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Prof. Eng. Francisco Lemos Disciplina: Mecânica Geral. Vetores e Equilíbrio de uma Partícula. Vetores. - PowerPoint PPT Presentation
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Prof. Eng. Francisco LemosDisciplina: Mecânica Geral
Vetores e Equilíbrio de uma Partícula
Vetores
São objetos ou entes matemáticos constituídos pela associação de um módulo (ou valor absoluto), direção e sentido a cada ponto do espaço. Exemplos: velocidade linear, aceleração, força, velocidade de rotação.
Representação dos Vetores
OR
• Módulo do vetor: R;
• Direção: ângulo;
• Sentido: indicado pela seta.
P
Eixo fixo
Linha de ação da força
β
As principais definições usadas na álgebra vetorial
dois vetores são iguais se tem o mesmo módulo, sentido e direção, mesmo que tenham origem em pontos diferentes. Assim (AB) = (CD) se |AB| = |CD| e ambos tem o mesmo sentido e direção;
AB
CD
As principais definições usadas na álgebra vetorial
dois vetores que tenham o mesmo módulo e direção, porém sentidos opostos são chamados de opostos e podem ser representados com a mesma designação porém uma com o sinal negativo. Exemplo: (AB) = - (BA);
AB
CD
As principais definições usadas na álgebra vetorial
a soma ou resultante de vetores é obtido colocando-se a origem de um na extremidade de outro, independendo da seqüência ou ordem de colocação. Assim a resultante de [(OA) +( AB) + (CD)] é (OD);
OA
ABCD
OD – Vetor Resultante
a diferença entre os vetores [(AB) - (CD)] é o vetor (OP) tal que [(OP) + (CD)] = (AB). Define-se como vetor nulo o vetor cujo módulo é igual a zero. O vetor nulo não tem sentido ou direção.
As principais definições usadas na álgebra vetorial
AB
CD
AB
- CD
OP
o produto de um escalar m por um vetor (AB) é um vetor de mesma direção de (AB) , módulo igual a [m.|AB|] , mesmo sentido se m > 0 e sentido oposto se m < 0 .
As principais definições usadas na álgebra vetorial
AB 2AB - 2AB
Leis Operacionais
Adição de Vetores
Lei do Paralelogramo
A soma de dois vetores P e Q é obtida aplicando os dois vetores em um mesmo ponto A e construindo um paralelogramo que tem P e Q como lados. A diagonal que passa por A representa a soma dos vetores P e Q, indicada por P + Q = R.
P + Q = Q + P
A soma de dois vetores é comutativa
Adição de Vetores
Regra do triânguloComo o lado do paralelogramo oposto a Q e é igual a Q em intensidade e direção, poderíamos desenhar apenas a metade do paralelogramo.
A soma dos dois vetores pode ser então determinada pelo reposicionamento de P e Q, de modo que a origem de um vetor esteja sobre a extremidade do outro, e então unindo a origem de P com a extremidade de Q.
P
Q
P + QP
Q
P + Q
É somar o correspondente vetor oposto
Subtração de vetores
P – Q = P + (- Q) = R
P
Q
P
- Q
R
Adição de três ou mais vetores
A soma de três vetores P, Q e S será por definição, obtida pela adição inicial dos vetores P e Q, e então, somando o vetor S ao vetor P + Q.
A soma de três vetores será obtida pela adição do terceiro vetor à soma dos dois primeiros.
Segue-se que a soma de qualquer Nº de vetores pode ser obtida pela aplicação repetida da LP aos sucessivos pares de vetores, até que todos vetores tenham sido substituídos por um único vetor.
P + Q + S = (P + Q) + S
Regra do polígono
Adição de três ou mais vetores
A soma de três vetores P e Q e S pode ser obtida diretamente pelo arranjo dos vetores, de modo que a origem de um vetor coincida com a extremidade do anterior e unindo a origem do primeiro vetor com a extremidade do último.
Obs:todos os vetores são coplanares.
OA
AB CD
OD – Vetor Resultante
Componentes cartesianas de uma força
Componentes Cartesianas
F = Fxi+ Fyj, onde Fxi, e Fyj são as componentes vetoriais.
A intensidade de F:
F = (F2x+ F2
y)1/2.
Quando há mais do que uma força aplicada numa partícula, as componentes da força resultante são:
Componentes cartesianas de mais de uma força
R = P + Q + S
Decompondo as forças em suas componentes cartesianas, temos:
Rxi + Ryj = Pxi + Pyj + Qxi + Qyj + Sxi + Syj
= (Px + Qx + Sx)i + (Py + Qy + Sy)j
Onde,
Rx = Px + Qx + Sx e Ry = Py + Qy + Sy
Componentes cartesianas de mais de uma força
Exemplo 1
Calcule a força resultante do sistema abaixo:
Exemplo 2
A estaca deve ser arrancada do solo usando-se duas cordas A e B. A corda esta submetida a uma força de 600 lb orientada a 600 a partir da horizontal. Se a força resultante que atua verticalmente para cima sobre a estaca for de 1200 lb, determine a força T na corda B e o ângulo correspondente θ.