Estudos de Controle - Aula 11: Análise de Resposta Transitória e de Regime Estacionário (parte 5)

Estudos de Controle – Análise de Resposta Transitória e de Regime Estacionário

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Sistemas de Controle Integral

• O controlador integral elimina o erro residual do controlador proporcional, porque acumula o erro desde o momento inicial.

• Porém, pode conduzir a uma resposta oscilatória, com amplitude que decresce lentamente, ou mesmo crescente.

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Sistemas de Controle Proporcional Integral • Considerando um sistema com a seguinte planta:

𝐺𝑝 𝑠 =1

𝑇𝑠 + 1

• Temos a equação de malha fechada:

𝐺 𝑠 =𝐾

𝑠 𝑇𝑠 + 1 + 𝐾

• Como: 𝐸(𝑠)

𝑅(𝑠)=𝑅 𝑠 − 𝐶(𝑠)

𝑅(𝑠)=

𝑠 𝑇𝑠 + 1

𝑠 𝑇𝑠 + 1 + 𝐾

• Para uma entrada em degrau unitário 𝑅 𝑠 = 1𝑠 :

𝐸 𝑠 =𝑠 𝑇𝑠 + 1

𝑠 𝑇𝑠 + 1 + 𝐾

1

𝑠

• O erro estacionário será:

𝑒𝑠𝑠 = lim𝑠→0

𝑠𝐸 𝑠 = lim𝑠→0

𝑠 𝑇𝑠 + 1

𝑠 𝑇𝑠 + 1 + 𝐾

𝑠

𝑠= 0 3

Sistemas de Controle Proporcional Integral • Exemplo:

• Considere o sistema de primeira ordem:

𝐺𝑝 𝑠 =1

5𝑠 + 1

• Aplicando-se um controle proporcional integral com diferentes ganhos:

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Para 𝑇𝑖 = 1. Para 𝐾𝑝 = 1.

Sistemas de Controle Proporcional Integral • Exemplo:

• Considere o sistema de segunda ordem:

𝐺𝑝 𝑠 =1

𝑠2 + 1,2𝑠 + 1


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Sistemas de Controle Proporcional Integral • Resposta a distúrbios do tipo conjugado:

• Supondo que 𝑅 𝑠 = 0, a função de transferência entre C(s) e

D(s) é: 𝐶(𝑠)

𝐷(𝑠)=

𝑠

𝐽𝑠3 + 𝑏𝑠2 + 𝐾𝑝𝑠 +𝐾𝑝𝑇𝑖

• Então, o erro é definido como: 𝐸(𝑠)

𝐷(𝑠)= −

𝐶 𝑠

𝐷 𝑠= −

𝑠


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Sistemas de Controle Proporcional Integral

• Resposta ao distúrbio do tipo conjugado:

• O erro estacionário para um distúrbio em degrau, igual a 𝑇𝑑 é dado:


𝑠𝐸 𝑠

= lim𝑠→0

−𝑠


𝑠𝑇𝑑𝑠

= 0

• Portanto, o erro estacionário causado por um distúrbio de pertubação em degrau também é eliminado.

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Sistemas de Controle Proporcional Integral • Resposta ao distúrbio do tipo conjugado:

• Exemplo:

𝐺𝑝 𝑠 =1

5𝑠 + 1


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Sistemas de Controle Proporcional Integral • Resposta ao distúrbio do tipo conjugado:

• Exemplo:

𝐺𝑝 𝑠 =1

𝑠2 + 1,2𝑠 + 1


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• Resposta a distúrbios do tipo conjugado:

• A ação do controle integral converteu um sistema de segunda ordem em um sistema de terceira ordem.

• Nesse caso, se 𝐾𝑝 tiver um valor muito alto, o

sistema pode se tornar instável, já que as raízes passam a ter partes reais positivas.

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• Exemplos:

𝐺𝑝 𝑠 =1

5𝑠+1 𝐺𝑝 𝑠 =

1

𝑠2+1,2𝑠+1

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Primeira ordem. Segunda ordem.



• Nesse caso, se o controlador for apenas integral, o sistema se torna instável, pois a equação característica 𝐽𝑠3 + 𝑏𝑠2 + 𝐾 passa a ter raízes com partes reais positivas.

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• Exemplo:

𝐺𝑝 𝑠 =1

𝑠2 + 1,2𝑠

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• Portanto, geralmente a ação proporcional é responsável por estabilizar o sistema, enquanto a ação integral tende a eliminar ou reduzir o erro estacionário.

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Sistemas de Controle Proporcional Derivativo • A parte derivativa responde a uma taxa de

variação do erro atuante e permite uma correção significativa antes que o valor do erro se torne muito elevado.

• Permite que se obtenha um controlador de alta sensibilidade.

• Prevê o erro atuante e toma medidas corretivas antecipadamente e tende a aumentar a estabilidade do sistema.

• Aumenta o amortecimento do sistema.

• Nunca é usado sozinho.

