmente precedida de uma filtragem passa baixo digital, para que esta situao se verifique garantidamente. A decimao outra das situaes em que os filtros digitais do tipo no recursivo so muito utilizados, apesar de normalmente exigirem mais operaes por sada do que os do tipo recursivo. Apesar de apenas ser necessrio conservar uma sada do filtro passa baixo de M em M, se o filtro for do tipo recursivo todas as sadas tm de ser necessariamente calculadas.

3.8 Converso Fraccionria da Frequncia de AmostragemA multiplicao da frequncia de amostragem de um sinal contnuo por uma fraco M/N realiza-se encadeando uma interpolao 1:M e uma decimao N:1. As duas filtragens passa-baixo podem evidentemente ser realizadas por um nico filtro digital, cuja frequncia de corte seja o mnimo dos valores /M e /N.

1998 F. J. Restivo

e

e

d

m

=

+

e

1

|

~

1

2

d

m


39

4. Transformada em z4.1 DefinioA transformada em z um instrumento matemtico essencial para a anlise e sntese de sistemas discretos, desempenhando um papel paralelo ao desempenhado pela transformada de Laplace relativamente aos sistemas contnuos. Como se sabe, um sinal discreto x(n) apenas ter transformada de Fourier se a somae

e

=

existir, sendo a transformada de Fourier inversa dada pore e m

A condio de convergncia necessria existncia da transformada de Fourier demasiado exigente, da resultando que muitos sinais com interesse prtico no tm transformada de Fourier. A transformada em z, X(z), de um sinal discreto x(n) uma funo complexa da varivel complexa z C, e define-se como

+

.

=

Como veremos, esta definio vai permitir que muitos daqueles sinais que no tm transformada de Fourier tenham transformada em z. Exemplos O sinal discreto impulso unitrio x(n) = (n) tem transformada X(z) = 1 . O sinal discreto degrau unitrio x(n) = u(n) , que no tem transformada de Fourier, tem transformada em z

=0

na regio do plano z |z| > 1 , condio em que este somatrio converge. A condio de convergncia necessria existncia da transformada em z menos exigente que a condio de convergncia necessria convergncia da transformada de Fourier.

1998 F. J. Restivo

+

=

1 1 1

l

d

d

1 2

d

+

d m m m

.


40

4.2 Regio de ConvergnciaA regio do plano z onde existe a transformada em z de um sinal discreto denomina-se regio de convergncia da transformada em z desse sinal. A indicao da regio de convergncia absolutamente obrigatria na transformada em z. Exemplo A transformada em z de x(n) = anu(n) 1 x x

e a transformada em z de x(n) = -anu(-n-1) 1 1 x x x x

=

=x

=1

que s difere da anterior na regio de convergncia! Em certas situaes, a regio de convergncia da transformada em z de um sinal discreto pode ser determinada muito facilmente. A regio de convergncia da transformada em z de um sinal discreto de comprimento finito, isto , tal que n < n1 ou n > n2 x(n) = 0 , todo o plano z, excepto z = 0 , se n2 > 0 , uma vez que neste caso

=

2

1

contem parcelas com potncias negativas de z, e / ou |z| = , se n1 < 0 , j que neste caso X(z) contem parcelas com potncias positivas de z. Se o sinal discreto for de comprimento infinito mas tal que n < n1 x(n) = 0 , sempre possvel encontrar um valor Rc suficientemente grande que garanta que existao

=

,

1

o que quer dizer que a regio de convergncia da transformada em z de um sinal discreto nestas condies o exterior de um crculo centrado na origem do plano z e com raio Rc.

1998 F. J. Restivo

=

1x

1

1

1

1

n2 x(n) = 0 , sempre possvel encontrar um valor Rc suficientemente pequeno que garanta que existao

2

,

=

e ento a regio de convergncia da transformada em z de um sinal discreto nestas condies o interior de um crculo centrado na origem do plano z e com raio Rc.

Finalmente, se o sinal discreto for de comprimento infinito e no se verificar nenhuma das situaes anteriores, a regio de convergncia da sua transformada em z, se existir, ser uma coroa circular centrada na origem do plano z.

