Condução Bidimensional em

Regime Estacionário

1 – Equações de Diferenças Finitas

• Em certos casos os métodos analíticos podem ser usados na obtenção de soluções

matemáticas exatas para problemas de condução bidimensional em regime estacionário.

Essas soluções foram obtidas para um conjunto de geometrias e condições de contorno

simples.

• Contudo, é muito comum problemas bidimensionais que envolvem geometrias e/ou

condições de contorno que impedem tais soluções. Nesse caso, a melhor alternativa é a

utilização de uma técnica numérica para a solução da equação diferencial parcial resultante

e suas condições de contorno.

• As técnicas numéricas mais comuns são: elementos finitos, volumes finitos e diferenças

finitas.

1.1 – A Rede Nodal

• Uma solução analítica permite a determinação da temperatura em qualquer ponto de

interesse do meio e uma solução numérica permite a determinação da temperatura em

somente pontos discretos.

• A primeira etapa do processo de solução consiste na escolha desses pontos, conforme a

figura abaixo a esquerda:

• Isso pode ser feito com a subdivisão do meio de interesse em um número de pequenas

regiões e especificando para cada uma um ponto de referência localizado no seu centro.

• O ponto de referência é freqüentemente chamado de ponto nodal (ou nó) e o agregado de

pontos é chamado de rede (ou malha).

• Os pontos nodais são identificados por um esquema de numeração que, para um sistema

bidimensional, pode assumir a forma da figura acima à esquerda.

• As posições x e y são identificadas pelos índices m e n, respectivamente.

• Cada nó representa uma certa região e a sua temperatura é uma medida da temperatura

média da região.

• A seleção dos pontos nodais depende da conveniência geométrica e precisão desejada.

• A precisão numérica desejada depende fortemente do número de pontos nodais utilizados.

Se este número for grande (malha fina), soluções precisas podem ser obtidas.

1.2 – Formas das Diferenças Finitas da Equação de Calor

• A determinação numérica da distribuição de temperatura exige que uma equação de

conservação apropriada seja escrita para cada um dos pontos nodais de temperatura

desconhecida.

• O conjunto resultante de equações deve ser resolvido simultaneamente para as temperaturas

de cada nó.

• Para qualquer nó interno em um sistema bidimensional sem geração e com k constante, a

forma exata da conservação da energia é dada pela equação do calor:

02

2

2

2

=∂

∂+

∂

∂

y

T

x

T

• Se o sistema for caracterizado em termo de uma rede nodal, é necessário trabalhar com a

equação do calor em diferenças finitas.

• As derivadas primeiras de T com relação a x nas posições 2

1+m e

2

1−m são:

x

TT

x

T nmnm

nm ∆

−=

∂

∂ +

+

,,1

,21

e x

TT

x

T nmnm

nm ∆

−=

∂

∂ −

−

,1,

,21

• As derivadas primeiras de T com relação a y nas posições 2

1+n e

2

1−n são:

y

TT

y

T nmnm

nm∆

−=

∂

∂ +

+

,1,

21,

e y

TT

y

T nmnm

nm∆

−=

∂

∂ −

−

1,,

21,

• A derivada segunda de T com relação à x no ponto m, n é:

( )2

,,1,1

,1,,,1

,21,21

,

2

2 2

x

TTT

x

x

TT

x

TT

x

x

T

x

T

x

T nmnmnm

nmnmnmnm

nmnm

nm∆

−+=

∆

∆

−−

∆

−

=∆

∂

∂−

∂

∂

≈∂

∂ −+

−+

−+

• A derivada segunda de T com relação à y no ponto m, n é:

( )2

,1,1,

1,,,1,

21,21,

,

2

2 2

y

TTT

y

y

TT

y

TT

y

y

T

y

T

y

T nmnmnm

nmnmnmnm

nmnm

nm∆

−+=

∆

∆

−−

∆

−

=∆

∂

∂−

∂

∂

≈∂

∂ −+

−+

−+

• Utilizando uma malha com yx ∆=∆ a substituindo nm

xT,

22 ∂∂ e nm

yT,

22 ∂∂ na equação

do calor obtém-se:

( ) ( )

04

022

,1,1,,1,1

2

,1,1,

2

,,1,1

=−+++

=∆

−++

∆

−+

−+−+

−+−+

nmnmnmnmnm

nmnmnmnmnmnm

TTTTT

y

TTT

x

TTT

• Assim, para o ponto nodal m e n, a equação do calor, que é uma equação diferencial exata,

é reduzida a uma equação algébrica aproximada.

