TP501 Processos Estocasticos [Modo de Compatibilidade] · Prof. Dayan Adionel Guimarães 11 Exemplo de um p.a. estacionário Seop.a.X(t)doslideanterior for estacionário no sentido

TP501Processos Estocásticos

Prof. Dr. Dayan Adionel Guimarães

Prof. Dayan Adionel Guimarães 2

Motivação

A natureza aleatória de muitos fenômenos observados

em Engenharia se manifesta temporal ou espacialmente.

Uma família de variáveis aleatórias que se manifesta

desta maneira recebe o nome de processo estocástico ou

simplesmente processo aleatório.

Deste ponto em diante no nosso curso utilizaremos dos

conceitos já estudados para caracterizar e analisar

processos aleatórios comumente encontrados em

problemas de telecomunicações.


Referências

Guimarães, D. A.. Digital Transmission: A Simulation-Aided

Introduction with VisSim/Comm. Berlin-Heidelberg, Germany:

Springer-Verlag, Inc., December 2009.

Ynoguti, Carlos Alberto. Probabilidade, Estatística e Processos

Estocásticos, Apostila: Inatel, 2011.

Leon-Garcia, Alberto. Probability and Random Processes for

Electrical Engineering, 2nd Edition: Addison-Wesley, 1994.

Scott Miller, Scott and Childers, Donald. Probability and Random

Processes With Applications to Signal Processing and

Communications, 2nd Edition: Elsevier, 2004.


Processo aleatório – definição

Seja, como exemplo, um sinal

aleatório de tensão ou corrente e o

conjunto de suas possíveis

realizações X(t, ζ1) ... X(t, ζ4). A um

conjunto como este denomina-se

processo estocástico X(t). A cada

uma das realizações citadas dá-se

o nome de função amostra x(t) do

processo X(t). Se amostrarmos

X(t) em, por exemplo, t1 e t2, o

conjunto de amostras comporá as

variáveis aleatórias X(t1) ≡ X1 e

X(t2) ≡ X2 com valores x1 e x2.

1( , )X t ζ

2( , )X t ζ

3( , )X t ζ

4( , )X t ζ

1 1( )X t X≡ 2 2( )X t X≡

1t 2t t

t

t

t


Processo aleatório – observações

Um processo aleatório (p.a.) é um conjunto de variáveis aleatórias

indexadas temporal ou espacialmente.

Se o índice é discreto tem-se um p.a. discreto; se o índice é

contínuo tem-se um p.a. contínuo. Os possíveis valores do p.a.

também podem ser discretos ou contínuos. Tem-se então 4

combinações.

No caso de uma v.a. o resultado de cada experimento é um

número chamado amostra. Para um processo estocástico o resultado

de cada experimento é uma “forma de onda” chamada função

amostra.

O número de formas de onda no conjunto pode ser finito ou

infinito.


Processo aleatório – exemplo

A saída de um

gerador de sinais

binários em um

período de 0 a 10T

é um conjunto com

210 formas de onda

(há incerteza sobre

a realização do p.a.,

não sobre a forma

de onda em si):

t

t

t

t

X t,( )ζ1

X t,( )ζ2

X t,( )ζ3

X t,( )ζ4


Processo aleatório estacionário

Um p.a. é dito estacionário se possuir estatísticas independentes

do instante de tempo em que a observação do processo se inicia.

Isto significa que se um p.a. é dividido em um certo número de

seções, estas seções exibirão propriedades estatísticas idênticas.

Normalmente um p.a. estacionário origina-se de fenômenos físicos

estáveis, como na maior parte dos casos em Telecomunicações.


P.a. estacionário no sentido restrito (1)

Seja um p.a. X(t) iniciado em t = − ∞. Sejam X(t1), X(t2), ...,

X(tk) as v.a. obtidas pela observação do p.a. X(t) nos

instantes t1, t2, ..., tk. Agora suponha que todos os

instantes de observação sejam deslocados de τ, gerando

o conjunto de v.a. X(t1 + τ), X(t2 + τ), ..., X(tk + τ). O p.a. X(t)

é dito estacionário no sentido restrito (Strict-Sense

Stationary, SSS) se as FDCs conjuntas satisfazem a:

1 1( ), ... , ( ) 1 ( ), ... , ( ) 1( ,..., ) ( ,..., )k kX t X t k X t X t kF x x F x xτ τ+ + =