Em muitos casos, a transformada em z de um sinal discreto uma fraco cujos numerador e denominador so dois polinmios em z, ou em z-1. Os zeros do denominador desta fraco so os polos dessa transformada em z. Os polos da transformada em z de um sinal discreto situam-se sempre fora da sua regio de convergncia, a qual, contudo, sempre limitada pelos seus polos. Seria absurdo que assim no fosse.

4.3 Relao com a Transformada de FourierSejam x(n) um sinal discreto e X(z) a sua transformada em z.

1998 F. J. Restivo


42

Se a circunferncia de raio unitrio e centrada na origem do plano z z = ej , - < pertencer regio de convergncia de X(z), ento a transformada de Fourier de x(n) pode obter-se de X(z) atravs de v q p

=q

De notar que existiro sinais discretos para os quais no existe transformada de Fourier e existe transformada em z, e para os quais portanto esta relao no vlida. Inversamente, pode obter-se a transformada em z de x(n) a partir da sua transformada de Fourier, utilizando a transformada de Fourier inversa e em seguida a definio de transformada em z X(ej) x(n) X(z) . Esta possibilidade de se obter uma funo definida num plano a partir do conhecimento do seu valor ao longo de uma linha desse plano, est ligada ao facto de X(z) ser uma funo complexa da varivel complexa z. No ser esta a ltima vez em que certas propriedades das funes complexas da varivel complexa so referidas.

4.4 Algumas Propriedades da Transformada em zA transformada em z uma transformada linear, o que quer dizer que a transformada em z da soma de dois sinais discretos a soma das suas transformadas em x, e a transformada em z do produto de um sinal discreto por uma constante o produto da transformada em z desse sinal discreto por essa constante. A transformada em z do sinal discreto x(n), com transformada em z X(z), deslocado de k, x(n-k), x(n-k) z-kX(z) , como se obtem escrevendo m

+

+

=

=

+

+

=

A transformada em z do sinal discreto x(n) multiplicado por an, anx(n), anx(n) X(z/a) , com regio de convergncia de raio aRc. A transformada em z do sinal discreto x(-n) x(-n) X(z-1) , com regio de convergncia de raio Rc .-1

4.5 Propriedade da ConvoluoSejam x(n) e h(n) dois sinais discretos e

~

+

a sua convoluo discreta. Ento

~

+

+

=

1998 F. J. Restivo

e

p }

=

.

=


43

sendo necessrio que no seja vazia a interseco das regies de convergncia de X(z) e de H(z). A regio de convergncia de Y(z) inclui aquela interseco, mas pode exced-la, se houver cancelamento de polos com zeros. A transformada em z tem asim a propriedade da convoluo.

4.6 Funo de Transferncia de um Sistema DiscretoComo resulta da propriedade da convoluo, as transformadas em z, X(z), da entrada x(n), e Y(z), da sada y(n), de um sistema discreto esto relacionadas por Y(z) = H(z)X(z) , em que H(z) a transformada em z da sua resposta impulsional h(n). H(z) a funo de transferncia do sistema discreto, e, como veremos, desempenha um papel fundamental na anlise e na sntese de sistemas discretos.

4.7 Estabilidade e CausalidadeUm sistema discreto estvel se e s se a regio de convergncia da sua funo de transferncia contiver a circunferncia unitria do plano z. Realmente, neste caso h(n) tem transformada de Fourier e satisfaz portanto ao critrio de estabilidade de um sistema discreto. Um sistema discreto causal se e s se a regio de convergncia da sua funo de transferncia fr o exterior de um crculo. Um sistema discreto causal e estvel tem todos os seus polos no interior da circunferncia unitria do plano z. Esta circunferncia desempenha um papel semelhante ao do eixo j do plano s relativamente transformada de Laplace.

