PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA UNIDADE DIDÁTICA … · Polya, um dos pioneiros em pesquisa sobre resolução de problemas distingue quatro fases de trabalho diante de um determinado

Produção Didático-Pedagógica 2008

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PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA _ UNIDADE DIDÁTICA

METODOLOGIA DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS USANDO O

LABORATÓRIO DE ENSINO DE MATEMÁTICA COMO RECURSO

Clarice Aparecida A lves Palozi Faria 1

João Cesar Guirado 2

1. INTRODUÇÃO

Esta produção didático-pedagógica se caracteriza como uma Unidade Didática,

direcionada aos alunos da Educação Básica. Será desenvolvida com alunos da 8ª

série do Ensino Fundamental do Colégio Estadual Lúcia Alves de Oliveira

Schoffem, durante o primeiro semestre do ano letivo de 2009. É preciso deixar

claro que não se trata da forma tradicional da Resolução de Problemas que, em

geral, se restringe a propor questões e resolvê-las. Pretende-se com este trabalho

levar o aluno a uma atitude de investigação em relação àquilo que lhe é proposto.

A partir daí fazer os devidos questionamentos aos alunos, provocando uma

análise mais detalhada que os leve a levantar dados, elaborar estratégias e

buscar a solução do problema.

Segundo as Diretrizes Curriculares de Educação Básica do Estado do Paraná, um

dos desafios do ensino de Matemática é a abordagem de conteúdos para a

resolução de problemas, por se tratar de uma metodologia pela qual o estudante

tem a oportunidade de aplicar conhecimentos matemáticos adquiridos em novas

situações, de modo a resolver a questão proposta.

1 Professora PDE 2008 2 Professor Orientador-UEM


2

A resolução de problemas é vista como uma metodologia educacional em que o

professor propõe ao estudante situações-problema, caracterizado por investigação

e exploração de novos conceitos. Nessa metodologia, o estudante também pode

formular problemas, para que seus colegas os resolvam. A resolução e formulação

de problemas fazem parte das buscas que levam o aluno a ampliar seus

conhecimentos e facilitar a sua vida.

A resolução de problemas é uma habilidade prática como,

digamos, o é a natação. Adquirimos qualquer habilitação por

imitação e prática. Ao tentarmos nadar imitamos o que os

outros fazem (...), aprendemos a nadar com a prática da

natação. Ao tentarmos resolver problemas temos de observar e

imitar o que fazem outras pessoas quando resolvem os seus e,

por fim, aprendemos a resolver problemas, resolvendo-os.

(George Polya, 2006-p.4).

Polya, um dos pioneiros em pesquisa sobre resolução de problemas distingue

quatro fases de trabalho diante de um determinado problema. Para esse autor, os

passos para resolver um problema são:

2. Passos da Resolução de Problemas, segundo Polya

2.1. Compreender o problema: perceber claramente o que é necessário. Para

isso, ler o enunciado é fundamental.

O enunciado verbal do problema deve ser bem entendido. O aluno precisa

compreender bem o problema. Ele deve também estar em condições de identificar

as partes do problema: a incógnita, os dados, as condições. O problema deve ser

bem escolhido, nem muito difícil, nem muito fácil, natural e interessante ao aluno.

2.2. Conceber um plano para resolvê-lo: ver como os diversos itens estão

inter-relacionados, para termos idéia da resolução.

O caminho que vai desde a compreensão do problema até o estabelecimento de

um plano, pode ser longo e demorado. Cabe ao professor propiciar ao aluno,

através de indagações e sugestões, uma idéia luminosa que o leve a estabelecer

estratégias e, posteriormente, um plano para resolver o problema.


3

2.3. Executar o plano escolhido.

Se o aluno houver realmente elaborado um plano, mesmo com alguma ajuda, o

professor terá um período de tranqüilidade. O que não pode acontecer é de o

aluno “copiar” a idéia de um colega ou aceitar um plano por influência do

professor, nesse caso, ele terá grandes dificuldades em executar o plano e

encontrar a solução.

2.4. Fazer um retrospecto da resolução completa, is to é, verificar se a

solução encontrada satisfaz as condições do problem a.

O que se observa, na maioria das vezes, até mesmo nos bons alunos, é que, uma

vez chegada na solução do problema, eles passam para o próximo problema sem

ao menos discutir ou verificar a solução encontrada, perdendo assim, uma fase

importante e instrutiva do trabalho da resolução. Se fizerem um retrospecto da

resolução completa, reconsiderando e reexaminando o resultado final e o caminho

que o levou até ele, eles poderão consolidar o seu conhecimento e aperfeiçoar a

sua capacidade de resolver problemas.

3. Problemas Convencionais e Problemas Não Convenci onais ou

Problemas fechados e Problemas Abertos

Problemas Fechados: Problemas usualmente trabalhados em sala de aula,

também conhecidos como problema-padrão ou problema clássico de matemática

são colocados no processo ensino/aprendizagem de uma forma que limita a

criatividade do aluno, porque se apresentam de forma fechado. São apresentados

em frases curtas. Geralmente, o problema vem sempre após a apresentação de

determinado conteúdo ou algoritmo, onde todos os dados necessários à resolução

do problema se encontram no enunciado e, em geral, na ordem em que serão

utilizados, sendo que raramente se encontram dados inúteis. Os números e as

soluções são simples, única e numérica e em geral não têm nada a ver com a

realidade cotidiana. O objetivo do aluno é obter o resultado, superando os

obstáculos inerentes a um verdadeiro problema.