P.a. estacionário no sentido restrito (2)

A FDC “conjunta” de primeira ordem de um p.a.

estacionário no sentido restrito independe do tempo:

( ) ( )( ) ( ) ( )X t X t XF x F x F x tτ τ+= = para todo e

A FDC conjunta de segunda ordem de um p.a.

estacionário no sentido restrito depende somente da

diferença entre os instantes de observação, não do valor

específico destes instantes:

1 2 2 1( ), ( ) 1 2 (0), ( ) 1 2 1 2( , ) ( , )X t X t X X t tF x x F x x t t−= para todo e


Exemplo de probabilidade de um evento conjunto

Seja determinar a

probabilidade de se

obter uma função

amostra x(t) de um

p.a. X(t) que passe

pelas janelas de

amplitude mostradas

na figura ao lado.

Isto equivale a se determinar a probabilidade do evento conjunto

A = ai < X(ti) ≤ bi, i = 1, 2, 3. Em termos da FDC conjunta tem-se:

1 2 3 1 2 3( ), ( ) , ( ) 1 2 3 ( ), ( ) , ( ) 1 2 3[ ] ( , , ) ( , , )X t X t X t X t X t X tP A F b b b F a a a= −


Exemplo de um p.a. estacionário

Se o p.a. X(t) do slide anterior

for estacionário no sentido

restrito, a probabilidade do

seu conjunto de funções

amostra passar pelas janelas

de amplitude na parte (a) da

figura ao lado é igual à

probabilidade do conjunto de

funções amostra passar pelas

janelas de amplitude na parte

(b) desta figura .


Estatísticas de primeira ordem podem não ser suficientes

O p.a. Y(t) ao lado é

simplesmente o p.a. X(t)

comprimido no tempo.

Ambos têm a mesma FDP

(de primeira ordem), mas

Y(t) tem componentes de

freqüência mais elevadas.

Como podemos levar isso

em conta nas estatísticas

do processo?

Y(t)X(t)

Estatísticas de segunda ordem podem resolver o problema, especialmente a

função de auto-correlação...


Média e função de auto-correlação de um p.a.

A média de um p.a. X(t) observado no instante t é:

Para um p.a. estacionário do sentido restrito, a média independe de t:

A função de auto-correlação de um p.a. X(t) é o valor esperado do

produto de duas v.a. X(t1) e X(t2), obtidas pela observação do p.a. nos

instantes e t1 e t2 , respectivamente:

Para um p.a. estacionário no sentido restrito:

( )( ) [ ( )] ( )X X tt E X t xf x dxµ∞

−∞= = ∫

( ) X Xt tµ µ= para todo

1 21 2 1 2 1 2 ( ), ( ) 1 2 1 2( , ) [ ( ) ( )] ( , )X X t X tR t t E X t X t x x f x x dx dx∞ ∞

−∞ −∞= = ∫ ∫

1 2 2 1 1 2( , ) ( ) X XR t t R t t t t= − para todo e


Propriedades da função de auto-correlação

( ) [ ( ) ( )]XR E X t X tτ τ= +

O seu máximo valor

ocorre em τ = 0, ou

seja:

| ( ) | (0)X XR Rτ ≤

Por simplicidade de notação vamos escrever .

2[ ( )] (0)XE X t R=

O valor quadrático

médio do p.a. é

dado por:

( ) ( )X XR Rτ τ= −

A função de

auto-correlação

é par:

Quanto mais

rapidamente um p.a.

varia, mais rapidamente

sua função de auto-

correlação decrescerá.

P.a. com

flutuações

lentasP.a. com

flutuações

rápidas


Função de auto-covariância de um p.a.

A função de auto-covariância de um p.a. X(t) é a covariância das

v.a. X(t1) e X(t2), obtidas pela observação do p.a. nos instantes t1e t2 , respectivamente. Pode ser interpretada como a função de

auto-correlação do processo centralizado:

Para um p.a. estacionário do sentido restrito, a função de auto-

covariância vale:

[ ][ ] 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( )X X X X X XK t t E X t t X t t R t t t tµ µ µ µ= − − = −

2

1 2 2 1( , ) ( )X X XK t t R t t µ= − −


Função de auto-correlação – exemplo (1)

A função amostra x(t) ao

lado pertence ao p.a. X(t)

referente a uma seqüência

binária aleatória tal que: bit

1 ⇒ +A, bit 0 ⇒ −A.

