Módulo de Regressão e Séries Temporais - mbarros.com · Estacionário Não Estacionário na Média Não Estacionário na Média E na Variância [email protected]@mbarros.com

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MMóódulo de Regressão e Sdulo de Regressão e Sééries ries TemporaisTemporais

Parte Parte 33

Mônica Barros, Mônica Barros, D.Sc.D.Sc.

Julho de 2007Julho de 2007


Quem sou eu?Quem sou eu?

Mônica BarrosDoutora em Séries Temporais – PUC-RioMestre em Estatística – University of Texas at Austin, EUABacharel em Matemática – University ofWashington, Seattle, EUAProfessora da PUC-Rio (Depto. De Eng. Elétrica)E-mails: [email protected], [email protected] page: http://www.mbarros.com


Programa do CursoPrograma do Curso

Modelagem ARIMA de Box & Jenkinssazonal e não sazonal

Função de autocorrelação e autocorrelaçãoparcial Modelo Identificação de (p, q, d, P, Q, D) Estimação Estatísticas de ajuste e análise dos resíduos Exercícios


MODELO BOX & JENKINS UNIVARIADO

(Não Sazonal e Sazonal)


BOX & JENKINSBOX & JENKINS

PROCESSO ESTOCPROCESSO ESTOCÁÁSTICOSTICO

Toda variável aleatória que evolui no tempo, i.e., guarda uma estrutura de dependência no tempo é um processo estocástico.

SÉRIE TEMPORAL

É uma realização particular de um processo estocástico.

Exemplo: Inflação, Retornos Financeiros, Demanda, etc...



( )tZ ZE=μ

MÉDIA de um processo (série)

Teórico

Estimador

VARIÂNCIA de um processo (série)

Teórico

Estimador

T

Zm

T

tt

Z

∑== 1

( )

11

2

2

−

−=

∑=

T

mZS

T

tZt

Z

( ){ }22ZtZ ZE μ−=σ



AUTOCOVARIÂNCIA de um processo (série)

Teórico

Estimador

Onde k = 1 , 2 . . . é o “lag” ou defasagem

( )( ){ }ZktZtk ZZE μμγ −−= +

( )( )Zkt

kT

tZtk mZmZ

Tc −−

−= +

−

=∑

111



AUTOCORRELAÇÃO de um processo (série)

É a medida padronizada da dependência linear de lag k, (é a autocovariância padronizada)

Teórico

Lembrar que:

( )( ) ( )ktt

kttkk

ZVARZVARZZCOV

+

+==,

0γγρ

( ) ( ) constante ==== 20 , Zttt ZVARZZCOV σγ



Então: para todos os lags 1, 2, 3,...

Estimador rk (autocorrelação estimada de lag k)

O gráfico de r(k) versus k é chamado correlogramacorrelograma do processo (ou da série Zt) .

11 +≤≤− kρ

( )( )

( )∑

∑

=

−

=+

−

−−== T

tZt

kT

tZktZt

kk

mZ

mZmZ

ccr

1

2

1

0



PROCESSO ESTACIONÁRIO (de 2ª ordem)Um processo estocástico é dito estácionário de 2ª ordem se:

(i) para qualquer t

(ii) (constante) para qualquer t

(iii) Cov [Zt, Zt+k ] = função apenas do lag k paraqualquer instante t

i.e , o processo tem média e variância constantes e aautocovariância só depende do lag k

[ ]E Z t z= μ

[ ]E Zt z z− =μ σ2 2


BOX & JENKINSBOX & JENKINSExemplos

Zt

Não Estacionário na Variância

t

Estacionário Não Estacionário na Média

Não Estacionário na Média E na Variância



PROCESSO RUÍDO BRANCO

Um processo estocástico é chamado de ruruíído brancodo brancoe denotado por at se, além de estacionário de 2ªordem, ele não apresenta qualquer dependênciaserial, ou seja,

Ou seja, um ruído branco é uma seqüência de observações com média e variância constantes e autocorrelações nulas em todos os lags.

ρkpara kpara k

==>

⎧⎨⎩

1 00 0,,


BOX & JENKINSBOX & JENKINSObjetivo de AnObjetivo de Anáálise de Slise de Séérie Temporalrie Temporal

Dada uma série temporal Zt que não é “branca”, isto é, que exibe uma estrutura de dependência serial, achar o melhor modelo matemático que descreva esta dependência serial e a transforme num ruído branco.