4.8 Avaliao Geomtrica da Transformada de FourierConhecidos os zeros z zi e os polos z p i da transformada em z, X(z), de um sinal discreto x(n)

avaliao de X(z) quer em mdulo quer em fase, muito utilizado por exemplo quando se pretende uma ideia aproximada do andamento da transformada de Fourier X(ej) de x(n). Interpretando z = ej como um ponto mvel z que se desloca ao longo da circunferncia unitria do plano z,

1998 F. J. Restivo

p

p

e se notarmos que

e

q

q

,

~

~

+

+

~

=

=

+

+

+

} } m

= X(z)H(z) ,

so "vectores" no plano z, obtemos um mtodo simples de


44

eq p q

Exemplo Em MATLAB, a instruo zplane localiza imediatamente os zeros e polos de uma funo X(z). Por exemplo, para localizar no plano z os zeros e os polos de + + {

basta fazer zplane([1 -0.5 0.5],[1 1 0.5 -0.1])

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1 -0.5 0 0.5 1

1998 F. J. Restivo

{

=

+

e

e

p

q

q

e

e

d

d

e

e

,

.

p p d m m


45

4.9 Inverso da Transformada em zSe uma determinada transformada em z, X(z), estiver expressa como um polinmio em z, a sua inverso bvia. Exemplo Se X(z) = 1 - 2z-1 ento x(n) = (n) - 2(n-1).

4.9.1 Mtodo da DivisoSe X(z) estiver expressa como um quociente de dois polinmios em z, a realizao da respectiva diviso permite obter x(n). Exemplo Se 1 x x m

1

1

, causal ,

a diviso segundo as potncias decrescentes de z conduz ao resultado pretendido 1 -1 + az-1 az-1 -az-1 + a2z-2 ... Para se encontrar a soluo no causal, seria necessrio realizar a diviso segundo as potncias crescentes de z 1 -1 + a-1z a-1z -a-1z + a-2z2 ... Este mtodo no permite normalmente obter uma expresso compacta para x(n), mas oferece um processo expedito para o clculo de seus valores iniciais. muito usado em programas de computador. -az-1+1 -a-1z - a-2z2 - a-3z3 - ... 1 - az-1 1 + az-1 + a2z-2 + a3z-3 +...

4.9.2 Mtodo da Decomposio em Fraces SimplesA decomposio de X(z) em fraces simples, no caso em que X(z) uma fraco racional, outro mtodo de realizar a inverso da transformada em z. O objectivo decompor X(z) em parcelas das quais seja conhecida a transformada em z inversa e invocar a linearidade da transformada em z para realizar a inverso. Para aplicar este mtodo, ser til conhecer-se as transformadas x

1998 F. J. Restivo

x

x

x

{

=

x

x

{

>

x

e {

=

>

e o seu produto x(n)w(n) = 6-nu(n) tem transformada em z

Este resultado pode ser naturalmente obtido atravs da propriedade da convoluo complexa, calculando no plano v o integral

com o contorno C satisfazendo as condies impostas pelas regies de convergncia de X(z) e W(z), isto ,

,

{

>

{ m

,


50

a transformada em z procurada. Note-se que atravs da propriedade da convoluo complexa foi possvel deduzir no s a expresso da transformada em z como tambm a sua regio de convergncia.

1998 F. J. Restivo

{

=

,


51

5. DFT - Transformada de Fourier Discreta5.1 IntroduoA transformada de Fourier X(ej) de um sinal discreto x(n) uma funo da varivel contnua , que sabemos ser peridica, com perodo 2. Do ponto de vista do seu processamento, interessa evidentemente conhecer em que condies possvel representar esta transformada de Fourier X(ej) por uma sua amostragem X(k). Essas condies so, como vamos ver, o sinal x(n) ser de comprimento limitado, N, e a sua transformada de Fourier ser amostrada em pelo menos N pontos num perodo, e so da mesma natureza das condies que estabelecemos quando estudamos a amostragem de sinais contnuos. Nessas condies, um sinal de banda limitada e de durao limitada poder ento ser representado por N amostras, do sinal ou da sua transformada de Fourier!

5.1.1 Amostragem nos Domnios do Tempo e da FrequnciaA transformada de Fourier de um sinal contnuo xc(t) , se existir, d o

e a sua transformada inversa d

Quando se amostra um sinal contnuo xc(t), x(n) = xc(nt) , nN sabemos que esta amostragem apenas representa o sinal contnuo se a sua transformada de Fourier Xc(j) for de banda limitada a um intervalo de largura igual ou inferior a 2/t.