Os pulsos não são

sincronizados: o instante

de início td do primeiro bit

completo pode estar entre

0 e T com FDP uniforme.

Bits consecutivos têm valores 0 ou 1 igualmente prováveis ⇒ E[X(t)] = 0, e

cada bit tem seu valor independente de qualquer valor anterior ou posterior.

Vamos determinar a função de auto-correlação do p.a. X(t)...



Solução: inicialmente vamos considerar | tk – ti | ≥ T. Neste caso e

ocorrem em diferentes intervalos de pulso e são, portanto, independentes:

Agora vamos considerar |tk – ti| < T, com ti < tk. Neste caso e vão

ocorrer no mesmo intervalo de pulso somente se td < T – |tk – ti|. Então:

( )kX t ( )iX t

[ ( ) ( )] [ ( )] [ ( )] 0, | |k i k i k iE X t X t E X t E X t t t T= = − ≥

( )kX t ( )iX t

2 , | |[ ( ) ( ) | ]

0,

d k i

k i d

A t T t tE X t X t t

< − −=

caso contrário

Para “descondicionar” aplicamos a Lei

da Esperança Total: E[X] = E[E(X|Y)]



Realizando a média sobre todos os possíveis valores de td, obtemos:

E finalmente, com τ = tk – ti :

2| | | |

2 2

0 0

| |[ ( ) ( )] ( ) 1

k i k i

d

T t t T t tk i

k i T d d d

A t tE X t X t A f t dt dt A

T T

− − − − − = = = − ∫ ∫

2 | |1

( ) , | |

0, | |

X

AR TT

T

ττ τ

τ

− = < ≥

Lei da Esperança Total:

E[X] = E[E(X|Y)]


P.a. estacionário no sentido amplo

O teste de estacionariedade no sentido restrito envolve a

verificação de independência temporal das estatísticas de

n-ésima ordem do processo em questão, n → ∞.

Na prática muitas vezes é suficiente verificar se as estatísticas

de primeira e de segunda ordem não variam com o tempo.

Um processo aleatório cuja média independe do tempo e a

função de auto-correlação depende somente da diferença entre

os instantes de observação, não do valor específico destes

instantes, é denominado p.a. estacionário no sentido amplo

(Wide-Sense Stationary, WSS), ou simplesmente estacionário.


Processos aleatórios ergódicos (1)

As médias de um p.a. são, por definição, médias estatísticas

tomadas “através” do processo, ou seja, operando no

conjunto de funções amostra.

Para os processos ergódicos, as médias estatísticas podem

ser obtidas por meio de medias temporais (ou espaciais)

realizadas a partir de uma única

função amostra.

WSS SSS

Estocásticos

Ergódicos

Em telecomunicações os

processos aleatórios podem ser

considerados, em sua maioria,

ergódicos.



Para um processo ergódico X(t), considere um intervalo

de observação T de uma de suas funções amostra, x(t).

A média e a função de auto-correlação podem ser

determinadas temporalmente pelas médias amostrais:

/ 2

/ 2

1( ) ( )

T

XT

T x t dtT

µ−

= ∫/ 2

/ 2

1( , ) ( ) ( )

T

XT

R T x t x t dtT

τ τ−

= +∫

[ ]

[ ]

lim ( )

lim var ( ) 0

X XT

XT

T

T

µ µ

µ→∞

→∞

=

=

[ ]

[ ]

lim ( , ) ( )

lim var ( , ) 0

X XT

XT

R T R

R T

τ τ

τ→∞

→∞

=

=



minutos minutos


Funções de correlação cruzada para p.a. estacionários

As funções de correlação cruzada para os processos X(t) e Y(t) são:

Uma forma usual de representação das propriedades de correlação

envolvendo dois processos aleatórios é a matriz de correlação:

( ) [ ( ) ( )] e ( ) [ ( ) ( )]XY YXR E X t Y t R E Y t X tτ τ τ τ= + = +

( ) ( )( )

( ) ( )

X XY

YX Y

R R

R R

τ ττ

τ τ

=

R


Processos descorrelacionados e ortogonais

Processamento de

Sinais Aleatórios


Motivação

No estudo de sistemas de comunicação é comum

encontrarmos problemas que envolvem a passagem de

sinais aleatórios por sistemas lineares, tais como filtros de

transmissão e recepção, multiplicadores, integradores, etc.