Se uma série já é ruído branco, então não existe modelo univariado para ela!

O operador B, conhecido como Operador de Atraso ou “Backward Shift Operator“ é bastante usado por na descrição dos modelos e é definido como:

BkZt = Zt-k



Exemplos

1)

2)

Z Z Z a at t t t t= + + +− − −α α β β1 2 2 4 1 1 2

ta

tZ3B

3tZ2B

2tBZ

1Z t +α+α+α=

ta

tZ)3B

32B

2B

1(

tZ +α+α+α=

Z B Z B Z Ba at t t t t= + + +α α β β12

24

1 2

Z B B Z B at t t= + + +( ) ( )α α β β12

24

1 2

Z Z Z Z at t t t t= + + +− − −α α α1 1 2 2 3 3



FunFunçção de autocorrelaão de autocorrelaçção parcial de lag ão parcial de lag kk

É uma medida de dependência linear ou correlação linear entre Zt e Zt+keliminando a dependência dos termos intermediários Zt+1 , Zt+2 . . . Zt+k-1 i.e.:

( )11 ,,|, −+++= kttkttkk ZZZZCorr Kφ



MODELO ARIMA de Box e Jenkins

Seja Zt uma série estacionária de 2ªordem . A modelagem BJ propõe modelos lineares para Zt, conhecidos como ARIMA(p, d, q).



Casos Particulares do ARIMA(p, d, q)

AR(p) = modelo autoregressivo de ordem p

MA(q) = modelo médias móveis de ordem q



( )AR(1) : Z = Z Zt t -1 tφ φ1 11+ − =a B at t,

( )AR(2) : Z = Z Z Zt t -1 t -2 tφ φ φ φ1 2 1 221+ + − − =a B B at t,

( )AR(p) : Z = Z Z Z Zt t-1 t-2 t-p tφ φ φ φ φ φ1 2 1 221+ + + + − − − − =K Kp t p

pta B B B a,

MODELOS AR(p)

Modelo Autoregressivo de ordem p



ProblemaSe a ordem “p” do modelo cresce, teremos muitos parâmetros φi ; i = 1, . . . , p para estimar, o que requer séries de tamanhos elevados, nem sempre disponíveis .

Solução encontrada Reduzir a ordem “p” da parte AR através da inclusão no modelo de defasagens no ruído branco (além das defasagens da própria série temporal). Isso eqüivale a adicionar uma estrutura MA ao modelo (média móvel = “MovingAverage”)



Modelos MA(q) = Médias Móveis de ordem q

( )MA(q) : Z = a a a a Zt t t -1 t -2 t -q t− − − − = − − − −θ θ θ θ θ θ1 2 1 221K Kq q

qtB B B a,

( )MA(1) : Z = a a Zt t t-1 t− = −θ θ1 11, B at

( )MA(2) : Z = a a a Zt t t -1 t -2 t− − = − −θ θ θ θ1 2 1 221, B B at



Exemplo (modelo MA(1))

Exemplo (modelo AR com infinitos lags)

( )tttt

tt

aZZZaZBB

=+++=+++

−− ...,1

2211

221

θθθθ K

( )tt Z

Ba

taBtZtatatZ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⇒

−=−−=

111

11,11

θ

θθ :é isto



Como no caso do AR (p) , para ordens MA altas é melhor trabalhar com o AR invertido que terá, certamente, menos parâmetros a serem estimados.

Princípio da Parcimônia!

AR( )∞ ≡ MA q( )

MA( )∞ ≡ AR p( )


( ) ( ) tt aBBaa 1111 11 θφθφ −=−−= t1-t1-tt ZZ-Z : ARMA(1,1)


Modelos ARMA (p, q)

( ) ( )1 11 22

1 22− − − − = − − − −φ φ φ θ θ θB B B B B B ap

pq

qtK KZt

( ) ( )1 11 22

1 22− − = − −φ φ θ θB B B B atZt

ARMA(2,2) : Z - Z - Zt t-1 t-2 t-1 t-2φ φ θ θ1 2 1 2= − −a a at

ARMA(p,q) : Z - Z - - Z -t t-1 t-p t-1 t-qφ φ θ θ1 1K K− = − − −p t qa a a



Fundamento teórico dos modelos BJPassagem de um ruído branco por um filtro linear de memória infinita gera um processo estacionário de 2a ordem. (Teoria geral de sistemas lineares)