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Exemplo: O perímetro de um quadrado é 30 metros. Quanto mede cada lado?

Nesse caso, basta dividir o perímetro por quatro, ou seja, cada lado mede 7,5

metros. Observe que esse tipo de problema insere-se mais como um mero

exercício de aplicação do conceito de perímetro.

3.1. Problemas Abertos: Se caracterizam por não terem vínculo com os

últimos conteúdos estudados. Eles permitem que o aluno tenha condições de

conquistar as primeiras idéias em um novo estudo. Um problema aberto pode ter

uma ou mais soluções. Além disso, eles podem ser resolvidos em grupo, evitando

eventuais desencorajamentos, diminuindo o medo de não conseguir resolver.

Esse tipo de Problema tem por objetivo permitir que o aluno desenvolva um

processo de resolução de problemas que podemos chamar de “processo

científico”, onde ele desenvolverá a capacidade de tentar, supor, testar e provar o

que for proposto como solução para o problema, implicando uma oposição aos

problemas fechados. São apresentados em textos mais elaborados, contendo

personagens, provocando a imaginação do aluno e sugerindo situações

inusitadas. Convidam ao raciocínio, motivam e causam encantamento.

Exemplo1: Vovô disse que cresceu numa casa onde havia 12 pés e um rabo.

Quem poderia ter vivido com vovô?

Observe como é preciso mobilizar vários conhecimentos para a resolução. Se

havia um rabo, supõe-se que havia um animal. Um cachorro, por exemplo, que

tem quatro pés. Os oito restantes poderiam pertencer a quatro pessoas, uma

delas o próprio vovô. Mas, e se o rabo fosse de um peixe no aquário? Ou se fosse

um papagaio? Esse é um exemplo de problema aberto com várias soluções.

Exemplo 2: Desenhe um canteiro de jardim em formato hexagonal cujo perímetro

mede 39 m. Indique todas as suas dimensões.

Observe que matematicamente esse problema apresenta infinitas soluções, uma

vez que não foi exigido que o hexágono fosse regular. Nesse caso, cada aluno

poderá apresentar como medida dos lados, valores diferentes.


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3.2. Problemas sem Solução

Desenvolvem a habilidade de duvidar. Um fazendeiro possui 30 ovelhas e 45

cabeças de gado. Qual é a idade do fazendeiro? Alunos que estão acostumados a

resolver problemas convencionais, logo vão pensar: que conta devo fazer? É de

mais ou de menos.

Nesse caso, apenas com os dados apresentados no problema, não é possível

saber a idade do fazendeiro.

3.3. Problemas de Lógica: Necessitam de raciocínio dedutivo. Para resolvê-

lo o aluno deve se mostrar hábil em prever e checar situações, levantar hipóteses,

buscar suposições, analisar e classificar dados.

Exemplo: Três homens querem atravessar um rio. O barco que possuem tem

capacidade máxima de 150 quilos. Eles pesam 50, 75 e 120 quilos cada um.

Como podem atravessar sem afundar o barco?

Esse problema exige do aluno o raciocínio lógico. Ele deverá perceber, por

exemplo, que a pessoa que pesa 120 quilos deverá estar sempre sozinha no

barco, pois com qualquer outra pessoa o peso ultrapassa 150 quilos. Portanto, só

poderão atravessar juntas as pessoas de 50 e 75 quilos. Após algumas tentativas,

o aluno deverá concluir que a possibilidade é a seguinte: Primeiramente vão os

dois mais leves. Lá chegando um desce e o outro retorna e desembarca na

margem de cá. Sobe então o mais pesado, atravessa o rio e desce do outro lado.

Novamente o mais leve que lá estava, volta para buscar aquele que havia ficado

na margem oposta do rio.

4. Sugestão de Problemas Comentados a Serem Desenvo lvidos

com Alunos de 8ª série

Diante do que propõe o pesquisador George Polya, no qual está fundamentada

esta pesquisa, procurei elaborar um rol de problemas interessantes que levassem

os alunos a se debruçarem sobre os mesmos de maneira significativa, levando-os

a passar pelas quatro fases que o autor propõe: compreensão do problema;


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elaboração de um plano; execução do plano; verificação da solução encontrada.

Pretende-se que no final desta série de problemas propostos, o aluno tenha

desenvolvido determinadas características como: capacidade para entender

conceitos matemáticos, habilidade para notar diferenças e analogias, habilidade

para identificar elementos críticos, selecionar dados e procedimentos corretos,

habilidade para cálculo e análise e destreza para trocar de estratégia, se esta não

for adequada.

1. Estava passando um bando de pombas e um gavião. Este “disse”: “Como

vão minhas 100 pombas”? Elas responderam: Não somos 100. Para sermos

100, precisamos de outro tanto, mais a metade, mais um quarto e mais o

“senhor”. Quantas eram as pombas?

Como estratégia metodológica para a resolução deste problema, o professor

poderá iniciar questionando os alunos sobre:

• Qual é a incógnita?