Neste capítulo utilizaremos de forma combinada os

conceitos sobre processos aleatórios e sobre sistemas

lineares, objetivando caracterizar os processos aleatórios

de entrada e de saída de um sistema linear.


Notação e principais médias

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Y t X t h t

h u X t u du

X u h t u du

∞

−∞

∞

−∞

= ∗

= −

= −

∫

∫( ) [ ( )] ( ) [ ( )] ( ) ( )

Se o processo ( ) é estacionário,

Y Xt E Y t h u E X t u du h u t u du

X t

µ µ∞ ∞

−∞ −∞= = − = −∫ ∫

( , ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) [ ( ) ( )] se ( ) é estacionário,

YR t E Y t Y t E h u X t u du h v X t v dv

h u h v E X t u X t v dudv X t

τ τ τ

τ

∞ ∞

−∞ −∞

∞ ∞

−∞ −∞

= + = − + −

= − + − ∴

∫ ∫

∫ ∫

Resposta

ao impulso

Sistema linear

invariante no

tempo.

( ) (0)Y X Xh t dt Hµ µ µ∞

−∞= =∫

( , ) ( ) ( ) ( ) ( )Y Y XR t R h u h v R v u dudvτ τ τ∞ ∞

−∞ −∞= = − +∫ ∫


Densidade espectral de potência (1)

A densidade espectral de potência (DEP) SX ( f )

descreve como a potência de um sinal (aleatório

ou determinístico) X(t) se distribui na freqüência e,

por esta razão, é medida em watts/Hertz (W/Hz).

A densidade espectral de potência e a função de

auto-correlação de um p.a. estacionário formam

um par na transformada de Fourier, ou seja:

2( ) ( ) j f

X XS f R e dπ ττ τ∞ −

−∞= ∫ 2( ) ( ) j f

X XR S f e dfπ ττ∞

−∞= ∫



Algumas propriedades da DEP:

O valor quadrático médio de um p.a. é dado pela área

sob a curva de densidade espectral de potência:

A densidade espectral de potência é uma função par:

( ) ( )X XS f S f= −

2( ) (0) [ ( )]X XS f df R E X t∞

−∞= =∫



Exemplo 1: retornemos ao exemplo referente a uma seqüência

binária aleatória, apresentado no Capítulo 8, de onde obtivemos:

2 | |1 , | |

( )

0, | |

X

A TR T

T

ττ

ττ

− < = ≥

De uma tabela de

transformada de Fourier

podemos obter:

2Transformada de Fourier

2

| |1 , | | sin ( )

( )0, | |

tt T fT

TTfT

t T

ππ

− <←→

≥



Então, a DEP de uma

seqüência aleatória de

pulsos de duração T e

amplitudes ±A será:

[ ]2

2

2

2 2

( ) ( )

sin ( )

( )

sinc ( )

X XS f R

fTA T

fT

A T fT

τ

ππ

= ℑ

=

=

Estime E[X 2(t)]

por meio da

área sob SX( f )

e compare

com RX(0).

SX( f ) em

escala

logarítmica

(dBm/Hz, por

exemplo).



O valor de SX( f ) encontrado no exemplo anterior pode ser escrito

envolvendo a densidade espectral de energia (DEE) de um pulso

g(t) retangular, de amplitude A e duração T, ou seja:

2 ( )| ( ) |( )

g

X

fG fS f

T T= =

E 2 2 2sinc ( )A T fT

T=

Este resultado pode ser generalizado: uma onda binária

aleatória na qual os bits 1 e 0 são representados por pulsos +g(t)

e −g(t), respectivamente, tem DEP SX( f ) dada pela divisão da

DEE Eg(f) do pulso “formatador” g(t) pela duração do pulso, T.



Exemplo 2: uma situação que ocorre tipicamente em sistemas de

comunicação é o processo de modulação de uma portadora por um

sinal de informação aleatório, conforme abaixo:

onde Y(t) é o p.a. modulado, X(t) é o p.a. modulador associado à

informação e cos(2πfct + Θ) é o p.a. correspondente à portadora de

freqüência fc e fase aleatória Θ uniformemente distribuída em (0, 2π].

