Processos Estocasticos Em Teoria de Campos

7/17/2019 Processos Estocasticos Em Teoria de Campos

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Universidade do Estado do Rio de Janeiro

Centro de Tecnologia e CienciaInstituto de Fısica Armando Dias Tavares

Leandro Alexandre da Silva

Processos estocasticos em teoria de campos e aplicacao ao

universo inflacionario

Rio de Janeiro

2009




Processos estocasticos em teoria de campos e aplicacao ao universo

inflacionario

Dissertacao apresentada como requisito par-cial para obtencao do tıtulo de Mestre, aoPrograma de Pos-Graduacao em Fısica, daUniversidade do Estado do Rio de Janeiro.

Orientador: Prof. Dr. Rudnei de Oliveira Ramos

Rio de Janeiro

2009




Processos estocasticos em teoria de campos e aplicacao ao universo

inflacionario

Dissertacao apresentada como requisito par-cial para obtencao do tıtulo de Mestre, aoPrograma de Pos-Graduacao em Fısica, daUniversidade do Estado do Rio de Janeiro.

Aprovada em 12 de Marco de 2009.

Banca Examinadora:

Prof. Dr. Rudnei de Oliveira Ramos (Orientador)

Instituto de Fısica Armando Dias Tavares – UERJ

Prof. Dr. Nami Fux Svaiter

Centro Brasileiro de Pesquisas Fısicas

Prof. Dr. Cesar Augusto Linhares

Instituto de Fısica Armando Dias Tavares – UERJ

Rio de Janeiro

2009



AGRADECIMENTOS

Agradeco aos meus familiares, pelo apoio durante todos esses anos de estudos (ca-ramba, ja sao uns 19!!).

Agradeco ao prof. Rudnei O. Ramos, pela orientacao ao longo desses ultimos 5

anos.

Agradeco ao amigo quase carioca e poxdoc do grupo, o Dr. Ricardo Fariax pelox

trabalhox em conjunto nesses ultimox doix anox...

Agradeco aos professores do PPGF que fizeram parte da minha formacao durante

o mestrado: prof. Jose Roberto Mahon, prof. Cesar Linhares, profa. Marcia Begalli, prof.

Jose de Sa Borges e prof. Silvio Sorella.

Agradeco aos secretarios Rogerio e Laurimar, pela disposicao constante em ajudar.

Agredeco ao CNPq e a CAPES, pelo apoio financeiro.

Agradeco a todos os meus amigos por todos os bons momentos que passamos e

passaremos juntos. Voces sabem quem sao. Nao vou citar nomes porque o tempo esta

curto e tenho que terminar de escrever essa dissertacao.

Agradeco aos Strokes, Doors, Cure, Interpol, Coldplay, Arctic Monkeys, Korn, Ca-

valera Conspiracy, Killers, Ozzy Osbourne, Sepultura, Offspring, Oasis etc , pelos ruıdos

que me acompanharam ao longo desses anos e que nao tem aproximacao markoviana que

me faca remove-los da memoria.

Agradeco a programacao da TV, que, por ser tao ruim, nao me fez perder tempocom ela.

Agradeco a voce, que esta lendo essa dissertacao e, ao encontrar misprints no texto

vai me comunicar, por livre e espontanea vontade.

Enfim, agradeco a todas as pessoas, porque num mundo em que se vive s o, prova-

velmente nada faria sentido.



Se voce nao encontra o sentido das coisas e porque este nao se encontra, se cria.

Antoine de Saint-Exupery



RESUMO

SILVA, Leandro Alexandre da. Processos estoc´ asticos em teoria de campos e aplicac˜ aoao universo inflacion´ ario. 2009. 82 f. Dissertacao (Mestrado em Fısica) – Instituto deFısica Armando Dias Tavares, Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Rio deJaneiro, 2009.

E conhecido que derivacoes microscopicas obtidas atraves de metodos de teoriaquantica de campos (TQC) podem conduzir a complicadas equacoes de movimento (EdM)que possuem um termo dissipativo com memoria e um termo de ruıdo colorido. Um casoparticularmente interessante e o modelo que descreve a interacao entre um sistema e umbanho termico a temperatura T . Motivado por isso, usamos uma prescricao que nos per-

mite reescrever EdMs nao-markovianas semelhantes as obtidas em TQC em termos deum sistema de equacoes locais, para entao confrontarmos a solucao desse sistema coma solucao aproximada usada correntemente na literatura, a chamada aproximacao mar-koviana. A pergunta chave a qual se pretende responder aqui e: dado um conjunto deparametros que descrevem o modelo, a aproximacao markoviana e suficientemente boapara descrever a dinamica do sistema se comparada a dinamica obtida atraves da EdMnao-markoviana? Alem disso, consideramos uma versao linear da ELG de forma quepudessemos determinar o nıvel de confianca da nossa metodologia numerica, procedimentoeste realizado comparando-se a solucao analıtica com a solucao numerica. Como exemplode aplicacao pratica do tema discutido aqui, comparamos a evolucao nao-markoviana doinflaton com a evolucao markoviana do mesmo num modelo de universo primordial deno-minado inflacao nao-isentropica (warm inflation).

Palavras-chave: Efeitos de memoria. Equacao de Langevin generalizada. Dinamica

nao-markoviana. Inflacao nao-isentropica.



ABSTRACT

SILVA, Leandro Alexandre da. Stochastic processes in field theory and application to the inflationary universe . 2009. 82 f. Dissertacao (Mestrado em Fısica) – Instituto de FısicaArmando Dias Tavares, Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2009.

It is known that microscopic derivations based on quantum field theory (QFT)methods can lead to quite complicated equations of motion (EoM) with a dissipationterm with memory and a colored noise term. A very interesting particular case is themodel that describes the interaction between a system and a thermal bath at some tem-perature T . Motivated by this, we use a prescription that allow us to rewrite similarnon-Markovian EoMs to that obtained in QFT in terms of a set of local equations, so

that we can contrast the solution of this system of equations with the approximated so-lution currently used in the literatury, the so-called Markovian approximation. The keyquestion we want to address here is: given a set of parameters that characterizes the sys-tem and the bath, is the Markovian approximation good enough to represent the system’sdynamics? We also have considered a linear version of the non-Markovian equation inorder to check the confiability of our numerical approach. For that, we have comparedthe analytical solution with the numerical one. As an example of practical application of the theme discussed here, we contrast the non-Markovian and the Markovian evolutionof the inflaton field in an early universe model called warm inflation.

Keywords: Memory effects. Generalized Langevin equation. Non-Markovian dissipation.Warm inflation.



LISTA DE ILUSTRAC OES

Figura 1 - Contorno no plano complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Figura 2 - Contorno de integracao de Schwinger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Figura 3 - Contribuicoes para a acao efetiva do campo ϕ ate ordem de um laco.

As linhas cheias indicam insercoes do campo ϕ, enquanto que as pon-

tilhadas indicam o propagador do campo χ. . . . . . . . . . . . . . . . 25

Figura 4 - Contribuicao para a auto-energia do campo χ. As linhas pontilhadas

indicam o propagador do campo σ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Figura 5 - Comparacao entre o cenario padrao da inflacao e a inflacao nao-isentropica 44

Figura 6 - Evolucao temporal para ϕ(t) no caso OU . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Figura 7 - Evolucao temporal para ϕ(t) no caso harmonico . . . . . . . . . . . . . 57

Figura 8 - Evolucao temporal para φ2(t) no caso OU . . . . . . . . . . . . . . . 58

Figura 9 - A diferenca ∆φ no caso OU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Figura 10 - A diferenca ∆φ2 no caso OU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Figura 11 - Caso OU com ruıdo aditivo e sua aproximacao markoviana: evolucao

temporal de ϕ(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Figura 12 - Caso harmonico com ruıdo aditivo e a respectiva aproximacao Marko-

viana: evolucao temporal de ϕ(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Figura 13 - Diferencas ∆φ e ∆φ2 no caso OU aditivo. . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Figura 14 - Diferencas ∆φ e ∆φ2 no caso H aditivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . 65Figura 15 - Caso OU com ruıdo multiplicativo e a aproximacao markoviana: evolucao

temporal de ϕ(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Figura 16 - Caso H com ruıdo multiplicativo e a aproximacao markoviana: evolucao

temporal de ϕ(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Figura 17 - Diferencas ∆φ e ∆φ2 no caso OU multiplicativo. . . . . . . . . . . . . . 68

Figura 18 - Diferencas ∆φ e ∆φ2 no caso H multiplicativo. . . . . . . . . . . . . . . 68

Figura 19 - Temperatura efetiva T ef . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Figura 20 - Evolucao temporal do inflaton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76Figura 21 - Temperatura efetiva do inflaton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Figura 22 - A temperatura efetiva ao final de inflacao . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Tabela 1 - Caracterısticas de um universo dominado por radiacao ou materia . . . 36



SUMARIO

INTRODUC AO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 FORMALISMO DE TEMPO REAL E EQUAC AO DE MOVI-

MENTO EFETIVA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.1 Formulacao de tempo real atraves de integrais de trajetoria . . . 15

1.2 Equacao de Langevin generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2 COSMOLOGIA INFLACIONARIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2 A metrica FRLW e as Equacoes Dinamicas do Universo . . . . . . 32

2.2.1 Parametros Cosmologicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.3 Falhas do Modelo Cosmologico Padrao . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.4 Inflacao Convencional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.5 Inflacao Nao-Isentropica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.5.1 Equacoes Dinamicas da Inflacao Nao-Isentropica . . . . . . . . . . . . . . 44

3 CONSTRUINDO E TESTANDO A ABORDAGEM NUMERICA

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.2 O sistema dinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.3 Regime linear - abordagem analıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.4 Regime linear - abordagem numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.5 Comparacao entre a Solucao Analıtica e Numerica . . . . . . . . . 55

3.6 Discussoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4 COMPARAC AO ENTRE AS DINAMICAS MARKOVIANA E

NAO-MARKOVIANA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.2 Equacoes nao-markovianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.3 Aproximacao markoviana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.3.1 O caso aditivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.3.2 O caso multiplicativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.4 Discussoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5 APLICAC AO A INFLAC AO NAO-ISENTROPICA . . . . . . . 70

5.1 Motivacao microscopica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.2 O sistema dinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.2.1 Aproximacao local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.3 Comparacao entre as dinamicas markoviana e nao-markoviana . . 755.4 Discussoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

COMENTARIOS FINAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79





10

INTRODUC AO

Quando o botanico ingles Robert Brown publicou suas observacoes realizadasatraves de um microscopio no paper de tıtulo nem um pouco microscopico “A brief account

of microscopical observations made in the months of June, July, and August, 1827, on the

particles contained in the pollen of plants and on the general existence of active molecules

in organic and inorganic bodies ”, ele provavelmente nao fazia ideia da grande contribuicao

para a ciencia que ele estava naquele momento fornecendo. Nesse artigo, pela primeira

vez se desassocia o movimento incessante de partıculas suspensas em lıquidos a existencia

de vida nesse sistema (EINSTEIN; BECK; HAVAS, 1989). Transcorreram-se cerca de 80

anos ate que uma descricao teorica bem fundamentada para esse fenomeno microscopicofora do equilıbrio, que passou a ser conhecido como movimento Browniano, fosse cons-

truıda. Albert Einstein, em seu artigo “ ¨ Uber die von der molekularkinetischen Theorie

der W¨ arme geforderte Bewegung von in ruhenden Fl¨ ussigkeiten suspendierten Teilchen ”,

partiu de argumentos termodinamicos e do conceito de pressao osmotica sobre partıculas

suspensas para calcular a constante de difusao D = µkbT de uma partıcula browniana.

Essa relacao ficou conhecida como relacao de Einstein, onde kb e a constante de Boltz-

man, T a temperatura do fluido e µ e a constante de mobilidade, que e inversamente

proporcional a constante de friccao (KUBO; HASHITSUME, 2012). Em 1951, tal relacao

foi generalizada por Callen e Welton (CALLEN; WELTON, 1951), no que se tornou um

dos pilares da mecanica estatıstica do nao-equilıbrio: o teorema de flutuacao-dissipacao.

Uma outra abordagem igualmente satisfatoria para o problema do movimento

Browniano foi publicada tres anos apos o trabalho de Einstein. Ao inves de resolver uma

equacao diferencial parcial que governa a evolucao da densidade de probabilidade de uma

partıcula Browniana (equacao de Fokker-Planck), Paul Langevin se focou na trajetoria da

partıcula. Ele redefiniu a segunda lei de Newton de forma que esta passasse a descrever

a dinamica dessa partıcula. O preco a pagar foi a introducao de objetos matematicos

pouco conhecidos e formalizados na epoca. Desta forma, alem da contribuicao para oentendimento do fenomeno fısico propriamente dito, essa abordagem alternativa para a

descricao do movimento Browniano conduziu a avancos muito importantes na matematica.

Uma nova classe de equacoes diferenciais, as chamadas equacoes diferenciais estocasticas

(EDEs), comecou entao a ser estudada. Os principais responsaveis por desenvolver uma

base matematica rigorosa para esse novo mundo dos processos estocasticos, foram Bache-

lier (BACHELIER, 1900), Wiener (WIENER, 1923), Kolmogoroff (KOLMOGOROFF,

1931), Feller (FELLER, 1937), Ito (ITO, 1944) e Stratonovich (STRATONOVICH, 1966).

Podemos entao ver a equacao de Langevin como uma sub-classe de EDE. A tıtulode ilustracao, a equacao de Langevin na presenca de um campo de forcas pode ser escrita

da seguinte maneira:



11

dp

dt = −∂V

∂x − γp + R(t) ,

dxdt

= pm

, (1)

onde x e a posicao da partıcula de momento p, γ e o coeficiente de dissipacao e R(t) e um

processo estocastico mudando aleatoriamente no tempo. Sao impostas 2 condicoes sob a

equacao de Langevin acima: R(t) e um processo gaussiano, o que significa R(t) = 0, e

possui espectro branco, ou seja, R(t)R(t) ∝ δ (t − t).

Hoje em dia sabemos que tanto a abordagem via EDEs, quanto a abordagem via

equacao de Fokker-Planck descrevem de maneiras distintas, porem equivalentes, proces-

sos contınuos e markovianos (sem memoria). Essa frase sintetiza o aspecto geral queessas abordagens possuem. Estas poderosas ferramentas matematicas lancam luz so-

bre diversas areas do conhecimento. Por exemplo, equacoes da forma da equacao de

Langevin sao utilizadas em modelos para estudar o “crash” de bolsas de valores (BOU-

CHAUD; CONT, 1998), na modelagem matematica para descrever a formacao de comple-

xos proteına-proteına (SCHLUTTIG et al., 2008) e em estudos de degradacao do sistema

de controle postural devido ao mal de Parkinson (BOSEK et al., 2005).

No contexto da Fısica contemporanea, o entendimento de fenomenos fora do equilıbrio

e o desenvolvimento de tecnicas adequadas a essa situacao e peca fundamental para ata-carmos problemas de vanguarda. Como exemplos de areas que contem questoes abertas

nesse sentido sao a fısica de colisao de ıons pesados, a cosmologia e a materia condensada.

No contexto da colisoes de ıons-pesados, com os recentes experimentos realizados

no RHIC relativos a possibilidade de formacao de um plasma de quarks e gluons (??), e

esperado que campos quirais evoluam sob condicoes extremas de temperatura e densidade

de energia durante a transicao de fase da QCD, e entao a evolucao fora do equilıbrio

dos campos passa a ser uma importante questao. Para termos um entendimento claro

dos dados obtidos no BNL-RHIC, e especialmente dos dados que serao produzidos no

CERN-LHC, sera necessaria uma descricao realıstica da hierarquia de escalas associada

com dissipacao, ruıdo e radiacao. O estudo de todos esse processos mencionados acima,

requerem o uso da metodos provenientes da teoria quantica de campos fora do equilıbrio

(CASSOL-SEEWALD et al., 2012).

Ja na cosmologia do universo primordial, metodos fora do equilıbrio estao sendo

aplicados, por exemplo, para se alcancar um entendimento quantitativo da teoria do

reaquecimento com o objetivo de explicar a transicao para a fase de radiacao do universo

apos a inflacao (KOFMAN; LINDE; STAROBINSKY, 1996).

Em relacao a materia condensada, esforcos estao sendo voltados para a obtencao

de um melhor entendimento da dinamica quantica de muitos corpos, por exemplo em

experimentos de laboratorio envolvendo gases quanticos de Bose/Fermi ultra-frios. Uma



12

questao interessante nesse contexto e sobre o papel de flutuacoes quanticas na dinamica de

campos escalares, as quais sao geralmente negligenciadas quando aplicamos a aproximacao

de teoria classica de campos dada pela equacao de Gross-Pitaevskii (GROSS, 1961).

