Análise de Resposta Transitória e de Regime Estacionário 5.3. Sistemas de Segunda Ordem

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Análise de Resposta Transitória e deRegime Estacionário

5.3. Sistemas de Segunda Ordem

Prof. André Marcato

Livro Texto: Engenharia de Controle Moderno – Quarta Edição – Editora Pearson Prentice Hall – Autor: Katsuhiko OGATA

Apresentação 10

Exemplo de Realimentação

Apresentação 10


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Apresentação 10

Sistemas de Segunda Ordem Geral (1)

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AtenuaçãoAtenuação

Freqüência Natural Não Freqüência Natural Não AmortecidaAmortecida

Coeficiente de Coeficiente de AmortecimentoAmortecimento

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Forma Padrão do Sistema de Segunda Ordem

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Freqüência Natural, ωn

A freqüência natural de um sistema de segunda A freqüência natural de um sistema de segunda ordem é a freqüência de oscilação do sistema ordem é a freqüência de oscilação do sistema sem amortecimento. sem amortecimento.

Por exemplo, a freqüência de oscilação de um Por exemplo, a freqüência de oscilação de um circuito RLC em série sem a resitênci será igual circuito RLC em série sem a resitênci será igual à freqüência natural.à freqüência natural.

Apresentação 10

Coeficiente (ou fração) de Amortecimento,

A resposta ao degrau de sistema de segunda ordem A resposta ao degrau de sistema de segunda ordem subamortecidos é caracterizada por oscilações subamortecidos é caracterizada por oscilações amortecidas.amortecidas.

lExponencia Tempo de Constante

1 Decaimento de lExponencia Freqüência

(s) Natural Período

122 (rad/s) Natural Freqüência

fa = 0 Pólos = ± √b

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Comportamento Dinâmico do Sistema de Segunda Ordem

Sistema Sem Amortecimento:

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Sistemas de Segunda OrdemResposta ao Degrau

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Freqüência Freqüência Natural do Natural do

Sistema sem Sistema sem amortecimentoamortecimento

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Apresentação 10

Definições das Especificações da Resposta Transitória(1)

Em muitos casos práticos, as características de Em muitos casos práticos, as características de desempenho de um sistema de controle são desempenho de um sistema de controle são especificadas em termos de grandezas no domínio do especificadas em termos de grandezas no domínio do tempo.tempo.

Com freqüência, estas características são especificadas Com freqüência, estas características são especificadas em termos da resposta transitória ao degrau unitário.em termos da resposta transitória ao degrau unitário.

Características da resposta transitória:Características da resposta transitória: Tempo de atraso, tTempo de atraso, tdd

Tempo de subida, tTempo de subida, trr

Tempo de pico, tTempo de pico, tpp

Máximo sobre-sinal (ou apenas sobre-sinal), MMáximo sobre-sinal (ou apenas sobre-sinal), Mpp

Tempo de acomodação, tTempo de acomodação, tss

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Definições das Especificações da Resposta Transitória(2)

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Comentários Sobre a Resposta Transitória

Na maioria dos casos, é desejável que a resposta Na maioria dos casos, é desejável que a resposta transitória seja rápida e amortecida. O coeficiente de transitória seja rápida e amortecida. O coeficiente de amortecimento deve estar entre 0,4 e 0,8.amortecimento deve estar entre 0,4 e 0,8.

Valores Pequenos ( ) resultam em excessivo sobre Valores Pequenos ( ) resultam em excessivo sobre sinal.sinal.

Valores Grandes ( ) resultam em sistemas que Valores Grandes ( ) resultam em sistemas que respondem muito lentamente.respondem muito lentamente.

O máximo sobre sinal e o tempo de subida são O máximo sobre sinal e o tempo de subida são conflitantes entre si.conflitantes entre si.

Nos cálculos do tempo de subida, tempo de pico, sobre Nos cálculos do tempo de subida, tempo de pico, sobre sinal e tempo de acomodação, haverá a suposição de sinal e tempo de acomodação, haverá a suposição de que o sistema é subamortecido.que o sistema é subamortecido.

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Cálculo do Tempo de Subida - tr(1)

Ogata

Apresentação 10


Ogata

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Nise É o tempo necessário para o sinal partindo de É o tempo necessário para o sinal partindo de

0,1 de seu valor final atingir 0,9 de seu valor 0,1 de seu valor final atingir 0,9 de seu valor final.final.

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Cálculo do Tempo de Pico – tp

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Máximo Sobre-sinal – Mp(1)

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Máximo Sobre-sinal – Mp(2)

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Tempo de Acomodação – ts(1)

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Curva MP versus

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Relacionamento entre os Parâmetros de Especificação da Resposta Transitória

Pelo teorema de pitágoras verifica-se que a distância radial da origem até o pólo é igual à freqüência natural (ωn) e cos = .

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Resposta ao Degrau de Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos quando os pólos se movem com parte real constante

Quando os pólos se movem na direção vertical, a freqüência Quando os pólos se movem na direção vertical, a freqüência aumenta, porém a envoltória permanece a mesmaaumenta, porém a envoltória permanece a mesma

O tempo de assentamento é praticamente o mesmo para O tempo de assentamento é praticamente o mesmo para todas os sinais.todas os sinais.

Quando o sobre valor aumenta, o tempo de subida diminuiQuando o sobre valor aumenta, o tempo de subida diminui

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Resposta ao Degrau de Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos quando os pólos se movem com parte imaginária constante

Nesse caso, a freqüência é constante ao longo de variação Nesse caso, a freqüência é constante ao longo de variação da faixa real.da faixa real.

Quando os pólos são movidos da esquerda para a direita, a Quando os pólos são movidos da esquerda para a direita, a resposta de amortece rapidamente, enquanto a freqüência resposta de amortece rapidamente, enquanto a freqüência permanece a mesma.permanece a mesma.

O tempo de pico permanece o mesmo, visto que a parte O tempo de pico permanece o mesmo, visto que a parte imaginária permanece inalterada.imaginária permanece inalterada.

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Resposta ao Degrau de Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos quando os pólos se movem com fração de amortecimento constante

Neste caso, o sobre valor percentual permanece o Neste caso, o sobre valor percentual permanece o mesmo.mesmo.

Todas as respostas se parecem, exceto no que diz Todas as respostas se parecem, exceto no que diz respeito as suas velocidades. Quando mais respeito as suas velocidades. Quando mais afastados da origem, mais rápida será a resposta.afastados da origem, mais rápida será a resposta.

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Exemplo 4.6. (Norman Nise)

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Resposta Transiente Através do Projeto de Resposta Transiente Através do Projeto de ComponentesComponentes..

Problema:Problema: Dado o sistema mostrado na figura Dado o sistema mostrado na figura abaixo, determine os valores de J e D de modo que abaixo, determine os valores de J e D de modo que o sistema apresente sobrevalor percentual de 20% o sistema apresente sobrevalor percentual de 20% e um tempo de assentamento de 2 segundos para e um tempo de assentamento de 2 segundos para uma entrada em degrau de torque T(t).uma entrada em degrau de torque T(t).

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Exemplo 5.1.(1)

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Exemplo 5.1.(2)

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Servossistema com Realimentação de Velocidade (1)

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Servossistema com Realimentação de Velocidade (2)

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Exemplo 5.2. (1)

Apresentação 10

Exemplo 5.2. (2)

Apresentação 10

Exemplo 5.2. (3)

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Resposta ao Impulso dos Sistemas de Segunda Ordem (1)

Apresentação 10


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