Nesse momento, deve-se pedir aos alunos que leiam com atenção o problema

para que descubram o que se pretende descobrir, ou seja, a quantidade exata de

pombas do bando.

• Qual estratégia ou plano utilizar?

Aqui é o momento de o professor orientar os alunos para que descubram quais as

ferramentas, ou seja, quais os conteúdos inerentes ao problema que podemos

lançar mão para buscar a solução. Nesse caso, é bem provável que os alunos

sugiram uma equação. Após alguns questionamentos deverão chegar à equação:

2x + x + x + 1 = 100

Como executar o plano estabelecido?

Nesse caso, basta resolver a equação, conforme os passos a seguir:

Encontrar o mmc (2, 4) e efetuar as operações de modo a obter a equação:

8x + 2x + x = 396, cuja solução é x = 36, ou seja, o bando é formado por 36

pombas.


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A solução encontrada é compatível com o problema?

• Verificando a solução encontrada.

Para responder a esta questão, basta fazer a verificação, ou seja, substituir o valor

de x na equação e verificar se a igualdade é verdadeira.

2. Rui e Ari fazem aniversário no mesmo dia, porém Rui tem 30 anos e Ari 9

anos. Será possível em um determinado dia a idade d e Rui ser o quádruplo

da idade de Ari?

Seja t o tempo transcorrido a partir das idades apresentadas. Nesse caso, tem-se:

30 + t = 4(9 + t), donde t = -2

Como não existe tempo negativo, é provável que os alunos respondam que o

problema não tem solução. Esse é o momento que o professor deve questioná-los

sobre o significado de o número ser negativo. Observe que a resposta negativa,

t = -2, indica que essa situação ocorreu há dois anos, ou seja, quando Rui tinha

28 anos e Ari 7 anos.

3. Dado um círculo e 15 pontos sobre sua circunferê ncia, traçando todas as

cordas possíveis, com extremidades nesses pontos, e m quantas regiões o

círculo ficará dividido?

Podemos iniciar verificando quantas regiões teremos quando o círculo apresentar

dois pontos, três pontos e quatro pontos sobre a circunferência.

2 pontos 3 pontos 4 pontos

Duas regiões Quatro regiões Oito regiões

5 pontos

pontos


8

Dezesseis regiões

Muitos alunos concluem erroneamente que f(n) = 2n-1, onde n é o nº de pontos,

pela simples observação desses quatro resultados encontrados. Porém, se

analisarmos o número de regiões obtidas no círculo quando se tem 6 pontos sobre

a circunferência, vamos notar que a expressão não é válida, pois se obtém 30

regiões conforme exibe a figura a seguir:

Nº de pontos

(n)

2 3 4 5 6

Nº de regiões

2n-1

22-1

23-1

24-1

25-1

26-1

regiões

2

4

8

16

32

Nesse sentido, deve-se procurar outro padrão, caso exista. O professor poderá

questionar os alunos para que investiguem o número de regiões quando há quinze

pontos sobre a circunferência. Note que o trabalho é árduo para um número muito

grande de pontos sobre a circunferência, por isso, os matemáticos têm o papel de

pesquisar as regularidades para a obtenção de expressões analíticas que

solucionem a situação em estudo. Porém nem sempre é possível.

4.1. Problemas de Tentativa e Erro


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1. Utilizando-se uma só vez os números 1, 3, 5, 6 e 8, e escolhendo as

operações convenientes, dentre as quatro fundamenta is, obtenha o número

237.

Quais operações utilizar? De que maneiras vamos associar os números?

Para chegar ao resultado, não se tem uma equação a ser resolvida, pois não há

uma incógnita no problema apresentado. Nesse caso, a solução é obtida pelo

método de tentativa e erro. No entanto, é importante o aluno observar que

necessariamente deve-se usar multiplicação, pois apenas as operações de

subtração e divisão estão automaticamente descartadas, uma vez que resultam

números menores que 237. Também está descartada apenas a operação de

adição, pois o maior resultado possível é 23. Da mesma forma, apenas a

operação de multiplicação também está eliminada, visto que, o produto é igual a

720. Diante disso, conclui-se que devemos calcular o produto dos três maiores

números, obtendo assim o maior número possível, e analisar o resultado para

realizar as operações com os números restantes. Desta forma, o aluno deve

efetuar as operações como segue:

(5 x 6 x 8 - 3) : 1

5 x 6 x 8 = 240

240 – 3 = 237

237 : 1 = 237

2. Com oito algarismos 8 e apenas uma operação mate mática, como

deveremos combiná-los para que o resultado seja 100 0?

Nesse caso, o aluno deverá partir do método de análise das possibilidades, uma

vez que o problema não apresenta uma incógnita, não sendo possível resolvê-lo

por meio de uma equação. No entanto, é importante que o aluno perceba quais as

operações que ele poderá lançar mão para obter esse resultado. Por tentativas ele

chegará à conclusão que a multiplicação, a divisão e a subtração estão

descartadas. Partindo para a adição, o aluno deverá observar que dispondo de

duas parcelas com três algarismos 8 em cada (888+888), o resultado já ultrapassa

o valor estipulado que é 1000. Se colocar uma parcela com três algarismos 8 e


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duas parcelas com dois algarismos 8, cada uma, também ultrapassa 1000. Uma

parcela com três algarismos 8 e outra parcela com dois algarismos 8 somam 976.

