Embed Size (px)
Citation preview
Estudos de Controle – Análise de Resposta Transitória e de Regime Estacionário
1
Critério de Estabilidade de Routh
• Considerando a forma geral:
𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)=
𝑏0𝑠𝑚+𝑏1𝑠
𝑚−1+⋯𝑏𝑚−1𝑠+𝑏𝑚
𝑎0𝑠𝑛+𝑎1𝑠
𝑛−1+⋯𝑎𝑛−1𝑠+𝑎𝑛, onde 𝑛 ≥ 𝑚.
• Uma forma simples de saber se o sistema é estável é se e somente se todos os pólos da malha fechada estiverem no semiplano esquerdo do plano s.
2
Critério de Estabilidade de Routh
• O critério de estabilidade de Routh determina o número de pólos de malha fechada que se situam no semiplano direito do plano s sem fatorar o denominador.
• É aplicado apenas a polinômios com um número finito de termos.
• As informações da estabilidade absoluta são obtidas a partir dos coeficientes da equação característica.
3
Critério de Estabilidade de Routh
• Procedimento:
• Escrever o polinômio da seguinte maneira: 𝑎0𝑠
𝑛 + 𝑎1𝑠𝑛−1 +⋯𝑎𝑛−1𝑠 + 𝑎𝑛 = 0
• Verificar se algum dos coeficientes é zero ou negativo na presença de pelo menos um coeficiente positivo: • Nesse caso, existe uma ou várias raízes que tenham partes
reais positivas e o sistema é instável.
• Todos os coeficientes positivos é uma condição necessária para a estabilidade, mas não suficiente: • A condição é necessária, mas não suficiente, porque o
polinômio pode ser fatorado em (𝑠 + 𝑎) e (𝑠2 + 𝑏𝑠 + 𝑐). As raízes são negativas se a, b e c são positivos. A multiplicação de qualquer número desses fatores dará um polinômio com coeficientes positivos.
4
Critério de Estabilidade de Routh
• Procedimento:
• Organizar os coeficientes do polinômio em linhas e colunas da seguinte maneira:
𝑠𝑛
𝑠𝑛−1
𝑠𝑛−2
⋮𝑠2
𝑠1
𝑠0
𝑎0 𝑎2 𝑎4 𝑎6 …𝑎1 𝑎3 𝑎5 𝑎7 …𝑏1 𝑏2 𝑏3 𝑏4 …⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮𝑐1 𝑐2 0 0 0𝑑1 0 0 0 0𝑓1 0 0 0 0
5
Critério de Estabilidade de Routh
• Procedimento:
• Sendo que os coeficientes 𝑏, 𝑐, … são calculados da seguinte maneira:
𝑏1 =𝑎1𝑎2 − 𝑎0𝑎3
𝑎1 𝑏2 =
𝑎1𝑎4 − 𝑎0𝑎5𝑎1
𝑏3 =𝑎1𝑎6 − 𝑎0𝑎7
𝑎1 …
𝑐1 =𝑏1𝑎3 − 𝑎1𝑏2
𝑏1 𝑐2 =
𝑏1𝑎5 − 𝑎1𝑏3𝑏1
𝑐3 =𝑏1𝑎7 − 𝑎1𝑏4
𝑏1 …
𝑑1 =𝑐1𝑏2 − 𝑏1𝑐2
𝑐1 𝑑2 =
𝑐1𝑏3 − 𝑏1𝑐3𝑐1
𝑑3=𝑐1𝑏4 − 𝑏1𝑐4
𝑐1…
6
Critério de Estabilidade de Routh
• Procedimento:
• A matriz completa é triangular. Calcular todos os coeficientes até a nésima linha.
• O número de mudanças no sinal dos coeficientes da primeira coluna da matriz é igual ao número de raízes com partes reais positivas do polinômio.
• Se todos os coeficientes da primeira coluna da matriz forem positivos, então o sistema é estável pois todos os pólos estarão no semiplano esquerdo do plano s.
7
Critério de Estabilidade de Routh
• Exemplo: 𝑠4 + 2𝑠3 + 3𝑠2 + 4𝑠 + 5 = 0
• Matriz: 𝑠4
𝑠3
𝑠2
𝑠1
𝑠0
1 3 52 4 01 5 0−6 0 05 0 0
• Portanto existem 2 raízes com partes reais positivas. 8
Critério de Estabilidade de Routh
• Aplicação à análise de sistemas de controle:
• Determinar valores de um ou mais parâmetros a partir do critério de estabilidade de Routh.