De um modo geral, todos os exemplos citados acima sao constituıdos de um deter-minado sistema, em cuja dinamica estamos interessados, o qual interage com um determi-

nado banho ou meio, sendo que se este esta em equilıbrio a uma determinada temperatura,

constitui um banho termico. Nesses casos, fica evidenciado que tecnicas que descrevem

sistemas fora do equilıbrio termico podem ser utilizadas. Sem duvida alguma, equacoes

tipo Langevin sao ferramentas essenciais no estudo de fenomenos fora do equilıbrio. En-

tretanto, um detalhe fundamental deve ser observado. Em modelos microscopicos mais

realıstas em mecanica estatıstica, tal como o modelo de Caldeira-Legget (CALDEIRA;

LEGGETT, 1981), ou em modelos de interacao sistema-banho analogos que surgem em

teoria quantica de campos, a equacao de movimento possui um termo dissipativo nao-

markoviano e o termo de ruıdo e colorido, ou seja, sua correlacao nao e uma delta de

Dirac, como aparece, por exemplo, na equacao que descreve o movimento browniano

usual, eq. (1). Por exemplo, uma equacao de movimento efetiva tıpica para o sistema que

surge ao integrarmos sobre os graus de liberdade que constitui o banho, pode ser escrita

de forma geral como (BERERA; MOSS; RAMOS, 2007):

d

2

dt2 + m2 + λ3! φ2c(t)

φc(t)φnc (t)ξ (t) , (2)

onde φc(t) pode representar um campo escalar homogeneo, um parametro de ordem ou

ate mesmo a coordenada de uma partıcula. n, na equacao acima, pode assumir os valores

0 ou 1, dependendo do tipo de ruıdo que estamos tratando (aditivo ou multiplicativo,

respectivamente). Esses valores de n vao ser, mais a frente, motivados pelos calculos

realizados em teoria de campos para equacoes efetivas de movimento (de forma geral, a

presenca de ruıdos aditivo ou multiplicativo, dependem do tipo de interacao do sistema

com o meio). Em (2), ξ e um termo de ruıdo que satisfaz as seguintes relacoes:

ξ = 0 , ξ (t)ξ (t) = N (t − t) , (3)

ou seja, ainda e do tipo gaussiano, mas cuja correlacao nao e necessariamente branca (um

delta de Dirac). Nas expressoes acima, notamas a presenca de dois kernels: o kernel de

dissipacao K (t, t), e o kernel de ruıdo N (t, t). A relacao entre os dois se da atraves de

um teorema de flutuacao-dissipacao generalizado no espaco de Fourier.

Podemos entao ver que a equacao (2), ao contrario da equacao de Langevin con-

vencional, possui um termo dissipativo que depende da “historia” do sistema (termo



13

nao-Markoviano), e seu termo de ruıdo possui espectro colorido (sua correlacao nao e pro-

porcional a uma delta de Dirac). Equacoes desse tipo sao exemplos do que se denomina

equac˜ ao de Langevin generalizada (ELG). A maneira usual de obter uma solucao para tal

tipo de EDE e lancar mao da chamada aproximacao markoviana, a qual consiste, grossomodo, em escrever o termo dissipativo da eq. (2) da forma:

φnc (t)

tt0

dtK (t − t)φnc (t) φc(t)

≈ φ2nc (t) φc(t)

tt0

dtK (t − t)

= Qφ2nc (t) φc(t) , (4)

e considerar o kernel de ruıdo da forma: N (t−t) = 2T ηδ (t−t), de acordo com o teorema

flutuacao-dissipacao. No entanto, algumas perguntas surgem ao utilizarmos esse tipo de

aproximacao ao nos depararmos com modelos que possuem EDM semelhante a eq. (2):

• A eliminacao do termo nao-Markoviano da EDM acarreta alteracoes na descricao

da dinamica do sistema?

• A discrepancia (nula ou nao) entre a dinamica markoviana e nao-markoviana e

dependente do conjunto de parametros utilizados no modelo?

• O efeito de memoria e mais significativo para tempos curtos, longos ou sua relevancia

e independente do tempo?

Nesta dissertacao, tentaremos responder essas questoes.

A essencia do presente trabalho repousa sobre o seguintes tripe: Mecanica Es-

tatıstica Fora do Equilıbrio (MEFE), Teoria Quantica de Campos a Temperatura Finita

(TQCTF) e Cosmologia Fısica. Com isso, torna-se indispensavel fazer uma breve revisao

sobre esses assuntos, de forma a oferecer ao leitor motivacao, conceitos e definicoes basicas

que o permita acompanhar os capıtulos seguintes com uma fluidez razoavel. No capıtulo

2, abordamos de forma operacional as ferramentas necessarias para se entender o modelo

de inflacao nao-isentropica (warm inflation), modelo este de grande interesse atualmente.

No capıtulo 1, apresentamos um exemplo bastante conhecido de deducao de uma ELG

usando o formalismo de tempo real. No capıtulo 3, obtemos um sistema dinamico que

nos permite tratar numericamente equacoes do tipo da equacao (2) e, alem disso, mos-

tramos diversos testes de precisao relativos a nossa abordagem numerica. No capıtulo 4,

comparamos a dinamica markoviana da equacao de movimento com sua dinamica nao-

markoviana usando a abordagem numerica desenvolvida e testada no capıtulo anterior.

Finalmente, no capıtulo 5, aplicamos essa analise ao modelo de inflacao nao-isentropica.

Apos isso, apresentamos nossos comentarios finais. Optamos por incluir no final de cada



14

capıtulo, onde se mostrou necessario, discussoes e conclusoes sobre os mesmos, ja que eles

preservam entre si uma certa independencia.



15

1 FORMALISMO DE TEMPO REAL E EQUAC AO DE MOVIMENTO

EFETIVA

O objetivo deste capıtulo e fornecer uma sucinta revisao do formalismo de tempo

real (FTR) e motivar o tema do presente trabalho atraves da ilustracao dos procedimentos

usados na obtencao de uma equacao de movimento da forma da eq. (2) em teoria de

campos, mais especificamente usando um modelo de campos escalares acoplados.

O FTR e uma das formulacoes possıveis da teoria de campos a temperatura finita.

Como o proprio nome indica, esse formalismo e desenvolvido em tempo real (Minkowski),

ao inves de usar tempo imaginario (Euclidiano). Talvez a vantagem mais contundente

dessa formulacao e que a mesma pode ser usada como ponto de partida para a teoria decampos fora do equilıbrio, ao contrario do formalismo de tempo imaginario.

1.1 Formulacao de tempo real atraves de integrais de trajetoria

Nesta secao, faremos uma breve revisao do formalismo de tempo real usando

metodos funcionais (BELLAC, 2000). Para isso, consideraremos uma TQCTF descrita

pelo Hamiltoniano H [Φ, Π], onde Φ(x) e um operador de campo bosonico na representacao

de Heisenberg e Π(x) e o momento canonico conjugado ( = 1). Esses operadores obede-

cem as seguintes relacoes de comutacao:

[Φ(x, t), Π(x, t)] = iδ (3)(x − x) ,

[Φ(x, t), Φ(x, t)] = 0 ,

[Π(x, t), Π(x, t)] = 0 .

(5)

A evolucao temporal destes operadores e gerada pela Hamiltoniana de tal forma que

Φ(x, t) = exp(iH (t − t))Φ(x, t)exp(−iH (t − t)) (6)

Π(x, t) = exp(iH (t − t))Π(x, t)exp(−iH (t − t)) . (7)

Seja |φ(x, t) um vetor de estado na representacao de Heisenberg descrevendo um estado

que num tempo t e um auto-estado do operador de campo Φ(x, t) com autovalor φ(x).

Temos entao que

Φ(x, t)|φ(x), t = φ(x)|φ(x), t . (8)



16

Autoestados de Π(x, t) sao definidos da mesma maneira, ou seja,

Π(x, t)|π(x), t = π(x)|π(x), t . (9)

A evolucao destes vetores de estado e governada pela Hamiltoniana:

|φ(x), t = exp [iH (t − t)] |φ(x), t (10)

|π(x), t = exp [iH (t − t)] |π(x), t , (11)

e como consequencia de (6), (7), (10) e (11) os autovalores φ(x) e π(x) em (8) e (9) sao

independentes do tempo.

Em qualquer tempo dado t, os vetores de estado formam um conjunto completo

de estados: Dφ |φ, t φ, t| =

Dπ |π, t π, t| = 1 . (12)

Estamos interessados no calculo das funcoes de Green termicas Gβ(x1, · · · , xn), definidas

pela media do produto ordenado no tempo de operadores Φ(x),

Gβ(x1, · · · , xn) = 1

Tr exp(−βH )Trexp(−βH )T [Φ(x1) · · · Φ(xn)] . (13)

E conveniente, para estudar as propriedades analıticas destas funcoes de Green termicas(13), estender o suporte das variaveis de campo a todo o plano complexo (onde z e uma

variavel complexa) atraves da generalizacao das translacoes temporais (6), (7), (10), (11)

Φ(x, t + z ) = eiHzΦ(x, t)e−iHz (14)

|φ(x), t + z = eiHz |φ(x), t (15)

φ(x), t + z | = φ(x), t|e−iHz , (16)

e similarmente para Π(x, t) e

|π(x), t

.

Apos ligar uma fonte externa J no intervalo de tempo [−T, T ], desejamos derivar

a representacao funcional do gerador funcional Z [J ], a qual tem a propriedade

Gβ(x1, · · · , xn) = 1

Z [0]

1

inδ

δJ (xn)· · · δ

δJ (x1) Z [J ]

J =0

. (17)

E possıvel mostrar que o funcional

T r

e−βH T

expi

+T

−T

dt d3x J (x)Φ(x)

(18)

tem a propriedade mencionada anteriormente para argumentos temporais ti no intervalo

−T < ti < T . Em (18) a integracao estende-se sobre todo espaco tridimensional e sobre



17

Figura 1 - Contorno no plano complexo

o segmento de −T a +T no eixo temporal real. No entanto, ao calcular as funcoes de

Green termicas perturbativamente generalizamos (18) como

Z [J ] = T r

e−βH T c

exp i

c

dτ

d3x J (x, τ )Φ(x, τ )

, (19)

onde na equacao acima colocamos um ındice c no ordenamento temporal e na integracao

temporal, pois estendemos a integracao do eixo real [−T, T ] para uma integracao sobre o

contorno C no plano complexo (figura 1).

Tomamos σ = β2

e trabalharemos com o contorno que comeca em −ti e vai ao longo

do eixo real ate +tf (denominamos este segmento de C 1). A partir de +tf o contorno

continua ao longo da direcao imaginaria no tempo ate +tf − iβ2

(segmento C 3), a partir

de +tf − iβ2

paralelo ao eixo real ate −ti − iβ2

(segmento C 2) e finalmente paralelo ao eixo

imaginario no tempo ate −ti − iβ (segmento C 4). Nos damos aos segmentos C 1 e C 2 do

contorno inclinacoes infinitesimais para baixo (com o aumento do parametro do contorno),

pois isto garante que o propagador tenha propriedades causais. Tambem generalizamos ooperador de ordenamento temporal T em (13) e (18) como um operador T c, o qual ordena

operadores de acordo com seus argumentos temporais no contorno. No contorno podemos

definir a funcao δ c(τ − τ ) c

dτ δ c(τ − τ )f (τ ) = f (τ ) . (20)

O ordenamento T c pode ser feito pela funcao de Heaviside θ no contorno, e para definir

as distribuicoes θ e δ de Dirac podemos usar uma definicao parametrica τ = z (ν ) no

contorno, com ν real e monotonicamente crescente (BELLAC, 2000). O ordenamento ao

longo do caminho correspondera ao ordenamento em ν . Introduzimos essas funcoes da



18

forma

θC (τ − τ ) = θ(ν − ν ) , (21)

δ C (τ − τ ) =∂z

∂ν −1

δ (ν − ν ) . (22)

Com estas definicoes podemos escrever, por exemplo,

T C

Φ(x)Φ(x)

= θC (τ − τ )Φ(x)Φ(x) + θC (τ − τ )Φ(x)Φ(x) ,

∂ τ T C

Φ(x)Φ(x)

= δ C (τ − τ )

Φ(x), Φ(x)

+ T C

∂ τ Φ(x)Φ(x)

. (23)

Podemos tambem estender a nocao da diferencial funcional:

δJ (x)δJ (x)

= δ C (τ − τ ) δ (3)(x − x) . (24)

Podemos considerar (19) como um gerador funcional para as funcoes de Green

ordenadas por T c com suporte no contorno C . Se o suporte da funcao fonte J (x, τ ) em

(19) e restrito ao segmento no eixo real [−T, T ], (19) reproduz (18).

Calculamos o traco (19) fazendo uso do conjunto completo de estados do operador

de campo Φ(x) no tempo t = 0,

Z [J ] =

Dφ φ, 0| e

−βH

T c

exp

i c J Φ

|φ, 0 . (25)

Por conveniencia, usamos (15) e (16) e transladamos os vetores de estado em (25) ate os

pontos finais do contorno C ,

Z [J ] =

Dφ φ, 0| e−iHT e+iHT e−βH T cei

c J Φ |φ, 0

=

Dφ φ, 0| e+iHT e−βH T cei

c J Φe−iHT |φ, 0

= Dφφ,

−T −

iβ |

T cei c J Φ

|φ,

−T

. (26)

Inserindo em (26) conjuntos completos de estados nos pontos finais dos segmentos

C 1, C 2, C 3, obtemos

Z [J ] =

DφDφDφDφφ, −T − iβ |T cei

c4

J Φ|φ, −T

× φ, −T − iβ

2|T cei

c2

J Φ|φ, −T − iβ

2

× φ, −T − iβ

2|T cei

c3

J Φ|φ, +T × φ, +T |T cei

c1

J Φ|φ, −T . (27)



19

Cada elemento de matriz em (27) tem uma representacao funcional de uma integral

de trajetoria. Podemos mostrar (ABERS; LEE, ) que o gerador funcional pode ser escrito

como (BELLAC, 2000)

Z [J ] =

τ ∈C

Dφ (τ ) Dπ (τ )

2π exp

i

C

π φ − H + J φ

, (28)

onde aqui φ e a derivada de φ com direcao tangencial a C no plano complexo t. A

independencia de τ dos autovalores em (8) fornece a seguinte condicao de contorno na

integral de trajetoria (28)

φ (−T ) = φ (−T − iβ ) , (29)

a qual e a chamada condicao de periodicidade de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) (KUBO,1957; MARTIN; SCHWINGER, 1959).

A partir da derivacao feita acima e evidente que existem algumas arbitrariedades

na escolha do contorno C . Uma restricao obvia e que os pontos finais sejam separados

por −iβ . O contorno deve passar atraves dos pontos τ 1, · · · , τ n, os quais aparecem como

argumentos nas funcoes de Green desejadas Gβ(x1, · · · , xn). Outra condicao e derivada

a partir da imposicao de que os valores dos argumentos temporais estejam dentro do

domınio de analiticidade das funcoes de Green Gβ(τ 1, · · · , τ n, x1, · · · , xn). Este domınio e

restrito tal que se τ i antecede τ

j ao longo de C o domınio da definicao e dado por

−β ≤ Im(τ j − τ i) ≤ 0 . (30)

Esta condicao de analiticidade e satisfeita se C nao estiver em nenhuma direcao para cima

do plano complexo t (isto garante que a parte real do expoente em (28) seja limitado).

Satisfazendo estas condicoes, varios contornos podem ser escolhidos. Para calcular as

funcoes de Green com argumentos temporais reais diretamente, devemos escolher um

contorno o qual englobe todo eixo temporal real. Um contorno largamente usado em

Mecanica Estatıstica parte de −T (eventualmente o limite T → ∞ e feito) e vai ao longodo eixo real ate +T com uma inclinacao infinitesimal como no presente caso, entao retorna

a −T e baixa ate −T − iβ . O contorno usado nesta revisao do formalismo de tempo real

e o que leva a um tratamento simetrico dos segmentos C 1 e C 2 (σ = β2

) (BELLAC, 2000).

Consideraremos uma teoria quantica de campos com a densidade Hamiltoniana

dada por

H [φ, π] = 1

2π2 +

1

2φ

−∇2 + m2

φ + V [φ] . (31)

Depois de efetuar a integral Gaussiana sobre as variaveis de momento canonico π (x) o





21

pectivamente. A partir de (33) concluımos que Z [J ] fatoriza e fica sendo dado por

Z [J ] = Z [J, C 1C 2] Z [J, C 3C 4] , (40)

onde

Z [J, C 1C 2] = exp

−i

C 1C 2

V

1

i

δ

δJ

exp

−1

2

C 1C 2

J DJ

, (41)

Z [J, C 3C 4] = exp

−i

C 3C 4

V

1

i

δ

δJ

exp

−1

2

C 3C 4

J DJ

. (42)

Quando (33) e utilizado para calcularmos funcoes de Green com argumentos no

eixo temporal real a parte relevante de Z [J ] e Z [J, C 1C 2]. As contribuicoes de Z [J, C 3C 4]

podem ser absorvidas numa, normalizacao. Definimos, portanto,

Z [J ] = Z [J, C 1C 2] . (43)

Z [J ] definido por (43) gera as funcoes de Green em tempo real (13) por derivadas funci-

onais em relacao a J com argumentos temporais reais. Em (41) definimos

C 1C 2

J (x)Gβ (x − y) J (y) =

∞−∞

∞−∞

dtdt

dxdyJ a(t, x)Ga,bβ (t−t, x−y)J b(t, y) . (44)

onde a e b podem assumir os valores + ou −,

J + (x) = J (x) ,

J − (x) = J

t − iβ

2 , x

, (45)

e

G++β (x − y) = Gβ (x − y) ,

G−−β (x − y) = Gβ (y − x) ,

G+−β (x − y) = G<

β

x0 − y0 + iβ

2 , x − y

,

G−+β (x − y) = G>

β

x0 − y0 − iβ

2 , x − y

. (46)



22

O gerador funcional (43) adquire a forma

Z [J 1, J 2] = exp

−i

V

1

i

δ

δJ +− V

1

i

δ

δJ − exp

−1

2 J aGab

β J b=

Dφa exp

− 1

2

φaG−1ab

β φβ − i

d4x

V [φ+] − V [φ−]

− J aφa)

.