Se esta condio no for satisfeita ocorre o fenmeno designado por aliasing e a amostragem deixa de ser reversvel. Atendendo similaridade entre as expresses da transformada de Fourier e da transformada de Fourier inversa, poderamos verificar que quando se amostra uma transformada de Fourier Xc(j), X(k) = Xc(jk) , kN

1998 F. J. Restivo

l

g

e

o

m

l

g

e

o m

o

,

,

t


52

esta amostragem apenas representar a transformada de Fourier se o sinal contnuo xc(t) for de durao limitada a um intervalo igual ou inferior a 2/, e que de outro modo ocorreria aliasing e a transformada de Fourier no poderia ser recuperada a partir da amostragem realizada.

t

Na realidade, amostrar num dos domnios equivale a repetir periodicamente no outro, e o aliasing no mais que a sobreposio decorrente dessa repetio peridica.

5.1.2 Sinais Peridicos nos Domnios do Tempo e da FrequnciaUm sinal contnuo peridico xp(t) no tm transformada de Fourier, mas, como se sabe, pode ser desenvolvido em srie de Fourier, com coeficientes

t

k

em que T o perodo do sinal, sendo ento e

=

=

Os coeficientes Ck so, a menos do factor 1/T, uma amostragem nos pontos 2k/T da transformada de Fourier do sinal de durao limitada definido por um perodo do sinal peridico xp(t)

No domnio dos tempos, exxiste uma correspondncia biunvoca entre um sinal de durao limitada e um sinal peridico constitudo por uma repetio peridica daquele, desde que o perodo da repetio seja igual ou superior durao do sinal.

1998 F. J. Restivo

g

m

=

.

l

d

|

g

e

d

k

+

.

l

d

=

|

e

k m k

,

t


53

No domnio das frequncias, desde que se considere um nmero suficiente de amostras, h igualmente uma correspondncia biunvoca, sendo os coeficientes da srie de Fourier do primeiro uma amostragem, a menos do factor 1/T, da transformada de Fourier do segundo.sinal contnuo de durao limitada sinal contnuo peridico

amostragem transformada de Fourier srie de Fourier

A situao dual desta pode ser encontrada na transformada de Fourier de um sinal discreto, anteriormente estudada,

n

=

e na transformada de Fourier inversa de um sinal contnuo

d

Realmente, no domnio das frequncias, pode estabelecer-se uma correspondncia biunvoca entre uma transformada de Fourier de banda limitada e uma transformada de Fourier peridica obtida por repetio daquela, desde que o perodo desta seja superior largura de banda daquela, isto , no haja aliasing. No domnio dos tempos, desde que se considere um nmero suficiente de amostras, h igualmente uma correspondncia biunvoca, sendo o sinal discreto original da segunda uma amostragem do sinal contnuo original da primeira.amostragem sinal discreto sinal contnuo

transformada de Fourier peridica

O desenvolvimento em srie de Fourier de um sinal contnuo peridico

1998 F. J. Restivo

l

g

e

o

m

e

d

e

=

+

d o m

t

.

transformada de Fourier de banda limitada


54

x p (t) =

k =

Ck e j T kt

+

2

e a transformada de Fourier de um sinal discreto (que tambm uma srie de Fourier!)e

e

=

+

d

=

so assim expresses intimamente ligadas, podendo em certas condies relacionar-se os respectivos componentes Ck e x(n).amostragem sinal discreto sinal contnuo sinal contnuo de durao limitada sinal contnuo peridico

transformada de Fourier peridica

transformada de Fourier de banda limitada

Um sinal contnuo peridico tem uma transformada de Fourier constituda por "riscas", os coeficientes Ck, e uma transformada de Fourier peridica tem como original um sinal constitudo por "riscas", o sinal discreto x(n).

assim possvel estabelecer uma relao entre estes dois sinais discretos, o sinal x(n) e os coeficientes Ck, na condio de se verificarem as condies requeridas para a realizao das amostragens nos domnios do tempo e da frequncia, isto , largura de banda 2/t e durao 2/, em que t e so os intervalos de amostragem respectivos. Como e

=

=

amostrando xp(t) em N pontos igualmente espaados de t=T/N, nt = nT/N, n = 0 .. N-1 z e