Nesse caso, faltam 24 para completar 1000, ou seja, falta somar 8 três vezes.

Diante disso, o aluno deverá chegar à seguinte operação: 888 + 88 + 8 + 8 + 8 =

1000.

3. Usando sempre e somente quatro algarismos quatro (em cada expressão deverá constar quatro números quatro), faça express ões matemáticas que tenham como resultado 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Você pode usar as quatro operações e, quando necessário, colocar parênteses. Observe que ao todo serão onze expressões. Esse problema exige do aluno certo domínio das quatro operações. No entanto, ele usará do método da tentativa e erro para chegar aos resultados propostos pelo problema. Para cada resultado pode existir mais de uma expressão: Por exemplo, para obter zero ele terá que anular o valor, ou seja, terá que neutralizar o quatro. Para isso poderá efetuar da seguinte forma: 4 – 4 + 4 – 4= 0 ou ( 4 – 4) x 4 x 4 = 0 ou 4 x 4 – (4 – 4) Para obter 1 (um) o aluno poderá proceder assim: 4 – 4 + 4 : 4 = 1 ou assim 4 x 4 : 4 : 4= 1 E assim sucessivamente para os outros resultados. Lembrando que pode haver outras expressões possíveis para cada caso. 4 : 4 + 4 : 4 = 2 ( 4 + 4 +4 ) : 4 = 3 ( 4 – 4 ) x 4 + 4 = 4 ( 4 x4 + 4 ) : 4 = 5 ( 4 + 4 ) : 4 + 4 = 6 44 : 4 – 4 = 7 4 x 4 - 4 - 4 = 8 4 + 4 + 4: 4 = 9 (44 – 4) : 4 = 10 4. Sapolito é um sapo. Ele come 15 moscas por dia. Quando ele se disfarça, come o quádruplo de moscas e quando ele usa óculos espelhados, come o triplo do que quando está disfarçado. No domingo el e jejua. Sapolito se disfarçou 2 vezes na semana e usou óculos na 6ª fei ra. Quantas moscas Sapolito comeu na semana? Como Sapolito estava disfarçado dois dias da semana, vamos supor que seja na segunda-feira e na terça-feira. Então ele comeu o quádruplo de moscas em cada um desses dois dias, ou seja, 15 x 4 = 60 na segunda-feira, mais 15 x 4 = 60 na terça-feira. Na sexta-feira ele usou óculos, então ele comeu o triplo de 60, isto é,


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180 moscas. Nos outros dias da semana: quarta-feira, quinta-feira e sábado ele comeu 15 moscas por dia. No domingo Sapolito jejuou. Então ele comeu: Segunda-feira: 60 moscas Terça- feira: 60 moscas Quarta-feira: 15 moscas Quinta- feira: 15 moscas Sexta- feira: 180 moscas Sábado: 15 moscas Domingo: nenhuma mosca Total: Sapolito comeu 345 moscas 5. Jorge tem 33 anos e seu filho sete. Daqui a quan tos anos a idade de Jorge

será o triplo da idade de seu filho?

Qual a estratégia metodológica para a resolução deste problema? Existe uma

incógnita? O professor poderá iniciar questionando os alunos sobre os possíveis

“caminhos” que serão usados para encontrar a solução. Para isso, deve-se levar

em conta os dados que o problema oferece e o que ele pretende. Um dos

caminhos para se chegar à solução é utilizar o seguinte raciocínio. Suponhamos

que o pai tem 25 anos, e o filho, 5 anos. A diferença das idades é de 20 anos, e a

razão é de 5 anos. Daqui a 5 anos o pai terá 30 anos e o filho, 10 anos. A

diferença continua sendo 20 anos, pois essa nunca se altera, porém a razão

passa a ser 3, pois 30 : 10 = 3. Isto significa que à medida que as idades vão

aumentando, a razão entre elas vai diminuindo. Através desse raciocínio o aluno

deverá concluir que:

Jorge Filho Razão das idades

do pai e do filho

Hoje 33 anos 7 anos 4,71

Daqui 2 anos 35 anos 9 anos 3,88

Daqui 4 anos 37 anos 11 anos 3,36

Daqui 6 anos 39 anos 13 anos 3

Ou seja, daqui 6 anos, o filho terá 13 anos e Jorge, seu pai, 39 anos. Isto é, o

triplo da idade do filho. O triplo de 13 é 39.


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Incompatíveis com o enunciado.

Esse problema pode, contudo, ser resolvido pela álgebra, montando a equação:

33 + t = 3(7 + t), em que t é o tempo decorrido.

6. Uma famosa atriz que aparentava ter cerca de tri nta e poucos anos (mas

que estava em cartaz há muito tempo para que isso f osse verdade) foi

entrevistada por um jovem repórter recém formado. O repórter perguntou a

ela qual era a sua verdadeira idade e ela respondeu que só diria se ele lhe

revelasse a sua idade primeira. Após saber a idade do repórter ela disse:

“Nossas idades são formadas pelos mesmos algarismos , porém invertidos,

e a diferença entre nossas idades é 27.” É claro qu e ele soube de imediato a

idade da atriz. Agora o desafio é seu. Descubra as idades do repórter e da

atriz.