(47)

As funcoes de Green em tempo real (13) sao geradas derivando (47) repetidamente

com relacao a J + e tomando J + e J − igual a zero:

Gβ (x1, · · ·, xn) = 1in 1Z [0, 0] δ δJ + (xn) · · · δ δJ + (xn) Z [J +, J −]J +=J −=0

. (48)

No espaco de momentos o propagador Gabβ e dado por

Gabβ (k) =

cosh θ sinh θ

sinh θ cosh θ

i

k2−m2+iε 0

0 −ik2−m2−iε

cosh θ sinh θ

sinh θ cosh θ

, (49)

onde

cosh2

θ =

1

1 − e−β|k0| . (50)

Aplicando a relacao

δ (x) = 1

π limε→0

ε

x2 + ε2 , (51)

podemos escrever (49) na forma

Gabβ (k) =

i

k2−m2+iε + 2π

eβ|k0|−1δ (k2 − m2) 2πe−β|k0|/2

1−e−β|k0| δ (k2 − m2)

2πe−β|k0|/2

1−e−β|k0|

δ (k2

−m2) −i

k2

−m2

−iε

+ 2π

eβ|k0|

−1

δ (k2

−m2)

. (52)

A duplicacao do numero de campos e, consequentemente a estrutura matricial de

propagadores dada pela eq. (52), pode ser melhor entendida se colocarmos o problema

em termos de uma situacao mais geral que envolve tanto situacoes de equilıbrio quanto de

nao equilıbrio, caso no qual o formalismo de tempo real torna-se muito importante. Neste

caso, a descricao de nao equilıbrio de um sistema e determinada pela evolucao temporal

do operador matriz densidade ρ. Essa evolucao (na representacao de Schrodinger) e

determinada pela equacao de Liouville quantica

i ∂ ρ (t)

∂t =

H (t) , ρ (t)

. (53)



23

Uma situacao de nao equilıbrio aparece quando o Hamiltoniano nao comuta com a matriz

densidade. Notamos que temos uma dependencia temporal explıcita na Hamiltoniana. A

solucao formal da equacao de Liouville e

ρ (t) = U (t, t0) ρ0 (t) U −1 (t, t0) , (54)

com ρ0 (t) sendo a matriz densidade em algum tempo inicial t0 que determina a condicao

inicial para a evolucao e U (t, t0) e o operador evolucao, que, no equilıbrio, e dado por

U (t, t0) = exp

i

H (t − t0)

. (55)

Medias dos operadores no ensemble e funcoes de correlacao podem ser obtidas como

usualmente, O (t)

=

1

trρ (t0)tr

OU (t, t0) ρ (t0) U −1 (t, t0)

, (56) O (t1) O (t2)

=

1

trρ (t0)tr

OU (t1, t2) OU (t2, t0) ρ (t0) U −1 (t1, t0)

. (57)

As expressoes acima tem um significado muito intuitivo. Ao calcular medias no ensemble,

temos o estado inicial (ou matriz densidade), evoluimos este para frente no tempo de t0 ate

t, inserimos o operador em questao e evoluimos o estado para tras no tempo ate t0. Para

a funcao de correlacao (t1 > t2), evoluimos o estado inicial ate t2, iserimos o operador,

evoluimos ate t1, inserimos o segundo operador e, finalmente evoluimos o estado para tras

ate t0. Na maioria dos casos de interesse o operador matriz densidade inicial e qualquer

estado puro ou termico correspondendo ao estado fundamental de algum Hamiltoniano

inicial. Em ambos os casos a matriz densidade inicial e da forma

ρ (t0) = exp−β H i

. (58)

o estado fundamental de ˆH i pode ser projetado tomando o limite β → ∞.

Funcoes de correlacao e medias no ensemble podem ser obtidas considerando a

insercao de operadores e a evolucao para frente no tempo (de t0 → −∞) e para tras ate o

tempo original e, finalmente para baixo no eixo imaginario do tempo ate t0 − iβ levando

em conta a condicao inicial termica. Calculamos o traco das quantidades e identificando

as configuracoes de campos inicial e final e fazemos a integracao funcional sobre esta

configuracao, assim consideramos as integrais de trajetoria no plano complexo temporal.

Como mostrado anteriormente, podemos negligenciar as partes C 3 e C 4 do contorno e

assim, recaımos num contorno mais simples para o formalismo de tempo real. Este e

conhecido como contorno de trajetoria fechada de Schwinger (CTFS), o qual contem

apenas as partes C 1 e C 2 , para ti → −∞ e tf → ∞.



24

A ideia de Schwinger foi fazer o estado final ser exatamente igual ao estado inicial.

Grosso modo, o que se faz e deixar um sistema quantico evoluir primeiro num sentido

para frente no tempo e entao voltar sua evolucao para tras. Esse procedimento leva a

necessidade de construir uma teoria com uma evolucao temporal ao longo de um contornocom dois ramos (fig.2).

Figura 2 - Contorno de integracao de Schwinger.

Usando este contorno de Schwinger, obtemos os mesmos propagadores derivados

anteriormente com o contorno da fig.(1), assim como a funcao de particao para o campo

escalar.

1.2 Equacao de Langevin generalizada

Como exemplo de aplicacao do formalismo de contorno de tempo fechado de

Schwinger para a derivacao de uma equacao de movimento efetiva e que ira motivar

nossos estudos nos proximos capıtulos, vamos considerar uma acao envolvendo campos

escalares acoplados, onde φ, considerado um campo classico em cuja dinamica estamos

interessados (ou seja, φ sera considerado como representando o sistema), interage com um

campo intermediario χ, que por sua vez acopla-se a um campo σ em equilıbrio termico.

A acao correspondente a esse sistema de campos acoplados e dada por

S [φ,χ,σ] =

d4x

1

2 (∂ µφ)2 − 1

2m2

φφ2 − λ

4!φ4 +

1

2 (∂ µχ)2

− 1

2m2

χχ2 + 1

2 (∂ µσ)2 − 1

2m2

σσ2 − g2

2 φ2χ2 − f χσ2

. (59)

Queremos obter uma equacao efetiva de movimento para o campo φ, pois o mesmo

e definido como sendo o sistema. O procedimento usual e integrar funcionalmente o campo

σ e entao obter uma acao efetiva parcial para os campos φ e χ. Entao integramos o campoχ, e obtemos finalmente uma acao efetiva em termos de φ. A acao efetiva resultante para

uma configuracao de campo classica φ = ϕ, nesse procedimento de integracoes funcionais,



25

e dado por

S eff [ϕ] = S [ϕ] + ∆S [ϕ] , (60)

onde ∆S [ϕ] representa as correcoes quanticas a acao classica S [ϕ]. Essas correcoes estao

mostradas na figura 3, onde nos restringimos aquelas correcoes ate a ordem de um laco

(loop). Restringimos o calculo ate essa ordem, pois ja sera suficiente para mostrarmos

a forma da equacao de movimento para ϕc como sendo uma equacao de Langevin ge-

neralizada, como discutido na introducao. Alem disso, termos de ordem superior aos

mostrados podem ser feitos subdominantes com relacao aos de um laco, considerando

valores apropriados para as constantes de acoplamento em (59).

Figura 3 - Contribuicoes para a acao efetiva do campo ϕ ate ordem de um laco. As linhas

cheias indicam insercoes do campo ϕ, enquanto que as pontilhadas indicam o

propagador do campo χ.

Escrevendo as contribuicoes mostradas na figura 3 explicitamente, e definindo novas

variaveis de campo ϕc e ϕ∆, por1

ϕ+ = 1

2ϕ∆ + ϕc , (61)

ϕ− = ϕc − 1

2ϕ∆ , (62)

obtemos a acao efetiva como sendo dada por

2

1 A motivacao para o uso dessas novas varaveis em vez de ϕ+ e ϕ−

, vem do fato que essas ultimas naosao variaveis independentes sobre o contorno de Schwinger, possibilitando entao, realizar uma rotacaosobre os campos, para um novo conjunto de variaveis independents, dadas por ϕc e ϕ∆ (BERERA;MOSS; RAMOS, 2007). ϕ∆ pode ser associado com um campo de resposta, enquanto que ϕc e ocampo fısico que sente as flutuacoes do sistema (MARTIN; SIGGIA; ROSE, 1973). Em particular,essas mudancas de variaveis facilitam a identificacao na acao efetiva dos termos responsaveis pelasflutuacoes no sistema, isto e as partes imaginarias.

2 Detalhes completos sobre a derivacao da acao efetiva pode ser encontrada na referencia (GLEISER;

RAMOS, 1994).



26

S eff [ϕ∆, ϕc] = S [ϕ∆, ϕc] − g2

d4xϕ∆(x)ϕc(x)

d3k

(2π)31 + 2nχ

ωχ−

−g4

2

d4xd4x

ϕ∆(x)ϕc(x)ϕ2

∆(x) + 4ϕ∆(x)ϕc(x)ϕ2c(x)

Im

G++χ

2x,x

θ(t − t) +

+ig4

d4xd4xϕ∆(x)ϕc(x)ϕ∆(x)ϕc(x)Re

G++χ

2x,x

, (63)

onde

S [ϕ∆, ϕc] = d4x ϕ∆ −2 − m2

φϕc − λ

4! 4ϕ∆ϕ3c + ϕ3

∆ϕc , (64)

e a acao classica do campo ϕ em termos das variaveis (62). O termo seguinte na primeira

linha da eq. (63) refere-se ao primeiro diagrama mostrado na fig. 3, com nχ sendo a

distribuicao de Bose-Einstein para o campo χ,

nχ = 1

exp(βωχ) − 1 , (65)

e ω2χ = k2

−m2

χ.

Os dois ultimos termos na eq. (63) correspondem ao segundo diagrama mostrado

na fig. 3. Em (63) tambem introduzimos a notacao compacta

G++χ

2x,x

≡

d3k

(2π)3eik(x−x)

d3q

(2π)3G++

χ (q, t − t) G++χ (q − k, t − t) , (66)

onde G++χ (q, t − t) e o propagador fısico do campo χ que incorpora as correcoes de

auto-energia, devido a primeira integracao funcional sobre o campo de banho termico σ.

Explicitamente, G++χ (q, t − t) e dado por (GLEISER; RAMOS, 1994)

G++χ (q, t − t) e−Γχ(q)|t−t|

ωχ (q)

(1 + 2n)cos[ωχ |t − t|] − i sin[ωχ |t − t|]

+ 2β Γχ (q) n (1 + n)sin[ωχ |t − t|]

+ O

Γ2χ

T 2

. (67)

Na equacao acima, o termo Γχ (q) e a largura de decaimento referente ao processo χ → 2σ,



27

vindo do termo de interacao entre χ e σ em (59) (LANDSMAN; WEERT, 1987)

Γχ (q ) = −ImΣ(q )

2ωχ (q ) , (68)

onde Σχ(q ) e a contribuicao de auto-energia para o campo χ vindo da interacao deste com

σ, que e obtida, em ordem mais baixa na ordem de um laco, pelo diagrama mostrado na

figura 4.

Figura 4 - Contribuicao para a auto-energia do campo χ. As linhas pontilhadas indicam o

propagador do campo σ.

A largura de decaimento obtida da contribuicao mostrada na figura 4 e dada ex-

plicitamente por (BERERA; MOSS; RAMOS, 2007)

Γχ(q, ω)

f 2

8πωχ(q)

[θ(ω

−q )

−θ(

−ω

−q )] +

f 2

4πωχ(q)

T

q

ln 1 − e−β|ω+q|/2

1 − e−β|ω−q|/2 , (69)

a qual e valida para campos σ leves, mσ ≈ 0.

Retornando ao resultado para a acao efetiva mostrada na eq. (63), o termo ima-

ginario naquela equacao, dado pelo ultimo termo dela, que surge ao integrarmos o campo

χ (em um laco) pode ser reescrito em termos de um campo ξ cuja distribuicao de proba-

bilidade e gaussiana e dada por (GLEISER; RAMOS, 1994)

P [ξ ] = N −1 exp−1

2 d4xd4xξ (x) 2g4Re G++χ

2

x,x−1

ξ (x) . (70)

A funcao de correlacao de dois pontos para ξ , definida por

ξ (x)ξ (x) =

[Dξ ] ξ (x)ξ (x)P [ξ ] , (71)

que resulta em

ξ (x)ξ (x) = 2g4ReG++

χ

2x,x

, (72)

enquanto que sua funcao de um ponto, obviamente, satisfaz ξ (x) = 0. Essas pro-



28

priedades satisfeitas pelo campo ξ nos permitem associa-lo como um campo estocastico

gaussiano, analogo ao termo de flutuacao estocastica discutido no Capıtulo 1.

Agora, ao associarmos ϕc como sendo um campo fısico, impoe-se que ϕ∆ = 0 e

(ϕ+ = ϕ−) apos a obtencao da equacao de movimento efetiva (CHOU et al., 1985), sendoa mesma obtida atraves da seguinte expressao:

δ

δϕ∆S eff [ϕ∆, ϕc, ξ ]

ϕ∆=0

= 0 . (73)

O resultado final pode ser escrito como∂ 2t − ∇2 + m2

φ + λ

6ϕ2

c + g2

d3k

(2π)31 + 2n (ωχ)

ω (k)

ϕc (x)

+ 2g4ϕc (x)

d3x

t

−∞

dtϕ2c (x, t) Im

G++χ

2x,x

= ϕc (x) ξ (x) . (74)

Se agora definimos um kernel K χ, como sendo dado por

Cχ(x − x, t − t) = − ∂

∂tK χ(x − x, t − t) , (75)

sendo que Cχ e dado em termos do kernel da eq. (74),

Cχ(x − x, t − t) = 4g4ImG++

χ (x, x)2

sgn(t − t) , (76)

onde sgn(t − t) = θ(t − t) − θ(t − t) e a funcao sinal, podemos reescrever a equacao de

movimento efetiva (74), ao integrarmos por partes no tempo t, na forma

∂ 2t

− ∇2 + m2

φ + λ

6

ϕ2c + g2

d3k

(2π)

3

1 + 2n (ωχ)

ω (k)ϕc (x)

−ϕc(x)

2

d3xϕ2

c(x, t)K χ(x − x, 0)

+ϕc(x)

d3x

t−∞

dtϕc(x, t) ϕc(x, t)K χ(x − x, t − t) = ϕc (x) ξ (x) . (77)

Se tambem usamos a aproximacao de campo homogeneo ϕc(x) ≡ ϕ(t) (lembrando que

nossos calculos sao motivados para aplicacao a inflacao, com ϕc associado ao campo de

inflaton), a expressao (77) se simplifica para

d2ϕc(t)

dt2 +

dV eff (ϕc)

dϕc+ ϕc(t)

t−∞

dtϕc(t) ϕc(, t)K χ(t − t) = ϕc (t) ξ (t) , (78)



29

onde V eff (ϕc) denota o potencial efetivo para o campo ϕc, que inclui as correcoes locais

vindas dos diagramas mostrados na figura 3 e dado explicitamente por (na forma nao

renormalizada)3

V eff (ϕc) = 1

2m2

φϕ2c +

λ

4!ϕ4

c

+ g2

2 ϕ2

c

d3k

(2π)31 + 2n (ωχ)

ωχ (k)

− g4

4 ϕ4

c

d3k

(2π)31

4ω2χ(k)

1 + 2nχ

2ω(k) + βnχ(1 + nχ)

. (79)

Notamos que a equacao (78) possui a mesma forma que a equacao de movimento

generalizada de Langevin mostrada no Capıtulo 1, eq. (2), para o caso n = 1. Poderia-

se ainda mostrar que, caso tivessemos considerado a interacao do campo φ com χ na

acao (59) como sendo uma interacao trilinear da forma gφχ2, a equacao de movimento

efetiva resultante seria da forma da eq. (2) para o caso n = 0 (BERERA; RAMOS, 2001;

BERERA; MOSS; RAMOS, 2009). Em ambos os casos, usando a forma do propagador

G++χj

dada por (67), obtemos que a forma do kernel de flutuacao N (x, x), definido pela

funcao de dois pontos (72), como sendo dado por (na aproximacao de campos homogeneos)

ξ (t)ξ (t) = 2g4

d3q

(2π)31

4ω2χ(q )

2nχ [1 + nχ] +

+ [1 + 2nχ + 2n2χ]cos[2ωχ|t − t|] +

+ 2β Γχ( q )nχ[1 + nχ][1 + 2nχ] sin[2ωχ|t − t|] e−2Γχ( q)|t−t|

+ O

g4Γ2

χ

T 2

. (80)

Na aproximacao de altas temperaturas usada para deduzir a equacao (67) e, portanto,

na obtencao do resultado (80), a contribuicao maior para o integrando nos momentos em(80) vem de q ∼ T . Nesse caso, podemos trocar a integral pela contribuicao de momento

dominante. Com isso, vee-se que o kernel de flutuacao e constituido por um termo de

decaimento exponencial puro, mais um termo harmonico com decaimento exponencial.