ψ( )B Z =t 1 2 3a a a at t t t− − − −− − −ψ ψ ψ1 2 3 K

( ) Z =t 1 2 31 2 3− − − −ψ ψ ψB B B atK

( ) Z =t ψ B at

at Zt



Fundamento Teórico

Como contém infinitos parâmetros, então BJ sugerem escrevê-lo como a razão de dois polinômios:

ou seja

Logo, a modelagem BJ consiste em achar a estrutura ARMA (i.e., as defasagens p e q) mais adequada para a série Zt.

( ) ψ θφ

B BB

=( )( )

( ) ψ B

( )( ) ( ) ( ) tttt aBZBaBBZ θφ

φθ

=⇒=



Processos Não-EstacionáriosHomogêneos

Yt é não Estacionário na Média

Seja Zt = Yt - Yt-1

Zt = Yt - BYt

Zt = (1-B)Yt

Zt = ∇ Yt (série estacionária)

Xt é não Estacionário na MédiaYt = ∇Xt =Xt - Xt-1

Yt: Não Estacionário na MédiaZt = ∇Yt = ∇ ∇ Xt

Zt = ∇ 2Xt (série estacionária)



GeneralizaçãoUm processo estocástico é não estacionário homogêneo se ele se torna estacionário após a aplicação de “d”diferenças

Se Yt é não estacionário homogêneoentão:

td

t YZ ∇= é estacionário!



Modelo ARIMA (p,d,q)

φ θ( ) ( )B Z B adt t∇ =

φ φ φ φ( )B B B Bpp= − − − −1 1 2

2 K

θ θ θ θ( )B B B Bqq= − − − −1 1 2

2 K

∇ = −d dB( )1



Exemplosi) ARIMA (1,1,1)

ii) ARIMA (0,2,2)

Z Z Z a at t t t t- ( +φ φ θ1 1 1 2 1 11+ = −− − −)

[ ]1- ( + (1 -1φ φ θ12

11+ =) )B B Z B at t

(1 - (1 - (1 -φ θ1 1B B Z B at t) ) )=

Zt = (φ1 +1)Z t-1 - φ1Zt-2 + a t - θ1at-1

( )( ) ( )

221121

221121

221

2

221

2

22

121

1

−−−−

−−−−

−−+−=−−=+−

−−=+−

−−=∇

tttttt

tttttt

tt

tt

aaaZZZaaaZZZaBBZBB

aBBZ

θθθθ

θθ

θθ



II) MODELO BJ

Fluxograma Operacional ==> ∇d ==> θ(B) , φ(B) ==>

at

Zt

Yt

Série estacionária após d diferenças

Série original (não estacionária)


BOX & JENKINSBOX & JENKINSFluxo Operacional BJ

Operador diferença

Ordem AR(p) e

MA(q)

Estimação

Ruído

é branco

Previsão

Não

Identificação

Estimação

Testes

Sim

Yt~

Zt~

$ $φ θi j

e

at~



APLICAÇÃO DO MÉTODO

Identificação

Valores de p,d,q para Yt.

i) d através dos gráficos de ∇dYt.

ii) p e q através das ACF e PACF (correlograma e correlograma parcial de ∇dYt ).



APLICAÇÃO DO MÉTODONo gráfico a seguir está uma série não estacionária, para a qual são necessárias duas diferenças atéencontrar uma série estacionária.

500

1000

1500

2000

2500

3000

0 5 10 15 20 25

Gráfico da Série original



APLICAÇÃO DO MÉTODOA autocorrelação (ACF) da série original decresce MUITO lentamente, como mostrado a seguir.



APLICAÇÃO DO MÉTODOO gráfico da 1a. diferença da série é:

0

5

10

15

0 5 10 15 20 25



APLICAÇÃO DO MÉTODOA ACF da série diferenciada é:



APLICAÇÃO DO MÉTODOA série duplamente diferenciada é:

-2

-1

0

1

2

3

0 5 10 15 20 25



APLICAÇÃO DO MÉTODOE sua função de Autocorrelação:

Logo, foram necessárias duas diferenças para tornar a série original estacionária.



