Estudos de Controle - Aula 9: Análise de Resposta Transitória e de Regime Estacionário (parte 3)

Estudos de Controle – Análise de Resposta Transitória e de Regime Estacionário

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Sistemas de Ordem Superior

• Vamos considerar um sistema em sua forma geral:

• Função de transferência de malha fechada:

𝐶(𝑠)

𝑅(𝑠)=

𝐺(𝑠)

1 + 𝐺 𝑠 𝐻(𝑠)

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• Em geral, G(s) e H(s) são dadas como relações de polinômios em s:

𝐺 𝑠 = 𝑝(𝑠)

𝑞(𝑠) 𝑒 𝐻 𝑠 =

𝑛(𝑠)

𝑑(𝑠)

• A função de transferência pode ser reescrita como:

𝐶(𝑠)

𝑅(𝑠)=

𝑝 𝑠 𝑑(𝑠)

𝑞 𝑠 𝑑(𝑠)+𝑝 𝑠 𝑛(𝑠)=𝑏0𝑠𝑚+𝑏1𝑠

𝑚−1+⋯𝑏𝑚−1𝑠+𝑏𝑚

𝑎0𝑠𝑛+𝑎1𝑠

𝑛−1+⋯𝑎𝑛−1𝑠+𝑎𝑛,

onde 𝑛 ≥ 𝑚. 3


• Para encontrar a solução analítica é necessário encontrar os pólos e zeros da função, reescrevendo-a em função destes como:

𝐶(𝑠)

𝑅(𝑠)=𝐾 𝑠 + 𝑧1 𝑠 + 𝑧2 …(𝑠 + 𝑧𝑚)

𝑠 + 𝑝1 𝑠 + 𝑝2 …(𝑠 + 𝑝𝑛)

• A influência dos pólos e zeros irão determinar o comportamento do sistema.

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• Posicionamento de pólos e zeros no plano s:

• Pólos no semiplano esquerdo do plano s: • Exemplo:

𝐺 𝑠 =1

𝑠3 + 6𝑠2 + 13𝑠 + 10=

1

(𝑠 + 2)(𝑠 + 2 − 𝑗)(𝑠 + 2 + 𝑗)

• Pólos: 𝑝1 = −2 + 𝑗, 𝑝2 = −2 − 𝑗 , 𝑝3 = −2

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• Pólos no semiplano esquerdo do plano s:

• Exemplo: Resposta ao degrau unitário 𝑅 𝑠 = 1

𝑠

• O sistema converge.

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• Pólos no semiplano direito do plano s: • Exemplo:

𝐺 𝑠 =1

𝑠3 − 6𝑠2 + 13𝑠 − 10=

1

(𝑠 − 2)(𝑠 − 2 + 𝑗)(𝑠 − 2 − 𝑗)

• Pólos: 𝑝1 = 2 + 𝑗, 𝑝2 = 2 − 𝑗 , 𝑝3 = 2

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• Pólos no semiplano direito do plano s:

• Exemplo: Resposta ao degrau unitário 𝑅 𝑠 = 1

𝑠

• O sistema diverge.

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• Considerando que os pólos são todos reais e distintos, analisando para a entrada degrau

unitário 𝑅 𝑠 = 1

𝑠, temos:

𝐶 𝑠 =𝑎

𝑠+

𝑎𝑖𝑠 + 𝑝𝑖

𝑛

𝑖=1

Sendo que 𝑎𝑖 é o resíduo do pólo em 𝑠 = 𝑝𝑖 .

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• Se todos os pólos estiverem no semiplano esquerdo do plano s, então os valores dos resíduos determinaram a importância relativa dos componentes. • Exemplo:

𝐶 𝑠 =1

𝑠3 + 32𝑠2 + 185𝑠 + 250×1

𝑠=

1

(𝑠 + 2)(𝑠 + 5)(𝑠 + 25)×1

𝑠

• Resíduos:

𝐶 𝑠 =−0,0072

(𝑠 + 2)+0,0033

(𝑠 + 5)−0,0000087

(𝑠 + 25)+0,004

𝑠

• Resposta:

𝑐 𝑡 = −0,0072𝑒−2𝑡 + 0,0033𝑒−5𝑡 − 0,0000087𝑒−25𝑡 + 0,004

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Sistema de Ordem Superior

• Contribuição de cada termo e resposta:

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• Se existir um zero de malha fechada próximo a um pólo, então o resíduo desse pólo será pequeno.

• Um par de pólos e zeros próximos se cancelam mutuamente. • Exemplo: Acrescentando um zero em -1,9.

𝐶 𝑠 =(𝑠 + 1,9)

𝑠3 + 32𝑠2 + 185𝑠 + 250×1

𝑠

=(𝑠 + 1,9)

(𝑠 + 2)(𝑠 + 5)(𝑠 + 25)×1

𝑠

• Resíduos:

𝐶 𝑠 =0,0007

(𝑠 + 2)−0,0103

(𝑠 + 5)+0,002

(𝑠 + 25)+0,0076

𝑠

• Resposta:

𝑐 𝑡 = −0,0007𝑒−2𝑡 + 0,0103𝑒−5𝑡 + 0,002𝑒−25𝑡 + 0,0076

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• Contribuição de cada termo e resposta:

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• Se o pólo estiver localizado muito longe da origem, o resíduo desse pólo poderá ser pequeno. Os transitórios correspondentes a pólos remotos são pequenos e de curta duração.

• Exemplo: observar a contribuição do pólo -25.

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• Portanto, os termos que possuem resíduos muito pequenos contribuem pouco para a resposta transitória e podem ser descartados.