Essa forma do kernel vai motivar o estudo que faremos nos proximos capıtulos. Nos

proximos capıtulos, trabalhamos com a aproximacao de altas temperaturas para o kernel

3

A expressao explicita do potencial efetivo nao vai ser importante para nossos estudos uma vez que, comovisto acima, as correcoes do campo χ geram correcoes para a massa mφ e cosntante de acoplamentoλ, gerando uma massa e acoplamento efetivos. Esses valores efetivos sao as quantidades fixados emnossas simulacoes numericas nos proximos capıtulos.



30

(80), para entao compararmos as dinamicas markoviana (onde o kernel de dissipacao e

aproximado por um coeficiente local) e nao-markoviana do sistema.



31

2 COSMOLOGIA INFLACIONARIA

2.1 Introducao

Ao longo das ultimas decadas, o avanco das pesquisas relativas ao cosmos fez com

que alcancassemos um modelo para o universo muito bem testado tanto do ponto de vista

observacional, quanto do ponto de vista de sua formulacao matematica. Tal modelo ficou

conhecido como modelo cosmol´ ogico padr˜ ao (MCP). A essencia do MCP e composta pelo

Princıpio Cosmologico (PC), o qual consiste em dois princıpios de invariancia espacial

(DODELSON, 2003; PEEBLES, 1993). O primeiro princıpio de invariancia e o isomor-

fismo sobre translacoes, tambem chamado de homogeneidade. Cosmologicamente, a ho-mogeneidade pode ser entendida como galaxias uniformemete distribuıdas no espaco. Esta

uniformidade seria independente do local do espaco que se escolhe para fazer observacoes.

Entao, uma translacao de uma galaxia para outra deixa a distribuicao de galaxias inva-

riante. O segundo princıpio de invariancia e o isomorfismo sobre uma rotacao, tambem

conhecido como isotropia. Uma maneira simples de visualizarmos esse princıpio e imagi-

narmos a superfıcie uniforme de uma esfera. Para um habitante dessa superfıcie, nao ha

ferramentas geometricas capazes de distinguir direcoes no espaco bidimensional em que

vive. Quando inserimos, por exemplo, um objeto nessa superfıcie, a simetria e perdida e

a partir de entao pode-se diferenciar direcoes. Com isso, podemos notar que o conceito

de isotropia depende intrinsicamente do conceito de homogeneidade. Obviamente os con-

ceitos envolvidos pelo PC foram criados hipotetizando uma validade apenas em grandes

escalas, acima de uma escala caracterıstica. Em observacoes em pequenas escalas vemos

claramente que os conceitos de homogeneidade e isotropia espaciais nao concordam com

as observacoes, mesmo porque se concordassem, nao estarıamos aqui para realizar tais

observacoes. A formulacao matematica do MCP e discutido na secao 2.2.

Quando possuımos um modelo em maos, e imprescidıvel que determinemos os

limites de aplicabilidade do mesmo. O MCP descreve bem o universo que conhecemos apartir de aproximadamente t > 1s. A partir de tal instante, esse modelo coleciona uma

serie de sucessos corroborados direta ou indiretamente por observacoes (LINDE, 1990):

• t ≈ 1 → 100s, T ≈ 106 → 1010K , ρ ≈ (0, 1 → 1MeV )4: ocorre a nucleossıntese, pro-

cesso responsavel pela formacao de elementos de nucleo leve, tais como o hidrogenio,

o helio e o lıtio.

• t ≈ 104anos, T ≈ 104K , ρ ≈ (1eV )4: a densidade de radiacao se iguala a densidade

de materia, e entao o universo deixa de ser dominado pela radicao para entrar numaera onde a materia e o componente dominante.

• t ≈ 105anos, T ≈ 2500K , ρ ≈ (0, 1eV )4: a recombinacao dos atomos acarreta



32

o desacoplamento dos fotons. Apos essa epoca, o universo torna-se praticamente

transparente.

• Apos a recombinacao, as pequenas inomogeneidades na distribuicao de materia sao

amplificadas, dando origem ao processo de formacao de galaxias e estrelas.

Nesta lista, ρ e a densidade total do universo.

Para tempos entre t ≈ 10−36s (tempo de Planck) e 1s, o que em termos da densi-

dade total corresponde a ρ ≈ (1018GeV → 1MeV )4, o MCP precisa de modificacoes. Eis

entao que entra em cena o modelo de universo inflacionario. Alguns exemplos de proble-

mas do MCP serao brevemente discutidos na secao 2.3 e o modelo inflacionario na secao

2.4. Uma alternativa a esse modelo de inflacao (chamada geralmente de inflacao fria) e

que sera tomado como uma aplicacao do tema da presente dissertacao e introduzido nasecao 2.5.

Para finalizar essa introducao, e bom atentarmos para uma importante questao.

Hoje e um fato praticamente estabelecido que 73% do universo e preenchido por um

componente denominado energia escura, a qual esta dominando o presente universo e

causando um estagio de expansao acelerada primeiramente confirmado em 1998, 22, 6%

por um tipo de materia pouco ou nao-interagente denominada materia escura, 4, 4% por

materia barionica e outras pequenas porcentagens de neutrinos e radiacao (SPERGEL et

al., 2006). Esses numeros, alem de mostrar que deve haver uma fısica alem do modelo

padrao de fısica de partıculas (ja que o mesmo aparenta explicar “apenas” uma ınfima

parte do conteudo de materia do universo), mostram que a cosmologia avancou um nıvel

consideravel nas ultimas decadas: de laboratorio de testes para nossas leis fısicas, ela pode

ter passado a ser uma fonte e um guia para descoberta de novas teorias fısicas.

2.2 A metrica FRLW e as Equacoes Dinamicas do Universo

Vamos a partir de agora trabalhar no sistema de unidades naturais, ou seja, =

c = kb = 1. Estamos interessados basicamente em obter as equacoes que governam a

dinamica do universo segundo o modelo cosmologico padrao. Para tal, consideremos o

elemento de linha proposto por Friedmann, Robertson, Lemaıtre e Walker (FRLW), o

qual satisfaz as exigencias do PC (para detalhes a respeito da derivacao desse elemento

de linha, ver (ISLAM, 2001)):

ds2 = dt2 − a(t)2 dr2

1 − κr2 + r2(dθ2 + sin2 θdφ2)

, (81)



33

onde r, θ,φ sao coordenadas comoveis que mapeiam o espaco, a(t) e o chamado fator de

escala do universo e κ e um parametro que define a geometria do espaco. Se igual a 1,

temos um universo fechado ou esferico. Se igual a 0, temos um universo de geometria

plana. E, finalmente, se κ = −1, temos um universo aberto ou hiperbolico. Tendoem maos (81), podemos obter a evolucao temporal do fator de escala a(t) utilizando as

equacoes de campo de Einstein, dadas na forma tensorial por

Gµν = κT µν , (82)

onde Gµν e o tensor de Einstein e T µν e o tensor momento-energia dado por (PEEBLES,

1993; D’INVERNO, 1992):

T µν = (ρ + p)uµuν − pgµν . (83)

Num referencial comovel ao fluido, a quadrivelocidade uµ e dada por (1, 0, 0, 0).

Depois de uma enorme quantidade de calculos simples e repetitivos (ISLAM, 2001),

obtemos um par de equacoes chamadas equacoes de Einstein. Sao elas as equacoes de

Friedmann e de aceleracao, dadas respectivamente por:

a(t)

a(t)2

= 8π

3m2 pl

ρ(t)−

κ

a(t)2 , (84)

a(t)

a(t) = − 4π

3m2 pl

[ρ(t) + 3 p(t)] , (85)

onde m pl ≡ G−1/2 ≈ 1, 22 × 1019GeV .

A partir do tensor momento-energia para fluidos perfeitos, podemos obter uma

equacao de conservacao de energia. Ela possui a seguinte forma (ISLAM, 2001):

ρ(t) + 3 a(t)

a(t) [ρ(t) + p(t)] = 0 . (86)

Para facilitar a notacao das equacoes, vamos a partir de agora abandonar a es-

crita explıcita da dependencia temporal de suas variaveis. Vamos tambem definir a razao

a/a como sendo um parametro (cuja importancia sera mais tarde explicitada) chamado

parametro de Hubble:



34

H ≡ a

a . (87)

A partir das equacoes (85), (84) e (86), vemos que a evolucao temporal do fator

de escala do universo e intimamente ligada a evolucao temporal do conteudo energetico

do mesmo. Essas equacoes nao limitam o numero de componentes que o universo pode

ter, mas para que suas equacoes sejam soluveis, e necessario que se especifique a relacao

entre a pressao e a densidade de energia de todos os componentes. A essa rela cao damos

o nome de equacao de estado, e a escrevemos da seguinte maneira:

pi = ωiρi , (88)

onde o subındice i indica que estamos tratando das grandezas de densidade e pressao

do componente i do universo. O termo ω e o chamado parametro da equacao de es-

tado, podendo ou nao ser dependente do tempo. Quando estamos tratando do MCP

com componentes usuais (materia ordinaria e radiacao, por exemplo), usamos apenas

parametros da equacao de estado que independem do tempo. Essa dependencia temporal

do parametro ω sera explorada mais tarde nesse texto.Podemos entao reescrever as equacoes (85), (84) e (86) de forma mais geral:

a

a = − 4π

3m2 pl

i

(1 + 3ωi)ρi . (89)

H 2 = 8π

3m2 pl i

ρi − κ

a2 , (90)

ρi + 3H (1 + ωi)ρi = 0 . (91)

Vamos agora encontrar as solucoes cosmologicas padroes, ou seja, como evolui a

densidade ρ e o fator de escala a em funcao do tempo. Para facilitar, vamos encontrar o

comportamento geral, e depois particulariza-lo substituindo os valores pertinentes para ω.

O procedimento e substituir a relacao (88) na equacao (91) deixando de lado os ındices. Na

equacao (90), assumimos por simplicidade κ = 0 (o que antecipa um resultado que iremosem breve discutir), e substituımos H na equacao de fluido. Daı obtemos uma equacao



35

diferencial ordinaria de primeira ordem facilmente integravel, dando-nos o resultado

ρ ≈ 2

3τ (1 + ω)2

t−2

, (92)

onde τ 2 ≡ 8π3m2

pl. Substituindo a expressao acima obtida na equacao de Friedmann (90)

obtemos como o fator de escala a evolui no tempo:

a ∼ t2

3(1+ω) . (93)

Usando as expressoes (92) e (93), obtemos a densidade como funcao do fator de escala:

ρ ∼ a−3(1+ω) . (94)

O parametro da equacao de estado quando o fluido em questao e a radiacao e

ωrad = 13

. Quando o componente e a materia (inclui-se em materia todo componente nao

relativıstico) temos que ωmat = 0. Substituindo esses valores no resultado (94), obtemos

as seguintes relacoes:

ρrad ∼ a−4 . (95)

ρmat ∼ a−3 . (96)

Atraves dos resultados (95) e (96), notamos que para a pequeno, a densidade de radiacao

e maior que a densidade de materia, e, portanto, mais determinante na dinamica do

universo. Quando isso ocorre, dizemos que a radiacao e o componente dominante. Na

medida que a cresce, chegara um ponto em que a densidade de materia se tornara maior

que a densidade de radiacao. Dizemos entao que a materia domina sobre a radiacao.

Em resumo, vamos listar as principais caracterısticas de um universo dominado

por radiacao ou materia:

No passado do universo, a era da radiacao teve uma duracao de aproximadamante

3

×105 anos a partir da origem do universo. Apos esse perıodo, a materia comecou a

dominar sobre a radiacao (PEEBLES, 1993; DODELSON, 2003).

Observando a tabela 1, notamos que a medida que andamos para o passado, encon-



36

Tabela 1 - Caracterısticas de um universo dominado por radiacao ou materia

Fluido dominante a(t) ρ(t) ρ(a) H (t)

Materia

∼t23

∼t−2

∼a−3

∼ 23t

Radiacao ∼ t 12 ∼ t−2 ∼ a−4 ∼ 12t

tramos uma singularidade em a = 0 (ou t = 0). Entretanto essa extrapolacao do modelo

cosmologico padrao nao faz sentido, visto que nessa escala de energia e indispensavel con-

tarmos com uma teoria de gravitacao quantica, e como todos sabemos, a RG e uma teoria

classica da gravitacao.

2.2.1 Parametros Cosmologicos

Vamos agora definir alguns parametros que podem ser vistos como a interface entre

a cosmologia teorica e observacional, uma vez que quando precisamos comparar nossos

resultados teoricos com dados observacionais, sao esses parametros que encontramos em

tabelas de missoes espaciais, tais como a do WMAP.

A densidade crıtica de energia e definida como sendo a densidade de energia para

a qual o universo possui curvatura nula (DODELSON, 2003; PEEBLES, 1993), ou seja,

κ = 0. Fazendo κ = 0 na equacao (90) e isolando a densidade ρ, encontramos a densidadecrıtica:

ρc ≡3m2

pl

8π H 2 . (97)

Repare que a densidade crıtica nao e constante no tempo, uma vez que ela depende do

parametro de Hubble H (t).

Outra importante quantidade e o parametro de densidade. O parametro de den-

sidade de um componente do universo e definido como a razao entre sua densidade e a

densidade crıtica do universo (DODELSON, 2003; PEEBLES, 1993).

Ωi ≡ ρi

ρc

. (98)

Podemos relacionar o parametro de densidade Ω com a geometria do universo. Para isso,

encontremos o valor de ρ atraves da equacao (90) e o dividemos pela densidade crıtica.

A expressao resultante e:



37

Ω = 1 + κ

a2H 2 .

Vemos claramente que num universo plano (κ = 0), o valor do parametro de densidade e

Ω = 1. Quando temos um universo fechado (κ = 1), a expressao acima nos diz que Ω > 1.

E, finalmente, quando temos um universo aberto (κ = −1), Ω < 1.

2.3 Falhas do Modelo Cosmologico Padrao

Apesar do enorme sucesso do modelo cosmologico padrao em explicar diversos

fenomenos do universo (PEEBLES, 1993), ele deixa sem resposta algumas questoes im-

portantes. Uma lista detalhada desses problemas pode ser encontrada em (LINDE, 1990).

Como exemplos, vamos discutir brevemente e de forma qualitativa o problema da plana-

ridade e da formacao de estruturas.

Vamos novamente olhar para a equacao

Ω = 1 + k

a2H 2 .

Usando as expressoes da tabela 1, obtemos para um universo dominado por radiacao:

|Ωrad − 1| ∼ |k|t 23 .

E para um universo dominado por materia:

|Ωmat − 1| ∼ |k|t .

Lembrando que o universo, segundo o MCP, passa por um perıodo de dominacao

por radiacao seguido de um perıodo de dominacao por materia, vemos que em qualquer

instante o valor de Ω sempre se afasta da unidade. O grande problema e que dados

observacionais mostram que o valor atual do parametro de densidade e Ω = 1, 02(2)

(SPERGEL et al., 2006), ou seja, vivemos num universo aproximadamente plano. Para

o MCP produzir esse valor, temos que ajustar muito finamente as condicoes inicias do

universo. Por exemplo, para esse valor ser satisfeito, temos que ter (PEEBLES, 1993;

LINDE, 1990) |Ω − 1| ∼ 10−16 na epoca do desaclopamento (t ∼ 105 anos) ou |Ω − 1| ∼



38

10−64 na epoca de Planck (t ∼ 10−43 s). Caso esse ajuste fino nas condicoes inicias

nao seja feito, o universo entraria rapidamente num processo de colapso ou se expandiria

rapidamente antes da formacao de estruturas.

Um outro problema do MCP e ele nao explicar o porque da homogeneidade emgrandes escalas do universo. Tanto quanto o MCP nao dar uma explicacao razoavel para

essa questao, nao apresentar mecanismos de geracao de inomogeneidades tambem e um

problema. Como poderiam estruturas se formar em universo perfeitamente homogeneo?

Por um longo perıodo de tempo essas questoes ficaram sem resposta. Somente

com o surgimento do modelo inflacionario no inıcio da decada de 1980 esse e varios outros

problemas do MCP comecaram a ser resolvidos.

2.4 Inflacao Convencional

O modelo inflacionario pode ser abordado de diversas maneiras (BASSETT; TSU-

JIKAWA; WANDS, 2006). Uma delas e considera-lo como sendo apenas um metodo

eficiente e conveniente de parametrizar o universo primordial. Uma outra abordagem e

inserir o campo escalar responsavel por esse estagio de evolucao do universo numa das

extensoes do modelo padrao de partıculas, como as GUT’s (Grand Unified Theories), a

supergravidade ou as supercordas. Deste modo, podemos ver a inflacao como um caminho

para entender aspectos da gravitacao quantica e da fısica de partıculas alem do modelo

padrao (LINDE, 1990).