APLICAÇÃO DO MÉTODO

Estimaçãoφi’s e θj’s são estimados minimizando a soma dos quadrados dos resíduos (ou erro de previsão), i.e.

tφi’s e θj’s tais que Σ at

2 seja mínimat=1

Obs: Os erros padrões estimados permitem testar as hipóteses nulas

Ho: φi = 0 e Ho: θj= 0



APLICAÇÃO DO MÉTODOTestes de Testes de sobrefixasobrefixaççãoão – ajuste modelos “maiores” (mais elaborados) – substitua p por p + 1 e q por q + 1 e verifique se os parâmetros são significantes

Testes nos ResTestes nos ResííduosduosDevem ser ruído branco, com média nula e variância pequenaNÃO DEVE EXISTIR AUTOCORRELAÇÃO NOS RESÍDUOS!!!!



APLICAÇÃO DO MÉTODOTeste de Ljung e Box (ou Portmanteau)Estatística de teste é calculada a partir das ACFs estimadasdos resíduos. A estatística de Ljung e Box mede a magnitude da ACF dos resíduos para diversos lags, ou seja, estende a estatística de Durbin-Watson (só lag 1).

Q n n r in ka

i

k= +

-=Σ( ) ( )

( )2

2

1

Sob a hipótese de um ruído branco, Q é uma variável com densidade Qui-quadrado com M graus de liberdade.

OndeM = k-(p+q)

n = T-d


BOX & JENKINSBOX & JENKINSBOX & JENKINS

MODELOS PARA SÉRIES SAZONAIS (SARIMA)

BJ propõem uma estrutura similar ao modelo ARIMA(p,d,q) para as séries sazonais, considerando o intervalo de "S" (S; período sazonal, e.g. S = 12, S = 4, etc.) ao invés do intervalo unitário dos modelos simples.

Modelo MA(Q) Puramente SazonalMA(Q)sazonal ≡ MA(QS) simples com parâmetros não-nulos somente nos lags S, 2S,...,QS.



Correlograma do MA(Q)

Ou seja: não existe qualquer tipo de dependência dentro de um período sazonal; só existem dependências entre períodos sazonais.

....

S 2S 3S QS

ρk

k



12 24

ρk

K

Exemplo: S = 12; MA(2) SazonalExemplo: S = 12; MA(2) Sazonal

Pelo visto anteriormente para o modelo simples, a PACF do Pelo visto anteriormente para o modelo simples, a PACF do MA(Q) sazonal MA(Q) sazonal éé composta de exponenciais e/ou sencomposta de exponenciais e/ou senóóides ides amortecidas nos lags S, 2S, 3S, amortecidas nos lags S, 2S, 3S, ........

wt = at - Θ1 at-12 - Θ2 at-24



Modelo AR(P) Puramente SazonalModelo AR(P) Puramente Sazonal

DaDaíí:: AR(P)AR(P) Sazonal = AR(PS)Sazonal = AR(PS) Simples com parâmetroSimples com parâmetronãonão--nulos somente nos lag's S, 2S, ..., PSnulos somente nos lag's S, 2S, ..., PS

Por analogia (e dualidade) as funPor analogia (e dualidade) as funçções ACF e PACF do AR(P) Sazonalões ACF e PACF do AR(P) Sazonal são:são:

w

wt t s t s p t ps

ts s

pps

t

w w w

ou B B B a

= + + +

= + + + +− − −

Φ Φ Φ

Φ Φ Φ1 2 2

1 221

...

: ( ... )

S 2S PS (P+1)S

ρk

.... K

....



S 2S PS

φkk

.... K

Modelo ARMA(P,Q) puramente Sazonal.Modelo ARMA(P,Q) puramente Sazonal.

w w w w a a a

ou wt t s t s P t Ps t t s Q t Qs

s sP

pst

s s Qs

= + + + + − − −− − − − −Φ Φ Φ Θ Θ

Φ Φ Φ Θ Θ Θ

1 2 2 1

2

... ...