Seja determinar a DEP do sinal modulado Y(t) a partir do

conhecimento da DEP do sinal modulador X(t).

( ) ( )cos(2 )cY t X t f tπ= + Θ



Inicialmente identificamos que o sinal modulador X(t) é independente

da fase da portadora, Θ. Então podemos escrever:

Usando a identidade cos(α)cos(β) = ½cos(α – β) + ½cos(α + β), tem-se:

( ) [ ( ) ( )]

[ ( )cos(2 ) ( )cos(2 2 )]

[ ( ) ( )] [cos(2 )cos(2 2 )]

Y

c c c

c c c

R E Y t Y t

E X t f t X t f t f

E X t X t E f t f t f

τ τ

π τ π π τ

τ π π π τ

= +

= + Θ + + + Θ

= + + Θ + + Θ

12

12

( ) ( ) [cos(2 ) cos(4 2 2 )]

( )cos(2 )

Y X c c c

X c

R R E f f t f

R f

τ τ π τ π π τ

τ π τ

= + + + Θ

=



Tomando a transformada de Fourier de ambos os lados e

sabendo que a transformada de um produto de funções no tempo

é a convolução das correspondentes transformadas, tem-se:

De acordo com este resultado, para determinarmos a DEP de um

sinal modulado Y(t) basta replicar a DEP SX( f ) do sinal modulador

X(t) em torno de ± fc e multiplicar o resultado por ¼.

[ ] [ ]

1 1 12 2 2

14

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

Y X c c

X c X c

S f S f f f f f

S f f S f f

δ δ= ∗ − + +

= − + +


Exercício

Seja um p.a. estacionário Z(t) = Acos(2πfct + Θ), correspondente a uma

portadora co-senoidal de amplitude A, freqüência fc e fase aleatória Θ

uniformemente distribuída em (0, 2π]. Pede-se:

a) Determine e esboce a função de auto-correlação RZ(τ ).

b) Determine e esboce a densidade espectral de potência SZ( f ).

c) Sendo Z(t) independente de um outro p.a. qualquer X(t), determine a

função de auto-correlação de Y(t) = X(t)Z(t).

d) Determine SY( f ), a densidade espectral de potência de Y(t), comparando-

a com o resultado obtido no exemplo considerado anteriormente.

e) Esboce SY( f ), considerando que X(t) é uma seqüência aleatória de pulsos

equiprováveis de duração T e amplitudes ±1.


Estimando a DEP de um p.a. ergódico (1)

Por dificuldade de tratamento matemático, algumas vezes temos

que nos contentar com estimativas da DEP obtidas pela observação

de uma função amostra do processo aleatório em um intervalo T:

onde |X(f,T)| é a magnitude da transformada de Fourier de uma

função amostra “janelada” (observada em T segundos). Na prática

diferentes formas de janelamento e diferentes formas de média

(alisamento – smoothing) são empregadas. A seguir temos um

exemplo de como o aplicativo VisSim/Comm trata esta questão...

21( ) lim ( , )X

TS f E X f T

T→∞ =


Estimando a DEP de um p.a. ergódico (2)

Tela do VisSim/Comm

para o experimento

EstimaçãoDEP.vsm


DEP na entrada e na saída de um sistema linear


Funções de correlação cruzada para p.a. estacionários

As funções de correlação cruzada para os processos X(t) e Y(t) são:

Uma forma usual de representação das propriedades de correlação

envolvendo dois processos aleatórios é a matriz de correlação:

( ) [ ( ) ( )] e ( ) [ ( ) ( )]XY YXR E X t Y t R E Y t X tτ τ τ τ= + = +

( ) ( )( )

( ) ( )

X XY

YX Y

R R

R R

τ ττ

τ τ

=

R


Processos descorrelacionados e ortogonais


Densidades espectrais cruzadas para p.a. estacionários (1)

Embora tendo significado menos intuitivo que a DEP de um

único p.a., as densidades espectrais cruzadas estabelecem

uma certa dependência entre as componentes de freqüência

de processos X(t) e Y(t) quaisquer. Elas são definidas por:

Um exemplo pode melhor ilustrar uma aplicação do

conhecimento das densidades espectrais cruzadas...