As ideias basicas do modelo inflacionario foram propostas inicialmente por A. Guth

e K. Sato de forma independente em 1981 (LINDE, 1990). Esse modelo original e hoje

conhecido como inflacao antiga. Um modelo revisado foi proposto no ano seguinte por A.

Linde, o qual e conhecido como inflacao nova (LINDE, 2004). Em 1983, A. Linde propos

o modelo de inflacao caotica, o qual, ao contrario da inflacao antiga e nova, nao necessita

da hipotese de um universo que se inicia num estado de equilıbrio termico. Desde entao,

muitos outros modelos foram construıdos, e a grande questao atual e selecionar dentre essagrande variedade de modelos, aquele que melhor descreve a realidade que observamos.

E bom enfatizar que o modelo inflacionario nao e um substituto do MCP. Ele

atua como um complemento do MCP visando obter uma melhor modelagem do universo

primordial. Ao termino do perıodo inflacionario, o comportamento padrao e recuperado,

havendo entao a epoca de dominacao da radiacao com a posterior dominacao da materia.

Para comecar a modelar o regime inflacionario, precisamos de uma definicao pratica

de inflacao. Podemos definı-la como qualquer epoca no universo primordial onde a(t) >

0 (PEEBLES, 1993; LINDE, 2004). Com isso, esbarramos num primeiro problema.Olhando para a equacao (89) e usando os componentes usuais do MCP (materia e ra-

diacao), observamos que a(t) e sempre negativo, ou seja, qualquer componente padrao



39

conduz a uma desaceleracao do universo. Surge entao a necessidade de introducao de um

novo componente na dinamica do universo que nos possibilite obter aceleracao positiva.

Novamente fazendo uso da equacao (89) e considerando a fase de dominancia deste novo

componente, obtemos a seguinte relacao:

ω < −1

3 . (99)

Portanto, qualquer que seja o componente que gere a inflacao, ele deve ter uma equacao

de estado que respeite a condicao (99). Na maioria dos modelos relevantes, a inflacao e

causada por campos escalares. Ao campo que gera a inflacao atribui-se o nome inflaton.

A densidade lagrangiana para modelos que utilizam um campo escalar homogeneo

pode ser escrita da seguinte forma (LINDE, 1990):

L = a3(t)

1

2φ(t)2 − V (φ)

. (100)

A dinamica do campo e dada pela seguinte equacao, obviamente obtida via equacoes de

Euler-Lagrange:

φ(t) + 3H (t) φ = −V (φ) . (101)

O tensor momento-energia associado a um campo escalar e dado por:

T µν = ∂ L∂ (∂ µφ)

∂φ

∂xν − gµν L . (102)

Substituindo a densidade (100) na expressao anterior e igualando ao tensor momento-

energia para fluidos ideais dada por (83), obteremos as seguintes relacoes para a densidadede energia e pressao do inflaton:

ρφ = 1

2φ2 + V (φ) , (103)

pφ = 1

2

φ2

−V (φ) . (104)



40

Com isso, podemos definir o parametro ωφ da equacao de estado do inflaton:

ωφ ≡12

φ2

−V (φ)

12

φ2 + V (φ) . (105)

Agora podemos discutir melhor o mecanismo inflacionario. Como vimos, a ace-

leracao positiva e conseguida gracas a pressao negativa. A pressao pφ pode ser vista

como a soma da parte cinetica do campo com o oposto do valor do potencial ao qual

esta submetido. Enquanto o potencial V (φ) dominar sobre a parte cinetica 12

φ2, teremos

inflacao.

O campo escalar possui um determinado valor inicial φi, e consequentemente, o

potencial possui o valor inicial V (φi). A tendencia do campo escalar e “rolar” em direcaoao mınimo desse potencial. Quanto mais lentamente rolar o campo escalar, mais tempo

levara para que o termo cinetico domine sobre o potencial, o que aumenta a duracao do

estagio inflacionario. Os potenciais, o tipo e o numero de campos escalares variam de

modelo para modelo, mas a ideia basica e sempre essa. Em modelos mais realistas, a

duracao da inflacao pode ser tao curta quanto 10−35s (LINDE, 2004). Quando a inflacao

termina, o campo escalar φ(t) comeca a oscilar ao redor do mınimo do potencial. Com isso,

ele perde energia atraves da criacao de pares de partıculas elementares. Estas partıculas

interagem entre si e atigem o equilıbrio termico a uma certa temperatura T . A partir

deste instante, o universo pode entao ser descrito pelo MCP.

Substituindo as expressoes (103) e (104) acima na equacao de Friedmann (90) e,

por simplicidade, desprezando o termo de curvatura (uma vez que o fator de escala cresce

de forma suficientemente rapida para o desprezarmos), obtemos a seguinte equacao:

H 2 = 8π

3m

2

pl

1

2

φ2 + V (φ) . (106)

Entao, se quisermos obter a evolucao temporal do inflaton φ(t) e do fator de escala

a(t), temos que resolver a equacao (101) respeitando o vınculo (106), lembrando que

H = a/a. Sao raras as solucoes exatas para essas equacoes, mas quando queremos obter

apenas o comportamento aproximado dessas grandezas, podemos recorrer a um metodo de

solucao analıtica chamado de aproximacao de rolamento lento (PEEBLES, 1993). Alem

disso, a solucao aproximada e um atrator da solucao das equacoes completas, ou seja,

independentemente das condicoes inicias, a solucao completa rapidamente se aproxima

da solucao analıtica.Se quisermos um campo que role lentamente sobre o potencial, devemos impor

condicoes sobre a forma do ultimo. A simplificacao a ser feita nas equacoes (106) e (101)



41

e desprezar os termos quadraticos em φ e o termo de derivada segunda em φ. Com isso,

obtemos as seguintes equacoes:

3H ˙φ = −V

(φ) , (107)

H 2 = 8π

3m2 pl

V (φ) . (108)

As imposicoes sobre a forma do potencial sao obtidas apartir das equacoes (107) e

(108) em conjunto com a condicao a > 0 (PEEBLES, 1993). Sao elas:

(φ) ≡ m2 pl

16π

V

V

2

1 , (109)

|η(φ)| =m2

pl

8π

V

V

1 . (110)

Na pratica, podemos considerar que ha inflacao enquanto as condicoes de rolamento

lento forem satisfeitas. O fim do estagio inflacionario e atingido quando ∼ 1. Outra

grandeza que pode ser definida e o numero de e-foldings (PEEBLES, 1993), que e umamaneira de quantificar a inflacao. Ele e definido da seguinte forma:

N ≡ ln a(tf )

a(ti) = − 8π

m2 pl

φf φ0

V

V dφ , (111)

onde tf e ti sao os instantes de tempo em que a inflacao termina e comeca, respectivamente.

Para a inflacao resolver a maioria dos problemas do MCP, e necessario que o numero de

e-foldings seja N > 60 (LINDE, 1990).

Para ilustrar o funcionamento do modelo inflacionario, vamos usar um potencial

quadratico da forma

V (φ) = m2

2 φ2 . (112)

Inserindo-o nas equacoes (108) e (107), e as resolvendo em conjunto para φ(t) e a(t)

obtemos as seguintes expressoes por integracao direta:

φ(t) = φ0 − mm plt√ 12π

, (113)



42

a(t) = a0 exp 4π

3

m

m plφ0t − mm plt2

√ 48π . (114)

As equacoes (113) e (114) fornecem respectivamente a evolucao temporal do inflaton e do

fator de escala, sendo as constantes φ0 e a0 seus valores em t = 0.

Determinemos agora os parametros e η, dados pelas equacoes (109) e (110):

(φ) =m2

pl

4πφ2 , (115)

η(φ) =m2

pl

4πφ2 . (116)

Fazendo uso da condicao de fim do estagio inflacionario, (φf ) = 1, obtemos o valor

aproximado de φf ≡ φ(tf ), onde tf e o instante de tempo em que a inflacao termina.

φf = m pl

2√

π . (117)

O numero de e-foldings obtido a partir da equacao (111) e dado por:

N = −2 π

m2 pl

[φ2f − φ2

0] . (118)

Como para a inflacao ter utilidade e necessario um N > 60, restringimos inferiormente o

valor φ0 substituindo a expressao (117) na equacao (118), obtemos o valor de amplitude

inicial requerido para o campo de inflaton, nesse exemplo em particular que estamosusando,

φ0 > 3.1m pl . (119)

2.5 Inflacao Nao-Isentropica

Vamos recapitular as principais caracterısticas do modelo inflacionario convenci-

onal. Temos um campo escalar chamado inflaton que, a princıpio, sua interacao com

outros campos e desprezada. Tal campo, durante o estagio inflacionario, rola lentamente



43

em direcao ao mınimo de seu potencial. Ao desprezar suas interacoes com outros campos

de materia, nao existe a possibilidade de geracao de radiacao durante o perıodo infla-

cionario, daı o nome inflacao fria. A grande questao e como, apos o termino da inflacao,

conduzir o universo a uma fase dominada por radiacao, se esta nao pode ser produzidadurante a fase acelerada. A solucao encontrada foi adicionar a descricao do universo um

estagio pos-inflacionario chamado reaquecimento. Nesse estagio, o inflaton ao atingir o

mınimo do seu potencial, passa a oscilar ao redor deste, e a interacao do inflaton com

outros campos, possibilita que haja a producao radioativa de partıculas por decaimento

do inflaton ou pelo fenomeno chamado de ressonancia parametrica (LINDE, 1982).

A proposta da inflacao nao-isentropica (ou warm inflation) e gerar radiacao durante

o perıodo inflacionario, promovendo assim uma transicao natural para a era dominada

por essa componente. Isso significa que o perıodo de reaquecimento nao e necessario neste

modelo. O unico requerimento imposto pela relatividade geral para que exista um perıodo

inflacionario e que a energia do vacuo domine, e isso nao exclui a possibilidade de existencia

de uma densidade de radiacao durante tal perıodo, desde que ela seja subdominante.

Pondo as equacoes que descrevem tal modelo para evoluir no tempo, em algum instante

de tempo tr, a densidade de radiacao passa a dominar sobre a densidade do vacuo, e entao

o universo entra na fase em que a radiacao e o componente dominante de forma natural.

De maneira pratica, isso pode ser feito adicionando-se um termo de dissipacao a equacao

de evolucao do inflaton (alem do termo ja existente devido ao acoplamento entre o campo

e a metrica, representado por 3H φ). Isso foi feito nos anos 80 por Moss (MOSS, 1985)

e Yokoyama (YOKOYAMA; MAEDA, 1988), em 2 artigos independentes. Mais tarde,

por volta da metade dos anos 90, Berera e Fang (BERERA; FANG, 1995) mostraram

que a descricao consistente da dinamica de um campo inflacionario que dissipa energia e

dada por uma equacao de Langevin e que, portanto, existiria um teorema de flutua cao-

dissipacao que especificasse as flutuacoes do inflaton. Do ponto de vista da teoria quantica

de campos, os principais responsaveis pelo desenvolvimento das bases microscopicas desse

modelo inflacionario foram Berera, Moss, Gleiser, Ramos (BERERA, 1996; BERERA;

GLEISER; RAMOS, 1998; YOKOYAMA; LINDE, 1999; MOSS; XIONG, 2006).A figura 5 resume bem as diferencas qualitativas entre a inflacao fria e a inflacao

nao-isentropica.

A motivacao do capıtulo 5 advem justamente da derivacao microscopica da equacao

de movimento do inflaton. A EdM obtida via teoria quantica de campos, como veremos

no proximo capıtulo, apresenta um termo de dissipacao nao-markoviano, o que complica

consideravelmente sua resolucao. Usando a abordagem que sera desenvolvida no proximo

capıtulo, compararemos a dinamica dessa equacao nao-markoviana com a dinamica da

equacao de movimento fenomenologica usada frequentemente na literatura:

φ + [3H + Υ] φ + V (φ) = ν , (120)



44

Figura 5 - Comparacao entre o cenario padrao da inflacao e a inflacao nao-isentropica

Legenda: comparacao entre o cenario padrao da inflacao e a inflacao nao-isentropica: nainflacao fria somente ha geracao de radiacao na fase de reaquecimento, enquanto que nocenario alternativo a radiacao e produzida continuamente, possibilitando assim uma transicaonatural para um universo dominado por radiacao.

onde, Υ φ e um termo dissipativo local e ν e um termo de ruıdo branco. Ambos sao termos

efetivos que surgem devido a interacao do inflaton com outros campos. Vamos agora dis-

cutir alguns aspectos dessa abordagem fenomenologica da inflacao nao-isentropica, repre-

sentada pela equacao de movimento (120) e contrasta-la com o caso da inflacao isentropica

(ou fria).

2.5.1 Equacoes Dinamicas da Inflacao Nao-Isentropica

Obviamente a introducao de mais um termo dissipativo e de um termo de ruıdobranco na equacao de movimento do inflaton, acarretam modificacoes nas equacoes dinamicas

do modelo inflacionario. Agora temos que escrever as equacoes de aceleracao (89) e de

Friedmann (90) para duas componentes: a densidade do campo escalar ρφ e a densidade

de radiacao ρr :

a

a = − 4π

3m2 pl

[(1 + 3ωr)ρr + (1 + 3ωφ)ρφ] , (121)



45

Usando ωr = 1/3 e (105), obtemos:

a = − 8π

3m2 pl

ρr + ˙φ

2

− V (φ)

a , (122)

Vejamos como a equacao diferencial para a densidade ρφ se modifica. Derivando

em relacao ao tempo a equacao (103) e usando a EdM (120) chegamos ao resultado:

ρφ = −3 a

aφ2 − Υ φ2 + ν φ . (123)

A equacao de continuidade (91) para a radiacao deve se modificar de forma que a

energia seja conservada:

ρr = −4 a

aρr + Υ φ2 − ν φ . (124)

Ao trabalharmos com as equacoes (120), (123) e (124) como medias sobre o ensem-

ble (portanto ν = 0), obtemos o seguinte conjunto de equacoes dinamicas que descrevem

a inflacao nao-isentropica:

φ = −[3H + Υ] φ − V (φ)

a = − 8π

3m2 pl

ρr + φ2 − V (φ)

a

ρφ = −3 a

aφ2 − Υ φ2

ρr = −4 a

aρr + Υ φ2 . (125)

Analogamente a inflacao convencional, podemos deduzir condicoes de rolamento

lento que possibilitam a expansao acelerada durante um perıodo tao longo quanto ne-cessario. Os parametros , η e β sao definidos como:

=m2

pl

16π

V

V

2

, η =m2

pl

8π

V

V

, β =

m2 pl

8π

ΥV

ΥV

. (126)

E as condicoes sao as seguintes:

< 1 + D, η < 1 + D, β < 1 + D, (127)



46

onde D e dado por:

D ≡ Υ

3H . (128)

Podemos observar que para D grande, as condicoes (127) sao mais fracas que as condicoes

correspondentes na inflacao fria, dadas pelas expressoes (109) e (110). Condicoes de

rolamento lento a mais devem ser levadas em conta caso o coeficiente dissipativo ou o

potencial dependa da densidade de radiacao. Por exemplo, no caso de radiacao termica

sao necessarias correcoes quanticas no potencial do inflaton. A condicao de rolamento

adicional e dada por (MOSS; XIONG, 2008):

δ < 1 , (129)

onde δ e definido como

δ = T V ,φT

V ,φ. (130)

Basicamente a condicao (129) estabelece que modelos de inflacao nao-isentropica viaveis

possuem algum mecanismo para suprimir correcoes termicas do potencial do inflaton, de

tal forma a poder preservar a “planitude” requerida pelo potencial do inflaton.

Olhando para a equacao (120), podemos identificar dois regimes: o regime de alta

dissipacao (Υ > 3H ), e o regime de baixa dissipacao (Υ ≤ 3H ). No regime de alta

dissipacao, o termo de dissipacao Υ controla a evolucao amortecida do inflaton, enquanto

que no outro regime o parametro de Hubble H e o termo dominante. Para Υ H e

ρ1/4r H , recuperamos o cenario inflacionario padrao.



47

3 CONSTRUINDO E TESTANDO A ABORDAGEM NUMERICA

3.1 Introducao

Como vimos no capıtulo anterior, derivacoes microscopicas de equacoes de mo-

vimento efetivas em teoria de campos podem gerar equacoes da forma da eq. (2). Es-

sas equacoes de movimento, sendo nao-locais (nao-Markovianas), sao usualmente muito

difıceis de se resolverem em geral. O que vamos fazer nesse e no proximo capıtulo e desen-

volver uma forma apropriada de resolver numericamente tais equacoes. Vamos agora nos

concentrar em encontrar uma maneira adequada de tratar equacoes da forma da eq (2).