• Exemplo de função de transferência:
𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)=
𝐾
𝑠 𝑠2+𝑠+1 𝑠+2 +𝐾
• Equação característica: 𝑠4 + 3𝑠3 + 3𝑠2 + 2𝑠 + 𝐾 = 0
9
Critério de Estabilidade de Routh
• Aplicação à análise de sistemas de controle:
𝑠4
𝑠3
𝑠2
𝑠1
𝑠0
1 3 𝐾3 2 07
3𝐾 0
2 −9𝐾
70 0
𝐾 0 0
• Portanto, para garantir a estabilidade: 14
9> 𝐾 > 0 10
Sistemas de Controle Proporcional
• Um dos problemas do controlador On-Off é que apenas uma pequena variação da diferença do valor de entrada e o valor de referência, o controlador atua na resposta fortemente.
• Para resolver esse problema, criou-se o controlador proporcional, cuja ação é proporcional ao erro.
11
Sistemas de Controle Proporcional
• Um problema do controlador apenas proporcional é que existe um erro estacionário.
• Considerando um sistema com a seguinte planta:
𝐺𝑝 𝑠 =1
𝑇𝑠 + 1
• Temos a equação de malha fechada:
𝐺 𝑠 =𝐾
𝑇𝑠 + 1
• Como: 𝐸(𝑠)
𝑅(𝑠)=𝑅 𝑠 − 𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)= 1 −
𝐶 𝑠
𝑅 𝑠=
1
1 + 𝐺(𝑠)
• Então o erro é dado como:
𝐸 𝑠 =1
1 + 𝐺 𝑠𝑅(𝑠) =
1
1 +𝐾
𝑇𝑠 + 1
𝑅(𝑠)
12
Sistemas de Controle Proporcional
• Para uma entrada em degrau unitário 𝑅 𝑠 = 1
𝑠 :
𝐸 𝑠 =𝑇𝑠 + 1
𝑇𝑠 + 1 + 𝐾
1
𝑠
• O erro estacionário será:
𝑒𝑠𝑠 = lim𝑡→∞
𝑒 𝑡 = lim𝑠→0
𝑠𝐸 𝑠 = lim𝑠→0
𝑇𝑠 + 1
𝑇𝑠 + 1 + 𝐾
𝑠
𝑠=
1
𝐾 + 1
• Ou seja, quanto maior o ganho proporcional, menor o erro estacionário.
• Porém, o aumento do ganho proporcional também provoca uma resposta mais oscilatória.
13
Sistemas de Controle Proporcional
• Exemplo:
• Considere o sistema de primeira ordem: 𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)=
1
5𝑠 + 1
• Aplicando-se um controle proporcional com diferentes ganhos:
14
Sistemas de Controle Proporcional
• Exemplo:
• Considere o sistema de segunda ordem: 𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)=
1
𝑠2 + 1,2𝑠 + 1
• Aplicando-se um controle proporcional com diferentes ganhos:
15
Sistemas de Controle Proporcional
• Resposta ao distúrbio do tipo conjugado:
• Supondo que 𝑅 𝑠 = 0, a função de transferência entre C(s) e D(s) é:
𝐶(𝑠)
𝐷(𝑠)=
1
𝐽𝑠2 + 𝑏𝑠 + 𝐾𝑝
• Então, o erro é definido como: 𝐸(𝑠)
𝐷(𝑠)= −
𝐶 𝑠
𝐷 𝑠= −
1
𝐽𝑠2 + 𝑏𝑠 + 𝐾𝑝
16
Sistemas de Controle Proporcional
• Resposta ao distúrbio do tipo conjugado:
• O erro estacionário para um distúrbio em degrau, igual a 𝑇𝑑 é dado:
𝑒𝑠𝑠 = lim𝑠→0
𝑠𝐸 𝑠 = lim𝑠→0
−1
𝐽𝑠2 + 𝑏𝑠 + 𝐾𝑝
𝑠𝑇𝑑𝑠
= −𝑇𝑑𝐾𝑝
• Portanto, o erro será proporcional ao distúrbio e inversamente proporcional ao ganho.
• Aumentando o ganho, diminui-se o erro estacionário causado pelo ruído também.
17
Sistemas de Controle Proporcional
• Resposta ao distúrbio do tipo conjugado:
• Exemplo: 𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)=
1
5𝑠 + 1
• Resposta para diferentes ganhos proporcionais:
18
Para 𝑇𝑑 = 2. Para 𝑇𝑑 = 10.
Sistemas de Controle Proporcional
• Resposta ao sistema com carga inercial:
• A função de transferência da malha fechada é: 𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)=
𝐾𝑝
𝐽𝑠2 + 𝐾𝑝
• Como as raízes da da equação característica são imaginárias, para uma entrada degrau unitário o sistema irá oscilar indefinidamente.
19
Sistemas de Controle Proporcional
• Resposta ao sistema com carga inercial:
• Exemplo: 𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)=
1
5𝑠2 + 1
• Resposta para diferentes ganhos proporcionais:
20