• A forma em diferenças finitas da equação do calor pode ser aplicada em qualquer ponto

nodal interior que esteja eqüidistante de seus quatro pontos nodais vizinhos.

• Ela simplesmente exige que a temperatura de um ponto nodal interior seja igual à média das

temperaturas dos quatro pontos nodais vizinhos.

1.3 – O Método do Balanço de Energia

• Método alternativo para a obtenção das equações de diferenças finitas. A equação de

diferenças finitas para um ponto nodal é obtida pela aplicação da conservação da energia

em um volume de controle no entorno da região nodal.

• Por convenção, admite-se que todos os fluxos térmicos estão dirigidos para dentro do ponto

nodal. Para condução bidimensional em regime estacionário com geração de energia, a

forma apropriada do balanço de energia é:

0=+ ge EE &&

( ) ( ) ( ) 01..4

1, =∆∆+∑

=→

inmi yxqq &

• i se refere aos nós vizinhos, ( ) ( )nmiq ,→ é a taxa de condução entre os nós e a está admitido

profundidade unitária.

• As equações da taxa de condução são:

( ) ( ) ( )x

TTykq

nmnmnmnm

∆

−∆=

−→−

,,1,,1 1. e ( ) ( ) ( )

x

TTykq

nmnmnmnm

∆

−∆=

+→+

,,1,,1 1.

( ) ( ) ( )y

TTxkq

nmnmnmnm

∆

−∆=

+→+

,1,,1, 1. e ( ) ( ) ( )

y

TTxkq

nmnmnmnm

∆

−∆=

−→−

,1,,1, 1.

• Substituindo essas equações no balanço de energia e utilizando uma malha com yx ∆=∆

obtém-se:

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )04

01..

1.1.1.1.

,

2

1,1,,1,1

,1,,1,,,1,,1

=−∆

++++

⇓

=∆∆+

∆

−∆+

∆

−∆+

∆

−∆+

∆

−∆

−+−+

−++−

nmnmnmnmnm

nmnmnmnmnmnmnmnm

Tk

xqTTTT

yxq

y

TTxk

y

TTxk

x

TTyk

x

TTyk

&

&

• Se ,0=q& a equação acima se reduz a 04 ,1,1,,1,1 =−+++ −+−+ nmnmnmnmnm TTTTT .

• Os resultados acima são válidos para pontos interiores e dessa forma é necessário a

obtenção de equação de diferenças finitas para fronteiras sujeitas a diferentes condições

térmicas. Essas equações podem ser obtidas pela conservação da energia. Seja por exemplo

um vértice interno de um sólido com convecção na superfície:

( ) ( ) ( ) ( ) 0,

4

1, =+∑∑ →∞

=→ nm

inmi qq

( ) ( ) ( )x

TTykq

nmnmnmnm

∆

−∆=

−→−

,,1,,1 1.

( ) ( )x

TTykq

nmnmnmnm

∆

−

∆=

+→+

,,1,,1 1.

2

( ) ( ) ( )y

TTxkq

nmnmnmnm

∆

−∆=

+→+

,1,,1, 1.

( ) ( )y

TTxkq

nmnmnmnm

∆

−

∆=

−→−

,1,,1, 1.

2

( ) ( ) ( ) ( )nmnmnm TTy

TTx

hq ,,, 1.2

1.2

−

∆+−

∆= ∞∞→∞

( ) ( )

( ) ( ) 01.2

1.2

1.2

1.1.2

1.

,,

,1,,1,,,1,,1

=−

∆+−

∆

+∆

−

∆+

∆

−∆+

∆

−

∆+

∆

−∆

∞∞

−++−

nmnm

nmnmnmnmnmnmnmnm

TTy

TTx

h

y

TTxk

y

TTxk

x

TTyk

x

TTyk

( ) 032

1,1,,11,,1 =

∆+−

∆++++ ∞−++− nmnmnmnmnm T

k

xhT

k

xhTTTT

• Equações de balanço de energia em regiões nodais para várias geometrias comuns e

situações nas quais não há geração de energia são apresentadas na tabela abaixo:

• Dedução do caso 3:

( ) ( ) ( )x

TTykq

nmnmnmnm

∆

−∆=

−→−

,,1,,1 1.

( ) ( )y

TTxkq

nmnmnmnm

∆

−

∆=

+→+

,1,,1, 1.