Na literatura de estatıstica, as formas mais comuns para o kernel nao-Markoviano K (t−t

)sao o kernel de Ornstein-Uhlenbeck (OU) (HANGGI; JUNG, 1995) e o kernel harmonico

amortecido (H) (BARTUSSEK et al., 1997). Por se tratarem, respectivamente, de uma

exponencial decrescente e de um termo de seno e cosseno multiplicados por uma exponen-

cial decrescente, esses kernels, quando somados, possuem uma forma bastante semelhante

ao kernel obtido em teoria de campos, como mostrado e discutido no final do ultimo

capıtulo. Daı o especial interesse neles. Nesses casos restritos, mostraremos na secao 3.2

desse capıtulo que e possıvel reescrever a equacao nao-markoviana original em termos de

um sistema de equacoes markovianas. E bom ressaltar que em casos mais gerais, esse

procedimento pode nao ser aplicavel (para uma revisao recente sobre diferentes tipos de

ruıdos coloridos e suas equacoes diferenciais associadas, ver (??)).

No caso de estarmos lidando com uma equacao nao-markoviana nao-linear, temos

que recorrer a metodos numericos para extraırmos a dinamica do sistema em estudo.

Apesar de haver alguns metodos especıficos que podem ser aplicados em casos gerais (LU;

BAO, 2005), avaliamos a possibilidade de metodos padrao serem utilizados para resolver

equacoes do tipo da eq. (2). Tal avaliacao foi realizada visando determinar se a precisao

alcancada utilizando metodos convencionais (ja amplamente conhecidos e desenvolvidos)

e suficientemente boa frente ao problema estocastico que temos em maos. Caso a precisaofosse adequada, estarıamos evitando o emprego de um esforco computacional maior e des-

necessario ( devido a sofisticacao dos metodos mais recentes). Um caso particularmente

interessante, e o Runge-Kutta estocastico (HONEYCUTT, 1992). Esse metodo foi pro-

posto para contornar o determinismo intrınsico do Runge-Kutta tradicional, porem ele se

mostra adequado apenas quando temos um sistema no qual todas as equacoes diferenciais

sao estocasticas, o que, como veremos, nao e nosso caso.

O desenvolvimento desses testes e realizado na secao 3.3. Consideramos uma versao

linear da ELG para que pudessemos obter, via transformacao de Laplace, uma solucaoanalıtica para ser comparada com a solucao numerica obtida atraves do algorıtmo de

Runge-Kutta de quarta ordem. Na secao 3.6, encerramos o capıtulo discutindo os resul-



48

tados obtidos.

3.2 O sistema dinamico

Com o objetivo de condensar a notacao apenas, consideremos a equacao genera-

lizada de langevin homogenea que inclui tanto os dois kernels (OU e H), quanto o ruıdo

colorido aditivo e multiplicativo:

φ(t) + V (φ) =1

n=0l

φn(t)

ξ l(t) −

tt0

dtK l(t − t)φn(t) φ(t)

. (131)

Na equacao acima, quando somamos em n, temos o setor aditivo da ELG para n = 0 e o se-

tor multiplicativo da ELG para n = 1. A soma em l determina o tipo de ruıdo que estamos

considerando. Para l = OU , temos o termo estocastico colorido de Ornstein-Uhlenbeck

ξ OU (t) e seu respectivo kernel K OU (t − t). Para l = H , temos o termo estocastico

harmonico ξ H (t) e seu respectivo kernel K H (t − t).

O termo de ruıdo, por ser colorido, deve satisfazer a seguinte relacao:

ξ l(t)ξ l(t) = T K l(t − t) , (132)

que corresponde ao teorema flutuacao-dissipacao classico.

A forma do kernel harmonico armotecido K H que estamos interessados e dado pela

seguinte expressao:

K H (t − t) = Qm2

2γ e−γ (t−t)

cos[Ω1(t − t)] +

γ

Ω1sin[Ω1(t − t)]

, (133)

onde Q e a magnitude da dissipacao, γ e o inverso do tempo de relaxacao do banho

(1/γ = τ ), m da a escala de tempo de oscilacao e Ω21 ≡ m2 − γ 2 > 0. Portanto, devemos

ter uma expressao para ξ H (t) tal que, ao calcularmos a funcao de correlacao de 2 pontos

ξ H (t)ξ H (t) o resultado seja proporcional a equacao (133). Consideremos entao a EDE

abaixo:

ξ H (t) =

−2γ ξ H (t)

−m2ξ H (t) + m2 2T Qζ (t) , (134)



49

onde ζ (t) e um ruıdo Gaussiano branco e portanto, obedece as seguintes propriedades:

ζ (t) = 0

ζ (t)ζ (t

) = δ (t − t

) . (135)

A solucao geral da equacao (134) pode ser escrita da seguinte forma:

ξ (t) = C 1e−γt cos(Ω1t) + C 2e−γt sin(Ω1t) + e−γt

Ω1Ω2

0

2QT

dt cos(Ω1t)

× ζ (t) e−γt

sin(Ω1t) −

dt sin (Ω1t) ζ (t) e−γt

cos(Ω1t)

, (136)

onde C 1 e C 2 sao constantes de integracao. Utilizando a parte estacionaria da solucao

anterior, podemos calcular a funcao de correlacao de 2 pontos. Apos um exercıcio trivialde algebra e algumas integracoes simples, obtemos:

ξ H (t)ξ H (t) = T Qm2

2γ e−γ (t−t)

cos[Ω1(t − t)] +

γ

Ω1

sin[Ω1(t − t)]

, (137)

onde a media e tomada sobre o numero de realizacoes. A expressao (137) demonstra que

a equacao diferencial (134) e capaz de gerar o kernel harmonico (133) no qual estamos

interessados.

O caso Ornstein-Uhlenbeck e completamente analogo. A forma do seu kernel K OU

e uma exponencial decrescente cuja forma exata pode ser obtida atraves da solucao esta-

cionaria da seguinte EDE:

ξ OU (t) = −γ

ξ OU (t) −

2T Qζ (t)

, (138)

onde aqui novamente ζ (t) e um ruıdo Gaussiano de espectro branco, e portanto satisfaz

as propriedades (135). A solucao geral dessa equacao pode ser facilmente obtida, sendo amesma dada por:

ξ OU (t) = −γ

2T Qe−γt

dtζ (t)eγt + Ce−γt , (139)

onde C e uma constante de integracao. Usando a segunda relacao do conjunto de propri-

edades (135), obtemos

ξ OU (t)ξ OU (t) = T γQe−γ (t−t) . (140)



50

Comparando a equacao (140) com a expressao (132) para l = OU , vemos que

K OU (t − t

) = γQe−γ (t−t)

, (141)

onde, como no caso do kernel harmonico amortecido, Q e a magnitude da dissipacao e γ

e o inverso do tempo de relaxacao do banho.

Portanto, para que a relacao (132) seja satisfeita, devemos incluir no nosso sistema

dinamico as EDEs (134) e (138). Do ponto de vista algorıtmico, resolvemos separadamente

essas EDEs ate um determinado instante de corte tc acima do qual suas solucoes podem ser

aproximadamente consideradas estacionarias. Apos isso, as inserimos no sistema completo

para que as outras equacoes diferenciais facam uso de suas solucoes para t > tc.

Determinemos entao as outras equacoes que fazem parte do sistema dinamico.

Olhando para a equacao (131), podemos definir uma nova variavel wln como sendo dada

por

wln(t) ≡ − tt0

dtK l(t − t)φn(t) φ(t) . (142)

Considerando t0 = 0 e derivando em relacao ao tempo a expressao anterior, temos:

wln(t) =

t0

dt K l(t − t)φn(t) φ(t) − K l(0)φn(t) φ(t) , (143)

onde as derivadas dentro da integral sao sempre em relacao a t. Agora precisamos particu-

larizar o kernel na expressao (143) para que possamos utilizar propriedades que serao uteis

na obtencao das equacoes do sistema dinamico. No caso do kernel harmonico, podemos

escrever a seguinte expressao:

K H (t − t) − 2γ K H (t − t) = −m2K H (t − t) , (144)

onde as derivadas sao em relacao a t. Definindo uma nova variavel uHn(t) tal que

uHn(t) ≡ t0

dt

K H (t − t) − 2γK H (t − t)

φn(t) φ(t) , (145)

e tomando sua derivada em relacao ao tempo, obtemos o seguinte resultado ao usarmos



51

a relacao (144) e a definicao (142) para l = H :

uHn(t) = −m2

wHn(t) + ˙

K H (0) − 2γK H (0)

φn

(t) ˙φ(t) (146)

Outra equacao diferencial e obtida ao utilizarmos a definicao (145) na equacao (143) com

l = H :

wHn(t) = uHn(t) − 2γwHn(t) − K H (0)φn(t) φ(t) . (147)

Vejamos agora o caso Ornstein-Uhlenbeck, que e ainda mais simples. Olhando

para a equacao (141), vemos que

K OU (t − t) = γK OU (t − t) , (148)

onde a derivada e em relacao a t. Fazendo l = OU na equacao (143) e usando a relacao

(148), obtemos a seguinte equacao diferencial:

wOUn(t) = −γwOUn(t) − K OU (0)φn(t) φ(t). (149)

O potencial com o qual vamos trabalhar a partir de agora e dado por V (φ) =m2

φ

2 φ2+ λ

4!φ4, e portanto sua derivada em relacao ao campo φ e dada por V (φ) = m2

φφ+λ6

φ3.

Frente a isso, e usando a definicao (142), a equacao (131) pode ser reescrita da seguinte

forma:

¨φ(t) + m

2

φφ(t) +

λ

6 φ3

(t) =

1n=0

l

[φn

(t) (ξ l(t) + wln(t))] . (150)

Juntando as equacoes (134), (138), (146), (147), (149) e (150), temos um conjunto de

equacoes diferenciais locais que se equivale a equacao nao-markoviana original (131). Vi-

sando facilitar referencias futuras, escrevamos o sistema dinamico com todos os termos



52

da soma e todas as equacoes escritas explicitamente:

φ = y

y = −m2φφ −

λ

6 φ3

+ ξ H + wH + + ξ 0U + wO+ + φ[ξ H + wHX + ξ OU + wOX ]wO+ = −γwO+ − K OU (0)y

wH + = uH + − 2γwH + − K H (0)y

wOX = −γwOX − K OU (0)φy

wHX = uHX − 2γwHX − K H (0)φy

uH + = −m2wH + + K H (0)y − 2γK H (0)y

uHX = −m2wHX + K H (0)φy − 2γK H (0)φy

˙ξ H = z H

z H = −2γz H − m2ξ H + m2

2T Qζ

ξ OU = −γ

ξ OU −

2T Qζ

(151)

Para tornar mais inuitiva a leitura das equacoes, algumas mudancas de notacao

foram feitas no sistema acima. A variavel wO+ e a variavel w correspondente ao caso

Ornstein-Uhlenbeck (l=OU) aditivo (n=0). A variavel wOX e a variavel w correspondente

ao caso Ornstein-Uhlenbeck (l=OU) multiplicativo (n=1), e assim sucessivamente.

3.3 Regime linear - abordagem analıtica

Como equacoes nao-markovianas do tipo da eq. (2) possuem kernels nao-locais

na forma de uma convolucao, podemos resolve-la usando o metodo da transformada de

Laplace, caso desprezemos o termo quartico no potencial e tenhamos ruıdo aditivo apenas.

Consideremos entao o seguinte potencial:

V (φ) =m2

φ

2 φ2 . (152)

A equacao (131), assume a forma linear

φ(t) + m2φφ(t) =

l

ξ l(t) −

tt0

dtK l(t − t) φ(t)

.

Estamos interessados em analisar o comportamento da equacao nao-markovianausando cada kernel (OU e H) separadamente. Para tal, consideremos entao uma ELG

linear com um kernel K (t − t) e um termo de ruıdo ξ (t) que pode ser tanto o kernel OU



53

e seu termo de ruıdo ξ OU (t) quanto o kernel harmonico e seu termo de ruıdo ξ H (t):

φ(t) + m2φφ(t) +

t0 dt

K (t − t

) φ(t

) = ξ (t) . (153)

Usando a transformada de Laplace de φ(t),

Lφ(t) = φ(s) ≡ ∞

0

dt exp(−st)φ(t) , (154)

e o teorema da convolucao no termo dissipativo nao-Markoviano da equacao (153), pode-

mos facilmente observar que a solucao transformada para a ELG linear pode ser escrita

como

φ(s) =φ(0) +

s + K (s)

φ(0)

s2 + m2 + s K (s)+

ξ (s)

s2 + m2 + s K (s), (155)

onde K (s) e ξ (s) sao a transformada de Laplace do kernel de dissipacao K (t − t) e do

ruıdo ξ (t), respectivamente.

Para obtermos φ(t), basta calcularmos a transformada inversa da equacao (155):

φ(t) = L−1φ(s) = ϕ(t) +

t0

dtg(t − t)ξ (t) , (156)

onde

ϕ(t) = L−1

φ(0) + s + K (s)φ(0)

s2 + m2 + s K (s) , (157)

e

g(t − t) = L−1

1

s2 + m2 + s K (s)

. (158)

A solucao explıcita para φ(t) e difıcil de ser obtida analiticamente devido ao termo

de ruıdo no lado direito da equacao (156). Entretanto, sabemos que esse termo de ruıdo

e gaussiano (ξ = 0), o que nos garante uma simplificacao consideravel ao tomarmos a



54

media da equacao (156). Fazendo isso, obtemos

φ(t) = ϕ(t) . (159)

Uma vez que o kernel K (t − t) e dado, a expressao acima e facilmente calculada nume-

ricamente ou analiticamente. Usamos o software MAPLE para obter numericamente o

resultado para ϕ(t). Deve-se notar que tanto no caso OU quanto H, a forma explıcita

da solucao pode ser obtida, mas como elas sao bastante complicadas e longas, evitamos

escreve-las aqui.

E tambem conveniente calcularmos φ2(t). Lembrando que o ruıdo colorido ξ (t)

satisfaz a relacao (132), obtemos entao que

φ2(t) = ϕ2(t) + T

t0

dtg(t − t)

t0

dtg(t − t)K (t − t) . (160)

3.4 Regime linear - abordagem numerica

Na secao anterior, tratamos da abordagem analıtica para a ELG linear com ruıdo

aditivo. Vamos agora definir os sistemas dinamicos que serao resolvidos numericamente.Para tal, basta particularizarmos o conjunto de equacoes (151) e desligarmos o termo de

interacao (λ ≡ 0). O sistema que representa o caso OU aditivo e dado por:

φ = y

y = −m2φφ + ξ OU + wO+

wO+ = −γwO+ − K OU (0)y

ξ OU = −γ

ξ OU − 2T Qζ

.

(161)

Para o caso harmonico aditivo, temos o seguinte sistema:



55

φ = y

y = −m2φφ + ξ H + wH +

wH + = uH + − 2γwH + − K H (0)y

uH + = −m2wH + + K H (0)y − 2γK H (0)y

ξ H = z H

z H = −2γz H − m2ξ H + m2

2TQζ .

(162)

3.5 Comparacao entre a Solucao Analıtica e Numerica

Nessa secao, mostramos os resultados para φ(t) e φ2(t) obtidos usando a trans-

formada de Laplace e os comparamos aos resultados numericos obtidos resolvendo os

sistemas de equacoes derivados previamente.

Na figura 6 plotamos lado a lado os resultados para ϕ(t) obtidos a partir da ex-

pressao analıtica (157) e os resultados numericos, obtidos resolvendo o sistema (161),

que representa o caso OU. Na figura 7, fazemos o mesmo para o caso harmonico, que e

representado pelo sistema (162).

Os sistemas foram resolvidos usando o algorıtmo de Runge-Kutta de quarta ordem,

com um passo δt = 0.01. O numero total de realizacoes sobre o ruıdo usado tanto no caso

OU quanto H foi de 300000. Em todas as simulacoes, usamos φ(0) = 1 e φ(0) = 0 como

condicoes iniciais.

Olhando para as figuras 6 e 7, vemos uma excelente concordancia entre os resul-

tados analıticos e numericos obtidos atraves do Runge-Kutta padrao. Por completeza,

e tambem util comparar os resultados para φ2, o qual foi definido analiticamente na

equacao (160), com os resultados numericos para essa mesma quantidade. Isso e feito nafigura 8 para os casos OU (painel esquerdo) e harmonico (painel direito).

A partir da figura 8, novamente observamos uma concordancia excelente entre os

resultados analıtico e numerico de φ2. Uma grandeza que define melhor o quao boa e

essa concordancia e a diferenca entre a solucao analıtica e numerica:

∆φ = ϕanalytic − ϕnumeric

∆φ

2

= φ

2

analytic − φ

2

numeric . (163)

Os resultados para as diferencas ∆φ e ∆φ2 sao mostrados nas figuras 9 e 10 para



56

Figura 6 - Evolucao temporal para ϕ(t) no caso OU

Legenda: evolucao temporal para ϕ(t) no caso OU: (a) para γ = 0, 5, (b) para γ = 1, 0 e (c)para γ = 5, 0. Os outros parametros foram tomados como m = 1, 0, mφ = 1, 0, Q = 1, 0 eT = 1, 0.

os casos OU e H, respectivamente. Olhando para essas figuras, podemos notar que as

diferencas estao sempre contidas dentro de um intervalo da ordem de ±10−2 e oscilam ao

redor de zero de forma ruidosa. De fato, checamos que a maior parte dessa diferen ca pode

ser reduzida aumentando-se o numero de realizacoes sobre o ruıdo. Isto certifica que asolucao para os sistemas (161) e (162) obtidas usando o algorıtmo de Runge-Kutta padrao

esta reproduzindo de forma satisfatoria os resultados analıticos, apesar da caracterıstica

nao-determinıstica intrınsica a ELG que estamos tratando. Essa concordancia e notada

nao so para tempos curtos, onde o efeito de memoria e dominante, como tambem para

tempos longos, onde a dissipacao nao-markoviana passa a ser subdominante e a dinamica

markoviana representa razoavelmente bem o comportamento do sistema (FARIAS; RA-

MOS; SILVA, a).