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Sistemas de Controle Proporcional Derivativo

• Considerando o sistema com carga inercial: • Relembrando que o controle proporcional não

estabilizava esse sistema. • A função de transferência da malha fechada é:

𝐶(𝑠)

𝑅(𝑠)=

𝐾𝑝

𝐽𝑠2 + 𝐾𝑝

• Como as raízes da da equação característica são imaginárias, para uma entrada degrau unitário o sistema irá oscilar indefinidamente.

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Sistemas de Controle Proporcional Derivativo

• Efeito do controle proporcional-derivativo no sistema com carga inercial:

• Função de transferência de malha fechada: 𝐶(𝑠)

𝑅(𝑠)=

𝐾𝑝(1 + 𝑇𝑑𝑠)

𝐽𝑠2 + 𝐾𝑝𝑇𝑑𝑠 + 𝐾𝑝

• As raízes da equação característica tem agora duas raízes com partes reais negativas.

• Amortecimento adicionado.

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Sistemas de Controle Proporcional Derivativo • Resposta a um sistema com carga inercial:

• Exemplo:

𝐺𝑝 𝑠 =1

5𝑠2

• Aplicando-se um controle proporcional derivativo com diferentes ganhos:

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Para 𝑇𝑑 = 1. Para 𝐾𝑝 = 1.

Erros Estacionários

• Um sistema pode não apresentar erro estacionário para uma entrada degrau unitário, mas pode apresentar erro estacionário não nulo para uma entrada em rampa.

• O erro estacionário depende do tipo de função de transferência de malha aberta do sistema.

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• Classificação dos sistemas de controle:

• De acordo com a habilidade de seguir sinais de entrada do tipo degrau, rampa, parábola, etc.

• Considerando um sistema com realimentação unitária, temos uma forma geral da função de transferência de malha aberta:

𝐺(𝑠) =𝐾 𝑇𝑎𝑠 + 1 𝑇𝑏𝑠 + 1 … (𝑇𝑚𝑠 + 1)

𝑠𝑁 𝑇1𝑠 + 1 𝑇2𝑠 + 1 …(𝑇𝑝𝑠 + 1)

• Conforme o valor de N, um sistema é classificado como tipo 0 (N=0), tipo 1 (N=1), etc.

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• Classificação dos sistemas de controle:

• Essa classificação é diferente da ordem do sistema.

• O termo 𝑠𝑁 determina o pólo de multiplicidade N na origem.

• Geralmente, conforme o tipo N aumenta, aumenta a precisão do sistema, porém agrava a sua estabilidade.

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Erros estacionários

• Considerando o sistema:

• A função de transferência de malha fechada é: 𝐶(𝑠)

𝑅(𝑠)=

𝐺(𝑠)

1 + 𝐺(𝑠)

• A função de transferência entre o sinal de erro e o sinal de entrada é:

𝐸(𝑠)

𝑅(𝑠)= 1 −

𝐶 𝑠

𝑅 𝑠=

1

1 + 𝐺(𝑠)

• O erro estacionário será:


𝑠𝐸 𝑠 = lim𝑠→0

𝑠𝑅(𝑠)

1 + 𝐺(𝑠)

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• Para uma entrada degrau unitário, temos:


𝑠

1 + 𝐺(𝑠)

1

𝑠=

1

1 + 𝐺(0)

• Constante de erro estático de posição é definida como:

𝐾𝑝 = lim𝑠→0

𝐺(𝑠) = 𝐺(0)

• Então,

𝑒𝑠𝑠 =1

1 + 𝐾𝑝

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• Para um sistema do tipo 0:


𝐾 𝑇𝑎𝑠 + 1 𝑇𝑏𝑠 + 1 … (𝑇𝑚𝑠 + 1)

1 𝑇1𝑠 + 1 𝑇2𝑠 + 1 … (𝑇𝑝𝑠 + 1)= 𝐾

𝑒𝑠𝑠 =1

1 + 𝐾



𝐾 𝑇𝑎𝑠 + 1 𝑇𝑏𝑠 + 1 …(𝑇𝑚𝑠 + 1)

𝑠 𝑇1𝑠 + 1 𝑇2𝑠 + 1 … (𝑇𝑝𝑠 + 1)= ∞

𝑒𝑠𝑠 = 0 • Portanto, a resposta ao degrau unitário de um

sistema conterá erro estacionário se não houver integração no ramo direto.

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• Exemplo de respostas ao degrau unitário:

• Sistema do tipo 0:

𝐺 𝑠 =𝐾

𝑠2+7𝑠+10

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𝐺 𝑠 =𝐾

𝑠3+7𝑠2+10𝑠


• Para uma entrada rampa unitária, temos:


𝑠

1 + 𝐺(𝑠)

1

𝑠2= lim

𝑠→0

1

𝑠𝐺(𝑠)

• Constante de erro estático de velocidade é definida como:

𝐾𝑣 = lim𝑠→0

𝑠𝐺(𝑠)

• Então,

𝑒𝑠𝑠 =1

𝐾𝑣

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𝑠𝐾 𝑇𝑎𝑠 + 1 𝑇𝑏𝑠 + 1 … (𝑇𝑚𝑠 + 1)