2

( ) ( )y

TTxkq

nmnmnmnm

∆

−

∆=

−→−

,1,,1, 1.

2

( ) ( ) ( ) ( )nmnmnm TTy

hTTy

hq ,,, 1.2

1.2

−

∆+−

∆= ∞∞→∞

( ) ( )( ) 01.1.2

1.2

1. ,,1,,1,,,1

=−∆+∆

−

∆+

∆

−

∆+

∆

−∆ ∞

−+−nm

nmnmnmnmnmnmTTyh

y

TTxk

y

TTxk

x

TTyk

( ) 022

1,1,1,,1 =

+

∆−

∆+++ ∞−+− nmnmnmnm T

k

xhT

k

xhTTT

• Dedução do caso 4:

( ) ( )x

TTykq

nmnmnmnm

∆

−

∆=

−→−

,,1,,1 1.

2

( ) ( )y

TTxkq

nmnmnmnm

∆

−

∆=

−→−

,1,,1, 1.

2

( ) ( ) ( ) ( )nmnmnm TTy

hTTx

hq ,,, 1.2

1.2

−

∆+−

∆= ∞∞→∞

( ) ( ) 01.2

1.2

1.2

1.2

,,,1,,,1

=−

∆+−

∆+

∆

−

∆+

∆

−

∆∞∞

−−nmnm

nmnmnmnmTT

yhTT

xh

y

TTxk

x

TTyk

( ) 012

1,,11, =

+

∆−

∆++ ∞−− nmnmnm T

k

xhT

k

xhTT

• Dedução do caso 5:

( ) ( ) ( )x

TTykq

nmnmnmnm

∆

−∆=

−→−

,,1,,1 1.

( ) ( )y

TTxkq

nmnmnmnm

∆

−

∆=

+→+

,1,,1, 1.

2

( ) ( )y

TTxkq

nmnmnmnm

∆

−

∆=

−→−

,1,,1, 1.

2

( )1." yqq ∆=

( ) ( ) 01."1.2

1.2

1.,1,,1,,,1

=∆+∆

−

∆+

∆

−

∆+

∆

−∆

−+−yq

y

TTxk

y

TTxk

x

TTyk

nmnmnmnmnmnm

( ) 02"

2

1,1,1,,1 =−

∆+++ −+− nmnmnmnm T

k

xqTTT

* Casos 3 e 5, para uma superfície adiabática (superfície de simetria), faça 0=h ou .0"=q

2 – Soluções por Diferenças Finitas

• Uma vez estabelecida a rede nodal e escrita uma equação de diferenças finitas apropriada

para cada ponto nodal, a distribuição de temperaturas pode ser determinada.

• O problema se reduz a solução de um sistema de equações algébricas lineares.

• Métodos diretos: adequados quando o número de equações é pequeno (grande memória no

computador e longo tempo de processamento) – “Método da Inversão Matricial”.

• Métodos iterativos: adequados quando o número de equações é grande (pequena memória

no computador e pouco tempo de processamento) – “Método de Gauss-Seidel”.

2.1 – O Método da Inversão Matricial

• Seja um sistema composto por N equações de diferenças finitas correspondente a N

temperaturas desconhecidas. Dessa forma, as equações de diferenças finitas são:

NNNNNNN

NN

NN

CTaTaTaTa

CTaTaTaTa

CTaTaTaTa

=++++

=++++

=++++

...

..............................................................

...

...

332211

22323222121

11313212111

• As grandezas ,...,...,, 11211 Caa são coeficientes e constantes conhecidos, que envolvem

grandezas tais como hkx ,,∆ e .∞T Usando a notação matricial, essas equações podem ser

representadas como:

[ ][ ] [ ]

=

⇒=

NNNNNN

N

N

C

C

C

T

T

T

aaa

aaa

aaa

CTA......

.

...

............

...

...

2

1

2

1

21

22221

11211

• O vetor solução pode ser expresso como:

[ ] [ ] [ ]CAT1−

=

• [ ] 1−A é a inversa da matriz de [ ]A e é definida como:

[ ]

=−

NNNN

N

N

bbb

bbb

bbb

A

...

............

...

...

21

22221

11211

1

• Dessa forma, as temperaturas podem ser calculadas como:

NNNNNN

NN

NN

CbCbCbT

CbCbCbT

CbCbCbT

+++=

+++=

+++=

...

.................................................

...

...