O erro entre a solucao analıtica e numerica de equacoes diferenciais estocasticas

pode provavelmente ser reduzido ao fazermos uso, por exemplo, do Runge-Kutta es-

tocastico. Entretanto, nao pudemos verificar isso para nosso caso particular, pois esse



57

Figura 7 - Evolucao temporal para ϕ(t) no caso harmonico

Legenda: evolucao temporal para ϕ(t) no caso harmonico: (a) para γ = 0, 1, (b) para γ = 0, 3e (c) for γ = 0, 5. Os outros parametros foram tomados como m = 1, 0, mφ = 1, 0, Q = 1, 0 eT = 1, 0.

metodo exige que todas as equacoes do sistema sejam resolvidas da mesma maneira, o

que nao parece apropriado, ja que nem todas as equacoes dos sistemas (161) e (162) sao

estocasticas. Um trabalho futuro seria a criacao de um algorıtmo adaptado a essa nossa

situacao particular.

3.6 Discussoes

Neste capıtulo, apos construırmos uma abordagem que nos permitiu reescrever a

ELG original em termos de um sistema de equacoes locais, estudamos a possibilidade de

usar um metodo numerico padrao (Runge-Kutta de quarta ordem) para resolver equacoes

de Langevin generalizadas. Mostramos que a solucao da equacao de movimento linear

com ruıdo aditivo obtida atraves do uso da transformada de Laplace, quando comparada

com o resultado numerico obtido com a rotina do Runge-Kutta, mostram entre si uma boa



58

Figura 8 - Evolucao temporal para φ2(t) no caso OU

Legenda: evolucao temporal para φ2(t) no caso OU (painel esquerdo) e harmonico (paineldireito). Os parametros utilizados foram: γ = 0, 5, m = 1, 0, mφ = 1, 0, Q = 1, 0 e T = 1, 0.

Figura 9 - A diferenca ∆φ no caso OU

Legenda: a diferenca ∆φ no caso OU (painel esquerdo) e harmonico (painel direito). Osparametros usados foram: γ = 0, 5, m = 1, 0, mφ = 1, 0, Q = 1, 0 e T = 1, 0.

concordancia, a qual independe da prescricao utilizada para transformar a ELG original

no sistema de equacoes diferenciais locais. Tudo isso foi realizado tendo em vista os dois

casos mais utilizados de kernels de dissipacao/ruıdo: os casos OU e H. Esperamos que essa

precisao possa ainda ser melhorada ao usarmos variacoes do algorıtmo de Runge-Kutta

devidamente adaptados para lidar com sistema de equacoes diferenciais semelhantes ao

que tratamos aqui, onde nem todas as equacoes sao estocasticas, fato este que cria um

empecilho a utilizacao de metodos como o Runge-Kutta estocastico. Os resultados desse

capıtulo foram publicados em (FARIAS; RAMOS; SILVA, b).



59

Figura 10 - A diferenca ∆φ2 no caso OU

Legenda: a diferenca ∆φ2 no caso OU (painel esquerdo) e harmonico (painel direito). Osparametros usados foram: γ = 0, 5, m = 1, 0, mφ = 1, 0, Q = 1, 0 e T = 1, 0.



60

4 COMPARAC AO ENTRE AS DINAMICAS MARKOVIANA E

NAO-MARKOVIANA

4.1 Introducao

Findada a analise do metodo numerico por nos utilizado, neste capıtulo nos foca-

remos na comparacao da dinamica markoviana com a dinamica nao-markoviana da ELG

que descreve a interacao de um sistema, denotado pela variavel φ(t), com um banho

termico cujo ruıdo satisfaz a relacao 132 e e gaussiano. Analisaremos separadamente os

casos OU aditivo, OU multiplicativo, H aditivo e H multiplicativo.

4.2 Equacoes nao-markovianas

Estamos entao interessados em resolver a ELG (131) para os casos particulares em

que temos um kernel OU com ruıdo aditivo,

φ(t) + m2φφ +

λ

6

φ3 = ξ OU (t)

− t

0

dtK OU (t

−t) φ(t) , (164)

cujo correspondente sistema de equacoes locais e dado por

φ = y

y = −m2φφ − λ

6φ3 + ξ 0U + wO+

wO+ = −γwO+ − K OU (0)y

ξ OU =

−γ ξ OU

− 2T Qζ . (165)

Para o caso de um kernel OU com ruıdo multiplicativo,

φ(t) + m2φφ +

λ

6φ3 = φ(t)

ξ OU (t) −

t0

dtK OU (t − t)φ(t) φ(t)

, (166)

sendo o correspondente sistema de equacoes locais dado por



61

φ = y

y = −m2φφ − λ

6 φ3 + φ[ξ OU + wOX ]


ξ OU = −γ

ξ OU −

2T Qζ

. (167)

Para o caso de um kernel H com ruıdo aditivo,

φ(t) + m2φφ +

λ

6φ3 = ξ H (t) −

t

0

dtK H (t − t) φ(t) , (168)

cujo correspondente sistema de equacoes locais e dado por:

φ = y

y = −m2φφ − λ

6φ3 + ξ H + wH +

wH + = uH + − 2γwH + − K H (0)y

uH + = −m2wH + + K H (0)y − 2γK H (0)y

ξ H = z H

z H = −2γz H − m2ξ H + m2

2TQζ . (169)

E, finalmente, um kernel H com ruıdo multiplicativo,

φ(t) + m2φφ +

λ

6φ3 = φ

ξ H (t) −

t0

dtK H (t − t)φ(t) φ(t)

, (170)

representado pelo seguinte conjunto de equacoes locais:

φ = y

y = −m2φφ − λ

6φ3 + φ[ξ H + wHX ]


uHX = −m2wHX + K H (0)φy − 2γK H (0)φy

ξ H = z H

z H = −2γz H − m2ξ H + m2

2TQζ .

(171)



62

4.3 Aproximacao markoviana

Quando utilizamos a aproximacao markoviana, todo efeito de memoria nas equacoes

(164), (166), (168) e (170) e negligenciado, pois o termo de dissipacao nao-Markovianoe substituido por um termo de dissipacao local. Em geral, esperamos que a forma local

da EGL seja uma aproximacao valida quando a escala de tempo de relaxacao do banho

termico, τ = 1/γ , e muito menor que a escala de tempo caracterıstica do sistema, isto

e, quando τ φ/ φ. Isto e equivalente a condicao quase-adiabatica usada em teoria

de campos (BERERA; GLEISER; RAMOS, 1998). Quando esta condicao e alcancada

num intervalo de tempo suficientemente grande ∆t = t − t0, entao ∆t/τ 1 (o que e

equivalente a tomar t0 → −∞) e o termo nao-local no tempo na ELG pode ser escrito

como

φn(t)

tt0

dtK (t−t)φn(t) φ(t) φ2n(t) φ(t)

tt0→−∞

dtK (t−t) → Q φ2n(t) φ(t) . (172)

Com isso, a equacao de movimento que obtemos ao usar a aproximacao (172) e dada por:

φ(t) + Q φ2n(t) φ(t) + m2φφ +

λ

6φ3 = φn(t) ξ (t) , (173)

onde aqui novamente n = 0 significa que estamos tratando o caso aditivo, enquanto

que n = 1 corresponde ao caso multiplicativo. Levando em conta as condicoes impostas

acima, em tempos suficientemente curtos esperamos que os efeitos de memoria influenciem

significantemente a dinamica, enquanto que para tempos longos (t 1/γ ), esses efeitos

devem se tornar rapidamente desprezıveis. Com isso, algumas questao importantes surgem

naturalmente: dado um conjunto de parametros que representam o modelo e o banho

termico ao qual ele esta acoplado, ate quando o efeito de memoria devido a termos nao-

Markovianos sao importantes? Quando podemos ignorar esses termos e adotar a equacaomarkoviana como uma descricao fiel para a dinamica do sistema? E possıvel que para

um dado conjunto de parametros, toda a dinamica seja bem representada pela equacao

markoviana?

Como a representacao da dinamica atraves de uma equacao local dada pela eq.

(173) representa uma simplificacao consideravel tanto do ponto de vista numerico quanto

analıtico (se essa abordagem e possıvel) quando comparada a equacao integro-diferencial

estocastica (131), estas questoes tornam-se bastante relevantes para estudos que fazem

uso de equacoes de movimento estocasticas.

A partir de agora, mostramos os resultados da comparacao entre as dinamicas

markoviana e nao-markoviana para os casos particulares indicados na secao 4.2. Como no



63

capıtulo anterior, todas as simulacoes foram feitas com 300000 realizacoes sobre o ruıdo,

com um passo δt = 0.01 e com as condicoes iniciais φ(0) = 1 e φ(0) = 0.

4.3.1 O caso aditivo

Figura 11 - Caso OU com ruıdo aditivo e sua aproximacao markoviana: evolucao temporal de

ϕ(t).

Legenda: caso OU com ruıdo aditivo e sua aproximacao markoviana: evolucao temporal deϕ(t). (a) γ = 0, 5, (b) γ = 1, 0 e (c) γ = 5, 0. Os outros parametros foram tomados comom = 1, 0, Q = 1, 0, T = 1, 0, mφ = 1, 0 e λ = 1, 0.

Em todos os casos analisados, escolhemos variar o parametro γ , porque, ao amor-

tecer os efeitos dos kernels nao-locais, podemos determinar a aplicabilidade e a escala de

tempo da aproximacao local, e, portanto, a validade dessa aproximacao pode ser melhor

medida dado o valor do fator γ . Valores representativos para γ foram escolhidos e todos

os outros parametros foram mantidos fixos. Uma analise realizada variando-se outros

parametros foi publicada por nos em (FARIAS; RAMOS; SILVA, a).

Vamos considerar em um primeiro momento a ELG com ruıdo aditivo e kernel

OU, ou seja, a equacao (164). Na figura 11 plotamos lado a lado os resultados para a



64

Figura 12 - Caso harmonico com ruıdo aditivo e a respectiva aproximacao markoviana:

evolucao temporal de ϕ(t).

Legenda: caso harmonico com ruıdo aditivo e a respectiva aproximacao Markoviana: evolucaotemporal de ϕ(t). (a) para γ = 0, 1, (b) para γ = 0, 3 e (c) para γ = 0, 5. Os outros parametrossao os mesmos usados na figura 11.

dinamica do valor medio da variavel φ, φ = ϕ(t), onde a media e tomada sobre o numero

de realizacoes do ruıdo. As curvas descrevem a dinamica markoviana, obtida atraves da

equacao (173) com n = 0, e a dinamica nao-markoviana, obtida resolvendo o sistema

(165)Na figura 12 plotamos novamente a dinamica para ϕ(t), entretanto para o caso

harmonico amortecido. Na equacao (173), n e tomado como sendo 0.

O efeito da variacao de γ observado nas figuras 11 e 12 e bastante claro. Quanto

maior e o tempo de relaxacao (1/γ ) nos kernels nao-locais, mais evidente e o efeito de

memoria, o que acarreta uma maior diferenca entre as dinamicas markoviana e nao-

markovianas, diferenca esta mais acentuada para tempos curtos. A tempos suficiente-

mente longos, dependendo de quao grande e γ , as duas dinamicas se aproximam uma da

outra. Isso tambem seria observado se plotassemos a correlacao φ2

(t) para os casos OU eH. A diferenca entre a dinamica markoviana e nao-markoviana pode ser melhor estimada

ao definirmos as seguintes quantidades:



65

∆φ = φnon−Markovian − φMarkovian

∆φ2 = φ2non−Markovian − φ2Markovian . (174)

Os resultados para as diferencas ∆φ e ∆φ2 sao mostradas nas figuras 13 e 14,

respectivamente para os casos OU e H.

Figura 13 - Diferencas ∆φ e ∆φ2 no caso OU aditivo.

Legenda: Diferencas ∆φ e ∆φ2 no caso OU aditivo. Como antes, os outros parametros sao

mantidos fixos.

Figura 14 - Diferencas ∆φ e ∆φ2 no caso H aditivo.

Os resultados exibidos nas figuras 13 e 14 novamente confirmam o que notamos

anteriormente: para tempos longos (t 1/γ ), a diferenca entre as duas dinamicas con-

cordam entre si com uma precisao crescente e quanto maior e o tempo de relaxacao, mais

tempo e demandado para que a dinamica markoviana se aproxime da nao-markoviana.

Uma importante conclusao que podemos tirar das figuras 11 e 14 e que a escala de tempo

na qual as duas dinamicas comecam a se tornar equivalentes e muito maior que a escala



66

de tempo da relaxacao do kernel e tambem maior que a escala de tempo tıpica do sistema,

a qual e dada por (1/m).

4.3.2 O caso multiplicativo

Figura 15 - Caso OU com ruıdo multiplicativo e a aproximacao markoviana: evolucao

temporal de ϕ(t).

Legenda: caso OU com ruıdo multiplicativo e a aproximacao markoviana: evolucao temporalde ϕ(t). (a) para γ = 0, 5, (b) para γ = 1, 0 e (c) para γ = 5, 0. Os outros parametros foramtomados como m = 1, 0, Q = 1, 0, T = 1, 0 e λ = 1, 0.

Vamos agora verificar os resultados relativos ao caso multiplicativo. A dinamica

markoviana e dada pela equacao (173) com n = 1, e a n ao-markoviana pelos sistemas

(167), no caso OU multiplicativo, e (171), no caso H multiplicativo.

Na figura 15 plotamos lado a lado os resultados para φ nos regimes Markoviano

e nao-Markoviano no caso OU. Na figura 16 fazemos o mesmo para o caso harmonico

amortecido.

Os resultados para as diferencas ∆φ e ∆φ2 sao mostrados nas figuras 17 e 18 para

os casos OU e H, respectivamente.



67

Figura 16 - Caso H com ruıdo multiplicativo e a aproximacao markoviana: evolucao temporal

de ϕ(t).

Legenda: caso H com ruıdo multiplicativo e a aproximacao markoviana: evolucao temporal deϕ(t). (a) para γ = 0, 1, (b) para γ = 0, 3 e (c) para γ = 0, 5. Todos os demais parametrosforam tomados iguais aos das figuras anteriores.

As figuras 15 - 18 mostram resultados analogos ao caso aditivo e, portanto, as

conclusoes feitas na secao anterior permanecem validas no caso multiplicativo.

Adicionalmente aos resultados acima discutidos e mostrados para a vari avel do

sistema ϕ, e tambem util determinar como o efeito de memoria influencia o tempo determalizacao do sistema quando posto em contato com o banho termico a temperatura T .

Para isso, vamos definir para tal sistema uma temperatura efetiva dependente do tempo

de acordo com o teorema de equiparticao de energia:

T ef (t) = φ2(t) . (175)

A T ef para os casos OU e H, com ruıdo aditivo e multiplicativo, estao plotados na figura

19, onde tambem e mostrada a aproximacao local a tıtulo de comparacao.

Olhando para a figura 19, novamente observamos o comportamento padrao notado



68

Figura 17 - Diferencas ∆φ e ∆φ2 no caso OU multiplicativo.

Legenda: diferencas ∆φ e ∆φ2 no caso OU multiplicativo. Todos os outros parametros foram

fixados como antes.

Figura 18 - Diferencas ∆φ e ∆φ2 no caso H multiplicativo.

nos graficos anteriores. Quanto maior e a escala de tempo de relaxacao dos termos nao-

Markovianos, mais tempo a dinamica markoviana demanda para ser considerada uma

boa descricao para a dinamica do sistema. Tambem vemos como o efeito de memoria se

reflete na termalizacao do sistema. Tempos de relaxacao maiores fazem com que o sistema

necessessite de mais tempo para termalizar. Tipicamente, para escalas de tempo de

relaxacao comparaveis, o sistema se termaliza mais rapidamente no caso aditivo, enquanto

que ha apenas uma pequena variacao na escala de tempo de termalizacao do sistema

quando comparamos o caso OU com o caso H, dado os outros parametros fixos.

4.4 Discussoes

Neste capıtulo analisamos em detalhes as diferencas entre as dinamicas marko-

viana e nao-markoviana de um sistema em interacao com um banho termico. Usando a

prescricao para transformar uma equacao nao-markoviana num sistema de equacoes locais



69

Figura 19 - Temperatura efetiva T ef

Legenda: temperatura efetiva T ef para (a) caso OU aditivo, (b) caso OU multiplicativo, (c)caso H aditivo e (d) caso H multiplicativo.

no tempo definida no capıtulo anterior, estudamos a aplicabilidade da aproximacao local.