Sejam xy e yx, respectivamente, as idades da atriz e do repórter. Logo,

x e y N, com 3 ≤ x ≤ 9 e 2 ≤ y ≤ 9.

xy – yx = 27

(10x + y) – (10y + x) = 27

9x – 9y = 27

X – y = 3

Y = x – 3

Se x = 3 → y = 0 absurdo!

Se x = 4 → y = 1 Absurdo!

Se x = 5 → y = 2 Nesse caso, a atriz tem 52 anos e o repórter 25 anos.

Se x = 6 → y = 3

Se x = 7 → y = 4

Se x = 8 → y = 5

Se x = 9 → y = 6

Conclusão: A atriz tem 52 anos e o repórter, 25 anos.


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4.2. Problemas de Lógica

1. Pedro e Maria formam um estranho casal. Pedro me nte as quartas, quintas

e sextas-feiras, e diz a verdade nos outros dias da semana. Maria mente aos

domingos, segundas e terças-feiras, e diz a verdade nos demais dias da

semana. Certo dia, ambos dizem “amanhã é dia de men tir”. Em que dia foi

feita esta afirmação?

Este é um problema de raciocínio lógico. Para resolvê-lo, aconselha-se que o

aluno lance mão de uma tabela, onde fará as devidas anotações que o levará à

solução do problema.

Tabela 1

Domingo Segunda Terça Quarta Quinta Sexta Sábado

Pedro Mente Mente Mente

Maria Mente Mente Mente

Suponha que a afirmação seja feita em cada um dos dias da semana e registre o

valor lógico na tabela 2.

No Domingo: Pedro tem que dizer a verdade. Então a afirmação é falsa , pois na

segunda-feira não é dia de mentir.

Maria mente e como na segunda-feira é mesmo dia de mentir, então a afirmação

é falsa.

Na Segunda: Pedro tem que dizer a verdade. Percebemos que a afirmação é

falsa, porque na terça-feira não é dia dele mentir.

Maria mente e como na terça-feira é mesmo dia de mentir, então a afirmação é

falsa.

Na Terça : Pedro tem que dizer a verdade. Então a afirmação é verdadeira , pois

na quarta-feira é mesmo dia de mentir.

Maria mente nesse dia e como na quarta-feira é dia de dizer a verdade, então a

afirmação é verdadeira.


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Na Quarta: Pedro mente nesse dia e como na quinta-feira é mesmo dia de mentir,

então a afirmação é falsa.

Maria diz a verdade nesse dia, então a afirmação é falsa porque na quinta-feira

não é dia de mentir.

Na Quinta: É dia do Pedro mentir, e como na sexta-feira é mesmo dia de mentir,

então a afirmação é falsa .

Maria tem de dizer a verdade. Então, a afirmação é falsa , pois na sexta-feira não

é dia dela mentir.

Na Sexta: Pedro mente, e como no sábado é dia dele dizer a verdade, então a

afirmação é verdadeira.

Maria tem de dizer a verdade. Então a afirmação é falsa porque no sábado não é

dia dela mentir.

No Sábado: Pedro diz a verdade; e como no domingo é dia dele dizer a verdade,

então a afirmação é falsa .

Maria diz a verdade. Então a afirmação é verdadeira, porque no domingo é

mesmo dia dela mentir.

Tabela 2


Pedro Falso Falso Verdade Falso Falso Verdade Falso

Maria Falso Falso Verdade Falso Falso Falso Verdade

Analisando o valor lógico das afirmações em cada um dos dias da semana e

atendendo às regras da lógica, podemos concluir que o único dia da semana em

que tal afirmação pode ter sido feita é terça-feira.

Verificando a solução encontrada: “Amanhã é dia de mentir”, diz Pedro na

terça-feira. Como ele, na terça-feira, diz a verdade e, na quarta-feira, é mesmo dia

dele mentir, a afirmação se encaixa perfeitamente nesse dia. “Amanhã é dia de


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mentir” diz Maria na terça-feira, e como na terça-feira ela mente e na quarta-feira

ela diz a verdade, então, também para ela, a afirmação se encaixa nesse dia da

semana.

2. Dois atletas brincam com seus números de inscriç ão numa competição. O

meu número é formado por quatro algarismos diferent es: o segundo é o

quadrado do primeiro e o quarto é o quadrado do te rceiro. O outro diz: o

meu também. Porém, minha inscrição na competição fo i depois da sua. Qual

é o número de inscrição de cada um?

Para resolver este problema o aluno deve ter conhecimento adquirido sobre os

números quadrados perfeitos. Para tanto, o aluno deve perceber que alguns

números estão automaticamente fora da lista, como é o caso de 4, 5, 6, 7, 8, e 9,

pois seus quadrados são formados por mais de um algarismo. E que os únicos

quadrados perfeitos formados por um único algarismo são: 0, 1, 4 e 9. Como o

zero e o 1 são quadrados de si mesmos, sobram apenas 4 e 9. Quatro é o

quadrado de dois e nove é o quadrado de três. Assim, as únicas combinações

possíveis são 2439 e 3924. Portanto, estes são os números das inscrições dos

dois atletas.

