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SJBV

•  Eq. de Poisson

•  Solução da Eq de Poisson em uma dimensão.

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Equação de Poisson (Capítulo 6 – Páginas 160 a 172)

SJBV

•  A equação de Poisson permite solucionar problemas onde o potencial ‘V’ é

desconhecido em parte das regiões do problema.

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Equação de Poisson

•  Normalmente, o potencial é conhecido nas fronteiras do problema.

•  Exemplo: Capacitor de placas paralelas e problemas envolvendo meios com ρv na

presença de condutores em potenciais ‘V’ conhecidos.

ρv

60V

1D

30V -10V

50V

ρv

2D

SJBV

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Equação de Poisson

•  O potencial conhecido nos limites do problema é usado como Condição de Contorno

para encontrar o potencial em todas as regiões.

ρv

60V

1D

30V -10V

50V

ρv

2D

•  Tendo o potencial elétrico, é possível calcular E, D e J outras grandezas.

•  A equação de Poisson pode ser derivada a partir de Lei de Gauss, e é válida

quando se tem distribuições continuas de carga (densidades de carga).

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Equação de Poisson

•  A equação de Poisson pode ser derivada a partir de Lei de Gauss (Pontual).

∇⋅!D = ρv

•  A Densidade de Fluxo D pode ser expressa em termos do potencial V. !D = ε

!E = −ε∇V

•  Desta forma, lado esquerdo da L.G. pode ser escrito em função do potencial V.

∇⋅!D = −∇⋅ ε∇V( )

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Equação de Poisson

•  Caso o meio considerado no problema seja homogêneo, ε é uniforme e:

•  O Divergente do gradiente de um escalar é o operador Laplaciano. Em Coord.

Cartesianas:

∇⋅!D = −ε∇⋅ ∇V( )

∇⋅∇V =∇⋅∂V∂x

ax +∂V∂y

ay +∂V∂z

az⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=∂∂x

∂V∂x

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟+

∂∂y

∂V∂y

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟+

∂∂z

∂V∂z

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

V

Δ

⇒∇⋅∇V =∇2V

SJBV

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Equação de Poisson

•  O lado esquerdo da L.G. fica

•  Igualando com o lado direito chegamos à Eq. de Poisson.

∇⋅!D = −ε∇2V

•  Eq. de Poisson: o Laplaciano do potencial elétrico, num meio com densidade de

carga, é igual ao negativo da densidade de carga sobre a constante dielétrica do meio.

•  Para um dado problema, a Eq. de Poisson em conjunto com as C.C. permitem

encontrar a distribuição de potencial elétrico em todas as regiões.

∇2V = −ρvε

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Equação de Poisson

•  A Eq. de Poisson pode ser expressa em outros Sistemas de Coordenadas usando o

operador Laplaciano no sistema em questão.

•  Em Coordenadas Cilíndricas, o operador Laplaciano fica:

∇2V =1ρ∂∂ρ

ρ∂V∂ρ

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟+

1ρ2

∂2V∂φ 2

+∂2V∂z2

•  Em Coordenadas Esféricas, o operador Laplaciano fica:

∇2V =1r2

∂∂r

r2 ∂V∂r

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟+

1r2senθ

∂∂θ

senθ ∂V∂θ

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟+

1r2sen2θ

∂2V∂φ 2

SJBV

①  Resolver a equação de Poisson por integração direta (1D) ou separação de

variáveis (2D). A solução geral é expressa através de constantes de integração.

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Procedimento para solução da Eq. de Poisson

ρv

60V

30V -10V

50V

ρv

1D 2D

②  Aplicar as condições de contorno nas ‘superfícies’ onde V é conhecido e

encontrar a solução particular.

1D ( se V só é função de x) ∇2V =∂2V (x)∂x2

= −ρv (x)ε

SJBV

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Procedimento para solução da Eq. de Poisson

③  Tendo o potencial em todos os campos, calcular E, D e J.

④  Tendo Dn nos condutores determinar ρs, Q e C = Q/V, etc.

!E = −∇V

ρS =!D ⋅ an S

= Dn

Nas superfícies dos condutores

ρv

60V

30V -10V

50V

ρv

1D 2D

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Dada a densidade volumétrica de carga:

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Exemplo

ρv = −2×107ε0 x [C /m3]

no espaço livre e seja V = 0V em x = 0 e V =2V em x = 2,5mm, calcule:

(a) V em x = 1mm.

(b) E no mesmo ponto.

SJBV

Considere que a região entre os eletrodos mostrados abaixo contém uma

densidade de carga uniforme ρ0 = 25 mC/m3, que ε = ε0 e o potencial no

eletrodo da esquerda é V0 = 22kV. Se a condutividade na região entre os eletrodos é σ = 1x10-4 S/m e d = 20mm, calcule:

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Exemplo

(a) E entre as placas.

(b) D entre as placas.

(c) J entre as placas.

(d) ρS na placa da direita.