Observamos que em geral a aproximacao local nao e uma boa descricao para a dinamica do

sistema, exceto quando considerada para tempos longos ou para algum conjunto especıfico

de parametros. Realizamos estudos tanto para o caso de ruıdo aditivo quanto para o caso

de ruıdo multiplicativo, sendo que em ambos os casos, a diferenca entre as dinamicas e

maior para tempos curtos. Esse comportamento tambem foi notado no estudo da ter-

malizacao de um sistema em contato com um banho termico. A equacao de Langevin

local subestima a termalizacao do sistema quando comparada a equacao nao-markoviana,

o que indica que o uso da aproximacao markoviana pode conduzir a resultados erroneos

quando estudamos aspectos de equilibracao e termalizacao de um dado sistema.



70

5 APLICAC AO A INFLAC AO NAO-ISENTROPICA

Neste capıtulo apresentamos um estudo ainda em estagio inicial sobre efeitos dememoria na dinamica do campo escalar responsavel por prover a expansao acelerada do

universo no modelo de inflacao nao-isentropica. Na secao 5.1 coletamos os principais resul-

tados do review (BERERA; MOSS; RAMOS, 2009) os quais nos permite parametrizar tal

modelo de uma maneira motivada microscopicamente. Na secao 5.2, aplicamos a aborda-

gem numerica desenvolvida a dois capıtulos atras neste modelo e na secao 5.3 mostramos

alguns resultados da comparacao entre as dinamicas markoviana e nao-markoviana do

inflaton.

5.1 Motivacao microscopica

Como ja foi discutido na secao 2.5, a inflacao nao-isentropica e concebida como

um cenario em que o inflaton interage com outros campos, possibilitando assim a geracao

de radiacao durante o intervalo de tempo no qual a expansao do universo e acelerada.

Nessa secao, destacaremos do review (BERERA; MOSS; RAMOS, 2009) resultados que

nos serao uteis para testar a aproximacao markoviana.

Um exemplo de densidade lagrangiana que proporciona um modelo de infla cao

nao-isentropica e e util em sua analise e exatamente a acao (59) ja estudada no capıtulo

3. A diferenca aqui com a acao estudada anteriormente e que em vez de tratarmos a

interacao entre o campo φ com o campo χ como sendo uma interacao quadratica, a qual

gera a equacao de movimento estocastica efetiva com ruıdo multiplicativo, usaremos o

caso de uma interacao trilinear, gφχ2, que, como discutido no final do capıtulo 3, gera

uma equacao de movimento estocastica com ruıdo aditivo. Trabalhamos com esse caso

em particular pois, numericamente, o sistema de equacoes obtidas e mais facil de ser

analisado do que o caso com ruıdo multiplicativo durante inflacao.Seguindo a derivacao microscopica da equacao de movimento do campo de inflaton

de acordo com os resultados do capıtulo 3, no contexto de inflacao, onde se leva em conta

os calculos numa metrica de de Sitter, como apropriado para o estudo de inflacao, a

equacao efetiva para a evolucao do campo escalar (homogeneo) responsavel pela inflacao,

na qual estamos interessados e dada agora por (BERERA; MOSS; RAMOS, 2009)

∂

2

t + m2

φ +

λ

3! φ2

(t)

φc(t) + 3H ˙φ(t) +

tt0 dt

K (t, t

) ˙φ(t

) = ξ (t) . (176)

A equacao markoviana correspondente obtida da equacao acima tem a forma da equacao



71

(120), ou seja,

φ + [3H + Υ] φ + V (φ) = 0 , (177)

onde uma media sobre o ensemble foi tomada na expressao acima. O coeficiente de

dissipacao local, Υ, no regime de baixa temperatura (T mχ) e dado por (BERERA;

MOSS; RAMOS, 2009)

Υ ≈ Cg2h4 T 3

m2χ

, (178)

onde C e uma constante que pode ser determinada via integracao numerica. Ja no regime

de altas temperaturas (T

mχ), Υ assume o seguinte valor:

Υ ≈ 16

π

g2

h2T ln

T

mχ

. (179)

O inverso do tempo de relaxacao, γ , e dado por:

γ ≈ h2

32πmχ (180)

Temos entao um conjunto de parametros microscopicamente motivados que des-

crevem nosso sistema em interacao com um banho termico. Vamos agora aplicar nossaabordagem numerica a esse caso em particular.

5.2 O sistema dinamico

Estamos entao interessados em resolver a seguinte equacao de movimento, para

posteriormente compararmos sua solucao a obtida atraves de sua respectiva versao mar-

koviana:

φ(t) + 3H (t) φ(t) + V (φ(t)) = φn(t)

l

ξ l(t) −

tt0

dtK l(t − t)φn(t) φ(t)

. (181)

Na equacao acima, o potencial utilizado e V (φ) = m2

φ

2 φ2 + λ

4!φ4. A soma no ındice l nessa

expressao (o que corresponde a somar os kernels harmonico amortecido, eq (133), e OU,

eq. (141)), e equivalente a escrever um kernel K (t − t) como

K (t − t) =Qm2χ

2γ e−γ (t−t)

cos[Ω1(t − t)] +

γ

Ω1

sin[Ω1(t − t)]

+ γQe−γ (t−t) , (182)



72

ou seja, nessa aplicacao estamos interessados nos efeitos de ambos os kernels simultanea-

mente, de novo, motivados pelo resultado obtido ao final do capıtulo 3, onde o kernel de

ruıdo possui termos do tipo tanto OU como harmonico amortecido, analogos aos estudados

nos dois capıtulos anteriores.A diferenca entre as equacoes (181) e (2) e a presenca de um acoplamento do campo

escalar com a metrica de FRLW (termo 3H φ) na primeira. Logicamente, vamos entao

trabalhar com a prescricao desenvolvida no capıtulo 3 para extraırmos a dinamica nao-

markoviana do inflaton. Deixemos momentaneamente de lado o termo 3H φ e selecionemos

as equacoes convenientes no sistema (151) para que tenhamos o caso aditivo (n = 0) e

multiplicativo (n = 1).

Para o caso n = 0 ficamos entao com o seguinte conjunto de equacoes:

φ = y

y = −m2φφ − λ

6φ3 + ξ H + wH + + ξ 0U + wO+

wO+ = −γwO+ − K OU (0)y

wH + = uH + − 2γwH + − K H (0)y

uH + = −m2χwH + + K H (0)y − 2γK H (0)y

ξ H = z H

z H = −2γz H − m2χξ H + m2

χ 2T Qζ

ξ OU = −γ

ξ OU −

2T Qζ

. (183)

Ja no caso n = 1, o sistema e dado por

φ = y

y = −m2φφ − λ

6φ3 + φ[ξ H + wHX + ξ OU + wOX ]



uHX = −m2χwHX + K H (0)φy − 2γK H (0)φy

ξ H = z H

z H = −2γz H − m2χξ H + m2

χ

2T Qζ

ξ OU = −γ

ξ OU −

2T Qζ

. (184)

Falta agora inserirmos o termo 3H φ e as equacoes cosmologicas nos sistemas acima

explicitados. A equacao de aceleracao (122) mantem a mesma forma do caso Markoviano,

lembrando que H = a/a:

a = − 8π

3m2 pl

ρr + φ2 − V (φ)

a . (185)



73

Num procedimento analogo ao da secao 2.5.1, tomamos a derivada temporal da

densidade de energia ρφ = 12

φ2 + V (φ) e usamos a equacao de movimento (181) no resul-

tado, o que nos conduz a

ρφ = −3 a

aφ2 + φφn [wHn + wOn + ξ H + ξ OU ] . (186)

E, por conservacao de energia, a equacao de continuidade (91) para a densidade de ra-

diacao se modifica da seguinte forma:

ρr = −4 a

aρr − φφn [wHn + wOn + ξ H + ξ OU ] , (187)

onde, nas equacoes (186) e (187) a definicao (142) foi utilizada. Juntando entao todas asequacoes, obtemos para o caso aditivo o seguinte sistema local:

φ = y

a = A

A = − 8π

3m2 pl

ρr + y2 − V (φ)

a

y = −3A

a − m2

φφ − λ

6φ3 + ξ H + wH + + ξ 0U + wO+

wO+ = −γwO+ − K OU (0)ywH + = uH + − 2γwH + − K H (0)y

uH + = −m2χwH + + K H (0)y − 2γK H (0)y

ξ H = z H

z H = −2γz H − m2χξ H + m2

χ

2T Qζ

ξ OU = −γ

ξ OU −

2T Qζ

.

ρr = −4A

aρr − y [wH + + wO+ + ξ H + ξ OU ]

ρφ = −3 Aa

y2 + y [wH + + wO+ + ξ H + ξ OU ] . (188)



74

Ja no caso multiplicativo, temos:

φ = y

a = AA = − 8π

3m2 pl

ρr + y2 − V (φ)

a

y = −3A

a − m2

φφ − λ

6φ3 + φ[ξ H + wHX + ξ OU + wOX ]



uHX = −m2χwHX + K H (0)φy − 2γK H (0)φy

ξ H = z H

z H = −2γz H − m2χξ H + m2

χ

2T Qζ

ξ OU = −γ

ξ OU −

2T Qζ

ρr = −4A

aρr − yφ [wHX + wOX + ξ H + ξ OU ]

ρφ = −3A

ay2 + yφ [wHX + wOX + ξ H + ξ OU ] . (189)

5.2.1 Aproximacao local

A aproximacao local da equacao (181) e feita conforme o procedimento (172).

Nesse caso, como estamos tratando dois kernels simultaneamente, teremos:

φ + 3H φ + m2φφ +

λ

6φ3 + 2Qφ2n(t) φ = φn(t)2

2T Qη ,

lembrando que o caso n = 0 corresponde ao caso aditivo e n = 1 ao caso mul-

tiplicativo. Definindo 2Q ≡ Υ e 2√

2T Qη ≡ ν , recuperamos (para n = 0) a equacao

fenomenologica dada por (120), e consequentemente as equacoes para ρφ e ρr, dadas res-pectivamente por (123) e (124). Devido a problemas numericos ainda nao contornados no

caso multiplicativo, vamos a partir de agora tratar, como mencionado no come co deste

capıtulo, apenas o caso aditivo de inflacao nao-isentropica nao-markoviana.

A tıtulo de organizacao, vamos reescrever aqui o sistema que representa o caso



75

Markoviano desse modelo inflacionario:

φ = y

y = − 3

A

a + Υ

φ − V

(φ) + ν

a = A

A = − 8π

3m2 pl

ρr + y2 − V (φ)

a

ρφ = −3A

ay2 − Υy2 + yν

ρr = −4A

aρr + Υy2 − yν . (190)

Ao contrario das equacoes apresentadas na secao 2.5, aqui deixamos evidente os

termos de ruıdo branco, pois do ponto de vista numerico (que e o ponto de vista adotado

neste momento) as medias sao tomadas sobre o numero de realizacoes, e entao deixar as

equacoes da forma exata como elas entram no programa parece ser um procedimento mais

transparente.

5.3 Comparacao entre as dinamicas markoviana e nao-markoviana

Nesta secao obtemos alguns resultados que comparam as dinamicas markoviana enao-markoviana do inflaton e da temperatura efetiva (175) do mesmo. Estamos consi-

derando o caso de baixas temperaturas, e portanto o coeficiente de dissipa cao utilizado

e dado pela equacao (178). Como no capıtulo anterior, variamos o parametro γ , o que

significa variar mχ (o que e obvio pela expressao (180)). Consideramos φ(0) = 4m pl,

φ(0) = 0, a(0) = 1 e H (0) =

16π/3m plmφ. O parametro mφ e da ordem de 10−6m pl,

e λ ≈ 10−13 (LINDE, 1990). Alem disso, levamos em conta a condicao mχ > H , o que,

grosso modo, implica que correcoes de curvatura podem ser desprezadas nos calculos de

teoria de campos (BERERA; RAMOS, 2005).Na figura 20, plotamos para tres casos distintos a evolucao temporal do inflaton

nos regimes de dissipacao markoviana e nao-markoviana. Exatamente como no capıtulo

anterior, notamos que a solucao da equacao markoviana se aproxima da solucao nao-

markoviana a medida que aumentamos o valor do parametro γ . Na figura 21, mostramos

como evolui no tempo a temperatura efetiva T ef para os mesmos parametros utilizados na

figura 20. Novamente notamos uma diferenca apreciavel entre as dinamicas markoviana

e nao-markoviana, fato este que so e amenizado com o aumento do valor de γ .



76

Figura 20 - Evolucao temporal do inflaton

Legenda: evolucao temporal do inflaton: (a) mχ = 50H (0), (b) mχ = 150H (0) e (c)mχ = 250H (0). H (0) e obtido da equacao de Friedmann no instante inicial.

5.4 Discussoes

Neste capıtulo, mostramos uma analise preliminar da influencia de efeitos dememoria sobre a dinamica do campo escalar responsavel pela inflacao. A conclusao e

essencialmente a mesma do capıtulo anterior: a escolha dos parametros utilizados para

descrever o sistema e o banho (aqui microscopicamente motivados) e fundamental na

determinacao de quao satisfatoria e a aproximacao markoviana. Isso quer dizer que a des-

cricao do universo inflacionario via uma equacao diferencial estocastica local no tempo,

que e a abordagem usualmente empregada na literatura corrente, e adequada apenas em

casos muito restritos, sendo entao a dinamica nao-markoviana fundamental para a correta

descricao desse cenario cosmologico.

Como resultados desse capıtulo, vemos das figuras mostradas que a dinamica lo-

cal, dependendo dos parametros utilizados, pode representar a dinamica nao-markoviana



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Figura 21 - Temperatura efetiva do inflaton

Legenda: temperatura efetiva: (a) mχ = 50H (0), (b) mχ = 150H (0) e (c) mχ = 250H (0).

de forma satisfatoria. Alem disso, vemos pelos resultados mostrados na figura 21, que

a temperatura se mantem aproximadamente constante durante inflacao, nos dois casos,

local e nao-local, embora o caso nao-local haja uma variacao maior de T eff . Isso, portanto,

justifica a proposicao da inflacao nao-isentropica (warm inflation) de se desenvolver num

meio termico, mesmo durante inflacao, devido ao efeito de producao de radiacao continu-ada. Notamos ainda que dos resultados apresentados nessas figuras, a maioria dos casos

de parametros utilizados leva a uma dinamica ao final de inflacao com regime oscilatorio

para o inflaton. Nesses casos, ainda ha a possibilidade de uma fase de reaquecimento

posterior a inflacao, como no caso de inflacao fria. A excessao apresentada e o caso (a),

nao-Markoviano, mostrado na figura 22 para tempos longos (apos inflacao), onde o infla-

ton nao entra num regime oscilatorio ao final de inflacao, e passa diretamente para a fase

de radiacao com uma temperatura final T ∼ 4 × 102mφ ∼ 108 GeV.



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Figura 22 - A temperatura efetiva ao final de inflacao

Legenda: a temperatura efetiva ao final de inflacao, no regime nao-markoviano, para o caso (a)da figura 21.



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COMENTARIOS FINAIS

Nessa dissertacao de mestrado, tivemos como objetivo primario testar o quao boapode ser considerada a chamada aproximacao markoviana frente a solucao da equacao

nao-markoviana original, dado um conjunto de parametros que caracterizam um sistema

em interacao com um banho termico. A atencao voltada a esse modelo de interacao

sistema-banho foi motivada pela existencia de teorias de campo que, como no caso da

mecanica estatıstica, possuem equacoes de movimento efetivas da forma de equacoes de

Langevin generalizadas. Para tratar desse problema fora do equilıbrio, primeiramente

desenvolvemos testes com a finalidade de checar nossa abordagem numerica. Mostramos

no capıtulo 3 que e possıvel reescrever uma ELG em termos de um sistema de equacoes di-ferenciais locais no tempo para dois tipos de kernel: o Ornstein-Uhlenbeck e o harm onico

amortecido. Considerando uma versao linear dessa equacao, mostramos que o integrador

Runge-Kutta de quarta ordem produz resultados satisfatorios, mesmo frente a natureza

intrinsicamente estocastica do nosso sistema dinamico. No capıtulo 4, comparamos as

dinamicas markoviana (sem memoria) e nao-markoviana (com memoria) para a ELG

nao-linear e com ruıdo aditivo e multiplicativo. Concluımos que o efeito de memoria nao

pode ser negligenciado para tempos curtos e que a precis ao da aproximacao markoviana

e fortemente dependente do conjunto de parametros que usamos para caracterizar o sis-

tema e o banho termico. No capıtulo 5, testamos a aproximacao markoviana num modelo

de bastante interesse atualmente, o modelo de inflacao nao-isoentropica (ou warm infla-

tion, originalmente). Novamente notamos que dependendo dos parametros utilizados no

modelo, o efeito de memoria nao pode ser desprezado se quisermos obter uma descricao

fiel da dinamica do sistema. Os capıtulos que apresentam resultados originais (3,4 e 5)

possuem conclusoes mais detalhadas nos seus respectivos fins.

Os passos imediatos a serem dados sao: implementacao do caso multiplicativo

para a inflacao nao-isoentropica, insercao das dimensoes espaciais e implementacao do

caso quantico do teorema de flutuacao-dissipacao.



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