• Essa aproximação possibilita avaliar as características da resposta de um sistema de ordem superior a partir de um sistema mais simplificado.

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• Considerando de uma forma mais geral a existência de pólos reais e complexos conjugados, distintos, podemos escrever a resposta para uma entrada degrau unitário como:

𝐶 𝑠 =𝑎

𝑠+

𝑎𝑖𝑠 + 𝑝𝑖

𝑞

𝑖=1

+ 𝑏𝑘 𝑠 + ζ𝑘𝑤𝑘 + 𝑐𝑘𝑤𝑘 1 − ζ𝑘

2

𝑠2 + 2ζ𝑘𝑤𝑘𝑠 + 𝑤𝑘2

𝑟

𝑖=1

• Portanto, a resposta de um sistema de ordem superior é

composta por termos que envolvem funções simples dos sistemas de primeira ordem e segunda ordem.

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• A inversa de Laplace para a equação anterior pode ser escrita como:

𝑐 𝑡 = 𝑎 + 𝑎𝑖𝑒−𝑝𝑖𝑡

𝑞

𝑖=1

+ 𝑏𝑖𝑒−ζ𝑘𝑤𝑘𝑡

𝑟

𝑖=1

cos𝑤𝑘 1 − ζ𝑘2𝑡

+ 𝑏𝑖𝑒−ζ𝑘𝑤𝑘𝑡

𝑟

𝑖=1

sin𝑤𝑘 1 − ζ𝑘2𝑡

• Se todos os pólos estiverem no semiplano esquerdo do plano s, então os termos exponenciais e amortecidos exponencialmente irão tender a 0.

• A resposta em regime estacionário então é 𝑐 ∞ = 𝑎. 17


• Os pólos de 𝐺(𝑠) determinam o tipo de resposta transitória, enquanto que a forma é principalmente determinada pelos zeros.

• Os pólos da entrada 𝑅(𝑠) fornecem os termos da resposta estacionária, enquanto que os pólos de 𝐺(𝑠) fornecem os termos de resposta transitória exponenciais.

• Os zeros de 𝐺(𝑠) não afetam os expoentes dos termos exponenciais, mas sim as magnitudes e sinais dos resíduos. 18

Pólos dominantes

• São aqueles que possuem um efeito dominante sobre o comportamento de resposta transitória.

• A dominância é determinada: • Pela relação das partes reais dos pólos. • Pela relação dos resíduos calculados nos pólos.

• Se a relação das partes reais excede cinco, e não há zeros na vizinhança, os pólos mais perto do eixo imaginário serão os dominantes. Eles correspondem aos termos que caem mais lentamente.

• Geralmente, os pólos dominantes são complexos conjugados.

• Ajustam-se os ganhos do sistema até que exista um par de complexos conjugados. • Reduz efeitos de não-linearidade.

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Comportamento oscilatório

• Se o sistema de malha fechada não tem pólos conjugados complexos, então a resposta transitória é não-oscilatória.

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Análise da estabilidade

• Se algum pólo do sistema de malha fechada estiver no semiplano direito do plano s, então eles serão dominantes e o sistema irá produzir respostas crescentes. O sistema é instável.

• Se todos os pólos estão no semiplano esquerdo, então o sistema irá entrar em equilíbrio. O sistema é estável.

• O fato do sistema ser estável ou instável não depende da entrada. É uma característica do sistema. 21

Análise de estabilidade

• Se os pólos estiverem no eixo imaginário, então o sistema irá apresentar oscilações cuja amplitude não se altera. Porém, no caso de ruídos, essas amplitudes podem mudar e isso não é desejável.

• Para garantir uma resposta rápida e ainda amortecida, é interessante que os pólos estejam em regiões particulares do plano s, por exemplo:

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MATLAB

• Algumas funções são interessantes para se analisar o comportamento de zeros e pólos: • roots(pol): usado para encontrar as raízes de uma

função polinomial.

• residue(b,a) ou residue(r,p,k): usado para encontrar os pólos e resíduos dos pólos de uma função de transferência.

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pol = [1 -6 -72 -27] r = roots(pol)

b = [ 5 3 -2 7] a = [-4 0 8 3] [r,p,k] = residue(b,a)

r = [-1.4167 -0.6653 1.3320] p = [1.5737 -1.1644 -0.4093] k = -1.2500 [b,a] = residue(r,p,k)

MATLAB

• zplane(z,p): usado para plotar o plano complexo s com os pólos e zeros.

• zpk(z,p,k): usado para definir a função de transferência de acordo

com os zeros, pólos e ganhos.

• zpkdata(g): usado para encontrar os zeros, pólos e ganho de uma

função de transferência.

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z = [] p = [-2; -5; -25] zplane(z,p)

z = [] p = [-2; -5; -25] k = 1 zpk(z,p,k)

num = [1 2] den = [1 4 6] g = tf(num, den) [z, p, k] = zpkdata(g)

Exercício

• Considerando os seguintes sistemas:

• 𝐺 𝑠 =1

𝑠3−6𝑠2+13𝑠−10

• 𝐺 𝑠 =1

𝑠3+6𝑠2+13𝑠+10

• 𝐺 𝑠 =(𝑠−2)

𝑠3+6𝑠2+13𝑠+10

• 𝐺 𝑠 =1

𝑠4+36𝑠3+193𝑠2+400𝑠+300

• Faça:

• Encontre os zeros, pólos e o ganho. Plote o plano s complexo com zeros e pólos.

• Plote a resposta ao degrau unitário. • Encontre os pólos e os resíduos da resposta ao degrau unitário. • Plote a contribuição de cada pólo para a resposta ao degrau unitário. • Encontre as especificações da resposta transitória. 25

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26

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