=

Como, por outro lado,

1998 F. J. Restivo

d

k

=

=

+

d

k

+

d m

amostragem transformada de Fourier srie de Fourier

t

k

n


55

isto , a menos do factor 1/T, uma amostragem de Xp(j) em N pontos igualmente espaados de =2/T e m

= e

=

=

Estas relaes so vlidas se se verificarem as condies requeridas para a realizao das amostragens nos domnios do tempo e da frequncia, isto , largura de banda 2N/T e durao T, pelo que apenas N coeficientes Ck e N amostras x(n) sero no nulos, tornando-se

0

N-1 z e

n

5.2 DFS - Srie de Fourier DiscretaUm sinal discreto peridico no tem transformada de Fourier. Na realidade, escrevendo um sinal peridico de perodo N como

~

em que x(n) um sinal discreto de comprimento limitado, isto , tal que n < 0 ou n > N-1 x(n) = 0 , verifica-se que a transformada em z de xp(n)

=

no converge em nenhum ponto do plano z (convergiria se o sinal peridico fosse limitado de um dos lados, mas mesmo neste caso continuaria a no existir transformada de Fourier devido aos polos de Xp(z) sobre a circunferncia unitria do plano z). Um sinal discreto peridico, com perodo N, pode contudo ser desenvolvido em srie de Fourier discreta, isto , pode ser descrito como uma soma de sinais discretos sinusoidais complexos com perodo N ou um seu submltiplo

1998 F. J. Restivo

~

=

m

=

=

z

z

z

~

+

+

~

=

z

z

~

+

+

|

=

z

e

d

=

,

{

|

=

d

=

k

z

.

z

d

z

e

d

{

=

=

+

+

d

d

= g

e

=

+

g

m

=

z

k m k k m m

, k = 0 .. N-1

.

0

N-1

k


56

=

(o factor N um simples factor de escala).d

-1

Como z e

j

s h efectivamente N sinais discretos sinusoidais complexos de perodo N diferentes, pelo que um sinal discreto peridico com perodo N pode ser desenvolvido numa srie de Fourier discreta com apenas N termos diferentesz m

e os coeficientes Xp(k) so dados na realidade porz

sendo til notar que Xp(k+N) = Xp(k) , isto , que Xp(k) um sinal discreto peridico, com perodo N.

5.3 DFT - Transformada de Fourier DiscretaA transformada de Fourier discreta (DFT) de um sinal discreto x(n) de comprimento N uma amostragem da sua transformada de Fourier X(e ) em N pontos igualmente espaados do intervalo [0, 2[ ~

z

como se pode verificar substituindo nesta expresso X(k) pelo valor dado na expresso anterior z z

e notando que o somatrio em k vale

1998 F. J. Restivo

|

=

z

d

|

~

=

j

i

e

{

z

|

=

d

d

| { ~

e

e

z

d

{

z

m

| { ~ z

A relao inversa e { z

z

d

| ~

e

d

e

|

~

{

z

z

e

{

|

=

d

e

|

=

d

{

j

,

e

z

=

,

z

d

z

m

+

e { i z e z d d m m m

,

,

.

.


57

k= 0

e

N-1

j2(n-r)k N

=

0 , se r n N , se r = n .

Normalmente, as expresses anteriores escrevem-se de uma forma mais compacta, introduzindo a notao WN = ej 2 N

= cos

2 2 j sin N N

e escrevendo-as na sua forma mais usual z

Comparando as respectivas expresses, pode verificar-se que a transformada de Fourier discreta de um sinal discreto x(n) com comprimento N pode ser interpretada como a srie de Fourier discreta do sinal discreto peridico com perodo N que se obtem repetindo periodicamente aquele sinal

~

,

ou ainda, a menos do factor N, como a srie de Fourier do sinal contnuo peridico com perodo T que se obtem por repetio do sinal de durao T e largura de banda 2N/T cuja amostragem com perodo T/N x(n) X(k) = NCk . Exemplos O sinal discreto de comprimento 4 x(n) = [1, 1, 1, 1] tem DFT

X(k) = [4, 0, 0, 0] que uma amostragem da transformada de Fourier X(ej) = (2cos(/2) + 2cos(3/2))e-3j/2 do sinal discreto dado, nos pontos

k =

, k = 0 .. 3 .