: (1- B - B - B ) = (1- B - B -...- B )a1 22

1 2 Q t


TambTambéém conhecido como ARIMA multiplicativom conhecido como ARIMA multiplicativo

Zt

(S)ARIMA (p, d, q) x (P, D, Q)S

Onde ∇SD = (1-BS )D

at

bt

θ(B)/ φ(B) ∇ Θ (B s)/Φ (B s). ∇ sDd

⇓ ⇓

φ(B) ∇ d b t = θ(B)a t Φ (B s).∇ sD Z t = Θ (B s)b t

⇓ ⇓

.....Φ Θ( ). ( ). ( ). ( ).B B Z B B aS

sD d

ts

tφ θ∇ ∇ =grau PS + p +SD + d grau QS + q

1 2444 3444 1 244 344

BOX & JENKINSBOX & JENKINS –– Modelos SARIMAModelos SARIMA


Exemplo: Modelo AirlineExemplo: Modelo AirlineÉÉ o modelo sazonal multiplicativo que representa so modelo sazonal multiplicativo que representa sééries sazonais que ries sazonais que exibem uma tendência e sobreposta a esta, uma componente sazonalexibem uma tendência e sobreposta a esta, uma componente sazonalmultiplicativa, tmultiplicativa, tíípica de dados de negpica de dados de negóócios e, particular, de vendas de cios e, particular, de vendas de passagens apassagens aééreas. O modelo reas. O modelo éé::

SARIMA (0, 1, 1) x (0, 1, 1)SARIMA (0, 1, 1) x (0, 1, 1)1212ÉÉ facil mostrar que o correlograma do modelo airline apresenta vafacil mostrar que o correlograma do modelo airline apresenta valores lores não nulos nos lag's 1, 11, 12 e 13, como abaixo:não nulos nos lag's 1, 11, 12 e 13, como abaixo:


ρk

K1 11 12 13



Modelo Airline (SARIMA(0,1,1)x(0,1,1)S)Exemplo: Exemplo: Modelo Airline para dados trimestrais (s = 4)Modelo Airline para dados trimestrais (s = 4)

De uma maneira geral, se o perDe uma maneira geral, se o perííodo sazonal odo sazonal éé S, o modelo tornaS, o modelo torna--se:se:

( )( ) ( )( ) tt aBBZBB 44 1111 Θ−−=−− θ

( )( ) ( )( ) tS

tS aBBZBB Θ−−=−− 1111 θ



Define-se variável de intervenção, como a série temporal, denotada por Xit , composta de valores "0“ e "1", onde "0" representa a ausência de um fenômeno. O modelo BJ com intervenção é dado por:

onde wi é o "efeito" da variável de intervenção Xit em Zt .

bi é o lag de defasamento do efeito da variável Xit em Zt .

( ) ( ) itb

tttd XBwaBZB i+=∇ θφ



Tipos de IntervenTipos de Intervenççãoão

1

PulsoSazonal X 3t (j+ks) ; j=1,...,S ; k=1,2...

X3t(j+ks)

tj j+s j+2s j+3s ...



Exemplo – Série não sazonalPIB a preços de 2006 (1947 a 2006)

5

10

15

20

X 1E+005

1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005

Legend

PIB_R$_2006



A série é claramente não estacionária, portanto a identificação das ordens p e q irá requerer a diferenciação prévia da série.

Mas, qual “a cara” da ACF e PACF da série sem diferenciação?



ACF da série sem diferenciação



PACF da série sem diferenciação



ACF da série após a 1ª. Diferença



PACF da série após a 2ª. Diferença



Pelos gráficos anteriores...ACF da série diferenciada sugere MA(1) ou MA(2).PACF da série diferenciada sugere AR(1).Opções:

ARIMA(1,1,2) ouARIMA(1,1,1)



Ajuste de ARIMA(1,1,2)Forecast Model for PIB_R$_2006ARIMA(1,1,2)

Term Coefficient Std. Error t-Statistic Significance-------------------------------------------------------------------------------a[1] 0.6697 0.1639 4.0854 0.9999b[1] 0.1754 0.1842 0.9524 0.6550 <-b[2] -0.3098 0.1476 -2.0987 0.9596

Within-Sample Statistics-----------------------------------------------------------Sample size 60 Number of parameters 3Mean 1.021e+006 Standard deviation 6.939e+005R-square 0.9969 Adjusted R-square 0.9968Durbin-Watson 2.052 Ljung-Box(18)=26.9 P=0.919Forecast error 3.922e+004 BIC 4.235e+004MAPE 0.02674 RMSE 3.823e+004MAD 2.519e+004



Ajuste de ARIMA(1,1,1)Forecast Model for PIB_R$_2006ARIMA(1,1,1)