2211

22221212

12121111

Exemplo 1: Usando o método do balanço de energia, deduza a equação de diferenças finitas

para o ponto nodal m, n localizado em uma superfície plana e isolada de um meio onde há

geração uniforme de calor.

Dados: rede de pontos nodais vizinhos a uma superfície isolada.

Achar: equação de diferenças finitas para o ponto nodal da superfície.

Considerações: regime estacionário, condução bidimensional, propriedades constantes, geração

interna de calor uniforme.

Análise: Aplicando a equação da conservação da energia na superfície de controle ao redor da

região ( )1..2 yx ∆∆ associado ao nó m, n, tem-se que, com geração volumétrica de calor a uma

taxa :q&

01..2

4321 =

∆

∆++++ y

xqqqqq &

( )x

TTykq

nmnm

∆

−∆=

− ,,11 1.

y

TTxkq

nmnm

∆

−

∆=

− ,1,2 1.

2 03 =q

y

TTxkq

nmnm

∆

−

∆=

+ ,1,4 1.

2

( ) 01..2

1.2

01.2

1.,1,,1,,,1

=

∆

∆+

∆

−

∆++

∆

−

∆+

∆

−∆

+−−y

xq

y

TTxk

y

TTxk

x

TTyk

nmnmnmnmnmnm&

( ) ( )0

2

.2

2

1,1,1,,1 =

∆∆+−++ +−−

k

yxqTTTT nmnmnmnm

&

Comentários: 1. O mesmo resultado poderia ser obtido usando-se a condição de simetria, ,,1,1 nmnm TT −+ = na

equação de diferenças finitas ( )

04 ,

2

1,1,,1,1 =−∆

++++ −+−+ nmnmnmnmnm Tk

xqTTTT

& válida para

pontos internos. Se 0=q& o resultado desejado também poderia ser obtido fazendo-se 0=h na

equação de diferenças finitas do caso 3.

2. Como uma aplicação da equação de diferenças finitas anterior, considere o sistema

bidimensional a seguir, no qual energia térmica é uniformemente gerada a uma taxa

desconhecida .q& A condutividade térmica do sólido é conhecida, assim como as condições

convectivas em uma das superfícies. Além disso, foram medidas temperaturas em locais

correspondentes aos pontos nodais de uma malha de diferenças finitas.

9,235=aT oC

6,227=bT oC

9,230=cT oC

1,220=dT oC

4,222=eT oC

0,200=∞T oC

50=h W/m2.K

1=k W/m.K

10=∆x mm

10=∆y mm

• A taxa de geração de energia pode ser determinada pela aplicação da equação de diferenças

finitas no ponto nodal c:

( ) ( )

( )( )

( )( )

35

2

,1,1,,1

W/m1001,1

01.2

01,09,230.29,2354,222

2

16,227

02

.2

2

1

02

.2

2

1

×=

=+−++

=∆∆

+−++

=∆∆

+−++ +−−

q

q

k

yxqTTTT

k

yxqTTTT

caeb

nmnmnmnm

&

&

&

&

• A partir das condições térmicas especificadas e do conhecimento de ,q& nós podemos

também determinar se a exigência de conservação da energia é satisfeita para o ponto nodal

e. Fazendo um balanço de energia em um volume de controle ao redor desse nó, tem-se

que: ( ) 01.2.24321 =∆∆++++ yxqqqqq &

( ) 01.2

.2

1.2

1.2

01.2

=

∆∆+

∆

−

∆+−

∆++

∆

−

∆∞

yxq

x

TTykTT

xh

y

TTxk ed

eec

&

( )

0 W 025,0

01.2

01,0.

2

01,01001,1

01,0

4,2221,2201.

2

01,01

4,2220,2001.2

01,050

001,0

4,2229,2301.

2

01,01

5

≈

⇓

=

×

+−

+−

++−

• A incapacidade de satisfazer precisamente o balanço de energia pode ser atribuída a erros

de medida das temperaturas, às aproximações empregadas no desenvolvimento das

equações de diferenças finitas e ao uso de uma malha relativamente grossa.

Exemplo 2: Um grande forno industrial é suportado por uma longa coluna de tijolos refratários,

com 1 m por 1 m de lado. Durante a operação em regime estacionário, as condições são tais que

três superfícies na coluna são mantidas a 500 K, enquanto a superfície restante é exposta a uma

corrente de ar com 300=∞T K e 10=h W/m2.K. Usando uma malha com 25,0=∆=∆ yx m,

determine a distribuição de temperaturas bidimensional na coluna e a taxa de transferência de

calor para a corrente de ar, por unidade de comprimento da coluna.