3. Paulo e Maria trabalham num restaurante que fica aberto sete dias na

semana. Paulo trabalha um dia e depois tem três dia s de folga. Maria

trabalha um dia e depois folga quatro dias seguidos . Paulo trabalha nesta

segunda-feira e Maria trabalha nesta terça-feira. Q uais as duas próximas

vezes em que Maria e Paulo trabalharão juntos?

Este é um problema de lógica. Para chegar à solução, é interessante que o aluno

faça uma tabela onde possa fazer as anotações de acordo com as exigências

estipuladas no problema, e assim ter uma visão mais clara e definida do dia em

que Maria e Paulo trabalharão juntos. Nessa tabela, registrar-se-á os dias de

trabalho de cada um deles, colocando o respectivo nome Maria e Paulo. Depois,

assinala-se (FP) os dias das folgas de Paulo e (FM) os dias das folgas de Maria.

Assim:


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1ª

Semana

Paulo FP

Maria

FP

FM

FP

FM

Paulo

FM

FP

FM

2ª

Semana

FP

Maria

FP

FM

Paulo

FM

FP

FM

FP

FM

FP

Maria

Paulo

FM

3ª

Semana

FP

FM

FP

FM

FP

FM

Paulo

Maria

FP

FM

FP

FM

FP

FM

Através da construção da tabela podemos observar o dia em que Paulo e Maria

trabalharão juntos, ou seja, isso acontecerá numa quarta-feira.

4. Paulo e marcos vivem em cidades diferentes que d istam 495 km uma da

outra. Partiram cada um de sua cidade, às oito hora s da manhã, para se

encontrarem em algum lugar na estrada que liga as d uas cidades. Paulo vai

de carro a uma velocidade média de 80 km/h. Marcos vai de bicicleta a uma

velocidade média de 30 km/h. A que horas eles se en contram?

Nesse caso, para chegar à solução do problema, sugere-se o professor fazer

questionamentos aos alunos sobre:

• Qual é a incógnita?

Por meio de perguntas direcionadas, o professor deve levar o aluno a perceber o

que se pretende descobrir e qual o melhor caminho para chegar a esse objetivo.

Nesse caso, é conveniente a construção de um “esquema” ou tabela que facilite a

visualização da situação e chegar ao resultado esperado.


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495 km

Paulo Marcos

Tempo(H) 1 hora 2 horas 3 horas 4 horas 4 horas e

30 minutos

Dist. perc.por Paulo

80 km 160 km 240 km 320 km 360 km

Dist. Perc.

por Marcos

30 km 60 km 90 km 120 km 135 km

Total perc. por Marcos e Paulo

110 km 220 km 330 km 440 km 495 km

Nesse caso, o aluno precisa entender e acompanhar o deslocamento de cada um

dos envolvidos nesse percurso. Eles partem de pontos distintos e pretendem se

encontrar. Como o Paulo percorre 80 km em uma hora, e o Marcos percorre 30 km

por hora, juntos, eles percorrem 110 km. Portanto, 495 km dividido por 110 km é

igual a 4,5, isto é, 4 h 30 minutos. Ou seja, eles se encontrarão às 12h e 30

minutos.

5. Três meninas, Branca, Rosa e Violeta brincam num parque quando Rosa diz: _ Não é curioso que estejamos vestidas das cores: b ranca, rosa e violeta, embora nenhuma de nós esteja usando um vestido de c or igual ao seu próprio nome? - Uma simples coincidência. Responde a menina com vestido violeta. Qual a cor do vestido de cada garota?

Pelo diálogo das meninas, percebemos que a garota chamada Rosa não está usando a cor rosa nem violeta, pois o nome dela é Rosa e a outra que falou com ela estava de cor violeta. Portanto, a cor da roupa de Rosa é branca. Diante disso pode-se concluir que a menina chamada Violeta está usando a cor rosa e a menina chamada Branca está vestida de cor violeta. Assim:


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Nome da menina Cor da roupa Branca violeta Rosa branca Violeta Rosa

6. De dois pontos A e B, distantes 90m um do outro, soltam-se ao mesmo

tempo, e em sentido contrário, uma lebre a 10m/s e um cachorro a 5m/s.

Depois de quanto tempo eles se encontrarão? Em que lugar isso ocorrerá?

90 metros

A B

Tempo(s) 1

segundo

2

segundos

3

segundos

4

segundos

5

segundos

6

segundos

Dist.perc. pela lebre

10 m 20 m 30 m 40 m 50 m 60 m

Dist.perc.pelo cachorro

5 m 10 m 15 m 20 m 25 m 30 m

Total da dist. perc. pelos dois animais

15 m 30 m 45 m 60 m 75 m 90 m

Observando o esquema acima o aluno deverá chegar a seguinte conclusão: Como

a lebre percorre 10 metros por segundo e o cachorro, 5 metros por segundo, os

dois juntos percorrem uma distância de 15 metros por segundo. Então, dividindo o

espaço de 90 metros por 15, que é a distância que eles percorrem num segundo,

obtemos 6 segundos. Portanto, eles se encontrarão após 6 segundos. Isso

ocorrerá a 60 metros do ponto A, de onde saiu a lebre e a 40 metros do ponto B,

de onde saiu o cachorro.

7. Em um torneio esportivo, cada time de futebol jo gou uma única vez com cada um dos outros times e houve, ao todo, vinte e oito jogos. Quantos eram os times?