2 2( ) ( ) e ( ) ( )j f j f

XY XY YX YXS f R e d S f R e dπ τ π ττ τ τ τ∞ ∞− −

−∞ −∞= =∫ ∫



Exemplo: suponha que os processos X(t) e Y(t) têm média nula e

são individualmente estacionários. Seja o p.a. Z(t) = X(t) + Y(t), para

o qual deseja-se determinar a densidade espectral de potência.

Tomando a transformada de Fourier de ambos os lados, tem-se:

( ) [ ( ) ( )]

[ ( ) ( )][ ( ) ( )]

[ ( ) ( )] [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] [ ( ) ( )]

( ) ( ) ( ) ( )

Z

X XY YX Y

R E Z t Z t

E X t Y t X t Y t

E X t X t E X t Y t E Y t X t E Y t Y t

R R R R

τ τ

τ ττ τ τ τ

τ τ τ τ

= +

= + + + +

= + + + + + + +

= + + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )Z X XY YX YS f S f S f S f S f= + + +



Desse resultado concluímos que as densidades espectrais

cruzadas SXY(f) e SYX(f) representam as componentes de freqüência

que precisam ser adicionadas ao par de DEPs dos processos X(t)

e Y(t) para que a DEP da soma Z(t) = X(t) + Y(t) seja obtida:

Observe que se os processos X(t) e Y(t) forem ortogonais as

correlações cruzadas serão nulas e, neste caso, teremos:

( ) ( ) ( )Z X YS f S f S f= +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )Z X XY YX YS f S f S f S f S f= + + +


Relações úteis entre densidades espectrais e correlações

A figura a seguir ilustra as relações entre as densidades

espectrais simples e cruzadas e as correspondentes funções

de auto-correlação e de correlação cruzada.


Processo aleatório Gaussiano

Seja uma variável aleatória Y definida a partir de uma

relação funcional linear com um processo aleatório

X(t), conforme abaixo, onde g(t) é uma função

qualquer e T é um intervalo de observação arbitrário.

Se a v.a. Y é Gaussiana para qualquer função g(t) e

intervalo de tempo T na relação funcional acima,

dizemos que o p.a. X(t) é Gaussiano.

0( ) ( )

T

Y g t X t dt= ∫


Filtragem de um p.a. Gaussiano (1)

no slide 4.



Exemplo 1: em receptores de sistemas de comunicação é

usual que seja inserido logo na entrada um filtro, chamado

filtro de recepção, cujo objetivo é reduzir a influência do ruído

na recuperação da informação transmitida.

Como veremos mais adiante, este ruído é normalmente um

p.a. Gaussiano. Portanto, na saída do filtro de recepção

teremos também um p.a. Gaussiano, o que nos permitirá, de

forma simples, analisar matematicamente o comportamento

do sinal a partir do qual recuperaremos a informação.



Exemplo 2a: vimos ao final do Cap. 3 um exemplo de um

sistema de comunicação móvel no qual a magnitude R(t) e a

fase Θ(t) do desvanecimento no canal variam aleatoriamente

com distribuição de Rayleigh e Uniforme, respectivamente.

Podemos então definir um Processo Gaussiano Complexo

R(t)ejΘ(t), no qual a parte real X(t) e a parte imaginária Y(t) são

p.a. Gaussianos. Tal processo pode ser obtido por meio de:

2 2( ) ( ) ( )R t X t Y t= + [ ]( ) arctan ( ) ( )t Y t X tΘ =



Exemplo 2b: se quisermos gerar este p.a. Gaussiano

complexo, com o atributo de permitir o ajuste da velocidade

de variação do desvanecimento, podemos implementar o

esquema do slide seguinte. Nele, filtros controlam a taxa de

variação dos processos Gaussianos componentes e, assim,

controlam a taxa de variação da magnitude e da fase do

desvanecimento. A freqüência de corte desses filtros é

diretamente proporcional à velocidade relativa entre

transmissor e receptor que se deseja simular.



R(t) para alta

freqüência de

corte dos filtros.

R(t) para baixa

freqüência de

corte dos filtros.

Numa simulação, X(t) e Y(t)

poderiam ser gerados por

Box-Muller, por exemplo.

Veja experimento PAgaussCplx.vsm


Processo aleatório Gaussiano – definição alternativa

T

x = [x1, x2, ..., xk]T.

µµµµX é o vetor de médias: µµµµX = [µ1, µ2, ..., µk]T , µi = E[X(ti)], i = 1, 2, ..., k.