Dados: dimensões e condições nas superfícies de uma coluna de sustentação.

Achar: distribuição de temperaturas e a taxa de transferência de calor por unidade de

comprimento.

Considerações: regime estacionário, condução bidimensional, propriedades constantes, ausência

de geração interna.

Propriedades: tijolo refratário ( 1=k W/m.K)

Análise: a malha especificada possui 12 pontos nodais nos quais as temperaturas são

desconhecidas. Contudo, devido à simetria do sistema, o número de incógnitas é reduzido para 8,

pois as temperaturas dos pontos nodais localizados à esquerda da linha de simetria devem ser

iguais às temperaturas dos pontos equivalentes localizados à direita. Os nós 1, 3 e 5 são pontos

interiores cujas equações de diferenças finitas são representadas pelo Caso 1:

04 ,1,1,,1,1 =−+++ −+−+ nmnmnmnmnm TTTTT

Nó 1: ⇒=−+++ 04 132 TTTTT ss 041000 132 =−++ TTT

Nó 3: ⇒=−+++ 04 3514 TTTTT s 04500 3541 =−+++ TTTT

Nó 5: ⇒=−+++ 04 5736 TTTTT s 04500 5763 =−+++ TTTT

• As equações para os nós 2, 4 e 6 podem ser obtidas de maneira semelhante ou, como eles se

encontram sobre a adiábata de simetria, pode-se utilizar o Caso 3 com :0=h

042 ,1,1,,1 =−++ −+− nmnmnmnm TTTT

Nó 2: ⇒=−++ 042 241 TTTT s 045002 241 =−++ TTT

Nó 4: ⇒=−++ 042 4623 TTTT 042 4632 =−++ TTTT

Nó 6: ⇒=−++ 042 6845 TTTT 042 6854 =−++ TTTT

• As equações para os nós 7 e 8 podem ser obtidas utilizando o Caso 3 com

:5,2125,0.10 ==∆ kxh

0222

2 ,1,1,,1 =

+

∆−

∆+++ ∞−+− nmnmnmnm T

k

xhT

k

xhTTT

Nó 7: ( ) ⇒=+−+++ 025,22300.5,2.22 785 TTTT s 0920002 785 =−++ TTT

Nó 8: ( ) ⇒=+−+++ 025,22300.5,2.22 8776 TTTT 09150022 876 =−++ TTT

• De posse das equações de diferenças finitas necessárias, uma solução por inversão de

matrizes pode ser obtida ordenando-as do nó 1 ao nó 8, como segue:

150092200000

20009020000

0042000

50004000

0000420

50000040

5000000042

1000000004

876

875

8654

7653

6432

5431

421

321

−=−++++++

−=+−+++++

=++−++++

−=+++−+++

=++++−+++

−=+++++−+

−=++++++−

−=+++++++−

TTT

TTT

TTTT

TTTT

TTTT

TTTT

TTT

TTT

• Em notação matricial, essas equações têm a forma [ ][ ] [ ],CTA = onde:

−

−

−

−

−

−

−

−

=

92200000

19020000

10421000

01140100

00104210

00011401

00001042

00000114

A

=

8

7

6

5

4

3

2

1

T

T

T

T

T

T

T

T

T

−

−

−

−

−

−

=

1500

2000

0

500

0

500

500

1000

C

• Utilizando um algoritmo padrão para inversão de matrizes ou uma calculadora

programável, calcula-se a inversa de [ ],A [ ] ,1−

A fornecendo [ ] [ ] [ ].1CAT

−=

[ ]

−−−−−−−−

−−−−−−−−

−−−−−−−−

−−−−−−−−

−−−−−−−−

−−−−−−−−

−−−−−−−−

−−−−−−−−

=−

1251,00359,00897,00728,00358,00402,00131,00166,0

0179,01251,00364,00897,00201,00358,00083,00131,0

0448,00364,03671,02381,01408,01453,00506,00616,0

0182,00448,01191,03671,00727,01408,00308,00506,0

0179,00201,01408,01453,03820,02595,01277,01287,0

0101,00179,00727,01408,01297,03820,00644,01277,0

0065,00083,00506,00616,01277,01287,03314,01979,0

0042,00065,00308,00506,00644,01277,00989,03314,0

1A

−

−

−

−

−

−

−−−−−−−−

−−−−−−−−

−−−−−−−−

−−−−−−−−

−−−−−−−−

−−−−−−−−

−−−−−−−−

−−−−−−−−

=

1500

2000

0

500

0

500

500

1000

.