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Nesse caso, o aluno deve entender o seguinte: Se houvesse apenas dois times: A e B, haveria um único jogo. Caso fossem três times: A, B e C haveriam três jogos: AXB, AXC e BXC, se fossem quatro times A, B, C, e D. seriam seis jogos: AXB, AXC, AXD, BXC, BXD e CXD. Portanto, construindo um esquema, ou uma tabela, podemos encontrar o que se pede, ou seja, a quantidade de times que participaram deste torneio.

Nº de Times

Times Jogos Total de Jogos

2

A e B AXB 1

3

A, B, C AXB,AXC,BXC 3

4

A,B,C,D AXB,AXC,AXD,BXC,BXD,CXD 6

5

A,B,C,D,E AXB,AXC,AXD,AXE,BXC,BXD,BXE,CXD,CXE, DXE

10

6

A,B,C,D,E,F AXB,AXC,AXD,AXE,AXF, BXC,BXD,BXE,BXF CXD,CXE,CXF,DXE,DXF,EXF

15

7

A,B,C,D,E,F,G AXB,AXC,AXD,AXE,AXF,AXG,BXC,BXD,BXE, BXF,BXG,CXD,CXE,CXF,CXG,DXE,DXF,DXG, EXF,EXG,FXG

21

8 A,B,C,DE,F,G,H AXB,AXC,AXD,AXE,AXF,AXG,AXH,BXC,BXD, BXE,BXF,BXG,BXH,CXD,CXE,CXF,CXG,CXH ,DXE,DXF,DXG,DXH,EXF,EXG,EXH,FXG,FXH ,GXH.

28

Observando a tabela podemos perceber que, se foram disputadas 28 partidas nesse torneio em que cada time jogou uma só vez com cada adversário, então o número de times que participaram do torneio é 8.

8. No alto de uma torre de uma emissora de televisão, duas luzes piscam com freqüências diferentes. A primeira luz pisca 15 vezes por minuto, a segunda 10 vezes por minuto. Num certo instante as luzes piscam simultaneamente. Após quantos segundos as duas volt arão a piscar juntas novamente? A primeira luz pisca 15 vezes por minuto, então ela pisca a cada 4 segundos, pois 60 segundos dividido por 15 dá 4. A segunda Lâmpada pisca 10 vezes por minuto, logo, ela pisca a cada 6 segundos, pois, 60 segundos dividido por 10 é 6. Como o menor múltiplo comum entre 4 e 6 é 12, podemos concluir que ambas piscarão juntas novamente após 12 segundos.


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Problemas Propostos

1. Para encorajar seu filho a estudar, um pai fez a seguinte proposta : - Filho, você ganha R$ 4,00 para cada questão resolvida corretamente e me dá R$2,50 para cada questão incorreta. Depois de 26 questões resolvidas, nenhum devia nada ao outro. Quantas questões o garoto acertou? 2. Um elevador pode levar 20 adultos ou 24 crianças. Se 15 adultos já estão no elevador, quantas crianças podem entrar?

3. Houve um tempo em que tínhamos no quadro abaixo, quatro igualdades verdadeiras, mas o maligno bruxo Exterminador das Verdades fez uma transformação em cada um dos números e o quadro ficou do jeito que você está vendo. Descubra a transformação que foi feita e recupere as antigas igualdades, sabendo que os doze números do quadro sofreram a mesma mudança.

2 + 2 = 6 4 x 4 = 34 7 : 1 =1 26 : 2 =5

4. Num certo verão, a fábrica de sorvetes Quero Mais troca dez palitos de sorvete por um sorvete de palito. Nessa promoção, um palito de sorvete corresponde a que fração do preço de um sorvete?

5. Um homem que pesa 100 quilos e seus dois filhos, um pesando 40 quilos e o outro pesando 60, precisam atravessar um rio. O único barco disponível só pode carregar até 100 quilos de cada vez. Como eles poderão chegar a outra margem?

6. Davi e Fabiana trabalham em uma lanchonete que fica aberta sete dias por semana. Davi trabalha um dia e folga três antes de trabalhar novamente. Fabiana trabalha um dia e em seguida fica quatro dias sem trabalhar. Davi trabalhou hoje, 2ª feira, dia 5 e Fabiana trabalhará amanhã, 3ª feira, dia 6. Descubra quando eles trabalharão juntos neste mês. 7. Na época em que os bichos falavam, numa floresta viviam Dona Onça e Dona Hiena, comadres inseparáveis, com características peculiares. Dona Hiena mente às 2ª, 3ª e 4ª; Dona Onça mente às 5ª, 6ª e sábados. Nos dias em que não mentem, elas dizem a verdade. Certa vez, num encontro, Dona Hiena e Dona Onça conversavam: - Olá, Dona Onça! Ontem eu menti.- disse Dona Hiena. - Olá Dona Hiena! Eu também menti ontem- retrucou Dona Onça. Em que dia aconteceu esse encontro?


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8. Susana vende quatro tipos de produto de beleza (A, B, C e D). Veja nas tabelas: o preço e o lucro por unidade, além da quantidade vendida em dois meses. Produto Preço (R$) Lucro A 25,36 5,00 B 36,40 7,70 C 2,36 0,50 D 45,25 9,80

a) Quanto Susana faturou com as vendas de março e abril? b) De quanto foi o lucro em cada um desses meses? Refaça esses problemas em uma calculadora e confira os resultados obtidos.