1998 F. J. Restivo

| ~

z

m

| ~

| z ~

{

{ z m m

.


58

4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6

Se a transformada de Fourier tivesse sido amostrada em apenas 3 pontos

k = obteriamos

, k = 0 .. 2

X(0) = 2 + 2 = 4 X(1) = (1 - 2)e-j

=1 =1

X(2) = (-1 + 2)e

-j2

4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6

e, calculando a transformada de Fourier discreta inversa (iDFT) com comprimento 3, x(0) = (4 + 1 + 1) / 3 = 2 x(1) = (4 + W3 + W32) / 3 = (4 - 1/2 - 3/2j - 1/2 +3/2j) / 3 = 1 x(2) = (4 + W32 + W34) / 3 = 1 , o que demonstra o fenmeno do aliasing. Na realidade, o sinal discreto original [1, 1, 1, 1]x(n) 0 1 2 3 4 5

recuperado como [2, 1, 1]

x(n) 0 1 2 3 4 5

1998 F. J. Restivo


59

com o elemento x(3) do sinal original adicionado a x(0) no sinal obtido atravs da iDFT. Como se mostra a seguir, a amostragem em 3 pontos da transformada de Fourier deste ltimo sinal exactamente [4, 1, 1].

4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6

5.4 Propriedades da DFTAs propriedades da DFT reflectem a natureza peridica subjacente a estes sinais x(n) e X(k) de comprimento N. Um sinal discreto tem uma transformada de Fourier peridica; uma transformada de Fourier discreta ter como original um sinal peridico. A DFT goza da propriedade da linearidade. A DFT do sinal discreto deslocado de m, x((n-m)), WNmkX(k), desde que o deslocamento se entenda como circular ou peridico, como se exemplifica a seguir para N=5 e k = 1, e se simboliza com a notao ((.)),

x(n) 0 1 2 3 4 5

x((n-1))

0

1

2

3

4

5

em que o elemento x(N-1) aps o deslocamento surge ocupando a posio de x(0). A DFT tem a propriedade da convoluo circular ou peridica, isto , o produto de duas DFT de comprimento N a convoluo circular ou peridica dos respectivos sinais discretos originais, entendida como um perodo da convoluo de um deles por um perodo do outro. Enquanto que na convoluo linear

1998 F. J. Restivo


60

h(n)

0

1

2

3

4

5

x(n) 0 1 2 3 4 5

x(n)*h(n)

0

1

2

3

4

5

na convoluo circular, com N=5,x(n) 0 1 2 3 4 5

h(n)

0

1

2

3

4

5

x(n)*h(n)

0

1

2

3

4

5

A convoluo circular introduz aliasing sempre que o comprimento do sinal discreto resultante da convoluo excede o comprimento da DFT, como o caso da figura. Existe na DFT uma dualidade entre os domnios original e transformado, traduzido na similaridade das expresses da DFT e da iDFT. Se se registar em X(k) um deslocamento circular de m, X((k-m)), o sinal discreto no domnio original ser WN-nmx(n) ,

1998 F. J. Restivo


61

e se multiplicarem dois sinais discretos verifica-se a convoluo circular das duas DFT. Finalmente, as propriedades de simetria conhecidas devem ser interpretadas em termos da periodicidade subjacente DFT. O sinal discreto de comprimento 5

x(n) 0 1 2 3 4 5

par, e o sinal discreto, tambm de comprimento 5,

x(n) 0 1 2 3 4 5

mpar, deste ponto de vista. No caso geral, um sinal de comprimento N par se x(n) = x(N-n) e mpar se x(n) = -x(N-n).