1251,00359,00897,00728,00358,00402,00131,00166,0

0179,01251,00364,00897,00201,00358,00083,00131,0

0448,00364,03671,02381,01408,01453,00506,00616,0

0182,00448,01191,03671,00727,01408,00308,00506,0

0179,00201,01408,01453,03820,02595,01277,01287,0

0101,00179,00727,01408,01297,03820,00644,01277,0

0065,00083,00506,00616,01277,01287,03314,01979,0

0042,00065,00308,00506,00644,01277,00989,03314,0

8

7

6

5

4

3

2

1

T

T

T

T

T

T

T

T

[ ] K

T

T

T

T

T

T

T

T

T

=

=

05,339

99,356

74,418

95,436

01,462

07,472

15,485

30,489

8

7

6

5

4

3

2

1

• A taxa de transferência de calor da coluna para a corrente de ar pode ser calculada pela

expressão:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) W/m88330005,3392

25,030099,35625,0300500

2

25,010.2

222 87

=

−

+−+−

=

⇓

−

∆+−∆+−

∆= ∞∞∞

L

q

TTx

TTxTTx

hL

qs

Comentários: Para garantir a inexistência de erros na formulação das equações de diferenças

finitas ou na execução de suas soluções, uma verificação deve ser efetuada no que se refere ao

fato de os resultados satisfazerem a conservação da energia na rede nodal. Para condições de

regime estacionário, a exigência dita que a taxa de entrada de energia deve ser igual à taxa de

saída para uma superfície de controle que circunda as regiões nodais cujas temperaturas foram

determinadas.

Para a meia-seção simétrica mostrada no

esquema, tem-se que a condução para o

interior das regiões nodais deve ser equilibrada

pela convecção a partir dessas regiões. Assim:

( ) ( ) ( ) ( )

82

71

75322

11

1 qqqqqqqq +=+++++

• A soma das taxas condutivas é, então:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

∆

−∆+

∆

−∆+

∆

−∆+

∆

−∆+

∆

−∆+

∆

−∆=

x

TTy

x

TTy

x

TTy

y

TTx

x

TTy

y

TTxk

L

q sssssscond 753211

22

( )( )

( ) ( )( )

W/m31,191

2

99,35650095,43650007,472500

2

15,48550030,48950021

=

⇓

−+−+−+

−+−=

L

q

L

q

cond

cond

• A soma das taxas convectivas é:

( ) ( ) ( ) ( )

W/m29,191

30005,3392

25,030099,35625,010

287

=

⇓

−+−=

−

∆+−∆= ∞∞

L

q

TTx

TTxhL

q

cond

conv

• A concordância entre as taxas condutiva e convectiva é excelente (dentro do erro de

arredondamento), confirmando que não foram cometidos erros na formulação e na

resolução das equações de diferenças finitas. Note que a transferência de calor por

convecção em toda a superfície inferior (883 W/m) é obtida pela adição da taxa de

transferência no nó da extremidade a 500 K (250 W/m) com a taxa nos nós interiores (191,3

W/m) e a sua multiplicação por 2 em função da simetria.

• Embora as temperaturas calculadas satisfaçam às equações de diferenças finitas, elas não

nos fornecem o campo de temperaturas exato. Lembre-se de que as equações são

aproximações cuja precisão pode ser melhorada pela redução do tamanho da malha

(aumentando-se o número de pontos nodais).

• Utilizando o Software FEHT (Finite Element Heat Transfer) resultados gráficos podem ser

visualizados.

(a) (b) (c)

• (a) malha com elemento triangular e temperaturas nodais calculadas.

• (b) contorno de temperaturas (isotermas)

• (c) vetor fluxo de calor

Exemplo: Considere uma longa barra com seção transversal quadrada (0,8 m de lado) e

condutividade térmica de 2 W/m.K. Três laterais da barra são mantidas a uma temperatura

uniforme de 300 oC. A quarta superfície está exposta a um fluido a 100 oC com um coeficiente

de transferência de calor por convecção igual a 10 W/m2K. Usando a técnica das diferenças

finitas com um espaçamento na malha de 0,2 m, determine a temperatura no ponto central e a

taxa de transferência de calor, por unidade de comprimento da barra, entre a barra e o fluido.