C é a matriz de covariâncias de ordem k × k e elementos Ci,j = CX(ti, tj) =

CX(tj − ti) = E[X(tj) – µj][X(ti) – µi], i, j = 1, 2, ..., k.

C−1 é a matriz inversa da matriz de covariâncias.

|C| é o determinante da matriz de covariâncias.

Exercício: determine as FDPs dos processos Gaussianos para k = 1 e k = 2.


Ruído

Em sistemas de comunicação damos o nome de ruído a

qualquer sinal aleatório indesejado que comprometa a

transmissão e o processamento de recepção da informação.

Dentre os tipos mais comuns destacam-se o ruído impulsivo e

o ruído térmico. Daremos mais atenção ao ruído térmico,

devido à sua presença em todos os sistemas de comunicação.

O ruído impulsivo, embora menos freqüente, pode ser muito

danoso, por exemplo, em sistemas de recepção de TV Digital.

O ruído térmico é o grande limitador de desempenho de um

sistema de comunicação, principalmente quando a intensidade

do sinal recebido é pequena (baixa relação sinal-ruído).


Ruído Térmico (1)

Causado pelo movimento aleatório dos elétrons em um

condutor qualquer.

O valor quadrático médio de tensão VTN do ruído térmico nos

terminais de um resistor, medido na banda de ∆f Hertz, é:

E[VTN2] = 4kTR∆f volts2

onde k é a constante de

Boltzmann (1,38×10−23 J/K), T

é a temperatura absoluta, em

K, e R é a resistência em Ω.

Equivalente

de Thévenin


Sendo grande o número de elétrons em um resistor, com

movimentos aleatórios independentes, o teorema do limite

central indica que o ruído térmico é Gaussiano de média nula.

Na condição de máxima transferência de potência a “carga”

deve ter resistência igual a R. Neste caso a potência média de

ruído térmico disponível sobre esta carga será:

( ) ( )2

22[ ] 2 4 2watts

TNE V kTR fN kT f

R R

∆= = = ∆

Ruído Térmico (2)


Em sistemas de comunicação o ruído térmico tem a forma

idealizada que diz que sua densidade espectral de potência é

constante para qualquer freqüência. Daí o nome ruído branco.

O p.a. ruído branco W(t), de função amostra w(t), tem

densidade espectral bilateral (componentes em −∞ ≤ f ≤ +∞ ):

onde N0 = kTe é a densidade de potência de ruído produzida

na entrada do receptor de um sistema de comunicação cuja

temperatura equivalente de ruído é Te.

Ruído Branco (1)

0( ) W/Hz2

W

NS f =


A temperatura equivalente de ruído é a temperatura a que um

resistor deve ser submetido para que, ao conectá-lo à entrada

de uma versão sem ruído do sistema, produza a mesma

potência média de ruído que aquela produzida por todas as

fontes de ruído do sistema real. Perceba que Te depende

somente dos parâmetros e componentes do sistema.

O ruído branco se manifesta de forma aditiva ao contaminar

um sinal e, por esta razão, poderá ser denominado daqui em

diante de ruído aditivo Gaussiano branco (AWGN – Additive

White Gaussian Noise).

Ruído Branco (2)


Como a densidade espectral de potência e a função de auto-

correlação de um processo aleatório se relacionam através

da transformada de Fourier, para o ruído branco temos que:

Ruído Branco (3)

0 0( ) ( ) ( )2 2

W W

N NS f R τ δ τ= ⇒ =


Perceba que o ruído branco é a “última palavra” em

termos de aleatoriedade, ou seja, duas amostras de W(t)

tomadas em instantes diferentes, não importando o quão

próximas estejam no tempo, têm correlação nula.

O ruído branco é um modelo idealizado fisicamente

irrealizável, pois sua potência média é infinita. Entretanto,

sempre que a largura de faixa de ruído for

significativamente maior que a largura de faixa do sistema

sob análise poderemos modelar o ruído como branco.

Ruído Branco (4)


Seja o ruído branco W(t) aplicado a um filtro passa-baixas

ideal de banda B Hz e de magnitude da resposta em

freqüência unitária. A DEP do ruído N(t) de saída será então:

Ruído Branco filtrado (1)

00

0

( ) exp( 2 ),( ) 22

sinc(2 )0, | |

B

NB

N

NNR j f dfB f B

S f

N B Bf B

τ π τ

τ

−

=− < <= ⇒

=>

∫


Sendo W(t) um p.a. Gaussiano, N(t) também o será. Se N(t) é

amostrado a 2B amostras por segundo, tais amostras serão

Gaussianas, descorrelacionadas, terão variância igual a N0B,

terão média nula e serão estatisticamente independentes.