9. Um jornal recebeu várias mensagens eletrônicas comentando a publicação do

dia.

Veja alguns números obtidos desses comentários:

* 25% das mensagens eram reclamações contra o jornal;

* Das mensagens com elogios, 50% referiam-se ao caderno de esportes, 81

mensagens eram relativas ao caderno de economia, e as 15 mensagens restantes

referiam-se a outros assuntos.

Afinal, quantas mensagens foram recebidas, no total, pelo jornal?

10. Paulo quer treinar corrida. No primeiro dia de treinamento, ele pretende correr

uma volta completa no parque e nos dias posteriores aumentar meia volta por dia.

Se continuar nesse ritmo, quantas voltas ele estará dando no 153º dia?

11. Natália organizou uma apresentação musical com 270 crianças, que foram

separadas em 30 grupos de 9 crianças. Cada uma recebeu um número que

Produto Março Abril A 15 10 B 12 26 C 23 25 D 25 23


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indicava sua posição e o grupo a que pertencia. Veja abaixo como ficou a posição

das crianças que receberam os números de 1 a 27:

1º grupo 2º grupo 3º grupo

1 2 3 10 11 12 19 20 21

4 5 6 13 14 15 22 23 24

7 8 9 16 17 18 25 26 27

As crianças dos outros grupos foram dispostas seguindo a mesma ordem dos

grupos acima. Se Aline recebeu o número 139, qual era o grupo e a posição a que

Aline pertencia?

12. Duas cidades A e B distam 132 km uma da outra. De A e B saíram ao mesmo

tempo com sentidos opostos dois ciclistas. A velocidade média do ciclista que

saiu da cidade A é de 19 km/h, e a velocidade do ciclista que saiu da cidade B é

de 14 km/h. Quando eles se cruzarem na estrada, que distância o ciclista que saiu

da cidade B terá percorrido?

13. Ao encerrar o dia, a bilheteria de um cinema havia arrecadado R$3.230,00

com a venda de 320 ingressos. Nesse cinema, os ingressos são vendidos por R$

16,00 ou por R$ 8,50. Quantos ingressos de cada preço foram vendidos nesse

dia?

14. Pensando na sua saúde, Fabiana pediu ao médico uma relação com as

quilocalorias das frutas de que mais gosta. Veja o que recebeu:


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Fruta Porção Kcal

Ameixa-amarela Unidade (25 g) 23

Figo Unidade (50 g) 68

laranja Unidade (100 g) 46

Manga Unidade (350 g) 229

pêssego Unidade (100 g) 63

Fabiana quer comer duas porções de frutas diferentes no lanche da tarde.

Descubra que frutas podem ser essas, se Fabiana quer consumir no máximo:

a) 200 quilocalorias b) 100 quilocalorias c) 60 quilocalorias

15. Dois números de dois algarismos distintos são formados pelos mesmos

algarismos, porém em ordem inversa, ou seja, o algarismo das unidades de um

número é o algarismo das dezenas do outro e vice-versa. Sabe-se que a diferença

entre esses números é igual ao número menor acrescido de 10. Quais são esses

números?

4. Considerações Finais

A metodologia da resolução de problemas apresentada neste trabalho teve como

principal objetivo despertar no aluno o interesse pela resolução de problemas

abertos, não convencionais, bem como de desenvolver habilidades, raciocínio

lógico, de modo a potencializar suas aptidões e concretizar sua aprendizagem.

Todavia, para que esse objetivo seja de fato efetivado faz-se necessário a

elaboração de problemas que venham ao encontro das expectativas do aluno, de

modo a prender a sua atenção no assunto trabalhado e dessa maneira alcançar o


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objetivo, que é o de investigação, sondagem, elaborar estratégias e executá-las,

bem como de analisar a(s) solução(ões) encontrada(s).

A utilização dessa metodologia no ensino da Matemática na escola proporcionará

grandes vantagens no desenvolvimento cognitivo dos alunos, além de

desenvolver sua auto-estima e a capacidade de investigação e análise.

Esperamos que, através deste trabalho, os alunos se sintam mais atraídos pela

disciplina e que consigam ver a matemática de uma forma cada vez mais

prazerosa.

Referências Bibliográficas

POLYA, G. A arte de resolver problemas . Rio de Janeiro: Interciência, 2006.

PARANÁ, Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes Curriculares da Rede

pública de Educação Básica do Paraná – Matemática. Curitiba, 2008.

MEDEIROS, K. M. O contrato didático e a resolução de problemas matemáticos

em sala de aula. Educação Matemática em Revista. São Paulo, nº 9/10, p. 32-

39, abril 2001.

FALZETTA, R. Quebre cinco tabus da resolução de problemas. Revista Nova

Escola . São Paulo, nº 160, p. 44-47, abril 2003.

http://ricardosilva.com.sapo.pt/mais_problemas.htm, acessado em 8/10/2008.

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PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA UNIDADE DIDÁTICA … · Polya, um dos pioneiros em pesquisa sobre resolução de problemas distingue quatro fases de trabalho diante de um determinado