5.5 Relao com a Transformada em zA DFT de um sinal discreto com comprimento N tambm uma amostragem da sua transformada em z, X(z), em N pontos igualmente espaados sobre a circunferncia unitria do plano z zk = WN , k = 0 .. N-1 . A transformada em z, X(z), pode ser recuperada dessa amostragem, X(k). Escrevendo z m

-k

obtem-se facilmente

X( z) =

N 1 1 N 1 1 z N X ( k ) ( WN k z 1 ) n = N k =0 N n=0

Esta expresso a base de um mtodo de projecto de filtros digitais designado por mtodo da amostragem da funo de transferncia (FST - Frequency Sampling Technique). Dada uma amostragem H(k) de uma funo de transferncia H(z), como

1998 F. J. Restivo

|

=

{ z

N 1 k =0

1 W

X( k ) k 1 N

z


62

conclui-se que o sistema correspondente pode ser implementado pela associao em srie de um sistema com funo de transferncia = z

H

0

H1 Hp Hk +

H N-1com um sistema constitudo pela associao em paralelo de N sistemas com funo de transferncia

H k ( z) =

H(k) 1 ej 2 k N z 1

, k = 0 .. N 1.

5.6 Convoluo Linear Utilizando a DFTOs sistemas realizam a convoluo linear, e a DFT a convoluo circular. Cabe aos utilizadores utilizar a DFT em condies tais que as duas operaes coincidam. Se se pretender realizar a convoluo linear de dois sinais discretos x(n) e h(n), de comprimentos L e M, respectivamente, o comprimento mnimo da DFT nas condies acima referidas L+M-1. Um caso importante aquele em que L muito grande ou mesmo de valor indefinido (caso do processamento em tempo real), porque nesse caso no possvel realizar uma nica DFT com este comprimento, e necessrio fraccionar x(n).

5.6.1 Mtodo Overlap-AddUm dos mtodos que se pode utilizar o mtodo overlap-add, em que x(n) dividido em segmentos justapostos de comprimento N-M+1, sendo N o comprimento da DFT utilizada,

1998 F. J. Restivo

z

d

{

e

|

|

|

=

=

=

h

z

d

h

=

=

z

z

{

e

z

{

{

{ z h h


63

e a convoluo calculada segmento a segmento, adicionando-se os resultados.

Como cada convoluo parcial tem comprimento N-M+1+M-1 = N , os resultados parciais sobrepem-se dois a dois em M-1 pontos, com o efeito de os resultados relativos aos ltimos pontos de um segmento terem de aguardar pelos resultados relativos ao segmento seguinte para se realizar a adio.

1998 F. J. Restivo


64

5.6.2 Mtodo Overlap-SaveOutro o mtodo overlap-save, em que, atravs da sobreposio dos segmentos de x(n), de comprimento igual ao comprimento da DFT utilizada (repare-se no posicionamento do primeiro segmento, e nos M-1 zeros iniciais) se obtem resultados com aliasing nos primeiros M-1 elementos de cada segmento, mas cujas partes correctas se justapem sem necessidade de qualquer adio suplementar.

A realizao da convoluo linear utilizando a DFT tem interesse porque existem algoritmos extremamente eficientes para o clculo desta transformada.

5.7 FFT - Transformada Rpida de FourierA publicao por Cooley & Tukey, em 1965, do primeiro algoritmo para a computao rpida da DFT constitu marco histrico para a evoluo da disciplina de PDS, podendo a importncia dos algoritmos FFT (Fast Fourier Transform) hoje avaliar-se pelo volume de bibliografia que desde ento lhes tem sido dedicada. Curiosamente, ter sido Gauss, o eminente matemtico alemo Carl Friedrich Gauss, em 1805, o primeiro a descobrir um algoritmo similar FFT, nos seus estudos de interpolao das rbitas de corpos celestes, precedendo mesmo a prpria obra de Jean-Baptiste Joseph Fourier Theorie Analytique de la Chaleur, que foi publicada em 1822!

1998 F. J. Restivo


65

Outros ilustres matemticos, como Runge, em 1903, Stumpff, em 1939, e Danielson e Lanczos, em 1942, descobriram mtodos eficientes para o clculo da DFT.

5.7.1 Decimao no TempoO algoritmo de C&T, ou de decimao no tempo, baseia-se no facto de resultar uma substancial reduo no nmero das operaes aritmticas requeridas para calcular uma DFT de comprimento N, par, se este clculo se realizar em duas fases, uma primeira em que so calculadas duas DFT de comprimento N/2 e uma segunda em que estas so combinadas de modo a obter-se o resultado pretendido. Seja x(n) um sinal discreto de comprimento N, par, e sejam g(

Documents

Processamento Digital de Sinal.pdf