Ruído Branco filtrado (2)

h(t)W(t) N(t)

w(t) n(t)


Em grande parte dos problemas em sistemas de comunicação

precisamos considerar o ruído como sendo branco na faixa de

operação do sistema, mas muitas vezes tal sistema não pode

ser considerado com tendo resposta em freqüência ideal

(banda B Hz e |H( f )| = 1).

A solução consiste em considerar o ruído como sendo branco

numa largura de faixa equivalente de ruído.

Isto é feito substituindo-se a resposta em freqüência do filtro

ou sistema por uma resposta ideal de tal forma que ambas

produzam e mesma potência média de ruído em suas saídas.

Largura de faixa equivalente de ruído (1)


Considere as respostas dos filtros real e ideal mostradas na figura:

Largura de faixa equivalente de ruído (2)

Resposta

real |H(f)|2

Resposta

ideal

Potência média de ruído

de saída do filtro real:

0 2

2

2

00

| ( ) |

| ( ) |

NN H f df

N H f df

∞

−∞

∞

=

=

∫

∫

Para o mesmo ruído conectado ao filtro ideal teremos 0 2

2(0) 2

NN H B=

A largura de faixa

equivalente de ruído será:

2

0

2

| ( ) |

(0)

H f dfB

H

∞

=∫


Seja o ruído branco W(t) aplicado a um CORRELATOR que

efetua a correlação entre W(t) e uma portadora co-senoidal:

Então N(T) é uma v.a. Gaussiana com média E[N(T)] = 0 e

variância:

Correlação entre W(t) e cos(2ππππfct) (1)

2

0( ) ( ) cos(2 )

T

cTN T W t f t dtπ= ∫

Amostras de

N(t) em t = T.

( )22 ( ) [ ( )]E N T E N Tσ = −

Correlator


Desenvolvendo obtemos:

onde

Então:


( )2

2 2

0

2

0 0

2

0 0

2

0 0

( ) cos(2 )

( )cos(2 ) ( )cos(2 )

[ ( ) ( )]cos(2 )cos(2 )

( , ) cos(2 )cos(2 )

T

cT

T T

c cT

T T

c cT

T T

W c cT

E W t f t dt

E W t f t W u f u dtdu

E W t W u f t f u dtdu

R t u f t f u dtdu

σ π

π π

π π

π π

=

=

=

=

∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

0( , ) ( )2

W

NR t u t uδ= −

02

0 0( ) cos(2 )cos(2 )

T TN

c cTt u f t f u dtduσ δ π π= −∫ ∫


A propriedade sifiting (ou sampling) da função δ(t) diz que:

Então:

onde, por aproximação, admitiu-se que a freqüência da onda

co-senoidal é um múltiplo inteiro de 1/T.


0 0( ) ( ) ( )x t t t dt x tδ

∞

−∞− =∫

0

0

0 0

2

0 0

2

0

1 1

2 2 20

( ) cos(2 )cos(2 )

cos (2 )

cos(4 ) 0

T TN

c cT

TN

cT

TN N TcT T

t u f t f u dtdu

f t dt

f t dt

σ δ π π

π

π

= −

=

= + = + ⇒

∫ ∫

∫

∫2 0

2

Nσ =


1) Por meio de um estudo no livro HAYKIN, Simon,

Communication Systems, 4th Edition, John Wiley and Sons,

Inc.: New York, USA, 2001, pp. 64-69, faça uma dissertação

sobre o modelo de ruído de faixa estreita nas suas

representações em fase e em quadratura (in-phase and

quadrature) e em envoltória e fase (envelope and phase).

2) Realize uma pesquisa que permita que você obtenha detalhes

sobre um modelo estatístico de ruído impulsivo para aplicações

em projeto e testes de sistemas de radiodifusão de TV Digital.

Estudos dirigidos

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TP501 Processos Estocasticos [Modo de Compatibilidade] · Prof. Dayan Adionel Guimarães 11 Exemplo de um p.a. estacionário Seop.a.X(t)doslideanterior for estacionário no sentido