1 𝑇1𝑠 + 1 𝑇2𝑠 + 1 … (𝑇𝑝𝑠 + 1)= 0

𝑒𝑠𝑠 = ∞ • Para um sistema do tipo 1:


𝑠𝐾 𝑇𝑎𝑠 + 1 𝑇𝑏𝑠 + 1 … (𝑇𝑚𝑠 + 1)

𝑠 𝑇1𝑠 + 1 𝑇2𝑠 + 1 … (𝑇𝑝𝑠 + 1)= 𝐾

𝑒𝑠𝑠 =1

𝐾

• Para um sistema do tipo 2 ou maior:


𝑠𝐾 𝑇𝑎𝑠 + 1 𝑇𝑏𝑠 + 1 … (𝑇𝑚𝑠 + 1)

𝑠𝑁 𝑇1𝑠 + 1 𝑇2𝑠 + 1 … (𝑇𝑝𝑠 + 1)= ∞

𝑒𝑠𝑠 = 0

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• Exemplo de respostas a rampa unitária:


𝐺 𝑠 =𝐾

𝑠2+7𝑠+10

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𝐺 𝑠 =𝐾

𝑠3+7𝑠2+10𝑠


• Exemplo de respostas a rampa unitária:


𝐺 𝑠 =𝐾

𝑠4+7𝑠3+10𝑠2

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𝐺 𝑠 =𝐾(𝑠+1)

𝑠4+7𝑠3+10𝑠2


• Um sistema do tipo 0 é incapaz de seguir uma entrada em rampa.

• Um sistema do tipo 1 segue a entrada em rampa mas com um erro estacionário.

• Um sistema do tipo 2 ou maior pode seguir uma entrada em rampa com erro nulo.

• O erro estático de velocidade tem a mesma dimensão do erro do sistema, e não está relacionada a um erro na velocidade do sistema, e sim ao erro de uma entrada rampa. 30


• Para uma entrada parábola unitária, temos:


𝑠

1 + 𝐺(𝑠)

1

𝑠3= lim

𝑠→0

1

𝑠2𝐺(𝑠)

• Constante de erro estático de aceleração é definida como:

𝐾𝑎 = lim𝑠→0

𝑠2𝐺(𝑠)

• Então,

𝑒𝑠𝑠 =1

𝐾𝑎

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Erros Estacionários • Para um sistema do tipo 0:


𝑠2𝐾 𝑇𝑎𝑠 + 1 𝑇𝑏𝑠 + 1 … (𝑇𝑚𝑠 + 1)

1 𝑇1𝑠 + 1 𝑇2𝑠 + 1 … (𝑇𝑝𝑠 + 1)= 0



𝑠2𝐾 𝑇𝑎𝑠 + 1 𝑇𝑏𝑠 + 1 … (𝑇𝑚𝑠 + 1)

𝑠 𝑇1𝑠 + 1 𝑇2𝑠 + 1 …(𝑇𝑝𝑠 + 1)= 0



𝑠2𝐾 𝑇𝑎𝑠 + 1 𝑇𝑏𝑠 + 1 … (𝑇𝑚𝑠 + 1)

𝑠2 𝑇1𝑠 + 1 𝑇2𝑠 + 1 … (𝑇𝑝𝑠 + 1)= 𝐾

𝑒𝑠𝑠 =1

𝐾

• Para um sistema do tipo 3 ou maior:


𝑠2𝐾 𝑇𝑎𝑠 + 1 𝑇𝑏𝑠 + 1 …(𝑇𝑚𝑠 + 1)

𝑠𝑁 𝑇1𝑠 + 1 𝑇2𝑠 + 1 … (𝑇𝑝𝑠 + 1)= ∞

𝑒𝑠𝑠 = 0

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• Exemplo de respostas a parábola unitária:


𝐺 𝑠 =𝐾

𝑠2+7𝑠+10

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𝐺 𝑠 =𝐾

𝑠3+7𝑠2+10𝑠




𝐺 𝑠 =𝐾

𝑠4+7𝑠3+10𝑠2

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𝐺 𝑠 =𝐾(𝑠+1)

𝑠4+7𝑠3+10𝑠2




𝐺 𝑠 =𝐾

𝑠5+7𝑠4+10𝑠3

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𝐺 𝑠 =𝐾(𝑠2+0,02𝑠+0.001)

𝑠5+7𝑠4+10𝑠3


• Tanto os sistemas do tipo 0 ou do tipo 1 não conseguem seguir uma entrada do tipo parábola.

• O sistema do tipo 2 segue uma entrada do tipo parábola com erro estacionário.

• Os sistemas do tipo 3 ou maior seguem a entrada do tipo parábola sem erro estacionário.

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• As constantes 𝐾𝑝, 𝐾𝑣 e 𝐾𝑎 descrevem a

habilidade de um sistema com realimentação unitária para reduzir ou eliminar o erro estacionário.

• São indicativos de desempenho do regime estacionário.

• Geralmente é desejável aumentar essas constantes de erro, mas é necessário manter a resposta transitória dentro de um limite aceitável. 37

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