Term Coefficient Std. Error t-Statistic Significance-------------------------------------------------------------------------------a[1] 0.9996 0.0278 35.9010 1.0000b[1] 0.7978 0.0965 8.2696 1.0000

Within-Sample Statistics---------------------------------------------------------------Sample size 60 Number of parameters 2Mean 1.021e+006 Standard deviation 6.939e+005R-square 0.997 Adjusted R-square 0.9969Durbin-Watson 1.71 * Ljung-Box(18)=34.11 P=0.9878Forecast error 3.852e+004 BIC 4.054e+004MAPE 0.02642 RMSE 3.787e+004MAD 2.607e+004

Todos os coefs. significantes, mas alguns dos erros “in sample”ligeiramente maiores que no modelo anterior

Expert selection do FPW sugere este modelo



Exemplo – Série sazonalConsumo mensal de energia elétrica – total Brasil

10000

15000

20000

25000

30000

80 85 90 95 0 5

Legend

TOTAL



ACF da série original



PACF da série original



ACF da série com uma diferença NÃO sazonal



PACF da série com uma diferença NÃO sazonal



ACF da série com uma diferença sazonal

A diferença sazonal não serve para tornar a série estacionária. Então, o que interessa é apenas a diferença não sazonal.



Pelos gráficos anteriores...O problema é BEM MAIS complicado que no caso não sazonal....

ACF da série diferenciada – olhe o lags 1 e também lags múltiplos de 12, sugerindo MA(1) não sazonal e MA(1) sazonal.PACF da série diferenciada sugere AR(1) e AR(1) sazonal.Modelo tentativo: SARIMA(1,1,1)(1,0,1)



SARIMA(1,1,1)(1,0,1)Forecast Model for totalARIMA(1,1,1)*(1,0,1)

Term Coefficient Std. Error t-Statistic Significance-------------------------------------------------------------------------------a[1] -0.2619 0.1788 -1.4644 0.8569 <-b[1] 0.1100 0.1694 0.6493 0.4838 <-A[12] 0.9994 0.0001 7677.2516 1.0000B[12] 0.9252 0.0308 30.0414 1.0000

Try alternative model ARIMA(0,1,1)*(1,0,1)

Within-Sample Statistics-------------------------------------------------------------Sample size 340 Number of parameters 4Mean 1.871e+004 Standard deviation 6141R-square 0.991 Adjusted R-square 0.9909Durbin-Watson 1.727 Ljung-Box(18)=17.15 P=0.4872Forecast error 585.8 BIC 602.6MAPE 0.01865 RMSE 582.3MAD 343

Necessidade de reajustar estrutura do modelo, jogando fora parâmetros não significantes.




Term Coefficient Std. Error t-Statistic Significance-------------------------------------------------------------------------------b[1] 0.3380 0.0571 5.9169 1.0000A[12] 0.9979 0.0099 101.0419 1.0000B[12] 0.8984 0.0175 51.3158 1.0000

Within-Sample Statistics-------------------------------------------------------------Sample size 340 Number of parameters 3Mean 1.871e+004 Standard deviation 6141R-square 0.9909 Adjusted R-square 0.9909Durbin-Watson 1.767 Ljung-Box(18)=18.18 P=0.5564Forecast error 587 BIC 599.6MAPE 0.01882 RMSE 584.4MAD 344.5




Term Coefficient Std. Error t-Statistic Significance-------------------------------------------------------------------------------a[1] -0.3629 0.0629 -5.7732 1.0000A[12] 0.9992 0.0001 8168.8195 1.0000B[12] 0.9163 0.0294 31.1158 1.0000

Within-Sample Statistics-------------------------------------------------------------Sample size 340 Number of parameters 3Mean 1.871e+004 Standard deviation 6141R-square 0.991 Adjusted R-square 0.9909Durbin-Watson 1.757 Ljung-Box(18)=17.44 P=0.5072Forecast error 585.1 BIC 597.7MAPE 0.0186 RMSE 582.5MAD 343.6



Como escolher dentre os dois últimos modelos?

Estatísticas de erros dentro da amostraBICHoldout – separar alguns meses como se não pertencessem à série e verificar capacidade de previsãoACF dos resíduos – é importante que os resíduos de um modelo B/J não tenham estrutura.

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